47975

Будівельна механіка. Конспект лекцій

Конспект

Архитектура, проектирование и строительство

Перший тип опори представлений на рис. Схематично її зображують у вигляді одного стержня з двома ідеальними без тертя шарнірами на кінцях рис. Другий тип опори рис.Схематично опора другого типу зображується за допомогою двох стержнів з ідеальними шарнірами на кінцях; верхній шарнір є загальним для обох стержнів рис.

Украинкский

2013-12-04

1.73 MB

192 чел.

Міністерство освіти і науки України

Луцький національний технічний університет

БУДІВЕЛЬНА МЕХАНІКА

СТАТИЧНО ВИЗНАЧУВАНІ СИСТЕМИ

Конспект лекцій 

для студентів напряму “Будівництво” денної та заочної форм навчання.

РЕДАКЦІЙНО-ВИДАВНИЧИЙ ВІДДІЛ

ЛУЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО ТЕХНІЧНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛУЦЬК  2008


УДК 69.04(075.8)

ББК 38.112я73

Б99

 Будівельна механіка. Конспект лекцій для студентів напряму “Будівництво” денної та заочної форм навчання/ Я.Д.Кислюк, Д.Я.Кислюк. - Луцьк: ЛНТУ, 2008.

У даному конспекті лекцій коротко викладена основна частина курсу будівельної механіки стержневих систем – розрахунок статично визначуваних споруд на нерухоме і рухоме навантаження.

Укладачі:                                        Я.Д. Кислюк,

.................................... .....................Д.Я. Кислюк.

Рецензент:                                        О.А. Ужегова

Відповідальний за випуск:            О. А. Ужегова

Затверджено науково-методичною радою ЛНТУ,

протокол № 3 від 25.11.2008 р.

Рекомендовано до друку науково-методичною радою ННВ ІРБ  ЛНТУ,

протокол № 3 .від 25.11.2008 р.

Затверджено на засіданні кафедри промислового та

цивільного будівництва, протокол № 6 від 01.11. 2008 р.

Я.Д.Кислюк, Д.Я.Кислюк.


Зміст

Стор.

Вступ.................................................................................

Тема 1. Основні   положення   будівельної механіки.Кінематичний аналіз споруд.............

Тема 2. Розрахунок  балок  та  простих  рам на нерухоме навантаження....................................

Тема 3. Прості плоскі ферми..........................................

Тема 4. Розрахунок трьохшарнірних систем................

Тема 5. Розрахунок балок на рухоме навантаження....

Тема 6. Розрахунок ферм на рухоме навантаження.....

Тема 7. Розрахунок   трьохшарнірних   систем   на   рухоме навантаження.......................................

Тема 8. Загальні методи взначення переміщень..........

Література........................................................................

4

5

14

26

33

38

48

53

56

71


Вступ.

Будівельна механіка – це наука про методи розрахунку споруд на міцність, жорсткість та стійкість в умовах дії на них постійного та тимчасового навантаження.

Вона займає проміжне місце між загальними технічними і теоретичними дисципліними - опором матеріалів, теоретичною механікою, фізикою, математикою і є основою для вивчення спеціальних дисциплін - залізобетонних, металевих та дерев’яних конструкцій.

Будівельна механіка спочатку не була самостійною наукою, а входила в курс загальної механіки. У першій половині ХІХ ст. в зв’язку з посиленим будівництвом мостів, гребель, промислових споруд будівельна механіка стає самостійною.

В даний час до будівельної механіки відносяться наступні дисципліни: будівельна механіка стержневих систем, будівельна механіка пластин та оболонок, теорія пружності, теорія пластичності, теорія повзучості.

Будівельну механіку стержневих систем, яку скорочено називають просто будівельною механікою,  інженери-будівельники вивчають з ціллю набуття знань, необхідних для розрахунку будівель і споруд промислового, цивільного, міського та автодорожного будівництва.

Будівельна механіка є наукою експериментально-теоретичною, оскільки базується на результатах випробувань споруд (в натурі і на моделях), досвіді їх експлуатації і теоретичних дослідженнях.

В даному конспекті лекцій коротко викладена основна частина курсу будівельної механіки стержневих статично визначних систем – розрахунок споруд на рухоме і нерухоме навантаження, - тобто:

- визначення внутрішніх зусиль (згинальних моментів М, поперечних сил Q та поздовжніх сил N ) в елементах різного типу систем (споруд) від дії різного виду навантажень;

- дослідження жорсткості споруди – тобто визначення переміщень та деформацій.


Тема 1. Основні положення будівельної механіки.  Кінематичний аналіз споруд

1.1. Розрахункові схеми та основні елементи споруд

Як і в опорі матеріалів, в будівельній механіці вивчають не реальну споруду а її розрахункову схему. Її вибір – важливий етап розрахунку споруди, тому що це впливає як на об'єм розрахунку, так і на його точність. Розрахункова схема тісно пов’язана з допущеннями та передумовами, що лежать в основі подальших розрахунків. Для однієї і тієї ж споруди нерідко можна запропонувати різні розрахункові схеми, вибір яких залежить від методу та необхідної точності розрахунку.

Розрахункова схема – це спрощене, ідеалізоване зображення дійсної споруди. Розрахунок споруд починають з вибору розрахункової схеми. При цьому:

-ідеалізують опорні та вузлові з’єднання (або ідеальний шарнір, або абсолютно жорсткий вузол);

-стержні споруди показують їх осями;

-перевіряють геометричну незмінність системи (переміщення можливі тільки в результаті деформацій);

-виключають непрацюючі стержні, тобто ті, які не навантажені і не потрібні для забезпечення стійкості споруди;

-ідеалізують навантаження на споруду.

При аналізі розрахункових схем споруд важливе значення мають поняття: диск, кінематична в’язь, ступінь вільності, ступінь статичної невизначеності, геометрична незмінність та ін. На даному етапі слід також усвідомити, що шарнір, який з’єднує не два, а n дисків (стержнів), еквівалентний (n-1) простим шарнірам.

Основними   елементами   споруд є стійки та ригелі. У випадку з’єднання їх не жорстко – на розрахунковій схемі ставиться шарнір. Шарнірне з’єднання – з’єднання, в якому усунуто хоча б одну в’язь.

У курсі будівельної механіки розглядається розрахунок геометрично незмінних систем (споруд), тобто таких, переміщення окремих точок яких можливі тільки в результаті деформації систем. Нерухомість таких систем (їхня геометрична незмінюваність) відносно землі  забезпечується опорними зв'язками (опорами). В опорах виникають реакції, що разом із заданими навантаженнями встановлюють урівноважену систему зовнішніх сил, що діють на споруду. Розглянемо різні типи опор плоских систем.

Перший тип опори представлений на рис. 1.1. Він складається з двох балансирів — верхнього 1 і нижнього 3, між якими прокладений валик 2, що грає роль циліндричного шарніра (надалі при розрахунку плоских систем «циліндричний шарнір» будемо називати «шарніром»). Завдяки цьому валику верхній балансир може повертатися щодо нижнього. Крім того, він може (разом з нижнім балансиром, що спирається на катки 4) переміщатися по опорній площині, яка називається  опорною подушкою 5.

Розглянута опора має дві ступені вільності . Тертям, що виникає в опорі, прийнято при розрахунку нехтувати, а тому реакцією такої опори є сила, що проходить через центр шарніра  перпендикулярно до напрямку можливого переміщення катків, тобто верхньої площини опорної подушки. Ця сила визначається одним параметром — її величиною. Розглянута опора називається циліндрично рухомою, або шарнірно рухомою. Схематично її зображують у вигляді одного стержня з двома ідеальними (без тертя) шарнірами на кінцях (рис. 1.2).Стержень, що схематично зображує шарнірно рухому опору, умовно приймається нескінченно довгим; верхня точка такого стержня може переміщуватися тільки по прямій лінії (пряма є коло нескінченно великого радіуса), перпендикулярної до його осі, що цілком відповідає тим умовам, у яких знаходиться дійсна шарнірно рухома опора. Власні деформації опори при розрахунках не враховуються, тобто опорний стержень умовно вважається, нескінченно твердим.

Другий тип опори (рис. 1.3) відрізняється від першого тим, що нижній балансир 3 закріплений і не може переміщуватися. Така опора має одну ступінь вільності і називається циліндрично нерухомою, або шарнірно нерухомою. Реакція її - це сила, що проходить через центр шарніра. Ця сила може мати будь-який напрямок і визначається, отже, двома параметрами - величиною і напрямком (або, що те ж саме, величинами двох складових її сил, наприклад: вертикальної і горизонтальної).Схематично опора другого типу зображується за допомогою двох стержнів з ідеальними шарнірами на кінцях; верхній шарнір є загальним для обох стержнів (рис. 1.4). Така схема визначає точку прикладання опорної реакції (центр верхнього шарніра), залишаючи її напрямок невідомим. Напрямки стержнів на схемі шарнірно нерухомої опори можуть бути обрані цілком довільно, тому що силу (реакцію) можна розкласти на два будь-яких напрямки.

Третім типом опори є защімлення (рис. 1.5), ступінь вільності якої дорівнює нулю. Реакція такої опори визначається трьома параметрами:  величиною і напрямком сили, що проходить через довільну точку, та моментом відносно цієї точки. Цю реакцію можна представити як поєднання реактивного моменту в защімленні (опорному перерізі) із реакцією шарнірно нерухомої опори.

Схематично опора третього типу може бути представлена трьома стержнями (рис. 1.6); для того щоб защемлення можна було вважати абсолютно твердим, відстань lо повинна бути дуже малою або брус на ділянці довжиною lо треба розглядати як нескінченно твердий.

Відзначимо, що число стержнів у схематичному, зображенні будь-якої опори завжди дорівнює, числу параметрів, що визначають повну реакцію цієї опори.

1.2. Кінематичний аналіз споруд

Інженерна споруда, яка складається з окремих елементів, може сприймати навантаження тільки в тому випадку, коли вона постійно зберігає геометричну форму і положення, які задані їй при зведенні (бути нерухомою і незмінною). Змінність системи – її властивість змінювати свою геометричну форму без деформації матеріалу елементів споуди. Змінні системи не в змозі врівноважити зовнішні сили і під дією прикладених навантажень приходять в рух, міняють свою форму Природно, що такі системи не можна використовувати як споруди. Геометрично незмінна система – це така система, форма якої не може мінятися без деформації матеріалу її елементів. Елементи споруди, незмінність яких очевидна або доведена, називаються дисками (стержень, земля). Рухоме з’єднання двох дисків, яке обмежує взаємне їх переміщення, називається кінематичною в’яззю. 

Якщо замінити жорсткі вузли системи, що складається з трьох стержнів (зображеної на рис. 1.7, а), циліндричними шарнірами, то система залишиться геометрично незмінною (рис. 1.7, б), тобто такою, зміна форми якої можливо лише в зв'язку з деформаціями її елементів.

Якщо ж замінити жорсткі вузли шарнірами в системі, що складається з чотирьох стержнів (зображеної на рис. 1.8, а), то вийде система геометрично змінна (рис. 1.8, б), тобто така, форма якої може мінятися без деформації її елементів.

Найпростішою геометрично незмінною шарнірною системою (фермою) є система  з трьох стержнів (дисків), з'єднаних шарнірами в трикутник (рис. 1.7, б).

Якщо замінити жорсткі вузли системи, що складається з трьох стержнів (зображеної на рис. 1.7, а), циліндричними шарнірами, то система залишиться геометрично незмінною (рис. 1.7, б), тобто такою, зміна форми якої можливо лише в зв'язку з деформаціями її елементів.

Якщо ж замінити жорсткі вузли шарнірами в системі, що складається з чотирьох стержнів (зображеної на рис. 1.8, а), то вийде система геометрично змінна (рис. 1.8, б), тобто така, форма якої може мінятися без деформації її елементів.

Найпростішою геометрично незмінною шарнірною системою (фермою) є система  з трьох стержнів (дисків), з'єднаних шарнірами в трикутник (рис. 1.7, б).

Положення точки на площині визначається двома параметрами (рис. 1.9.а), тобто ступінь вільності точки на площині дорівнює двом. Щоб визначити положення відрізка на площині, потрібно знати три незалежних параметри (рис. 1.9.6). Якщо на довільній плоскій фігурі провести відрізок, (рис. 1.9.в) то стає очевидним, що і для визначення положення плоскої фігури на площині потрібно знати три незалежних параметри; з цього випливає, що ступінь вільності плоскої фігури на площині дорівнює трьом. Ступінь вільності можна обмежити різними пристроями (в'язями), які зменшують кількість незалежних параметрів руху тіла чи системи тіл.

