48012

Координати у просторі

Конспект

Математика и математический анализ

Закони додавання векторів Переставний закон: Сполучний закон: Правило паралелограма на площині Правило паралелепіпеда у просторі Віднімання векторів Різницею двох векторів називається такий вектор сума якого з другим вектором дорівнює першому. Множення вектора на число Множення вектора на додатне число Добутком ненульового вектора на число k 0 називається такий вектор співнапрямлений даному довжина якого дорівнює довжині даного вектора помноженій на k. Множення вектора на нуль...

Украинкский

2013-12-15

3.8 MB

28 чел.

ЗМІСТ

1 Координати і вектори у просторі

1.1 Вектори у просторі. Дії над векторами. Розкладання вектора на складові              

1.2 Прямокутна система координат у просторі. Дії над векторами, що задані     

координатами                                                                                                                        

Домашнє завдання

2 Прямі і площини у просторі

2.1 Аксіоми стереометрії і найпростіші наслідки з них                                                                                                              2.2 Паралельність прямих, прямої і площини, двох площин у просторі                                                                      2.3 Зображення просторових фігур на площині                                                               

2.4 Перпендикулярність прямих і площин                                                                       

Домашнє завдання

3 Геометричні тіла та поверхні

3.1 Поняття про геометричне тіло та його поверхню. Многогранник і його елементи. Правильні многогранники. Призми та їх види                                                                   

3.2 Піраміди та їх види. Властивості паралельних перерізів у піраміді                           

3.3 Тіла і поверхні обертання. Циліндри, конус, їх елементи.

Перерізи циліндра і конуса площинами                                                                               

3.4 Куля та сфера. Взаємне розміщення площин та кулі                                                 

Домашнє завдання

4 Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл

4.1 Поняття про площу поверхні та об’єм тіла. Площа поверхні многогранника, призми, піраміди                                                                                                           

4.2 Об’єм призми та піраміди                                                                                             

4.3 Площа поверхні циліндра, конуса, кулі                                                                      

4.4 Об’єм циліндра, конуса, кулі     

Домашнє завдання

Список літератури

4

4

7

8

9

9

10

12

14

17

20

20

23

24

26

27

29

29

30

30

30

31

34

1 Координати і вектори у просторі

  1.  Вектори у просторі. Дії над векторами.          

Розкладання вектора на складові

Відрізок, для якого зазначено, який з його кінців вважають початком, а який – кінцем, називається напрямленим відрізком, або вектором.

Довжиною (модулем) ненульового вектора називається відстань між його початком та кінцем.

Ненульові вектори називаються колінеарними, якщо    вони лежать або на одній прямій, або на паралельних прямих.

Два однаково напрямлені колінеарних вектори

називаються співнапрямленими.

Вектори називаються рівними, якщо вони співнапрямлені і їх довжини рівні.

Сума двох векторів

Правило трикутника. Сумою двох векторів називається вектор, відкладений від початку першого вектора, кінець якого збігається з кінцем другого вектора.

Закони додавання векторів

  •  Переставний закон:    
  •  Сполучний закон:       

Правило паралелограма (на площині)                  Правило паралелепіпеда (у просторі)

Віднімання векторів

Різницею двох векторів називається такий вектор, сума якого з другим вектором дорівнює першому.

Протилежним даному називається вектор, протилежно напрямлений з даним вектором, який має ту саму довжину.

Віднімання двох векторів рівносильно додаванню до першого вектора, протилежного другому.

Множення вектора на число

Множення вектора на додатне число

Добутком ненульового вектора на число k > 0 називається такий вектор, співнапрямлений даному, довжина якого дорівнює довжині даного вектора, помноженій на k.

Множення вектора на нуль дає нульовий вектор:   

Множення вектора на від’ємне число

Добутком ненульового вектора на число k < 0 називається такий вектор, протилежно напрямлений даному, довжина якого дорівнює довжині даного вектора, помноженій на  k.

Розкладання вектора за неколінеарними векторами

На площині будь-який вектор можна розкласти (записати у вигляді лінійної комбінації) за двома не колінеарними векторами, при цьому коефіцієнти розкладання визначені однозначно. 

У просторі будь-який вектор можна розкласти за трьома векторами, що не лежать в одній площині, при цьому коефіцієнти розкладання визначені однозначно.

Скалярний добуток векторів

Кутом між векторами називається кут, утворений рівними їм векторами, що відкладені від спільного початку.

Скалярним добутком двох векторів називаєтся добуток їх довжин на косинус кута між ними.

Косинус кута між векторами дорівнює їх скалярному добутку, поділеному на добуток довжин цих векторів.

Перпендикулярність векторів

Два вектори називаються перпендикулярними, якщо вони лежать на перепендикулярних прямих. Два вектори перпендикулярні тоді, і тільки тоді, коли скалярний добуток дорівнює нулю.

Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини.


1.2  Прямокутна система координат у просторі.

Дії над векторами, що задані координатами. Відстань між точками

Дії над векторами, заданими своїм координатами

Якщо початок вектора  ā лежить у точці А(x1,y1,z1), а кінець – у точці В(x2,y2,z2), то  координати вектора  ā(x,y,z) знаходяться за формулою:

x=x2-x1 , y=y2-y1 , z=z2-z1

Нехай дано вектори ā (x1,y1,z1)  і  (x2,y2,z2)

ā+ =( x1+x2, y1+y2, z1+z2)

ā - =( x1-x2, y1-y2, z1 z2)

ā= (x1, y1, z1) 

Ознака колінеарності векторів:   ā ||         === 

Скалярний добуток                        =  x1x2+y1y+z1z2

Довжина (модуль) вектора ā        |ā|=

Косинус кута між векторами    cos =  

Якщо   

    x1x2+y1y2+z1z2 =0     - умова перпендикулярності векторів   ā і .

