48075

Электротехника

Конспект

Производство и промышленные технологии

Определение связи между токами напряжениями параметрами заданной цепи и теми величинами которые определяют работу рассматриваемой установки например: к. Принцип работы и общие свойства важнейших электротехнических устройств и элементов электрической цепи. Задачи синтеза заключаются в разработке методов такого выбора схемы соединения элементов цепи и такого подбора параметров этих элементов чтобы полученная цепь обладала заданными характеристиками. По наличию данных элементов различают соответственно активные и пассивные цепи.

Русский

2013-12-06

5.26 MB

126 чел.

Теоретический раздел

Элементы электрических цепей

Цель лекции №1:

Ознакомившись с лекцией №1 по электротехнике студент должен знать:

  1.  Что представляет из себя в общем случае электрическая цепь.
  2.  Четко различать понятия «источник напряжения» и «источник тока» и иметь представление об их эквивалентности.
  3.  Понимать и оперировать понятием «положительное направление» тока, напряжения, э.д.с.

Цели и задачи курса «Электротехника».

Курс «Электротехника» является специальным курсом, дающим теоретическую базу для понимания физических процессов в элементах и устройствах автоматики и системах управления.

Цель курса:

изучение с качественной и количественной стороны установившихся режимов и переходных процессов в электрических цепях; ознакомление с современными инженерными методами анализа и синтеза электрических цепей, которые являются схемами замещения различных физических устройств и приборов.

Основные задачи в области электротехники:

  1.  Расчеты и анализы цепей, т.е. определение связи между токами, напряжениями, параметрами заданной цепи и теми величинами, которые определяют работу рассматриваемой установки (например: к.п.д., падение напряжения, величина тока к.з. и т.д.). Также сюда входят и задачи математического описания цепей (геометрия и топология цепей, их матрицы); методы решения и анализа систем уравнений электрических цепей.
  2.  Принцип работы и общие свойства важнейших электротехнических устройств и элементов электрической цепи. Например, вопрос о согласовании приемника к источникам питания для получения максимальной мощности; теория резонанса.
  3.  Синтез электрических цепей.

Задачи синтеза заключаются в разработке методов такого выбора схемы соединения элементов цепи и такого подбора параметров этих элементов, чтобы полученная цепь обладала заданными характеристиками. Например, такой простой вопрос, как выбор параметров треугольника, эквивалентного заданной звезде, по существу относится к задаче синтеза.


Элементы электрических цепей.

Электрической цепью называется совокупность устройств, предназначенных для прохождения электрического тока. Электромагнитные процессы в электрических цепях описываются при помощи понятий «ток» и «напряжение».

В общем случае электрическая цепь состоит из источников и приемников электрической энергии и промежуточных звеньев, связывающих источники с приемниками.

Источники электрической энергии – гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы, генераторы и другие устройства, в которых происходит процесс преобразования химической, тепловой, механической или другого вида энергии в электрическую.

Приемниками (нагрузкой) электрической энергии служат электрические двигатели, электронагревательные приборы и другие устройства, в которых электрическая энергия превращается в световую, тепловую, механическую и другие виды.

Под элементами в теории электрических цепей подразумеваются обычно не физически существующие составные части электротехнических устройств, а их идеализированные модели, которым теоретически приписываются определенные электрические и магнитные свойства, так что они в совокупности приближенно отображают явления, происходящие в реальных устройствах.

В электрических цепях различают активные и пассивные элементы.

Активные элементы – это источники электрической энергии. Различают источники напряжения и источники тока.

Пассивные элементы – это сопротивления, индуктивности, емкости.

По наличию данных элементов различают соответственно активные и пассивные цепи.

Положительные направления тока и напряжения.

Электрический ток в общем случае представляет собой движения электрических зарядов отрицательного и положительного знаков в разные стороны.

Численно ток определяется как придел отношения количества электричества, переносимого заряженными частицами сквозь рассматриваемое поперечное сечение проводника за некоторый промежуток времени, к этому времени, при условии, что данный промежуток времени стремится к нулю:

где  q - количество электричества, прошедшее через рассматриваемое сечение проводника за время t.

Количество электричества (заряд) измеряется в Кулонах [K], промежуток времени в секундах [сек], а единицей измерения тока служит Ампер [A].

Электрическому току приписывают направление.

За положительное направление тока принимают направление перемещения положительных зарядов от  точки высшего потенциала к точке меньшего потенциала.

Направление тока характеризуется знаком тока. Понятия положительный или отрицательный ток имеют смысл, если сравнивать направление тока в проводнике с некоторым заранее выбранным направлением – так называемым положительным направлением тока.

Положительное направление тока выбирается произвольно и указывается стрелкой.

Рассмотрим пассивный участок электрической цепи с выбранным положительным направлением тока:

При протекании тока от точки 1 к точке 2 подразумевается, что потенциал точки 1 выше потенциала точки 2.

Под напряжением на данном участке подразумевается разность электрических потенциалов точек 1 и 2.

Единица измерения напряжения Вольт [B].

При условии, что 1 больше 2 U12 = 1 - 2  будет положительным.

Порядок индексов при напряжении означают его выбранное положительное направление.

Чаще всего положительное направление напряжения выбирают совпадающим с положительным направлением тока и указывают стрелкой.

Источник напряжения и источник тока.

В теории электрических цепей используют понятия идеальные источники электрической энергии: источник напряжения и источник тока.

Им приписывают следующие свойства:

Источник напряжения представляет собой активный элемент с двумя зажимами, напряжение на котором не зависит от тока, проходящего через источник

Рис.2. Идеальный источник напряжения и

его вольтамперная характеристика(BAX).

Предполагается, что внутри идеального источника напряжения пассивные сопротивление, индуктивность и емкость отсутствуют и, следовательно, прохождение тока не вызывает падения напряжения.

Упорядоченное перемещение положительных зарядов в источнике напряжения от меньшего потенциала к большему возможно за счет работа сторонних сил, которые присущи источнику.

Величина работы, производимой данными сторонними силами по перемещению единицы положительного заряда от отрицательного полюса источника напряжения к положительному по полюсу, называется электродвижущей силой (э.д.с.) источника и обозначается e(t).

На рис.2(а) указано направление напряжения на зажимах идеального источника, которое всегда равно э.д.с. источника по величине и противоположно ей по направлению.

Идеальный источник напряжения называют еще источником бесконечной мощности. Это - теоретическое понятие. Величина тока в пассивной цепи зависит от параметров этой цепи и e(t). Если зажимы идеального источника напряжения замкнуть накоротко, то ток цепи должен быть теоретически равен бесконечности. В действительности при замыкании зажимов источника ток имеет конечное значение, так как реальный источник обладает внутренним сопротивлением.

Обычно внутренние параметры источника конечной мощности незначительны по сравнению с параметрами внешней цепи и в не которых случаях (по условию задачи) могут вообще не учитываться. Внутреннее сопротивление источника э.д.с.(r0) на схемах замещения изображается последовательно соединенным с самим источником.

Рис.3. Источник напряжения конечной мощности.

Источник тока представляет собой активный элемент, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах.

Рис.4. Идеальный источник тока и его вольтамперная характеристика.

Предполагается, что внутренне сопротивление идеального источника тока равно бесконечности, и поэтому параметры внешней цепи, от которых зависит напряжение на зажимах источника тока, не влияют на ток источника.

При увеличении напряжения внешней цепи, присоединенной к источнику тока, напряжение на его зажимах, и следовательно, мощность возрастают. Поэтому идеальный источник тока теоретически так же рассматривается как источник бесконечной мощности.

Источник тока конечной мощности изображен на рис.5.  g0 – внутренняя проводимость источника. Она характеризует внутренние параметры источника и ограничивает мощность, отдаваемую в цепь.

Рис.5. Источник тока конечной мощности.

Часто при решении задач методом эквивалентных преобразований возникает необходимость заменить реальный источник напряжения эквивалентным источником тока или наоборот. Преобразование осуществляется по схеме и формулам рис.6.

            (1)

Рис.6. Преобразования источников конечной мощности.

Сопротивление.

Сопротивлением называется идеализированный элемент цепи в котором происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую.

Кроме того, данный термин применяется для количественной оценки величины, равной отношению напряжения на данном элементе к току, проходящему через него:

[Ом]  (2)

Формула 2 выражает закон Ома.

Сопротивление всегда положительно.

Величина обратная сопротивлению носит название проводимости:

[См]  (3)

Рис.7. Графическое изображение сопротивления

с выбранными положительными направлениями тока и напряжения.

Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление равна:

Pr = Ui = i2r = U2q  (4)

Параметр r в общем случае зависит от тока i (например, вследствие нагревания проводника током).

Вольтамперная характеристика (зависимость напряжения на сопротивлении от тока) носит нелинейный характер.

Рис.8. BAX сопротивления: а – нелинейная; б – линейная.

Если сопротивление не зависит от тока, то имеет место прямая пропорциональность, выражающая закон Ома. В этом случае сопротивление называется линейным.

Индуктивность.

Индуктивностью называется идеализированный элемент электрической цепи, приближающейся по свойствам к индуктивной катушке, в котором накапливается энергия магнитного поля.

При этом термин «индуктивность» и его обозначение L применяется как для обозначения самого элемента цепи, так и для количественной оценки отношения потокосцепления самоиндукции к току в данном элементе:

[Гн]  (5)

Индуктивность всегда положительна, так как потокосцепления и ток имеют одинаковые знаки.

В общем случае индуктивность зависит от тока и является нелинейной.

Если зависимость(i) линейная, то индуктивность – величина постоянная.

Рис.9. Зависимость потокосцепления от тока:

а - нелинейная, б – линейная.

Рис.10. Графическое изображение индуктивности.

 (6)

eL - электродвижущая сила самоиндукции,  которая по закону Ленца противодействует изменению потокосцепления, что учитывается знаком « - ».

Если индуктивность L  величина постоянная (не зависит от тока), то

=  (7)

Напряжение на индуктивности определяется:

 (8)

Ток на индуктивности:

 (9)

Формулы (8) и (9) выражают закон Ома дифференциальной и интегральной форме для индуктивности.

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность равна:

 (10)

Мощность индуктивности связана с процессом нарастания или убывания энергии магнитного поля.


Емкость.

Емкостью называется идеализированный элемент электрической цепи приближенно заменяющий конденсатор, в котором накапливается энергия электрического поля.

При этом данный термин применяется как для обозначения самого элемента, так и для количественной оценки отношения заряда к напряжению на этом элементе:

[Ф]  (11)

Емкость всегда положительна, так как заряд и напряжение имеют одинаковый знак.

В общем случае зависимость заряда от напряжения носит нелинейный характер и, следовательно, параметр С зависит от напряжения.

Если зависимость заряда от напряжения линейная, емкость C – величина постоянная.

Рис.11. Зависимость электрического заряда от напряжения,

а – нелинейная, б – линейная.

Ток емкости равен производной электрического заряда по времени:

(12)

Формула (12) выражает закон Ома для емкости.

Напряжение на емкости:

 (13)

Условное графическое изображение емкости указано на рис.11. Там же даны положительные направления тока и напряжения.

Рис.12. Условное обозначение емкости.

Мгновенная мощность, поступающая в емкость, равна:

 (14)

Мощность емкости связана с процессом накопления или убыли электрического заряда в емкости. Когда заряд положительный и возрастает ток положительный и в емкость поступает электрическая энергия из внешней цепи. Когда заряд положителен, но убывает, т.е. ток отрицателен, энергия, ранее накопленная в электрическом поле емкости, возвращается во внешнюю цепь.

Контрольные вопросы:

  1.  Изложите основные задачи электротехники.
  2.  Элементы электрической цепи, их классификация.
  3.  Определение электрического тока, падения напряжения.
  4.  Что понимают под положительными направлениями тока и напряжения.
  5.  Изложите основные сведения об источниках тока и источниках напряжения, их взаимном преобразовании.
  6.  Чем отличается идеальный источник энергии от источника энергии конечной мощности.
  7.  Дать краткую характеристику следующим элементам и терминам, их определяющим: сопротивление, емкость, индуктивность.

Законы электрических цепей

Цель лекции № 2.

Ознакомившись с лекцией № 2 по электротехнике студент должен уметь:

  1.  В смешанном соединении электрических элементов определять участки с последовательным и параллельным их соединением.
  2.  Определять потенциал любой точки электрической цепи относительно базиса.
  3.  Применять обобщенный закон Ома для активного участка ветви.
  4.  Определять необходимое количество узловых и контурных уравнений и составлять систему уравнений по законам Кирхгофа.
  5.  Записывать выражение баланса мощностей для сложной электрической цепи.


Топологические элементы схемы: ветви, узлы, контуры.

Электрическая схема представляет собой графическое изображение электрической цепи. Она показывает как осуществляется соединение элементов рассматриваемой электрической цепи.

«Электрическими» элементами схемы служат активные и пассивные элементы цепи.

«Геометрическими» элементами схемы являются ветви и узлы.

Ветвь – участок схемы, расположенный между двумя узлами и образованный одним или несколькими последовательно соединенными электрическими элементами цепи (рис. 11).

Рис. 11. Изображение ветвей электрической схемы.

Под последовательным соединением элементов цепи понимается такое их соединение, при котором через все эти элементы проходит один и тот же ток.

Узел – место соединения трех или большего числа ветвей. Место соединения двух ветвей рассматривается как устранимый узел.

Рис. 12. Изображение узла электрической схемы.

Ветви присоединенные к одной паре узлов называются параллельными (рис. 13).

Рис. 13. Параллельное соединение двух ветвей.

На рис. 14 изображена электрическая схема пять ветвей и три узла.

Стрелкой на рис. указано направление обхода одного из контуров.

Рис. 14. Схема электрической цепи.

Под контуром понимается любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.

В зависимости от числа контуров, имеющихся в схеме, различают многоконтурные и одноконтурные схемы.

Одноконтурная замкнутая схема показана на рис. 15.

Одноконтурная схема является простейшей.

Рис. 15. Одноконтурная схема.


Распределение потенциала вдоль участка ветви.                                       Потенциальная диаграмма.

Рассмотрим участок электрической цепи (рис. 16)

Рис. 16.

Участок ветви, содержащий один или несколько источников энергии, является активным.

Положительные направления тока и напряжения указаны стрелкой.

Определим потенциалы точек c, d, e, b, предположив, что известен потенциал точки a-a.

Для правильного выбора знаков следует помнить, что:

  1.  ток в сопротивлении всегда направлен от более высокого потенциала к более низкому, т.е. потенциал падает по направлению тока.
  2.  э.д.с., направленная от точки «с» к точке «d», повышает потенциал последней на величину E.
  3.  напряжение U=Uac положительно, когда потенциал точки а выше, чем потенциал точки с.

При обозначении напряжения (разности потенциалов) на схемах посредством стрелки она ставится в направлении от точки высшего потенциала к точке низшего потенциала.

На рис. 16 ток протекает от точки «а» к точке «с», значит потенциал с будет меньше a на величину падения напряжения  на сопротивлении R1, которое по закону Ома равно IR1:

с = a - IR1

На участке cd э.д.с. E1 действует в сторону повышения потенциала, следовательно:

d = с + E1 = a - IR1+ E1

Потенциал точки «e» меньше потенциала точки «d» на величину падения напряжения на сопротивлении R2:

 e = d – IR2  = a - IR1+ E1– IR2  

На участке e в э.д.с. E2 действует таким образом, что потенциал точки «b» меньше потенциала точки «e» на величину E2:

b = e  E2 = a - IR1+ E1– IR2    E2 = a – I(R1+R2) + E1-E2   (15)

Чтобы наглядно оценить распределение потенциала вдоль участка цепи, полезно построить потенциальную диаграмму, которая представляет график изменения потенциала вдоль участка цепи или замкнутого контура.

По оси абсцисс графика откладываются потенциалы точек, а по оси ординат – сопротивления отдельных участков цепи. Для участка цепи рис. 16 распределение потенциала построено на рис. 17.

Рис. 16. Потенциальная диаграмма участка цепи.

Потенциальная диаграмма рис. 16 построена, начиная с точки a, которая условно принята за начало отсчета. Потенциал a принят равным нулю.

Точка цепи, потенциал которой условно принимается равным нулю, называется базисной.

Если в условии задачи не оговорено, какая точка является базисной, то можно потенциал любой точки условно приравнивать к нулю. Тогда потенциалы всех остальных точек будут определяться относительно выбранного базиса.


Обобщенный закон Ома.

Закон Ома выражаемый формулой, определяет зависимость между током и напряжением на пассивном участке электрической цепи.

Определим зависимость между током, напряжением и э.д.с. на активном участке (рис. 16).

Из формулы 15 следует:

a -b=I(R1+R2)- E1+E2  (16)

На положительное напряжение на участке ab Uab=a -b

Следовательно, Uab= I(R1+R2)- E1+E2 (17)

(18)

Формула (18) выражает обобщенный закон Ома, или закон Ома для участка, содержащего э.д.с.

Из формулы видно, что если ток, напряжение и э.д.с. совпадают по направлению, то в выражение закона Ома они входят с одинаковыми знаками. Если э.д.с. действует в сторону, противоположную положительному направлению тока, то в выражении ставится знак «-».

Закон Ома применяется для участка ветви и для одноконтурной замкнутой схемы.

Пример № 1 построения потенциальной диаграммы:

Построить потенциальную диаграмму для одноконтурной схемы:

E1=25В; E2=5В; E3=20В; E4=35В,

R1=8 Ом; R2=24 Ом; R3=40 Ом; R4=4 Ом,

r1=2 Ом; r2=6 Ом; r3=2 Ом; r4=4 Ом.

Решение: 1. перерисуем заданный контур, вынося внутренние сопротивления э.д.с. (r1- r4) за их пределы; обозначим точки контура.