Рис.1.9

Пристрій, який зменшує ступінь вільності на одиницю, еквівалентний одній кінематичній в'язі. Таким пристроєм є вже розглянута нами шарнірно-рухома опора. Рухомий шарнір еквівалентний одній кінематичній в'язі, тому що не перешкоджає ні взаємному повороту елементів, ні просторовому їх переміщенню.

Рис.1.10

Нерухомий опорний шарнір накладає на тіло дві в'язі, чим і пояснюється символічне зображення двома опорними стержнями шарнірно-нерухомої опори. Шарнір, який з'єднує два плоских тіла,наприклад два стержні, характеризується як пристрій з двома кінематичними в'язями. Для наочного тлумачення сказаного вище стержні 1 і 2 (рис. 1.10.а) з'єднаємо шарніром С (рис. 1.10.б). Якщо для визначення положення першої системи (а) потрібно знати шість незалежних геометричних параметрів (по три на кожний стержень), то для другої - чотири. При відомому розташуванні в системі ХОУ першого стержня - положення другого в довільний момент часу визначається кутом ер. Ступінь вільності за рахунок шарнірного з'єднання двох стержнів зменшилась з шести до чотирьох.

Рис.1.11 С =.

Якщо для визначення ступеня вільності системи, зображеної на (рис. 1.11.а), умовно роз'єднати шарнірні з'єднання, то для визначення положення трьох стержнів в системі ХОУ (рис. 1.11.б) потрібно знати дев'ять геометричних параметрів. Кожен шарнір накладає дві кінематичні в'язі. За рахунок трьох з'єднувальних шарнірів накладено шість кінематичних в'язей. Ступінь вільності заданої системи дорівнює трьом. З іншої сторони, задана в нашому прикладі система являє собою трикутник,форма якого, як відомо, не може бути змінена без зміни довжин сторін. Цей трикутник можна розглядати як плоске тіло, ступінь вільності якого і дорівнює трьом.

Ступінь вільності системи, утвореної чотирма стержнями, зв'язаними шарнірними з'єднаннями в прямокутник (рис. 11 .а), дорівнює чотирьом.

Рис.1.12

Про властивість шарнірно-рухомої опори накладати одну кінематичну в'язь, вже було сказано. Якщо два плоских тіла (два стержні) з'єднати стержнем, на кінцях якого ідеальні шарніри (рис. 1.12.6), то і в цьому випадку буде накладено одну кінематичну в'язь. На рис. 1.12.6 з'єднувальний стержень під номером три. Довести цю властивість пропонується самостійно.

Стержнева система - це сукупність певного числа стержнів (два основних розміри яких малі порівняно з третім), з'єднаних між собою відповідним чином в'язями.

Ступінь вільності системи, складеної з дисків, з'єднаних між собою шарнірами, визначається наступним чином. Якщо число дисків позначити Д, а ступінь вільності кожного диска дорівнює трьом, то розміщені на площині диски будуть мати ступінь вільності рівний ЗД.. Враховуючи, що кожен простий шарнір, число яких позначимо Ш, зменшує ступінь вільності на два, а кожен опорний стержень(опорна в'язь, число яких позначимо С0) - на одиницю, то загальнаступінь вільності (W) стержневої системи визначиться за формулою:

W=ЗД-2Ш-С0                                              . (1)

Можливі три якісно різні результати:  

1. W > 0 – система немає достатньої кількості в’язей -геометрично змінна, має рух;

2. W = 0 – система має достатнью кількость в’язей, необхідну для забезпечення геометричної незмінності і нерухомості;

1. W = 0 – система незмінна, має зайву кількость в’язей, число яких n = - W.

Для правильного застосування формули (1) потрібно розрізняти шарніри прості – з’єднують два диски, і кратні - з’єднують більше двох дисків. Число простих шарнірів Ш в кратному визначається числом з’єднаних в ньому дисків (стержнів) Д зменшеним на одиницю – Ш=2Д-1.

Співвідношення W=ЗД-2Ш-С є необхідною, але ще недостатньою умовою незмінюваності споруд. Так ферма, показана на рис. 1.13,а, геометрично змінювана, хоча ступінь вільності W=ЗД-2Ш-С = 3*13-2*18-3=0;; на рис. 1.13.,б зображена змінювана ферма, для якої W=ЗД-2Ш-С =. С =. 3*14-2*20-3=-1. Змінюваність цих ферм пояснюється тим, що праві їхні частини - шарнірні чотирикутники. Отже стержневі системи, що задовільняють умову W=ЗД-2Ш-С , можуть бути миттєво змінюваними.

Миттєво змінювана система – це система з’єднання дисків (стержнів), які допускають без деформації матеріалу безкінечно малі переміщення дисків (стержнів) в перший момент прикладення навантаження, після чого система стає незмінною. В миттєво змінюваних системах при дії довільного навантаження виникають безкінечно великі зусилля або невизначеної величини.

Розглянемо систему з двох стержнів (рис. 1.14), що лежать на одній прямій і з'єднують  вузол С з двома нерухомими точками А и В. 

Якщо роз'єднати стержні АС і ВC у точці C, то кінець C стержня АС переміститься по колу m - m, а кінець C стержня ВC - по колу n - n. Ці кола в точці C мають загальну дотичну. Отже, якщо точка C одного зі стержнів одержить досить мале переміщення по перпендикуляру до АВ, то інший стержень не зможе перешкодити цьому переміщенню. Таким чином, розглянута система є геометрично змінюваною, тому що її форма може мінятися при незмінній довжині стержнів, тобто при відсутності деформацій її елементів.

Система з двома стержнями, що лежать на одній прямій (див. рис. 1.14), надалі будемо називати миттєво змінною тому, що вона в наступну мить після малого переміщення точки C по перпендикулярі до прямої АВ перетворюється в незмінну систему.

Інша картина виходить, якщо стержні АС і ВС не лежать на одній прямій (рис. 1.15); у цьому випадку кола m–m і n–n не мають загальної дотичної, а тому навіть досить мале переміщення вузла C неможливо без деформації стержнів. Таким чином, всякий новий вузол, що додається в процесі утворення геометрично незмінної системи, може бути приєднаний за допомогою двох стержнів, осі яких не повинні лежати на одній прямій.

Отже, системи, отримані із шарнірного трикутника шляхом послідовного приєднання вузлів, причому кожного двома стержнями, що не лежать на одній прямій, геометрично незмінні, тобто геометрична структура їх незмінна. Такі системи (або ферми) називають найпростішими, на відміну від складних, які утворюються, зазвичай, в результаті видозміни найпростіших.  

Перейдемо тепер до питання про приєднання геометрично незмінної системи до землі за допомогою опор.

Найчастіше споруда (диск) опирається на дві шарнірні опори, одна з яких нерухома, інша рухома (рис. 1.16, а). Такий зв'язок споруди з землею забезпечує йому геометричну незмінюваність. Не обов'язково, щоб два з трьох опорних стержнів з”єднувалися одним загальним шарніром; стержні геометрично незмінної системи можуть і не мати загальних шарнірів (рис. 1.16,б).

Якщо всі опорні стержні розміщенні так, що їхні напрямки перетинаються в одній точці О (рис. 1.17, а), то ця точка є миттєвим центром, навколо якого система може робити безкінечно мале обертальне переміщення. Після такого переміщення всі опорні стержні вже не будуть перетинатися в одній точці і тому подальші переміщення будуть неможливі без деформації стержнів. Система, прикріплена до землі подібним чином, має миттєву змінність; тому таке розташування стержнів неприпустимо. Таким чином, прикріплення системи до землі за допомогою трьох стержнів можливо лише в тому випадку, коли осі цих стержнів не перетинаються в одній точці і не паралельні один одному.

Поширюючи це положення на випадок взаємного з'єднання двох будь-яких геометрично незмінних систем (дисків), можна сформулювати наступне правило: два диски утворять геометрично незмінну систему, якщо вони зв'язані між собою за допомогою трьох стержнів, осі яких не перетинаються в одній точці і не паралельні між собою (спосіб Шухова).

Якщо в точці перетинання напрямків будь-яких двох з цих трьох стержнів поставити шарнір і з'єднати його з диском, то система не стане геометрично змінною, але це дасть можливість розглядати її як систему, що складається з двох дисків І і ІІ, зв'язаних один з одним одним загальним шарніром А і стержнем В (рис. 1.17,б). Отже, до диска можна геометрично незмінно приєднати інший диск за допомогою загального для обох дисків шарніра і стержня, напрямок якого не повинен проходити через цей шарнір (спосіб Полонсо).

Зчленування трьох дисків в одну загальну геометрично незмінну систему можна здійснити, з'єднавши їх у трикутник за допомогою трьох шарнірів, не розташованих на одній прямій (рис. 1.18), або за допомогою шести стержнів, як це показано на рис. 1.19 тому, що кожний шарнір може бути замінений двома стержнями, що перетинаються в його центрі. 

Система, зображена на рис. 1.20, миттєво змінювана тому, що точки перетину осей стержнів, що зв'язують кожну пару дисків, лежать на одній прямій.

Отже, три диски, з'єднані за допомогою шести стержнів так, що між кожною парою дисків установлено по два стержні, точки перетину яких не лежать на одній прямій, утворюють нову  геометрично незмінну систему.

Загальний висновок незмінності стержневих систем: якщо система може бути зведена до шарнірного трикутника, то вона геометрично незмінна

Порядок проведення кінематичного аналізу споруд:

- вибір розрахункової схеми споруди;

         -визначення числа ступенів вільності системи;

- виділення незмінних частин споруди – дисків;

-.проведення аналізу з’єднань дисків між собою.

 


Тема 2. Розрахунок балок та простих рам на нерухоме навантаження
 

2.1. Загальні положення визначення внутрішніх зусиль в балках

Внаслідок дії зовнішніх навантажень в перерізах елементів конструкцій виникають згинальні та повздовжні деформації  і деформації зсуву. Кожній  з деформацій відповідають внутрішні зусилля - згинальні моменти М, повздовжні і поперечні сили - N і Q. У курсі будівельної механіки використовуються ті ж способи визначення внутрішніх зусиль, що виникають у поперечних перерізах однопролітних статично визначних балок і побудова епюр цих зусиль від дії на балку нерухомого навантаження, що і в опорі матеріалів.

При визначенні значень внутрішніх зусиль у балках будемо користуватися сформульованими нижче правилами.

Поперечна сила Q додатня, якщо вона на лівому торці правої частини балки вона направлена знизу вверх, а на правому торці лівої частини - зверху вниз, або додатня поперечна сила обертає залишену частину балки по годинниковій стрілці.

Згинальний момент М додатній, якщо він на лівому торці правої частини балки направлений по годинниковій стрілці, а на правому торці лівої частини — проти годинникової стрілки.

Рис. 2.1

Рис. 2.2

При навантаженнях, направлених не перпендикулярно до осі балки у поперечних перерізах її виникають, крім поперечних сил і згинальних моментів, також і поздовжні сили N.

Поздовжня сила N додатня, коли вона викликає розтягання, і від’ємна, коли вона викликає стискання.

На рис. 2.1 показані додатні напрямки поперечної сили, поздовжньої сили і згинаючого моменту в поперечному перерізі балки. З малюнка видно, що при додатньому згинальному моменті верхні волокна балки зазнають стиску (скорочення), а нижні — розтягання (подовження); додатня поперечна сила обертає кожну частину балки щодо іншого її кінця за годинниковою стрілкою.

При побудові епюр поперечних і поздовжніх сил додатні значення ординат відкладають угору від осі епюри, а від’ємні - вниз; при цьому необхідно вказувати на окремих ділянках епюр знаки внутрішніх зусиль. При побудові ж епюри згинальних  моментів додатні значення їх відкладають вниз від осі епюри, від’ємні — вгору; у результаті цього епюри згинальних моментів розташовані з боку розтягнутих волокон балки (у курсах опору матеріалів епюри згинальних моментів будують з боку стиснутих волокон).

Знак поперечної сили можна визначити за допомогою епюри згинальних моментів, використовуючи слідуюче правило: поперечна сила в даному перерізі додатня, якщо для суміщення осі елемента з дотичною до епюри згинальних моментів доводиться вісь елемента обертати за годинниковою стрілкою. Обертання осі повинне відбуватися завжди так, щоб кут повороту не був більшим за 90° (рис.2.2).