Відстань між точками М1 (x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2) обчислюється за формулою

1М2|= (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

Координати точки   М(x,y,z), яка ділить відрізок М1М2 навпіл, обчислюються за формулами                                                                                                                                             

x=                 y=                z=      


Домашнє завдання

  1.  Сторона основи правильної чотирикутної піраміди , зображеної на рисунку, дорівнює 2. Чому дорівнює модуль суми ? Чому дорівнює модуль різниці ?
  2.  Яке рівняння кола з центром у точці K(2;-1) і радіусом 9?
  3.  Дано рівняння кола  . Чому дорівнює радіус кола?
  4.  Коло з центром у точці  проходить через точку . Чому дорівнює радіус цього кола?
  5.  Точка К – середина відрізка MN, M(3;-1;4), K(2;5;-2). Знайдіть координати т. N.
  6.  Яка з точок М(2;-1;0);  N(0;3;-1);  K(4;0;-3) належить координатній площині yz?
  7.  Знайдіть координати середини відрізка АВ, якщо А(-7; 9; -11), В(13; -1; 5).
  8.  Відносно якої точки симетричні точки  і  ?
  9.  Дано . Знайдіть координати вектора , де - початок координат.
  10.  Знайдіть координати вектора , якщо , .
  11.  Знайдіть координати початку вектора , якщо , .
  12.  Знайдіть координати вектора , якщо ,  ?
  13.  Знайдіть координати вектора , якщо    і  .
  14.  Яка з точок;;; належить осі ?
  15.  Яка з наведених точок ;;; належить осі ?
  16.  Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо А(4; -2; 5), В(2; -1; 3).
  17.  Знайдіть відстань від точки до початку координат.
  18.  Знайдіть відстань між точками  і
  19.  Знайдіть модуль вектора  .
  20.  Знайдіть модуль вектора , якщо , .
  21.  Знайдіть координати вектора , якщо , .
  22.  При якому додатному значенні  модуль вектора  дорівнює 13?
  23.  Знайдіть модуль вектора , якщо .
  24.  Знайдіть суму векторів  і .
  25.  Чому дорівнює різниця векторів  і ?
  26.  Знайдіть різницю векторів  і , якщо , , - довільна точка простору.
  27.  Знайдіть суму векторів  і , якщо , , N- т.простору.
  28.  При якому значенні  вектора і  рівні?
  29.  При якому значенні  вектори  і  колінеарні?
  30.  При яких значення α і β вектори  і  колінеарні?
  31.  При якому значенні  вектори  і  перпендикулярні?
  32.  Знайдіть координати вектора , якщо , де , , .


2 Прямі і площини у просторі

2.1  Аксіоми стереометрії і найпростіші наслідки з них

  1.  Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать цій площині.

  1.  Якщо дві різні площини мають спільну точку,  то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

  1.  Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину і до того ж тільки одну.

Наслідки з аксіом

  1.  Через пряму і точку, яка не лежить на ній, можна провести площину і до того ж тільки одну.

  1.  Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

  1.  Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того ж тільки одну.


2.2  Паралельність прямих, прямої і площини, двох площин у просторі

  1.  Дві прямі перетинаються, якщо вони мають єдину спільну точку (такі прямі лежать в одній площині).

  1.  Дві прямі у просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

  1.  Прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються мимобіжними.

  1.  Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

  1.  Ознака паралельності прямої і площини 

Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

  1.  Якщо через пряму, яка паралельна даній площині, проходить площина, що  перетинає дану площину, то пряма, за якої перетинаються ці площини, буду паралельна даній прямій.

  1.  Дві площини називаються паралельними, якщо вони  не перетинаються.

  1.  Ознака паралельності площин

Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

Властивості паралельних площин

  1.  Дві різні площини, які паралельні третій, паралельні.

  1.  Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

  1.  Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.

  1.  Відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами – рівні.


2.3 Зображення просторових фігур на площині

Для зображення просторових фігур на площині користуються паралельним проектуванням: такий спосіб відповідає зоровому сприйманню фігури під час їх розглядання здалеку.

Властивості зображення фігур на площині

Прямолінійні відрізки фігури зображуються на площині малюнка відрізками; паралельні відрізки фігури зображуються на площині малюнка паралельними відрізками.

Середина відрізка при зображенні його на площині теж є серединою.

Відношення відрізків однієї прямої або паралельних прямих збігається при паралельному проектуванні.

Проектування трикутників

При проектуванні будь-якого трикутника (гострого, тупокутного, прямокутного, рівнобедреного або рівностороннього) утворюється трикутник довільної форми (гострокутний чи тупокутний).

Проектування паралелограмів

Оскільки паралельність відрізків при проектуванні зберігається, паралелограми (а також прямокутники та квадрати) зображуються паралелограмами довільної форми.

При проектуванні ромба незмінною стає одна з діагоналей,

проекцією є паралелограм.

Проектування трапеції

При проектуванні будь-яка трапеція (довільна, рівнобічна,

прямокутна) зображується як довільна трапеція. 

Проектування кола

Коло при проектуванні на площину зображується як еліпс.


2.4  Перпендикулярність прямих і площин

Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

Ознака перпендикулярності прямої і площини

Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині і перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.

Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до другої.

Дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї ж площини – паралельні.

Пряма, яка перпендикулярна одній із двох паралельних площин, перпендикулярна й до другої.

Якщо пряма перпендикулярна до двох різних площин, то ці площини паралельні.

