48029

Моделі і методи прийняття рішень в економіці

Конспект

Экономическая теория и математическое моделирование

Оптимізація календарного плану реалізації запасів сільськогосподарської продукції за умов цінового ризику. У числі найвідоміших задач математичного програмування можна назвати такі: оптимізація виробничої програми фірми оптимізація плану перевезень продукції оптимізація варіанту розподілу завдань між виконавцями оптимізація плану введення в дію нових виробничих потужностей оптимізація портфеля фінансових активів тощо. За умов забезпечення випуску заданих обсягів виробництва продукції й обмежень із кількості основних виробничих ресурсів...

Украинкский

2013-12-06

779.5 KB

45 чел.

PAGE  12

Міністерство освіти і науки України

Національний університет водного господарства та природокористування

Кафедра економіки підприємства

                                              

                                                    067-250

Конспект лекцій

з дисципліни “Моделі і методи прийняття рішень в економіці”

для студентів 5 (6) курсу спеціальностей 7.050107 та 8.050107 „Економіка підприємства” денної та  заочної форм  навчання

                                                               

Рекомендовано методичною

комісією факультету економіки

і підприємництва   

Протокол № 5 від 09.11.2006 р.

Рівне – 2007


Конспект лекцій з дисципліни “Моделі і методи прийняття рішень в економіці” для студентів 5 (6) курсу спеціальностей 7.050107 та 8.050107
 „Економіка підприємства”  денної  та заочної форм  навчання./В.О.Солодкий, В.Р.Красовський. – Рівне: НУВГП, 2007 р. – 56 с.

Упорядники: В.О.Солодкий, к.е.н., доцент, Красовський В.Р.

Відповідальний за випуск: завідувач кафедрою економіки підприємства                          Н.Б.Кушнір, професор, к.е.н.

                                                  © Солодкий В.О., Красовський В.Р., 2007

      © НУВГП, 2007


Зміст

Тема 1. Сутність процесу прийняття управлінсько-економічних рішень та значення економічно-математичну інструментарію для їх обґрунтування…………………………………………………………………4

Тема 2. Огляд основних методів розв’язування оптимізації  задач ринкової економіки……………………………………………………….…12

Тема 3. Методи прийняття економічних рішень за умов ризику та (або) невизначеності..………………………………………………………………20

Тема 4. Формування оптимального портфеля та календарного плану реального інвестування ……………………..……………………………...29

Тема 5. Оптимізація кредитного портфеля за умов ризику щодо платоспроможності позичальників…………………………...……………33

Тема 6. Оптимізація календарного плану реалізації запасів сільськогосподарської продукції за умов цінового ризику…….……….38

Тема 7. Моделі управління товарними запасами…………………..43

Тема 8. Теоретико–ігрові методи прийняття рішень………………..…..50

Література………………………………………………………………….….56


Тема 1. Сутність процесу прийняття управлінських економічних рішень та значення економіко-математичного інструментарію для їх обґрунтування

  1.  Предмет, мета та зв’язок дисципліни з іншими науками.
  2.  Процес прийняття рішень.
  3.  Принципи побудови економіко-математичних моделей та використання економіко-математичних методів прийняття економічних рішень.
  4.  Роль і значення Особи, яка Приймає Рішення (ОПР).

  1.  Предмет, мета та зв’язок дисципліни  з іншими науками.

Об'єктом дисципліни виступає діяльність суб'єктів господарювання у сучасних умовах ринкової економіки з урахуванням тенденцій глобалізації економічних процесів та загострення конкуренції. Предметом дисципліни є задачі прийняття обґрунтованих економічних рішень, а також сучасні математичні методи розв'язування таких задач. Метою викладання дисципліни є вивчення широкого спектру сучасних математичних методів прийняття економічних рішень на основі системного аналізу, математичного моделювання та оптимізації діяльності суб'єктів господарювання в умовах ринкової економіки; опрацювання на конкретних, максимально наближених до реальних, навчальних задачах, прикладах та математичних моделях методик визначення оптимальних економічних рішень, з використанням обчислювальної техніки. Завдання вивчення дисципліни полягає у тому, щоб дати основні знання і навички щодо застосування математичних методів для розв'язування реальних прикладних задач ринкової економіки, розуміння тенденцій та перспектив розвитку економіко-математичних методів, здатності обирати належні методи та розуміти результати їх застосування при вирішенні конкретних економічних проблем. Курс пов’язаний, зокрема, з дисциплінами економічного циклу (Економічною теорією, теоріями Мікро-, Макро- та Мега- економік, Статистикою, Економікою підприємства тощо), дисциплінами циклу менеджменту, математичного циклу (Вищою математика, Теорією ймовірностей та Математичною статистикою, Математичним програмуванням, Дослідженням операцій, Економетрією), а також дисциплінами циклу Інформатики.

  1.  Процес прийняття рішень.

У сучасній економіці основними суб'єктами діяльності виступають економічний союз, держава, підприємство (від приватного малого до транснаціональної корпорації включно), домогосподарство. Діяльність кожного економічного суб'єкта здійснюється у конкретних умовах, з урахуванням відповідних норм, законів, правил, стандартів, традицій тощо, та у взаємодії з іншими суб'єктами господарювання. Ця діяльність є свідомою, цілеспрямованою та самокерованою. Отже, кожний суб'єкт господарювання є не лише елементом (світової) економічної системи. Одночасно він, як її підсистема, являє собою певну систему управління та складається з об'єкта управління (союз держав, країна, фірма або сім'я) та суб'єкта управління, який здійснює цілеспрямоване керування об'єктом управління. Перед суб'єктом управління постійно виникає проблемна ситуація: як (проблема), виходячи з конкретних умов та з урахуванням впливу навколишнього середовища (ситуація), здійснювати керування об'єктом управління, щоб у найкращий спосіб досягти визначених ним цілей?

Суть ринкової економіки полягає у тому, що усі суб'єкти господарювання є вільними у своїй економічній діяльності і повинні діяти на свій розсуд, орієнтуючись на існуючі умови, встановлені правила та ринкові регулятори (ціни, податки, відсоткові ставки, митні тарифи тощо, які формуються за результатами конкуренції виробників, продавців, покупців та споживачів). З розвитком суспільства, економіки та ринкових відносин посилюється відповідальність суб'єкта управління за визначення правильних управлінських рішень щодо належного керування об'єктом управління - суб'єктом економічної діяльності.

Принципова схема опрацювання проблемної ситуації полягає у наступному:

  1.  дати загальну характеристику проблемної ситуації;
  2.  визначити стратегічні цілі та напрями дій;
  3.  з'ясувати ключові аспекти та проблеми за кожним із напрямів дій;
  4.  окреслити шляхи розв'язання проблеми - визначити, зокрема, що слід робити, виходячи з яких принципів, від чого слід відмовитися;
  5.  виявити перешкоди, які слід подолати;
  6.  сформулювати критерії оцінювання результатів;
  7.  передбачити механізми контролю та адаптації.

Характерними ознаками управлінського рішення щодо суб'єкта господарювання є такі:

1) наявність мети (цілей) та орієнтація на свідоме її досягнення;

2) можливість вибору з множини альтернативних варіантів;

3) необхідність здійснення волевиявлення при виборі рішення.

Ці рішення можуть різнитися за:

  •  змістом (організаційні, економічні, фінансові, технічні, технологічні, соціальні);
  •  термінами дії та наслідками (стратегічні, тактичні, оперативні);
  •  ступенем унікальності (рутинні - такі, що повторюються; і, навпаки, унікальні, творчі) і т.і.

Поняття "рішення", "прийняття рішення" означають як процес, так і результат вибору. Рішення - як процес - складається з декількох послідовних етапів:

1. Підготовчого:

  •  усвідомлення та вивчення проблемної ситуації;
  •  формулювання цілей;
  •  оцінювання часу та обмежень (ресурсних, інформаційних тощо);
  •  формування переліку альтернатив;
  •  попереднє ранжування альтернатив.

2. Прийняття рішення:

  •  оцінювання альтернатив та їх упорядкування за переважністю;
  •  вибір та затвердження рішення.

3. Реалізації рішення:

  •  встановлення послідовності, термінів та методів (способів) виконання рішення;
  •  визначення виконавців та доведення до них рішення для виконання;
  •  забезпечення виконавців необхідними ресурсами.

4. Контролю та аналізу ефективності:

  •  організація контролю за виконанням рішення;
  •  облік, контроль і аналіз виконання рішення та його результатів;
  •  оцінювання ефективності результатів виконання рішення (з подальшим переосмислюванням проблемної ситуації).

  1.  Принципи побудови економіко-математичних моделей та використання економіко-математичних методів прийняття економічних рішень.

Вибір ефективних управлінських рішень неможливий без всебічного аналізу комплексу взаємозалежних чинників, визначення і порівняльної оцінки можливих альтернатив і допустимих планів дій. Тому широке застосування в процедурах прийняття управлінських економічних рішень знайшли математичні методи: моделювання, аналізу, балансування, імітаційного моделювання, прогнозування, оптимізації, підтримки прийняття рішень. Серед фундаторів цієї наукової й високоефективної галузі знань зазначимо В. Леонтьєва, Дж. Неймана, Л. Канторовича, Дж. Дантціга, В. Глушкова.

Економіко-математичною моделлю (ЕММ) називається вираз, що складається із сукупності пов'язаних між собою математичними залежностями (формулами, рівняннями, нерівностями, логічними умовами) величин – факторів, всі або частина яких мають економічний сенс. По своїй ролі в ЕММ ці фактори доцільно підрозділити на параметри й характеристики. При цьому параметрами об'єкта називаються фактори, що характеризують властивості об'єкта або  його складових елементів. У процесі дослідження об'єкта ряд параметрів може змінюватися, тому вони називаються змінними, які у свою чергу підрозділяються на змінні стану і змінні управління. Як правило, змінні стану об'єкта є функцією змінних управління і впливів зовнішнього середовища. Характеристиками (вихідними характеристиками) називаються  безпосередні кінцеві результати функціонування об'єкта, які цікавлять дослідника. Відповідно, характеристики зовнішнього середовища описують властивості зовнішнього середовища, що позначаються на процесі і результаті функціонування об'єкта. Значення ряду факторів, що визначають початковий стан об'єкта або зовнішнього середовища, називаються початковими умовами.

Очевидно, що для побудови як комплексу взаємопов’язаних економіко-математичних моделей, так і будь-якої часткової моделі необхідна система правил (принципів), що дозволяють коректно здійснювати процес формалізації виробничих систем.

Загальні принципи системного економіко-математичного моделювання випливають із загальних принципів системного аналізу, тобто вони повинні бути відповідями на наступні питання: 1) що повинно бути зроблено; 2) коли повинно бути зроблене; 3) за допомогою кого повинно бути зроблене; 4) на основі якої інформації здійснюється дія; 5) який результат повинен бути отриманий у результаті дій.

Тому, в якості загальних принципів системного економіко-математичного моделювання доцільно прийняти: 1) принцип достатності використовуваної інформації; 2) принцип інваріантості використовуваної інформації; 3) принцип наступності моделей; 4) принцип можливості ефективної реалізації комплексу економіко-математичних моделей.

1) Принцип достатності використовуваної інформації означає, що в кожній частковій моделі повинна використовуватися тільки та інформація, яка відома з необхідною для результатів моделювання точністю. Під відомою інформацією розуміються нормативні, довідкові та інші дані про реальну виробничу систему, що є на момент моделювання, точність яких можна оцінити.

2) Принцип інваріантості інформації вимагає, щоб використовувана в моделі вхідна інформація була незалежною від параметрів модельованої системи, які ще не відомі на даній стадії дослідження. Використання цього принципу дозволяє уникнути при побудові економіко-математичних моделей замкнутого кола, коли в моделі використовується інформація, що може бути відома лише за результатами моделювання. Так, наприклад, досить розповсюдженою є модель визначення тривалості виробничого циклу, у якій розміри партії деталей вважаються відомими, у той час як для вибору розмірів партій необхідні дані про тривалість виробничого циклу.

3) Суть принципу наступності зводиться до того, що кожна наступна модель не повинна порушувати властивостей об'єкта, встановлених або відображених у попередніх моделях комплексу. Отже, вибір критеріїв і моделі повинен у першу чергу базуватися на принципі наступності за умови, що забезпечується виконання принципів достатності та інваріантості використовуваної інформації. Якщо ж наступна модель не випливає з попередньої (а це найчастіше буває через використання при її побудові нової, додаткової інформації), то раніше побудовані моделі повинні бути скоректовані для забезпечення принципу наступності.