2.2. Порядок та методи розрахунку балок

Першим етапом розрахунку конструкції є визначення реакцій опор. Статично визначні конструкції приєднані до основи за допомогою 3-х стержнів. Можна записати систему 3-х рівнянь статики з яких і визначимо шукані реакції:

                             (2.1)

На споруду можуть діяти слідуючі види навантажень:

- зосереджена сила (Н, кН, МН );

- рівномірно розподілене навантаження (Н/м, кН/м, МН/м );

- зосереджений момент (Н*м, кН*м, МН*м );

Визначення внутрішніх зусиль виконується за допомогою методу січень та методу заміни в’язів. Згідно з цими методами:

Поперечна сила дорівнює Q (за величиною та знаком) сумі проекцій усіх зовнішніх сил, прикладених до лівої частини балки, на перпендикуляр до її осі, проведену в розглянутому поперечному перерізі, або сумі проекцій, взятої з протилежним знаком, усіх зовнішніх сил, прикладених до правої частини балки:

                                         (2.2)

При цьому проекції зовнішніх сил на перпендикуляр до осі балки додатні, коли вони направленні знизу вверх.

Згинальний момент М дорівнює (по величині і знаку) сумі моментів відносно осі Z (що проходить через центр ваги розглянутого поперечного переріза балки перпендикулярно до площини дії зовнішніх сил) усіх зовнішніх сил, прикладених до лівої частини балки, або сумі моментів, узятої з протилежним знаком, усіх зовнішніх сил, прикладених до правої частини балки:

,                      (2.3)

 при цьому моменти зовнішніх сил додатні, коли вони діють по годинниковій стрілці.

Поздовжня сила N дорівнює (по величині і знаку) сумі проекцій усіх зовнішніх сил, прикладених до лівої частини балки, на її вісь або сумі проекцій (на ту ж вісь), взятої з протилежним знаком, усіх зовнішніх сил, прикладених до правої частини балки:

,                     (2.4)

при цьому проекції зовнішніх сил на вісь балки додатні, коли вони діють справа наліво.

При обчисленні внутрішніх зусиль бажано розглядати рівновагу тієї з відсічених частин конструкції, до якої прикладена менша кількість зусиль. На основі обчислення величин внутрішніх зусиль в низці характерних точок конструкції будуються епюриграфіки зміни внутрішніх зусиль вздовж контуру конструкції при заданому зовнішньому навантаженні.

При побудові епюр поперечних і поздовжніх сил додатні значення ординат відкладають угору від осі епюри, а від’ємні - вниз; при цьому необхідно вказувати на окремих ділянках епюр знаки внутрішніх зусиль. При побудові ж епюри згинальних  моментів додатні значення їх відкладають вниз від осі епюри, від’ємні — вгору; у результаті цього епюри згинальних моментів розташовані з боку розтягнутих волокон балки (у курсах опору матеріалів епюри згинальних моментів будують з боку стиснутих волокон).

Для побудови епюр виникає необхідність визначення внутрішніх зусиль у великий кількості перерізів конструкції. Суттєве скорочення кількості перерізів може бути одержане за рахунок дотримання таких правил:

якщо на ділянці стержня відсутнє розподілене навантаження, то епюра згинаючих моментів змінюється за лінійним законом, а поперечні і повздовжні сили постійні. Відповідно, для побудови епюр М, Q, N достатньо обчислити значення М  в двох точках ділянки – на початку і в кінці, а N і Q в будь-якій одній точці ділянки;

якщо на ділянці стержня є розподілене навантаження, то епюра згинаючих моментів змінюється за нелінійним законом (у випадку прикладення рівномірно розподіленого  навантаження q - за законом квадратної параболи), а поперечні і повздовжні сили змінюються лінійно. Відповідно, для побудови епюр М, Q, N необхідно обчислити значення М мінімум в трьох точках ділянки, a Q і N - в двох точках.

Отже, для побудови епюр необхідно визначити межі ділянок. Межами ділянок можна вважати:

місця з'єднання двох або більше стержнів;

перерізи, в яких прикладені зосереджені навантаження – сили або моменти;

- точки початку і закінчення розподілених навантажень.

2.3. Залежності між побудованими епюрами

Між епюрами М і Q і навантаженням, що діє на балку, існують визначені залежності. Ці залежності дають можливість перевіряти правильність епюр і полегшують їхню побудову. Вони вірні не тільки для балок, але і для рамних систем, а тому мають велике значення в будівельній механіці.

Основна залежність має вигляд:

Q=dM/dx                                                          (2.6)

тобто поперечна сила дорівнює першій похідній від згинального моменту по абсцисі перерізу балки (теорема Журавського).

Аналогічно між поперечною силою й інтенсивністю навантаження існує також диференціальна залежність:

Q=dQ/dx                                                             (2.7)

Враховуючи ці залежності, можна сформулювати ряд положень:

1) на ділянках, де значення моментів зменшуються  (зліва направо зі спадаючими значеннями М) відповідають ділянки з від”ємними значеннями Q, а на ділянках, де значення моментів М збільшуються— ділянки  з додатніми  значеннями Q;

2) чим крутіше дотична до епюри М, тим більше абсолютне значення Q. Числове значення поперечної сили дорівнює «тангенсу» кута між цією дотичною і віссю балки;

3) у перерізах, де поперечна сила дорівнює нулю, згинальний момент максимальний або мінімальний;

4) між зосередженими силами (якщо між ними відсутнє розподілене навантаження) епюра М обмежена прямою (у загальному випадку похилою), а епюра Q - прямою горизонтальною лінією;

5) на ділянках балки з рівномірно розподіленим навантаженням епюра М обмежена параболою другого ступеня, а епюра Q - похилою прямою;

6) при розподіленому навантаженні епюра М звернена опуклістю в ту сторону, у яку направлене це навантаження;

7) точкам прикладення зосереджених сил, перпендикулярних до осі балки, відповідають переломи в епюрі М і скачки на епюрі Q. Якщо сила направлена вниз, то й скачок на епюрі Q при переміщенні зліва направо повинний бути вниз; коли сила направлена вверх, то і скачок повинен бути вверх; величина скачка дорівнює величині сили;

8) зміна величини згинаючого моменту на якій-небудь ділянці балки дорівнює площі епюри поперечних сил на цій ділянці (за умови, що на даній ділянці до балки не прикладені зовнішні моменти);

9) зміна величини поперечної сили на якій-небудь ділянці балки дорівнює площі епюри розподіленого навантаження q на цій ділянці.

2.4. Багатопрольотні статично визначні балки

Серед статично визначних балочних систем важливе місце займають багатопрольотні шарнірно-консольні балки. Порівнюючи між собою статично визначні однопрольотні балки (рис. 2.3,а) і нерозрізну балку (рис. 2.3,6) під дією розподіленого і зосередженого навантажень, можна зробити висновок, що нерозрізна балка більш економічна. Дійсно, завдяки наявності опорних моментів найбільші значення згинальних моментів в нерозрізній балці, як правило, менші, ніж в однопрольотних. А саме моменти визначають розміри поперечних перерізів балки.   В той же час нерозрізна балка має певні недоліки. Вона є статично невизначною і тому в ній можуть виникати додаткові зусилля при неточності виготовлення, нерівномірному осіданні опор і при нерівномірному нагріванні чи охолодженні. Якщо врахування цих особливостей веде до суттєвого збільшення витрат на зведення споруди, балку роблять статично визначною. При розстановці шарнірів по прольотах необхідно виконати вимогу геометричної незмінності. З урахуванням уніфікації окремих елементів балки в більшості застосовують два основних варіанти розстановки шарнірів, показаних на рис. 2.4,а,б, хоча можливі і інші, наприклад, на рис. 2.4,в.

Рис.2.3

Рис. 2.4

Поставимо в якому-небудь перерізі нерозрізної балки шарнір. Тоді її ступінь статичної невизначеності зменшується на одиницю. Якщо при цьому шарнір помістити в перерізі з нульовим згинальним моментом, наприклад К (рис. 2.3.в), то розподіл згинальних моментів залишається таким же, як у вихідній балці.

Якщо кількість шарнірів прийняти рівною ступеню статичної невизначеності вихідної нерозрізної балки, то ступінь вільності отриманої балки буде рівна нулю. Така балка з шарнірами в прольотах є багатопрольотною статично визначною балкою (рис. 2.3.г). Інакше її називають шарнірно-консольною балкою. Відзначимо, що для статично визначної балки відпадає необхідність в задоволенні умов сумісності деформацій. Завдяки чому при постійному навантаженні з'являється можливість переміщенням шарнірів досягти навіть кращого розподілу згинальних моментів в порівнянні з нерозрізною балкою.

При проектуванні шарнірно-консольної балки необхідно вирішити питання про число шарнірів і їх розташування. Число шарнірів отримаємо з умови статичної визначеності балки. Враховуючи, що в балці кількість дисків завжди на одиницю більше числа з'єднувальних шарнірів, умову W= 0 можна записати:

W =3(Ш +1)-2Ш-С0=0, звідки

Ш = С0-3. (1.2)

Для забезпечення геометричної незмінності розташування шарнірів повинно задовольняти наступним вимогам:

в кожному прольоті не може бути більше двох шарнірів;

в суміжних прольотах не може знаходитись по два шарніри;

прольоти без шарнірів не можуть знаходитись поряд;

в крайньому прольоті при крайній шарнірній опорі не може бути більше одного шарніра;

в крайньому прольоті при крайній защемлюючий нерухомій опорі повинен бути хоча б один шарнір.

Як правило, віддаль від шарніра до найближчої опори приймається в межах від 1/7 до 1/4 величини прольоту по умові раціонального розподілу згинальних моментів.

Шарніри ділять багатопрольотну балку на окремі елементи. Серед них виділяють основні і другорядні. Основними називають ті елементи, які залишаються геометричне незмінними при видаленні суміжних елементів. Решту елементів називають другорядними

2.5. Розрахунок шарнірно-консольної балки

Для розрахунку шарнірно-консольної балки будують схему взаємодії елементів - поверхову схему балки, умовно заміняючи шарніри шарнірно-нерухомими опорами (рис. 2.5.б).

Рис.2.5

Така заміна не змінює кінематичну схему споруди, так як і шарнір і шарнірно-нерухома опора мають дві в'язі. Для побудови поверхової схеми послідовно, наприклад зліва направо, зображають окремі елементи, розташовуючи черговий елемент вище, якщо попередній елемент геометричне незмінний, і нижче, якщо попередній елемент змінний.

На поверховій схемі кожен елемент являє собою однопроліьотну балку, сприймаючу прикладене навантаження і тиск від вище лежачих елементів. Тиск рівний реакції у відповідній умовній опорі вище лежачого елемента і зворотній за напрямком.

Розпочавши з верхнього елемента і, рухаючись зверху вниз по поверховій схемі, можна послідовно розрахувати всі елементи (рис. 2.5,в), і побудувати результуючі епюри Мі Q, (рис. 2.5,г).

Відзначимо, що елемент 2 - Шг) в зображенні на поверховій схемі (рис. 2.5,б) має дві шарнірно-нерухомі опори. Але по суті одна з цих опор має можливість переміщатись разом з з'єднаними

елементами по горизонталі. Крім того горизонтальні в'язі грають роль тільки при визначенні поздовжніх сил, а цей розрахунок може бути виконаний без розтину балки на елементи. Аналогічно пояснюється уявна відсутність горизонтальної в'язі в елементі Щг-Д.

2.6. Статично визначні рами

Рами відносяться до несучих систем в елементах яких під дією прикладеного навантаження виникають три види внутрішніх зусиль (М, Q, N), що спричинене наявністю жорсткого з'єднання елементів у вузлах.

В основу класифікації статично визначних рамних систем покладено характер з'єднання окремих елементів в їх конструкціях, а також способи приєднання рам до основи. З цієї точки зору розрахункові схеми рам класифікуються трьома типами:

консольні рами або ламані стержні;

балочні рами;

тришарнірні рами і такі, що приводяться до них.

Перед побудовою епюр внутрішніх зусиль в рамах необхідно знаходити опорні реакції (крім рам першого типу). Ординати епюри М відкладаються на стороні розтягнутого волокна і знаки їм не присвоюються. На епюрах Q і N знаки ординат ставити обов'язково. Побудова епюри згинальних моментів на стороні розтягнутого волокна обумовлена здатністю основних будівельних матеріалів добре опиратись стиску і погано розтягу.