Перпендикуляр і похила

Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площину, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини (основою перпендикуляра) і лежить на прямій, перпендикулярній до площини; при цьому довжина перпендикуляра називається відстанню від даної точки до даної площини.

Похилою, проведеної з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини (основою похилої) і не є перпендикуляром до площини; відрізок, який сполучає основу перпендикуляра і похилої, проведених з однієї точки, називається проекцією похилої.

Властивості перпендикулярів і похилих

Рівні перпендикуляри, проведені з однієї точки поза площиною до цієї площини, мають рівні проекції. Якщо дві похилі, проведені з однієї точки поза площиною до цієї площини, мають рівні проекції, то вони рівні.

Найбільша з двох похилих, проведених з однієї точки поза площиною до цієї площини, що має більшу проекцію, більша.

Теорема про три перпендикуляри

Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна до її похилої. І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Перпендикулярність площин

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярним прямим.

Ознака перпендикулярності площин

Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Кутом між прямою і площиною називається кут між цією прямою і її проекцією на площину.

Кут між площинами. Кутом між двома площинами називається плоский кут, утворений прямими, перетину цих площин із площиною, перпендикулярною до прямої, за якою вони перетинаються (кут між паралельними площинами дорівнює 00).

Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами (гранями) зі спільною прямою (ребром), що їх обмежує.

Лінійним кутом двогранного кута називається плоский кут, утворений двома пів прямими, за якими грані двогранного кута перетинає площина, перпендикулярна до його ребра.

При необхідності побудови лінійного кута двогранного кута на одній грані вибирається якась точка, яка проектується на іншу грань і на ребро двогранного кута; при цьому утворюється лінійний кут.


Домашнє завдання

  1.  Бічні сторони трапеції паралельні площині . Яке взаємне розташування площини   і площини трапеції?
  2.  Пряма  проходить через середину сторони  трикутника . Яке взаємне розташування прямих  і, якщо пряма :

а) не лежить у площині ;

б) лежить у площині ?

  1.  Трикутник  і площина  розташовані так, що пряма  паралельна площині  і пряма  паралельна площині. Яке взаємне розташування прямої  і площини?
  2.  Точка лежить поза площиною трикутника . Яке взаємне розташування прямих і ?
  3.  Дано трикутник ABC. Площина, паралельна прямій AB, перетинає сторону AC у точці M, а сторону BC – у точці K. Яка довжина відрізка MK, якщо точка M – середина AC, точка K – середина BC і AB= 16 см?
  4.  На рисунку зображено куб . Укажіть пряму  перетину

а) площини  і площини грані ;

б) площини  і площини грані .

  1.  Сторона  трикутника , зображеного на рисунку, належить площині , точки і – середини сторін  і  трикутника відповідно, точка  знаходиться поза площиною . Яке взаємне розташування прямої  і площини ?

  1.  Дано паралельні прямі  і . Скільки існує площин, які проходять через пряму  і паралельні прямій ?
  2.  Діагоналі паралелограма паралельні площині . Яке взаємне розміщення площини  і площини паралелограма?
  3.  Точка M лежить поза площиною трикутника ABC. Яке взаємне розташування прямих BC і MA?
  4.  Прямі  і паралельні. Як розташована пряма  відносно площини , якщо пряма  перетинає площину ?
  5.  Дано мимобіжні прямі  і . Скільки існує площин, які проходять через пряму і паралельні прямій ?
  6.  Дано паралелограм  і площину , прямі  і  паралельні площині . Яке взаємне розташування прямої  і площини  ?
  7.  Дано трикутник АВС. Площина паралельна прямій АС, перетинає сторону АВ у точці Е, а сторону ВС – у точці F. Яка довжина відрізка АС, якщо точка Е – середина АВ, точка F – середина ВС і EF = 12 см?

  1.  Основа  трапеції , зображеної на рисунку, належить площині α, а основа BC не належить цій площині. Точки  і  – середини бічних сторін трапеції. Яке взаємне розташування прямої  і площини ?

  1.  Точка А лежить в одній із граней двогранного кута, зображеного на рисунку. З точки А опущено перпендикуляр АВ на ребро двогранного кута і перпендикуляр АС на другу грань кута, АВ=14 см, АС=7 см. Знайдіть величину двогранного кута.

  1.  Пряма  перпендикулярна до площини квадрата , зображеного на рисунку. Укажіть кут між прямою  і площиною квадрата.
  2.  Точка  віддалена від площини  на 12 см. З цієї точки проведено до площини  похилу завдовжки 13 см. Знайдіть довжину проекції похилої  на площину .
  3.  Точка  віддалена від площини  на 15 см. З цієї точки проведено до площини  похилу . Знайдіть довжину цієї похилої, якщо її проекція на площину  дорівнює 8 см.

  1.  Пряма  перпендикулярна до площини ромба , зображеного на рисунку. Укажіть кут між прямою  і площиною ромба.

