48219

ТЕОРІЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

Конспект

Физика

Теорія та розрахунок трифазних лінійних кіл На попередніх лекціях ми розглядали кола однофазного змінного струму а саме такі кола в яких кожне джерело енергії створює лише одну синусоїдну ЕРС. Але на практиці основна кількість електричної енергії генерується і споживається в формі трифазного струму. Шестифазні струми використовуються при перетворенні змінного струму в постійний. Позитивний напрям фазних ЕРС приймаємо від кінця обмотки до початку напруги – від початку до кінця а позитивний напрям струму співпадає з позитивним напрямом...

Украинкский

2013-12-08

4.42 MB

16 чел.

PAGE  91

ТЕОРІЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ. ЧАСТИНА ІІ

ТЕМА №6. Теорія та розрахунок трифазних лінійних кіл

На попередніх лекціях ми розглядали кола однофазного змінного струму, а саме такі кола, в яких кожне джерело енергії створює лише одну синусоїдну ЕРС. Але на практиці основна кількість електричної енергії генерується і споживається в формі трифазного струму.

6.1. Поняття про трифазні системи ЕРС, струмів та напруг

Трифазною системою ЕРС (струмів, напруг) називають сукупність трьох ЕРС однієї частоти, зсунутих одна відносно другої по фазі на 120о:

e1 = Em1 sin ωt,

e2 = Em2 sin (ωt - 120о),

e3= Em3 sin (ωt - 240о).

Крім трифазної бувають дво-, шести-, і багатофазні системи ЕРС.

Двофазний струм використовується для живлення надпотужних асинхронних двигунів у системах автоматики. Шестифазні струми використовуються при перетворенні змінного струму в постійний.

Трифазні кола у порівнянні з однофазними мають такі переваги:

- забезпечують економію металу проводів (до 25%),

- дають можливість використовувати прості асинхронні двигуни.

Засновником трифазної системи є російський вчений М.О.Доліво-Добровольський. Він у 1889р. винайшов і розробив всі головні елементи трифазної системи електрозабезпечення: генератор, трансформатор, асинхронний двигун, трифазну лінію електропередач. В 1891р. він вперше виконав передачу електричної енергії трифазним током на відстань 175 кілометрів.

6.2. Принцип роботи трифазних джерел електричної енергії

Раніше ми показали, що синусоїдну ЕРС можна одержати, якщо в однорідному магнітному полі обертати виток з сталою кутовою швидкістю ω проти годинникової стрілки.

Розмістимо тепер в магнітному полі постійного магніту три котушки, зсунуті в просторі одна відносно іншої на кут 1200. Будемо їх обертати з постійною кутовою швидкістю ω проти годинникової стрілки (рис. 6.1).

Позначимо літерами А, В, С початки котушок, а літерами x, y, z – їх кінці.

При обертанні у кожній котушці буде наводитись ЕРС:

А-x: – eА = EmA sin ωt, ψeA=0.

В комплексній формі:  ЕАА.

В-y: – eВ = E sin (ωt - 120о), ψ= - 1200.

   ЕВВ е-j120°.

С-z: – eС = E sin (ωt - 240о), ψ= - 2400.

   ЕСС е-j240°.

Кожну з трьох котушок називають “фазою:” фаза А; фаза В; фаза С.

Таким чином, в електротехніці термін фаза використовується в двох випадках:

фаза – як стадія періодичного процесу,

фаза – як відокремлене коло трифазної або багатофазної системи.

На практиці частіше використовуються симетричні трифазні системи ЕРС.

Симетричною трифазною системою ЕРС називають систему трьох ЕРС, амплітуди яких рівні та зсунуті одна відносно одної на 120о (2π/3), тобто:

  1.  ЕmA = ЕmB = ЕmCm,
  2.  ψеА – ψеВ = ψеВ – ψеС = ψеС – ψеА=1200.  (6.1)

Зобразимо часову та векторну діаграми симетричної трифазної системи ЕРС (рис. 6.2).

З діаграми бачимо, що для симетричної трифазної системи ЕРС

еА + еВ + еС = 0,

або  ЕА + ЕВ + ЕС = ЕА+ ЕА е-j120°+ ЕА е-j240°= ЕА(1+ е-j120°+ е-j240°).

Позначимо  а = еj120° – оператор обертання на 120о, а2 = еj240° – оператор обертання на 240о, тоді:

а = еj120° = е-j240° = cos1200+j sin1200 = - 0,5 + j/2;

а2  = еj240° = е-j120° = cos1200-j sin1200 = - 0,5 - j/2;

З урахуванням цього маємо:

ЕА(1+ е-j120°+ е-j240°)=ЕА(1 + а2 + а)=ЕА (1 - 0,5 - j/2 – 0,5 + j/2) = 0.

