4821

Геометрия Лобачевского. Геометрия кривых поверхностей

Доклад

Математика и математический анализ

Геометрия Лобачевского. Н.И. Лобачевскийв 1826г. впервые построил и развил одну из возможных геометрий, где аксиома (А) не имеет места. Геометрия Лобачевского основывается на тех же аксиомах, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о парал...

Русский

2012-11-27

31.5 KB

12 чел.

Геометрия Лобачевского.

Н.И. Лобачевскийв 1826г. впервые построил и развил одну из возможных геометрий, где аксиома (А) не имеет места. Геометрия Лобачевского основывается на тех же аксиомах, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется противоположным утверждением- аксиомой Лобачевского:

Через точку вне прямой в данной плоскости можно провести хотя бы 2 прямые, не пересикающие данную прямую.

Мы видели, что вопрос о том, какая геометрия –Евклида или Лобачевского- точнее описывает мир световых лучей, решается не так уж просто, хотя аксиома Лобачевского и не кажется такой парадоксальной на первый взгляд. Огромной заслугой Лобачевского было то, что он поставил этот вопрос. Но его идеи были столь необычны, что современники их не понимали.

Геометрия кривых поверхностей.

Многое в геометрии Лобачевского стало яснее, когда учёные хорошоознакомились с геометрией кривых поверхностей. Чтобы пояснить в чем тут дело надо рассмотреть геометрию на шаре. Было время когда люди думали, что земля плоская. Позже, наблюдая за кораблями, уходящими за горозонт, они пришли к выводу о шарообразности земли. Но для этого им пришлось рассматривать предметы (корабли), имеющие определённую высоту, поднимающиеся над поверхностью Земли. Возникает вопрос, нельзя ли убедиться в шарообразности Земли, проводя измерения непосредственно над земной поверхностью и не рассматривая предметов , распо-

ложенных над поверхностью Земли.

Конечно, это легко сделать- ведь если двигаться по Земле в одном и том же направлении, то в конце концов мы вернёмся на то же место, откуда вышли. Но для такой проверки нужно сделать целое кругосветное путешествие. А нельзя ли убедиться в шарообразности Земли, оставаясь на время на небольшом участке , скажем на острове ? оказывается, возможно. Для этого надо измерять геометрические фигуры на поверхности Земли. Возьмем на этой поверхности 2 точки-А и В. эти точки можно соединить самыми различными линиями. Не покидая нашего острова. Среди всех линий, соединяющих точки А и В, будет одна, имеющая самую маленькую длину. Мы, знающие, что Земля шарообразная, можем сказать , что эта линия – это дуга большого круга, соединяющая точки А и В. А вот человек , живущий на острове и не знающий о шарообразности Земли, назовет эту линию прямой , соединяющей точки А и В. после этого он возьмёт 3 точки А, В, С и измерит углы треугольника АВС . Если остров очень маленький и точность его инструментов тоже мала, то он получит, что сумма углов этого треугольника равна 180. Совсем другой результат получится, если остов велик или инструменты у жителя этого острова очень точны.

  Чтобы понять в чём дело, рассмотрим такие три точки: за точку А выберем Северный полис, за точку В пересечение экватора с нулевым меридианом и за точку С- пересечение экватора с меридианом, имеющим долготу 90.если вы возьмёте эти 3 точки на глобусе, то сразу увидите, что все3 угла треугольника АВС равны 90. Но ведь тогда сумма всех углов этого треугольника равна 270. Можно доказать, что у любого треугольника на поверхности шара сумма углов больше, чем 180, и этот избыток тем больше, чем больше площадь треугольника ( потому-то для маленьких треугольников сумма углов равна почти 180).

  Таким образом, точно измеряя углы большого треугольника, можно убедиться, что мы живём не на плоскости, а на искривлённой поверхности. С помощью ещё более точных измерений можно получить представление и о форме поверхности.

