4821

Геометрия Лобачевского. Геометрия кривых поверхностей

Доклад

Математика и математический анализ

Геометрия Лобачевского. Н.И. Лобачевскийв 1826г. впервые построил и развил одну из возможных геометрий, где аксиома (А) не имеет места. Геометрия Лобачевского основывается на тех же аксиомах, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о парал...

Русский

2012-11-27

31.5 KB

12 чел.

Геометрия Лобачевского.

Н.И. Лобачевскийв 1826г. впервые построил и развил одну из возможных геометрий, где аксиома (А) не имеет места. Геометрия Лобачевского основывается на тех же аксиомах, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется противоположным утверждением- аксиомой Лобачевского:

Через точку вне прямой в данной плоскости можно провести хотя бы 2 прямые, не пересикающие данную прямую.

Мы видели, что вопрос о том, какая геометрия –Евклида или Лобачевского- точнее описывает мир световых лучей, решается не так уж просто, хотя аксиома Лобачевского и не кажется такой парадоксальной на первый взгляд. Огромной заслугой Лобачевского было то, что он поставил этот вопрос. Но его идеи были столь необычны, что современники их не понимали.

Геометрия кривых поверхностей.

Многое в геометрии Лобачевского стало яснее, когда учёные хорошоознакомились с геометрией кривых поверхностей. Чтобы пояснить в чем тут дело надо рассмотреть геометрию на шаре. Было время когда люди думали, что земля плоская. Позже, наблюдая за кораблями, уходящими за горозонт, они пришли к выводу о шарообразности земли. Но для этого им пришлось рассматривать предметы (корабли), имеющие определённую высоту, поднимающиеся над поверхностью Земли. Возникает вопрос, нельзя ли убедиться в шарообразности Земли, проводя измерения непосредственно над земной поверхностью и не рассматривая предметов , распо-

ложенных над поверхностью Земли.

Конечно, это легко сделать- ведь если двигаться по Земле в одном и том же направлении, то в конце концов мы вернёмся на то же место, откуда вышли. Но для такой проверки нужно сделать целое кругосветное путешествие. А нельзя ли убедиться в шарообразности Земли, оставаясь на время на небольшом участке , скажем на острове ? оказывается, возможно. Для этого надо измерять геометрические фигуры на поверхности Земли. Возьмем на этой поверхности 2 точки-А и В. эти точки можно соединить самыми различными линиями. Не покидая нашего острова. Среди всех линий, соединяющих точки А и В, будет одна, имеющая самую маленькую длину. Мы, знающие, что Земля шарообразная, можем сказать , что эта линия – это дуга большого круга, соединяющая точки А и В. А вот человек , живущий на острове и не знающий о шарообразности Земли, назовет эту линию прямой , соединяющей точки А и В. после этого он возьмёт 3 точки А, В, С и измерит углы треугольника АВС . Если остров очень маленький и точность его инструментов тоже мала, то он получит, что сумма углов этого треугольника равна 180. Совсем другой результат получится, если остов велик или инструменты у жителя этого острова очень точны.

  Чтобы понять в чём дело, рассмотрим такие три точки: за точку А выберем Северный полис, за точку В пересечение экватора с нулевым меридианом и за точку С- пересечение экватора с меридианом, имеющим долготу 90.если вы возьмёте эти 3 точки на глобусе, то сразу увидите, что все3 угла треугольника АВС равны 90. Но ведь тогда сумма всех углов этого треугольника равна 270. Можно доказать, что у любого треугольника на поверхности шара сумма углов больше, чем 180, и этот избыток тем больше, чем больше площадь треугольника ( потому-то для маленьких треугольников сумма углов равна почти 180).

  Таким образом, точно измеряя углы большого треугольника, можно убедиться, что мы живём не на плоскости, а на искривлённой поверхности. С помощью ещё более точных измерений можно получить представление и о форме поверхности.

  Измерения , проведённые на шаре, можно проводить на любой другой поверхности. На любой поверхности есть линии, соединяющие 2 точки и имеющие меньшую длину, чем все остальные линии, соединяющие эти точки. Такие линии называют геодезическими. Измеряя углы треугольников, образованных геодезическими линиями, можно судить о степени искривлённости поверхности. У некоторых кривых поверхностях ( таких, как шар, эллипсиод) эта сумма получается больше180. У других, например у седла,- больше 180. А есть поверхности, у которых в некоторых местах получается больше180, а в других- меньше180, тем сильнее искревлён измеряемыё треугольник. Есть такая поверхность( её называют псевдосферой), на которой геодезические линии ведут себя так же, как прямые на плоскости Лобачевского.

