4821

Геометрия Лобачевского. Геометрия кривых поверхностей

Доклад

Математика и математический анализ

Геометрия Лобачевского. Н.И. Лобачевскийв 1826г. впервые построил и развил одну из возможных геометрий, где аксиома (А) не имеет места. Геометрия Лобачевского основывается на тех же аксиомах, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о парал...

Русский

2012-11-27

31.5 KB

12 чел.

Геометрия Лобачевского.

Н.И. Лобачевскийв 1826г. впервые построил и развил одну из возможных геометрий, где аксиома (А) не имеет места. Геометрия Лобачевского основывается на тех же аксиомах, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется противоположным утверждением- аксиомой Лобачевского:

Через точку вне прямой в данной плоскости можно провести хотя бы 2 прямые, не пересикающие данную прямую.

Мы видели, что вопрос о том, какая геометрия –Евклида или Лобачевского- точнее описывает мир световых лучей, решается не так уж просто, хотя аксиома Лобачевского и не кажется такой парадоксальной на первый взгляд. Огромной заслугой Лобачевского было то, что он поставил этот вопрос. Но его идеи были столь необычны, что современники их не понимали.

Геометрия кривых поверхностей.

Многое в геометрии Лобачевского стало яснее, когда учёные хорошоознакомились с геометрией кривых поверхностей. Чтобы пояснить в чем тут дело надо рассмотреть геометрию на шаре. Было время когда люди думали, что земля плоская. Позже, наблюдая за кораблями, уходящими за горозонт, они пришли к выводу о шарообразности земли. Но для этого им пришлось рассматривать предметы (корабли), имеющие определённую высоту, поднимающиеся над поверхностью Земли. Возникает вопрос, нельзя ли убедиться в шарообразности Земли, проводя измерения непосредственно над земной поверхностью и не рассматривая предметов , распо-

ложенных над поверхностью Земли.

Конечно, это легко сделать- ведь если двигаться по Земле в одном и том же направлении, то в конце концов мы вернёмся на то же место, откуда вышли. Но для такой проверки нужно сделать целое кругосветное путешествие. А нельзя ли убедиться в шарообразности Земли, оставаясь на время на небольшом участке , скажем на острове ? оказывается, возможно. Для этого надо измерять геометрические фигуры на поверхности Земли. Возьмем на этой поверхности 2 точки-А и В. эти точки можно соединить самыми различными линиями. Не покидая нашего острова. Среди всех линий, соединяющих точки А и В, будет одна, имеющая самую маленькую длину. Мы, знающие, что Земля шарообразная, можем сказать , что эта линия – это дуга большого круга, соединяющая точки А и В. А вот человек , живущий на острове и не знающий о шарообразности Земли, назовет эту линию прямой , соединяющей точки А и В. после этого он возьмёт 3 точки А, В, С и измерит углы треугольника АВС . Если остров очень маленький и точность его инструментов тоже мала, то он получит, что сумма углов этого треугольника равна 180. Совсем другой результат получится, если остов велик или инструменты у жителя этого острова очень точны.

  Чтобы понять в чём дело, рассмотрим такие три точки: за точку А выберем Северный полис, за точку В пересечение экватора с нулевым меридианом и за точку С- пересечение экватора с меридианом, имеющим долготу 90.если вы возьмёте эти 3 точки на глобусе, то сразу увидите, что все3 угла треугольника АВС равны 90. Но ведь тогда сумма всех углов этого треугольника равна 270. Можно доказать, что у любого треугольника на поверхности шара сумма углов больше, чем 180, и этот избыток тем больше, чем больше площадь треугольника ( потому-то для маленьких треугольников сумма углов равна почти 180).

  Таким образом, точно измеряя углы большого треугольника, можно убедиться, что мы живём не на плоскости, а на искривлённой поверхности. С помощью ещё более точных измерений можно получить представление и о форме поверхности.

  Измерения , проведённые на шаре, можно проводить на любой другой поверхности. На любой поверхности есть линии, соединяющие 2 точки и имеющие меньшую длину, чем все остальные линии, соединяющие эти точки. Такие линии называют геодезическими. Измеряя углы треугольников, образованных геодезическими линиями, можно судить о степени искривлённости поверхности. У некоторых кривых поверхностях ( таких, как шар, эллипсиод) эта сумма получается больше180. У других, например у седла,- больше 180. А есть поверхности, у которых в некоторых местах получается больше180, а в других- меньше180, тем сильнее искревлён измеряемыё треугольник. Есть такая поверхность( её называют псевдосферой), на которой геодезические линии ведут себя так же, как прямые на плоскости Лобачевского.