4) Важливим з точки зору практичного використання комплексу економіко-математичних моделей  є принцип ефективної реалізовуваності. Для його виконання необхідно, щоб кожна часткова модель могла бути реалізована за допомогою сучасних систем на кожному конкретному підприємстві.

Охарактеризовані принципи дозволяють будувати будь-як часткову модель виробничої діяльності і гарантують можливість її повного ув'язування зі всіма іншими економіко-математичними моделями.

Процес прийняття рішень із використанням економіко-математичного інструментарію складається з таких основних етапів:

  •  визначення проблемної ситуації та її формалізований опис;
  •  розробка економіко-математичних моделей;
  •  вибір методів і програмних засобів для проведення розрахунків;
  •  підготовка вихідної інформації;
  •  пошук і аналіз варіантів рішення;
  •  ухвалення рішення та затвердження плану його реалізації;
  •  контроль за виконанням рішення й оцінка результатів;
  •  аналіз проблемної ситуації та її переосмислення.

У числі найвідоміших задач математичного програмування можна назвати такі: оптимізація виробничої програми фірми, оптимізація плану перевезень продукції, оптимізація варіанту розподілу завдань між виконавцями, оптимізація плану введення в дію нових виробничих потужностей, оптимізація портфеля фінансових активів тощо.

У загальному вигляді оптимізаційну задачу (для визначеності обмежимося випадком максимізації; задачі мінімізації легко зводяться до зазначеного типу) записують так:

у = f(x) → mах,

x є X ,

де X - множина допустимих планів (альтернатив, дій, варіантів управлінських рішень); f - деяка дійсна функція, визначена на множині X, - разом із вимогою максимізації вона називається цільовою функцією.

Розв'язок задачі максимізації утворює пара < X*, у*>, де X * - множина оптимальних планів:

X* = {х*є Х | f(х*) ≥ f(х) x є X },

у * - оптимальне (зараз - максимальне або найбільше) значення цільової функції:

у * =f(x*)    x*є X*.

Розглянемо, наприклад, задачу найекономічнішого вибору декількох із n різних продуктових інноваційних проектів. За умов забезпечення випуску заданих обсягів виробництва продукції й обмежень із кількості основних виробничих ресурсів ця задача може бути подана так:

У запису задачі використані такі позначення величин, що вважаються відомими: n - кількість різних продуктових інноваційних проектів; j - номер окремого проекту (j=1,п ); т - кількість видів дефіцитних виробничих ресурсів: i - номер окремого виду ресурсів (i=1,m); р - кількість видів продукції; k- номер окремого виду продукції (k=1,р); еj - зведені витрати, пов'язані з впровадженням j -го інноваційного проекту; аij - потреба в ресурсах i -го виду для впровадження j-го проекту; bi - наявний обсяг виробничих ресурсів i-го виду; сkj - обсяг випуску k-го виду продукції за умов реалізації j-го інноваційного проекту; dk - мінімально необхідний випуск k-ї продукції.

Невідомими в задачі виступають: xj - логічна змінна, що відбиває факт вибору для впровадження j-го інноваційного проекту =1 , якщо j-й проект буде обраним для впровадження, і хj=0, якщо цей проект буде відхилено); у - сукупні зведені витрати, пов'язані з впровадженням усіх тих інноваційних продуктових проектів, що будуть обраними.

Задача належить до класу задач математичного програмування лінійного типу з бульовими змінними. Для її розв'язування може бути використаний табличний процесор Ехсеl.

  1.  Роль і значення Особи, яка Приймає Рішення (ОПР).

Центральною фігурою і суб'єктом прийняття рішення виступає ОПР - Особа, яка Приймає Рішення. Вона може являти собою одну особу - індивідуальна ОПР, або декілька осіб, котрі виробляють колективне рішення - групова ОПР. Причому індивідуальна ОПР - це не завжди одна фізична особа, оскільки часто роль індивідуальної ОПР може відігравати й колектив осіб, які обстоюють певні спільні інтереси, або юридична особа. Груповою ОПР, у свою чергу, може бути й кілька груп осіб, якщо кожна з груп має ті чи інші власні інтереси та переважання.

Вважається, що ОПР - це керівник або керівний орган, який формулює проблему, відіграє вирішальну роль у виборі розв'язку та несе відповідальність за обране рішення. Для допомоги у пошуку рішення ОПР залучає експертів та консультантів. Вони є фахівцями у певних предметних галузях, у тому числі з питань технології та організації процесів прийняття та впровадження рішень. Експерти та консультанти відповідальні за обґрунтованість рекомендацій, які вони готують для ОПР. Проте вони не підміняють ОПР у виборі рішення. Остаточне рішення завжди обирає ОПР відповідно до власної системи переважань. ОПР несе повну відповідальність за свій вибір та його наслідки.

Науковці називають 7 типових помилок, яких бажано уникати під час прийняття рішень:

  •  своєчасно  не підготуватися - непідготовленість призводить до прийняття необміркованих рішень;
  •  не враховувати можливі наслідки – „сліпі” рішення;
  •  не брати до уваги інтереси спільників - егоїстичні рішення;
  •  повністю покладатися лише на натхнення або інтуїцію - "геніальні" рішення;
  •  визначати напрямок дій лише на підставі власного настрою або
    симпатій, відкидаючи раціональні міркування, - емоційні рішення;
  •  вважати себе найрозумнішим та ігнорувати поради й рекомендації фахівців – самовдоволені та самовпевнені рішення;
  •  не вчитися на власних помилках - нерозумні та вперті рішення.

З метою підтримки процесів прийняття рішень ефективно використовуються відповідні методики, економіко-математичне моделювання та  оптимізаційні методи, сучасні інформаційні технології. Знання особливостей, переваг та недоліків різноманітних процедур і технологій прийняття рішень дозволяє обирати належний спосіб дій у конкретних проблемних ситуаціях. Упровадження автоматизованих систем управління (АСУ), управлінських інформаційних систем (УІС), нових інформаційних технологій (ІТ), автоматизованих робочих місць (АРМ) та мереж АРМ, систем підтримки прийняття рішень (СППР) не послаблюють, а навпаки, посилюють роль та відповідальність ОПР за результати її управлінської діяльності.

Управлінські рішення повинні відповідати вимогам наукової обґрунтованості, цілеспрямованості, законності, оптимальності (ефективності), своєчасності, комплексності. Окрім цього, при виборі рішень слід враховувати такі аспекти (чинники): правовий, соціальний, економічний, екологічний, політичний, організаційний, психологічний, науковий, технічний, технологічний тощо.

З огляду на це слід відзначити  певні принципові обмеження класичної оптимізаційної задачі. Зокрема, в оптимізаційних задачах, по-перше, припускається, що цільова функція і множина допустимих планів відомі та достатньо добре описані. По-друге, передбачається існування простого правила для зіставлення будь-яких двох допустимих планів. Як-от: на основі порівняння двох чисел, що є значеннями цільової функції при цих планах. По-третє, за межами задачі залишаються питання про те, хто відповідає за остаточний вибір рішення та чи правильно відбиті переважання ОПР у конкретній проблемній ситуації. Крім того, можливі ситуації, коли варто врахувати не один, а декілька критеріїв оптимальності.

Особливі прийоми необхідні при прийнятті рішень з урахуванням чинників невизначеності й ризику, а також у випадках, коли ОПР є груповою, із суперечливими інтересами її окремих учасників. Тому були розроблені й успішно використовуються спеціальні математичні методи підтримки прийняття рішень, призначені для розв'язування економічних задач ринкової економіки в різноманітних проблемних ситуаціях1.

  1.  


Тема 2. Огляд основних методів розв’язування оптимізаційних задач ринкової економіки.

  1.  Зміст і класифікація задач прийняття економічних рішень.
  2.  Оптимізаційні методи та моделі.
  3.  Задача планування розвитку та розміщення виробництва з оптимальним розподілом інвестиційних ресурсів .

  1.  Зміст і класифікація задач прийняття економічних рішень.

У найзагальнішому вигляді задача прийняття рішень полягає у пошуку такого з допустимих планів дій, який забезпечуватиме найпереважніший з усіх можливих наслідків порівняно з іншими, з огляду на всі можливі майбутні стани навколишнього середовища.

Якщо через Х , як і раніше, позначено множину альтернативних варіантів управлінських дій, а через ”m.pref ” - вимогу визначення якнайкращого варіанта дій, то задачу визначення управлінських економічних рішень запишемо так:

хm.pref,

 х є Х .

(Такий запис використовує X. Нікайдо – один із видатних науковців у галузі математичної економіки.)

Основними складовими задачі прийняття рішень є такі:

  •  ПС - загальна характеристика проблемної ситуації;
  •  ДП - множина допустимих планів дій для вирішення проблемної ситуації;
  •  СП - множина можливих станів навколишнього середовища
    (природи);
  •  МН - множина можливих наслідків;
  •  В:((ДП х СП) → МН) - відображення декартового добутку
    множини допустимих планів та множини можливих станів природи
    у множину можливих наслідків;
  •  ПОПР - система переважань ОПР на множині можливих наслідків МН (або на множині допустимих планів ДП);
  •  ПВ - правило, яке відбиває систему переважань ОПР (правило вибору).

Розрізняють, зокрема, такі задачі прийняття рішень:

А.  Залежно від зв'язку між альтернативними планами дій та наслідками:

  •  детерміновані - коли вибір одного з допустимих планів дій приводить лише до одного з множини можливих наслідків, тобто коли наслідок однозначно визначається обраним планом дій;
  •  недетерміновані - коли вибір одного з допустимих планів дій може приводити до кількох із множини можливих наслідків, причому конкретний наслідок визначатиметься залежно від стану, в якому перебуватиме навколишнє середовище.

У разі  недетермінованості, у свою чергу, розрізняють задачі прийняття рішень в умовах невизначеності - коли розподіл ймовірностей на множині можливих станів природи або на множині можливих наслідків невідомий, а також задачі прийняття рішень в умовах ризику - коли розподіл ймовірностей на множині можливих станів природи чи множині можливих наслідків або відомий, або може бути оцінений.

Б. За кількістю критеріїв оптимальності, які враховуються:

  •  однокритеріальні;
  •  багатокритеріальні.

В. Стосовно ОПР:

  •  задачі індивідуального вибору;
  •  задачі групового вибору.

Г. За специфікою розгляду інтервалу часу, для якого здійснюється дослідження:

  •  статичні - коли весь інтервал часу, що досліджується, можна розглядати як один часовий проміжок;
  •  динамічні - коли досліджуваний інтервал часу потрібно або доцільно розбити на кілька суміжних часових проміжків, після чого вивчати динаміку системи або процесу на окремих часових проміжках, з обов'язковим урахуванням міжпроміжкових зв'язків.

Серед динамічних задач за кількістю часових проміжків розрізняють, у свою чергу, задачі з дискретним або задачі з неперервним часом, а також задачі на скінченному або задачі на нескінченному інтервалі часу.

Для кожного з класів задач прийняття рішень існують відповідні підходи до розв'язування та математичні методи.

2. Оптимізаційні методи та моделі.

Оптимізаційні методи та моделі математичного програмування й дослідження операцій  знайшли  широке  використання  для розв'язування різноманітних задач ринкової економіки. Довільна оптимізаційна  модель, (оптимізаційна задача) містить, як правило, дві складові:

  •  цільову функцію,
  •  обмеження.

Цільова функція формалізує критерій оптимальності, за яким серед допустимих планів вибирається якнайкращий, а обмеження щодо змінних визначають множину допустимих планів. Частіше за все оптимізаційні економічні задачі є багатовимірними та в узагальненій формі мають вигляд:

у = f(х1,..., хn) → mах (min) ,

gi (х1,..., хn) ≤ 0, i=1,m1 ,

hi (х1,..., хn) = 0, i=m1 +1,m2 ,

де   х1,..., хn, у - дійсні змінні (керовані параметри), перші n з яких основні і утворюють план х=(х1,..., хn) задачі, а остання показує відповідне значення цільової функції;

f,   gi, i=1,m1,   hi, i=m1 +1,m2 дійсні функції n змінних х1,..., хn. Перша функція слугує як цільова, а усі інші використовуються з метою відбиття множини допустимих планів. Якщо кожна з цих функцій лінійна, то маємо задачу лінійного програмування; у супротивному випадку - задачу нелінійного програмування.

Серед обмежень задачі можуть зустрічатися особливі - наприклад, обмеження на знак окремих змінних або вимоги їх цілочисловості. Такі обмеження виокремлюють, називаючи інші обмеження основними, а виокремлені – додатковими. Якщо серед додаткових обмежень немає вимог цілочисловості, то маємо задачу математичного програмування з неперервними змінними (лінійну або нелінійну); у супротивному випадку - коли одна або кілька змінних повинні набувати лише цілочислових (у більш загальному випадку - дискретних) значень – задачу цілочислового (дискретного) математичного (лінійного або нелінійного, залежно від типу цільової функції та функцій в основних обмеженнях) програмування.