Рис.2

2. Выберем положительное направление тока I, определим его значение используя обобщенный закон Ома:

3. За базисную точку примем точку a. Найдем потенциалы остальных точек:

b = a IR1  = - 4В  e = d IR2  =

c = b Ir1  = - 5В  f = e + E2  = 13В

d = c + E1  = 20В  q = f – Ir2  = 10В

k = q IR3  = - 10В  n = m IR4  = - 33В

e = k – E3  = - 30В  o = n – Ir4  = - 35В

m = e – Ir3  = - 31В  a = o + E4  = 0

4. В системе координат строим потенциальную диаграмму:


Законы Кирхгофа.

Распределение токов по ветвям электрической цепи подчиняется первому закону Кирхгофа, а распределение напряжений по участкам цепи подчиняется второму закону Кирхгофа.

Законы Кирхгофа наряду с законом Ома являются основными в теории электрических цепей.

Первый закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

i = 0  (19)

Где i - число ветвей, сходящихся в данном узле.

Т.е., суммирование распространяется на токи в ветвях, которые сходятся в рассматриваемом узле.

Рис.17. Иллюстрация к первому закону Кирхгофа.

Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, определяется формулой:

Nуp = Nу – 1,

Где Nу – число узлов в рассматриваемой цепи.

Знаки токов в уравнении берутся с учетом выбранного положительного направления. Знаки у токов одинаковы, если токи одинаково ориентированы относительно данного узла.

Например, для узла, представленного на рис.17: припишем токам, подтекающим к узлу знаки «+», а к токам, оттекающим от узла – знаки «-».

Тогда уравнение по первому закону Кирхгофа запишется так:

I1I2 + I3I4 = 0.

Уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, называются узловыми.

Этот закон выражает тот факт, что в узле электрический заряд не накапливается и не расходуется. Сумма электрических зарядов, приходящих к узлу, равна сумме зарядов, уходящих от узла за один и тот же промежуток времени.

Второй закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма э.д.с. в любом замкнутом контуре цепи равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах этого контура:

 Ui =  Ei

 IiRi =  Ei  (20)

Где i – номер элемента(сопротивления или источника напряжения) в рассматриваемом контуре.

**Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, определяется формулой:

Nуp = NbNу + 1 – Nэ.д.с.

Где Nb – число ветвей электрической цепи;

Nу -  число узлов;

Nэ.д.с. - число идеальных источников э.д.с.

Рис.18. Иллюстрация ко второму закону Кирхгофа.

Для того, чтобы правильно записать второй закон Кирхгофа для заданного контура, следует выполнять следующие правила:

  1.  произвольно выбрать направление обхода контура, например, по часовой стрелке (рис.18).
  2.  э.д.с. и падения напряжения, которые совпадают по направлению с выбранным направлением обхода, записываются в выражении со знаком «+»; если э.д.с. и падения напряжения не совпадают с направлением обхода контура, то перед ними ставится знак «-».

Например, для контура рис.18, второй закон Кирхгофа запишется следующим образом:

U1U2 + U3 = E1E3E4  (21)

Уравнение (20) можно переписать в виде:

(UiEi) = 0  (22)

Где (UE) – напряжение на ветви.

Следовательно, второй закон Кирхгофа можно сформулировать следующим образом:

Алгебраическая сумма напряжений на ветвях в любом замкнутом контуре равна нулю.

Потенциальная диаграмма, рассмотренная ранее, служит графической интерпретацией второго закона Кирхгофа.

Задача №1.

В схеме рис.1 заданы токи I1 и I3, сопротивления и э.д.с. Определить токи I4, I5, I6 ; напряжение между точками a и b, если I1 = 10мA, I3 = -20 мA, R4 = 5kОм, E5 = 20B, R5 = 3kОм, E6 = 40B, R6 = 2kОм.

.

Рис.1

Решение:

  1.  Для заданного контура составим два уравнения по первому закону Кирхгофа и одно – по второму. Направление обхода контура указано стрелкой.

В результате решения получаем: I6 = 0; I4 = 10мA; I5 = -10мA

  1.  зададим направление напряжения между точками a и b от точки «a» к точке «b» - Uab. Это напряжение найдем из уравнения по второму закону Кирхгофа:

I4R4 + Uab + I6R6 = 0

Uab = - 50B.

Задача №2.

Для схемы рис.2 составить уравнения по законам Кирхгофа и определить неизвестные точки.

Дано: I1 = 20мA; I2 = 10мA

R1 = 5kОм, R3 = 4kОм, R4 = 6kОм, R5 = 2kОм, R6 = 4kОм.

Рис.2

Решение:

Число узловых уравнений – 3, число контурных уравнений – 1.

Запомнить! При составлении уравнения по второму закону Кирхгофа выбираем контур, в который не входят источники тока. Направление контура указано на рисунке.

В данной цепи известны токи ветвей I1 и I2. Неизвестные токи I3, I4, I5, I6.

Решая систему, получаем: I3 = 13,75 мA; I4 = -3,75мA; I5 = 6,25мA; I6 = 16,25мA.


Составление баланса мощностей.

Из закона сохранения энергии следует, что вся мощность, поступающая цепь от источников энергии, в любой момент времени равна всей мощности, потребляемой приемниками данной цепи.

То есть IPпотр. = Pист.

Мощность потребителей, которыми в цепях постоянного тока являются резисторы, определяется по формуле

Pпотр. = I2R

Т.к. ток входит в данное выражение в квадрате, то независимо от его направления, мощность потребления всегда положительна.

Мощность источников, которыми могут быть источники напряжения и источники тока, бывает и положительной и отрицательной.

Мощность источника э.д.с. определяется по формуле

а)

Pэ.д.с. = EI

где I – ток в ветви с источником э.д.с.

б)

Если э.д.с. и ток этой ветви совпадают по   направлению (рис.19а), то мощность Pэ.д.с.

          входит в выражение баланса со знаком «+»,

                                           если не совпадают – то Pэ.д.с. – величина

  Рис.19           отрицательная.

Мощность источника тока определяется по формуле:

Pи.т. = IU

Где I – значение тока источника, U - напряжение на его зажимах.

Если ток I и напряжение U действуют так, как показано на рис.19б, то мощность положительна; в противном случае она – отрицательна. Следовательно, при вычислении мощности источника тока необходимо определять величину и направление напряжения на его зажимах.

Задача:


Контрольные вопросы:

  1.  Что представляет собой электрическая схема. Что относится к «электрическим» и «геометрическим» элементам схемы.
  2.  Дать определение последовательного и параллельного соединений элементов цепи.
  3.  Понятие «контур» в электрической цепи.
  4.  Чем отличается активная ветвь от пассивной?
  5.  Потенциальная диаграмма, ее назначение.
  6.  Изложить правило выбора знаков при нахождении потенциалов точек.
  7.  Сформулировать обобщенный закон Ома. Какова область его применения.
  8.  Сформулируйте первый закон Кирхгофа. Как определить число узловых уравнений? Правило знаков при написании узлового уравнения.
  9.  Формулировка второго закона Кирхгофа. Как определить число контурных уравнений. Правило знаков при написании контурного уравнения.
  10.  Что понимают под балансом мощностей? Как определяется мощность источника напряжения, источника тока, приемника.
  11.  Мощность каких элементов (активных или пассивных) может быть отрицательной и что это означает?

Преобразование схем электрических цепей

Цель лекции №3.

Ознакомившись с данной лекцией, студенты должны знать:

  1.  Цель преобразования электрических цепей.
  2.  Четко различать участки с последовательным и параллельным соединениями при рассмотрении смешанного соединения проводов.
  3.  Уметь преобразовывать соединение треугольник в эквивалентную звезду и обратно.
  4.  Уметь преобразовать источник э.д.с. в источник тока и обратно.


Преобразование схем электрических цепей.

Целью преобразования электрических цепей является их упрощение, это необходимо для простоты и удобства расчета.

Одним из основных видов преобразования электрических схем является преобразование схем со смешанным соединением элементов. Смешанное соединение элементов – это совокупность последовательных и параллельных соединений, которые и будут рассмотрены в начале данной лекции.

Последовательное соединение.

На рис.20 изображена ветвь электрической цепи, в которой последовательно включены сопротивления R1, R2,…,Rn. Через все эти сопротивления проходит один и тот же ток I. Напряжения на отдельных участках цепи обозначим через U1, U2,…, Un.

Рис.20. Последовательное соединение.

По второму закону Кирхгофа напряжение на ветви

U=U1+U2+…+Un= IR1+IR2+…+IRn=I (R1+R2+…Rn)=IRэкв.  (23)

Сумма сопротивлений всех участков данной ветви

Называется эквивалентным последовательным сопротивлением.

Параллельное соединение.

На рис.21 изображена схема электрической цепи с двумя узлами, между которыми включено n параллельных ветвей с проводимостями G1, G2,…, Gn. Напряжение между узлами U, оно одинаково для всех ветвей.

Рис.21. Параллельное соединение (показать преобразованное).

По первому закону Кирхгофа ток общей ветви

I=I1+I2+…+In=G1U+G2U+…+GnU=U (G1+G2+…+Gn)=UGэкв.  (24)

Сумма проводимостей всех ветвей, соединенных параллельно

называется эквивалентной проводимостью.

В случае параллельного сопротивления двух ветвей (n=2) обычно пользуются выражениями, в которые входят сопротивления и .

Эквивалентное сопротивление двух параллельно соединенных ветвей равно:

.

Смешанное соединение.

На рис.22 показано смешанное соединение электрической цепи:

Рис.22. Смешанное соединение.

Эта схема легко приводится к одноконтурной. Эквивалентировать схему обычно начинают с участков наиболее удаленных от входных зажимов. Для схемы рис.22 – это участок e-A. Сопротивления R5 и R6 включены параллельно, поэтому необходимо вычислить эквивалентное сопротивление данного участка по формуле

Для понимания полученного результата можно изобразить промежуточную схему (рис.23).

Рис.23

Сопротивления R3, R4  и R/экв. соединены последовательно, и эквивалентное сопротивление участка c-e-f-d равно:

Rэкв.=R3+ R/экв.+R4.

После этого этапа эквивалентирования схема приобретает вид рис.24.

Рис.24

Затем находим эквивалентное сопротивление участка c-d и суммируем его с сопротивлением R1. Общее эквивалентное сопротивление равно:

.

Полученное сопротивление эквивалентно сопротивлению (рис.25) исходной схемы со смешанным соединением. Понятие “эквивалентно” означает, что напряжение U на входных зажимах и ток I входной ветви остаются неизменными на протяжении всех преобразований.

Рис.25


Преобразование треугольника в эквивалентную звезду
.

Преобразованием треугольника в эквивалентную звезду называется такая замена части цепи, соединенной по схеме треугольником, цепью, соединенной по схеме звезды, при которой токи и напряжения в остальной части цепи сохраняются неизменными.

Т.е., под эквивалентностью треугольника и звезды понимается то, что при одинаковых напряжениях между одноименными зажимами токи, входящие в одноименные выводы, одинаковы.

Рис.26. Преобразование треугольника в звезду.

Пусть R12; R23; R31- сопротивления сторон треугольника;

 R1; R2; R3- сопротивления лучей звезды;

 I12; I23; I31- токи в ветвях треугольника;

 I1; I2; I3- токи, подходящие к зажимам 1, 2, 3.

Выразим токи в ветвях треугольника через подходящие токи I1, I2, I3.

По второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений в контуре треугольника равна нулю:

I12R12+I23R23+I31R31=0

По первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2

I31=I12-I1; I23=I12+I2

При решении этих уравнений относительно I12 получим:

Напряжение между точками 1 и 2 схемы треугольника:

Напряжение между этими же точками схемы звезды равно:

U12=I1R1-I2R2.

Т.к. речь идет об эквивалентном преобразовании, то необходимо равенство напряжений между данными точками двух схем, т.е.

Это возможно при условии:

              (25)

Третье выражение получено в результате круговой замены индексов.

Исходя из выражения (25) формулируется следующее правило:

Сопротивление луча звезды равно произведению сопротивлений сторон треугольника, прилегающих к этому лучу, деленному на сумму сопротивлений трех сторон треугольника.

Выше было получено выражение для тока в стороне 1-2 треугольника в зависимости от токов I1 и I2. Круговой заменой индексов можно получить токи в двух других сторонах треугольника:


Преобразование звезды в эквивалентный треугольник.

При переходе от звезды к треугольнику известными являются сопротивления R1, R2, R3 лучей звезды. Значения сопротивлений треугольника определяются в результате совместного решения уравнений (25):

(26)

Сопротивление стороны треугольника равно сумме сопротивлений прилегающих лучей звезды и произведения их, деленного на сопротивление третьего луча.

Пример.

Дано: UAB=UBC=220(B), r0=0,5 Ом;

 r1=r2=r7=1Ом, r3=r4=4 Ом;

 r5=8 Ом, r6=r8=2 Ом.

Преобразовав схему, определить токи IA, IB, IC.

Рис.1

Решение: Сопротивления r6, r7, r8 образуют звезду;

сопротивления r3, r4, r5 образуют треугольник.

Преобразуем звезду сопротивлений r6, r7, r8 в треугольник r9-r10-r11:

              Рис.2

В результате преобразования получили два треугольника, параллельных друг другу (рис.2). Найдем эквивалентные сопротивления сторон треугольника (рис.3):

Рис.3

Полученный треугольник преобразуем в звезду (рис.4)

Рис.4

Т.к. сопротивления r1; r0; r2 не подвергались преобразованиям, то через них протекают искомые токи IA; BC; IC. Для их нахождения составим систему уравнений по законам Кирхгофа:

В результате решения системы получим:

IA= 110 (A); IB= 0; IC= -110 (A).

Примечание:

  1.  Преобразование источника напряжения, обладающего внутренним сопротивлением, в эквивалентный источник тока с внутренней проводимостью было рассмотрено ранее. Необходимость замены одного вида источника другим часто возникает при решении задач. При этом следует помнить:

Под эквивалентностью источников понимают неизменность токов, напряжений и мощностей во внешней электрической цепи, присоединенной к источникам.

Мощности, расходуемые во внутренних сопротивлениях источника тока и источника напряжения, не одинаковы.

  1.  Преобразование активного треугольника в активную звезду и наоборот, рассмотрено в приложении I.


Контрольные вопросы.

  1.  Записать формулы эквивалентного сопротивления ветви при последовательном соединении её элементов и эквивалентной проводимости участка цепи при параллельном соединении ветвей на данном участке.
  2.  Что такое смешанное соединение элементов? Какой порядок эквивалентирования сопротивлений при таком соединении.
  3.  Записать формулы перехода от треугольника к эквивалентной звезде и наоборот.

Методы расчета сложных электрических цепей

Цель лекции № 4.

Ознакомившись с данной лекцией студент должен знать:

  1.  Суть каждого из ниже рассмотренных методов.
  2.  Уметь применять данные методы при решении задач.


Методы расчета сложных электрических цепей.

Метод наложения (суперпозиции).

Метод наложения основан на применении принципа наложения, который формулируется следующим образом:

Ток в любой ветви электрической цепи равен сумме токов, обусловленных действием каждого источника в отдельности, при отсутствии других источников.

Рассматриваемый принцип называют принципом независимого действия.

При действии только одного из источников напряжения предполагается, что э.д.с. всех остальных источников равны нулю, так же как равны нулю и токи всех источников тока. Отсутствие напряжения на зажимах источников напряжения равносильно короткому замыканию их зажимов. Отсутствие тока в ветви с источником тока равносильно разрыву этой ветви.

Если источник э.д.с. содержит внутреннее сопротивление, то, полагая э.д.с. равной нулю, следует оставлять в его ветви внутреннее сопротивление. Аналогично в случае источника тока с параллельной внутренней проводимостью, следует, разрывая ветвь источника (т.е. полагая J=0), оставлять включенной параллельную ветвь с внутренним сопротивлением.

Пусть в цепи действуют источники с параметрами E и J, I//n и I/n – токи n-ой ветви, создаваемые каждым из этих источников в отдельности. Искомый ток

Принцип суперпозиции применим к напряжениям, т.к. между током и напряжением рассматривается линейная зависимость (закон Ома); но не применим к мощности:

т.к. мощности – это квадратичные функции токов.

Пример.

Дано: E=60B; J=2A; R1=5Ом; R2=20Ом; R3=10Ом; R4=15Ом

Рис.1

Определить все токи методом наложения.

Решение:

  1.  Заменяем источник э.д.с. E короткозамкнутым участком (т.к. его rвн=0) (схема рис.2).

Рис.2

Т.к. конфигурация цепи изменилась, то в цепи рис.2 протекают токи отличные от токов цепи рис.1. Их называют первые частичные токи и обозначают со штрихом.

Т.к. схема упростилась, то токи можно рассчитать, применяя правило плеч. Схему цепи рис.2 более наглядно представим на рис.3.

Рис.3

  1.  Разорвем ветвь с источником тока J. Токи, протекающие в цепи рис.4 называют вторыми частичными токами и обозначают с двумя штрихами.

Рис.4

  1.  Искомые токи найдем как алгебраическую (т.е. с учетом направлений) сумму частичных токов:


Входные и передаточные проводимости.

Решение системы уравнений по законам Кирхгофа для линейной цепи, содержащей источники тока и источники э.д.с., имеет вид

   (27)

где  - коэффициенты, не зависящие от тока.

Структура уравнений (27) соответствует принципу суперпозиций: ток в n-ой ветви равен сумме токов от действия каждого отдельного источника:

Коэффициенты при э.д.с. имеют размерность проводимости.

Коэффициенты с одинаковыми индексами (y11, y22…)называют собственными или входными проводимостями.

Их физический смысл очевиден: они численно равны току ветви при действии единственной э.д.с. в 1 Вольт, включенной в эту самую ветвь.

Рис.27

Входная (собственная) проводимость цепи рис.27

    (27,а)

Величину, обратную входной проводимости, называют входным сопротивлением.

Для цепи рис. 27   

Только для неразветвленной цепи понятие входная проводимость (сопротивление) совпадает с элементарным понятием проводимости (сопротивления).