Кожна розрахункова схема має певні особливості визначення опорних реакцій. Поряд з цим різні типи рам можуть об'єднуватись в одній споруді, утворюючи складну раму. Розрахунок складних рам потребує попереднього вивчення кожного типу простих рам, зокрема і правильної уяви про їх взаємодію в загальній системі.

Консольні рами характеризуються наявністю тільки одного опорного пристрою - жорсткого защемлення. Враховуючи, що для будь-якого перерізу консольної рами величини згинального моменту, поперечної і поздовжньої сил можуть бути визначеними з умов рівноваги відрізаної від заданої рами частини, яка являє собою вільну від опорного закріплення консоль, попереднє визначення опорних реакцій не обов'язкове.

Напружено - деформований стан балочних рамних систем в загальному випадку більш складний в порівнянні з балочними. В рамних системах під дією навантаження виникає і третій вид внутрішніх зусиль - поздовжні сили (N). Якщо опорні реакції визначені, то кожна з епюр для статично визначної системи може бути побудованою незалежно від іншої. Вище вказувалось на деякі моменти стосовно побудови епюри М. При побудові епюр в рамах бажано починати саме з цієї епюри. Враховуючи диференційну залежність між згинальними моментами і поперечними силами, епюра Q може бути побудована на основі епюри М. Розгляд вузлів під дією поперечних і поздовжніх сил дозволяє з рівнянь рівноваги визначити ординати епюри N на основі епюри Q.

2.7. Особливості розрахунку складених рамних систем

Несучою системою споруди можуть об'єднуватись статично визначні рами різних типів, утворюючи конструкцію спільної розрахункової схеми. Прикладом такої розрахункової схеми може бути рама показана на (рис. 2.6.а).

Рис.2.6

Дану раму можна розглядати як складену систему, ліва частина якої (ADC) є основною, а права частина (СЕВ) - підвісною (другорядною). На основну раму (рис. 2.6.б) поряд з розподіленим навантаженням будуть діяти зосереджені сили Нс і VС прикладені в перерізі   С.  Ці  сили  є  горизонтальною  і  вертикальною  реакціями підвісної частини (рис. 2.6.в).

По   аналогії   з   шарнірно-консольними   балками   розрахунок складених рам повинен починатись з другорядної рами.


Тема 3. Прості
плоскі ферми

3.1. Поняття про ферму та особливості її роботи

Фермою називається стержнева система, що залишається геометрично незмінною після умовної заміни її жорстких вузлів шарнірними. Ферми мають призначення, по суті, таке ж, як і балки суцільного перерізу, але застосовуються для перекриття значних прольотів, коли проектування суцільних балок (наприклад, двотаврових) внаслідок неповного використання матеріалу стінки, напруження в якій менше ніж в полицях, і можливості її випучування (у зв'язку із значною висотою стінки) стає економічно невигідним. В таких випадках суцільну балку замінюють стержньовою системою — фермою, елементи якої (стержні) при дії зосереджених навантажень, прикладених у вузлах, працюють головним чином на центральний стиск або розтяг. Це дає можливість значно краще використовувати матеріал ферми, оскільки епюри нормальних напружень в поперечних перерізах кожного з її стержнів практично мають вигляд прямокутників. Тому ферма легше за балку з суцільною стіною, що має однакові з нею проліт і висоту.

Рис. 3.1

Окрім плоских ферм, в яких осі всіх стержнів розташовані в одній площині, застосовуються просторові ферми, осі елементів яких не лежать в одній площині. Розрахунок просторової ферми у багатьох випадках вдається звести до розрахунку декількох плоских ферм. Відстань між осями опор ферми називається прольотом; стержні, розташовані по зовнішньому обрису ферми, називаються поясними і утворюють пояси; стержні, що з’єднують пояси, утворюють градку ферми і називаються: вертикальні — стійками, похилі — розкосами. Відстань між сусідніми вузлами будь-якого пояса ферми (що звичайно вимірюється по горизонталі) називається панеллю.

     Рис. 3.2

3.2. Класифікація ферм

Класифікацію ферм можна провести за наступними п'ятьма ознаками: 1) за характером окреслення зовнішнього контура; 2) за типом решітки; 3) за типом опирания ферми; 4) за призначенням ферми; 5) за рівнем їзди.

За характером контуру розрізняють ферми з паралельними поясами (рис. 3.2, а), з ламаним або так званим полігональним розміщенням поясів (рис. 3.2,б ) і з трикутним обрисом верхнього поясу (рис. 3.2,в ).

За типом решітки ферми діляться на: ферми з трикутними решітками, ферми з розкiсною  решіткою, ферми з напіврозкісною решіткою , ферми з ромбічними решітками, дворешітчаті ферми, багаторешітчаті ферми.

    

Рис.3.3

За типом опирання ферми можуть бути: закріпленими в обох кінців — балочними або арочними, консольними — закріпленими з одного кінця, балочно-консольними (рис.3.4).

Залежно від призначення розрізняють ферми кроквяні, кранові, баштові, мостові та ін. (рис. 3.5).

Мостові ферми залежно від рівня їзди діляться на ферми з їздою низом ферми, з їздою зверху і ферми з їздою посередині (рис. 3.6)

Рис.3.4

Рис.3.5

 Рис. 3.6

3.3.Визначення зусиль в стержнях ферм

Розрахункова схема ферми є шарнірно-стержневою. Незважаючи на те, що в реальній фермі усі елементи з’єднані за допомогою жорстких з’єднань (зварювання, болтові з’єднання, з’єднання за допомогою клепок), зусилля в елементах реальної ферми, як показали досліди, майже не відрізняються від зусиль, знайдених в шарнірно-стержневій системі. Це дозволяє значно скоротити час при розрахунку , отримавши достатньо точний результат.

Ферми, утворені з шарнірного трикутника шляхом послідовного приєднання вузлів (причому кожного за допомогою двох стержнів, що не лежать на одній прямій), називаються найпростішими. Такі ферми геометрично незмінні і статично визначені. Для визначення внутрішніх зусиль слід виділяти перетинами вузли або окремі частини ферми і розглядати умови їх рівноваги під дією зовнішніх навантажень і зусиль в розрізаних стержнях. Всього можна скласти 2К-3 таких умов (тобто незалежних один від одного рівнянь).

а)

б)

Рис 3.7

Виділення вузлів або частин ферми необхідно виконувати так, щоб зусилля в елементах ферми визначалися найбільш просто, по можливості без сумісного розв'язання системи рівнянь з багатьма невідомими. Це дозволяє не тільки значно спростити розрахунок, але і отримати більш точні результати.

Нижче викладаються способи розрахунку, що дозволяють визначити внутрішнє зусилля в кожному з елементів ферми, як правило, за допомогою одного рівняння з одним невідомим.

Спосіб моментної точки застосовується головним чином в тих випадках, коли вдається розітнути ферму на дві частини так, щоб при цьому перерізаними виявилося три її стержні, напрями осей яких не перетинаються в одній точці (див., наприклад, перетин 1—1 на рис. 3.7, а). Напрями осей трьох таких перерізаних стержнів перетинаються попарно в трьох точках, що не лежать на одній прямій (рис. 3.7,б).

Складаючи послідовно рівняння моментів всіх сил (зовнішніх і внутрішніх), діючих на відсічену частину ферми, щодо цих трьох точок, будемо кожного разу одержувати рівняння з одним невідомим, що є зусиллям в розітнутому стержні, що не проходить через дану точку перетину стержнів.

Таким чином, для визначення зусилля в якому-небудь стержні необхідно розрізати ферму так, щоб в розріз, окрім даного стержня, потрапили ще два інших (осі яких не сходяться з ним в загальній точці), після чого з рівняння моментів щодо точки перетину осей цих двох стержнів можна легко визначити зусилля в даному стержні.

Способом моментної точки зручно користуватися при розрахунку ферм, коли можна провести розріз, що перетинає, окрім даного стержня (зусилля в якому визначається), будь-яке число стержнів, що сходяться в одній загальній точці, яка не лежить на напрямі осі даного стержня.

Спосіб моментної точки зручний також і у випадках, коли розріз перетинає більше трьох стержнів, що не сходяться в одній точці, якщо зусилля у всіх стержнях, окрім трьох, вже відомі.

Спосіб моментної точки можна застосоувати і для розрахунку таких ферм, в яких можливо провести розрізи, що перетинають будь-яке число стержнів зверх трьох, якщо при цьому кожний додатковий стержень перетинається двічі.

Спосіб проекцій застосовується головним чином в наступних двох варіантах:

- розглядається рівновага частини ферми (як і при способі моментної точки), коли два з трьох розітнутих стержнів паралелі один одному (рис. 3.8);

- розглядається рівновага вузлів, що виділяються з ферми -спосіб вирізання вузлів (рис 3.9).

  

Рис. 3.8

Рис. 3.9

Графічний спосіб полягає у побудові діаграми Максвела—Кремони. Цей спосіб по суті є графічною інтерпретацією способу вирізування вузлів. Звідси — та ж область застосування і ті ж недоліки. Неточність цього способу у багатьох випадках компенсується відносною простотою і порівняно малими витратами часу при визначенні зусиль.


Тема 4. Розрахунок трьохшарнірних систем

4.1. Види трьохшарнірних систем

Трьохшарнірна система складається з двох дисків (/ і //), з’єднаних за допомогою одного шарніра один з одним (шарнір С на рис. 4.1) і двома шарнірами із землею (шарніри А і В). Земля може розглядатися як третій диск і тому трьохшарнірна система є з'єднанням трьох дисків за допомогою трьох шарнірів, не розташованих на одній прямій. Таке з'єднання, як відомо, є геометрично незмінним .

Рис 4.1

Якщо диски / і // (рис. 4.2) є стержнями з криволінійною віссю (а), то трьохшарнірна система називається трьохшарнірною аркою; якщо дисками / і // є прямолінійні (б) або ламані (в) стержні, то система називається трьохшарнірною рамою; у випадку, коли диски / і // виявилися наскрізними конструкціями (фермами), система називається трьохшарнірною арочною фермою(г).Відстань І між центрами опорних шарнірів трьохшарнірної арки називається прольотом, а відстань f  від середнього шарніра до прямої, що з’єднує опорні шарніри, — стрілою підйому арки

Трьохшарнірна система може бути симетричною і несиметричною щодо вертикальної осі. В симетричній системі середній шарнір С розміщений на осі симетрії, а опорні шарніри А і В — на одному рівні.

Опори А і В в несиметричній системі можуть бути розміщені на різних рівнях (рис. 4.3).

Рис 4.2

Рис 4.3

У трьохшарнірних арках і рамах одна з шарнірно нерухомих опор може бути замінена шарнірно рухомою з вертикальним опорним стержнем. У цьому випадку для забезпечення геометричної незмінності вводиться затяжка, яка і сприймає розпір.

4.2. Визначення опорних реакцій трьохшарнірної арки

 

Реакції Ra і Rb опор трьохшарнірної системи характеризуються кожна двома параметрами — величиною і напрямом (або, наприклад, величинами горизонтальної і вертикальної складових Н і V); отже, опорні реакції  трьохшарнірної  системи характеризуються чотирма параметрами, наприклад, величинами сил HA, HB, VA, VB . Вони можуть бути визначені з трьох рівнянь рівноваги всіх сил, діючих на систему (включаючи і опорні реакції), і четвертого рівняння,

Рис 4.4

що виражає рівність нулю моменту всіх сил, діючих на ліву або праву частину системи, відносно шарніра С. Отже, трьохшарнірна система є статично визначною.

Вертикальні складові опорних реакцій VА і VВ визначають з рівнянь моментів відносно опор :

          

де ai — плече сили Pi відносно точки А.

Правильність визначення VА і VB перевіряють, склавши рівняння ΣY=0. З рівняння ΣХ=0 стає відомим, що НА=Нв=H. Значення розпору аналітично визначають з рівняння ΣMcлів =0, або ΣMcправ =0:

оскільки 

то

                                                               

При дії на трьохшарнірну систему вертикального навантаження горизонтальні складові НА і НВ реакцій опор А і В, так звані розпором, не рівні нулю; у зв'язку з цим трьохшарнірні системи відносять до розпірних.

4.3. Визначення внутрішніх зусиль

Внутрішніми зусиллями, що виникають в поперечних перерізах арки, є згинаючі моменти М, поперечні сили Q і подовжні сили N. Їх визначають при навантаженнях, які діють на арку ліворуч або праворуч даного перерізу.При визначенні внутрішніх зусиль і побудові епюр цих зусиль використовують правила знаків (за винятком знака поздовжньої сили, яка в арках вважається додатньою при стиску) приведені для балок.При розрахунку арок у виразах доцільно позначити вісь, співпадаючу з дотичної до осі арки в даному перерізі u (замість х в балок), перпендикулярну до неї v (замість y), а проекції сил на ці осі відповідно U і V.