Таким чином, для симетричної системи ЕРС повинні завжди виконуватись умови (6.1).

Якщо не виконується хоча б одна умова, системи ЕРС (струмів або напруг) є несиметричні.

Якщо вектори симетричної трифазної системи ЕРС обертаються проти годинникової стрілки з кутовою швидкістю ω, то вони проходять через вісь уявних чисел в наступному порядку: Е → Е→ Е, або в порядку чередування фаз: А → В → С. Такий порядок чередування називається прямою послідовністю фаз. Якщо замінити місцями будь-які дві фази, то одержимо обернену послідовність фаз: А → С → В.

На практиці для одержання трифазної системи ЕРС використовують синхронні трифазні генератори, які складаються із нерухомої частини - статора і рухомої – ротора. На статорі розміщаються обмотки фаз А, В, С. На літальних апаратах використовуються синхронні трифазні генератори потужністю 7,5…120 кВА, напругою 200/115 В, частотою 400…900 Гц.

6.3. З’єднання обмоток генератора та фаз приймача зіркою

Розглянемо трифазну симетричну систему ЕРС, кожна обмотка якої є самостійне джерело електричної енергії. Ввімкнемо до затискачів кожної обмотки свій приймач.

За додатній напрямок ЕРС приймаємо напрям від кінця обмотки до її початку.

Трифазні кола, в яких окремі фази не мають електричного з’єднання, називають незв’язаними, або незалежними. Така система неекономічна, має шість проводів і на практиці використовується дуже рідко (рис. 6.3).

Кількість проводів можна зменшити, якщо три зворотні проводи з’єднати в один.

Якщо кінці обмоток генератора x, y, z з’єднати в одну точку N, а кінці приймача – в точку n, то одержимо чотирипроводове з’єднання трифазного кола зіркою. Умовне позначення:   .

Точки N та n називаються нульовими або нейтральними. Провід, що з’єднує точки N та n, називається нейтральним. Якщо нейтральний провід заземляється, то він називається нульовим. На літальних апаратах роль нейтрального проводу виконує корпус літака.

ІN струм в нейтральному проводі. 

Провід, що з’єднує генератор з приймачем, називається лінійним. Струми, що протікають в цих проводах, також  називаються лінійними:

ΙА, ΙВ, ΙС – лінійні струми ΙЛ.

Струми, що протікають в фазах генератора чи приймача, називаються фазними: – ΙФ. Для з’єднання зіркою ΙЛ = ΙФ.

Напруги на затискачах фаз генератора або приймача називають фазними напругами:

UА, UВ, UС – фазні напруги генератора UФ,

UА', UВ', UС' – фазні напруги приймача Uф'.

Напруги між лінійними проводами називаються лінійними:

UАВ , UВС , UСАлінійні напруги UЛ.

Для чотирипроводового з’єднання трифазного кола зіркою завжди справедливо:

ΙЛ = ΙФ,    ІN= ΙА+ ΙВ+ ΙС.

Встановимо зв’язок між фазними та лінійними напругами. Для цього на комплексній площині побудуємо векторну діаграму напруг.(рис. 6.5).

Для кращого сприйняття векторної діаграми розвернемо комплексну площину на 900, а вектори напруг – на 1800. Математичні залежності при цьому зберігаються незмінними.

В цьому випадку UА = U;  UВ = Uе-j120° ;  UС = Uе-j240°.

З векторної діаграми маємо:

UАВ =UА - UВ;     UВС =UВ - UС;      UСА = UС  - UА.   (6.2)

Рівняння (6.2) описують аналітичний зв'язок між UЛ. та UФ .

З векторної діаграми бачимо, що завжди

UАВ + UВС + UСА = 0.

Ця рівність застосовується для перевірки правильності розрахунку кола.

Одержимо чисельне співвідношення між лінійними та фазними напругами для симетричної трифазної системи напруг:

UАВ = UА - UВ = UФ - UФ е-j120° = UФ (1 - е-j120°) = UФ (1 + 0,5 + j/2) =

=UФ (3/2 + j/2) = UФ(/2 + j 0,5) = UФ(cos300+j sin300) =

= UФ е j30° = Uл е UAB.

Звідси    UЛ = UФ,   ψUАВ = 300.

Таким чином. в трифазному колі, з’єднаним зіркою, при симетричній системі фазних напруг лінійні напруги в  разів більші за фазні. Векторна діаграма лінійних напруг випереджає векторну діаграму фазних напруг на кут 300.

