48034

Математична теорія

Лекция

Математика и математический анализ

Функції та їх властивості. Кажуть що задано функцію з областю визначення X якщо кожному елементу х з цієї множини ставиться у відповідність рівно одне значення y з деякої множини Y Дві функції однакові якщо: однаковий закон відповідності; однакова область визначення. Графік функції множина точок на координатній площині координати яких задовольняють дане співвідношення Ознака графіка функції. Якщо кожна лінія координатної площини є графіком функції якщо кожна пряма паралельна до Оу перетинає цю лінію в одній точці або...

Украинкский

2013-12-06

286.5 KB

1 чел.

РЕКОМЕНДОВАНА   ЛІТЕРАТУРА

з математики

  1.  Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш.Кремера.- М., 1997.-439с..
  2.  Барковський В.В.. Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. - К., 1997. – 397с.

Дубовик, Юрик І.І. Вища математика. -К., 1994.

Пак В.В., Носенко Ю.Л. Высшая математика.- Д., 1997.

Карасев и др. Курс высшей математики для экономических вузов. ЧЧ1, 2.

Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики.- М., Наука, 1989.

Ильин В.А., Позняк Е.Г.  Аналитическая  геометрия.- М.,Наука, 1988.-224с.

Баврин И.И. Курс высшей математики.- М., Наука, 1988.

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М., Физматгиз, 1959.-784с.

10 Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа М., Наука , 1971 -  416с.

11.Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометри.- М.,Наука, 1964 - 335 с.

12.Клетеник.   Сборник задач по аналитической геометрии.

13. Данко П.Е. и др. Вьісшая математика в упражнениях и задачах. ЧЧ 1,2.М.1999.

Математика: елементарна і вища.

Математична теорія.

Неозначувані поняття

Означувані поняття

Математична модель явища, об’єкта, процесу система співвідношень, кількісних або геометричних, які відображають його суттєві для даної задачі властивості.

Етапи застосування математичної моделі для розв’язків задач:

  1.  Постановка задачі.
  2.  Побудова моделі.
  3.  Збір даних.
  4.  Застосування моделі (аналіз, рекомендації).
  5.  Перегляд і уточнення моделі.

Основи математичної мови.

  1.  Λ = ”і“ - кон’юнкція.

  1.  V = “або” - диз’юнкція.

  1.    = ” випливає “,  з А випливає В: кожного разу, коли виконується А, виконується і В.
  2.  = ”рівносильне “,  А рівносильне до В:

Множини, їх задання і операції з ними.

Множина – сукупність обєктів, яку ми сприймаємо як ціле.

Складається з елементів. Записуємо:

В називається підмножиною А, якщо кожний елемент В входить і до А.

Перетином множин А і В називається множина, яка складається з елементів, які входять до обох цих множин.

Обєднання – множина, яка складається з усіх елементів цих множин.

Різниця множин А і В – множина:

U універсальна множина – це множина, яка складається з усіх елементів, які мають відношення до даної задачі.

А’,  Ā, U\Aдоповнення до А – складається з усіх елементів, які в А не входять.

Деякі властивості операцій з множинами:

АUВ = ВUA

А∩В = В∩A

А∩(ВUC) = (А∩В)U(BC)

Висловлення та предикати.

Висловлення – твердження, про яке можна сказати, чи воно істинне чи хибне.

Заперечення данного висловлення – це висловлення, яке істинне тоді, коли дане висловлення хибне, і  навпаки.

Заперечення висловлень з кванторами.

При будуванні заперечення квантор міняється.

Предикат – це твердження, яке містить змінну або кілька змінних і правильність або хибність його можна встановити, якщо мати конкретні значення змінних.

Якщо одна змінна – одномісний предикат.

Область істинності предиката – множина значень змінних, при яких він перетворюється в правильне твердження.

Операції над висловленнями і предикатами.

Λ - конюнкція двох предикатів – це такий предикат, який істинний тоді і тільки тоді, коли обидва предикати істинні.