  1.  З точки  до площини  проведено похилі  і , які утворюють з площиною кути по 30°. Знайдіть відстань від точки  до площини , якщо , а довжина відрізка  дорівнює 10см.
  2.  Точка  знаходиться на відстані 2см від площини . Похилі  і  утворюють відповідно з площиною  кути 60 і , а кут між похилими дорівнює . Знайдіть відстань між точками  і .
  3.  Точка А знаходиться на відстані 8см від площини . Похилі АВ і АС утворюють відповідно з площиною  кути  і , а кут між похилими дорівнює . Знайдіть відстань між точками В і С.
  4.  З точки А до площини  проведено похилі АВ і АС, довжини яких 15 см і 20 см відповідно. Знайдіть відстань від точки А до площини , якщо проекції похилих на цю площину відносяться як 9:16.
  5.  Точка А знаходиться на відстані 10см від площини . Похилі АВ і АС утворюють відповідно з площиною  кути  і , а кут між проекціями похилих дорівнює 120°. Знайдіть відстань між точками В і С.
  6.  З точки  до площини  проведено похилі  і , які утворюють з площиною кути по 45°. Знайдіть відстань від точки  до площини , якщо , а довжина відрізка  дорівнює 16 см.
  7.  З точки , яка лежить в одній з граней двогранного кута, зображеного на рисунку, опущено перпендикуляр  на ребро двогранного кута і перпендикуляр  на іншу грань. Знайдіть величину двогранного кута, якщо

= см, = 6 см.

  1.  Точка  лежить в одній із граней двогранного кута, зображеного на рисунку. З точки  опущено перпендикуляр  на ребро двогранного кута і перпендикуляр  на другу грань кута, = 6см, = 6 см. Знайдіть величину двогранного кута.
  2.  З точки , яка лежить в одній із граней двогранного кута, зображеного на рисунку, опущено перпендикуляр  на ребро  двогранного кута і перпендикуляр  на іншу грань. Знайдіть величину двогранного кута, якщо  см,  см.
  3.  З точки А до площини  проведено похилі АВ і АС, які утворюють з площиною кути по 60°. Знайдіть відстань між точками В і С, якщо , а відстань від точки А до площини  дорівнює 3 см.
  4.  З точки  до площини  проведено похилі  і , довжини яких відносяться як 25:26. Знайдіть відстань від точки  до площини , якщо довжини проекцій похилих  і  на цю площину дорівнюють 7 см і 10 см.
  5.  Через сторону правильного трикутника проведено площину, яка утворює з площиною трикутника кут 30°. Знайдіть кути, які утворюють дві інші сторони трикутника з цією площиною.


3 Геометричні тіла та поверхні

3.1  Поняття про геометричне тіло та його поверхню.

Многогранник і його елементи. Правильні многогранники.

Призми та їх види

Геометричне тіло – частина простору, обмежена якоюсь поверхнею.

Многогранник – це таке тіло, поверхня якого складається із скінченної кількості плоских многокутників.

Опуклим називається многогранник, який лежить по один бік від площини кожного з плоских многокутників (граней) на його поверхні; ребра – це сторони граней, вершини – вершини граней.

Діагоналлю многогранника називається такий відрізок, що сполучає дві вершини многогранника, який не лежить на грані многогранника і не є ребром.

Призма

Призма – це многогранник, який складається з двох плоских многокутників   (основ), які лежать у різних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих многокутників.

Висотою (Н) призми називається  відстань між площинами її основ.

Властивості призми

Основи призми рівні.

Площини основ паралельні.

Усі бічні ребра рівні і паралельні.

Усі бічні грані – паралелограми.

Перпендикулярний переріз призми

Перпендикулярним називається переріз призми площиною, перпендикулярною до бічного ребра призми, яка перетинає всі бічні ребра.

Пряма призма

Прямою називається призма, бічні ребра якої перпендикулярні до основ.

Правильною називається пряма призма, основи якої є правильними многокутниками.

Паралелепіпеди та їх види. Властивості діагоналей паралелепіпедів

Паралелепіпед – це призма, основи якої є паралелограми.

Грані паралелепіпеда без спільних вершин називаються протилежними.

Загальні властивості паралелепіпедів

Кожна пара протилежних граней – рівні паралелограми, що лежать у паралельних площинах.

Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться навпіл.

Точки перетину діагоналей є центром симетрії паралелепіпеда.

Сума квадратів діагоналей паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів усіх його ребер.

Прямокутний паралелепіпед

Прямокутним називається прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник.

Лінійними розмірами (вимірами) прямокутного паралелепіпеда називаються довжини ребер,що виходять з однієї вершини.

Усі грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.

Квадрат кожної діагоналі дорівнює сумі квадратів лінійних розмірів:

d2=a2+b2+c2

Куб

Куб – це прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні.

Усі грані куба – рівні квадрати.


3.2  Піраміди та їх види. Властивості паралельних перерізів у піраміді

Піраміда – це многогранник, який складається з плоского многокутника (основи), точки (вершини), яка лежить у площині основи, і всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи.

Висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.

Прямою називається піраміда, одне з бічних ребер якої перпендикулярне до основи (тобто збігається з висотою).

Тетраедр – інша назва трикутної піраміди. 

Положення вершини піраміди

Вершина рівновіддалена від вершин основи тоді і тільки тоді, коли її проекція є центром описаного навкруги многокутника основи кола або усі бічні ребра однаково нахилені до площини основи.

Вершина рівновіддалена від сторін основи тоді і тільки тоді, коли її проекція є центром вписаного у многокутник основи кола або усі бічні грані однаково нахилені до площини основи.

Правильна піраміда

Правильною називається піраміда, основа якої є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром цього многокутника.

Віссю правильної піраміди називається пряма, яка містить її висоту.

Апофемою правильної піраміди називається висота бічної грані.

Властивості правильної піраміди

Усі бічні ребра рівні й однаково нахилені до площини основи.

Усі бічні грані – однакові рівнобедрені трикутники, нахилені до площини основи під рівними кутами.

Зрізана піраміда

Зрізана піраміда – це многогранник, утворений перерізом піраміди площиною, паралельною до основи, але не подібний до цієї піраміди.

Основи зрізаної піраміди – подібні многокутники.

Бічні грані зрізаної піраміди – трапеції.