Отже, для чотирипроводового з’єднання трифазного кола зіркою справедливо:

ΙЛ = ΙФ;  ІN = ΙА+ ΙВ+ ΙС ;  UЛ = UФ.

Промислові значення напруг:

UФ = 127 В, UЛ = 220 В;

UФ = 220 В, UЛ = 380 В.

Трифазні напруги літакової мережі:

- для генератора:  UФ = 120 В,  UЛ = 208 В;

- для приймача:  UФ = 115 В,  UЛ = 200 В.

При розрахунку трифазного кола за додатній напрямок лінійних струмів, звичайно, вибирають напрямок від генератора до приймача. Згідно з цим вибирають і додатній напрямок напруг.

6.4. З’єднання обмоток генератора і фаз приймача трикутником

Якщо в незв’язаному трифазному колі з’єднати точки A і z, B і x, C і y фаз генератора, а фази приймача з’єднати в замкнутий контур, то одержимо трипроводове трифазне коло, з’єднане трикутником (рис.6.6). Умовне
позначення: Δ-Δ.

При симетричній системі фазних ЕРС і правильному їх з’єднанні завжди виконується умова:

EAB+EBC+ECA=0.

Якщо з’єднати обмотки генератора трикутником при несиметричній системі трифазних ЕРС то може статися коротке замикання.

При з’єднанні трикутником мають місце фазні і лінійні напруги та струми:

EAB,  EBC,  ECA – фазні ЕРС генератора Еф;

IA; IB; IC.– лінійні струми ІЛ, які протікають в лінійних проводах;

IAB ;IBC; ICAфазні струми Іф, які протікають в фазах генератора та приймача;

UAB,  UBC,  UCA – фазні напруги генератора Uф;

UA'B'; UB'C'; UC'A' - фазні напруги приймача U'ф.

Позитивний напрям фазних ЕРС приймаємо від кінця обмотки до початку, напруги – від початку до кінця, а позитивний напрям струму співпадає з позитивним напрямом напруги.

Із електричної схеми видно, що при з’єднанні трифазного кола трикутником  Uф = UЛ.

Встановимо зв’язок між фазними та лінійними струмами. Для цього скористаємося рівняннями за першим законом Кірхгофа для вузлів A', B', C':

вузол A':→ IA -IAB +IAC=0  IA=IAB -ICA;

вузол B':→ IB +IAB -IBC=0  IB=IBC -IAB;         IA+ІВ+ІС=0.

вузол C': IC +IBC -ICA=0  IC=ICA -IBC.

Для трифазного кола, з’єднаного трикутником, завжди виконується рівність: IA+IB+IC=0, і тому вона використовується для перевірки правильності розрахунку кола.

Побудуємо векторну діаграму струмів для симетричної трифазної системи (рис. 6.7).

Симетричною називається система, коли струми рівні по величині і зсунуті на кут 120.

Послідовність побудови:

1. Зображаємо комплексну площину.

2. Будуємо векторну діаграму фазних струмів, при цьому струм IAB відкладаємо по осі дійсних чисел, а інші – під кутом ±1200 від нього: IAB=IФ; IBC =IФ е-j120;  ICA=IФ еj120.

3. Будуємо векторну діаграму лінійних струмів, для цього достатньо з’єднати вершини А, В, С. Струми ІА, IB;  IC  рівні.

Чисельне співвідношення між IФ та IЛ таке ж, як між UФ та UЛ для з’єднання зіркою:  IЛ =Iф.

Отже, для трипроводового з’єднання трифазного кола трикутником справедливо:

UЛ = UФ ;   IЛ =Iф.

6.5. Потужності в трифазних колах

В загальному випадку потужності в трифазному колі (миттєва, активна, реактивна, повна) знаходяться як суми відповідних потужностей окремих фаз.

Визначимо потужності в симетричному трифазному колі.

Трифазне коло, в якому трифазне джерело енергії симетричне, а комплексні опори фаз приймача однакові, називається симетричним, тобто:

  1.  ЕA = ЕB = ЕC ;  ψеА – ψеВ = ψеВ – ψеС = ψеС – ψеА=1200;
  2.  ZA = ZВ = ZС =Z e ф.

Миттєва потужність трифазного кола дорівнює сумі миттєвих потужностей, що споживаються кожною фазою.