З урахуванням висловленого виразу для арок рівняння рівноваги приймають вигляд:

 

В цих виразах, що входять під знаки сум моменти зовнішніх сил додатні при обертанні за годинниковою стрілкою, проекції V — коли направлені знизу вгору, а проекції U — коли направлені зліва направо.

Визначимо за допомогою виразів внутрішні зусилля в поперечному перерізі k арки, показаної на рис. 4.5, де х і y — координати точки k осі арки; — кут між дотичної до осі арки в точці k і горизонталлю; Ру та Рx відповідно вертикальна і горизонтальна проекції сили Р; хр і уp — координати точки прикладення сили Р.

Рис 4.5

В отримані вирази Q, М і N під знаки сум входять проекції Ру і Рx всіх сил Р, прикладених до арки зліва перерізу k. Для перерізу k , показаного на рис. 4.5, під знак кожної

Рис.4.6

суми входить лише одна проекція Рy, або Px. Аналогічним шляхом зусилля Q, М і N можуть бути виражені і як проекція правих сил.

При дії на арку тільки вертикального навантаження (рис.4.6,а) горизонтальні проекції Рx; рівні нулю, проекції Рy рівні Р, а розпір НA = HB= Н; тому вирази приймають спрощений вигляд:

      

          

NX=.

У трьохшарнірній арці із затяжкою Va=V0a, Vb=V0b; зусилля в затяжці визначають з рівняння

ΣMcлів=0

Згинаючий момент М, поперечна Q і подовжня N сили в будь-якому перерізі трьохшарнірної арки із затяжкою будуть рівні:

а) для ділянок нижче затяжки

        

б) для ділянок вище затяжки

Як видно з наведених вище формул  в арці,  порівняно з балкою істотно зменшується згинальний момент і поперечна сила, що є результатом впливу розпору. Наявність в арках розпору викликає необхідність встановлення масивних опор або затяжок, здатних сприймати великі горизонті зусилля.

Раціональним контуром осі арки називається такий, при якому крива тиску від заданого нерухомого навантаження співпадає з віссю арки; отже, при цьому навантаженні у всіх перерізах арки згинаючий момент рівний нулю. Якщо ординати y і η осі арки і кривої тиску визначаються відповідно рівняннями

y=f(x)    та   =(x),

то умовою того, що вісь арки має раціональний контур, є тотожність:                           y= 

При дії на арку тільки вертикального навантаження

Рис 4.7

чисельник останньої формули рівний згинаючому моменту в простій балці в перетині з абсцисою х, тобто, а тому

Використовуючи співвідношення y=, одержуємо наступне рівняння раціональної осі арки:

Отже, при вертикальному навантаженні вісь арки буде раціональною, якщо її контур міняється за законом зміни балочного моменту.


Тема 5. Розрахунок  балок  на рухоме навантаження
 

5.1. Загальні положення розрахунку конструкцій на рухоме навантаженняю

Рухоме навантаження зустрічається при розрахунку мостів, шляхопроводів, кранів та інших інженерних споруд.

Дослідження дії на споруду рухомого навантаження почнемо з розгляду найбільш простого випадку, коли по споруді рухається тільки один вертикальний вантаж Р, який дорівнює одиниці. Досліджуємо, як змінюється той або інший фактор (наприклад, опорна реакція, згинальний момент у визначеному перерізі балки, прогин балки в даній точці і т.і.) при переміщенні вантажу Р=1 по споруді. Встановлений при цьому закон зміни досліджуваного фактора, залежно від положення вантажу, що переміщається, Р==1 будемо зображувати графічно

Графік, що зображує закон зміни якого-небудь фактора (наприклад, згинального моменту в перерізі) при переміщенні по споруді сили Р=1, називається лінією впливу цього фактора.

5.2. Лінії впливу опорних реакцій балок

Нехай по простій балці АВ (рис. 5.2,а) переміщується вантаж P=1. Позначимо відстань від правої опори до вантажу через х. Ця відстань при переміщенні вантажу буде мінятися в межах від нуля, коли вантаж перебуває над правою опорою, до l, коли вантаж стане над лівою опорою.

Визначимо величину опорної реакції RA  залежно від відстані х, Для цього візьмемо суму моментів усіх сил щодо правої опори:

ΣMB=RAl-Pх=0,

так як Р=1, то

RA=1×х/l=х/l.

Цим рівнянням установлюється закон зміни величини реакції RA. залежно від положення вантажу Р=1.

Зобразивши цей закон графічно, ми одержимо лінію впливу опорної реакції RA. Оскільки змінна х входить у рівняння в першому ступені, то лінія впливу буде прямолінійною:

при х = 0       RA == 0;

при х = I       RA == l/l = 1-

Ординати х/1 лінії впливу опорної реакції — величини абстрактні, тому що розмірності х і l однакові.

Приступаючи до побудови лінії впливу RA (рис. 5.2,6), треба задатися яким-небудь масштабом. Наприклад, якщо прийняти масштаб 1 см = 1 (одиниці), те на лівій опорі (там, де RA=1) треба відкласти 1 см.

Ордината лінії впливу реакції RA виміряна на відстані х від правої опори, дорівнює х/1. Ця ордината чисельно дорівнює величині опорної реакції RA у той момент, коли вантаж Р=1 знаходиться на відстані х від правої опори. Або, інакше: ордината лінії впливу реакції RA дає.величину реакції RA у той. момент, коли рухомий вантаж Р=1 розташований над даною ординатою. Для того щоб знайти за допомогою лінії впливу величину реакції RA при заданому положенні вантажу Р=1, треба вимірити під цим вантажем ординату лінії впливу (у прийнятому масштабі).

Якщо на балку діє вантаж величиною Р1, то для обчислення опорної реакції RA від цього вантажу треба ординату лінії впливу, виміряної під вантажем (що дає величину реакції, RA від вантажу Р=1), помножити на величину вантажу P1. У випадку, коли на балку діє кілька зосереджених вертикальних сил (вантажів), слід знайти величини опорних реакцій RA окремо від кожної сили (множенням ординати під силою на величину цієї сили), а потім підсумовуванням реакцій від окремих сил одержати повну реакцію від заданої системи зосереджених сил.

Лінія впливу опорної реакції RВ  будуємо аналогічно (рис. 5.2,в).

5.3.Лінії впливу внутрішніх зусиль для балок

Розглянемо способи побудови ліній впливу згинальних моментів і поперечних сил для простої балки.

Почнемо з побудови лінії впливу згинального моменту для перерізу І, що знаходиться на відстанях а від лівої опори і b від правої (рис.5.3,а).

Згинальний момент, що діє в перерізі, дорівнює алгебраїчній сумі моментів зовнішніх лівих сил щодо центра ваги даного переріза або ж сумі моментів правих сил, взятої з протилежним знаком.

Поки вантаж знаходиться правіше перерізу І, тобто поки х < b, лівіше перерізу І існує тільки реакція RA і момент у перерізі І дорівнює

M1 = RA а;

Отже, лінія впливу М1 може бути отримана з лінії впливу RA шляхом множення ординат останньої на а.

 

Рис. 5.3

Підставивши значення реакції RA, одержимо

М1 =ха/l.

Побудуємо графік останнього рівняння. Для цього обчислимо два значення М1:

при х = 0       М1 = 0;

при х = b       М1 == аЬ/1.

За цими даними будуємо пряму, що називається правою прямою лінії впливу М1 (рис. 5.3,в); її ординати дають значення згинального моменту в перерізі І, коли вантаж Р = 1 розташований праворуч від цього переріза, тобто при х < b.

Коли вантаж розташований ліворуч перерізу І (рис. 5.3,6), тобто при х  b, для визначення згинального моменту в перерізі зручніше розглядати праву частину балки.

Тоді М1 = +RBb (момент реакції RB щодо перерізу I, що діє проти годинникової стрілки, є від’ємним, але викликає додатній згинальний момент, тому що розглядається права частина балки).

Підставивши у вираз для М1 значення реакції RB, одержимо

М1=[(1-х)/1]b.

Для побудови графіка цього рівняння обчислимо два значення М1 :

при х == b        М1 == [(l — b)/l]b = аb/l;

' при х = l          М1 = [(l — l)/l]b = 0.

По цим даним будуємо пряму, що називається  лівою прямою лінії впливу М1 (рис. 5.3,г); її ординати дають значення згинального моменту в перерізі І, коли вантаж Р=1 розташований ліворуч від цього перерізу, тобто коли х міняється в межах від b до l.

Якщо тепер обидві частини лінії впливу (рис. 5.3,у, г) з'єднати (рис. 5.3, д), то обидві прямі (праву і ліва), що обмежують лінію впливу, перетнуться під перерізом I.

Якщо продовжити прямі, що обмежують лінію впливу М1 , до вертикалей, проведених через опори А и В, то ці прямі на опорах відітнуть наступні ординати: на лівій опорі – ординату а, на правій— ординату b (рис. 5.3,д). Це можна довести підстановкою в рівняння М1 для правої частини балки значення х =l, а для лівої частини — значення х = 0. Тому практично лінію впливу М1 часто будують у такий спосіб:

- на лівій опорній вертикалі відкладають вверх ординату, рівну в прийнятому масштабі відстані від перерізу І до лівої опори, і проводять пряму через вершину цієї ординати і нульову точку на правій опорі;

- на правій опорній вертикалі відкладають вверх ординату, рівну відстані від перерізу І до правої опори, і проводять пряму через вершину цієї ординати і нульову точку на лівій опорі. Проведені в такий спосіб дві прямі перетинаються під перерізом І.

Можна рекомендувати і наступний прийом побудови лінії впливу М1:спочатку побудувати одну з прямих, наприклад праву, а потім для побудови лівої прямої з'єднати нульову точку лівої опори з точкою правої прямої, розташованою під перерізом І.

Ординати лінії впливу згинального моменту мають розмірність довжини; це видно, наприклад, з того, що на лівій опорі відкладається ордината, рівна довжині а. Тому масштаб для ординат лінії впливу згинального моменту можна брати той же, що і для довжини балки.

Ордината лінії впливу М1 дає величину згинального моменту в перерізі І, коли вантаж Р=1 розташований над даною ординатою. Отже, щоб одержати величину згинального моменту в перерізі I при заданому положенні вантажу. Р = 1, треба виміряти ординату лінії впливу М1 під, вантажем.

Побудуємо тепер лінію впливу згинального моменту МІІ, що виникає в перерізі ІІ, узятому на консолі, на відстані с від лівого кінця балки (див. рис. 5.4,а). Розглянемо два положення вантажу Р = 1.

1.Вантаж праворуч перерізу ІІ (див. рис. 5.4,а). У цьому випадку ліворуч перерізу ІІ ніяких сил нема, а тому згинальний момент МІІ дорівнює нулю. Відповідна частина лінії впливу зображена на рис. 5.4прямій, що збігається з віссю абсцис (на ділянці від перерізу ІІ до опори В ординати дорівнюють нулю).

2. Вантаж ліворуч перерізу ІІ (рис. 5.4,6). У цьому випадку ліворуч від перерізу ІІ існує усього лише одна сила Р = 1, а тому згинальний момент

MII=-1. х1,

де х1 відстань від вантажу до перерізу ІІ. Відстань х1 може мінятися від 0 (коли вантаж Р =1 розташований над перерізом ІІ) до с (коли він розташований на кінці консолі).

Для крайніх значень х1 одержимо: при х1==0   МІІ =0; при х1 =с   МІІ = —1с. Відповідна частина лінії впливу побудована на рис.5.4,д (від’ємні ординати відкладені вниз). Рис. 5.4,д в цілому представляє лінію впливу згинального моменту для переріза ІІ (при положенні вантажу в будь-якому місці балки).

Побудуємо тепер лінію впливу поперечної сили QII , що виникає в перерізі II.

1.Поки вантаж знаходиться праворуч перерізу ІІ, ліворуч від цього переріза ніяких сил немає і, отже, QII = 0. Відповідна частина лінії впливу QII (від переріза ІІ до правої опори) зображена на рис. 5.4,е прямою, що збігається з віссю абсцис.