Множина істинності конюнкції – це перетин множин істинності.

 V  - диз’юнкція

Заперечення предиката – це предикат, який істинний тоді, коли даний предикат хибний,  і навпаки.

Імплікація – (кожного разу коли справедливе А, справедливе В.)- це такий предикат, який хибний тільки тоді, коли перший предикат істинний, а другий хибний.

Еквіваленція 2-х предикатів – це предикат, який  істинний коли обидва істинні або обидва хибні.

Правила де Моргана.

– заперечення диз’юнкції дорівнює кон’юнкції заперечень цих висловлень.

 заперечення кон’юнкції дорівнює диз’юнкції заперечень цих висловлень.

     Закон виключеного третього: A Ā = 1     - диз’юнкція суперечливих висловлень завжди істинна (з двох суперечливих висловлень хоча б одне істинне).

Закон протиріччя: А Λ Ā = 0  - кон’юнкція суперечливих  висловлень є тотожно хибне висловлення (суперечливі висловлення не можуть бути одночасно істинними).



Необхідна і достатня умови.  Тотожність.

Тотожність – це предикат, який істинний для всіх можливих значень змінних.

Зауваження . Якщо предикат написати з відповідними кванторами, то це вже не буде предикат, а висловлення.

Якщо А(х) => В(х) є тотожність, то А є достатнім для В, а  В є необхідним для А.

            Метод від супротивного.

(А(х) => В(х))В(х) => А(х))

Основні числові множини.

N = {1, 2, 3, 4, ... }

Q = { m/n; mєz, nєN}

Z = { 0, ±1, ±2, ... }

Раціональне число у вигляді десяткового дробу може бути представлено як скінченний або як нескінчений періодичний дріб.

Твердження: Діагональ квадрата зі стороною 1 не є раціональним числом.

Властивості множини N:

  1.  має найменший елемент 1;
  2.  немає найбільшого елемент;
  3.  впорядкована;
  4.  дискретність - між двома сусідніми натуральними частинами більше їх немає.

Координати.

Координатна вісь – пряма з початком відліку (0), напрямком відліку, одиничний відрізок. Кожній точці координатній осі відповідає дійсне число і навпаки.

Обмеженість числової множини. Межі, грані.

Числова множина А називається обмеженою знизу, якщо всі її елементи не менше за деяке число m.

mнижня межа.

Найбільша з нижніх меж А називається нижньою гранню цієї множини або

infimum A = inf A

Множина називається обмеженою зверху, якщо всі її елементи не

М –

Supremum:

Модуль і його властивості.

 

 

Геометрична інтерпретація модуля: відстань від точки х до 0.

Властивості модуля:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  Впр.
  8.  

Функції та їх властивості.

Кажуть, що задано функцію з областю визначення  X , якщо кожному елементу х з цієї множини ставиться у відповідність рівно одне значення y з деякої множини  Y 

Дві функції однакові, якщо:

  1.  однаковий закон відповідності;
  2.  однакова область визначення.

Способи задання функцій.

  1.  Аналітичний (формулою).
    1.  Словесний.

  у – площа квадрата зі стороною а.

3.  Табличний.

4.  Графічний.

Графік функції - множина точок на координатній площині, координати яких задовольняють дане співвідношення

Ознака графіка функції.

Якщо кожна лінія координатної площини є графіком функції, якщо кожна пряма паралельна до Оу перетинає цю лінію в одній точці або зовсім не перетинає.

5.Графом.

Властивості функцій.

  1.  Обмеженість: функція називається обмеженою знизу, якщо всі її значення не менші за деяке число.

  Зверху –

  Обмежена функція -

2. Монотонність: функція називається монотонно зростаючою на інтервалі (а;b), якщо більшому значенню аргумента (з цього інтервала) обов’язково відповідає більше значення функції.

    Властивості:Сума двох монотонно                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    зростаючих функцій зростаюча.