Найпоширенішими прикладами економічних задач лінійного програмування є задача про оптимальний розподіл виробничих ресурсів (інша назва - задача про оптимізацію виробничої програми) з неперервними змінними, що показують обсяги виробництва продукції, транспортна задача тощо. Найпоширенішими прикладами цілочислових задач є задача про оптимізацію виробничої програми з дискретними змінними - коли умова цілочисловості є істотною (наприклад, якщо йдеться про кількість реалізованих фірмою літаків); задача про призначення (розподіл робіт між виконавцями); задача про оптимальний вибір маршруту тощо. Нелінійні цільова функція або основні обмеження зустрічаються у випадках, коли залежності між певними змінними мають нелінійний характер. Наприклад, задача оцінювання коефіцієнтів рівняння регресії за критерієм мінімізації суми квадратів відхилень розрахункових значень залежної змінної від її фактичних значень є задачею квадратичного програмування. Цінність доходу (витрат, прибутку) для ОПР, як побачимо далі, також не завжди лінійно залежить від величини доходу. Таких прикладів багато.

Тип задачі (лінійна, нелінійна, дискретна) визначає методи, які використовуватимуться для її розв'язку, а саме:

  •  лінійного програмування (симплекс-метод, двоїстий симплекс-метод, інші);
  •  нелінійного   програмування   (прямі,   непрямі;   проектування,
    лінеаризації тощо);
  •  цілочислового програмування (методи відтинань, розгалуженого пошуку, комбінаторні, евристичні, випадкового пошуку);
  •  інші (залежно від особливостей задачі, що розв'язується).

Реалізацію оптимізаційних методів зручно здійснювати з використанням засобів обчислювальної техніки та спеціального програмного  забезпечення. Важливим і цікавим є факт, що прогрес у галузі математичного програмування й дослідження операцій відбувається точно згідно з прогресом у галузі комп'ютеризації, причому ці обидва процеси можна розглядати як взаємообумовлені.

3. Задача планування розвитку та розміщення виробництва з оптимальним розподілом інвестиційних ресурсів.

Розглянемо задачу планування розвитку та розміщення виробництва (галузі, корпорації) з оптимальним розподілом інвестиційних ресурсів. Постановка задачі полягає у наступному. З метою задоволення попиту в продукції слід забезпечити виробництво необхідними виробничими потужностями. Для вирішення цієї проблеми до уваги слід взяти усі можливі варіанти розвитку діючих підприємств, а також наявні проекти введення в дію нових підприємств. Вибір конкретних варіантів розвитку та розміщення підприємств здійснюється з урахуванням обсягів інвестиційних ресурсів, які можна буде використати для підтримки та нарощування виробничих потужностей. Критерієм оптимальності може слугувати вимога мінімізації необхідних загальних зведених інвестиційних витрат, витрат на виробництво продукції та на її перевезення до споживачів.

Побудуємо економіко-математичну модель цієї задачі. Для цього, передусім, уведемо такі позначення для відомих величин (некерованих параметрів):

i    -   номер   підприємства,   існуючого   або   запроектованого (і=1,m);

j - номер варіанта розвитку i - го підприємства (j = 1, ni);

Nij - виробнича потужність i-го підприємства за умови його розвитку за j-м варіантом;

Іij - інвестиційні витрати, необхідні для реалізації j - го варіанта розвитку на i-му підприємстві;

R - максимально можливий обсяг інвестиційних витрат, які cпрямовуватимуться на забезпечення розвитку усіх підприємств;

е - нормативний коефіцієнт економічної ефективності інвестицій (норма дисконту);

сij - вартість одиниці продукції, яку буде виготовлено на i - му підприємстві за умови його розвитку за j-м варіантом;

k - номер споживача продукції (k = 1, р);

bk - попит на продукцію з боку k - го споживача;

dik - транспортні витрати на перевезення одиниці продукції за маршрутом і → k.

Невідомими виступають:

xij - логічна змінна, яка відбиває факт вибору для реалізації j -го варіанта розвитку i - го підприємства (хij=1, якщо і-те підприємство буде розвиватися за j-тим варіантом, хij=0 – у супротивному випадку). :

yij - обсяг виробництва продукції на i - му підприємстві згідно з j -тим варіантом його розвитку;

zik - обсяг перевезень продукції за маршрутом і → k;

v - загальні зведені витрати на інвестування, виробництво та перевезення продукції.

За наведених позначень економіко-математична модель задачі планування розвитку та розміщення виробництва з оптимальним розподілом інвестиційних ресурсів набирає вигляду:

   

           

,

,  ,  

,

,   

, , .

Наведена математична модель являє собою задачу частково цілочислового лінійного програмування з бульовими змінними, її розв'язування доцільно здійснювати з використанням спеціальних прикладних програм на ПЕОМ. За невеликої кількості змінних у нагоді може стати підпрограма "Пошук рішення" пакета Ехсеl.

Розглянемо конкретний числовий приклад. Припустимо, що деяка однорідна продукція виготовляється на двох підприємствах П-1 та П-2. Окрім цього, у разі необхідності, може бути збудоване й третє підприємство – П-3. Потенційними альтернативними варіантами розвитку цих підприємств є такі (таблиця 1).

 Таблиця 1 

Варіанти розвитку підприємств

П-І

1. Залишити виробничу потужність на поточному рівні

2. Збільшити виробничу потужність за рахунок модернізації обладнання на 30 %

3. Збільшити виробничу потужність за рахунок розширення виробництва на 50 %

П-2

1. Залишити виробничу потужність на поточному рівні

2. Збільшити виробничу потужність за рахунок модернізації обладнання на 15 %

П-3

1. Організувати виробництво за проектом А

2. Організувати виробництво у більшому розмірі - за проектом Б

Більш докладна інформація щодо кожного з варіантів розвитку підприємств наведена у таблиці 2.

Таблиця  2

Основні технічні економічні показники потенційних варіантів розвитку підприємства

Показник

П1

П2

П3

В1

В2

В3

В1

В2

В1

В2

1.Виробнича потужність, тис.од. прод./рік

100

130

150

200

230

100

150

1.Необх. інвестиційні витрати, млн.грн.

1,0

12,0

20,0

3,0

15

75

90

3. Вартість. виробництва. од. продукції, грн.

200

200

190

180

170

170

160

Прогнозне значення перспективного попиту на продукцію дорівнює 400 тис. од. продукції на рік, із подальшим розподілом між трьома споживачами: С-1 - 160 тис. од. пр./рік, С-2 - 130 тис. од. пр./рік, С-3 -110 тис. од. пр./рік.

Транспортні витрати на перевезення одиниці продукції від виробників споживачам, за прогнозами експертів, складатимуть (таблиця 3).

Таблиця 3

Транспортні тарифи (гривень за одиницю продукції)

Підприємство

Споживач

С-1

С-2

С-3

П-1

5

15

25

П-2

10

10

5

П-3

5

20

15

Максимально можливий обсяг залучення інвестицій на розвиток усіх підприємств - 95 млн грн. Нормативний коефіцієнт економічної ефективності інвестицій - 0,2. Який слід обрати план розвитку підприємств?

Математична модель для розв'язування цієї задачі набере вигляду:

,

,

,

.

,

,

,

.

, , ,

, , ,

.

Знайдемо  розв'язок  цієї задачі,  використовуючи  електронну таблицю Ехсеl:

1. Оптимальними варіантами розвитку підприємств визначено такі:

П-1 –   залишити виробничу потужність на поточному рівні - 100 тис. одиниць продукції на рік;

П-2 –   збільшити виробничу потужність до 230 тис. одиниць продукції на рік за рахунок модернізації обладнання;

П-3 –  організувати виробництво за проектом А з виробничою потужністю 100 тис. одиниць продукції на рік.

2. Обсяги виробництва на кожному з підприємств доцільно визначити такими:

П-1   –  70 тис. одиниць продукції на рік;

П-2   –  230 тис. одиниць продукції на рік;

П-3   –  100 тис. одиниць продукції на рік.

3. Резерв виробничих потужностей на випадок непередбаченого зростання попиту дорівнює 30 тис. одиниць продукції на рік. Цей резерв зосереджено на підприємстві П-1.

4. Прогнозовані потреби споживачів у продукції задовольнятимуться повністю. План постачання продукції такий (у тис. одиниць продукції на рік):

П-1   →   С-1   -     60

П-1   →   С-2    -    10

 П-2   →   С-2     -   120

 П-2   →   С-3     -   110

 П-3   →   С-1    -    100

5. Витрати на виробництво продукції дорівнюватимуть 70,1 млн. грн. на рік, транспортні витрати - 2,7 млн. грн. на рік. Інвестиційні витрати складатимуть 91 млн. грн., зведені інвестиційні витрати - 18,2 млн. грн.

6. Оптимальні загальні зведені витрати на інвестування, виробництво та перевезення продукції дорівнюють: 18,2+70,1+2,7=91 (млн. грн. на рік).

Тема 3. Методи прийняття економічних рішень за умов ризику та/або невизначеності

1. Сутність прийняття економічних рішень за умов ризику та/або невизначеності.

2. Критерії (принципи) прийняття економічних рішень.

3. Практичні підходи до використання критеріїв вибору альтернатив.

1. Сутність прийняття економічних рішень за умов ризику та/або невизначеності.

В економічній діяльності завжди мають місце невизначеність та ризик щодо результатів управлінських рішень, особливо щодо майбутнього доходу, витрат або прибутку, які будуть отримані внаслідок ринкової купівлі-продажу ресурсів, продукції та послуг.

Припустимо, що потрібно вибрати найкращу з m альтернатив у випадку, коли остаточний результат (цінність) кожної і-ї альтернативи (і=1,m) буде визначатися конкретним станом оточуючого середовища («природи») - j - із деякої скінченної множини можливих станів (j = 1, n). Таким чином, у момент прийняття рішення кожна i-та альтернатива характеризується n -вимірним вектором:

де uij - цінність цієї альтернативи, якщо природа опиниться у своєму j-му стані. Принциповим є те, що в момент прийняття рішення щодо вибору альтернативи конкретний стан, у якому буде знаходитися навколишнє середовище, невідомий, у зв'язку з чим потрібно брати до уваги усю сукупність його можливих станів.

Подібні задачі підрозділяються на два класи. Це, по-перше, задачі прийняття рішень за умов невизначеності, коли немає ніякої інформації про імовірності виникнення кожного з можливих станів природи. По-друге, це задачі прийняття рішень за умов ризику, коли можна дати певну (об'єктивну або суб'єктивну) оцінку імовірнісному розподілу станів природи, тобто коли імовірності виникнення кожного з можливих майбутніх станів оточуючого середовища можна вважати відомими.

Теорія прийняття рішень має набір принципів (критеріїв), що можуть бути використані для розв'язування подібних задач. Перед ознайомленням із ними домовимося інформацію про задачу подавати в зручному для дослідження вигляді – за допомогою матриці цінностей альтернатив (таблиця 4).


Таблиця
4

Загальний вигляд матриці цінностей альтернатив

Номер альтернативи

Номер можливого стану природи

1

j

N

1

U11

U1j

U1n

I

Ui1

Uij

Uin

m

Um1

Umj

Umn

Кожний i-й рядок цієї матриці характеризує цінність відповідної i-ї альтернативи з огляду на множину всіх можливих майбутніх станів оточуючого середовища. З іншого боку, кожний j-й стовпчик матриці цінностей показує цінність усіх альтернатив, якщо природа опиниться саме у своєму j-му стані.

Припустимо, наприклад, що очікуваний квартальний прибуток підприємства за умови продовження ним роботи у традиційному режимі складе 125 тис. грн. - якщо не з'явиться конкурентів, і 90 тис. грн. - якщо конкуренція посилиться, а за умови активізації підприємством рекламної діяльності - 120 тис. грн. без конкурентів і 95 тис. грн. за умов посилення конкуренції. Тоді матрицю цінностей (зараз - матрицю очікуваних прибутків) можна подати за допомогою таблиці 5.

Таблиця 5

Очікуваний квартальний прибуток підприємства

залежно від обраної ним політики рекламної діяльності та

рівня конкуренції (тис, грн.)