2. Коли вантаж розташований ліворуч перерізу ІІ, поперечна сила (QII = —1, тобто при переміщенні вантажу на всьому протязі від лівого кінця балки до переріза ІІ поперечна сила постійна. Ця частина лінії впливу зображена на рис.5.4 прямій, паралельній осі абсцис (від’ємні ординати лінії впливи відкладені вниз). Рис. 5.4 в цілому являє собою лінію впливу поперечної сили для перерізу ІІ.

Як бачимо, лінії впливу М і Q для переріза, узятого в межах консолі, мають зовсім інший вид, ніж лінії впливу М і Q для перерізу, узятого між опорами.

На рис. 5.5 побудовані лінії впливу згинального моменту для декількох перерізів балок із двома консолями; переріз ІІ узятий на лівій опорі, переріз VI — на правій; на рис. 5.6 — лінії впливу поперечної сили для тих же перерізів. Біля опор узято по два перерізи: переріз IIA й VIA розташовані нескінченно близько до опор, ліворуч від них, а переріз IIB й VIB -теж нескінченно близько до опор, але праворуч від них. Вид ліній впливу для двох перерізів в однієї і тієї ж опори (ліворуч і праворуч від неї) різний.

Рис. 5.6

5.4. Визначення зусиль за допомогою ліній впливу

Тепер покажемо, яким чином проводяться обчислення зусиль за допомогою ліній впливу. При цьому розглянемо дію наступних двох видів навантаження:

1) зосереджених сил;

2) рівномірно розподіленого навантаження.

Дія зосереджених сил. Для визначення якого-небудь зусилля, викликаного вантажем Р1, треба під вантажем виміряти ординату лінії впливу цього зусилля і помножити її на величину вантажу. Якщо на споруді діє декілька вантажів, то на підставі принципу незалежності дії сил те ж саме слід виконати для кожного вантажу (тобто ординату лінії впливу під кожним вантажем помножити на величину вантажу) і отримані результати додати.

Для визначення, наприклад, згинаючого моменту в перерізі / (лінія впливу М.1 побудована на рис.5.7) необхідно величину вантажу Р1 перемножити на ординату h1 лінії впливу M1 (оскільки ордината h1 від”ємна, то і добуток P1h1 буде від”ємним), величину вантажу Р2 на ординату h2, а величину вантажу Р3 на ординату Н3.

Згинаючий момент М1 від дії вантажів Р1 Р2 Р3 буде дорівнювати

.

Ординати лінії впливу M1 вимірюються в масштабі довжин. Якщо сили задані в кН, а ординати М1 в метрах, то добуток Рh, що дає величину згинаючого моменту, буде в кН*м.

Аналогічно обчислюється і поперечна сила в перерізі / (лінія впливу Q побудована на рис. 5.7,в):

де h1, h2 і h3    — ординати лінії впливу Q1 відповідно під вантажами P1, P2 і P3.

Рис. 5.7

Ординати лінії впливу поперечної сили — величини безрозмірні. Отже, добутки Рh', що дають величини поперечної сили, будуть мати таку ж розмірність, як і сила Р.

        Подібним же чином можна знайти і величини опорних реакцій за допомогою відповідних ліній впливу.

Одже, щоб обчислити який-небудь чинник (опорну реакцію, згинаючий момент, поперечну силу, зусилля в якому-небудь елементі ферми і т. д.) від декількох зосереджених сил, треба на побудованій для цього чинника лінії впливу заміряти ординати під вантажами і знайти алгебраїчну суму добутків величин вантажів на відповідні їм ординати лінії впливу.

Дія рівномірно розподіленого навантаження. Для визначення згинального моменту в перерізі І (рис.5.8) від рівномірно розподіленого навантаження  q заміним на безкінечно малій ділянці dx це навантаження зосередженою силою qdx. Тоді момент від цієї сили в перерізі І дорівнює qdxhx, де hx  - ордината лінії впливу М1 під силою, а від всього розподіленого навантаження

М1 =  qdxhx  = q hxdx;

Вираз під знаком інтеграла – це елементарна площа лінії впливу М1, а інтеграл в межах дії  рівномірно розподіленого навантаження дорівнює площі  лінії впливу М1 в цих межах, тобто

М1 = q.

Одже, для визначення величини зусилля від рівномірно розподіленого навантаження необхідно перемножити площу частини лінії впливу цього зусилля в межах дії розподіленого навантаження на його інтенсивність.

.


Тема 6. Розрахунок ферм на рухоме навантаження
 

Передача навантаження на ферму відбувається у вузлах-шарнірах; отже, тут ми маємо випадок вузлової передачі навантаження. Тому все сказане  про побудову ліній впливу при вузловій передачі навантаження на балку відноситься і до ферм.

Аналогічно способам визначення зусиль у фермах при нерухомому навантаженні  розрізняються наступні прийоми побудови ліній впливу для ферм:

1) спосіб моментної точки,

2) спосіб проекцій.

Спосіб  моментної точки. Побудуємо лінію впливу зусилля в стержні 7—9 ферми, зображеної на рис. 6.1, а. Проведемо розріз / — /, що перетинає три стержні.

Коли вантаж Р = 1 знаходиться праворуч від вузла 8 (рух вантажу відбувається по верхньому поясі ферми), зручніше розглядати рівновагу лівої відсіченої частини ферми (рис. 6.1, б), тому що на неї в цьому випадку діє менше сил, ніж на праву.

Застосовуючи для визначення зусилля U79 спосіб моментної точки, складемо рівняння суми моментів усіх сил, що діють на ліву частину ферми, відносно точки 6:

.

Звідки     

.

Таким чином, при положенні вантажу Р = 1 на правій частині ферми зусилля U79 дорівнює лівій опорній реакції RA, помноженій на постійний коефіцієнт 3d/h. Одночасно відзначаємо, що 3RAd чисельно дорівнює згинаючому моменту  в простій балці для перетину з абсцисою, рівної абсцисі моментної точки 6.

Лінія впливу зусилля U79 (коли вантаж Р = 1 розташований направо від вузла 8) являє собою лінію впливу опорної реакції RA з ординатами, помноженими на 3d/h. Тому для її побудови відкладемо на осі відліку вгору на лівій опорній вертикалі ординату, рівну 3d/h, і з'єднаємо прямою її вершину з нульовою точкою на правій опорній вертикалі; в результаті одержимо пряму а1b (рис. 6.1, г).

На побудовану в такий спосіб пряму, названу правою прямою, зносимо праві вузли ферми 8, 10, 12, 14 і 16. Заштриховуємо лінію впливу на ділянці між вузлами 8 і 16.

Рис.6.1

При вантажі Р = 1, розташованому лівіше вузла 6, зусилля в стержні 7—9 може бути знайдене з рівняння рівноваги для правої частини ферми (рис. 6.1, в):

,

звідки     

,

тобто зусилля в стержні 7—9 дорівнює правій опорній реакції RB , збільшеній в5d/h. Добуток 5d/h чисельно дорівнює згинаючому моменту  простої балки для перетину з абсцисою, рівною абсцисі моментної точки 6.

Лінія впливу U79 для вантажу, розташованого лівіше вузла 6, будується в такий спосіб: від осі відліку нагору на правій опорній вертикалі відкладається ордината, рівна 5d/h, після чого її вершина з'єднується з нульовою точкою на лівій опорній вертикалі (пряма b1а на рис. 6.1, г). Побудована в такий спосіб пряма зветься лівою прямою;на цю пряму зносяться ліві вузли ферми 1, 2, 4 і 6. Заштриховуємо лінію впливу на ділянці між вузлами 1 і 6.

Тому, що зусилля U79 визначається формулою

U79=/h

та його лінія впливу може бути отримана з лінії впливу згинаючого моменту простої балки (для перетину, що відповідає вертикалі, яка проходить через моментну точку у фермі) множенням усіх її ординат на коефіцієнт 1/h. Тому прямі ab1 і a1b1 (ліва і права), що з'єднують вершини опорних ординат з нульовими точками  на протилежних опорах, перетинаються один з одним під моментною точкою (у точці с). Передаточна пряма, що відповідає руху вантажу Р = 1 між вузлами 6 і 8 розсіченої панелі, у даному випадку збігається з продовженням правої прямої лінії впливу.

Розглянутий приклад дозволяє сформулювати порядок побудови ліній впливу зусиль для елементів балкової ферми на двох опорах способом моментної точки:

1) при побудові правої прямої варто відкласти від осі відліку на лівій опорній вертикалі (вверх або вниз, в залежності від знака) ординату a/h, де a — відстань від моментної точки до лівої опорної вертикалі, h — плече зусилля відносно моментної точки;

2) вершину опорної ординати з'єднати з нульовою точкою на правій опорній вертикалі;

3) на побудовану таким чином праву пряму знести праві вузли ферми;

4) знайти на правій прямій точку її перетину з лівою прямою, для чого моментну точку знести на праву пряму;

5) точку перетинання правої і лівої прямих з'єднати з нульовою точкою на лівій опорній вертикалі;

6) на побудовану в такий спосіб ліву пряму знести ліві вузли ферми;

7) вершини вузлових ординат розсіченої панелі з'єднати передаточною прямою.

Можна починати побудову лінії впливу і з лівої прямої. У цьому випадку на правій опорній вертикалі відкладається від осі відліку ( вверх або вниз, в залежності від знака) ордината b/h, де b — відстань від моментної точки до правої опорної вертикалі та h — плече зусилля відносно моментної точки. Потім через вершину відкладеної в такий спосіб ординати і нульову точку на лівій опорній вертикалі проводиться ліва пряма, після чого будуються права і передаточна прямі.

Спосіб проекцій. Побудуємо лінію впливу зусилля в розкосі 6—9 ферми, зображеної на рис. 6.1, а.

Коли вантаж Р = 1 розташований між вуздами 5 і 16 (рух по верхньому поясі), розглядаємо рівновагу лівої відсіченої частини ферми (рис. 6.1, б). Складемо рівняння проекцій усіх сил на вертикальну вісь:

,

звідки

.

При вантажі, розташованому між вузлами 1 і 6, розглядаємо умову рівноваги правої частини ферми (рис. 6.1, в). Спроектувавши всі сили на вертикальну вісь, одержимо

,

звідки

Формули для зусилля D69 показують, що поки вантаж розташований на правій частині ферми, лінія впливу D69 може бути отримана множенням ординат лінії впливу опорної реакції RA на постійний коефіцієнт 1/sin a; коли ж вантаж Р = 1 знаходиться в межах лівої частини ферми, зусилля D69 дорівнює опорній реакції RB помноженій на (—1/sin a).

Для побудови правої прямої відкладаємо від осі відліку нагору на лівій опорній вертикалі ординату 1/sin а і з'єднуємо її вершину з нульовою точкою правої опорної вертикалі (пряма а1b на рис. 6.1, д). На побудовану в такий спосіб праву пряму зносимо праві вузли: 8, 10, 12, 14 і 16.

Для побудови лівої прямої від осі відліку на правій опорній вертикалі відкладаємо вниз ординату 1/sin а,  вершину якої з'єднуємо з нульовою точкою лівої опорної вертикалі. На побудовану ліву пряму (пряма ab1 на рис. 6.1, д) зносимо ліві вузли: 1, 2, 4 і 6.

Передаточна пряма з'єднує вершини вузлових ординат розсіченої панелі.Помітимо, що й у цьому випадку права пряма перетинається з лівою під моментною точкою. Справді, моментна точка для зусилля D69 знаходиться в нескінченності; там же перетинаються права і ліва прямі, паралельні між собою.

Лінія впливу зусилля D69 має ділянки з додатніми і від’ємними ординатами. Отже, стержень 6—9 під час руху вантажу по фермі може бути як стиснутий, так і розтягнутий.

Побудуємо тепер лінію впливу зусилля в стійці 6—7 (рис. 6.1, a). У цьому випадку спосіб моментної точки не застосуємо, тому що доводиться розсікати ферму перерізом, в який попадають чотири стержні (переріз //—// або Ill—Ill).

Найкраще тут скористатися способом вирізання вузлів (рис. 6.1, е). Вирізувавши вузол 7, складемо для нього рівняння рівноваги у вигляді суми проекцій усіх сил на вертикальну вісь:

,

звідки


Тема 7. Розрахунок трьохшарнірних систем на рухоме навантаження

Для побудови ліній впливу опорних реакцій розмістим на трьохшарнірній арці одиничну вертикальну силу Р=1 на віддалі х від лівої опори (рис. 7.1,а) і складемо рівняння моментів всіх сил відносно опорних шарнірів:

,      ,звідки         .

