4821

Геометрия Лобачевского. Геометрия кривых поверхностей

Доклад

Математика и математический анализ

Геометрия Лобачевского. Н.И. Лобачевскийв 1826г. впервые построил и развил одну из возможных геометрий, где аксиома (А) не имеет места. Геометрия Лобачевского основывается на тех же аксиомах, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о парал...

Русский

2012-11-27

31.5 KB

12 чел.

Геометрия Лобачевского.

Н.И. Лобачевскийв 1826г. впервые построил и развил одну из возможных геометрий, где аксиома (А) не имеет места. Геометрия Лобачевского основывается на тех же аксиомах, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется противоположным утверждением- аксиомой Лобачевского:

Через точку вне прямой в данной плоскости можно провести хотя бы 2 прямые, не пересикающие данную прямую.

Мы видели, что вопрос о том, какая геометрия –Евклида или Лобачевского- точнее описывает мир световых лучей, решается не так уж просто, хотя аксиома Лобачевского и не кажется такой парадоксальной на первый взгляд. Огромной заслугой Лобачевского было то, что он поставил этот вопрос. Но его идеи были столь необычны, что современники их не понимали.

Геометрия кривых поверхностей.

Многое в геометрии Лобачевского стало яснее, когда учёные хорошоознакомились с геометрией кривых поверхностей. Чтобы пояснить в чем тут дело надо рассмотреть геометрию на шаре. Было время когда люди думали, что земля плоская. Позже, наблюдая за кораблями, уходящими за горозонт, они пришли к выводу о шарообразности земли. Но для этого им пришлось рассматривать предметы (корабли), имеющие определённую высоту, поднимающиеся над поверхностью Земли. Возникает вопрос, нельзя ли убедиться в шарообразности Земли, проводя измерения непосредственно над земной поверхностью и не рассматривая предметов , распо-

ложенных над поверхностью Земли.

Конечно, это легко сделать- ведь если двигаться по Земле в одном и том же направлении, то в конце концов мы вернёмся на то же место, откуда вышли. Но для такой проверки нужно сделать целое кругосветное путешествие. А нельзя ли убедиться в шарообразности Земли, оставаясь на время на небольшом участке , скажем на острове ? оказывается, возможно. Для этого надо измерять геометрические фигуры на поверхности Земли. Возьмем на этой поверхности 2 точки-А и В. эти точки можно соединить самыми различными линиями. Не покидая нашего острова. Среди всех линий, соединяющих точки А и В, будет одна, имеющая самую маленькую длину. Мы, знающие, что Земля шарообразная, можем сказать , что эта линия – это дуга большого круга, соединяющая точки А и В. А вот человек , живущий на острове и не знающий о шарообразности Земли, назовет эту линию прямой , соединяющей точки А и В. после этого он возьмёт 3 точки А, В, С и измерит углы треугольника АВС . Если остров очень маленький и точность его инструментов тоже мала, то он получит, что сумма углов этого треугольника равна 180. Совсем другой результат получится, если остов велик или инструменты у жителя этого острова очень точны.

  Чтобы понять в чём дело, рассмотрим такие три точки: за точку А выберем Северный полис, за точку В пересечение экватора с нулевым меридианом и за точку С- пересечение экватора с меридианом, имеющим долготу 90.если вы возьмёте эти 3 точки на глобусе, то сразу увидите, что все3 угла треугольника АВС равны 90. Но ведь тогда сумма всех углов этого треугольника равна 270. Можно доказать, что у любого треугольника на поверхности шара сумма углов больше, чем 180, и этот избыток тем больше, чем больше площадь треугольника ( потому-то для маленьких треугольников сумма углов равна почти 180).

  Таким образом, точно измеряя углы большого треугольника, можно убедиться, что мы живём не на плоскости, а на искривлённой поверхности. С помощью ещё более точных измерений можно получить представление и о форме поверхности.

  Измерения , проведённые на шаре, можно проводить на любой другой поверхности. На любой поверхности есть линии, соединяющие 2 точки и имеющие меньшую длину, чем все остальные линии, соединяющие эти точки. Такие линии называют геодезическими. Измеряя углы треугольников, образованных геодезическими линиями, можно судить о степени искривлённости поверхности. У некоторых кривых поверхностях ( таких, как шар, эллипсиод) эта сумма получается больше180. У других, например у седла,- больше 180. А есть поверхности, у которых в некоторых местах получается больше180, а в других- меньше180, тем сильнее искревлён измеряемыё треугольник. Есть такая поверхность( её называют псевдосферой), на которой геодезические линии ведут себя так же, как прямые на плоскости Лобачевского.