Альтернативні варіанти політики підприємства

Можливі стани оточуючого середовища

1. Конкуренція відсутня

2. Конкуренція посилилася

1. Продовжувати працювати у традиційному режимі

125

90

2. Посилити рекламну діяльність

120

95

Коли матрицю цінностей альтернатив побудовано, можна починати порівняння альтернатив, з огляду на невизначеність і/ або ризик щодо можливих майбутніх станів оточуючого середовища.

Якщо взяти окрему і-ту альтернативу (і є {1,…, m}), то в найгіршому для неї випадку її цінність - ui0 - буде дорівнювати найменшому з чисел ui1,…,uin:

Це - песимістична оцінка i-ї альтернативи. Наприклад, для рішення підприємства посилити рекламну кампанію (його друга альтернатива) песимістична оцінка цього варіанта дій дорівнює 95 тис. грн. очікуваного квартального прибутку, що відповідає випадку, коли конкуренти посилять свою діяльність на ринку.

Навпаки, у найбільш сприятливому для i-ї альтернативи випадку її цінність буде складати розмір ui*, який дорівнює найбільшому з чисел ui1,…,uin:

Це - оптимістична оцінка i-ї альтернативи. Так, якщо підприємство вирішить посилити рекламну кампанію (знову розглядаємо його другу альтернативу), то оптимістична оцінка цього рішення буде дорівнювати 120 тис. грн. очікуваного квартального прибутку; вона досягатиметься за умов, коли рівень діяльності конкурентів на ринку залишиться без змін.

2. Критерії (принципи) прийняття економічних рішень.

1) Максимінний критерій (критерій Вальда, песимістичний). 

Відповідно до цього критерію рекомендується обирати таку з альтернатив i*, песимістична оцінка якої є найкращою:

Такий підхід гарантує, що навіть у найгіршому із станів природи результуюча цінність обраного варіанту дій буде не меншою, аніж ui*0. За песимістичним критерієм нашому підприємству слід посилити свою рекламну діяльність, оскільки песимістична оцінка першої альтернативи - продовжувати працювати в традиційному режимі – складає: u10 = min{125, 90} = 90, а другої альтернативи - посилити рекламну діяльність - дещо більша: u20 = min{120, 95} = 95.

2) Що стосується максимаксного («оптимістичного») критерію, коли буде вибиратися альтернатива з найбільшою оптимістичною оцінкою, то такий принцип практично неможливо захистити від критики, оскільки очікування лише найсприятливіших станів оточуючого середовища часто, як правило, не виправдуються.

3) Критерій Гурвіца (критерій песимізму-оптимізму). Принцип, що розглядається, являє собою комбінацію позицій крайнього песимізму і крайнього оптимізму. Позначимо через а є [0; 1] число, що характеризує ступінь оптимізму, тобто ступінь очікування найкращого зі станів природи. Рекомендується обирати таку альтернативу, якій відповідає найбільша зважена песимістично-оптимістична оцінка:

Бачимо, що при а=0 принцип Гурвіца перетворюється в песимістичний, а при а=1 - в оптимістичний критерій. Оскільки ОПР, як правило, відмовляється від позицій крайнього песимізму або крайнього оптимізму, то конкретне значення a буде знаходитися десь усередині проміжку [0; 1]. У багатьох випадках значення параметра а доцільно брати з проміжку [0.2; 0.7]. Наприклад, коли а=0.4, зважена песимістично-оптимістична оцінка рішення лишити рівень рекламної діяльності без змін буде дорівнювати:

.

Вона менша від відповідної оцінки другої альтернативи - рішення посилити рекламну діяльність, оскільки

.

Особливістю всіх трьох вищенаведених критеріїв є те, що для кожної альтернативи вони враховують або її песимістичну, або оптимістичну, або тільки песимістичну й оптимістичну оцінки. Тобто увага приділяється лише двом оцінкам, у той час коли можливих станів природи і, відповідно, різних за значенням оцінок кожна альтернатива може мати дуже багато. Принципи, що буде наведено далі, враховують усі можливі стани природи.

4) Критерій Лапласа. Коли немає ніяких підстав вважати, що кожний окремий стан природи більш імовірний у порівнянні з іншими, використовують припущення про те, що імовірність виникнення кожного з можливих станів оточуючого середовища однакова. Тоді оцінку середньої цінності кожної альтернативи можна обчислити за формулою звичайного середнього арифметичного всіх її можливих оцінок у різних станах природи:

Після чого обирати ту з альтернатив, яка має найбільшу середню оцінку. У нашому прикладі кожне з двох альтернативних рішень має однакові оцінки середньої цінності, що дорівнюють 107,5 тис. грн.

5) Критерій Байєса-Лапласа. Попередній критерій ґрунтувався на принципі недостатньої підстави - не було підстав вважати імовірність виникнення того або іншого стану природи більшою у порівнянні з іншими станами природи. Навпаки, якщо є можливість певним чином оцінити імовірності виникнення кожного з можливих станів оточуючого середовища, то тоді замість простої середньої оцінки цінності кожної альтернативи доцільніше розглядати зважену середню арифметичну оцінку (оцінку Байєса-Лапласа):

,

де рj - це імовірність того, що природа опиниться саме в її j–му стані (j = 1,n).

Принцип Байєса-Лапласа рекомендує обирати ту з альтернатив, оцінка зваженої середньої арифметичної цінності котрої найбільша. Якщо, розглядаючи наш приклад, вважати, що активність конкурентів на ринку посилиться з імовірністю 0.7, то тоді будемо мати:

,

,

тобто за критерієм Байєса-Лапласа дійдемо висновку про необхідність посилити рекламну діяльність.

6) Критерій Ходжеса-Лемана є комбінацією максимінного критерію і критерію Байєса-Лапласа. Він використовує параметр ßє[0;1], що характеризує ступінь довіри ОПР до імовірнісного розподілу виникнення можливих станів природи. Відповідно до принципу Ходжеса-Лемана, слід орієнтуватися на ту з альтернатив, що має найбільшу оцінку Ходжеса-Лемана:

,

де - песимістична оцінка i альтернативи, а -її оцінка за Байєсом-Лапласом.

При ß = 1 (повній довірі ОПР до імовірнісного розподілу можливих станів оточуючого середовища) ми одержуємо принцип Байєса-Лапласа, при ß = 0 (повна зневага до імовірнісних оцінок) - повертаємося до песимістичного критерію. Оскільки значення параметра ß, які дорівнюють 1 або 0, є винятковими, можна припустити, що ОПР частіше буде погоджуватися з вибором параметра ß із середини проміжку [0; 1 ]. Широкого застосування в цьому відношенні знайшов проміжок [0.3; 0.8]. Наприклад, коли ß = 0.7, то для рішення лишити рівень рекламної діяльності без змін оцінка за Ходжесом-Леманом буде дорівнювати:

а для рішення посилити рівень рекламної діяльності:

.

Помічаємо, що в нашому прикладі критерій Ходжеса-Лемана завжди буде віддавати перевагу другій альтернативі в порівнянні з першою, оскільки друга альтернатива має більшу песимістичну оцінку, а також, коли імовірність посилення діяльності конкурентів дорівнює 0,7, і більшу оцінку Байєса-Лапласа. Водночас, якби посилення конкуренції оцінювалося б менше ймовірним, результати розрахунків за наведеними критеріями могли б дати зовсім інші рекомендації.

3. Практичні підходи до використання критеріїв вибору альтернатив.  

Критеріїв (принципів) вибору альтернатив за умов невизначеності і/або ризику, подібних до розглянутих, відомо багато (в літературних джерелах їх наводиться більше 20). Кожний із критеріїв має як певні переваги, так і окремі недоліки. Тому вважаємо за доцільне розглянути узагальнену характеристику задачі прийняття рішень за умов невизначеності і/або ризику, а також обговорити рекомендації щодо використання відповідних принципів (критеріїв) у практичних випадках.

Перший висновок, що випливає з аналізу проведених вище розрахунків, полягає у тому, що рекомендації щодо вибору альтернатив можуть різнитися залежно від критерію, який було використано. Щоб підкреслити, що цей висновок має досить загальний характер, проаналізуємо дані нової задачі, що наведені в таблиці 6.

Таблиця 6 

Матриця цінностей і рекомендації щодо вибору

альтернатив за різними критеріями (прибуток, грошових одиниць)

                         Номер альтернативи

Номер стану природи

Оцінка альтернатив за різними критеріями

1

2

3

4

1

2

3

100

0

30

0

50

40

20

60

30

0

70

60

0

0

30

100

70

60

40

28

42

30

43

40

44

34

36

22

17

33

Для критерія Гурвіца ;

Для критерія Байєса-Лапласа , , , ;

Для критерія Ходжеса-Лемана .

Бачимо, що максимінний критерій Вальда призводить до третьої альтернативи, максимаксний - «оптимістичний» - до першої, критерій Гурвіца - знову до третьої, критерій Лапласа - до другої, критерій Байєса-Лапласа - до першої, а критерій Ходжеса-Лемана -повертає до третьої. Однозначних рекомендацій для подібних ситуацій не існує. Але, оскільки остаточний вибір здійснює ОПР, то було б корисним ознайомити її з пропозиціями, що відповідають різним критеріям. Водночас застерігаємо проти використання такого нового принципу, за яким перевага віддавалася б тій альтернативі, на яку вказує більшість критеріїв.

Беззаперечним є лише правило про те, що коли одна альтернатива залишається гіршою від деякої іншої альтернативи у довільному з можливих станів оточуючого середовища, то тоді таку першу альтернативу потрібно відкинути, оскільки вона домінується другою альтернативою. Ретельного аналізу з точки зору ОПР потребують лише ті альтернативи, що не домінуються іншими.

У багатьох випадках може виявитися корисним максимінний критерій, оскільки він гарантує досягнення найкращого результату в найгіршому з випадків. Але цей критерій не випадково називають песимістичним, або підходом занадто обережної ОПР. Наприклад, якщо таблиця цінностей альтернатив буде мати вигляд, показаний у таблиці 7, то вибір першої альтернативи багатьом може видатися нераціональним.

Таблиця 7 

Приклад матриці цінностей для аналізу песимістичного критерію (прибуток, грошових одиниць)

Номер альтернативи

Номер стану природи

1

2

3

4

5

1

10

2

2

2

2

2

1

10

10

10

10

Максимінний підхід орієнтує нас на вибір першої альтернативи. І якщо немає впевненості в практичній неможливості першого стану природи, то це видається правильним. Але, з іншого боку, якщо немає підстав вважати, що імовірність виникнення першого стану природи істотно перевищує імовірність події виникнути в одному з чотирьох інших станів природи, то чому ми повинні відхиляти другу альтернативу? Адже в чотирьох із п'яти можливих станів природи друга альтернатива є кращою, аніж перша.

Повернемося до правила відкидання альтернатив, що домінуються іншими альтернативами. Припустимо, що одна альтернатива (перша) не гірша від деякої іншої (другої) у кожному з можливих станів природи, причому принаймні в одному із станів природи перша альтернатива краща, аніж друга. У подібній ситуації також можна стверджувати, що друга альтернатива домінується першою, тобто другу альтернативу з розгляду можна виключити. Але коли взяти конкретний простий приклад з двома альтернативами і трьома можливими станами природи, у якому векторні оцінки цінностей альтернатив такі: u1 =(1;10;8) і u2 =(1;10;5), то побачимо, що перша альтернатива домінує другу, хоч ані критерій Вальда, ані критерій Гурвіца чітко розпізнати цю ситуацію не можуть. Отже, критерії Лапласа, Байєса-Лапласа і Ходжеса-Лемана мають певну перевагу.

Щодо критерію Лапласа, який ґрунтується на принципі недостатньої підстави — коли немає підстав вважати імовірність виникнення того або іншого стану природи більш високою у порівнянні з довільним іншим станом природи, -  то тут також слід діяти обережно. Справа в тому, що принцип недостатньої підстави не можна застосовувати у випадках, коли зовсім нічого не відомо про те, із якою імовірністю може виникнути той чи інший стан оточуючого середовища. Адже у випадку повного незнання ймовірностей можна вважати, що задачі 1 і 2, інформація про які наведена нижче в таблиці 8, описують одну і ту саму ситуацію.

Таблиця 8

Приклад тотожності двох задач прийняття

рішень за умов невизначеності, коли зовсім нічого

невідомо про імовірності можливих станів природи

(прибуток, грошових одиниць)

Задача 1

Задача 2

Номер альтернативи

Можливі стани природи

Номер

альтернативи

Можливі стани природи

Перший

Другий

Третій

Четвертий

Перший

Довільний,

окрім першого

1

6

0

0

0

1

6

0

2

0

4

4

4

2

0

4

Якщо виходити з принципу недостатньої підстави, то в задачі 1 за критерієм Лапласа перевагу слід віддати другій альтернативі:

,

.