Висота зрізаної піраміди – це відстань між площинами її основ.

Правильна зрізана піраміда

Основи правильної зрізаної піраміди – правильні многокутники.

Пряма (вісь), що сполучає центри основ, перпендикулярна до площин основ.

Апофема правильної зрізаної піраміди сполучає середини відповідних сторін її основ.


3.3  Тіла і поверхні обертання. Циліндр, конус, їх елементи.

Перерізи циліндра і конуса площинами

Циліндром (прямим круговим циліндром) називається тіло, що складається з двох кругів (основ), які не лежать в одній площині і суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки всіх кругів і перпендикулярні до площин основ.

Твірна циліндра – це відрізок, що сполучає відповідні точки на колах основ.

Радіус циліндра – це радіус його основи.

Висота циліндра – відстань між площинами його основ.

Вісь циліндра – пряма, яка проходить через центри його основ.

Основні властивості

Основи циліндрів рівні і лежать у паралельних площинах.

Твірні циліндра паралельні і рівні.

Висота циліндра дорівнює твірній.

При обертанні прямокутника навколо його сторони утворюється циліндр.

Циліндр і площини

Осьовий переріз циліндра утворюється площиною, яка проходить через його вісь; це прямокутник, одна сторона якого дорівнює висоті циліндра, а інша – діаметру.

Переріз циліндра площиною, паралельною до його осі, є прямокутником, одна із сторін якого дорівнює висоті циліндра.

Переріз циліндра площиною, паралельною до його основи, є кругом, що дорівнює основі.


Конус

Конусом (прямим круговим конусом) називається тіло, яке складається з круга (основи), точки (вершини), яка лежить поза площиною основи на прямій, перпендикулярній до цієї площини, і всіх відрізків, які сполучають вершини конуса з точками основи.

Твірна конуса – це відрізок, що сполучає вершину конуса з точкою на колі основи.

Висота конуса – це перпендикуляр, опущений з його вершини на площину основи (він сполучає вершину з центром основи).

Вісь конуса – це пряма, яка містить його висоту.

Основні властивості

Усі твірні конуса рівні між собою.

При обертанні прямокутного трикутника навколо його катета утворюється конус.

Твірну можна визначити через радіус основи та висоту за теоремою Піфагора:            l2=R2+H2

Конус і площини

Осьовий переріз конуса утворюється площиною, яка містить вісь конуса; це рівнобедрений трикутник, бічні сторони якого – твірні конуса, а основа - діаметр основи конуса.

Переріз конуса площиною, яка проходить через його вершину, є рівнобедрений трикутник, у якого бічні сторони є твірними конуса.

Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по кругу, а бічну поверхню – по колу з центром на осі конуса. 

Зрізаний конус

Зрізаний конус – це частина конуса, утворена перерізом конуса площиною, паралельною до основи, але не подібна до самого конуса.

Основи зрізаного конуса – два круга з різними радіусами.

Висота зрізаного конуса – це відстань між площинами його основ. 

Вісь зрізаного конуса – це пряма, яка проходить через центри його основ.

Твірна зрізаного конуса – це частина твірного конуса, яка лежить між основами утвореного зрізаного конуса.
3.4  Куля та сфера. Взаємне розміщення площини та кулі.

Площина, дотична до сфери

Куля – це тіло, що складається з усіх точок простору, які знаходяться від даної точки (центра) на відстані, не більше за дану (радіус).

Сфера (кульова поверхня) – це межа кулі. 

Діаметр – відрізок, який сполучає дві точки (діаметрально протилежні точки кулі) кульової поверхні і проходить через центр кулі.

Перерізи кулі

Будь-який переріз кулі площиною є круг; центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину.

Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною; вона утворює переріз кулі, який має назву великий круг.

Площина, що має одну спільну точку зі сферою, називається дотичною до сфери

Радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до площини.


Домашнє завдання

  1.  У прямокутному паралелепіпеді  AD = 24 см, CD = 5 см,  = 10 см. Чому дорівнює площа прямокутника ?
  2.  Ребро куба дорівнює 2 см. Чому дорівнює площа трикутника ?
  3.  Діагональ основи куба дорівнює а. Чому дорівнює діагональ куба?
  4.  Основа прямої призми – трикутник зі стороною с і прилеглими до неї кутами  і . Діагональ бічної грані, що проходить через сторону основи, яка протилежна куту , нахилена до площини основи під кутом . Знайдіть висоту призми.
  5.  Основа прямої призми — трикутник зі стороною , протилежним цій стороні кутом  і прилеглим кутом . Діагональ бічної грані, яка містить стонону основи, до якої прилягають кути  і , нахилена до площини основи під кутом . Знайдіть висоту призми.
  6.  Основа піраміди – трикутник зі сторонами 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть площу перерізу, який проходить паралельно площині основи і ділить висоту піраміди у відношенні 1:2, рахуючи від вершини піраміди.
  7.  Основа піраміди — трикутник зі стронами 6 см, 25 см і 29 см. Знайдіть площу перерізу, який проходить паралельно площині основи і ділить висоту піраміди у відношенні 1:3, рахуючи від вершини піраміди.
  8.  Висота циліндра дорівнює 6 см, а його об’єм – 18 см. Чому дорівнює площа основи циліндра?
  9.  Кут між твірною і площиною основи конуса дорівнює см. Знайдіть висоту конуса.
  10.  Кут між твірною  і площиною основи конуса дорівнює 60, висота конуса дорівнює см. Знайдіть твірну конуса.
  11.  Висота конуса дорівнює 14 см, а кут при вершині осьового перерізу – 120. Знайдіть радіус основи конуса.
  12.  Радіус основи конуса дорівнює 12 см, а кут при вершині осьового перерізу – 120°. Знайдіть твірну конуса.
  13.  Паралельно осі циліндра, радіус основи якого дорівнює  см, проведено площину, що перетинає основу циліндра по хорді, яка стягує дугу, градусна міра якої дорівнює 90°. Знайдіть площу перерізу, якщо кут між діагоналлю перерізу і вказаною хордою дорівнює 60°.
  14.  Висота циліндра дорівнює 8 см, радіус основи – 5 см. На відстані 4 см від осі циліндра паралельно їй проведено площину. Знайдіть площу перерізу, який при цьому утворився.
  15.  У нижній основі циліндра проведено хорду завдовжки 8 см, яка знаходиться на відстані 3 см від центра цієї основи. Знайдіть площу осьового перерізу циліндра, якщо його висота дорівнює 6 см.
  16.  Паралельно осі циліндра, радіус основи якого дорівнює 8 см, проведено площину, що перетинає основу циліндра по хорді, яка стягує дугу, градусна міра якої 120°. Знайдіть площу перерізу, якщо його діагональ дорівнює 16 см.
  17.  Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює , проведено переріз. Знайдіть площу цього перерізу, якщо висота конуса дорівнює h і утворює з його твірною кут .
  18.  Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює , проведено переріз. Знайдіть площу цього перерізу, якщо радіус основи конуса дорівнює , а твірна утворює з площиною основи кут .
    1.  У кулі з центром , зображеній на рисунку, проведено переріз з центром  на відстані 12 см від центра кулі. Знайдіть радіус кулі, якщо радіус перерізу дорівнює 9 см.