Коэффициенты с разными индексами (y12, y13 и т.д.) называют передаточными или взаимными проводимостями.

Их физический смысл: передаточная проводимость между ветвью 2 и ветвью 1, т.е. y21, равна току в ветви 2 при действии в ветви 1 э.д.с. равной 1 В.

Для цепи на рис.27 .    (27, в)

Из приведенного определения коэффициентов ynk в сочетании с принципом суперпозиции возможна такая характеристика:

возрастание тока в ветви 2 (или 1) при возрастании э.д.с. E1 в ветви 1 равно проводимости y21 (или y11), умноженной на приращение э.д.с. E1:

  (28)

Очевидно, что y21=y12


Метод контурных токов.

Метод контурных токов – один из основных и широко применяемых на практике методов. Он заключается в определении по второму закону Кирхгофа контурных токов. Для каждого контура цепи задают ток, который остается неизменным. В цепи протекает столько контурных токов, сколько независимых контуров в ней содержится. Направление контурного тока выбирают произвольно.

Контурные токи, проходя через узел, остаются непрерывными. Следовательно, первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Уравнения с контурными токами записываются только для второго закона Кирхгофа. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, меньше чем по методу законов Кирхгофа.

Рис.28. Иллюстрация к методу контурных токов.

На рис.28 показана цепь с двумя независимыми контурами, следовательно, и с двумя контурными токами I11 и I22.

Токи в ветвях I1 и I2 равны контурным токам:

I1=I11, I2=I22

Ток I3 равен сумме этих двух контурных токов:

I3=I11+I22

По второму закону Кирхгофа для первого контура цепи:

I1r1+I3r3=E1-E3

Или: I11r1+(I11+I22)r3=E1-E3;

I11 (r1+r2)+I22r3=E1-E3

Обозначим r1+r2=r11

r3=r12; E1-E3

Тогда: I11r11+I2r12=E11

r11 – сумма всех сопротивлений, входящих в контур I, называется собственным сопротивлением контура.

r12 – сопротивление ветви, общей для контура I и II;

E11=E1-E2 – алгебраическая сумма всех э.д.с., содержащихся в первом контуре; со знаком «-» берется э.д.с., действующая навстречу контурному току рассматриваемого контура.

E11 называется контурной э.д.с.

Аналогично для второго контура рис.28.

I11r21+I22r22=E22,

где r21=r3; r22=r2+r3;

E22=E2-E3

Уравнения, составленные по методу контурных токов, всегда записывают в виде системы. Для схемы рис.28:

В результате решения системы находят контурные токи, а затем токи ветвей.

Если заданная электрическая цепь содержит n независимых контуров, то на основании второго закона Кирхгофа получается n контурных уравнений:

  (29)

Собственные сопротивления rii входят в уравнения (29) со знаком «+», поскольку обход контура принимается совпадающим с положительным направлением контурного тока Iii. Общие сопротивления rik войдут в уравнения со знаком «-», когда токи Ii и Ik направлены в них встречно.

Число уравнений, составляемых по методу контурных токов, определяется по формуле:

Nур=Nb-Ny+1-Nи.т.

где Nb – число ветвей электрической цепи;

Ny – число узлов;

Nи.т. – число идеальных источников тока.

Если в цепи отсутствуют источники тока, число уравнений равно числу контурных токов и, соответственно, числу независимых контуров рассматриваемой электрической цепи.

Пример.

Решим пример 2 параграфа 11, используя метод контурных токов.

Цепь содержит три контура, через которые протекают контурные токи.

При наличии источников тока надо так направлять контурные токи, чтобы они протекали через данные источники. Но через один источник тока не может протекать два контурных тока.

На рис.1 обозначены положительные направления контурных токов. Очевидно, что I11=J1; I22=-J2

Контурный ток I33 – неизвестен,  для него составляем уравнение:

I33 (R3+R4+R5+R6)-I11 (R3+R4)+I22 (R5+R3)=0

В правой части уравнения стоит «0», т.к. отсутствует контурная э.д.с.

В результате решения определяем I33=16,25 мА

Итак: I1=I11=20мА; I3=I11-I22-I33=20-(-10)-16,25=13,75мА.

I4=-I11+I33=-20+16,25=-3,75мА;

I5=I22+I33=-10+16,25=6,25мА;

I6=I33=16,25мА.


Метод узловых напряжений.

Метод узловых напряжений заключается в определении на основании первого закона Кирхгофа потенциалов в узлах электрической цепи относительного некоторого базисного узла. Базисный узел в общем случае выбирается произвольно, потенциал этого узла принимается равным нулю. Разности потенциалов рассматриваемого и базисного узлов называется узловым напряжением.

На рис.29 представлена схема электрической цепи, содержащая пять ветвей и три узла. За базисный принят узел с индексом «0».

Узловое напряжение U10=1-0. Положительное напряжение узловых напряжений указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.

Рис.29. Иллюстрация к методу узловых напряжений.

Напряжение на ветвях цепи равно, очевидно, разности узловых напряжений концов данной ветви. Например, напряжение ветви 4 равно: U4=I4R4=U10-U20   (30)

Из формулы (30) видно, что, зная узловые напряжения, можно найти ток ветви.

Структуру уравнений получим, рассматривая схему рис.30.

Т.к. узел с индексом «0» принят за базисный, то его потенциал равен нулю. Узловые напряжения (потенциалы) узлов 1 и 2 – неизвестны.

Уравнения по первому закону Кирхгофа для 1 и 2 узлов соответственно записываются:

    (31)

Узловое напряжение     (32)

Отсюда     (33,а)

Аналогично для оставшихся токов:

    (33,б)

Выражения (33,а,б) подставляем в систему (31) и после некоторых арифметических преобразований получаем:

(34)

Обозначим  q11=q1+q2+q4+q5 – собственная проводимость узла 1.

 q22=q3+q4+q5 – собственная проводимость узла 2.

 q12=q21=q4+q5 – взаимная проводимость ветви,

соединяющей узлы 1 и 2.

 Iy1=E1q1+E2q2+E5q5 – узловой ток узла 1.

 Iy2=-E3q3-E5q5 – узловой ток узла 2.

Из приведенных выражений видно:

Собственная проводимость узла равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.

Взаимная проводимость равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих данные узлы.

Узловой ток (теоретическое понятие) – это алгебраическая сумма произведений Eiqi и Ji источников тока (если они есть) всех ветвей, примыкающих к рассматриваемому узлу. Слагаемое входит в выражение со знаком «+», если э.д.с. и источник тока направлены к узлу. В противном случае – ставится знак «-».

После введенных обозначений система (34) принимает вид:

    (35)

Из формул (35) видно, что собственная проводимость входит в выражения со знаком «+», а взаимная проводимость – со знаком «-».

Для произвольной схемы, содержащей n+1 узлов, система уравнений по методу узловых напряжений имеет вид:

  (36)

Число уравнений, составляемое по методу узловых напряжений, равно

Nур=Ny-1-Nэ.д.с.  (37)

где Nэ.д.с. – число идеальных источников э.д.с.

Пример: (общий случай)

Пример: (с идеальными э.д.с.)

Порядок расчета электрических цепей по методу узловых напряжений:

  1.  Выбираем произвольно базисный узел. Желательно нулевой потенциал представить тому узлу, где сходится большее количество ветвей. Если имеется ветвь, содержащая идеальную э.д.с., то базисный узел должен быть концом или началом этой ветви.
  2.  Составляется система уравнений для неизвестных узловых напряжений в соответствии с общей структурой этих уравнений (36).
  3.  Решая данную систему, находят напряжения узлов относительно базиса.
  4.  Токи ветвей определяют по обобщенному закону Ома:

(38)

Следствие: Если схема содержит только два узла, то в соответствие с методом узловых напряжений (в отсутствие идеальных э.д.с.) составляется только одно уравнение.

Например, для схемы рис.30:

U10q11=E1q1-E3q4+J2  (39)   

Формула (39) носит название метода двух узлов.

Рис.30. Иллюстрация к методу двух узлов.

Узловое напряжение по методу двух узлов равно:

(40)

Пример: Дано: E1=8B; E5=12B; R1=R3=1 Ом; R2=R4=2 Ом; R5=3 Ом.

Определить все токи методом узловых напряжений.

Рис.1

Решение:

Т.к. электрическая цепь содержит три узла и не содержит ветвей с идеальными источниками э.д.с., то число уравнений, составляемых по методу узловых напряжений равно 2.

Узел 3 будем считать базисным.

Тогда

Где

В результате решения системы определяем U13=2,8 B; U23=-1,95 B.

Токи в ветвях определяем по закону Ома:


Контрольные вопросы.

  1.  Сформулировать принцип наложения. Почему он называется принципом независимого действия?
  2.  Можно ли находить потребляемую мощность, используя метод наложения?
  3.  Что представляют из себя входные и взаимные проводимости. Физический смысл этих коэффициентов.
  4.  Изложить суть метода контурных токов, записать систему уравнений для произвольной схемы. Объяснить знаки в уравнениях.
  5.  Как определяется число уравнений, составляемых по методу контурных токов?
  6.  Изложить суть метода узловых напряжений. На каком законе основан данный метод?
  7.  Что означает понятие «узловое напряжение»?
  8.  Записать систему уравнений по методу узловых напряжений для произвольной схемы, объяснить знаки.
  9.  Как определить количество уравнений по этому методу?
  10.  Как учитывается наличие идеальных источников э.д.с. при составлении уравнений?
  11.  Изложить порядок расчета цепей по методу узловых напряжений.

Теоремы линейных цепей

Цель лекции №5.

Ознакомившись с лекцией №5 по электротехнике, студент должен знать:

  1.  формулировки всех ниже перечисленных теорем;
  2.  уметь пользоваться этими теоремами при решении задач.


Теоремы линейных цепей.

  1.  Теорема компенсации.

В электрической цепи любой пассивный элемент можно заменить эквивалентным источником напряжения, э.д.с. которого равна падению напряжения на данном элементе E=U=IR и направлена навстречу ему.

Справедливость этого утверждения вытекает из того, что любое из слагающих падения напряжений, входящих в уравнения по второму закону Кирхгофа может быть перенесено в другую сторону уравнения с противоположным знаком, т.е. может рассматриваться как дополнительная э.д.с., направленная навстречу току.

Рис.31. Служит иллюстрацией к доказательству теоремы компенсации.

Рис. 31. Иллюстрация к теореме компенсации.

Если в ветвь ''ab'' рис.31,а последовательно включить две равные, но противоположно направленные э.д.с. E/=E//=IR, то точки ''a'' и ''d'', ''c'' и ''b'' оказываются соответственно точками одинакового потенциала:

Таким образом, закоротив точки ''a'' и ''d'' и исключив, получим этот участок из ветви «ab», получим схему рис. 31,в. Ток ветви при этом не изменится.

  1.  Теорема взаимности (обратимости).

Если источник э.д.с. k- ой ветви Ek вызывает в ветви «n» ток In, то этот же источник э.д.с., будучи включенным в ветвь «n» вызовет в ветви «k» тот же ток Ik=In.

Рис.32. Иллюстрация к теореме взаимности.

In=Ekqkn,      Ik=Enqnk          (41)

Эти выражения вытекают из формулы 27,в.

Т.к. qkn=qnk и Ek=En, то In=Ik.

Все пассивные линейные электрические цепи обладают свойствами взаимности (обратимости).

Электрические цепи, для которых выполняется условие qkn=qnk называются обратимыми цепями.

Использование метода обратимости пассивных линейных электрических цепей в ряде случаев упрощает расчеты.

Пример.

Определить величину и направление тока I4 в цепи, воспользовавшись для расчета цепи теоремой взаимности. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

E1=10B; R1=4Ом; R2=6Ом; R3=4Ом; R4=1,8Ом; R5=1Ом.

Решение:

Использование теоремы взаимности позволяет преобразовать сложную исходную цепь рис.1 в простую рис.2.

Простой цепь оказалась потому, что узлы «d» и «b» после переноса источника в ветвь c-d, связанные между собой проводом без сопротивления, слились в один узел. Следовательно, сопротивления R1 и R2 соединены параллельно. Так же параллельно соединены сопротивления R3 и R5.

На рис.3 эта же цепь изображена наглядно:

Эквивалентное сопротивление:

Ток

Токи I1/ и I5/ найдем по правилу плеч:

Ток

Но ток I/ в схеме рис.2 после переноса источника в четвертую ветвь, согласно теореме взаимности, должен быть равен току I4 в схеме рис.1 до переноса этого источника:

I4=I/=0,4(A)

Следует обратить внимание на то, что направление э.д.с. на рис.2 выбрано совпадающим с положительным направлением тока этой ветви до переноса э.д.с. При этом положительное направление тока I/ на рис.2 должно совпадать с направлением э.д.с. в этой ветви до переноса источника.

Метод взаимности основан на теореме взаимности.

  1.  Теорема об эквивалентном источнике.

С помощью этой теоремы сложная электрическая схема с произвольным числом источников электрической энергии приводится к схеме с одним источником. Благодаря этому расчет электрической цепи упрощается.

Существует два варианта теоремы об эквивалентном источнике: вариант с источником напряжения и вариант с источником тока.

Теорема об эквивалентном источнике напряжения.

По отношению к зажимам произвольно выбранной ветви оставшаяся активная часть цепи (активный двухполюсник) может быть заменена эквивалентным генератором. Параметры генератора: его э.д.с. Eэкв. Равна напряжению на зажимах выделенной ветви при условии, что эта ветвь разомкнута, т.е. Eэкв.=Uxx; его внутренне сопротивление r0 равно эквивалентному сопротивлению пассивной электрической цепи со стороны зажимов выделенной ветви.

Рис.33. Иллюстрация к теореме об эквивалентном

источнике напряжения.

Эквивалентная схема – схема Гемгольца-Тевенина.

Данная теорема доказывается следующим образом: в ветвь ab две одинаковые по величине и противоположно направленные э.д.с. E1=E2 при условии, что они равны напряжению холостого хода между зажимами a-b: E1=E2=Uxx.

В соответствии с принципом наложения определяем ток Ik как сумму двух токов: Ik, возникающего под действием э.д.с. E1 и всех источников оставшейся части схемы,  и тока Ik//, возникающего от независимого действия источника E2.

Ток Ik/=0, т.к. E1=Uxx

Ток Ik/=Ik в эквивалентной схеме, называемой схемой Гемгольца-Тевенина равен

       (42)

где r0- эквивалентное сопротивление всей пассивной цепи П.

Теорема об эквивалентном источнике тока.

Ток в любой ветви «a-b» линейной электрической цепи не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока. Ток этого источника должен быть равен току между зажимами a-b закороченными накоротко, а внутренняя проводимость источника тока должна равняться входной проводимости пассивной электрической цепи со стороны зажимов «a» и «b» при разомкнутой ветви «ab».

Рис.34 иллюстрирует эту теорему.

Рис.34

Действительно, из условия эквивалентности источников тока и напряжения следует: источник напряжения э.д.с. которого равна Uxx, а внутренне сопротивление равно r0 может быть заменен источником тока:

       (43)

Jэкв., определенное по формуле (43), является током короткого замыкания, т.е. током, проходящим между зажимами «a-b», замкнутыми накоротко.

Искомый ток ветви «k» равен:

      (44)

где .

Методы решения задач, основанные на теоремах об эквивалентном источнике напряжения и об эквивалентном источнике тока, называются соответственно методом эквивалентного генератора и методом эквивалентного источника тока.

Эти методы используются в тех случаях, когда по условию задачи требуется рассчитать ток только одной ветви электрической цепи.

Порядок расчета задачи методом эквивалентного генератора:

  1.  разрывают выделенную ветвь схемы и путем расчета оставшейся части схемы одним из методов определяют Uxx на зажимах разомкнутой ветви;
  2.  определяют r0 (внутренне сопротивление эквивалентного источника) по отношению к зажимам выделенной ветви методом эквивалентных преобразований.

При этом обязательно изображается пассивная схема, где источники э.д.с. заменяются их внутренними сопротивлениями (если э.д.с. -  идеальная, то участок ее подключения изображается короткозамкнутым), источники тока заменяются их внутренними проводимостями (ветви с идеальными источниками тока разрываются);

  1.  Определяют ток выделенной ветви по закону Ома:

.

Параметры эквивалентного генератора для реальной цепи могут быть получены на основе опытов холостого хода и короткого замыкания. Из опыта x.x. определяют Uxx, а из опыта к.з. – Ik.з. Внутреннее сопротивление источника: .

Пример: В цепи, изображенной на рис.1 измерено напряжение между зажимами a-b вольтметром с весьма большим сопротивлением: Ua-b=60B. Затем между зажимами a-b включили амперметр, сопротивлением которого можно пренебречь, ток, показанный амперметром I=1,5A. Сколько покажет вольтметр с сопротивлением RV=760(Ом), если его включить между зажимами a-b?

Решение: Решим задачу методом эквивалентного генератора. Генератором будем считать цепь, очерченную пунктиром. Пусть это будет генератор напряжения. Э.д.с. этого генератора, равная напряжению холостого хода, измерена вольтметром с большим внутренним сопротивлением. Следовательно Eэкв.=60B. Ток короткого замыкания показал амперметр: Iк.з.=1,5A. Но ток короткого замыкания ограничен только внутренним сопротивлением генератора. Следовательно, его внутренне сопротивление:

Если теперь к зажимам a-b подключить сопротивление RV=760(Ом), ток через это сопротивление будет равен:

А падение напряжения на этом сопротивлении:

U=IRV=57(B).

Это напряжение покажет второй вольтметр.

Решим задачу, выбрав в качестве эквивалентного генератора генератор тока:

Параметрами генератора тока являются его задающий ток Jэкв. И внутренняя проводимость G0. Задающий ток может быть измерен или определен как ток короткого замыкания: Jэкв.=Jк.з.=1,5(A).

