4821

Геометрия Лобачевского. Геометрия кривых поверхностей

Доклад

Математика и математический анализ

Геометрия Лобачевского. Н.И. Лобачевскийв 1826г. впервые построил и развил одну из возможных геометрий, где аксиома (А) не имеет места. Геометрия Лобачевского основывается на тех же аксиомах, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о парал...

Русский

2012-11-27

31.5 KB

12 чел.

Геометрия Лобачевского.

Н.И. Лобачевскийв 1826г. впервые построил и развил одну из возможных геометрий, где аксиома (А) не имеет места. Геометрия Лобачевского основывается на тех же аксиомах, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется противоположным утверждением- аксиомой Лобачевского:

Через точку вне прямой в данной плоскости можно провести хотя бы 2 прямые, не пересикающие данную прямую.

Мы видели, что вопрос о том, какая геометрия –Евклида или Лобачевского- точнее описывает мир световых лучей, решается не так уж просто, хотя аксиома Лобачевского и не кажется такой парадоксальной на первый взгляд. Огромной заслугой Лобачевского было то, что он поставил этот вопрос. Но его идеи были столь необычны, что современники их не понимали.

Геометрия кривых поверхностей.

Многое в геометрии Лобачевского стало яснее, когда учёные хорошоознакомились с геометрией кривых поверхностей. Чтобы пояснить в чем тут дело надо рассмотреть геометрию на шаре. Было время когда люди думали, что земля плоская. Позже, наблюдая за кораблями, уходящими за горозонт, они пришли к выводу о шарообразности земли. Но для этого им пришлось рассматривать предметы (корабли), имеющие определённую высоту, поднимающиеся над поверхностью Земли. Возникает вопрос, нельзя ли убедиться в шарообразности Земли, проводя измерения непосредственно над земной поверхностью и не рассматривая предметов , распо-

ложенных над поверхностью Земли.

Конечно, это легко сделать- ведь если двигаться по Земле в одном и том же направлении, то в конце концов мы вернёмся на то же место, откуда вышли. Но для такой проверки нужно сделать целое кругосветное путешествие. А нельзя ли убедиться в шарообразности Земли, оставаясь на время на небольшом участке , скажем на острове ? оказывается, возможно. Для этого надо измерять геометрические фигуры на поверхности Земли. Возьмем на этой поверхности 2 точки-А и В. эти точки можно соединить самыми различными линиями. Не покидая нашего острова. Среди всех линий, соединяющих точки А и В, будет одна, имеющая самую маленькую длину. Мы, знающие, что Земля шарообразная, можем сказать , что эта линия – это дуга большого круга, соединяющая точки А и В. А вот человек , живущий на острове и не знающий о шарообразности Земли, назовет эту линию прямой , соединяющей точки А и В. после этого он возьмёт 3 точки А, В, С и измерит углы треугольника АВС . Если остров очень маленький и точность его инструментов тоже мала, то он получит, что сумма углов этого треугольника равна 180. Совсем другой результат получится, если остов велик или инструменты у жителя этого острова очень точны.

  Чтобы понять в чём дело, рассмотрим такие три точки: за точку А выберем Северный полис, за точку В пересечение экватора с нулевым меридианом и за точку С- пересечение экватора с меридианом, имеющим долготу 90.если вы возьмёте эти 3 точки на глобусе, то сразу увидите, что все3 угла треугольника АВС равны 90. Но ведь тогда сумма всех углов этого треугольника равна 270. Можно доказать, что у любого треугольника на поверхности шара сумма углов больше, чем 180, и этот избыток тем больше, чем больше площадь треугольника ( потому-то для маленьких треугольников сумма углов равна почти 180).

  Таким образом, точно измеряя углы большого треугольника, можно убедиться, что мы живём не на плоскости, а на искривлённой поверхности. С помощью ещё более точных измерений можно получить представление и о форме поверхности.

  Измерения , проведённые на шаре, можно проводить на любой другой поверхности. На любой поверхности есть линии, соединяющие 2 точки и имеющие меньшую длину, чем все остальные линии, соединяющие эти точки. Такие линии называют геодезическими. Измеряя углы треугольников, образованных геодезическими линиями, можно судить о степени искривлённости поверхности. У некоторых кривых поверхностях ( таких, как шар, эллипсиод) эта сумма получается больше180. У других, например у седла,- больше 180. А есть поверхности, у которых в некоторых местах получается больше180, а в других- меньше180, тем сильнее искревлён измеряемыё треугольник. Есть такая поверхность( её называют псевдосферой), на которой геодезические линии ведут себя так же, как прямые на плоскости Лобачевского.