  1.  У кулі проведено переріз на відстані 5 см від центра кулі. Знайдіть радіус перерізу, якщо радіус кулі дорівнює 13 см.


4 Об
єми та площі поверхонь геометричних тіл

4.1  Поняття про площу поверхні та обєм тіла.

Площа поверхні многогранника, призми, піраміди

Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі бічної поверхні та площі двох основ:

                           Sповн=Sб+2Sосн

де Sосн – площа основи; Sб – площа бічної поверхні (сума площ усіх бічних граней); Sповн – площа повної поверхні.

Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметру перпендикулярного перерізу на довжину бічного ребра

                     Sб=Pперп l

де l – довжина бічного ребра, Pперп – периметр перпендикулярного перерізу.

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметру основи на висоту

Sб=Pосн Н

Прямокутний паралелепіпед

Площа бічної поверхні дорівнює добутку периметра основи на

висоту 

                    Sб=2(а+b)c

Площа повної поверхні дорівнює сумі площ шести прямокутників 

Sповн=2(ab+ac+bc)

Куб

Площа повної поверхні куба

                               Sповн=6a2

Піраміда

Повна поверхня піраміди складається з основи та n бічних граней (відповідно до кількості вершин основи) 

                        Sповн=Sб+ Sосн

Для правильної піраміди

Площа бічної поверхні дорівнює половині добутку периметра основи на довжину апофеми

                     Sб=1/2 Pоснl

Площі основи і бічної поверхні правильної піраміди відносяться як косинус кута між бічною гранню та площиною основи:

Sосн/Sб=cos

Для зрізаної піраміди

Повна поверхня зрізаної піраміди складається з бічної поверхні та двох основ:

Sповн= Sб+S1+S2

де S1 і S2 – площі основ.

Для правильної зрізаної піраміди

Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів її основ на апофему         Sб=1/2(P1+P2) l

4.2  Об’єм призми та піраміди

Об’єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту H

V= SоснH

Обєм призми дорівнює добутку площі перпендикулярного перерізу на довжину бічного ребра l

V=Sперпl

Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів

V=a b c

Об’єм куба дорівнює третьому степеню (кубу) довжини його ребра

V=a3

Об’єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту

V= 1/3 Sосн H

4.3  Площа поверхні циліндра, конуса, кулі

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола основи на висоту циліндра

Sб=2πRH

Повна поверхня циліндра складається з бічної поверхні та двох основ

                                        Sповн=2πR(H+R)

Площа бічної поверхні конуса дорівнює половині добутку довжини кола основи на його твірну

Sб=πRl

Повна поверхня конуса складається з бічної поверхні та основи

SповнR(l+R) 