Внутренняя проводимость может быть определена из опыта холостого хода, т.к. в этом опыте ток генератора замыкается только через G0:

Эквивалентная проводимость цепи при подключенном вольтметре равна:

Напряжение между зажимами генератора при подключении второго вольтметра:

Контрольные вопросы.

  1.  Изложить суть метода взаимности.
  2.  В каких случаях целесообразно применить метод взаимности?
  3.  Привести пример применения теоремы компенсации.
  4.  Изложить суть метода эквивалентного источника для расчета цепей.
  5.  Когда наиболее целесообразно применять метод эквивалентного источника?

Электрические цепи периодического синусоидального тока и напряжения.

Электрический ток и напряжение изменяющиеся во времени по какому-либо закону называют переменными.

Если форма кривой переменного тока и напряжения повторяется через равные промежутки времени, то их называют периодическими.

Наименьшее время, через которое повторяется форма переменного тока и напряжения, называют периодом, обозначают Т и измеряют в с.

Число периодов Т в 1 секунду называют частотой f  переменного тока и напряжения и дана размерность герц (Гц).

,   Гц

Простейшими периодическими переменными током и напряжением являются вырабатываемые генераторами всех видов электростанций напряжения и тока (энергия) синусоидальной формы.

, А

, B

      

Здесь обозначают:

i(t), u(t) – мгновенное значение тока и напряжения;

Im, Um – амплитудные значения тока и напряжения;

i, u – начальная фаза тока и напряжения, герц;

= 2f – угловая частота, с-1.

Разницу начальных фаз напряжения и тока обозначили =ui и назвали угол сдвига фаз.

Периодические ток и напряжение характеризуют еще понятиями среднего и действующего значения.

Среднее значение – это среднее значение за период. Так как у синусоидальной функции оно равно нулю (  ), у синусоидального тока и напряжения за среднее значение определяют значение за полпериода ().

,  А

, В

или Iср=0,64 Im, Uср=0,64 Um.

Действующее значение периодической синусоидальной функции – это среднеквадратичное значение за период.

Тогда

, A

, B

Необходимо запомнить – разница между амплитудным и действующим значением периодического синусоидального тока и напряжения – .

Измерительные приборы (амперметры. вольтметры) магнитоэлектрической системы показывают среднее (Iср, Uср) значение синусоидального тока и напряжения i(t), u(t).

Измерительные приборы (амперметры. вольтметры) электромагнитной, электродинамической, тепловой систем показывают действующее значение (I, U) синусоидального тока и напряжения i(t), u(t).

По действующему значению I периодического синусоидального тока  судят о его тепловом воздействии: действующее значение I равно постоянному току I0, который выделяет в активном сопротивлении R за один период Т столько же тепла, что и .

(I2R=I02R).

Мощность в электрических цепях периодического

синусоидального тока.

Мгновенное значение мощности.

                 

 , BA  

Здесь обозначили и назвали:

UI=S – полная мощность, ВА;

UICos =P – активная мощность, Вт;

UISin =Q – реактивная мощность, ВАР.

Рассмотрим поведение периодических синусоидальных токов и напряжений в отдельных элементах электрических цепей.

Активное сопротивление R.

        

                    Um= ImR; u=i; =uI=0

т.е. в активном сопротивлении угол сдвига фаз равен нулю, значит напряжение и ток в активном сопротивлении совпадает по фазе (R=ui=0).

Среднее значение за период – активная мощность

Индуктивность L

    

,  ,

а величину XL=L называют индуктивным сопротивлением и дали размерность Ом, величина обратная XL – индуктивная проводимость .

Здесь получили два важных момента:

  •  индуктивное сопротивление XL=L=2fL, Ом;
  •  на идеальной индуктивности L угол сдвига фаз , т.е. напряжение UL(t) опережает ток в индуктивности на 90.

.

Видно, что активная мощность pL=0, a QL= UI = I2XL

Емкость C

                             

 

  

  

,  bc – емкостная проводимость;

– емкостное сопротивление, размерность – Ом.

.

Получили две важных момента:

  •  емкостное сопротивление и проводимость

,  

  •  на идеальной емкости С угол сдвига фаз  , т.е. напряжение отстает от тока на угол 90.

Как и на индуктивности, на емкости активная мощность PС=0, а реактивная QС= UI = I2XС

Если токи и напряжения на R, L и С изобразить в виде векторов, то можно видеть:

R = 0

L = +90

С =  –90

Наша задача – рассчитать электрическую цепь, т.е. определить токи в ветвях и напряжения между узлами и на элементах, при действии периодических синусоидальных токов и напряжений.

Рассмотрим простейшую цепь – последовательное соединение элементов R, L, C.

Допустим, что , т.е. . Тогда по второму закону Кирхгофа:

 

где величину XLXC=X назвали реактивным сопротивлением.

(Видно, что  X имеет знак , в зависимости что больше XL или XC).

Используя тригонометрию, можно видеть:

;

,

где , назвали – полное сопротивление

Если изобразить расчет напряжения в цепи в виде векторов, то получим:

  

                  

– цепь имеет индуктивный характер.

– цепь имеет емкостной характер.

Разделив все напряжения на ток, можно получить треугольник сопротивлений.

                                

; .

Рассмотрим еще одну простую цепь – из параллельного соединения R, L, C.

      Допустим

,

.

По 1-му закону Кирхгофа:

где

– активная проводимость;

– индуктивная проводимость;

– емкостная проводимость;

– реактивная проводимость.

( b, как и Х имеет знак в зависимости, что больше bL или bC).

Если изобразить расчет тока в цепи в виде векторов, то получи:

       

Разделив токи на напряжения, получим треугольник проводимостей.

  ;   

Данный способ расчетов электрических цепей при периодических синусоидальных токах и напряжениях, когда приходится все время оперировать синусоидальными (косинусоидальными) функциями и понятиями полных сопротивлений и проводимостей и использовать при расчете векторные диаграммы по 1 и 2 законам Кирхгофа получил название графо-аналитического метода.

Большого применения, особенно при сложных цепях, этот метод не получил, ввиду большой сложности, особенно при ручном расчете.

РЕАКТИВНЫЕ ДВУХПОЛЮСНИКИ.

Наиболее простой электрической цепью является двухполюсник – любой сложности схема, имеющая два зажима (входной, выходной).

Двухполюсники могут быть различными:

  •  линейные, нелинейные;
  •  активные, пассивные;
  •  реактивные, с потерями и т.п. (зависит от характеристик элементов в схеме).

Мы рассмотри линейные, пассивные, чисто реактивные (имеются катушки Li и емкости Ci) двухполюсники.

В виду того, что соотношения между мгновенными токами i(f) и напряжениями U(f) описываются интегрально-дифференциальными выражениями по 1 и 2 законам Кирхгофа, воспользуемся их изображениями по преобразованию Лапласа или их аналогами для частных случаев.

комплексная частота;

операторное индуктивное сопротивление;

операторное емкостное сопротивление;

операторное реактивное сопротивление и проводимость.

При гармоническом (синусоидальном, периодическом) воздействии .

Зависимости от частоты.

Z(), Y() – амплитудочастотная характеристика;

() – фазочастотная характеристика.

Рассмотрим несколько простейших схем реактивных двухполюсников:

 

     

    

  

Сделав анализ рассмотренных схем, можно видеть:

  •  число резонансов на единицу меньше числа элементов;
  •  АЧХ определяется чередованием нулей (резонанс токов) и полюсов (резонанс токов); если в схеме есть путь для постоянного тока, то первым конкретным резонансом будет резонанс токов;
  •  крутизна АЧХ Z(ш), Y(ш) всегда положительна или  (теорема Фостера);
  •   - всегда отношение двух полиномов ω, степени которых отличаются на 1;
  •  у некоторых схем АЧХ выглядят одинаково (Z3 и Z5), (Z4 и Z6), у некоторых обратно (Z3 и Z6, Z5 и Z6).

Два двухполюсника называются обратными, если произведение их сопротивлений величина вещественная и положительная, а амплитудо-частотные характеристики выглядят взаимообратно (меняются местами нули и полюса).

В схемах обратных двухполюсников элементы дуальны (LC) и изменяется вид соединений (последовательное ↔ параллельное).

Два двухполюсника называются эквивалентными, если при разных схемах и выражениях они имеют одинакового вида АЧХ. В схемах эквивалентных двухполюсников элементы имеют разные величины, но меняется вид соединений (последовательное↔параллельное).

Канонические схемы двухполюсников.

Канонической называют схему, которая при правильном задании дает возможность выполнить это задание.

Если обобщить выражения входных сопротивлений простейших схем , то в общем случае выражение входного сопротивления двухполюсника будет иметь вид (в операторной форме):

При :

Так как степени n и m или равны или отличаются не более чем на 1, а  всегда нечетная функция ω, может быть только четыре вида , которые назвали классами.

H, a, b – вещественные величины, зависящие от параметров элементов схемы.

I класс.

Степени числителя и знаменателя  одинаковы (n=m).

II класс.

Степени числителя и знаменателя одинаковы (n=m).

III класс.

Степени числителя и знаменателя отличаются на 1 (m=n+1).

IV класс.

Степени числителя и знаменателя отличаются на 1 (n=m+1)

Частотные характеристики сопротивлений двухполюсников можно изобразить с помощью нулей (0) и полюсов (x).

Выражениям входного сопротивления (Z1, Z2, Z3, Z4 ()) и входной проводимости (Y1, Y2, Y3, Y4 ()) соответствуют определенные схемы реактивных двухполюсников, которые получили название канонических схем.

Возможны два варианта нахождения схем. Первый вариант основан на нахождении корней числителя и знаменателя и представлении выражений Z() или Y() в виде (на примере Z4(), Y4()):

Таким же образом можно рассмотреть проводимости. В результате такого представления и анализа выражений Z() и Y()  получаем, что каждому классу соответствуют две схемы (схемы Фостера):

1)

2)

3)

4)

В то же время для схем двухполюсников вида

Входное сопротивление и проводимость можно представить в виде цепочечной дроби (схемы получили название цепных или лестничных).

Если канонические выражения входных сопротивлений (Z1, Z2, Z3, Z4 ()) и проводимостей  (Y1, Y2, Y3, Y4 ()) представить в виде цепочечной дроби можно получить еще по два варианта канонических схем каждого класса (схемы Кауэра):

1)

2)

3)

4)

Каждая из четырех схем соответствующего класса имеет уже показанную выше амплитудо-частотную характеристику (т.е. в каждом классе схем – 4, АЧХ – 1).

Режимы резонанса в электрических цепях

Как и в физике, режим резонанса в электрической цепи наступает при совпадении частот колебаний – частоты внешнего воздействия и частоты собственных колебаний устройства (в данном случае электрической цепи). Но в электротехнике есть свои особенности.

В электрической цепи должны быть емкости (конденсаторы) C и индуктивные катушки L.

Резонанс в электрической цепи имеет место, если входное сопротивление цепи , т.е. если входное сопротивление носит активный характер, а это значит, что на резонансной частоте  на входе в схему ток и напряжение совпадает по фазе.

Кроме того, в момент резонанса входное сопротивление может быть равно нулю (это идеальный случай) или минимальное, а может быть равно бесконечности (опять идеальный случай) или очень большое, максимальное. Эти два случая разделили:

- резонанс напряжений,

- резонанс токов.

Почему так назвали, увидим из рассмотрения конкретных схем.

Резонанс напряжений.

Этот вид резонанса бывает в цепях, где имеется последовательное соединение индуктивности L и емкости C.

Комплексное сопротивление данной схемы

Известно, что  и  зависят от частоты, значит на какой-то частоте, назовем ее резонансной f0, эти сопротивления будут равны, а входное сопротивление контура будет равно R.

Эту частоту легко определить

На частоте f0       X=XL-XC=0.

Рассмотрим, что происходит в этот момент в схеме. Допустим, что U(t)=Umsin0t, тогда ток

Так как на f0         XL=XC    получаем

Что же происходит в нашем контуре на резонансной частоте f0?

Известно, что энергия  в катушке равна  энергия в конденсаторе

При резонансе XL=XC, значит WLm=WCm. Значит вся энергия источника расходуется в активном сопротивлении, а в идеале, когда R=0 и контур отключить от источника и замкнуть, происходит обмен энергией между катушкой и конденсатором бесконечно долго. Но как только появилось активное сопротивление (а у катушки оно всегда есть). За счет потерь Джоуля – Ленца (I2R) происходит уменьшение энергии, причем чем меньше R, тем дольше идет процесс. Поэтому в резонансном контуре ввели понятие добротности Q.

Добротность представляет собой отношение максимальной энергии WLm=WCm к потерям в контуре P=I2R.

Вес контура условно разделили на высокодобротные Q10 или XL0=XC0R10 и низкодобротные Q10.

Кроме этого, на резонансной частоте fp имеем XL=XC,

Видно, что в высокодобротных контурах, напряжение на катушке и емкости в величину добротности превышает входное напряжение. Поэтому резонанс при последовательном соединении L и C назвали резонансом напряжений, и этот контур часто используется как усилитель напряжения.

Рассмотрим поведение различных параметров контура в зависимости от частоты. Зависимость от частоты тока, напряжения, сопротивлений называется амплитудо-частотными характеристиками (АЧХ), зависимость фазы, угол сдвига фаз от частоты называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).

Максимум UC и UL наступают при

 

где  (величина, обратная добротности).

Векторные диаграммы при

При рассмотрении резонансов используется понятие полоса пропускания-это полоса частот, на границах которых мощность, поглощаемая контуром, в два раза меньше мощности, поглощаемой контуром, на резонансной частоте.

На частотах, граничных полосе пропускания, ток или напряжения изменяются в раз, а .

Очень часто интересно поведение различных параметров контура в узкой полосе частот вблизи резонансной частоты.

Имеем –

резонансная частота -

абсолютная расстройка -  

относительная расстройка -

обобщенная расстройка (кси) –

(при этом все расстройки положительны, при ff0, отрицательны при f  f0, при очень малых расстройках (), ).

Теперь можно построить характеристики I, Z, в зависимости от .

При этом можно видеть, что зависимости от относительной расстройки различаются по величине добротности Q, а зависимости от обобщенной расстройки одинаковы для всех контуров.

                  

Чем больше добротность, тем острее кривая и уже полоса пропускания.

Для полосы пропускания можно видеть:

- абсолютная полоса пропускания,

- относительная полоса пропускания.

На границах полосы пропускания .

Как отмечалось, контур резонанса напряжений часто используется как усилитель напряжения.

Повышенное напряжение чаще снимается с емкости.

Заменив параллельное соединение C и RН последовательным, получим схему:

где  . (для высокодобротных контуров R1XL=XC; RНXC).

При этом добротность контура с RН несколько меньше добротности контура.

Выводы по резонансу напряжений:

  •  этот вид резонанса имеет место при последовательном соединении R, L, C; резонансная частота , условие резонанса XL=XC; 
  •  напряжения на L и C примерно равны UL=UC=QU и зависят от величины добротности контура Q=XL/R, при Q10 имеем хорошие резонансные кривые и узкую полосу пропускания.

Резонанс токов.

Этот вид резонанса бывает в электрических цепях, где есть параллельное соединение индуктивности L и емкости C.

Схема а) – идеальная, остальные наиболее распространены, рассмотрим схему г).

Как известно, при резонансе входное сопротивление схемы носит активный характер и угол сдвига фаз равен нулю

Найдем входное сопротивление нашей схемы.

      где                                   

Легче найти Zвх через проводимость.

где

Условие резонанса в цепи

При R1‹‹XL, R2‹‹XC (высокодобротный контур)

Если φ=0, то b=0.

или

при R1‹‹XL, R2‹‹XC

Из условия b=0 найдем резонансную частоту

Анализируя выражение ωp, можно видеть:

  •  в высокодобротных контурах (R1‹‹XL, R2‹‹XC) ωp=ω0 (частота резонансов токов совпадает с частотой резонанса напряжений);
  •  в низкодобротных контурах (R1XL, R2XC) резонанс токов наступает при ωp или его нет.

Далее  рассматриваем высокодобротные контура. На резонансной частоте ωp0 имеем:

Видно, что на резонансной частоте проводимость g0 очень мала, а резонансное входное сопротивление контура Rp очень велико (в идеальном случае Rp=).

Как и в контуре резонанса напряжений, в данном контуре происходят колебания энергии между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора, в идеальном контуре, при отключении его от источника, эти колебания будут происходить бесконечно, реально они затухают, но тем медленнее, чем выше добротность контура.

В момент резонанса на p=0 имеем

Векторная диаграмма будет:

В идеальном контуре

В реальном высокодобротном контуре мало, , поэтому этот вид резонанса и назвали резонансом токов.

Часто данный контур питают от источника тока, напряжение на контуре, в этом случае, может быть большим.

Видно, что в высокодобротном контуре (R1XL, R2XC) Uаб, IL и IC – большие величины, L и C – близки к 90.

Рассмотрим поведение параметров контура резонанса токов при расстройках

Векторные диаграммы при расстройках

Полоса пропускания контура с резонансом токов – полоса частот, на границах которой ток I увеличивается, а напряжение уменьшается в раз.

Часто контур резонанса токов применяется с шунтирующим сопротивлением

Видим, что в этом случае, чем больше Rш, тем больше Qэ (ближе к Q), т.е. нужен источник тока с малой внутренней проводимостью (большим внутренним сопротивлением).

Выводы по резонансу токов:

  •  этот вид резонанса имеет место при параллельном соединении L и C; в высокодобротном контуре ; условие резонанса в=0;
  •  в высокодобротном контуре тока в ветвях в величину добротности превышают ток в неразветвленной части схемы;
  •  низкоомные сопротивления ветвей контура (R1+R2=R) преобразуются в высокоомное входное сопротивление контура  , при помощи Rш его можно регулировать.