  Измерения , проведённые на шаре, можно проводить на любой другой поверхности. На любой поверхности есть линии, соединяющие 2 точки и имеющие меньшую длину, чем все остальные линии, соединяющие эти точки. Такие линии называют геодезическими. Измеряя углы треугольников, образованных геодезическими линиями, можно судить о степени искривлённости поверхности. У некоторых кривых поверхностях ( таких, как шар, эллипсиод) эта сумма получается больше180. У других, например у седла,- больше 180. А есть поверхности, у которых в некоторых местах получается больше180, а в других- меньше180, тем сильнее искревлён измеряемыё треугольник. Есть такая поверхность( её называют псевдосферой), на которой геодезические линии ведут себя так же, как прямые на плоскости Лобачевского.

      Известный немецкий ученый Б.РИМАН ввёл очень важное понятие, показав, что можно рассматривать не только искривлённые поверхности, но и искревлённые пространства. Искревлённое пространство очень трудно себе представить- ведь когдо мы говорим о кривой поверхности, то представляем себе эту поверхность лежащей  на каком-то пространстве. А где же лежит кривое пространство? Дело в том, что в искревленности поверхности можно убедиться, не выходя за её пределы, а измеряя углы в треугольниках на этой поверхности. Точно так же пространство следует считать искривлённым , если сумма углов треугольника, взятом в этом пространстве, отличается от 180.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8110. Разработка комплекта полиграфической продукции для индивидуального заказчика 2.24 MB
  Разработка комплекта полиграфической продукции для индивидуального заказчика Введение Реклама за последние годы стала частью нашей жизни. Она нужна бизнесу для повышения своей известности и популярности, продвижения товаров и услуг. Реклама...
8111. CASE - технологии 64.5 KB
  CASE- технологии CASE-системами или CASE-технологиями называют реализованные в виде программных продуктов технологические системы, ориентированные на создание сложных программных систем и поддержку их полного жизненного цикла или его основных этапов...
8112. Особенности организации и управления малых предприятий (на примере ООО CSoft Воронеж) 202.99 KB
  Особенности организации и управления малых предприятий (на примере ООО CSoft Воронеж) Введение Программное обеспечение как рыночный продукт занимает специфическое место. С одной стороны, это товар не производственного назначения, объемы которого дол...
8113. Система доходов и расходов федерального бюджета 374.5 KB
  Система доходов и расходов федерального бюджета Введение. В любой стране государственный бюджет - ведущее звено финансовой системы, единство основных финансовых категорий: налогов, государственных расходов, государственного кредита...
8114. Краткая история ИИ. Понятие интеллектуального агента 63.5 KB
  Лекция 1. Краткая история ИИ. Понятие интеллектуального агента (Конспект) Машинный перевод: 1954 г. Джорджтаунский эксперимент - переведено 60 фраз. 1-й этап - информация о языках, между которыми выполнялся перевод, и описание самих...
8115. Программная среда разработки ЭС CLIPS: Назначение и основные возможности. Базовые типы данных и представление фактов 47.5 KB
  Программная среда разработки ЭС CLIPS: Назначение и основные возможности. Базовые типы данных и представление фактов. (Конспект) Общая характеристика среды CLIPS Среда CLIPS (CLanguage Integrated Production System) предназначена...
8116. Представление и обработка продукций в CLIPS 87.5 KB
  Представление и обработка продукций в CLIPS. (Конспект) Представление правил в базе знаний. Типы условных элементов. Правила являются основным способом представления знаний в CLIPS. Для задания правил используется конструкция defrule со следующим си...
8117. Понятие экспертной системы. Основные особенности, архитектура и классификация ЭС. Этапы разработки и стадии жизненного цикла ЭС 69 KB
  Понятие экспертной системы. Основные особенности, архитектура и классификация ЭС. Этапы разработки и стадии жизненного цикла ЭС. (Конспект) Понятие экспертной системы. Экспертная система (ЭС) - компьютерная система, использующая знания эксперта...
8118. Логический вывод в системе CLIPS. Стратегии разрешения конфликтов 146 KB
  Логический вывод в системеCLIPS. Стратегии разрешения конфликтов. (Конспект) Базовый цикл работы МЛВ в системеCLIPS: 1. Работа МЛВ останавливается, если достигнут предел активации правил или нет текущего фокуса. В противном случае, для в...