Площа сфери

S=4πR2

4.4. Об’єм циліндра, конуса, кулі

Об’єм циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту

VR2H 

Об’єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту

V=1/3 πR2H

Об’єм кулі                                                     

V=4/3 πR3

Домашнє завдання

Частина перша

  1.  Обчисліть площу бічної поверхні прямої призми, основа якої трикутник зі сторонами 20 см, 24 см і 26 см, а бічне ребро дорівнює 6 см.
    1.  Обчисліть площу бічної поверхні прямої призми, основою якої є паралелограм зі сторонами 10 см і 12 см, а бічне ребро дорівнює 10 см.
    2.  Обчисліть площу бічної поверхні прямої призми, основою якої є ромб зі стороною 8 см, а висота призми дорівнює 6 см.
    3.  Обчисліть об’єм призми, основою якої є паралелограм зі сторонами 16 см і 14 см та кутом 45, а висота призми дорівнює  см.
    4.  Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 14 см, а її бічне ребро  см. Обчисліть об’єм призми.
    5.  Обчисліть об’єм правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює 12 см, а висота – 14 см.
    6.  Обчисліть площу бічної поверхні правильної п’ятикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 6 см, а апофема – 10 см.
    7.  Обчисліть площу бічної поверхні правильної восьмикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 18 см, а апофема – 22 см.
    8.  Обчисліть об’єм піраміди, основою якої є прямокутник зі сторонами      26 см і 30 см, а висота піраміди дорівнює 25 см.
    9.  Обчисліть площу бічної поверхні правильної шестикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 4 см, а апофема – 5 см.
    10.  Обчисліть об’єм піраміди, основою якої є ромб з діагоналями 5 см і 9 см, а висота піраміди дорівнює 10 см.
    11.  Обчисліть об’єм піраміди, основою якої є паралелограм зі сторонами 8 см і 10 см та кутом 45 між ними, а висота піраміди дорівнює 18 см.
    12.  Обчисліть площу бічної поверхні циліндра, осьовим перерізом якого є квадрат зі стороною 8 см.
    13.  Чому дорівнює площа бічної поверхні циліндра, діаметр основи якого дорівнює 4 см, а твірна – 9 см?
    14.  Обчисліть площу бічної поверхні циліндра, висота якого дорівнює14 см, а радіус основи – 4 см.
    15.  Обчисліть об’єм циліндра, висота якого дорівнює 6 см, діаметр основи 4см.
    16.  Обчисліть об’єм циліндра, радіус основи якого дорівнює 7 см, а твірна     5 см.
    17.  Чому дорівнює висота циліндра, об’єм якого становить  см³, а радіус основи дорівнює 2 см?
    18.  Обчисліть площу бічної поверхні конуса, твірна якого дорівнює 8 см, а радіус основи – 10 см.
    19.  Обчисліть площу бічної поверхні конуса, діаметр основи якого дорівнює 12 см, а твірна – 17 см.
    20.  Обчисліть площу бічної поверхні конуса, радіус основи якого дорівнює 3см, а твірна у 3 рази більша за радіус.
    21.  Обчисліть об’єм конуса, висота якого дорівнює 8 см, а радіус основи 9 см.
    22.  Радіуси основ циліндра і конуса рівні, висота циліндра дорівнює 8 см, а конуса – 6 см. Знайдіть відношення об’єму циліндра до об’єму конуса.
    23.  Обчисліть об’єм конуса, висота якого дорівнює 6 см, а радіус основи 5 см.
    24.  Висота конуса дорівнює 9 см, а його об’єм - 6π см3. Чому дорівнює площа основи конуса?
    25.  Чому дорівнює об’єм конуса, радіус основи якого , а висота дорівнює радіусу основи?
    26.  Чому дорівнює площа поверхні кулі, радіус якої дорівнює 6 см?
    27.  Чому дорівнює площа поверхні кулі, діаметр якої дорівнює 6см?
    28.  Знайдіть відношення площ поверхонь двох сфер, радіуси яких дорівнюють 5 см і 10 см.
    29.  Обчисліть об’єм кулі з радіусом 6 см.
    30.  Радіус однієї кулі у 2 рази більший за радіус другої кулі. Чому дорівнює об’єм кулі більшого радіуса, якщо об’єм кулі меншого радіуса дорівнює 1 см?
    31.  Об'єм першої кулі у 27 разів більший за об’єм другої кулі. Чому дорівнює радіус першої кулі, якщо радіус другої кулі дорівнює 1 см?
    32.  Чому дорівнює радіус кулі, об’єм якої становить 36см?

Частина друга

  1.  Основа прямої призми – ромб з діагоналями 20см і 48 см. Менша діагональ призми дорівнює 52 см. Обчисліть площу бічної поверхні призми.
    1.  Основа прямої призми – прямокутний трикутник із катетом 12 см і гострим кутом 45°. Об’єм призми дорівнює 216 см3. Знайдіть площу бічної поверхні призми.
    2.  Основа прямої призми – ромб з гострим кутом 30°. Діагональ бічної грані утворює з площиною основи кут 30°. Знайдіть об’єм призми, якщо її висота дорівнює 16 см.
    3.  Основа прямої призми — ромб з гострим кутом 45°. Діагональ бічної грані дорівнює 10 см і утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть об’єм призми.
    4.  Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 12 см, а діагональний переріз є рівностороннім трикутником.
    5.  Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а апофема 5 см. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди.
    6.  Знайдіть об’єм правильного тетраедра, ребро якого дорівнює 8 см.
    7.  Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 12 см, а висота піраміди - 2см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
    8.  Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 12 см. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо його висота дорівнює діаметру основи.
    9.  У нижній основі циліндра проведено хорду, яку видно з центра нижньої основи під кутом 90°, а з центра верхньої основи – під кутом 60°. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо радіус його основи дорівнює 4 см.
    10.  В основі конуса проведено хорду завдовжки см на відстані 4 см від центра основи. Знайдіть об’єм конуса, якщо його твірна нахилена до площини основи під кутом 60°.
    11.  Висота конуса дорівнює 20 см, а відстань від центра його основи до твірної 12 см. Знайдіть об’єм конуса.
    12.  Об'єм конуса дорівнює см, висота – 12 см. Обчисліть площу бічної поверхні конуса.
    13.  Площа повної поверхні конуса дорівнює 200см, а його твірна – 17 см. Знайдіть об’єм конуса.
    14.  Катет прямокутного трикутника дорівнює а, а прилеглий кут дорівнює . Знайдіть площу бічної поверхні конуса, утвореного при обертанні цього трикутника навколо даного катета.
    15.  Переріз кулі площиною, яка віддалена від її центра на 15 см, має площу   см. Знайдіть площу поверхні кулі.
    16.  Довжина лінії перетину сфери і площини, яка віддалена від її центра на 12 см, дорівнює  см. Знайдіть площу сфери.
    17.  Через кінець радіуса кулі проведено переріз, який утворює з цим радіусом кут 30°. Знайдіть площу поверхні кулі, якщо площа перерізу дорівнює 36 см.