Нехай:  uA= Um.ф sinωt, ψu=0;

iA= Im.ф sin(ωt- φф), ψі = ψu - φф =- φф.

p = рА В С = uA iA+ uB iB+ uC iC= Um.ф sinωt Im.ф sin(ωt-φф) +

+ Um.ф sin(ωt-120) Im.ф sin(ωt-φф-120) + Um.ф sin(ωt-240) Im.ф sin(ωt-φф-240).

Враховуючи, що

sinα sinβ=1/2[cos(α-β)-cos(α+β)];  Um.ф Im.ф=2 U I,

отримаємо:

p=Uф Iф [cosφф- cos(2ωt-φф)+ cosφф- cos(2ωt-φф-240) +

+cosφф- cos(2ωt-φф- 480)] =3UфIф cosφф ,

так, як сума трьох косинусоїд, зсунутих одна відносно іншої на ±240 (чи на ±1200) рівна нулю.

Отже   р = 3Uф Iф cosφф = P = const,

тобто, миттєва потужність постійна, не залежить від часу і дорівнює активній потужності кола.

Трифазні кола, в яких миттєва потужність не залежить від часу, називаються врівноваженими. Це значить, що коли навантаженням є двигун, то обертаючий момент на валу двигуна буде сталим.

Активна потужність:

P = РА В С =3Рф =3Rф І2Ф =3 Uф Iф cosφф

Виразимо активну потужність через лінійний струм та напругу.

При з’єднанні зіркою  Iф=Iл; Uл=Uф; Uф=Uл /,

при з’єднанні трикутником Uф=Uл; Iл=Iф; Iф=Iл /.

Тому завжди  P=3Uф Iф cosφф= Uл Iл cosφф ,

де  φф –зсув фаз між напругою та струмом у фазах споживача.

Реактивна потужність:

Q = QА +QВ +QС =3Qф =3Xф І2Ф =3 Uф Iф sinφф =Uл Iл sinφф.

Повна потужність:

S = SА +SВ +SС =3Sф =3Zф І2Ф =3 Uф Iф =Uл Iл =

Активну потужність в симетричному трифазному колі можна виміряти одним ватметром в одній із фаз, помноживши його вимір на три.

Для несиметричного трифазного кола миттєва потужність не є величиною постійною:

p = рА В С = uA iA+ uB iB+ uC iC = f(t).

Така трифазна система називається неврівноваженою.

В цьому випадку потужності дорівнюватимуть:

  1.  P=PA+PB+PC=UAIA cosφA+ UBIB cosφB + UCIC cosφC=RAIA2 + +RBIB2 + RCIC2.

  1.  Q=QA+QB+QC= UAIA sinφA+ UBIB sinφB+ UCIC sinφC= XAIA2+ +XBIB2+ XCIC2.

  1.  S=UA I*А+ UB I*B+ UC I*C =P+jQ.

Враховуючи, що для трифазного трипроводового кола

I*A+I*B+I*C = 0,  то  I*C= -I*A - I*B = 0, тоді:

S= UA I*A+ UB I*B - UC I*A - UC I*B=I*A (UA -UC )+I*B (UB -UC ) =

= UAC  I*A+ UBC  I*B=P + j Q.

Отже  S= UAC I*A+ UBC I*B=P+jQ.

Звідси визначимо активну потужність:

S= UAC ejφuAC IA e-jφA+UBC ejφuBC IВ e-jφB= UAC IA ej(φuAC- φA) +

+ UBC IB ej(φuBC- φB) = UAC IA cos(φuAC  A) + UBC IB cos(φuBC - φB)+

+j(UAC IA sin(φuAC  - φA) + UBC IB sin(φuBC B))= P+jQ.

P = UAC  IA cos(φuAC - φA) + UBC  IB cos(φuBC  - φB),

де  UAC = U,  φuAC = φu±1800,  

(UAC = - U).

Тобто, для вимірювання активної потужності
в трипр
оводовому несиметричному трифазному колі можна використовувати два ватметра, ввімкнуті за схемою, приведеною на рис. 6.8.

6.6. Розрахунок симетричних трифазних кіл

Трифазне коло є складним електричним колом, тому для його розрахунку застосовуються всі відомі методи розрахунку складних кіл синусоїдного струму (рівнянь Кірхгофа, контурних струмів, вузлових потенціалів тощо).

Метою розрахунку трифазного кола є визначення фазних та лінійних струмів і напруг, а також потужностей споживачів за відомими напругою генератора та опорами фаз споживачів.

На практиці зустрічаються симетричні трифазні кола і несиметричні.

Симетричним трифазним колом називається коло, в якому ЕРС генератора створюють симетричну систему, а комплексний опір всіх фаз споживача однаковий.