Индуктивно связанные электрические  цепи

Индуктивная связь. ЭДС взаимной индукции. Взаимная индуктивность.  Коэффициент связи .

Электрические цепи называются связанными, если процессы в них влияют друг на друга. Это влияние может осуществляться  посредством общего электрического или магнитного поля. В последствии  случая цепи называются индуктивно связанными.

Рассмотрим  две катушки, расположенные рядом (рис. 5.1.а)

Рис.5.1

Протекающий в первой катушке с числом витков W1 и индуктивности L1 ток i1 вызывает магнитный поток Ф11. ЭДС, наводящаяся в первой катушке под воздействием Ф11,

 

называется ЭДС самоиндукции, где   - потокосцепление самоиндукции.

Часть потока Ф12 охватывает находящуюся рядом вторую катушку с числом витков W2 и индуктивностью L2 и наводит в ней ЭДС взаимной индукции. W – одинаков.

, где  – потокосцепления взаимной индукции , -взаимная индуктивность между первой и второй катушками.

Протекающий во второй катушке ток i2 (рис.5.1.б), вызывает поток Ф22 .

Часть этого потока, охватывает витки первой катушки. По аналогии можем записать

,

,

где e2-ЭДС самоиндукции второй катушки,

– потокосцепление самоиндукции второй катушки,

e21 – ЭДС взаимной индукции, наводящаяся в первой катушке под воздействием потока Ф21.

М21 – взаимная индуктивность между второй и первой катушками.

Если обе катушки находятся в среде не обладающей никакими аномальными свойствами, то взаимные индуктивности М12 и М21 оказываются равными

М1221=М. Взаимная индуктивность М – размерная величина и по ней трудно судить о степени взаимного влияния катушек друг на друга.

Для оценки степени связи катушек пользуются относительной величиной – коэффициентом связи  k, который определяется как среднее геометрическое из отношения потокосцепления взаимной индукции к потокосцеплениям самоиндукции.

 Коэффициент k может принимать значения в пределах от 0 до 1.

При k=0 между катушками не существует индуктивной связи, при k=1 – поток одной катушки полностью охватывает витки второй катушки Ф1211, Ф2122.

Величина k зависит от:

 – расстояния между катушками,

 – взаимной ориентации катушек в пространстве,

 – магнитных свойств среды, в которой расположены катушки.

Одноименные зажимы индуктивно связанных катушек.

Рассмотрим две катушки ,расположенные на одном основании (рис 5.2)

Рис. 5.2

Направление тока и вызванного им магнитного потока связаны по правилу правого винта. Следовательно ток i1 будет вызывать поток Ф1, направленный влево. Ток i2 будет вызывать магнитный поток Ф2 ,также направленный влево.

Зажимы индуктивно связанных катушек, одинаковое направление токов относительно  которых, вызывает  одинаковое направление потоков –называются одноименными. На электрических схемах цепей одноименные зажимы катушек принято обозначать жирными точками или звездочками .

Последовательное соединение индуктивно связанных катушек при согласном включении.

Рассмотрим две индуктивно связанные катушки ,соединенные последовательно (рис 5.3) . Каждая из катушек обладает индуктивностью L1 и L2  и активным сопротивлением проводника из которого катушка изготовлена r1 и r2. Индуктивная связь на электрической схеме указана двусторонней стрелкой и взаимной индуктивностью М.

Рис 5.3.

Одноименные зажимы катушек обозначены жирными точками и расположены так, что протекающий под воздействием напряжения u ток i вызывает в катушках одинаковое направление потоков. Поэтому включение называется согласным.

Запишем уравнение представленной на рис 5.3 цепи в мгновенных значениях токов и напряжений

 Для комплексов действующих значений токов и напряжений последнее уравнение примет вид:

 Перепишем это уравнение следующим образом:

 Выражение в квадратных скобках называется сопротивлением двух последовательно соединенных индуктивно связанных катушек при согласном включении

 Выражение в круглых скобках называется полной индуктивностью двух последовательно соединенных индуктивно связанных катушек при согласном включении

Очевидно Zсогл >Z , где Z-полное сопротивление двух последовательно соединенных катушек без индуктивной связи:

Увеличение сопротивления Zсогл происходит за счет увеличения полной индуктивности   Lсогл.

Построим векторную диаграмму двух последовательно соединенных индуктивно связанных катушек при согласном включении. Для этого задаемся вектором тока . Напряжение на активном сопротивлении первой катушки  совпадает по фазе с током. Напряжение на индуктивности первой катушки  опережает ток на 900. Откладываем этот вектор с конца вектора  под прямым углом k току . Напряжение на первой катушке, вызванное индуктивной связью  также опережает ток на 900. Откладываем этот вектор с конца вектора . Напряжение на активном сопротивлении второй катушки    совпадает с током  . Напряжение на второй индуктивности  и напряжение на второй катушке обусловленное взаимной индуктивностью  опережает ток на 900.

Откладываем  вектора напряжения в таком же порядке: следующий вектор откладывается с конца предыдущего.

В результате получим векторную диаграмму изображенную на рис 5.4.

Рис.5.4

Соединяя начало вектора  и конец последнего вектора  , получим напряжение . Сумма первых трех векторов напряжения дает напряжение на первой катушке . Напряжение на второй катушке , получается как сумма последних трех векторов напряжения.

Последовательное соединение индуктивно связанных катушек при встречном включении.

Рассмотрим две последовательно включенные индуктивно связанные катушки (рис 5.5). Каждая из катушек обладает индуктивностью  и   и активным сопротивлением проводника из которого катушка изготовлена  и . Индуктивная  связь на электрической схеме указана двусторонней стрелкой и взаимной индуктивностью М.

Рис 5.5

 

Одноименные зажимы катушек обозначены жирными точками. Ток втекает в одноименный зажим первой катушки и вытекает из одноименного зажима второй катушки. Следовательно магнитные потоки катушек будут направлены навстречу друг к другу. Поэтому такое включение называется встречным.

Запишем уравнение представленной на рис 5.5 цепи в мгновенных значениях токов и напряжений

Отличается приведенное уравнение от соответствующего для согласного включения отрицательными знаками при напряжениях взаимоиндукции. Физически эта означает противоположные направления падений напряжения самоиндукции и взаимоиндукции, вызванные встречным направлением потоков катушек.

 Для комплексов действующих значений токов и напряжений последнее уравнение примет вид:

Перепишем это уравнение следующим образом:

Выражение в квадратных скобках называется полным сопротивлением двух последовательно соединенных индуктивно связанных катушек при встречном включении.

Выражение в круглых скобках называется полной индуктивностью двух последовательно соединенных индуктивно связанных катушек при встречном включении.

Очевидно , где Z – полное сопротивление двух последовательно соединенных катушек без индуктивной связи.

 Уменьшение сопротивления  Zвстр  происходит за счет уменьшения полной индуктивности Lвстр на величину 2М.

 Таким образом справедливо равенство

Zсогл>Z >Zвстр

 Взаимную индуктивность М двух катушек можно определить через полную индуктивность при согласном и встречном включениях.

Вычитая из выражения для Lсогл  выражение для  Lвстр получим:

 

,

откуда

Построим векторную диаграмму двух последовательно соединенных индуктивно связанных катушек при встречном включении. Построение диаграммы  подробно описано в разделе 5.3 . Отличие состоит в том , что векторы напряжения взаимоиндукции   будут отставать  от тока  и иметь противоположное по сравнению с рис 5.4 направление.

Векторная диаграмма для встречного включения представлена на рис 5.6

Рис 5.6

Вектор напряжения , приложенного к цепи, представляет собой сумму векторов всех напряжений. Сумма первых трех векторов дает напряжение на первой катушке . Напряжение на второй катушке  получается как сумма последних трех векторов напряжения.

Для встречного включения катушек представляет интерес рассмотрение двух частных случаев.

Случай 1. . Взаимная индуктивность М больше индуктивности L2 , но меньше индуктивности L1. Для этого случая векторная диаграмма представлена на рис 5.7

Рис 5.7

Из диаграммы видно, что напряжение на второй катушке  отстает по фазе от тока , что наблюдается в цепях с активно-емкостным характером сопротивления. Отставание напряжения на второй катушке от тока называется эффектом емкостного сопротивления. Он может наблюдаться только на одной из катушек у которой индуктивность меньше взаимной индуктивности.

Случай 2.   . Индуктивности катушек равны между собой и равны взаимной индуктивности .  Для этого случая векторная диаграмма представлена на рис 5.8

Рис 5.8

 

Из диаграммы видно, что приложенное напряжение  и ток в цепи  совпадают по фазе. Входное сопротивление цепи носит активный характер. Реактивное сопротивление равно нулю. Этот эффект используется на практике при изготовлении высокоточных сопротивлений  для измерительных устройств. Как правило такие сопротивления выполняются в виде отрезка высокоомного проводника, намотанного на изолирующее основание. Индуктивность такой обмотки отрицательно сказывается на точность работы измерительного устройства, т.к  индуктивное сопротивление зависит от частоты.

Для того, чтобы избавится от индуктивности сопротивление наматывают двумя проводниками одновременно и полученные катушки включают встречно.

При этом выполняется условие ,  а .

Параллельное соединение индуктивно связанных катушек

Рассмотрим параллельное соединение индуктивно связанных катушек (рис 5.9)

Рис 5.9

Запишем уравнения для каждой из ветвей цепи в комплексной форме:

Знак (+) перед  соответствует согласному включению, знак (–) – встречному.

Введем обозначения

, ,  и перепишем последнюю систему уравнений в виде :

Определим из этих уравнений токи в ветвях

          

Из последнего соотношения определим входное сопротивление параллельно соединенных индуктивно связанных катушек:

При отсутствии индуктивной связи, т.е  при ZM =0 входное сопротивление преобразуется к известному выражению  

Полагая в предыдущем выражении r1=0, r2=0, получим выражение для полной индуктивности при согласном включении:

или в встречном включении

5.6 Расчет цепей со взаимной индуктивностью.

Расчет разветвленных ветвей при наличии взаимной индуктивности можно вести по уравнениям составленным по первому и второму законам Кирхгофа или методом контурных токов. Метод  узловых потенциалов непосредственно не применим. Объясняется это тем, что ток в ветви зависит не только от разности потенциалов на зажимах ветви и от ЭДС, находящихся  в ветви, но и от токов других ветвей с которым рассматриваемая ветвь индуктивно связана.

Ограниченное применение  находит метод эквивалентного генератора. Его можно применить в том случае, если ветвь, в которой требуется определить ток, индуктивно не связанна с другими ветвями.

В противном случае исключение этой ветви привело бы к потере индуктивной связи.

В качестве примера запишем уравнения по законах Кирхгофа для цепи, изображенной на рис 5.10

Рис 5.10

Направления обхода контуров обозначим стрелками.

В полученной системе трех  уравнений неизвестными являются токи  .

Решая систему, получаем их численные значения.

Развязка индуктивных связей

Выше было сказано, что не все методы пригодны для расчета индуктивно связанных цепей. Анализ и расчет цепи упрощается, если часть цепи содержащую индуктивные связи заменить эквивалентной схемой  без индуктивных связей. Эта замена является называется развязкой индуктивных связей.

  Рассмотрим часть цепи с индуктивной  связью (рис 5.11)

Рис 5.11

Запишем для нее уравнения в комплексной форме

где знак (+) перед  соответствует согласному включению индуктивностей, а знак (–) встречному. Выразив из первого уравнения ток    и подставив в выражение для , получим

, а выразив

 и подставив в , получим:

.

Полученным уравнениям для  и соответствует электрическая цепь, изображенная на рис 5.12

Рис 5.12

В цепи на рис 5.12 отсутствует индуктивные связи, однако изменились величины индуктивностей и появился дополнительный элемент. Верхний знак перед М соответствует согласному включению, а нижний знак –встречное включение индуктивностей.

Для расчета цепи преобразованной таким образом можно использовать любые методы расчета цепей без ограничения.

Воздушный трансформатор

Трансформатор  слово латинского происхождения и переводится как преобразователь. Этим определяется его назначение. Трансформатор служит для преобразования переменного напряжения, когда требуется изменить величину напряжения  или осуществить передачу электрической энергии между контурами лишенными гальванической связи.

 Конструктивно трансформатор представляет собой две или несколько индуктивно связных катушек, называемых обмотками трансформатора. Обмотки трансформатора могут быть помещены на общий ферромагнитный сердечник. Однако сердечник может отсутствовать. Тогда трансформатор называется воздушным трансформатором или трансформатором без сердечника.

Рассмотрим простейший воздушный трансформатор, состоящий из 2-х обмоток.

Такие трансформаторы находят широкое применение в устройствах работающих на высоких частотах, например, в радиоприемных устройствах. Схема трансформатора представлена на рис 5.13

Рис 5.13

Обмотка трансформатора, подключаемая к источнику переменного напряжения,  называется первичной. На рис 5.13 она представлена индуктивностью L1 и активным сопротивлением проводника r1, из которого она изготовлена. Вторичная обмотка, к которой  подключается нагрузка  ZН, представлена индуктивностью L2 и активным сопротивлением r2. Между обмотками трансформатора имеется индуктивная связь, характеризуемая взаимной индуктивностью M.

Уравнения по второму закону Кирхгофа для первичной и вторичной цепи трансформатора запишутся в виде:

Векторные диаграммы трансформатора для случаев активно-индуктивной  и активно-емкостной  нагрузки, построенные по уравнениям  приведены на рис. 5.14 а, б соответственно :

Рис. 5.14

Порядок построения векторной диаграммы трансформатора проследим на рисунке 5.14а. Зададимся положительным направлением тока  во вторичной обмотке трансформатора. Напряжение на активном сопротивлении вторичной обмотки трансформатора  совпадает по фазе стоком . Напряжение на индуктивности вторичной катушки  опережает ток   на 900. Совмещаем начало вектора   концом вектора  . Напряжение на активной составляющей сопротивления нагрузке   совпадает по фазе с током  . Откладываем вектор   параллельно вектору тока   с конца вектора . Вектор напряжения на индуктивной составляющей сопротивления нагрузки  опережает ток  на 900, откладываем с конца вектора  под углом 900 к вектору . Векторная сумма  равна вектору напряжения , возникающего за счёт индуктивной связи между первичной и вторичной катушками. Вектор тока относительно    сдвинут на –900. Определив таким образом направление тока  строим векторы напряжений на элементах первичной цепи  трансформатора согласно первому уравнению трансформатора.

Вектор напряжения на активном сопротивлении первичной катушки  совпадает с током . Вектор напряжения на индуктивности первой катушки опережает ток   на 900. Совмещаем начало вектора   с концом вектора . Падение напряжения , вызванное в первичной цепи током  вторичной цепи имеет сдвиг фазы – 900 по отношению к току . Откладываем вектор с конца вектора  под углом –900 к току . Сумма векторов  даёт вектор входного напряжения трансформатора .

Определим входное сопротивление трансформатора. Уравнения описывающие  воздушный трансформатор запишем в виде

где   -- реактивное сопротивление первичной цепи

-- активное сопротивление вторичной цепи

-- реактивное сопротивление вторичной цепи трансформатора. Из системы уравнений определим ток.

Разделим числитель и знаменатель последнего выражения на

Полученное соотношение

выражает закон Ома для первичной цепи. Следовательно, знаменатель представляет собой выражение для входного сопротивления трансформатора.

Выделим в выражении для входного сопротивления трансформатора действительную и мнимую часть, умножив числитель и знаменатель третьего слагаемого на число комплексно - сопряженное знаменателю


Таким образом, входное сопротивление трансформатора представлено в виде последовательного соединения двух активных и двух реактивных сопротивлений. Входное сопротивление трансформатора может быть изображено в виде двухполюсника на рис 5.15

Рис 5.15

где   активное сопротивление, вносимое из вторичной цепи в первичной.

x1вн= реактивное сопротивление, вносимое в первичную цепь из вторичной .

Следует заметить, что вносимое реактивное сопротивление имеет знак противоположный знаку собственного реактивного сопротивления вторичного контура x22.

Из представления воздушного трансформатора в виде двухполюсника следует условие передачи максимальной мощности в нагрузку  Zист=ZH*.

Другой подход к анализу трансформатора предполагает исключение индуктивной связи между обмотками и получения эквивалентной схемы замещения трансформатора.

Запишем уравнения трансформатора в виде

Добавим и вычтем к левой части первого уравнения слагаемое  , а к левой части второго уравнения

Преобразуем полученные уравнения

Из последних уравнений следует, что цепь описываемая ими состоит из 2-х контуров, имеющих общее сопротивление . В первом контуре протекает ток   во втором – ток   . Схема цепи , описываемая этими уравнениями приведена на рис 5.16

Рис 5.16

Полученная схема цепи может рассматриваться как эквивалентная исходной в отношении напряжений  и и токов  и .

Как отмечалось выше, основное назначение трансформатора – повышение или понижение в некоторое число раз напряжения и тока. В идеальном случае такое преобразование не должно завесить ни от частоты приложенного напряжения ни от величины нагрузки. Рассмотрим ,при каких условиях это возможно.

Введём понятия функции передачи тока и функции передачи напряжения, и , соответственно.

Из второго уравнения системы 5.1 выразим .

Разделив левую и правую части полученного соотношения на  получим

Из последнего выражения с учётом  , получим функцию передачи тока.


Функцию передачи напряжения получим как отношение второго уравнения к первому из системы 5.1

Разделив числитель и знаменатель последнего выражения на   , получим соотношение

включающее в себя функцию передачи тока .Подставив значение , окончательно получим функцию передачи напряжения в виде

Как следует из выражений для функции передачи тока и напряжения, они зависят от многих величин.

Если можно пренебречь потерями в обмотках  трансформатора, т. е. если r1=r2=0, то функция передачи напряжения запишется в виде

Полагая, что потоки рассеяния отсутствуют, т.е. коэффициент связи ,   получим  

Индуктивность  обмотки трансформатора пропорциональна квадрату витков обмотки  , где -магнитная проводимость пути, по которому протекает поток.