у той час як у задачі 2 за цим же критерієм кращою виступає перша альтернатива:

,

.

Але якщо ми й справді нічого не знаємо про імовірності виникнення можливих станів природи, то чому вихідну задачу 1 ми не можемо замінити задачею 2? З іншого боку, якщо ОПР вважає, що заміна задачі 1 задачею 2 не є тотожною, то це свідчить про те, що ОПР усе ж таки має певне уявлення про імовірності виникнення різних станів природи.

Не варто вважати, що навіть об'єктивна інформація про імовірності можливих майбутніх станів оточуючого середовища значно спрощує проблему вибору. Наприклад, у ситуації, коли інвестиції в $ 20 тис. можуть з однаковими імовірностями (по 1/2) або дати нульовий валовий прибуток, або валовий прибуток у розмірі $ 100 тис., то тоді очікуваний чистий прибуток буде складати:

тис. $.

Цей висновок нібито свідчить про доцільність інвестування $ 20 тис. Але коли один із підприємців вважає, що втрата ним $ 20 тис. призведе його до банкрутства, а другий підприємець має незадіяний капітал на суму, що значно перевищує $ 20 тис., то, мабуть, їхня реакція на цю ризиковану пропозицію буде різною.


Теми 4-6. Прикладні аспекти використання математичних методів і моделей підтримки прийняття рішень у ринковій економіці

Тема 4. Формування оптимального портфеля та календарного плану реального інвестування

Тема 5. Оптимізація кредитного портфеля за умов ризику щодо платоспроможності позичальників

Тема 6. Оптимізація календарного плану реалізації запасів сільськогосподарської продукції за умов цінового ризику

Опрацюємо можливості практичного використання математичних методів підтримки прийняття економічних рішень на прикладах задач оптимізації виробничої програми за умов недетермінованих цін на продукцію та виробничі ресурси, оптимального управління фінансовим портфелем за умов ризику або невизначеності щодо майбутньої прибутковості фінансових інструментів, оптимізації валютного резерву за детермінованих умов, умов ризику або умов невизначеності щодо показників майбутньої відносної цінності різних валют, задачі оптимізації кредитного портфеля за умов ризику щодо платоспроможності позичальників та задачі оптимізації календарного плану реалізації запасів сільськогосподарської продукції за умов цінового ризику.

Тема 4. Формування оптимального портфеля та календарного плану реального інвестування

Важливим чинником ефективної інвестиційної діяльності є належне формування портфелю та календарного плану виконання проектів реального інвестування. Такий план у кожний період часу повинен бути збалансованим щодо необхідних та наявних інвестиційних ресурсів. Це дозволить здійснювати безперервну реалізацію кожного з обраних до портфелю інвестиційних проектів. Оптимізаційна спрямованість забезпечуватиме визначення такого з допустимих планів, який характеризується найкращими економічними показниками, очікуваними від реалізації обраного комплексу інвестиційних проектів в цілому. До того ж, методика планування обов'язково повинна враховувати ризик щодо очікуваних показників реалізації кожного з інвестиційних проектів та особливості індивідуального ставлення інвесторів по відношенню до цього ризику.

Показники окремого інвестиційного проекту у детермінованому випадку.

Некеровані параметри:

Т – тривалість виконання (життєвий цикл) інвестиційного проекту,

τ- номер окремого часового проміжку з ЖЦ проекту,

Іτ- інвестиційні ресурси необхідні для виконання проекту в часовому проміжку τ його життєвого циклу,

Vτ- вартісна оцінка поточних (не інвестиційних) витрат пов’язаних з функціонуванням проекту,

N- чистий зведений до початку ЖЦ дохід за проектом.

,

Керовані змінні:

хt – логічна змінна, яка відбиває факт вибору проекту та початок його реалізації у часовому проміжку t планового періоду.

То – тривалість горизонту планування, То≥T

t – номер окремого проміжку часу з планового горизонту.

Припустимо, що потенційний інвестиційний проект має ЖЦ  5 років і характеризується такими показниками (таблиця 9):

Таблиця 9

Показники

Рік ЖЦ

1

2

3

4

5

Інвестиційні витрати

Поточні витрати

Поточні результати

50

20

-

40

80

20

30

100

400

-

150

600

-

200

800

Якщо цей проект розпочати відразу то No – чистий зведений до початку планового періоду дохід за проектом співпадатиме з N.

Якщо проект розпочати з 3–го року то зведений до початку планового періоду чистий дохід буде таким:

Формування інвестиційного портфеля та календарного плану у детермінованому випадку.

Нехай є n потенційних інвестиційних проектів кожен з яких характеризується такими показниками : j – номер окремого проекту (j=.

Tj, I, V , R  – для кількох проектів.

Nj – чистий, зведений до початку життєвого циклу дохід:

Значення індексу t для змінних xjt перебуває в межах від 1 до Tj0-Tj+1,  де  T0 – тривалість планового горизонту. Інвестиційний портфель і календарний план потрібно сформувати з урахуванням лімітів інвестиційних ресурсів.

Kt – ліміт інвестицій на часовий проміжок t, планового горизонту, t=, То>max Tj, j=, причому загальна величини чистого доходу за усіма обраними проектами має бути якнайбільшою.

Економічно математична модель задачі інформування інвестиційного портфелю та календарного плану його виконання у детермінованому випадку має такий вигляд:

Приклад: Розглянемо 5 потенційних інвестиційних проекти, інформацію про які наведено в таблиці 10.


Таблиця 10

№ проекту

Тривалість

років

Чистий дохід, зведений до початку

виконання проекту, тис.грн.  

Щорічні інвестиційні витрати протягом життєвого циклу проекту, тис.грн.

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

5

4

6

5

7

486,613

547,311

284,192

315,640

459,811

50

100

40

60

70

40

150

70

120

80

30

50

100

-

50

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Горизонт планування - 10 років.

Щорічний ліміт інвестицій у перші два роки по 150 млн. грн., у кожні наступні по 180 млн.грн.

Економіко-математична модель за наведеними даними має вигляд:

  

50x11+100x21+40x31+60X41+70X51  ≤ 150,

50x12+40x11+100x22+150x21+40x32+70x31+60x42+120x41+70x52+80x51≤150;

50x1,t+40x1,t-1+30x1,t-2+100x2,t+150x2,t-1+50x2,t-2+40x3,t+70x3,t-1+                 +100x3,t-2+60x4,t+120x4,t-1+70x5,t+80x5,t-1+50x5,t-2≤180,           

x11+x12+x13+x14x15+x16≤1;                x17=x18=x19=x1,10=0;

x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27≤1;            x28=x29=x2,10=0;

x31+x32+x33+x34+x35≤1;                     x36=x37=x37=x38=x39=x3,10=0;

x41+x42+x43+x44+x45+x46≤1;                x47=x48=x49=x4,10=0;

x51+x52+x53+x54≤1;                             x55=x56=x57=x58=x59=x5,10=0;

Для вирішення задачі використовують підпрограму «пошук рішення» Excel. Через обмеженість інвестиційних ресурсів на початок планового періоду можна розпочати лише 2 проекти: 1-ий та 5 – ий, з 3-го періоду можна підключити 4 –ий , з 4 –го 3 –ій проект, а 2 –ий з 7 –го періоду. Такий план забезпечує безпарервне виконання кожного з проектів та максимальний чистий зведений дохід у сумі 1513,375 млн.грн. Але лише за відсутності ризику.

Тема 5. Оптимізація кредитного портфеля за умов ризику щодо платоспроможності позичальників

Особливістю кредитної сфери України є значна кількість короткострокових кредитів порівняно до довгострокових, а також частка проблемних кредитів. Із збільшенням терміну надання позики зменшується ймовірність своєчасного та повного виконання позичальником кредитної угоди.

Водночас серйозні інвестиційні проекти вимагають довгострокового кредитування, тому виникає проблема – як збільшити частку великих довгострокових кредитів і водночас зменшити ризик несвоєчасного повернення коштів. Першим із засобів є використання кредитними установами методики оптимізації кредитних портфелів.

Методика, що розглядається, дозволяє враховувати як вимогу максимізації чистого доходу кредитного портфелю так і вимогу мінімізації дисперсії доходу, тобто вимогу зменшити ризик отримання загального зведеного чистого доходу у розмірі, меншому від очікуваного.

Кредитний запит. Кожен кредитний запит характеризується розміром позики Q, яку бажано було б отримати позичальником у момент часу To та графіком повернення позичкових коштів та відсотків за кредит. Цей графік повинен містити інформацію про розмір платежів Vi, які які здійснюються позичальником у календарний момент часу Ti, . Нехай r- нормативна добова ставка використання банком кредитних ресурсів, тоді у разі прийняття банком кредитного запиту до виконання чистий дохід банку D зведений до часу To, розраховується за формулою:

D=-Q+,

Rі-ставка дисконту для моменту часу Ті,

ri=(1+r)Ti-To-1;

Приклад: Нехай маємо такий кредитний запит (таблиця 11):


Таблиця 11

Показники

Позика

Сплати

1

2

3

4

5

Розмір, тис.грн.

Дата

100

01.09.05

10

01.10

20

01.11

30

01.12

40

01.01

50

01.02

r= 0,1%, то зведений  на 01.09.05 чистий дохід банку дорівнює:

D= -100+

Визначення оптимального кредитного портфеля у детермінованому випадку.

Нехай на момент часу То є певна множина з n кредитів, кожен з яких пройшов попередню експертизу і може бути обраний банком для виконання. В умовах обмеження банку необхідно сформувати такий кредитний портфель, який забезпечив би якнайбільший зведений чистий дохід Dвід розміру наявних у нього на момент часу То кредитних ресурсів R. Маємо цілочисельну задачу математичного програмування з бульовими змінними:

,       ,

.

Dj, Qj- зведений чистий дохід і  розмір позики за окремим j-им   кредитним запитом з числа тих, що розглядались на момент часу То.

Невідомими виступають логічні змінні xj(j=), що відбивають факт включення j- го запиту до портфеля або відмови від нього.

Припустимо, що на 01.09.05 є наступні показники (таблиця 12):

Таблиця 12


Показники,

тис.грн.

Номер позики

1

2

3

4

5

Розмір позики

Чистий зведений дохід

100

16,8

200

30,5

300

50,1

400

62,7

500

80,2

Якщо ліміт кредитних ресурсів банку на 01.09.05 складає 1 млн.грн., то оптимальний кредитний портфель x1 =(0,1,1,0,1) включатиме 2, 3 та 5 запити. Запити 1 та 4 через брак кредитних ресурсів буде відхилено. Знайдений портфель за детермінованих умов забезпечить банку загальний чистий зведений дохід на 01.09.05 у розмірі 160,8 тис.грн.

Показники ризику кредитного запиту.

Розглянемо окремий кредитний запит, який характеризується розміром позики Q, та зведеним чистим доходом D грошових од. Завжди існує ймовірність р є [0;1] мйбутньої неплатоспроможності позичальника. З урахуванням цього ризику необхідно залучити до розгляду показники очікуваного зведеного чистого доходу  та дисперсії зведеного ЧД  .

Ці показники можна обчислити за формулами:

=D(1-p)+(-Q)p=D-(D+Q)p;

=(1-p)+(-Q-p=(D+Q)2p(1-p)

Показник стандартного відхилення чистого зведеного доходу:

;

Розглянемо показники ризику кредитних запитів охарактеризованих  раніше (таблиця 13):

Таблиця 13


Показники

Номер запиту

1

2

3

4

5

Зведений ЧД, тис.грн.

Розмір позики, тис.грн.

Ймовірність неплатоспроможності (експертна оцінка)

Очікуваний ЗЧД, тис.грн.

Стандартне відхилення ЗЧД.

16,8

100

0,03

13,3

2,871

30,5

200

0,05

18,93

6,658

50,1

300

0,02

43,1

7,017

62,7

400

0,01

58,07

6,240

80,2

500

0,04

56,99

15,724

 

Показники ризику кредитного портфеля.

Розглянемо множину з n запитів довільного кредитного портфеля x= (x1...xn). За умов ризику загальний зведений ЧД банку слід вважати випадковою величиною. Її сподіване значення визначається показниками очікуваного зведеного ЧД,  кожного з кредитних запитів:

Для обчислення дисперсії загального зведеного ЧД портфелю необхідно поряд з даними про дисперсію зведеного ЧД за окремим запитом використовувати інформацію про коефіцієнти кореляційної залежності між неплатоспроможністю відповідних позичальників.