Частина третя

  1.  Основа прямої призми – ромб з більшою діагоналлю d і гострим кутом .   Через меншу діагональ нижньої основи і вершину гострого кута верхньої основи проведено переріз, який утворює з площиною основи кут . Знайдіть об’єм призми.
    1.  Через сторону нижньої основи і середину протилежного бічного ребра правильної трикутної призми проведено переріз під кутом 45° до площини основи. Знайдіть об’єм призми, якщо площа перерізу дорівнює  см.
    2.  Бічна грань правильної чотирикутної піраміди нахилена до площини основи під кутом . Відрізок, який сполучає середину висоти піраміди і середину апофеми, дорівнює а. Знайдіть об’єм піраміди.
    3.  Основа піраміди – рівнобедрений трикутник з бічною стороною а і кутом  при основі. Бічна грань піраміди, що містить основу цього трикутника, перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом . Знайдіть об’єм піраміди.
    4.  Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює . Бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут . Знайдіть об’єм піраміди.
    5.  Хорду нижньої основи циліндра видно із центра цієї основи під кутом . Відрізок, що сполучає центр верхньої основи із серединою даної хорди, нахилений до площини основи під кутом . Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо радіус основи дорівнює R.
    6.  У нижній основі циліндра проведено хорду, довжина якої дорівнює b. Цю хорду видно із центра нижньої основи під кутом , а відрізок, який сполучає центр верхньої основи із серединою проведеної хорди, утворює з площиною основи кут . Знайдіть об’єм циліндра.
    7.  У нижній основі циліндра проведено хорду, яку видно із центра цієї основи під кутом . Відрізок, що сполучає центр верхньої основи із серединою цієї хорди, дорівнює l і утворює з площиною основи кут . Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.
    8.  Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює , проведено переріз, який утворює з площиною основи конуса кут . Знайдіть площу бічної поверхні конуса, якщо його висота дорівнює Н.
                                                      СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Погорєлов О.В. Геометрія: Стереометрія: Підручник для 10 – 11 кл. серед.школи.-3-тє видання.-Київ: Освіта, 1997. – 128 с.

2. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики. 11клас. У 2 книгах . Кн. 1 / М.І.Бурда, О.Я.Біляніна, О.П.Вашуленко та ін. – Харків, „Гімназія”, 2008, – 224 с.

3. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики. 11клас. У 2 книгах . Кн. 2 / М.І.Бурда, О.Я. Біляніна, О.П.Вашуленко та ін. – Харків, „Гімназія”, 2008, – 224 с.

PAGE   \* MERGEFORMAT 30


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40489. Образ врагов в былинах 20 KB
  Образ врагов в былинах. Эволюция образа: Змей Горыныч – самый древний зооморфный СоловейРазбойник – промежуточный образ терратоморфный Тугарин – человек но остается змеиное – крылья от Горыныча антропоморфный король литовский Калин – антропоморфные сам богатырь если отпадет от земли русской – Дунай.
40490. Образ Ивана Дурака 24 KB
  Образ Ивана Дурака. Иван Дурак открывает ряд литературных персонажей который заканчивается Христом. В волшебной сказке Иван – дурак в архетипичном смысле слова. Иван Дурак – высокий дурак ср.
40491. Образ Ильи Муромца в былине Илья и Святогор 20.5 KB
  Образ Ильи Муромца в былине 'Илья и Святогор'. Инвариант: Святогор и велик и высок его земля не держит и он ездит по горам всё что находится в горизонтальной плоскости – хорошо всё что в вертикальной – плохо. Святогор и Русь – несовместимые понятия. Святогор – символ природы гора камень.
40492. Образ Князя Владимира в былинах 21 KB
  Образ Князя Владимира в былинах. Основную часть русских былин прежде всего киевского цикла ученые связывают с Киевской Русью и правлением князя Владимира. Время князя Владимира – время больших событий. Былинный образ Владимира прошел сложную историю.
40493. Образ Кощея 22 KB
  А рабство – социальная смерть = Кощей – полная смерть и физическая и социальная. он сама смерть т. смерть бессмертна. Как же можно победить смерть Смерть Кощея спрятана на конце иголки – символ.
40494. Основные проблемы современной фольклористики 23 KB
  Основные проблемы современной фольклористики. У современной фольклористики те же самые проблемы что и у академических школ новые. Проблемы: вопрос о происхождении фольклора. проблемы изучения нового нетрадиционного фольклора.
40495. Особенности поэтики былин 28.5 KB
  Стих былины – тонический многосложный с тремя или даже четырьмя сильными ударениями. Художественные средства былины подчинены оценке поведения персонажей. Структура былины: Запев – вступление которое имеет целью привлечь внимание слушателей. Зачин – устойчивое начало былины которое служит исходным моментом действия и часто содержит экспозицию.
40496. Особенности поэтики волшебной сказки 24.5 KB
  Особенности поэтики волшебной сказки. Композиция: начало и финал сказки очень жесткие В. Пропп Путьдорога = жизнь судьба героя 1 2 1 – начало сказки: В некотором царстве в некотором государстве. 2 – конец сказки: И я там было мед пиво пил по усам текло да в рот не попало.
40497. Особенности поэтики сказок о животных 21 KB
  Особенности поэтики сказок о животных. Структура сказок о животных довольно проста. Цепочная структура Самая примечательная особенность сюжета строения этого типа сказок – нанизывание эпизодов. Весьма типична для сказок о животных так называемая комулятивная или цепочная структура.