Выразив величины индуктивностей   и  через число витков   и , получим функцию передачи напряжения в виде

Отношение    назовем коэффициентом трансформации и обозначим буквой n.

Таким образом независимость от частоты и нагрузки функции передачи напряжения обеспечивается при нулевом активном сопротивлении и коэффициенте связи  .

Рассмотрим условие независимости от частоты функции передачи тока

Если индуктивное сопротивление вторичной цепи значительно больше сопротивления нагрузки и активного сопротивления   и  , , то

Идеальным трансформатором называется идеализированный элемент электрической цепи с двумя парами зажимов –первичных и вторичных , обладающий следующими свойствами : при любых условиях отношение первичного и вторичного комплексных токов равны постоянному числу

 n-коэффициенту трансформации.

Если n>1, то трансформатор называется понижающим, если n<1, то трансформатор – повышающий.

Рассмотрим свойства идеального трансформатора.

Пусть ко вторичным зажимам подключена нагрузка с комплексным сопротивлением  . Тогда входное сопротивление будет равным :

Т.е  входное сопротивление изменилось в n2 раз. Это позволяет применять трансформатор для согласования источника и нагрузки , например, по условию передачи в нагрузку максимальной мощности .

Например, если сопротивление источника равно ri, а сопротивление нагрузки – rH, то входное сопротивление относительно первичной обмотки равно   и условие согласования запишется в виде

  откуда              

Установим связь между мощностью на входе и выходе идеального трансформатора.

–мощность на входе  трансформатора

–мощность на выходе  трансформатора

Таким образом, идеальный трансформатор передает энергию с входа на выход цепи без потерь.

  Сформулируем условия, которые  должны выполнятся для того, что бы  трансформатор был идеальным:

           1.Должны отсутствовать потоки  рассеяния, т. е .  

           2. Должны отсутствовать потери, т.е  

           3. Должны быть великими индуктивности обмоток, т.е  

Реальные трансформаторы могут обеспечить выполнение условий лишь приближенно за счет технических решений:

  1.  Для отсутствия  потока рассеяния обмотки трансформатора помещают на замкнутом сердечнике , выполненном из материала с высокой магнитной проводимостью.
  2.  Второе условие обеспечивает выбором обмоточного проводника , обладающего низким удельным сопротивлением .
  3.  Для выполнения условия ,  обмотки должны иметь большое число витков  и  и высокую магнитную проводимость материала сердечника.

По своим свойствам к идеальному трансформатору приближается трансформатор с ферромагнитным сердечником . Трансформатор с ферромагнитным сердечником может рассматриваться  как линейный элемент , если магнитный поток не насыщает сердечника . Это условие обычно выполняется за исключением приборов , где насыщение принципиально необходимо.

Практический раздел

Индивидуальные практические работы

Выбор варианта

Внимание! Вариант задания необходимо получить у тьюторов.

Для этого необходимо выслать запрос на электронный адрес тьютора с указанием Ф.И.О., названия специальности, номера группы, названия и части дисциплины.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ (индивидуальных практических работ) ПО КУРСУ "ТЭЦ"

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА И ДОПУСК К РАБОТЕ

1. При подготовке к лабораторной работе студент должен ознакомиться с ее содержанием, изучить лекционный материал и параграфы одного из учебников, указанных в списке литературы, а затем рассчитать домашнее задание согласно номеру варианта.

2. Результаты подготовки должны быть отражены в протоколе выполняемой работы, который должен содержать:

а) полный расчет домашнего задания;

б) рабочие схемы;

в) таблицы для записи результатов измерений .

3. В начале занятия студент должен предъявить преподавателю подготовленный протокол выполняемой работы (см. п.2), а также оформленный полностью протокол предыдущей работы.

4. Во время занятия студент должен:

а) получить допуск к работе;

б) выполнить работу (собрать схемы, проделать необходимые наблюдения и измерения, записать результаты в таблицы).

5. Готовность студентов к выполнению работы проверяет преподаватель, задавая контрольные вопросы по теории, работе схемы, применяемым формулам, порядку выполнения и ожидаемым результатам данной работы. Вопросы могут быть заданы в устной и письменной формах.

6. Студенты, теоретическая подготовка которых признана неудовлетворительной, а также не выполнившие требования 3, к работе не допускаются.

7. Студенты, не допущенные к работе, должны использовать оставшееся время для изучения теории, подготовки домашнего задания, а также для оформления и защиты сделанных ранее работ.

8. Работы, не сделанные в срок, выполняются во время отработки лабораторных работ. Допуск к работе  получают на общих основаниях.

Оформление протокола и защита лабораторных работ

1. Студент должен представить полностью оформленный и подготовленный к защите протокол каждой работы. Правила оформления протоколов лабораторных работ изложены в следующем разделе.

2. Оформленный протокол предыдущей работы должен быть защищен во время занятий. Во время защиты преподавателем могут быть заданы вопросы по теме лабораторной работы в устной или письменной форме.

3. Протокол, возвращенный преподавателем из-за неудовлетворительного оформления, должен быть исправлен, дополнен и сдан до следующего занятия.

4. Если все работы выполнены и зачтены своевременно, защита их в конце семестра не предусматривается.

Правила оформления протокола лабораторных работ

Протокол составляется на листах формата 210х297 мм, при этом полностью заполняется лист и оставляется на левой стороне всех листов полоса шириной 25 мм для подшивки.

Пример оформления титульного листа:

Содержание протокола

1.Цель работы.

2.Расчет домашнего задания.

3.Рабочие схемы.

4.Таблицы расчетов и измерений .

5.Графическая часть.

6.Анализ работы и выводы.

7.Число и подпись.

1. Расчет домашнего задания приводится полностью. Должна быть составлена схема рассчитываемой цепи и приведены все математические выражения, используемые при расчете. Для удобства сопоставления расчетных данных с экспериментом результаты расчета целесообразно свести в таблицу. Если этого требует домашнее задание, по результатам расчета строятся графические зависимости и векторные диаграммы. Схемы и графические зависимости выполняются с помощью линейки, циркуля и шаблонов. Графические обозначения и символы должны соответствовать требованиям ГОСТа.

2. Протокол должен содержать необходимые для проведения эксперимента схемы с включенными измерительными приборами. Если в описании лабораторной работы такие схемы не даны, студент составляет их сам.

3. Экспериментальные данные заносятся в заранее подготовленные таблицы. Желательно, чтобы в них содержались как экспериментальные, так и расчетные данные.

В этой части протокола должны быть приведены математические выражения, необходимые для обработки экспериментальных данных.

4. Требуемые в задании графики и векторные диаграммы следует чертить простым и цветным карандашами или фломастерами на миллиметровой бумаге формата 210 х 297 мм, пользуясь линейкой, циркулем и шаблонами. На графиках и векторных диаграммах должны быть соблюдены масштабные коэффициенты, определенные ГОСТом (количество измерительных единиц на 1 см выражается числами 1 * 10", 2* 10", или 5* 10n, где n - любое целое число).

5. Значения отдельных измерений или расчетов на графике должны быть отчетливо показаны в виде точек. Кривая, характеризующая изменения соответствующей величины, изображается тонкой линией, проходящей через эти точки. Если не все экспериментально полученные точки размещаются на ожидаемой экспериментальной кривой, линия проводится через те точки, которые наиболее характерно определяют нужную зависимость. Точки, не располагающиеся на кривой, могут быть отнесены к погрешностям эксперимента, причины возникновения которых следует объяснить в заключении. Линия, проходящая между экспериментальными и расчетными точками, должна быть сплошной, а часть кривой, получаемая в результате экстраполяции, - пунктирной. Если на одном графике расположено несколько кривых, то их следует изображать различным цветом. Около каждой кривой должны быть обозначения, показывающие зависимость, которую данная кривая определяет. Для удобства сравнения желательно изображать экспериментальные и расчетные характеристики на одном графике. Их различие и несовпадение надо объяснить при анализе работы. Промежуточные точки на осях в виде чисел не обозначаются.

6. В конце протокола необходимо дать анализ полученных результатов, в котором устанавливается соответствие между экспериментом и теорией. При наличии существенных расхождений экспериментальных результатов с теоретическими следует объяснить их причины. В случае необходимости измерения должны быть повторены.

7. Правильность занесенных в протокол данных и выводов студент подтверждает своей подписью.

Образцы построения векторной диаграммы и графика приведены ниже.

Образец векторной диаграммы

Образец построения графика

Индивидуальная практическая работа № 1 ИССЛЕДОВАНИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И МЕТОДОМ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА

Цель работы

Экспериментальная проверка следующих методов расчета цепей постоянного тока:

1) метода узловых напряжений;

2) метода двух узлов (как частного случая метода узловых напряжений);

3) метода эквивалентного генератора напряжения.

Основные теоретические положения

Метод узловых напряжений. Основан на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома для участков цепи. Сущность метода сводится к определению узловых напряжений относительно некоторого базисного узла. Если принять потенциал базисного узла равным нулю, то напряжения между остальными узлами и базисным узлом будут равны потенциалам этих узлов. Поэтому данный метод называется также в цепях постоянного тока методом узловых потенциалов. Зная узловые напряжения ветвей, по закону Ома легко определить токи ветвей.

Рис. 2.1

Пример. Электрическая схема представлена на рис.2.1. Узел 4 принимаем за базисный, неизвестные узловые напряжения:  Напряжения  определим через напряжения напряжение  На основании метода узловых напряжений составляем систему уравнений(2.1)

 (2.1)

где   –   собственная узловая проводимость первого узла;

 –  собственная узловая проводимость второго узла;

–  собственная узловая проводимость третьего узла;

– проводимость ветвей, соединяющих первый и второй узлы;

–  проводимость ветвей, соединяющих первый и третий узлы;

 –  проводимость ветвей, соединяющих второй и третий узлы;

   узловой ток первого узла;

     узловой ток второго узла; 

     узловой ток третьего узла.

Решая систему уравнений (2.1), определяем узловые напряжения по ним – напряжения  По напряжениям ветвей находим токи ветвей на основании закона Ома, например, ток в ветви с

Метод двух узлов. Часто встречаются схемы (рис.2.2), содержащие всего два узла. При применении метода узловых напряжений для расчета таких схем система уравнений сводится к одному уравнению вида:  

(узел 2 является базисным), где  –  собственная проводимость узла 1;   –  узловой ток узла 1. Узловое напряжение определяется по выражению

                  

После того как определено узловое напряжение , ток в любой ветви находится на основе обобщенного закона Ома. Например, ток в ветви 1:

Рис. 2.2

 

Метод эквивалентного генератора напряжения. Позволяет определить ток в любой ветви сложной цепи, не определяя истинных токов в других ветвях. Данный метод используют в практике расчета токов, мощностей и т.п., особенно в специальных курсах при расчетах усилительных импульсных устройств и др.

Ток, согласно методу эквивалентного генератора напряжения, определяется по формуле

 (2.2)

где сопротивление ветви, в которой рассчитывается ток ;

– напряжение эквивалентного генератора, определяемое как напряжение в исследуемой ветви при ее обрыве– напряжение холостого хода; внутреннее сопротивление генератора.

можно определить:

а) экспериментально, используя зависимость (2.2), если закоротить  (опыт короткого замыкания);

б) аналитически, расчетным путем, исключив из схемы все ЭДС, но оставив их внутренние сопротивления, преобразовав всю схему к одному сопротивлению относительно точек разрыва.

Общая методика расчета цепи по методу эквивалентного генератора следующая:

1. Размыкается ветвь, в которой необходимо определить ток.

2. Опытным или расчетным путем определяется напряжение между точками разрыва –

3. Все источники из схемы выключаются и заменяются их внутренними сопротивлениями. Относительно точек разрыва определяется опытным или расчетным путем эквивалентное сопротивление схемы, которое является внутренним сопротивлением эквивалентного генератора –

Потенциальная диаграмма. Потенциальной диаграммой называют графическое изображение распределения потенциала в электрической цепи в зависимости от сопротивлений участков цепи и электродвижущих сил источников энергии. Второй закон Кирхгофа удобно иллюстрирован построением потенциальной диаграммы.

Построим потенциальную диаграмму для контура 2-4-5-6-1-3-2 – (рис.2.3), учитывая что ток течет от точки большего потенциала к точке с меньшим потенциалом.

Параметры схемы:  токи  ЭДС  Заземляется точка 2,    переход через ЭДС ,

 

 

 

Диаграмма построена на рис.2.3.

Рис.2.3

Домашнее задание

1. Изучить методы расчета электрических цепей: метод узловых напряжений, метод двух узлов, метод эквивалентного генератора напряжения. Ознакомиться с объемом и содержанием лабораторного задания.

2. Рассчитать токи в схеме (рис 2.4) по данным табл.2.1 согласно варианту:

а) методом узловых напряжений. По рассчитанным узловым напряжениям определить токи в ветвях; данные занести в табл. 2.2 ;

б)методом эквивалентного генератора напряжения. Определить ток в сопротивлении нагрузки. При расчете напряжения холостого хода расчет токов произвести методом двух узлов. Все данные расчетов занести в табл. 2.2.

Рис.2.4

Таблица 2.1

  1.  № вар.
  1.  Е2,
  2.  В
  1.  Е4,
  2.  В
  1.  R1, кОм
  1.  R2, кОм
  1.  R3, кОм
  1.  R4, кОм
  1.  R5, кОм
  1.  R6, кОм
  1.  Баз. узел
  1.  Нагруз-ка
  1.  Контур потен-
  2.  циальной диаграммы
  1.  1
  1.  52
  1.  27
  1.  4,1
  1.  3,7
  1.  3,8
  1.  2,8
  1.  7,2
  1.  4,7
  1.  2
  1.  
  1.  4–5–1–2–3–6–4
  1.  2
  1.  52
  1.  27
  1.  4,2
  1.  4,5
  1.  4,0
  1.  2,6
  1.  7,0
  1.  5,2
  1.  1
  1.  
  1.  1–2–4–6–3–1
  1.  3
  1.  12
  1.  52
  1.  4,3
  1.  4,3
  1.  3,8
  1.  2,5
  1.  7,5
  1.  5,1
  1.  3
  1.  
  1.  3–6–4–2–1–3
  1.  4
  1.  52
  1.  12
  1.  4,0
  1.  3,2
  1.  7,2
  1.  4,1
  1.  7,2
  1.  5,5
  1.  3
  1.  
  1.  2–1–5–4–6–3–2
  1.  5
  1.  12
  1.  53
  1.  4,1
  1.  3,3
  1.  3,2
  1.  2,7
  1.  7,5
  1.  3,7
  1.  2
  1.  
  1.  3–1–5–4–2–3
  1.  6
  1.  12
  1.  53
  1.  4,4
  1.  3,3
  1.  7,9
  1.  3,3
  1.  7,5
  1.  1,5
  1.  1
  1.  
  1.  1–5–4–2–3–1

Таблица 2.2

  1.  Данные
  1.  
  1.  
  1.  Метод узловых напряжений
  1.  Метод двух узлов
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  Узловые
  2.  напряжения
  1.  Токи ветвей
  1.  Узловое напряжение
  1.  Токи ветвей
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  1
  1.  2
  1.  3
  1.  4
  1.  5
  1.  6
  1.  7
  1.  8
  1.  9
  1.  10
  1.  11
  1.  12
  1.  13
  1.  14
  1.  15
  1.  16
  1.  Расчетные
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  Эксперемен-тальные
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  

  1.  Метод эквивалентного
  2.  генератора
  1.  Опытные данные для построения потенциальной диаграммы –напряжения участков цепи
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  17
  1.  18
  1.  19
  1.  20
  1.  21
  1.  22
  1.  23
  1.  24
  1.  25
  1.  26
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  

Описание лабораторной установки

Экспериментальная установка состоит из лабораторного макета, двух источников постоянной ЭДС на щитке питания.

На верхней гетинаксовой панели макета изображена схема элементов цепи (см. рис. 2.4), смонтированных внутри макета. На панель выведены зажимы для подключения источников питания, зажимы узлов 1, 2, 3, 4 для измерения узловых напряжений, зажимы и тумблеры в ветвях с сопротивлениями позволяющие измерить токи в этих ветвях; приборы – вольтметр и миллиамперметр.

Последовательность выполнения работы

1. Проверить соответствие параметров макета и заданных табл. 2.1 параметров варианта. С учетом заданного положительного направления на схеме рис.2.4 источников ЭДС подключить ЭДС

2. Экспериментально определить токи по методу узловых напряжений. Собрать схему рис 2.4. Вольтметром измерить напряжение между базисным узлом и всеми остальными, записать их в табл.2.2.  Измеряя узловые напряжения, обратить внимание на направление напряжения. При включении прибора учитывать указанную на передней панели прибора полярность. Так, если при измерении напряжения  произойдет отклонение стрелки влево за 0, следует поменять местами зажимы прибора, сделать измерение и записать . Пo показаниям амперметров определить токи в ветвях  токи второй и четвертой ветвей рассчитать по первому закону Кирхгофа. Результаты опыта сравнить с расчетными данными, полученными при выполнении домашнего задания, и записать в табл.2.2.

3. Экспериментально определить токи ветвях  по методу двух узлов. На схеме, приведенной на рис.2.4, разомкнуть тумблер в ветви нагрузки, замерить вольтметром напряжение между двумя узлами схемы, замерить амперметром токи в ветвях. Данные занести в табл.2.2.

4. Экспериментально определить ток в ветви по методу эквивалентного генератора напряжения:

а) опыт холостого хода. Разомкнуть тумблер в ветви нагрузки, замерить вольтметром напряжение холостого хода , равное напряжению эквивалентного генератора;

б) опыт короткого замыкания. В схеме рис.2.4 параллельно ветви нагрузки включить амперметр, измерить им ток короткого замыкания в ветви с сопротивлением нагрузки;

в) по данным опытов холостого хода и короткого замыкания определить внутреннее сопротивление генератора:

г)определить ток в ветви нагрузки  сравнить его с рассчитанным в домашнем задании. Данные занести в табл.2.2.