, ,звідки  .

Вирази VA і VB   співпадають з виразами опорних реакцій для простої балки. Значить лінії впливу VA і VB   нічим не відрізняються від ліній впливу опорних реакцій простої балки на двох опорах, які показані на рис. 7.1,б,в.

Рис.7. 1

Розпор Н визначається з рівняння Н=Мос /f, з якого видно, що лінія впливу Н має такий же вигляд, як лінія впливу балочного моменту Мос в шарнірі С і відрізняється від нього тільки постійним множником 1/f. Вона показана на рис. 7.1,г.

Для побудови лінії впливу згинального моменту МК в даному перерізі К з координатами центра перерізу хк  і ук використовуємо формулу

.

При конкретних значеннях  по вказаній формулі легко визначаються ординати характерних точок лінії впливу згинаючого моменту МК в слідуючому порядку:

-будуємо лінію впливу  балочного моменту в перерізі К;

-будуємо лінію впливу розпору Н, перемножаючи заздалегідь значення ординат на величину ук.;

-обчислюємо ординати лінії впливу МК як різниці ординат лінії впливу  і лінії впливу Нук.

Порядок побудови лінії впливу  показаний на рис. 7.2.

При побудові лінії впливу поперечної сили QK для перерізу К арки використаємо вираз

,

де -   - поперечна сила в перерізі К простої двопролітної балки ;

         – кут між дотичною до осі арки в точці К і горизонталлю.

Згідно записаної формули виконємо побудову лінії впливу QK в слідуючому порядку:

- будуємо лінію впливу ;

- будуємо лінію впливу ;

- значення ординати лінії впливу QK отримаємо як різниця значень ординат побудованих ліній впливу.

Для побудови лінії впливу поздовжньої сили NK в даному перерізі К арки використаємо формулу

.

Використовуючи прийом графічного сумування або аналітично за формулами обчислюються ординати лінії впливу NK.

Побудова ліній впливу за допомогою нульових точок.

Вивчаючи лінії впливу внутрішніх зусиль не важко помітити, що всі вони мають нульові точки в межах прольоту для Мк і або точку, що лежить за межами прольоту для NK.

Наявність нульової точки на лінії впливу говорить про те, що зусилля в перерізі К дорівнює нулю в той момент, коли одинична сила знаходиться над цією точкою.

Рис.7.2

Якщо наперед знати положення цієї точки (положення одиничного вантажу), то побудова ліній впливу спрощується.

Визначимо положення цієї точки на лінії впливу МК.

Напрямок реакцій відомий. Для того, щоб МК =0, RA – повинна проходити через точку К , а реація RВ – через кльючовий шарнір С. Під точкою перетину F буде знаходитись нульова точка Fm лінії впливу МК  (рис. 7.2,а).


Тема 8. Загальні методи визначення переміщень

8.1.Робота зовнішніх сил

Плавне    (поступове)    прикладання    навантаження називається статичним. Визначимо роботу зовнішнього навантаження, наприклад сили Р, статично прикладеної до деякої пружної системи (рис. 8.1), матеріал якої задовільняє закону Гука. При малих деформаціях до цієї системи застосуємо принцип незалежності дії сил і, отже, переміщення окремих точок і перерізів конструкції прямо пропорційні величині тим навантаженням, що їх викликає. В загальному вигляді ця залежність може бути виражена рівністю:

                                            

де - переміщення в напрямку сили Р;

 - коефіцієн що залежить від матеріалу, схеми, розмірів споруди.

При збільшені сили Р на безкінечно малу величину dP переміщення збільшується на величину.Тоді робота цієї сили буде:

                                           

При заміні

                                          

       Інтегруючи цей вираз в границях повної зміни сили від нуля до її кінцевого значення, отримуємо:

,

       так, як                       то                      

 

Рис.8.1.

В загальному випадку напрямок сили Р може не співпадати з напрямком викликаного нею переміщення. Оскільки величина роботи визначається добутком сили на шлях, пройдений по напрямку цієї сили, то під величиною завжди необхідно розуміти проекцію дійсного (повного) переміщення точки прикладання сили на напрямок сили. Наприклад, при дії сили Р під кутом β до горизонтальної осі балки (рис. 8.1) переміщення буде вимірюватися відрізком аЬ (що є проекцією дійсного переміщення  на напрямок сили Р).

У випадку, коли до системи прикладена пара сил з моментом М (зосереджений момент), вираз роботи може бути отриманий аналогічним чином. При цьому необхідно вибрати відповідний зосередженому моменту вид переміщення - це буде кут повороту того перетину бруса, до якого прикладений момент.Тоді робота моменту, статично прикладеного до балки, дорівнює

А=М/2,

де — кут повороту (в радіанах) того перетину балки, до якого прикладений момент М.

Отже, робота зовнішньої сили при статичній дії її на споруду дорівнює половині добутку  значення цієї сили на величину відповідного їй переміщення.

 При статичній дії на споруду групи зовнішніх сил робота цих сил дорівнює півсуми добутку кожної сили на велияину відповідного її переміщення, визване дією всієї групи сил.

                          

                         

Для узагальнення отриманого висновку умовимося під терміном сила розуміти будь-яку дію, прикладену до пружної системи, тобто будь-яку групу сил, яку надалі будемо називати «узагальненою силою».

Під терміном переміщення будемо розуміти той вид переміщення, на якому «узагальнена сила» виконує роботу.

Роботу зовнішніх сил на їх переміщеннях можна визначити і через внутрішні зусилля М, Q, N, які виникають в поперечних перерізах стержнів конструкцій. Виділим із стержня двома перерізами безкінечно малий елемент довжиню dx (рис 8.2,а). До нього при дії сил, розміщених в одній площині, прикладені М, Q, N.

 

Рис. 8.2.

Ці зусилля є внутрішніми по відношенню до цілого стержня. Але для виділеного єлемента вони є зовнішніми силами і тому роботу А можна отримати як інтегральну суму робіт від зусиль  М, Q, N на відповідних деформаціях елементів  dx.

Елемент dx який знаходиться під дією тільки поздовжньої сили  N показаний на рис.8.2. При нерухомому лівому перерізі правий переріз під дією сили N переміститься вправо на величину:

                                                  

-де ЕF-жорсткість поперечного перерізу стержня при розтягу (стиску).

Тоді робота статично прикладеної поздовжньої сили N на цьому переміщенні дорівнює:

.

Аналогічно можна отримати вирази для робіт при дії:

-згинальнго моменту М:

,

де ЕІ - жорсткість поперечного перерізу стержня при згині;

-поперечної сили Q:  

,

де GF - жорсткість поперечного перерізу стержня при зсуву;

      -1,2- безрозмірний коефіцієнт для прямокутного перерізу;

      -- безрозмірний коефіцієнт для круглого перерізу.

При одночасній дії на виділений елемент М, Q, N робота кожної з цих сил на переміщеннях, визваних іншими силами, дорівнює нулю. Тому повна робота дорівнює:

.

Інтегруючи вираз dA в границях довжини кожної ділянки всіх стержнів та проводячи сумування по всіх ділянках системи одержуємо слідуючу формулу для визначення роботи зовнішніх сил:

,

або

.


8,2. Теорема про взаємність робіт

Розглянемо два стани пружної системи, що знаходиться в рівновазі. В кожному з цих станів на систему (споруду) діє деяке статичне навантаження, наприклад в 1-м стані сила Р1 а в 2-м — сила Р2 (рис. 8.3).

Переміщення системи в результаті її деформації будемо позначати mn, де перший індекс вказує на напрямок переміщення, а другий — на причину, що викликала його. Знак mn  читається таким чином: переміщення по напрямку «сили.» т, викликане «.силою» п. Переміщення mn може бути лінійним зміщенням або кутом повороту (в радіанах) — залежно від того, чи «сила» т є зосередженою силою або зосередженим моментом.

Рис 8.3.

Під «силою» п розуміється будь-яке навантаження, яке діє на споруду, наприклад, що складається з декількох зосереджених сил і моментів і якого завгодно розподіленого навантаження. В даному випадку (рис. 8.3):

        11-переміщення по напрямку сили Р1 від дії сили Р1;

        12- переміщення по напрямку сили Р1 від дії сили Р2;

        22- переміщення по напрямку сили Р2 від дії сили Р2;

         - переміщення по напрямку сили  від дії сили Р1.

Тоді можна визначити величини робіт сил Р1  і Р2 на відповідних переміщеннях:

- робота від дії сили Р1 на переміщенні 11;

- робота  від дії сили Р2 на переміщенні 22.

Роботи А11 та А22 можна виразити через внутрішні зусилля, що виникають в поперечних перетинах стержнів системи:

;

.

Розглянемо тепер випадок статичного навантаження тієї ж системи  силами P1 і P2 в наступній послідовності. Спочатку до системи прикладається статично наростаюча сила P1. Коли процес її статичного наростання закінчиться, деформація системи і внутрішні зусилля, що виникають в ній, будуть такі ж, як і в 1-м стані, зображеному на рис.8.4; зокрема, прогинання під силою P1 буде рівне А11. Робота сили P1 в процесі її наростання від

Рис. 8.4

нуля до кінцевого значення буде А11111/2. Потім на систему почне діяти також наростаюча сила Р2- в результаті цього система отримає додаткові деформації і в ній виникнуть додаткові внутрішні зусилля, рівні деформаціям і зусиллям в 2-м стані, додаткове прогинання під силою P1 буде рівне 12-в процесі наростання сили P2 від нуля до її кінцевого значення сила P1, залишаючись постійною, переміститься вниз на величину додаткового прогинання A12 і, отже, зробить додаткову роботу,

.

Тому при послідовному завантажені робота всіх сил дорівнює:

.

З іншої сторони, роботу А сил P1 і P2  можна визначити як півсуму добутків кожної з цих сил на відповідне їй повне переміщення від дії обох сил:

Прирівняємо два вирази і одержимо:

,

звідки

,

де - - робота сили- 1-го стану на переміщенні по її напрямку від дії сили  другого стану;

- робота сили  2-го стану на переміщенні по її напрямку від дії сили  першого стану.

Значить,

.

Таким чином, робота сил 1-го стану на переміщеннях по їх напрямках, викликаних силами 2-го стану, дорівнює роботі сил 2-го стану на переміщеннях по їх напрямках, викликаних силами 1-го стану -  теореми про взаємність робіт, або теореми Бетті.

На основі цієї теореми можна визначити роботу  через внутрішні зусилля, які виникають в першому та другому стані і при цьому отримуємо:


.8.3. Теорема про взаємність переміщень  

Розглянемо наступні два стани системи. В першому стані до системи прикладена одна сила P1 = 1, а в другому — одна сила Р2 = 1  Ці стани системи умовимося називати одиничними. Будемо позначати переміщення, викликані одиничними силами або моментами (тобто силами Р == 1 або моментами М = 1), знаком δ — на відміну від переміщень, викликаних силами і моментами, не рівними одиниці, що позначаються знаком . Відповідно до цього переміщення даної системи по напряму одиничної сили Р2 в 1-м стані (тобто викликане силою P1 = 1,  позначимо δ12 переміщення по напрямку одиничної сили P1 в 2-м стані позначимо δ21 де δ12 і δ21—одиничні переміщення.

Рис. 8.5

На підставі теореми про взаємність робіт для розглядуваних двох станів маємо:

P1δ12 = P2δ21

але так ,як

P1 = P2=1

то

δ12 = δ21..

Або в загальному випадку дії будь-яких одиничних сил:

δmn = δnm.

Отримана рівність носить назву теореми про взаємність переміщень (принципу Максвелла): для двох одиничних станів пружної системи переміщення по напряму першої одиничної сили, викликане другою одиничною силою, дорівнює переміщенню по напряму другої сили, викликаному першою силою.

8.4. Формула переміщень

Розглянемо наступні два стани системи. В першому стані на систему діє довільне число будь яких сил та моментів, а в другому — одна лиш зосереджена сила Р2 = 1.

Рис. 8.6

Складем вираз роботи А21сили  2-го стану на переміщення  , яке виникає від сил 1-го стану:

,

або через внутрішнє зусилля в стержнях системи:

.

При незмінних по довжині розмірах поперечних перерізів формула прийме вигляд:

.

Остання рівність носить назву формули переміщень (інтеграла Мора).