Сума спадних функцій спадна.

     3. Парність, непарність.

Функція називається парною, якщо виконується .

Якщо функція парна, то її область визначення симетрична відносно  0.

Функція називається непарною, якщо .

Графік парної функції симетричний відносно 0у,

непарної –

   4.Періодичність  функцій:

- функція є періодичною, якщо це співвідношення виконується для всіх х з  для деякого .

     період функції.

Теорема: Якщо функція  періодична з періодом  , то функція - періодична, 

Обернена функція. Обернені тригонометричні функції.

Якщо не тільки кожному х відповідає один у, але й кожному у один х, то така  залежність х від у називається оберненою функцією до даної  

 ( у – тепер аргумент, х - функція).

Окіл точки.  - окіл.

Околом деякого числа  називається будь-який відкритий інтервал (а,b), якому воно належить.

- окіл т.   -  це множина всіх точок, які знаходяться від не далі ніж на .

Послідовності, їх властивості. Границя послідовності.

Послідовність – це функція від натурального аргументу.

Властивості послідовностей:

1). Обмеженість знизу

            зверху

Обмеженість

2). Монотонність:

- спадаюча.

- зростаюча.

3). Границя:

Число М є границею послідовності , якщо всі члени цієї послідовності з достатньо великими номерами достатньо близько підходять до М.

Геометрично: починаючи з деякого номера, всі члени послідовності потрапляють у як завгодно малий   - окіл числа М.

Границя функції на ∞.

Число М називається границею функції на +∞, якщо значення функції лежать у достатньо малому околі цього числа М для всіх достатньо великих значень цього х.

Геометрично: графік функції лежать у полосі (М -; М +) по у, починаючи з деякої точки направо, який би малий  ми б не взяли.

Границя функції в точці.

Число М називається границею функції при х →  (в т. ), якщо для всіх значень аргумента, достатньо близьких до  (але не рівних йому) значення функції достатньо близькі до М.

Нескінченно малі величини.

Нескінченно мала величина -  це функція, яка прямує до 0.

Властивості нескінченно малих.

  1.  Сума двох нескінченно малих – нескінченно мала (х→ до одного і того ж значення).
  2.  Добуток нескінченно малої на постійне число – нескінченно мала.
  3.  Добуток нескінченно малої на  обмежену функцію – нескінченно мала.
  4.  Частка нескінченно малої та функції, яка прямує до ненульового числа – нескінченно мала.

Основні теореми про границі функції:

  1.  Функція не може мати більше ніж однієї границі (якщо х → до конкретного значення).
  2.  Якщо
  3.  Теорема про двох міліціонерів.
  4.  
  5.  Границя складеної функції.

, при   , а при , то ,при.

  1.  Ознака існування границі послідовності  (теорема Вейєрштраса). Якщо деяка послідовність монотонна і обмежена, то вона має границю.

Неперервність функцій.

- початкове значення аргументу.

- поточне значення,  як правило близьке:             

- приріст

- приріст функції

Озн. Функція fнеперервна в т. ,  якщо достатньо малим (нескінченно малим) значенням приросту аргументу відповідають нескінченно малі прирости функції.

Озн. неперервна в певній точці, якщо границя функції функції співпадає зі значенням функції в цій точці.

Для перевірки неперервності функції в точці треба:

  1.  Функція в цій точці існує і знайти її значення.
  2.  Знайти .
  3.  Перевірити що ці числа співпадають.   

Одностороння границя справа (зліва) в т.  певної функції – це границя, яка обчислюється за умови , що функція підходить до 0, залишаючись менше (більше).

Властивості неперервних функцій:

1.Сума (різниця) двох неперервних функцій в деякій точці є неперервна в цій точці.

2.Неперервність складеної функції.

Складена функція є неперервною, якщо кожна з складових є неперервною.

Властивості функцій, неперервних на відрізку.

Еквівалентність функцій.

Функції   і називаються еквівалентними  при , якщо .