5. Снять экспериментальные данные для построения потенциальной диаграммы для контура, заданного в табл.2.1.

6. Построить потенциальную диаграмму.

Основные вопросы по работе

1. Сущность метода узловых напряжений и составление системы уравнений по данному методу.

2. Последовательность расчета сложных электрических цепей методом узловых напряжений.

3.Теорема об эквивалентном источнике напряжений.

4. Преобразование источников ЭДС в эквивалентный источник тока.

5. Теорема об эквивалентном источнике тока. .

6. Последовательность расчета электрических цепей методом эквивалентного источника напряжения,

7. Способы определения . Построение потенциальной диаграммы.

9. Расчет и построение потенциальной диаграммы.

Литература

[2, с. 163 – 180]; [4, с. 207-212, 216-221]; [5, с. 30-34, 38-41].


Индивидуальная практическая работа № 2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЫХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Цель работы

Приобретение навыков работы с вольтметром, генератором, фазометром. Экспериментальная проверка законов распределения токов и напряжений в последовательной, параллельной и последовательно–параллельной цепях гармонического тока.

Основные теоретические положения

Для анализа линейных электрических цепей в установившемся синусоидальном режиме широко используется метод комплексных амплитуд (символический метод). В этом методе оперируют не реальными гармоническими напряжениями и токами, а их комплексными амплитудами:

  (3.1)

или комплексными напряжениями и токами:

,   (3.2)

где  – амплитуды напряжения и тока;

U, I  – действующие значения напряжения и тока;

начальные фазы напряжения и тока.

В символическом методе комплексные сопротивления элементов R, L, С равны соответственно

   (3.3)

Комплексное сопротивление Z линейного пассивного двухполюсника (рис.3.1,а) в общем случае содержит активную и реактивную составляющие:

  (3.4)

где полное сопротивление (модуль Z);

угол сдвига фаз между напряжением и током двухполюсника (аргумент Z).

Комплексная проводимость Y пассивного двухполюсника, обратная комплексному сопротивлению Z:

  (3.5)

где – полная проводимость (модуль Y);

Рис.3.1

g – активная проводимость;

b – реактивная проводимость.

Выражению (3.4) соответствует последовательная схема замещения двухполюсника (рис. 3.1,б), а выражению (3.5) – параллельная (рис. 3.1,в). Переход от последовательной схемы замещения к параллельной осуществляют по формулам

 (3.6)

Для обратного перехода используют выражения

  (3.7)

Для расчетов токов и напряжений в цепях с единственным источником энергии применяют метод эквивалентных преобразований (МЭП). Например, для цепи на рис.3.2 две параллельные ветви с комплексными сопротивлениями заменяют одной эквивалентной ветвью с сопротивлением

                  Рис.3.2                                                          Рис.3.3

Тогда входное комплексное сопротивление цепи равно

Вычислив входной ток

токи целесообразно рассчитать, используя «правило плеч»;

 (3.8)

Расчет токов и напряжений завершается построением топографической диаграммы (рис.3.3). Построение диаграммы следует производить, взяв в качестве исходной точки «отрицательный» зажим источника, т.е. узел 4. Двигаясь против токов ветвей, строят на диаграмме векторы комплексных напряжений всех элементов цепи. Координаты точек 3, 2, 1 равны значениям комплексных потенциалов соответствующих узлов цепи (предполагается ). Особенность диаграммы: вектор напряжения  между любой парой узлов m и n  направлен на диаграмме от узла n к узлу m. Для расчета цепи на рис.3.2, а также более сложных цепей лестничной структуры применяется метод пропорционального пересчета (МПП). В этом методе используется свойство линейной зависимости всех токов и напряжений цепи от амплитуды напряжения (тока) источника (в цепи единственный источник). Поясним суть метода для цепи на рис.3.2. Задается условно значение тока в наиболее удаленной и сложной ветви цепи. Пусть, например, . Затем, находя условное напряжение и условный ток  сложив токи , находят ток .

Тогда

Разделив истинное напряжение на условное  вычисляют комплексный коэффициент пересчета К:

Для получения истинных напряжений и токов цепи необходимо все найденные ранее условные напряжения и токи умножить на коэффициент К, т.е.

        

Для ориентировочных расчетов напряжений и токов применяется также графоаналитический метод расчета. Этот метод методологически связан с методом пропорционального пересчета, однако не использует алгебры комплексных чисел. Пусть, как и в предыдущем методе,  Выбрав масштабы и  для напряжений и токов, откладывают в произвольном направлении ток (например горизонтально). Затем строят вектор напряжения совпадающий по направлению с током ,и вектор напряжения отстающий по фазе от на 90°. Используя графические измерения, вычисляют напряжение Вычислив  и откладывая ток параллельно графически определяют и т.д. В результате находят вектор условного напряжения U. Затем с помощью коэффициента пересчета K=U/U' вычисляют истинные токи и напряжения. Графические построения по ходу расчета дают в итоге условную топографическую диаграмму. Для получения истинной диаграммы следует, во-первых, увеличить линейные размеры всех векторов в К раз, во-вторых, повернуть против часовой стрелки условную диаграмму на угол , равный разности начальных фаз векторов и. Активная и реактивная мощности потребителей вычисляются по формулам

Комплексная мощность источника находится из

где  – комплексное напряжение источника;

– сопряженный комплексный ток источника.

Из закона сохранения энергии вытекают условия баланса активных и реактивных мощностей:

  

Описание лабораторной установки

В состав лабораторной установки входят перестраиваемый генератор синусоидального напряжения, вольтметр, фазометр и лабораторный макет. На макете смонтированы три резистора  конденсатор и катушка индуктивности. Для подключения генератора на макете имеется дополнительная пара зажимов.

Генератор. При установке частоты генератора следует ручку множителя частоты переключить в нужное положение и, вращая лимб генератора, установить требуемую частоту. Напряжение генератора устанавливается вращением ручки «Регулировка выхода».

Измерение напряжения генератора производится только внешним вольтметром, вольтметр, встроенный в генератор, в лабораторных работах не используется.

Вольтметр. В общем случае перед включением вольтметра переключатель пределов следует установить на предел 30 В и при небольших отклонениях стрелки прибора переходить на более низкие пределы. Цена деления вольтметра зависит от положения переключателя пределов и определяется как частное от деления установленного предела на число делений шкалы.

Фазометр. Фазометр позволяет измерить угол сдвига фаз  между двумя напряжениями одинаковой частоты, называемыми «Сигнал» и «Опорное», причем показание фазометра равно углу фазового сдвига напряжения «Сигнал» по отношению к опорному напряжению, т.е.

.

Фазометром можно измерить непосредственно угол сдвига фаз напряжений ветвей (элементов), имеющих общий узел. К общему узлу подключается зажим «Земля» фазометра. К двум оставшимся узлам подключаются клеммы «Опорное» и «Сигнал» фазометра, причем не принципиально, какое из напряжений принять в качестве опорного. Однако нужно следить, чтобы напряжения «Опорное» и «Сигнал» были направлены к общему узлу (напряжения  и  на рис.3.4,а).

Из рис.3.4,б следует, что переход от напряжений  к обратным им напряжениям не изменяет фазового угла  между ними как по величине, так и по знаку. Из сказанного ясно, что в качестве напряжений «Сигнал» и «Опорное» можно принять не только напряжения , направленные к зажиму «Земля», но в равной мере и обратные им напряжения направленные от зажима «Земля». Назовем напряжения «Сигнал» и «Опорное» согласованными (по отношению к зажиму «Земля»), если они оба направлены к зажиму «Земля» или оба от зажима «Земля». Таким образом, показание фазометра на рис.3.4,а равно углу сдвига фаз между напряжением «Сигнал» и согласованным с ним напряжением «Опорное». Если же нас интересует угол а фазового сдвига между несогласованными напряжениями «Сигнал» и «Опорное», то из рис.3.4,б следует, что в этом случае к показанию фазометра  следует добавить или вычесть 180°, причем выбор знака для слагаемого 180° определяется только удобством представления угла а.

Рис. 3.4.

Обобщая все сказанное выше, можно для рис.3.4,а записать

 (3.11)

 (3.12)

где  показание фазометра;

начальная фаза напряжения .

Если начальная фаза опорного напряжения равна нулю, то из (3.10) видно, что в этом случае фазометр регистрирует начальную фазу напряжения «Сигнал».

Фазометр может применяться для измерения начальных фаз токов ветвей, однако в этом случае напряжение «Сигнал» должно сниматься с резистивного элемента ветви, фаза напряжения в котором совпадает с фазой тока.

В табл.3.1 заданы для шести вариантов параметры генератора  и номиналы элементов исследуемых схем. Величины  и  задают резистивное сопротивление и индуктивность для последовательной схемы замещения реальной катушки индуктивности. Конденсатор заменяется идеальной емкостью С.

Домашнее задание

1. Для последовательной цепи на рис.З.5:

а) рассчитать согласно варианту сопротивления реактивных элементов, комплексное входное сопротивление цепи, комплексный ток f и комплексные напряжения элементов Параметры цепи и генератора заданы в табл.3.1 согласно варианту. Напряжение генераторе У=10 В. Начальную фазу напряжения генератора принять нулевой. Расчетные комплексные величины занести в табл.3.2 в графу «Расчет»;

б) по результатам расчетов построить топографическую диаграмму напряжений всех элементов с указанием вектора тока.

2. Для параллельной цепи на рис.3.6 и указанных в a параметров    генератора:

а) рассчитать по закону Ома комплексные токи  ветвей и входной ток  как их сумму. Результаты занести в табл.3.3 в графу «Расчет»;

6) построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Таблица 3.1

  1.  Вариант
  2.  
  1.  Схема на рис.
  2.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  В
  2.  
  1.  Гц
  2.  
  1.  Ом
  2.  
  1.  Ом
  2.  
  1.  Ом
  2.  
  1.  мГн
  2.  
  1.  Ом
  2.  
  1.  мкФ
  2.  
  1.  1
  2.  
  1.  3.8
  2.  
  1.  10
  2.   
  1.  700
  2.  
  1.  139
  1.  139
  2.  
  1.  139
  2.  
  1.  44
  2.  
  1.  58
  2.  
  1.  0.93
  2.  
  1.  2
  1.  3.8
  2.  
  1.  10
  2.  
  1.  1200
  2.  
  1.  139
  2.  
  1.  139
  2.  
  1.  139
  2.  
  1.  42
  2.  
  1.  60
  2.  
  1.  0.93
  2.  
  1.  3
  2.  
  1.  3.9
  2.  
  1.  10
  2.   
  1.  1300
  2.  
  1.  143
  2.  
  1.  143
  2.  
  1.  143
  2.  
  1.  42
  2.  
  1.  56
  2.  
  1.  0.95
  2.  
  1.  4
  2.  
  1.  3.9
  2.  
  1.  10
  2.  
  1.  800
  2.  
  1.  143
  2.  
  1.  143
  2.  
  1.  143
  2.  
  1.  42.5
  2.  
  1.  56
  2.  
  1.  0.99
  2.  
  1.  5
  2.  
  1.  3.10
  2.  
  1.  10
  2.  
  1.  1000
  2.  
  1.  157
  2.  
  1.  137
  2.  
  1.  157
  2.  
  1.  44
  2.  
  1.  57
  2.  
  1.  0.96
  2.  
  1.  6
  2.  
  1.  3.10
  2.  
  1.  10
  2.  
  1.  500
  2.  
  1.  142
  2.  
  1.  142
  2.  
  1.  142
  2.  
  1.  45
  2.  
  1.  57
  2.  
  1.  1.0
  2.  

3. В разветвленной цепи, заданной согласно варианту в табл.3.1:

а) рассчитать, используя метод эквивалентных преобразований, комплексные токи ветвей и комплексные напряжения всех элементов. Результат занести в табл.3.4 в графу «Расчет» (– напряжения на резисторах );

б) построить топографическую диаграмму напряжений всех элементов и совмещенную с ней векторную диаграмму токов. Для векторов напряжений и векторов токов желательно цветовое различие, масштабы для  и  взять достаточно крупными;

в) составить и рассчитать уравнения баланса активных и реактивных мощностей цепи. Вычислить коэффициент мощности цепи.

Последовательность выполнения работы

Включить в сеть генератор, вольтметр, фазометр и дать им прогреться в течение 5 мин.

1. Собрать последовательную цепь на рис.3.5, соблюдая последовательность элементов и учитывая, что  внутреннее активное сопротивление катушки индуктивности.

Таблица 3.2

  1.  Цепь на
    рис.
  2.  3.5
  3.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  I
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  прям.
  2.  
  1.  косв.
  2.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  Ом
  2.  
  1.  Ом
  2.  
  1.  Ом
  2.  
  1.  град
  2.  
  1.  мА
  2.  
  1.  град
  2.  
  1.  В
  2.  
  1.  град
  2.  
  1.  В
  2.  
  1.  
  1.  
  1.  В
  1.  град
  2.  
  1.  Расчет
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  Опыт
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  

Таблица 3.3

  1.  Цепь
  2.  на
    рис. 3.6
  3.  
  1.  I 
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  1.  
  1.  I
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  мА
  2.  
  1.  град
  2.  
  1.  мА
  2.  
  1.  град
  2.  
  1.  мА
  2.  
  1.  град
  2.  
  1.  мА
  2.  
  1.  град
  1.  Расчет
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  Опыт
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  

Таблица 3.4

  1.  Разветвленная цепь
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  1.  U1
  1.  U2
  1.  U3
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  мА
  2.  
  1.  град
  2.  
  1.  мА
  2.  
  1.  град
  2.  
  1.  мА
  2.  
  1.  град
  2.  
  1.  В
  2.  
  1.  В
  2.  
  1.  В
  2.  
  1.  В
  2.  
  1.  град
  2.  
  1.  В
  2.  
  1.  град
  2.  
  1.  Расчет
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  Опыт
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  

Рис.3.6

Рис.3.5

Рис.3.8

Рис.3.7

Рис.3.9

Рис.3.10

Подключить цепь к генератору, выставить частоту согласно варианту и установить с помощью настольного вольтметра (встроенный в генератор вольтметр в этой и последующих работах использовать нельзя) напряжение на входе цепи 10 В:

а) измерить вольтметром и занести в табл.3.2 в графу «Опыт» напряжения  Пересчитать по закону Ома напряжения ;

б) измерить фазометром начальную фазу у тока I. (В качестве «Опорного» взять входное напряжение U, а в качестве «Сигнала» взять напряжение  т.е. клемму «Земля» подключить к общему узлу 4, клемму «Сигнал» - к узлу 3, а клемму «Опорное» - к узлу 1. Обратить внимание, что напряжения  и согласованы;

в) прямое измерение начальной фазы  напряжения  в цепи на рис. 3.5 невозможно, так как  и  не имеют общего узла. Прямое измерение станет возможным, если на время измерения фазы поменять местами резистори С. Тогда фазометр подключается к тем же узлам, что и в пункте “б”. Выполнить это измерение. Результат занести в графу - прям.;

г) в реальных цепях перемена элементов местами не всегда возможна. По этой причине выполнить измерение начальной фазы  косвенным методом (без перемены местами R и С). Для этой цели зажим «Земля» фазометра подключить к узлу 3, зажим «Сигнал» - к узлу 2, а зажим «Опорное» - к узлу 4. Записать показания  фазометра. Поскольку  и не согласованы, то угол  между  определим согласно (3.12), вычитая из показания  угол 180°. Если к результату прибавить измеренную раннее начальную фазу  тока (совпадающую с начальной фазой для ), то получим начальную фазу для т.е. . Результат занести в графу  – косв. Сопоставить результаты прямого и косвенного измерений ;

д) начальная фаза для измеряется непосредственно (зажим «Земля» подключить к узлу 1, зажим «Сигнал» - к узлу 2, зажим «Опорное» - к узлу 4). Напряжения и согласованы;

е) начальные фазы, измеренные в пп. б, в, г, занести в табл. 3.2 в графу «Опыт».

2. Собрать параллельную цепь на рис. 3.7 с добавочным резистором и выставить с помощью вольтметра напряжение U=10 B не на входе цепи, а на сопротивлении . В этом случае комплексные токи параллельных ветвей на рис.3.7 и 3.6 будут одинаковы. Наличие резистора  позволяет измерить входной ток ;

а) измерить напряжение на и пересчитать в ток ;

б) при измерении фазы , входного тока в качестве опорного следует взять напряжение на резисторе . Тогда клемму «Земля» нужно подключить к общему узлу 2, клемму «Сигнал» – к узлу 1, клемму «Опорное» – к узлу 3.

 Внимание! Напряжения 2 и U не согласованы. Измеренный комплексный ток  занести в табл.3.3. Токи параллельных ветвей не измеряются.

3. Собрать разветвленную цепь согласно варианту (рис.3.8 – 3.10). Подключить к цепи генератор заданной частоты с напряжением U=10 В:

а) измерить вольтметром напряжения на резисторах  и напряжения Пересчитать напряжения резисторов в токи

б) измерить фазометром начальные фазы токов  Занести в табл.3.4 в графу «Опыт» комплексные токи  и модули напряжений

4.Сделать заключение о соответствии расчетных и опытных данных по всем выполненным пунктам работы.

Основные вопросы к работе

1.Основные величины, характеризующие синусоидальный ток и напряжение (период, частота, угловая частота, начальная фаза, амплитуда, действующее значение).

2.С какой целью введено понятие действующего значения гармонического сигнала? Может быть, достаточно понятия амплитуды сигнала?

3.Какой смысл содержится в понятии положительного направления синусоидального напряжения и тока?

4.Что такое комплексный ток, напряжение? Что понимают под комплексной амплитудой тока, напряжения?

5.Как вычисляются комплексные сопротивления элементов цепи?