Визначення переміщень за допомогою отриманої формули проводиться в наступному порядку:

1) знаходяться вирази зусиль Mn Nn , Qn від заданого навантаження як функції координати х довільного перерізу;

2) по напряму шуканого переміщення прикладається відповідна йому одинична «сила» (при лінійному переміщенні — зосереджена сила, при куті повороту — зосереджений момент);

3) визначаються зусилля Mm Nm , Qm від одиничної сили як функції координати х довільного перерізу;         _ _   __

4) знайдені вирази зусиль Mn Nn , Qn  Mm Nm , Qm, підставляються в праву частину формули переміщень і інтегруванням по ділянках в межах всієї споруди визначається шукане переміщення mn- . Якщо mn додатнє - то переміщення співпадає з напрямком одиничної сили, якщо від”ємне - то протилежне цьому напрямку.

При розрахунку балок та рам вплив поздовжніх та поперечних сил на переміщення не враховується, крім окремо вказаних випадків.

8.5. Переміщення від зміни температури

Формула Мора  може бути подана у вигляді

де = Mndx/EJ — взаємний кут повороту торцевих перерізів елемента dx стержня від заданого навантаження;                     = Nndx/EF — взаємний зсув їх у напрямі осі стержня;  = i — взаємний зсув їх у напрямі нормалі до осі стержня.

Рис. 8.7

У такому вигляді формула Мора може бути використана, коли деформації  елемента dx стержня викликані не тільки внутрішніми зусиллями в його поперечних перерізах від навантаження, але і дією температури на споруду. Отже, формулою Мора в приведеному вигляді можна користуватися і для визначення переміщень системи, викликаних дією температури.

Хай верхнє волокно елемента dx нагріто на t1, а нижнє — на t2 (рис. 8.7). Розподіл температури по висоті поперечного перетину приймемо по прямолінійному закону.

При температурному коефіцієнті лінійного розширення а подовження верхнього волокна рівно at1dx, а подовження нижнього волокна at2dx. Осьове подовження xn=xt можна отримати як середнє арифметичне вказаних величин (при поперечному перерізі, симетричному щодо горизонтальної осі):

.

Кут взаємного повороту крайніх поперечних перетинів (елемента dx) рівний:

.

Деформації зсуву в елементі dx від дії температури не виникають, тобто yn = 0.

Підставивши знайдені значення, отримаємо формулу для знаходження температурних перемещень:

.

Знаки Σ означають підсумовування по всіх стержнях і ділянках споруди. При обчисленні переміщення mt  інтегрування поширюється лиш на ті елементи споруди, температурний режим яких змінився.

Для випадку прямолінійних або ламаних стержнів постійного перерізу інтеграли можуть бути підраховані як площі одиничних епюр, і формула переміщень приймає простий вигляд:

.

Знаки членів формули  mt  визначають так: якщо деформації елемента dx від температури і одиничної сили одинакові, то й знак відповідного члена буде додатнім, і навпаки.

При визначенні переміщень від дії на споруду температури не можна нехтувати членом формули, залежним від подовжньої сили.


8.6. Техніка знаходжень переміщень

Визначення переміщень значно спрощується застосуванням спеціальних методів обчислення інтегралу виду . Так, як в підінтегральний вираз входить добуток ординат епюр Мm і Мn , то цей метод називається способом множення епюр. Він може бути використаний, якщо одна з епюр, наприклад Мm, прямолінійна, а інша епюра може бути прямолінійною, ломаною або криволінійною.

Рис. 8.8

В цьому випадку

;

величини х і  показані на рис.8.8. Підставивши значення   у вираз  , отримаємо

,

де - статичний момент площі  епюри  відносно осі О-О.

Тоді .

Але так як

 

то

.

Значить, результатом множення двох епюр є добуток площі однієї з них на ординату  другої (обов”язково прямолінійної) епюри, взяту під центром ваги площі першої епюри - правило або спосіб Верещагіна. При множенні ставиться знак плюс, якщо епюра і ордината під центром її ваги, взята з дркгої епюри, мають одинакові знаки, і мінус, - якщо різні знаки. В табл.1 приведені значення площ і координати центрів ваги найбільш поширених фігур.

В деяких випадках (рис. 8.9), якщо криволінійна епюра окреслена по параболі не вище другого степеня, більш доцільно користуватися формолою Сімпсона-Корноухова :

.

Рис. 8.9.

Значення площ і координати центрів ваги найбільш поширених фігур.

Таблиця 1

При необхідності перемножити дві епюри, які мають вигляд трапецій, зручніше одну з епюр розбити на два трикутники і перемножити площі кожного з них на ординату під центром його ваги з другої епюри. При цьому отримаємо

= l/6(2ac+2bd+ad+bc).

Тут в дужках сумуються подвоєні добутки лівих ординат епюр, подвоєні добутки правих ординат епюр, добуток лівої ординати першої епюри на праву другої і добуток правої ординати першої епюри на ліву другої.


8.7. Переміщення статично визначених систем, визваних зміщенням опор

        Зміщення опор в статично визначених системах по напрямку опорних зв”язків не викликає в споруді внутрішніх зусиль. Для прикладу розглянемо раму, показану на рис.8.10,а. Вертикальне зміщення опори В на величину  не викликає в її перерізах додаткових внутрішніх зусиль.

        Визначимо переміщення точки k  по напрямку і-і, тобто. Для цього розглянемо одиничний стан даної системи ів напрямку шуканого переміщення прикладемо до нього силу Х=1. Опорну реакцію яка виникає при цьому в тому опорному стержні, який в дійсному стані переміщується на величину  ,позначимо R.

        Визначимо переміщення точки к  по напрямку і-і, тобто. Для цього розглянемо одиничний стан даної системи ів напрямку шуканого переміщення прикладемо до нього силу Х=1. Опорну реакцію яка виникає при цьому в тому опорному стержні, який в дійсному стані переміщується на величину  ,позначимо R. Застосуємо для двох стенів принцип взаємності робіт, що робота сил першого стану на відповідних переміщеннях другого дорівнює роботі сил другого стану на переміщення першого

.

Звідки

.

Рис.8.10

       Переміщення якої-небудь точки заданої статично визначеної споруди, яке виникає від зміщення опори на величину , дорівнює добутку цього зміщення  на реакцію опори від дії одиничного навантаження, прикладеного в напрямку переміщення, яке шукаємо. Переміщення додатнє, якщо реакція направлена проти зміщення , і від”ємне, якщо співпадає з ним.

Визначимо переміщення точки к  по напрямку і-і, тобто. Для цього розглянемо одиничний стан даної системи ів напрямку шуканого переміщення прикладемо до нього силу Х=1. Опорну реакцію яка виникає при цьому в тому опорному стержні, який в дійсному стані переміщується на величину  ,позначимо R. Застосуємо для двох стенів принцип взаємності робіт, що робота сил першого стану на відповідних переміщеннях другого дорівнює роботі сил другого стану на переміщення першого

        Переміщення якої-небудь точки заданої статично визначеної споруди, яке виникає від зміщення опори на величину , дорівнює добутку цього зміщення  на реакцію опори від дії одиничного навантаження, прикладеного в напрямку переміщення, яке шукаємо. Переміщення додатнє, якщо реакція направлена проти зміщення , і від”ємне, якщо співпадає з ним.

Порядок визначеня переміщення в статично визначених спорудах від зміщення опор.

1.Вибираємо одиничний стан споруди, рахуючи зв”язок, який зміщується, нерухомим.

2.Завантажуємо споруду в одиничному стані в напрямку переміщення, яке шукаємо, силою або моментом .

3.Знаходимо реакції в тих опорих зв”язках одиничного стану, які в дійсному стані споруди зміщуються.

4.Складаємо вираз робіт сил одиничного стану на переміщеннях дійсного та прирівнюємо його нулю.

5.Розв”язуємо одержане рівняння відносно шуканого переміщення.


Література

1. Баженов В.А., Перельмутер А.В., Шишов О.В. Будівельна механіка. Комп’ютерні технології. – К.: Каравела, 2009. – 696 с.

2. Строительная механика /Под редакцией Даркова А.В. М..: Высшая школа, 1976.660с.

3. Строительная механика. Руководство к практическим занятиям / Под ред. Бутенко Ю.И. - К.: Вища шк., 1984. -328с.

4. Строительная механика в примерах и задачах / Под ред. Киселева В.А. -М.: Изд. лит. по стр-ву, 1966. -365с.

5. Рабинович И.М. Основы строительной механики стержневых систем. 3-е изд. доп. М: Гос. Изд-во лит. по строит. и архит., 1960. 519с.


НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНЕ ВИДАННЯ

Будівельна механіка. Конспект лекцій для студентів напряму “Будівництво” денної та заочної форм навчання

Комп’ютерний набір та верстка: Д.Я.Кислюк.

Редактор: О.С.Гордіюк

Підп. до друку                     Формат 60 84/16. Папір офс. Гарн. Таймс. Ум. друк. арк. 5,5  Обл.- вид. арк. 5,25

Тираж 50 прим. Зам. 4262

Редакційно-видавничий відділ

Луцького національного технічного університету

43018 м. Луцьк, вул. Львівська, 75.

Друк – РВВ ЛНТУ

55

PAGE  26


Рис.
1.4

Рис.1.3

Рис.1.2

Рис.1.1 EMBED Equation.3  1.1

EMBED PBrush

EMBED Word.Picture.8

EMBED Word.Picture.8

EMBED Word.Picture.8  

EMBED Word.Picture.8  

Рис.1.5 EMBED Word.Picture.8  

EMBED Word.Picture.8  

Рис.1.8

EMBED PBrush

Рис. 5.2

Рис. 5.1

Рис.1.14

Рис. 5.5

Рис. 5.4

EMBED PBrush

Рис. 1.13

Рис.1.7 11113.1

Рис.1.15

Рис. 1.16

Рис. 1.17

Рис. 1.20

Рис. 1.19

Рис. 1.18


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71737. Изучение работы фотодатчиков 41 KB
  Как возникает контактная разность потенциалов В чем заключается явление внешнего и внутреннего фотоэффекта Устройство и принцип действия селенового фотоэлемента. Как изменяется фото ЭДС при изменении силы света источника площади поверхности и угла между падающим лучом и перпендикуляром...
71738. Физические основы использования магнитного поля в биологии и медицине. Изучение аппаратов для низкочастотной магнитотерапии “Полюс – 1” и “Магнитер” 354.5 KB
  Познакомиться с физическими основами воздействия на биологические объекты постоянного и низкочастотного магнитного поля. Исследовать распределение в пространстве магнитного поля индукторов при работе аппаратов. Определение магнитного поля.
71739. Изучение операционных усилителей 162.5 KB
  Цель работы: ознакомление с принципами построения усилителей электрических сигналов на базе операционного усилителя ОУ выполненного на интегральной микросхеме. Коэффициент усиления усилителя. Обратная связь в электронных усилителях.
71740. Цифровые логические устройства 98.5 KB
  Принцип построения и работы устройств предназначенных для выполнения этих задач основывается на виде системы счисления способе записи чисел цифровыми знаками. Известны так называемые позиционные системы счисления в которых значение каждой входящей в число цифры зависит от ее положения в записи числа.
71741. Основные сведения о программировании на VBA. Введение в VBA. Типы данных 167 KB
  Любое определение типа задает: область возможных значений типа; структуру организации данных; операции определенные над данными этого типа. Численные типы данных используются для хранения и манипулирования чисел в различных форматах в зависимости от конкретного типа.
71742. Причины и условия образования горючей среды внутри технологического оборудования 579 KB
  Во вводной части занятия 5 мин преподаватель принимает доклад у командира группы группа строится перед учебной аудиторией проверяет наличие курсантов объявляет тему учебные цели и вопросы занятия последовательность и ориентировочное время их отработки...
71743. Работа с научными формулами 794 KB
  Задание: Для удобства работы с формулами рекомендуется увеличить масштаб до 300%. Используя вкладку Вставка – группу Символы – Формула, выйти в Конструктор формул. Сформируйте объекты-формулы, представленные ниже, применяя различные элементы Конструктора формул...
71744. Работа с таблицами в Excel 325 KB
  Таблица может содержать формулы ссылки на другие таблицы а также другие объекты например отформатированные ячейки предназначенные для ввода данных диаграммы рисунки и т. Чтобы изменить высоту или ширину ячейки в таблице нужно изменить высоту строки или ширину столбца...
71745. Создание многоуровневого списка, добавление оглавления 369 KB
  Создайте многоуровневый список следующего вида: Рис. Многоуровневый список. Для этого: выделите заголовки которые будут пронумерованы → вкладка Главная → группа Абзац → кнопка многоуровневый список → Определить новый многоуровневый список.