Теорема: Для знаходження границі добутку або частки множники можна замінювати на еквівалентні функції.

Для нескінченно малих або для нескінченно великих функцій вводиться також поняття порядку: , то  має порядок n відносно х.

Поняття невизначенності.

Невизначеність – це границя, яку не можна знайти безпосереднім застосуванням теореми про границі.

Аналітична геометрія.

Вектори і операції з ними.

Вектор – направлений відрізок .

Два вектори співпадають якщо:

  1.  Однаково напрямлені.
  2.  Мають однакову довжину.

Якщо початок і кінець співпадають – нульовий вектор, має будь-який напрям.

Колінеарні (паралельні) вектори – однаково або протилежно напрямлені.

Операції з векторами:

  1.  Множення на число.

  1.  Сума двох векторів.

  1.  Віднімання:

Проекції та їх властивості

    Проекція точки на пряму – основа перпендикуляра, опущеного з цієї точки на цю пряму.

Проекція вектора на координатну вісь – різниця між координатами проекції кінця і початку.

Складова вектора на осі – вектор, який з’єднує проекції початку і кінця.

Властивості проекцій:

Якщо вектор помножити на число, то проекція також помножиться на те саме число.

Проекція суми дорівнює сумі проекцій.

Вектор дорівнює сумі своїх складових.

Скалярний добуток двох векторів – число, яке дорівнює добутку їх модулів на cos кута між ними.

Властивості:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

           

 або , або , або   cos(α)=0.

Розклад вектора за набором інших.

Теорема: на площині будь-який вектор можна розкласти (представити у вигляді лінійної комбінації) за будь-якою парою неколінеарних векторів, причому єдиним чином.

Розклад векторів за ортами осей.

Орт осі – одиничний вектор, напрямлений по осі.

Знаходження координат вектора: треба відняти відповідні координати кінця та початку.

Скалярний добуток векторів в координатах: дорівнює сумі добутків відповідних координат.

Модуль (довжина) вектора дорівнює квадратному кореню із суми квадратів його координат.

Ознака колінеарності двох векторів через координати: 

Вектори колінеарні якщо:

Ознака перпендикулярності через координати:

Поняття про лінійну залежність і незалежність векторів.

Набір векторів називається лінійно-залежним, якщо якийсь з векторів (хоча б один) виражається як лінійна комбінація решти, причому комбінація може бути довільною.

  1.  Якщо частина векторів є Λ3, то і весь набір – Λ3.
  2.  Якщо один з векторів нульовий, то

набір – Λ3

Озн. 2. Набір векторів називаються лінійно залежним, якщо існує нетривальна лінійна комбінація їх, яка дорівнює нульовому вектору.

Лінійна незалежність.

Набір векторів є лінійно незалежним, якщо він не є лінійно залежним, тобто якщо не існує нетривіальної лінійної комбінації, яка дорівнює нульовому вектору (тільки тривіальна комбінація буде дорівнювати ).

Властивості лінійної незалежності (ЛНЗ).

  1.  Якщо набір векторів ЛНЗ, то й будь-яка підмножина йго ЛНЗ.
  2.  Якщо один або кілька векторів набору помножити на ненульове число, то ЛНЗ збережеться.
  3.  Якщо до одного вектора набору додати інший, помножений на будь-яке число, то ЛНЗ збережеться.

nвимірний векторний простір. Операції і базис у ньому.

 -  двовимірний векторний простір – множина всіх векторів площини; операції з ними задовільняють такі властивості.

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  

- множина всіх векторів в просторі, має тіж самі властивості.

nвимірним векторним простором називається множина векторів з n дійсними координатами, яка задовільняє властивості 1 – 8.

Властивості :

Кожний вектор можна розкласти за двома неколінеарними, а 3 вектори завжди Λ3 на площині.

Властивості :

Кожний вектор в просторі можна розкласти за трьома некомпланарними, а будь-які 4 вектори - Λ3.   