      Известный немецкий ученый Б.РИМАН ввёл очень важное понятие, показав, что можно рассматривать не только искривлённые поверхности, но и искревлённые пространства. Искревлённое пространство очень трудно себе представить- ведь когдо мы говорим о кривой поверхности, то представляем себе эту поверхность лежащей  на каком-то пространстве. А где же лежит кривое пространство? Дело в том, что в искревленности поверхности можно убедиться, не выходя за её пределы, а измеряя углы в треугольниках на этой поверхности. Точно так же пространство следует считать искривлённым , если сумма углов треугольника, взятом в этом пространстве, отличается от 180.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16860. В отличие от знания, образованности, информированности мудрость есть способность принимать и усваивать опыт жизни предыдущих поколений, без чего невозможно развитие науки и культуры, а значит, и цивилизации 38 KB
  Наука и жизнь 200601 В отличие от знания образованности информированности мудрость есть способность принимать и усваивать опыт жизни предыдущих поколений без чего невозможно развитие науки и культуры а значит и цивилизации. Виктор Садовничий Мн...
16861. КОНЦЕПЦИЯ «ПОТОПА» КАК НОВАЯ ПАРАДИГМА ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ НАУКИ 434.28 KB
  Голубчиков Ю. Н. КОНЦЕПЦИЯ ПОТОПА КАК НОВАЯ ПАРАДИГМА ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ НАУКИ Юрий Николаевич Голубчиков кандидат географических наук ведущий научный сотрудник географического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Преп
16862. Дизайн в живых организмах: моторы 117 KB
  Дизайн в живых организмах: моторы Джонатан Сарфати Из нашего ежедневного опыта мы обычно можем сказать было ли чтото спроектировано или нет. Основным доказательством является высокое информационное содержание.Информационное содержание любой последовательности –
16863. Чудеса воды 67 KB
  PAGE 1 Чудеса воды Джонатан Сарфати Вода Мы пьем ее готовим с ней пищу моемся и плаваем в ней и в основной принимаем ее как данное. Эта прозрачная и безвкусная жидкость является настолько неотъемлемой частью нашей жизни что мы редко задумываемся над е...
16864. Дыхание Жизни — не продукт эволюции 201.5 KB
  Дыхание Жизни не продукт эволюции Брэд Хараб Многие из нас слышали когданибудь такое выражение €œкак рыба вынутая из воды€. Эта известная идиома отображает несомненный факт того что рыбы не могут дышать или перемещаться на суше. Тем не менее учёные которые подд...
16865. Человеческое тело – шедевр, созданный Богом 81 KB
  PAGE 1 Человеческое тело – шедевр созданный Богом Иосиф Патури Доктор Иосиф Патури является Ректором Христианского Колледжа Темпл в Цинциннати Огайо США. Человеческий мозг является наиболее сложным и организованным устройством материи во вс
16866. КАК СООТНОСЯТСЯ ПОСТУЛАТЫ ВЕРЫ ЭВОЛЮЦИОНИЗМА И СОТВОРЕНИЯ МЕЖДУ СОБОЙ И С ЕСТЕСТВОЗНАНИЕМ 196.49 KB
  КАК СООТНОСЯТСЯ ПОСТУЛАТЫ ВЕРЫ ЭВОЛЮЦИОНИЗМА И СОТВОРЕНИЯ МЕЖДУ СОБОЙ И С ЕСТЕСТВОЗНАНИЕМ В.С.Ольховский доктор физикоматематических наук Институт ядерных исслед. НАНУ Научноисслед.центр Відгук Мин.здравоохр.Украиныolkhovsk@kinr.kiev.ua Выступление на открытой дискусс...
16867. Поезд эволюции движется в неправильном направлении 65.5 KB
  Поезд эволюции движется в неправильном направлении Карл Виланд Атмосфера в переполненном фойе лекционного зала была полна ожиданий и любопытства. Это было в конце 70х годов в ранние бурные дни креационного движения в Южной Австралии. Дебаты по сотворению/эволюции
16868. Удивительная молекула, передающая сообщение 84.5 KB
  PAGE 1 Удивительная €œмолекула передающая сообщение€ Карл Виланд Когда ктонибудь посылает сообщение вместе с ним передаётся чтото удивительное и загадочное. Например Альфонс в Эльзасе хочет послать следующее сообщение: €œНэд война закончилась. А