- стандартне відхилення зведеного ЧД  j-го кредитного запиту,

- експертна оцінка коефіцієнта кореляції між неплатоспроможністю позичальника j- го та  k- го кредитного запиту (j,k=)

Припустимо, що коефіцієнт кореляції між неплатоспроможністю позичальників наведено в таблиці 14.

Таблиця 14

Запит

Запит

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1,0

0,7

-01

0

0,3

0,7

1,0

0

0

0,1

-0,1

0

1,0

-0,2

-0,1

0

0

-0,2

1,0

0,1

0,3

0,1

-0,1

0,1

1,0

Розрахуємо для кредитного портфелю х1, який був оптимальним у детермінованому випадку показники ризику за наведеними даними.

Очікуваний ЗЧД та його стандартне відхилення будуть такими:

(x1)=13.3*0+18.98*1+43.1*1+58.07*0+56.99*1=119.07 тис.грн.

(x1)=6,6582+7,0,172+15,7242+2*6658*0*7,017+2*0,1*6,658*15,724+2*(-0,1)*7,017*15,724=339,68.

(x1)==18,430 тис.грн.

Аналогічним способом можна визначити показники ризику довільного кредитного портфеля.

Визначення оптимального кредитного портфеля за умов ризику.

За умов ризику неплатоспроможності позичальників, оптимальний кредитний портфель визначатиметься показниками очікуваного загального зведеного чистого доходу  та його стандартним відхиленням, виходячи з особливого ставлення до ризику кредитора. За несхильності до ризику оптимальний кредитний портфель відповідає розв’язку задачі цілочисельного квадратичного програмування з бульовими змінними.

Цільова функція задачі відбиває як вимогу максимізації загального ЧД кредитного портфеля так і вимогу мінімізації дисперсії доходу, тобто вимогу зменшення ризику.

r- забезпечує досягнення певного компромісу між зазначеними критеріями.

Він визначається рівнем несхильності до ризику, який є прийнятним у конкретних кредитних установах. Зокрема можна скористатися такими рекомендаціями (таблиця 15):

Таблиця 15

Рівень несхильності до ризику

Помірний

Середній

Високий

Рекомендоване значення параметра

0,02

0,05

0,10

Приклад. Скористаємось даними попередньої задачі (ліміт кредитних ресурсів на 01.09.05 1 млн.грн.,). Рівень несхильності до ризику вважатимемо середнім. Оптимальними за допомогою EXСEL буде визначено кредитний портфель 2.

X2 =(1,1,1,1,0),

Статистичні характеристики показника його ефективності наступні:

 

2) = 133,44 тис.грн.

2) = 12,081 тис.грн.

У порівнянні з попереднім портфелем спостерігається не лише збільшення очікуваного зведеного ЧД, а й зменшення ризику.


Тема 6. Оптимізація календарного плану реалізації запасів сільськогосподарської продукції за умов цінового ризику

Проблема визначення оптимального календарного плану реалізації запасів сільськогосподарської продукції є актуальною як на мікро-, так і на макрорівні. Методика, що розглядається розрахована на випадки, коли календарний план реалізації продукції складається в умовах імовірнісного характеру майбутніх ринкових цін на продукцію, тому її використання дозволяє власнику продукції максимально захистити свої економічні інтереси при розробці плану реалізації наявних запасів.

Детермінований випадок.

Припустимо, що майбутні ринкові ціни є наперед відомими, а - обсяг наявних у власника запасів деякої однорідної с/г продукції. Т – тривалість планового періоду.

За детермінованих умов календарний плану реалізації продукції визначається розв’язанням задачі лінійного програмування.

- ціна реалізації одиниці продукції в момент часу t,

- витрати, пов’язані із зберіганням продукції до моменту часу t.

Вважається, що різночасові вартісні показники уже зведені нормативною ставкою дисконту, тобто їх порівняння за абсолютними величинами є коректним.

У детермінованому випадку загальний ЧД від реалізації продукції буде максимальним, якщо весь запас продукції реалізовуватиметься у такий момент часу t, коли різниця між ринковою ціною та накопиченими витратами на зберігання одиниці продукції буде найбільшою.

;

        


Приклад.

Таблиця 16

Показники

Плановий період, грн.

жовтень

листопад

грудень

січень

лютий

1.Майбутня ціна реалізації 1т продукції.

2.Вартість зберігання 1т до моменту реалізації.

3.ЧД від 1т продукції.

4.Оптимальний термін

реалізації

330

20

310

350

45

305

390

75

315

грудень

420

110

310

455

150

305

За наявними у таблиці 16 даними, якщо запаси продукції – 100 тис. т, то за детермінованих умов довільний календарний план її реалізації, який відрізняється від визначеного у таблиці оптимального плану – реалізувати усі 100 тис. тон у грудні, забезпечуватиме власнику загальний ЧД у розмірі меншому, ніж оптимальний – 31,5 млн.грн.

Випадок цінового ризику.

Якщо майбутні ринкові ціни не детерміновані, то власник продукції завжди має ризик отримати дохід менший, ніж очікуваний. Методика, що розглядається дозволяє оптимально враховувати індивідуальне ставлення до цього ризику конкретного власника, виходячи з його особистих економічних інтересів.

Вважатимемо майбутню ціну pt випадковою величиною з відомим її очікуваним значенням  і стандартним відхиленням  . Несхильна до ризику особа при прийнятті рішення керуватиметься двома критеріями: максимізації загального ЧД () та мінімізації його дисперсії():

,

За несхильного ставлення до ризику календарний план реалізації запасів продукції визначається двокритеріальною задачею:

За рішення цієї задачі слід обрати такий із її ефективних планів, за яким співвідношення показників очікуваного загального доходу та його дисперсії буде найпереважнішим з точки зору власника продукції.

Розглянемо проблему формування календарного плану на прикладі двоперіодної задачі розподілу 1000 т продукції під реалізацію у грудні та січні за такими вихідними даними (таблиця 17):

Таблиця 17

Показники

Плановий період

Грудень

Січень

1.Очікувана ціна реалізації 1т продукції.

2.Стандартне відхилення ціни реалізації від її очікуваного значення, грн.

3.Вартість зберігання 1 т продукції до моменту її реалізації, грн.

390

20

75

420

30

110

Х1- обсяг реалізації у грудні,

Х2- обсяг реалізації у січні.

Розглянемо декілька варіантів календарного плану реалізації продукції за такими даними (таблиця 18):

Таблиця 18

№ варіанту

Обсяг реалізації,

тон

Статистичні характеристики загального ЧД, тис.грн.

грудень

січень

1

2

3

4

5

6

7

8

9*

10

11

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

0

310,0

310,55

311,0

311,5

312,0

312,5

313,0

313,5

314,0

314,5

315,0

30,00

27,07

24,33

21,84

19,7

18,03

16,97

16,64

17,09

18,25

20,00

*- один з найбільш ймовірних варіантів

Методика календарного планування.

На першому етапі  обчислюються межі варіації показників очікуваного доходу та стандартного відхилення.

Спочатку обчислюються найкращі значення цих показників:

Далі обчислюються найгірші критеріальні показники:

,

 - обрано з попередньої умови.

На другому етапі після ознайомлення з діапазонами варіацій критеріальних показників власник продукції визначає припустимі на його думку рівні цих показників:

На третьому етапі визначається оптимальний згідно переважань власника календарний план реалізації продукції.

Цей план х*=() обчислюється розв’язуванням задачі опуклого програмування:

Відзначимо, що оптимальне значення s* показує чи були обрані власником продукції припустимі рівні критеріальних показників реальними.

Крім цього реальні припустимі рівні покращуються, а випадку нереальних – послаблюються, щоб стати реальними.

Розглянемо методику календарного планування на прикладі розв’язку багатоперіодної задачі, дані до якої узгоджені з попередніми прикладами і наведені в таблиці 19:

Обсяг запасів – 100 тис. тон продукції

Таблиця 19

Показник

Плановий період

Жовтень

Листопад

Грудень

Січень

Лютий

1. Очікувана ціна реалізації 1 т. продукції.

2. Стандартне відхилення ціни реалізації від її очікуваного значення.

3. Вартість зберігання 1 т продукції до моменту реалізації, грн.

330

10

20

350

15

45

390

20

75

420

30

110

455

50

150

На першому етапі спочатку знайдемо найкращі значення  критеріальних показників.

Найгірші значення:

На другому етапі власник досліджує межі варіації показників і повинен зазначити такі припустимі рівні, які він вважає задовільними.

Нехай

На третьому етапі здійснюється перевірка реальності обраних рівнів критеріальних показників, їх необхідна корекція, а також визначення оптимального календарного плану випуску сільськогосподарської продукції. Результати проведених в Excel розрахунків:

  1.  Оптимальні обсяги реалізації (тис. тон):  

жовтень – 59,87

грудень – 33,48

січень – 6,65

  1.  Очікуваний загальний ЧД – 31167 тис. грн.
    1.  Стандартне відхилення загального ЧД – 920,1 тис.грн.

Спостерігаємо, що відбулося покращення первісно обраних власником припустимих рівнів критеріальних показників.

При практичному використанні методики доцільним є повторення розрахунків протягом планового періоду, коригуючи з врахуванням ринкових тенденцій показники щодо майбутніх цін з метою оптимального календарного планування реалізації продукції, яка ще залишилася нереалізованою.

Методика може використовуватися суб’єктами господарювання на мікро- і макрорівнях при чому по відношенню до запасів як сільськогосподарської так і несільськогосподарської продукції. Вона захищає власника від втрат очікуваного доходу завдяки застосуванню апарату підтримки прийняття рішень за умов ризику.

Тема 7. Моделі управління товарними запасами.

  1.  Задачі управління товарними запасами і методи їх рішення
  2.  Економіко-математична постановка задач по управлінню товарними запасами
  3.  Моделі аналізу і прогнозу товарних запасів

1. Задачі управління товарними запасами і методи їх рішення

Товари, які перебувають у сфері обігу з моменту їх виробництва до моменту реалізації представляють собою товарні запаси. Наявність товарних запасів є необхідною умовою товарного обігу та гарантією його безперервності у випадку виникнення випадкових або непередбачених факторів (зміна попиту, порушення термінів поставок та ін.). Товарні запаси є необхідною умовою ефективної роботи будь-якого торгівельного підприємства. У зв’язку з цим важливе значення має науково обґрунтоване їх розміщення на всьому шляху руху товарів зі сфери виробництва у сферу споживання.

Управління товарними запасами включає задачі аналітичного прогнозу, планування і нормування. Перераховані задачі можна вирішити за допомогою методів і моделей теорії управління запасами. Метою теорії є розробка методів і моделей вибору таких параметрів управління, при яких досягається оптимум (мінімум або максимум) критерію оптимальності (мінімум витрат обігу, максимум прибутку, мінімум часу та ін.). При цьому стан систем і об’єктів управління запасами повинен бути описаний в будь-який момент за допомогою різних методів і моделей (теорії масового обслуговування, теорії ігор, сіткового планування й управління, математичного програмування, теорії кореляції та ін.).

2. Економіко-математична постановка задач по управлінню товарними запасами

Показники і фактори, що впливають на товарні запаси. Залежно від поставленої задачі величина товарного запасу визначається в натуральному або вартісному виразах. В натуральних величинах вимірюється запас окремого товару або групи споріднених товарів. Сукупний запас вимірюється у вартісному виразі.

Для оцінки стану та аналізу тенденцій розвитку запасів застосовують відносні показники – рівень запасів у днях товарообігу і товарооборотність. Товарний запас у днях товарообігу на певну дату показує на скільки днів торгівлі розраховані товари, що є у наявності. Товарооборотність показує за скільки днів реалізується середній товарний запас.

Товарні запаси пов’язані з цілим рядом статей витрат обігу: витратами на транспортування і зберігання товарів, заробітну плату, оренду і утримання приміщень, амортизацію основних засобів, їх поточний ремонт та ін. Крім того від величини товарних запасів і тривалості їх зберігання залежить сума відсотків за кредит і величина природного убутку. Товарні записи впливають не лише на витрати обігу, але і на інші економічні показники підприємства.

Важливою задачею є вивчення впливу різних факторів на товарні запаси, найважливіші з яких – співвідношення попиту і пропозиції, обсяг товарообігу, споживчі властивості товарів, складність асортименту, організація завезення товарів, стан матеріально-технічної бази, розміщення торгівельної мережі та інші.

У моделюванні системи управління товарних запасів залежно від обраного рівня управління одні фактори і показники є керованими, а інші – некерованими. При цьому некеровані показники і фактори виступають у ролі обмежень, що звужує діапазон вибору рішення у системі управління. До таких факторів, зокрема у торгівлі, можна віднести: віддаленість постачальників від торгівельних підприємств, торгівельних підприємств від шляхів сполучення, умови транспортування, застосовувану систему руху товарів, наявність складських та підсобних приміщень та ін.