Базисом  nвимірного простору називається набір векторів, за яким однозначно розкладається будь-який вектор цього простору.

Теорема: в nвимірному просторі кількість векторів базису обовязково дорівнює n.

Теорема: вектори базису обов’язково ЛНЗ.

Теорема (ознака базису):  набір векторів є базисом  , якщо:

  1.  Їх n штук.
  2.  Вони ЛНЗ.

 

Рівняння множини точок

Рівнянням множини точок називається таке співвідношення, яке задовільняють координати всіх точок цієї множини і тільки цих точок.

Рівняння прямої на площині.

-  Рівняння прямої через дану точку та вектор нормалі.

- загальне рівняння

прямої .

Теорема: Будь-яке рівняння вигляду   задає пряму (якщо хоча б одне з чисел А і В не дорівнює 0).

Рівняння прямої за точкою та напрямним вектором.

( ||  вектор – напрямний вектор).  

Рівняння прямої через дві точки.

Рівняння прямої у відрізках на осях.

                 - умова паралельності прямих (не співпадають).

                               - співпадають.

Умова перпендикулярності двох прямих.

Формула відстані від даної точки до даної прямої.

Кут між прямими - кут між їх нормалями.

Поділ відрізка в даному відношенні.

Рівняння площини у просторі.

- загальне рівняння площини.

Неповні рівняння площини і часткові випадки (деякі з коефіцієнтів дорівнюють 0).

 

Рівняння площини у відрізках на осях.

Формула відстані від точки до площини.

Умова || -ті двох площин.

Перпендикулярні площини, якщо вектори нормалі    

Для  між площинами – кут між векторами нормалі:

Рівняння прямої в просторі.

Канонічні рівняння прямої:

Параметричні рівняння прямої:

Рівняння прямої через дві точки в просторі.

Умова ті  прямої і площини:

Поняття про криві другого порядку на площині.

Еліпс – множина точок площини, сума відстаней від яких до двох даних точок (фокусів) постійна.

Загальне рівняння еліпса.

Аналіз форми еліпса за його рівнянням.

  1.  Симетричний відносно осей координат та початку координат.
  2.  Точки перетину з осями.

  1.  Ексцентриситет еліпса.

Еліпс як деформоване коло.

Доведемо, що еліпс і коло можна одержати один від одного розтягом або стиском одної з осей.

Еліпс зі зміщеним центром.

Гіпербола.

Озн. Гіпербола – крива, яка в певній системі координат має рівняння:

Озн. Гіпербола – це множина точок, різниця відстаней від яких до двох даних є величина постійна.

Аналіз форми гіперболи за рівнянням:

  1.  Симетрична відносно 0х, 0у і початку координат.
  2.  Перетин з осями координат.
  3.   
  4.  Асимптоти.

Формули переходу до нових координат при зсуві та при повороті осей.

Парабола.

Парабола  - геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки і даної прямої.

Лінійна алгебра.

Матриця розміру   - прямокутна таблиця з m рядків та  n  стовпчиків, заповнена числами. Числа – елементи матриці.

Якщо m=n  -

  1.  Щоб помножити матрицю на число, потрібно кожний елемент помножити на це число.
  2.  Щоб додати дві матриці:

  1.  Добуток рядка

на стовпчик –

  1.  Множення матриці

на стовпчик.

  1.  Множення матриці

на матрицю:

 

Множення на одиничну матрицю.

Деякі властивості опарацій з матрицями:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  

Піднесення до степеня.

Транспонування матриці.

Транспонувати матрицю – переставити місцями рядки та стовпчики.

Властивості операцій транспонування:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Визначники (детермінанти).

Визначники бувають тільки квадратних матриць.

Визначники третього порядку( 2 способи обчислення):

Деякі властивості визначників.