      Известный немецкий ученый Б.РИМАН ввёл очень важное понятие, показав, что можно рассматривать не только искривлённые поверхности, но и искревлённые пространства. Искревлённое пространство очень трудно себе представить- ведь когдо мы говорим о кривой поверхности, то представляем себе эту поверхность лежащей  на каком-то пространстве. А где же лежит кривое пространство? Дело в том, что в искревленности поверхности можно убедиться, не выходя за её пределы, а измеряя углы в треугольниках на этой поверхности. Точно так же пространство следует считать искривлённым , если сумма углов треугольника, взятом в этом пространстве, отличается от 180.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23698. Волейбол 60.5 KB
  Руки за головою спина рівно Руки на колінах 6. ноги на ширині плечей руки на поясі 14 кругові оберти голови праворуч 14 те саме ліворуч; 2 рази Темп виконання повільний 2 В. ноги на ширині плечей руки на поясі 12 нахил голови вперед 34 нахил голови назад; 2 рази Темп виконання повільний 3 В. Руки перед грудьми в замок зігнуті .
23699. Волейбол. Урок 39 KB
  Завдання уроку: Історія виникнення сучасного волейболу Продовжувати вивчати передачу м'яча знизу та зверху. Інвентар для практичної частини уроку: свисток секундомір волейбольні мячі. Хід уроку.
23700. Волейбол. Систематические занятия физической культурой и спортом 58 KB
  Задачи: Повторить технику передачи мяча сверху и верхней прямой подачи. Совершенствовать технику приема мяча снизу двумя руками. Инвентарь: волейбольные мячи на пару игроков 1 мяч малые мячи на каждого ученика волейбольная сетка 46 обручей таблицы с заданиями 23 стула секундомер свисток. ОРУ с малыми мячами.
23701. Права ребенка 94.5 KB
  Перечень с надписями прав ребенка: Право на жизнь. Право на имя при рождении. Право на медицинскую помощь. Право на образование.
23702. Международное экологическое право 56.5 KB
  басня Крылова Лебедь рак и щука карта мира выставка литературы по теме Международное сотрудничество в области охраны окружающей среды. Нормативные документы: Конституция РФ Федеральный закон РФ Об охране окружающей среды Указ Президента РФ О государственной стратегии РФ по охране окружающей среды и обеспечению устойчивого развития Рамочная Конвенция ООН об изменении климата Международное соглашение Киотский протокол к Рамочной конвенции ООН об изменении климата. Наше поколение стало свидетелем драматических событий...
23703. Программирование на языке Паскаль 67 KB
  На каждый теоретический слайд не более трёх минут. На слайды с заданиями от пяти до семи минут. Рассказываю слайд и отмечаю что язык низшего уровня состоит из нулей и единиц. Обсуждаем слайд и немного конспектируем.
23704. Линейные программы и арифметические действия 56.5 KB
  Развитие мышления фантазии памяти внимания и познавательных интересов; Оборудование урока: Компьютерный класс Интерактивная доска Ход урока: 1. Повторение материала предыдущего урока. Организационный момент Приветствие учеников Объявление темы целей и плана урока.
23705. Решение задач на сложные линейные программы 75.5 KB
  program my; var xyy1: integer; begin x:=3; y:=absxsqrsqrx; x:=3; y1:=absxsqrsqrx; writeln y; writeln y1; end. program my; var abc: integer; begin reada; b:=2012; c:=ba; writeln 'ваш примерный возраст 'c; end. program...
23706. Основы языка SQL 75.97 KB
  Баумана Кафедра САПР Основы языка SQL Федорук В.ru 2636526 АННОТАЦИЯ Данное учебное пособие предназначено для изучения основ языка SQL стандартного языка манипулирования данными в СУБД реализующих реляционную модель данных. Описывается синтаксис наиболее употребимых операторов языка SQL приводятся примеры. Учебная база данных реализована в среде СУБД mySQL средства доступа к ней встроены в учебное пособие.