У процесі економіко – математичного моделювання враховують тільки кількісно вимірювані показники і фактори, які можуть бути формально представлені в моделях. Інші чинники враховують при проведенні якісного аналізу.

Після виявлення і відбору показників і факторів важливе місце у постановці задач займає вибір критеріїв оптимальності, який є інтегруючим показником сформульованої мети управління товарними запасами. По ньому оцінюються ефективність функціонування систем управління, а також результативність використання ресурсів.

У задачах економіко – математичного моделювання управління товарними запасами необхідно будувати модель зв’язку критерію оптимальності з керованими і некерованими показниками і факторами, а потім по моделях визначати оптимальну величину показників і факторів пропонованої системи товаропостачання.

Постановка задачі.

Розглянемо економіко-математичну задачу управління запасами на складі роздрібного підприємства для однієї групи товарів.

Позначимо кількість продуктів на складі в момент часу t через zt.

Припустимо, що попит на цю товарну групу на період часу Т являє собою детерміновану величину і продаж товарів в одиницю часу здійснюється рівномірно з відомою інтенсивністю λ грн./день. Із перебігом часу товарні запаси зменшуються і, досягши певного рівня zз у момент часу tз, що називається точкою замовлення, сигналізують у системі управління товарними запасами про необхідність подачі замовлення величиною S на поповнення запасів. Вважаючи, що час виконання заявки заздалегідь обумовлений і відомий τз, надходження і прийому товару на складі відбувається в момент часу tі, коли на складі залишається лише страховий запас zc.

Вважаємо, що в початковий момент часу t=0 обсяг товарних запасів становиd z0, продаж товарів за час t складає λ*t. Час подачі замовлення на поповнення запасів:

,

а за час виконання замовлення τз буде продано товарів:

Тоді інтервал поставок визначається рівнянням:

Число поставок за будь-який період t або плановий Т можна знайти з виразу:

Звідси, загальний об’єм поставок за періоди t або Т визначаються співвідношенням:

.

Таким чином, рівень товарних запасів на будь-який момент часу визначається рівнянням:

Ця математична модель характеризує систему зберігання товарних запасів на складі роздрібного торгівельного підприємства.

Систему зберігання товарних запасів можна інтерпретувати у вигляді балансової формули:

,

де  - запаси на кінець періоду (),

 - запаси на початок періоду (),

Р – реалізація (обсяг товарообігу) (Р= λ*t),

Н – надходження товарів (Н=S*n).

Завдання полягає у виборі оптимальної величини замовлення (поставки товарів ), інтервалу між поставками tn0, числа поставок за період Т і середнього запасу .

У задачах управління, коли як критерій оптимальності виступають сумарні витрати по управлінню товарними запасами С, цільову функцію можна представити у загальному вигляді:

С=→min ,

де

- витрати на зберігання товару за період Т,

- витрати на зберігання одиниці товару протягом періоду,

- величина середнього запасу (),

Sрозмір однієї партії поставки товару,

Т – величина періоду, років,

- витрати на транспортування,

kвитрати на завезення однієї партії товарів,

n – число поставок за аналізований період Т (),

Q – загальний обсяг поставок товарів за період Т,

- інтервал поставок.

Запишемо цільову функцію у вигляді рівняння зв’язку витрат обігу

min

З огляду на наведені вище моделі зв’язку параметрів товарних запасів цільову функцію можна переписати як:

min

Некерованими параметрами в цільовій функції є Q, T, , k – це вихідні дані для рішення задачі. Інші параметри – керовані. Їх оптимальні значення - забезпечують мінімум витрат обігу. Для знаходження оптимальних величин цих параметрів визначимо екстремум цільової функції  шляхом диференціювання по S і прирівнювання похідної до нуля:

На цій підставі отримуємо моделі розрахунку оптимальних параметрів системи управління однономенклатурними товарними запасами:

розмір однієї поставки (партії) товару

,

середній запас поточного зберігання ,

число поставок за період Т                ,

інтервал між поставками                     ,

величина мінімальних витрат              .

Таким чином економіко-математичні методи дозволяють будувати систему оптимального управління товарними запасами.

Очевидно, що будь-яке відхилення обсягу поставки товарів від оптимальної величини веде до збільшення витрат. У зв’язку з цим система управління повинна орієнтуватися на підтримку оптимальних значень всіх параметрів товаропостачання і швидко реагувати на можливі зміни в системі і поза нею.

Механізм управління товарними запасами різних груп товарів, що перебуває на складі торгівельного підприємства, складніший, ніж запасами товарів однієї групи. Тому при моделюванні ідуть по шляху деякого спрощення і відповідної модифікації детермінованих моделей управління товарними запасами по одній товарній групі. Основу модифікації становить припущення, про те, що відношення витрат на завезення однієї партії товару до витрат на зберігання одиниці товару по всіх товарних групах однакова. На цій підставі модель оптимальної кількості поставок можна перетворити до такого вигляду:

.

Позначивши вираз , отримаємо модель розрахунку оптимальних параметрів товаропостачання для кожної товарної групи:

розмір однієї партії товарів                   ,

середній запас поточного зберігання    ,

число поставок                                         ,

інтервал між поставками                          .

Для проведення розрахунків необхідно мати інформацію про значення величини Н. Для цього, вважаючи, що ця величина приблизно однакова по всіх товарних групах, визначають загальне число поставок:

Наведені моделі є досить ефективними для управління запасами на складах гуртової торгівлі, де формування запасів пов’язане з великими обсягами поставок і різноманітним асортиментом товарів.

3. Моделі аналізу і прогнозу товарних запасів

  Товарні запаси змінюються протягом часу під впливом великої кількості факторів. Задача аналізу включає: виявлення таких факторів, вибір найбільш істотних з них, побудова економіко–математичних моделей зв’язку показників товарних запасів з факторами, що впливають на запаси, перевірку моделі на адекватність, корегування моделі і здійснення відповідних розрахунків на підприємствах і в організаціях торгівлі для знаходження оптимальних параметрів управління запасами.

Наприклад, результати обстеження 400 магазинів Москви дозволили визначити вплив на рівень товарних витрат (у) таких основних факторів і показників: місткості холодильного устаткування(), питомої ваги фасованих і штучних товарів у роздрібному товарообігу (),питомої ваги товарів з нормою убутку від 0,4 – 0,8% (), і від 0,9 – 1,2% (). У загальному вигляді залежність можна записати так:

Проведений кореляційно–регресійний багатофакторний аналіз дозволив підібрати лінійну форму зв’язку вигляду:

yм02х23х34х45х.

і отримати модель множинної регресії, що включає тільки істотні фактори:

.

Коефіцієнт регресії  показує, що при збільшенні на 1% питомої ваги товарів з нормою убутку від 0,9 до 1,2% рівень товарних витрат збільшується на 0,006432%. Аналіз рівняння показав, що перераховані фактори значимі, тобто є істотними, і їх необхідно враховувати при плануванні показників товарних запасів.

Для перспективної оцінки товарних запасів на складах великих мереж збуту може бути побудована економіко – математична модель зв’язку динаміки товарних запасів уі і складського товарообороту хі за певний період (5р.). Графічні методи аналізу вказують на лінійну математичну форму зв’язку показників .

Після проведення необхідних розрахунків була отримана така економіко-математична модель прогнозу товарних запасів , де  - відповідно товарний запас і складський товарооборот у році t.

Середнє відхилення фактичних товарних запасів від вирівняних складає 0,8%. Прогноз по цій моделі будується виходячи з припущення про збереження на перспективу тенденції розвитку товарних запасів і факторів, що впливають на них.

Застосування методів кореляційно-регресивного аналізу товарних запасів дозволяє будувати ЕММ аналізу і прогнозу товарних запасів для обґрунтування планів у системі управління товарними запасами.


Т
ема 8. Теоретико-ігрові методи прийняття рішень

  1.  Основні поняття та класифікація ігор
  2.  Визначення оптимальних стратегій для випадку скінченної гри двох учасників
  3.  Застосування апарату теорії ігор в економіці

1. Основні поняття та класифікація ігор

В оптимізаційних моделях вибір рішення здійснювався однією особою. В теорії ігор рішення приймаються кількома учасниками. Значення цільової функції для кожного з них залежить від рішень, що приймаються рештою учасників. Теорія ігор ще має назву теорії конфліктних ситуацій. Прикладами є ситуація "покупець-продавець", карткові та спортивні ігри, олігополістичні моделі. Конфлікт може бути результатом свідомих і стихійних дій різних учасників.

Гравці в теорії ігор — це учасники (суб'єкти) конфлікту. Вони відрізняються іменами або номерами. Можливі дії кожної зі сторін мають назву стратегії, або ходів.

Інтереси сторін представляються функціями виграшу (платежу) для кожного з гравців.

Гра — це модель, яка формалізує змістовний опис конфлікту.

Теорія ігор уперше була системно викладена Дж. фон Нейманом і О. Монгерштерном у 1944 р. В роки Другої світової війни і після неї теорія ігор привернула увагу військових як апарат для дослідження стратегічних рішень. Проте основним застосуванням теорії ігор стала економіка. У 1994 р. Нобелівську премію з економіки одержали Джон Неш (США), Джон Харсаньї (США), Рейнхард Зельтен (Німеччина) за праці у сфері теорії ігор.

Ігри класифікують залежно від обраного критерію: за кількістю гравців, за кількістю стратегій, за властивостями функцій виграшу та за можливостями попередніх переговорів між гравцями.

Залежно від кількості гравців розрізняють ігри з двома, трьома і більше учасниками. Теорію оптимізації, наприклад, можна розглядати як теорію ігор з одним гравцем. Можна досліджувати також ігри з нескінченною кількістю гравців.

За кількістю стратегій розрізняють скінченні та нескінченні ігри. У скінченних іграх кількість можливих стратегій є числом скінченним (підкидання монети — дві стратегії, підкидання кубика — шість стратегій). Стратегії у скінченних іграх називають чистими стратегіями. В нескінченних іграх кількість стратегій є нескінченною.

За властивостями функцій виграшу (платіжних функцій) теорію ігор поділяють на три види. Гра, в якій виграш одного з гравців дорівнює програшу другого, має назву гри з нульовою сумою, або антагоністичної гри. Якщо гравці виграють і програють одночасно та їм вигідно діяти разом, то такі ігри мають назву ігор з постійною різницею. Гра з ненульовою сумою — це гра, в якій наявні конфлікт та узгоджена дія гравців.

За можливістю попередніх переговорів між гравцями розрізняють кооперативні та некооперативні ігри. Кооперативна гра — це гра, в якій до її початку учасники утворюють коаліції і приймають угоди про свої стратегії. Некооперативна гра — гра, в якій гравці не можуть координувати свої стратегії. Прикладом кооперативної гри може стати ситуація лобіювання у парламенті прийняття рішення зацікавлених у ньому учасників шляхом голосування.

2. Визначення оптимальних стратегій для випадку скінченної гри двох учасників

Розглянемо гру з двома учасниками, яка має скінченну кількість стратегій. Це дозволить зобразити гру за допомогою платіжної матриці.

Припустімо, кожен гравець має дві стратегії: "Так" або "Ні". Ці стратегії можуть являти економічний вибір, наприклад, підвищувати або знижувати ціну та політичний вибір, наприклад, приймати або не приймати закон. Кожному гравцю у кожній ситуації приписують число, яке виражає ступінь задоволення його інтересів. Це число називається виграшем гравця. Відповідність між набором ситуацій і виграшем гравця називається функцією виграшу. У випадку скінченної гри двох осіб функції виграшу кожного з гравців зручно представляти за допомогою матриці виграшів, де рядки зображують стратегії одного гравця, стовпці — стратегії другого гравця. В клітинках матриці вказують виграші кожного з гравців у кожній з утворених ситуацій. Платіжна матриця відображає виграш кожного гравця за кожної комбінації стратегій, що вибираються. Якщо гравці вибирають однакові стратегії, тобто говорять "Так" або "Ні", то виграш одного гравця дорівнює одиниці, а програш другого гравця дорівнює мінус одиниці.