6.Каковы фазовые сдвиги между напряжением и током в индуктивности, емкости?

7.Для какого класса цепей (R-цепи, RL-цепи, RC-цепи, LC-цепи, RLC-цепи) угол  сдвига фаз между входными напряжением и током может равняться: а) нулю, б) ±90°?

8. Что характеризуют активная, реактивная и полная мощности? Единицы их измерения.

9.Что такое коэффициент мощности?

10.На каком важном свойстве линейных цепей основан метод пропорционального пересчета?

11.Как строится топографическая диаграмма напряжений цепи? В чем ее отличие от векторной диаграммы напряжений?

12. Опишите особенности использования фазометра.


Литература для выполнения индивидуальных практических работ

1.Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей.– М.: Энергоатом, 1989.

2. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. – М.: Энергия,  1978.

3. Атабеков Г. И. Основы теории цепей. – М.: Энергия, 1970.

4. Нейман Л. Р., Демирчян Н. С. Теоретические основы электротехники. – М.: Энергия, 1976.

5. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – М.: Высш. шк., 1984.

6. Афанасьев Б. П., Гольдин О. Е., Кляцкий И. Теория линейных  электрических цепей. – М.: Высш. шк., 1973.

7. Зернов Н. В., Карпов В. Г. Теория радиотехнических цепей. –  М.: Энергия, 1972.

8. Алтунина З.Е. Расчет цепей переменного тока графоаналитическим  методом. – Мн.: МРТИ, 1979.

Контрольные работы

Выбор варианта

Внимание! Вариант задания необходимо получить у тьюторов.

Для этого необходимо выслать запрос на электронный адрес тьютора с указанием Ф.И.О., названия специальности, номера группы, названия и части дисциплины.

Контрольная работа №1

“РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ  ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА”

  1.  Начертить схему согласно заданному варианту (источники тока включать параллельно заданной   

       ветви).

  1.  Преобразовать схему к двухконтурной.
  2.  Рассчитать двухконтурную схему, используя метод двух узлов.
  3.  Разворачивая схему в обратном порядке найти токи в исходной схеме.
  4.  Составить уравнения по законам Кирхгофа для исходной схемы и, подставив в них ранее найденные токи,

проверить уравнения.

  1.  Найти напряжение между точками Unn (согласно варианту).
  2.  Определить суммарную мощность всех источников энергии Рист=РE+РI и суммарную мощность всех приёмников энергии

       Рпр=I2R. Проверить баланс мощностей Ристпр.

  1.  Записать в общем виде уравнения по методам контурных токов и узловых потенциалов для исходной схемы.
  2.  Определить ток в заданной ветви методом эквивалентного генератора напряжения

      (согласно варианту), при расчете напряжения холостого хода необходимо использовать метод контурных токов.

  1.  Для выбранного замкнутого контура схемы, включающего не менее 2-х источников ЭДС, построить в масштабе

        потенциальную диаграмму (контур для построения потенциальной диаграммы выбирается студентом самостоятельно).

      Представить ответы в виде таблицы:

I1

I2

I3

I4

I5

I6

I7

I8

Unn

Uхх

Rген

P

Контрольная работа №2

“РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ  ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА”

1. Расшифровать задание. Листок с заданием вклеить в контрольную работу.

2. Рассчитать методом эквивалентных преобразований токи во всех ветвях заданной цепи. Результаты расчетов

   представить в виде комплексов действующих  значений и в виде мгновенных значений токов.

3. Составить баланс мощностей для заданной цепи.

4. Определить показания ваттметра, включенного в заданную цепь.

5. По результатам расчетов построить векторную диаграмму токов и совмещенную с ней топографическую

   векторную диаграмму напряжений.

6. Полагая наличие индуктивной связи между любыми двумя индуктивностями, записать для заданной

   цепи уравнения по законам Кирхгофа.

Внешние ресурсы

Практикум

Закон Ома, законы Кирхгофа

Основные теоретические положения. Закон Ома

Участок ветви, содержащий один или несколько источников энергии, является активным. Рассмотрим участок электрической цепи (рис. 1.1).

Рис. 1.1

При решении задач по теории электрических цепей выбирают положительное направление тока, которое указывается стрелкой.

Направление тока характеризуется знаком тока. Понятия положительный или отрицательный участок имеют смысл, если сравнивать направление тока в проводнике с некоторым заранее выбранным направлением – так называемым положительным направлением тока.

Запомнить!

  1.  Ток в сопротивлении всегда направлен от более высокого потенциала к более низкому, т.е потенциал падает по направлению тока (на рис. 1.1 условно точке «а» присвоим знак «+», а точке «с» – знак «–»).
  2.   Э.Д.С., направленная от точки «c» к точке «d», повышает потенциал последней на величину  (на рис. 1.1 условно зажиму Э.Д.С., подключенному к точке «c», присвоим знак «–», а зажиму, подключенному к точке «d» – знак «+»).
  3.  Напряжение  положительно, когда потенциал точки «a» выше, чем потенциал точки «c».

При обозначении напряжения (разности потенциалов) на схемах посредством стрелки она направляется от точки высшего потенциала к точке низшего потенциала.

На рис. 1.1 ток протекает от точки «a» к точке «c», значит, потенциал  будет меньше  на величину падения напряжения на сопротивлении , которое по закону Ома равно : .

На участке «c - d» Э.Д.С.  действует в сторону повышения потенциала, следовательно, .

Потенциал точки «b» равен:

.

Знак «–» перед Э.Д.С., совпадающей по направлению с током, объясняется следующим образом: напряжение на участке с Э.Д.С. противоположно направлено самой Э.Д.С. и определяемому напряжению.

Напряжение  найдем как разность потенциалов:

.

(1.1)

Ток на участке ab определяют по выражению

.

(1.2)

Формула (1.2) выражает обобщенный закон Ома, или закон Ома для активного участка цепи.

Из формулы видно, что если  ток, напряжение и Э.Д.С. совпадают по направлению, то в выражение закона Ома они входят с одинаковыми знаками. Если Э.Д.С. действует в сторону, противоположную положительному направлению тока, в выражении ставится знак «–».

Закон Ома применяется как для участка ветви, так и для одноконтурной замкнутой схемы.

Законы Кирхгофа

Для расчета разветвленных электрических цепей применяют 1–ый и 2–ой законы Кирхгофа. Распределение токов по ветвям электрической цепи подчиняется первому закону Кирхгофа, а распределение напряжений по участкам цепи подчиняется второму закону Кирхгофа.

Законы Кирхгофа наряду с законами Ома являются основными в теории электрических цепей.

Первый закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

,

(1.3)

где  – число ветвей, сходящихся  в данном узле, т.е. суммирование распространяется на токи в ветвях, которые сходятся в рассматриваемом узле.

Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, определяется формулой:

,

где – число узлов в рассматриваемой цепи.

Знаки токов в уравнении берутся с учетом выбранного положительного направления. Знаки у токов одинаковы, если токи одинаково ориентированы относительно данного узла.

Уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, называются узловыми.

Второй закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма Э.Д.С. в любом замкнутом контуре цепи равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах этого контура:

,

(1.4)

где  – номер элемента (сопротивления или источника напряжения) в рассматриваемом контуре.

Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, определяется формулой:

,

где – число ветвей электрической цепи,  – число узлов,  – число источников тока.

Рис. 1.2 Иллюстрация ко второму закону Кирхгофа

 Для того чтобы правильно записать второй закон Кирхгофа для заданного контура, следует выполнить следующие действия:

  1.  Произвольно выбрать направление обхода контура, например, по часовой стрелке.
  2.  Э.Д.С. и падения напряжения, которые совпадают по направлению с выбранным направлением обхода, записываются в выражении со знаком «+»; если Э.Д.С. и падения напряжения не совпадают с направлением обхода контура, то перед ними ставится знак «–».

С учетом вышеперечисленного второй закон Кирхгофа для схемы рис.1.2 запишется следующим образом:

,

или

.

Уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, называются контурными.

Запомнить! Если цепь содержит источники тока, то при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа выбираем контур, в который не входят источники тока.

Примеры расчета линейных электрических цепей по законам Ома и Кирхгофа

Пример 1.1

 

Рис. 1.3

Для схемы рис. 1.3 определим напряжение  если ;;;;;.

Решение

Запишем формулу для расчета напряжения между узлом «b» и узлом «a»

,

Подставим численные значения, получим:

.

Ответ:.

Пример 1.2

Для схемы на рис. 1.4 определим напряжения  и , если ; ; ; ; ; ;; ; ; ; .

Решение

Используя обобщенный закон Ома для участка цепи, запишем формулы для определения напряжений  и :

 Рис. 1.4

.

Подставим численные значения, получим:

;

.

Ответ: , .

Пример 1.3

Рис. 1.5

Определить , если известно, что ;; ;;.

Решение

Заменим параллельные участки эквивалентными сопротивлениями  и зададимся положительным направлением тока (рис. 1.6). Напряжение  можно определить, рассматривая верхнюю или нижнюю половины контура между точками «а» и «b». В обоих случаях результат должен быть одинаковым.

Определим ток  по закону Ома:

Если рассматривать верхнюю половину контура, то

.

Рис. 1.6

Знак «–» говорит о том, что напряжение на данном участке направлено от точки «b» к «a», т.е. потенциал точки «b» больше потенциала точки «a».

Ответ: .

Пример 1.4

В цепи (рис. 1.7) заданы токи  и , сопротивления и Э.Д.С. Определить токи ,,; напряжение между точками a и b, если  ; ; ; ; ; .

Рис. 1.7

Решение

  1.  Для заданного контура составим два уравнения по первому закону Кирхгофа и одно – по второму. Направление обхода контура указано стрелкой.

В результате решения получаем: ,,.

  1.  Зададим направление напряжения между точками «a» и «b» от точки «a» к точке «b» – . Это напряжение найдем из уравнения по второму закону Кирхгофа:

;

.

Ответ: .

Метод наложения

Основные теоретические положения

Метод наложения основан  на применении принципа наложения, который формулируется следующим образом:

Ток в любой ветви электрической цепи равен сумме токов, обусловленных действием каждого источника в отдельности, при отсутствии других источников.

Рассматриваемый принцип называют принципом независимого действия.

При действии только одного из источников напряжения предполагается, что Э.Д.С. всех остальных источников равны нулю, так же как равны нулю и токи всех источников тока. Отсутствие напряжения на зажимах источников напряжения равносильно короткому замыканию их зажимов. Отсутствие тока в ветви с источником тока равносильно разрыву этой ветви.

Если источник Э.Д.С. содержит внутреннее сопротивление, то, полагая Э.Д.С. равной нулю, следует оставлять в ветви его внутреннее сопротивление. Аналогично в случае источника тока с параллельной внутренней проводимостью, следует, разрывая ветвь источника (т.е. полагая  ), оставлять включенной параллельную ветвь с внутренним сопротивлением.

Пусть в цепи действуют источники с параметрами  и , тогда  и – токи n–ой ветви, создаваемые каждым из этих источников в отдельности.

Согласно принципу наложения искомый тока:

Принцип суперпозиции применим к напряжениям, т.к. между током и напряжением рассматривается линейная зависимость (закон Ома); но не применим к мощности:

т.к. мощность – это квадратичные функции токов.

Примеры расчета линейных электрических цепей методом наложения

Пример 2.1

Дано: .

Определить все токи методом наложения в схеме рис. 2.1.

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Решение

1) Заменяем источник Э.Д.С. E короткозамкнутым участком (т.к. его  ) (схема рис. 2.2).

Т.к. конфигурация цепи изменилась, то в цепи рис. 2.2 протекают токи, отличные от токов цепи рис. 2.1. Их называют первыми частичными токами и обозначают одним штрихом. Схему цепи рис. 2.2  более наглядно представим на рис. 2.3. Токи рассчитаем, применяя правило плеч и первый закон Кирхгофа:

;

;

;

;

.

Ток  протекает по короткозамкнутому участку (его сопротивление равно нулю).

Запомнить! Ток в ветви, сопротивление которой равно нулю, определяют по первому закону Кирхгофа.

2) Разорвем ветвь с источником тока J. Токи, протекающие в цепи рис. 2.4, называют вторыми частичными токами и обозначают двумя штрихами.

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Напряжение, создаваемое Э.Д.С. E, приложено к двум параллельным ветвям. Токи  и  определим по закону Ома:

;

;

.

  1.   Искомые токи найдем как алгебраическую (т.е. с учетом направлений) сумму частичных токов:

;

;

;

;

.

Ответ: , , , , .


Метод контурных токов

Основные теоретические положения

Метод контурных токов – один из основных и широко применяемых на практике методов. Для каждого контура цепи задают ток, который остается неизменным. В цепи протекает столько контурных токов, сколько независимых контуров в ней содержится. Направление контурного тока выбирают произвольно.

Контурные токи, проходя через узел, не меняют своего значения и направления. Следовательно, первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Уравнения с контурными токами записываются только для второго закона Кирхгофа. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, меньше чем по методу законов Кирхгофа.

Число уравнений, составляемых по методу контурных токов, определяется по формуле:

.

Если в цепи отсутствуют источники тока, число уравнений равно числу контурных токов и, соответственно, числу независимых контуров рассматриваемой электрической цепи.

Если заданная электрическая цепь содержит n независимых контуров, то на основании второго закона Кирхгофа получается n контурных уравнений:

(3.1)

где – собственное сопротивление контура, равное сумме сопротивлений, по которым протекает контурный ток (  – величина положительная),

– взаимное сопротивление между двумя смежными контурами, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, совпадают ли направления протекающих по ним контурных токов,

– контурная Э.Д.С., равная алгебраической сумме Э.Д.С., входящих в данный контур.

После решения системы (3.1) ток в ветви определяют как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через данную ветвь.

Примеры расчета линейных электрических цепей методом контурных токов

Пример 3.1

Составить уравнение по методу контурных токов и определить токи во всех ветвях схемы (рис. 3.1), если ; ; ; ; ; ; ; .

На примере данной задачи покажем как пользоваться методом контурных токов, если схема содержит источники тока.

Рис. 3.1

Решение

В цепи четыре независимых контура, следовательно обозначим четыре контурных тока: , , ,  и их положительные направления.

Токи , , , протекают через источники тока    соответственно. Следовательно: ; ; ;

В данной задаче необходимо определить один контурный ток , следовательно, составим только одно уравнение:

,

Откуда .

Токи ветвей определим как алгебраическую сумму контурных токов:

;

;

;

.

Правильность решения задачи проверим, составив уравнение по второму закону Кирхгофа для контура 4 (контур обходим по часовой стрелке):

;

;

.

Второй закон Кирхгофа выполняется.

Ответ: , , , .

Пример 3.2

 Рис. 3.2

Дано:

;  ;  ; ;  ;  ;  ; ; .

Определить токи в схеме рис.  3.2 методом контурных токов.

Решение

Выбираем направления контурных токов. Контурные токи  и  совпадают по направлению с токами источников и  и равны им

соответственно: ; . Для решения задачи необходимо составить одно уравнение для неизвестного контурного тока :

.

Решив его, получаем:

.

Токи в ветвях схемы определяем как алгебраическую сумму контурных токов, проходящих через каждую ветвь:

;

;

;

.

Ответ: , , , , , .

Метод узловых напряжений

Основные теоретические положения

Метод узловых напряжений заключается в определении на основании первого закона Кирхгофа потенциалов в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Базисный узел в общем случае выбирается произвольно, потенциал этого узла принимается равным нулю. Разность потенциалов рассматриваемого и базисного узлов называется узловым напряжением.

Положительное направление узловых напряжений указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.

Число уравнений, составляемое по методу узловых напряжений, равно

(4.1)

где  – количество узлов цепи,  – количество идеальных источников Э.Д.С.

Для произвольной схемы, содержащей  узлов, система уравнений по методу узловых напряжений имеет вид:

(4.2)

где  – собственная проводимость узла .

– взаимная проводимость ветви, соединяющей узлы .

Собственная проводимость узла равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.

Взаимная проводимость равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих данные узлы.

Выражение, стоящее в правой части уравнений системы, называют «узловой ток».

Узловой ток (теоретическое понятие) – это алгебраическая сумма произведений   и  источника тока (если они есть) всех ветвей, примыкающих к рассматриваемому узлу. Слагаемое входит в выражение со знаком «+», если Э.Д.С. и источник тока направлены к узлу. В противном случае – ставится знак «–».

Из системы (4.2) видно, что собственные проводимости входят в уравнения со знаком «+», а взаимные проводимости – со знаком «–».

Алгоритм расчета электрических цепей по методу узловых напряжений:

1) Выбираем базисный узел. Желательно нулевой потенциал присвоить тому узлу, где сходится большее количество ветвей.

Запомнить! Если в составе цепи имеется одна или несколько ветвей, содержащих идеальные Э.Д.С. (сопротивление таких ветвей равно нулю), то за базисный принимают один из узлов, между которыми находится ветвь с идеальной Э.Д.С.

2) Составляется система уравнений для неизвестных узловых напряжений в соответствии с общей структурой этих уравнений (4.2).

3) Решая данную систему, находят напряжения узлов относительно базиса.

4) Токи ветвей определяют по обобщенному закону Ома:

.

Частным случаем метода узловых напряжений является метод двух узлов. Если схема содержит только два узла, то в соответствие с методом узловых напряжений (в отсутствие идеальных Э.Д.С.) составляется только одно уравнение:

.

                         

 Примеры расчета линейных электрических цепей методом узловых напряжений

Пример 4.1

Рис. 4.1

Дано:

; ; ; ; ;  Определить все токи в схеме рис. 4.1 методом узловых напряжений.

Решение

Цепь содержит три узла, ветви с идеальными Э.Д.С. отсутствуют. Число необходимых уравнений, определяемое по формуле (4.1), равно двум. В качестве базисного выбираем третий узел.

Система уравнений имеет вид:

,

где

;

;

;

;

.

В результате решения определяем:

;