      Известный немецкий ученый Б.РИМАН ввёл очень важное понятие, показав, что можно рассматривать не только искривлённые поверхности, но и искревлённые пространства. Искревлённое пространство очень трудно себе представить- ведь когдо мы говорим о кривой поверхности, то представляем себе эту поверхность лежащей  на каком-то пространстве. А где же лежит кривое пространство? Дело в том, что в искревленности поверхности можно убедиться, не выходя за её пределы, а измеряя углы в треугольниках на этой поверхности. Точно так же пространство следует считать искривлённым , если сумма углов треугольника, взятом в этом пространстве, отличается от 180.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40041. Создание отчета в режимах Автоотчет и Мастер отчетов. Редактирование отчета в режиме Конструктор 160.5 KB
  Создание отчета в режимах Автоотчет и Мастер отчетов.Редактирование отчета в режиме Конструктор Цель работы: получение навыков конструирования отчетов в режимах автоотчета и мастера отчетов. На экране появится окно режимов создания нового отчета представленное на рис. Окно режимов создания отчета Выбрать режим Автоотчет: ленточный и в качестве источника данных таблицу Список.
40042. Молодежный центр как субъект организации досуга молодежи 299.5 KB
  Современные проблемы организации молодежного досуга. Анализ деятельности культурно – досуговых центров по организации досуга молодежи «Молодежного центра Жаштык» и «Продюсерского центра». Принципы и формы организации досуговой деятельности...
40043. Создание надежной системы защиты предприятия 2.73 MB
  Целью данного проекта является создание надежной системы защиты предприятия, функционирование которой направлено на защиту деятельности сотрудников, информационных и материальных ценностей от внутренних и внешних угроз.
40044. Влияние газовой промышлености на окружающую среду 111 KB
  Геологический метод является начальным методом разведки. Этот метод заключается в том, что геологи выезжают участок, который нужно исследовать и проводят там все необходимые работы, которые включают в себя...
40045. Знакомство с приложением PowerPoint. Создание слайдов. Вставка в слайды различных объектов 136 KB
  Установить для заголовка размер шрифта 60 пт цвет красный. Установить для заголовка тень желтую с помощью кнопки Тень на панели инструментов Рисование. Установить для подзаголовка размер шрифта 40 пт цвет синий тень голубую. Установить фон слайда белый мрамор с помощью команды Формат Фон вкладка Текстура.
40046. Приложение MICROSOFT INTERNET EXPLORER 107 KB
  Сохраните открытую страничку в своей папке: выполните команду Файл Сохранить как; в окне Сохранение вебстраницы откройте или создайте папку ФамилияГруппа; в поле Имя файла введите его название например Студенческая_жизнь; в поле Тип файла выберите Вебстраница полностью и нажмите кнопку Сохранить. Откройте в программе Проводник свою папку и проанализируйте размер трех созданных в ней файлов. Сохраните найденную информацию в файле Об образовании поместив его в собственную папку...
40047. Расчёт и исследование технологической системы разгрузки космического зеркала менисковой формы с переменной толщиной мениска вдоль радиального направления 14.64 MB
  Исследование особенностей технологической системы разгрузки космического астрономического зеркала с целью обеспечения разгруженного состояния зеркала в процессе его контроля и обеспечению технологических условий с условиями эксплуатации зеркала в космическом пространстве...
40048. Комплекс технических мероприятий по эксплуатации и наладке устройства ЭСПУ электроавтоматики и электропривода согласно исходным данным 1.82 MB
  Целью дипломного проекта является приобретение навыков при эксплуатации электронных систем программного управления и выполнения наладочных операций на каждом этапе наладки электронных узлов, а также обеспечение надёжности работы электронных систем программного управления (ЭСПУ)...
40049. Робота з функціями в мові С 290.5 KB
  Программа прошла тестирование: в результате выполнения тестов программа выдала ожидаемые результаты. Программа – работоспособна.