Матриця виграшів першого гравця має вигляд:

Стратегії другого гравця

"Так"

"Ні"

Стратегія               "Так"    першого гравця                              

                                "Ні"

1

-1

-1

1

Матриця виграшів другого гравця має вигляд:

Стратегії другого гравця

"Так"

"Ні"

Стратегія                "Так" першого гравця                 

                                "Ні"

-1

1

1

-1

Для наочності матрицю виграшів для обох гравців можна об'єднати в одну:

Стратегії другого гравця

"Так"

"Ні"

Стратегія                   "Так" першого гравця                 

                                   "Ні"

1;-1

-1;1

-1;1

1;-1

Розглянемо приклад (задання) матриці виграшів для гри з ненульовою сумою, яка має назву дилеми ув'язнених. Суть гри така: двох ув'язнених — співучасників злочину допитують в окремих кімнатах. У кожного з них є вибір: або зізнатись у злочині і тим самим вплутати іншого, або заперечувати свою причетність до злочину. Якщо зізнається лише один з ув'язнених, його звільнять, і звинуваченим буде другий, якого позбавлять волі на термін до 5 років. Якщо обидва злочинці будуть заперечувати свою причетність до злочину, обох протримають у в'язниці до одного року, якщо обидва зізнаються, обох ув'язнять на термін до 3 років.

Платіжна матриця цієї гри має вигляд:

Стратегії другого гравця

"Так"

"Ні"

Стратегія

першого гравця

"Так"

"Ні"

3; 3

5; 0

0;  5

1; 1

Основним припущенням у теорії ігор є те, що кожен гравець прагне забезпечити для себе максимально можливий виграш за будь-яких дій партнера. Припустимо, що є скінченна антагоністична гра з матрицею виграшів першого гравця А і, відповідно, матриця виграшу другого гравця мінус А. Гравець 1 вважає, що яку б стратегію він не обрав, гравець 2 обере стратегію, яка максимізує його виграш і тим самим мінімізує виграш гравця 1. Тоді раціональний спосіб дій першого гравця полягає у виборі такої стратегії (і*), за якої його найменший можливий виграш був би максимальним. Таким чином, гравець 1 обирає і-ту стратегію, яка є розв'язанням задачі:

maximinjaij

Гравець 2 так само прагне забезпечити для себе найвищий виграш (найменший програш) незалежно від стратегії, обраної суперником. Його оптимальною стратегією буде стовпець матриці А з найменшим значенням максимального платежу. Таким чином, гравець 2 обере j-ту стратегію, яка є розв'язанням задачі:

minjmaxiaij

У підсумку, якщо гравець 1 дотримується обраної максимінної стратегії, його виграш у будь-якому разі буде не меншим за максимінне значення (нижня ціна гри), тобто:

Відповідно, якщо гравець 2 дотримується своєї мінімаксної стратегії, його програш буде не більший за мінімаксне значення (верхня ціна гри), тобто:

Якщо верхня та нижня ціна гри збігаються: =*, то

обидва гравці одержують гарантовані платежі. Значення аij* називається ціною гри. Якщо ціна антагоністичної гри дорівнює 0, гра називається справедливою.

Приклад. Розглянемо гру, в якій гравець 1 володіє трьома стратегіями, а гравець 2 — чотирма. Матриця виграшів А гравця 1 має вигляд:

2

4

5

1

3

5

6

4

4

1

2

7

Матриця виграшів другого гравця буде дорівнювати -А. Визначте верхню та нижню ціну гри та вкажіть максимінну та мінімаксну стратегії.

Знаходимо мінімальні значення в кожному рядку:

1-й рядок min(2, 4, 5, 1) = 1; 2-й рядок min(3, 5, 6, 4) = 3;

3-й рядок min(4, 1, 2, 7) = 1.

Шукаємо максимум з одержаних відповідей max(1,3,1) = 3.

Отже, нижня ціна гри дорівнює 3.

Верхня ціна гри — це:

min (max(2,3,4); mах(4,5,1); mах(5,6,2); mах(1,4,7)) = min(4,5,6,7) = 4.

Отже, нижня ціна гри менша за верхню ціну гри. Гра, в якій виконується така строга нерівність, називається не повністю визначеною грою. У випадку коли верхня ціна гри збігається з нижньою ціною, гра називається визначеною.

3. Застосування апарату теорії ігор в економіці

Дилема ув'язнених може бути застосована до широкого кола економічних і політичних явищ.

У задачі дилеми ув'язнених існує два рівноважних розв'язання. Перше, якщо обидва не зізнаються та їх відпускають, називається Парето-ефективне рішення. Таке рішення максимізує корисність обох сторін. Друге, коли обидва зізнаються, називається рівновагою за Нешем. У цьому випадку жоден з гравців не може покращити свій виграш, змінюючи одноосібно власне рішення. Рівновага за Нешем – це ситуація, коли стратегія кожного з гравців є найкращою реакцією на дії іншого гравця.

Подібна ситуація властива олігополії, оскільки олігополісти також здійснюють некооперативний вибір, перебуваючи в умовах взаємозалежності.

Припустимо, ринок поділяють між двома фірмами-олігополістами: фірмою А та фірмою В. Якщо б обидві фірми могли співпрацювати, то, скоротивши випуск і призначивши монопольно високі ціни, вони одержали б і високий прибуток по 100 тис. грн. за одиницю продукції. Однак фірми діють як конкуренти. Тому вони можуть порушити негласну угоду всупереч очікуванням суперника понизити ціни і захопити частину його ринку, одержавши ще більший прибуток у 140 тис. грн. за одиницю. Тоді прибуток суперника ще більше скоротиться і становитиме, наприклад, 20 тис. грн. Намагаючись переграти суперника, кожен гравець вибере низькі ціни, та обидві фірми одержать прибуток по 60 тис. грн.  замість 140. Варіанти прибутків (тис. грн.) залежно від вибору цін зображені у платіжній матриці.

Фірма А

Фірма В

Низькі ціни

Високі ціни

Низькі ціни

60;   60

140;    20

Високі ціни

20; 140

100; 100

Фірма А і фірма В не можуть діяти узгоджено і роблять вибір на підставі цінової поведінки конкурента. Обидві фірми вибирають найнижчі(?) ціни і одержують однаковий прибуток по 60 тис.грн. за одиницю продукції. В результаті ризики мінімізовані, й олігополістичний ринок перебуває в умовах рівноваги за Нешем. Це – часткова рівновага, оскільки фірми не максимізують свою корисність. Ця рівновага збережеться доти, доки в олігополістів не з'явиться стимул до зміни обсягів випуску.

У мікроекономічних моделях розглядають такі моделі поведінки олігополістів: ламана крива попиту, таємний зговір (картель), лідерство в цінах, принцип ціноутворення "витрати-плюс".


Література

  1.  Бугір М.К. Математика для економістів. Навчальний посібник. Тернопіль: Підручники і посібники, 1998. – 192 с.  
  2.  Введение в теорию и методы оптимизации для экономистов. 2-е изд. – СПб: Питер, 2002. – 320 с.   
  3.  Голов С.Ф. Управлінський облік. Підручник. – 2-ге вид. – К.: Лібра, 2004. – 704 с.      
  4.  Єріна А.М., Мазуренко О.К., Пальян З.О. Економічна статистика: Практикум. – К.: ТОВ „УВПК „ЕксОб”, 2002. – 232 с.
  5.  Иозайтис В.С., Львов Ю.А. Экономико-математическое моделирование производственных систем: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1991. – 192 с.     
  6.  Кігель В.Р. Математичні методи ринкової економіки: Навчальний посібник. К.: Кондор, 2003. – 158 с.      
  7.  Кігель В.Р. Методи і моделі підтримки прийняття рішень у ринковій економіці: Монографія. К.: ЦУЛ, 2003. – 202 с.    
  8.  Кочура Є.В., Косарєв В.М. Моделювання макроекономічної динаміки: Навчальний посібник. – Київ: Центр навчальної літератури, 2003. – 236 с.   
  9.  Крушвиц Л. Инвестиционные расчеты / Пер. с нем. под общей редакцией В.В. Ковалева и З.А. Сабова. – СПб: Питер, 2001. – 432 с.   
  10.  Кухарев В.Н. и др. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении: [Учебник для вузов] / В.Н. Кухарев, В.И. Салли, А.М. Эрнерт. – Киев: Выща школа, 1991. – 302 с.  
  11.  Лень В.С. Управлінський облік: Навч .посіб. – К.: Знання-Прес, 2003. – 287 с.      
  12.  Малиш Н.А. Моделювання економічних процесів ринкової економіки: Навч. посіб. – К.:МАУП, 2004. – 120 с.  
  13.  Осипов Б.В. Мировская Е.А. Математические методы и ЭВМ в стандартизации и управлении качеством.–М.:Изд-во стандартов, 1990. – 168с.  
  14.   Символоков Л.В. Решение бизнес-задач в Microsoft Office. – М.: ЗАО „Издательство БИНОМ”, 2001. – 512 с.    
  15.  Спирин А.А., Фомин Г.П. Экономико-математические методы и модели в торговле: Учеб. пособие. – М.: Экономика, 1988. – 149 с.
  16.  Управленческий учет: Учебное пособие / Под редакцией А.Д. Шеремета. – М.: ИД ФБК-ПРЕСС, 2000. – 512 с.  
  17.  Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении. Терехов Л.Л., Куценко В.А., Сиднев С.П. – К.: „Вища школа”. Головное издательство, 1984. – 231 с.
  18.  Экономико-статистический анализ: Учеб. пособие для вузов / С.Д. Ильенкова, Н.Д. Ильенкова, С.А. Орехов и др.; Под ред. проф. С.Д. Ильенковой. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. -215 с.  

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52995. Физкультминутки на уроках русского языка в 5 – 9 классах 164.5 KB
  Когда эти буквы будут обозначать 1 звук вы поднимете голову вверх хлопнете над головой 3 раза и опустите руки вниз. Встаньте ровно руки опущены. Когда вы услышите синонимы поднимите руки вверх и хорошо потянитесь кверху. Когда услышите слово которое пишется с двумя н поднимите руки вверх.
52996. Педагогічний контроль виконання домашніх завдань з фізичної культури 275 KB
  Пропаную добірку вправ, які можуть послужити змістовним наповненням домашніх завдань. Їх виконання не потребує специфічного обладнання та інвентарю, зате забезпечує ефективний розвиток сили, координації рухів, витримки та витривалості. Додаю також нормативи педагогічного контролю виконання домашніх завдань...
52997. Фізкультурно-оздоровчі заходи для учнів молодших класів у режимі навчального дня школи: малі форми активного відпочинку 123 KB
  До цих традиційних заходів додаються психокорекційні: психогімнастика кінесіологічні вправи та ін. Короткочасні фізичні вправи та ігри в процесі уроків і виконання домашнього завдання сприяють підтриманню активної уваги і підвищують працездатність на заняттях. Основні вимоги до вибору вправ до малих форм активного відпочинку: мають відповідати віковим особливостям учнів бути простими цікавими та доступними мати ігровий характер бути зручними для виконання на обмеженій площі емоційними й досить інтенсивними; мають бути знайомі...
52998. Сценарій фізкультурно-оздоровчого Свята «Відкриття шкільної спартакіади» 376 KB
  Ведучий 1: Ми запрошуємо вас в країну шкільної Спартакіади. Ведучий 2: Шановні учні школи. Ведучий 1: Символом Олімпійських ігор є п`ять олімпійських кілець. показовий виступ художньої гімнастики Ведучий 2: Школа До виносу Олімпійського прапора струнко Винос прапора.
52999. Рухливі ігри на уроках фізкультури та в режимі навчального дня 110 KB
  Світ ігор дуже різноманітний: рухливі сюжетні народні рольові спортивні імітаційні командні групові ігриестафети ігриконкурси ігризабави ігризмагання тощо. Найкращими ліками для дітей від рухового голоду є рухливі ігри. Ігри на уроках фізкультури та в режимі навчального дня використовуються для гармонійного поєднання розумових фізичних та емоційних навантажень загального комфортного стану.
53000. Застосування методу колового тренування на уроках фізичної культури 495.5 KB
  Анотація Методична розробка комплексів колового тренування на уроках фізичної культури у 511 класах яка містить основні вимоги та набір фізичних вправ для комплексів колового тренування. Одним із сучасних методів організації і навчання учнів на уроці є метод колового тренування який запроваджується в школах нашої країни з 1966 – 1967 років. Колове тренування виникло як організаційнометодичний метод виконання фізичних вправ що спрямовані на комплексний розвиток рухових якостей учнів.
53001. Использование инновационных технологий на уроках физкультуры 409 KB
  Данное упражнение развивает: скоростно-силовые качества мышцы и связки ног укрепляет мышечно-связочный аппарат голеностопного сустава. Упражнение воспитывает: а организованность; б синхронность; в групповую совместимость командные качества. На уроках физической культуры практикуем как подготовительное разминочное прыжковое упражнение легкая атлетика гимнастика спортивные игры. Упражнение развивает: а ловкость.