  1.  В вираз для визначника входять 6 доданків, кожний з яких є добутком трьох елементів, по одному з кожного рядка та стовпчика.
  2.  Якщо один із рядків або стовпчиків нульовий, то визначник дорівнює 0 (доведення виходить з 1).
  3.  Якщо елементи одного рядка або ствпчика помножити на k, то визначник  помножиться на k.
  4.  При транспонуванні матриці визначник не змінюється.
  5.  Якщо переставити два рядки або стовпчики місцями, то визначник помножиться на –1.

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33264. Стратегия лидерства по издержкам 64.5 KB
  Существуют четыре широкие альтернативы: проникновение на рынок увеличение рыночной доли на старых рынках с помощью существующей продукции; освоение рынка внедрение на новые рынки и новые сегменты рынка с помощью существующей продукции; разработка продукта разработка новой продукции для обслуживания старых рынков; диверсификация разработка новых продуктов для обслуживания новых рынков. Продуты Существующие Новые...
33265. Основные положения по проектированию организационных структур управления 35 KB
  Заключается в разумной централизации функций работников в отделах и службах предприятия с передачей в нижнее звено функции оперативного управления. Обеспечивается закреплением за каждым подразделением определенных функций управления. Характеризует достижение минимально необходимых затрат на построение и содержание организационной структуры управления.
33266. Предмет науки управления (менеджмента) 41.5 KB
  Содержание функций управления. Менеджмент это процесс управления руководства отдельным работником рабочей группой коллективом для достижения цели организации. Менеджмент подразумевает определенную категорию людей получивших профессиональное образование в сфере управления и практически занимающихся руководством.
33267. Характеристика основных принципов управления организацией 58.5 KB
  творчества менеджеров основаны на определенных законах Законы управления Законы управления Содержание 1. Организация управления 4. Законы присущие всем сторонам управления 1.
33268. Эволюия основных подходов к менеджменту, характеристика школ 49 KB
  Эволюия основных подходов к менеджменту характеристика школ Основные положения школ менеджмента: Школа научного управления. Школа административного управления. Ее основные принципы: Развитие принципов управления. Описание функций управления.
33269. Характеристика современных концепций менеджмента (системный , ситуационный , количественные подходы). Сущность целевого и стратегического подхода в менеджменте 30.5 KB
  При ситуационном подходе возникшем в конце 60х годов не считается что концепции традиционной теории управления. школы человеческих отношений и школы науки управления неверны. Считая концепцию процесса управления применимой ко всем организациям сторонники ситуационного подхода нашего столетия признают что. хотя общий процесс одинаков специфические приемы которые должен использовать руководитель для эффективного управления могут значительно варьироваться.
33270. Классификация и общая характеристика управления методов управления персоналом 56.5 KB
  Классификация и общая характеристика управления методов управления персоналом Управление персоналом как специфическая деятельность осуществляется с помощью различных методов способов воздействия на сотрудников. Экономические методы Экономические методы управления являются способами воздействия на персонал на основе использования экономических законов. Наиболее распространенными формами прямого экономического воздействия на персонал являются: хозяйственный расчет материальное стимулирование и участие в прибылях через приобретение ценных...
33271. Управленческое решение: содержание, виды . Стадии и технологии принятия управленческих решений 68.5 KB
  Классификация управленческих решений Классификационный признак Группы Управленческих решений Степень повторяемости проблемы Традиционные Нетипичные Значимость цели Стратегические Тактические Сфера воздействия Глобальные Локальные Длительность реализации Долгосрочные Краткосрочные Прогнозируемые последствия решения...
33272. Элементы налога на имущество организаций и их характеристика 26 KB
  Элементы налога на имущество организаций и их характеристика. Налог на имущество организаций является наиболее весомым в региональных налогах. Плательщиками налога на имущество являются: организации включая банки и кредитные учреждения в том числе с иностранными инвестициями являющиеся юридическими лицами в соответствии с законодательством РФ; филиалы и другие аналогичные подразделения организаций имеющие отдельный баланс и расчетный счет; организации с иностранными инвестициями иностранные компании фирмы международные объединения и...