      Известный немецкий ученый Б.РИМАН ввёл очень важное понятие, показав, что можно рассматривать не только искривлённые поверхности, но и искревлённые пространства. Искревлённое пространство очень трудно себе представить- ведь когдо мы говорим о кривой поверхности, то представляем себе эту поверхность лежащей  на каком-то пространстве. А где же лежит кривое пространство? Дело в том, что в искревленности поверхности можно убедиться, не выходя за её пределы, а измеряя углы в треугольниках на этой поверхности. Точно так же пространство следует считать искривлённым , если сумма углов треугольника, взятом в этом пространстве, отличается от 180.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29941. Защита населения от чрезвычайных ситуаций. Комплекс мер, проводимых по защите населения. Организация оповещения и инженерной защиты населения 39.5 KB
  Комплекс мер проводимых по защите населения. Организация оповещения и инженерной защиты населения Ответ: Защита населения от чрезвычайных ситуаций комплекс мероприятий РСЧС взаимосвязанных по месту времени проведения целям ресурсам и направленных на устранение или снижение до приемлемого уровня на пострадавших территориях угрозы жизни и здоровью людей в случае реальной опасности возникновения или в условиях действия опасных и вредных факторов стихийных бедствий техногенных аварий и катастроф. Защита населения от чрезвычайных...
29942. Эвакуация населения из зон чрезвычайных ситуаций. Виды эвакуации 38 KB
  Получив распоряжение на эвакуацию граждане должны подготовить средства индивидуальной защиты личные вещи документы паспорт военный билет диплом об образовании трудовую книжку пенсионное удостоверение свидетельства о браке и рождении детей постельные принадлежности необходимые медикаменты запас продуктов питания на 23 суток. 2 вопрос: Средства индивидуальной защиты: противогаз респиратор ватномарлевая повязка. Их предназначение и использование Ответ: К средствам индивидуальной защиты органов дыхания относятся...
29943. Единая государственная система предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций (РСЧС). Основные цели и задачи РСЧС по защите населения от чрезвычайных ситуаций 30.5 KB
  Основные цели и задачи РСЧС по защите населения от чрезвычайных ситуаций Ответ: РСЧС создана для прогнозирования предотвращения и ликвидации различных ситуаций обеспечения постоянной готовности к ним органов государственного управления сил и средств предназначенных для этого. Основные задачи РСЧС: разработка и выполнение законов и других правовых документов по защите населения и территорий от чрезвычайных ситуаций; подготовка и выполнение целевых научнотехнических программ направленных на предупреждение аварий и катастроф...
29944. Понятие «дорога», ее составные части. Меры безопасного поведения пешехода на улицах и дорогах 38.5 KB
  Все кровотечения подразделяются на: венозные когда кровь темного цвета непрерывно и медленно вытекает из раны; артериальные когда кровь алого цвета из глубокой раны выбрасывается пульсирующей струей; капиллярные когда кровь сочится по всей поверхности раны; смешанные когда есть признаки артериального и венозного кровотечения. Способы остановки кровотечения: пальцевое прижатие несколько выше раны артериального сосуда находящегося близко к коже. Это дает возможность быстро остановить кровотечение примерно на 35 мин;...
29945. Современный общественный транспорт и его характеристика. Правила безопасного поведения пассажира в общественном транспорте 40 KB
  Правила безопасного поведения пассажира в общественном транспорте Ответ: Общественный транспорт это автобусы троллейбусы трамваи и метро. Правила безопасного поведения пассажиров при пользовании этими видами транспорта: ожидать маршрутные транспортные средства следует только на остановках; садиться в транспорт можно только после его полной остановки; запрещается стоять на выступающих частях и подножках транспортных средств прислоняться к дверям отвлекать водителя разговорами во время...
29946. Регулирование и обеспечение безопасности дорожного движения. Понятие «водитель». Правила безопасного вождения велосипеда (мопеда) 40.5 KB
  Правила безопасного вождения велосипеда мопеда Ответ: Организация и регулирование дорожного движения возложены на Государственную инспекцию безопасности дорожного движения ГИБДД. Обеспечение безопасности дорожного движения это деятельность направленная на предупреждение причин возникновения дорожнотранспортных происшествий и снижение тяжести их последствий. Оно достигается: содержанием дорог в соответствии с установленными требованиями и обустройством их объектами сервиса исправным техническим...
29947. Обеспечение пожарной безопасности в местах проживания 40.5 KB
  Обязанности граждан по соблюдению мер пожарной безопасности Ответ: Причинами пожаров в жилых производственных и служебных помещениях чаще всего являются неисправности электросети и электроприборов утечка газа загорание бытовых приборов оставленных без присмотра под напряжением применение самодельных и неисправных отопительных приборов использование бензина керосина и других горючих веществ для разжигания печей оставление открытыми топок шалости детей с огнем неосторожность при курении и множество...
29948. Основные характеристики городского и сельского жилищ; особенности их жизнеобеспечения. Общие меры пожарной безопасности при эксплуатации электрических, газовых приборов и отопительных печей 46.5 KB
  Правила пожарной безопасности при эксплуатации электробытовых приборов: нельзя оставлять без присмотра включенные в сеть электронагревательные приборы радиоприемники и телевизоры; запрещается использовать неисправные рубильники розетки и другие электроустановочные устройства; нельзя применять самодельные и неисправные электронагревательные приборы нестандартные предохранители и другие средства защиты от перегрузки и короткого замыкания; не следует накрывать и оборачивать светильники и лампы бумагой тканью и другими...
29949. Особенности города как среды обитания. Зоны повышенной опасности в городе. Службы, обеспечивающие безопасность города, и правила их вызова 34.5 KB
  Службы обеспечивающие безопасность города и правила их вызова Ответ: Особенности города как среды обитания: наличие большого количества различных видов транспорта и высокая интенсивность дорожного движения; как правило разноплановая застройка от одноэтажных зданий до высотных сооружений; наличие различных предприятий в том числе и потенциально опасных; сосредоточение на ограниченной площади множества коммуникаций электросети водопровод канализация телефонные линии газопровод. Безопасность города обеспечивается...