І. Розрахунок симетричного трифазного кола, з’єднаного зіркою (рис. 6.9).

Позначимо позитивні напрями ЕРС, напруг та струмів.

Дано:

1. UA= UB=UC ;  ψuА – ψuВ = ψuВ – ψuС = ψuС – ψuА=1200;

2. ZA= ZB= ZC= Z= Z e  – навантаження рівномірне

Визначити   IA;  IB;  IC.

I випадок:   ZЛ = ZN = 0.

Тоді:   UA= U'A ;  UB= U'B ;  UC= U'C ,

а струми дорівнюють:

IA=UA /Z; IB=UB /Z=(UA /Z)e-j120°°=ІАe-j120°; IC=UC /Z=(UA /Z)e-j240°=ІА e-j240°.

Тобто, при симетричному режимі достатньо розрахувати струм в одній фазі. Струми в двох інших будуть рівні першому, але зсунуті по фазі на -120 та -240 відповідно.

Струм в нейтральному проводі буде дорівнювати:

IN = IA+ IB+IC =(1+e-j120°+e-j240°) IA =0.

Таким чином, при симетричному режимі роботи трифазного кола струм в нейтральному проводі дорівнює нулю. Але нейтральний провід необхідний для зменшення впливу однієї фази на інші при появі несиметричного навантаження.

Побудуємо векторну діаграму напруг та струмів (рис. 6.10).

1. Будуємо векторну діаграму напруг генератора UA, UB, UC. Напругу UA відкладаємо по осі дійсних чисел, а інші – під кутом ±1200 від неї.

2. Будуємо векторну діаграму струмів IA, IB, IC, яка утворює симетричну систему, що зсунута відносно напруг на кут φ:   ZA= ZB= ZC= Z e .

ΙΙ випадок:   ZЛ ≠0,  ZN = 0.

За другим законом Кірхгофа для контуру І маємо (рис. 6.9):

UA=U'A+ΔUA,  де  U'A=ІА ZA;  ΔUA= ІА ZЛ,  тому  UA= ІА (ZA+ ZЛ).

Звідси    IA= UA /(ZЛ+ZA).

Аналогічно для інших фаз:

IB= UВ  /(ZЛ+ZВ )=UA e-j120/(ZЛ+ZB );

IC= UС  /(ZЛ+ZС )=UA e-j240/(ZЛ+ZC ).

Побудуємо векторну діаграму (рис. 6.11).

Послідовність побудови.

1. Будуємо векторну діаграму фазних і лінійних напруг генератора: UA, UB, UC; UAB, UBC, UCA .

2. Будуємо векторну діаграму фазних і лінійних напруг споживача: U'A, U'B, U'C; U'AВ , U'BС , U'.

3. З’єднуємо точки
A і A'; B і B'; C і C' і отримуємо спади напруг на
ZЛ.

ІІ. Розрахунок симетричного трифазного кола, в якому генератор з’єднаний зіркою, а споживач трикутником.

I випадок:   ZЛ = 0.

Визначимо лінійні напруги:

UAB= UA - UB  ; UBC = UB - UC ; UCA = UC - UA.

UA’B’= UAB ; UB’C’= UBC  ;  UC’A’= UCA.

Визначимо струми в фазах споживача:

IAB = UA’B’ /ZAB;   IBC = UB’C’ /ZBC;   ICA= UC’A’ /ZCA.

Визначимо лінійні струми:

IA= IAB - IСA;   IB= IBC - IAB;   IC= ICAIBC.

II випадок:  ZЛ ≠ 0.

Якщо опором лінії знехтувати неможливо, необхідно перейти від трикутника до еквівалентної зірки:

ZA=(ZAB ZCA) /(ZAB+ ZBC+ ZCA);

ZB=(ZBC ZAB) /(ZAB+ ZBC+ ZCA);

ZC=(ZBC ZCA) /(ZAB+ ZBC+ ZCA).

Якщо  ZAB = ZBC = ZCA = Z,  то  ZA = ZB = ZC = Z /3.

Одержали симетричне трифазне коло, з’єднане зіркою, розрахунок яких розглянуто раніше.

6.7. Розрахунок несиметричних трифазних кіл, з’єднаних зіркою, з нульовим та без нульового проводу

І. Розглянемо трифазне коло, з’єднане зіркою, з нейтральним проводом (рис. 6.13).

Відомо:  UA = UB = UC   фазні напруги генератора,

  ZN – комплексний опір нейтрального дроту.

  ZAZBZC – комплексні опори фаз несиметричного споживача.

Визначимо: IA; IB ; IC  –  лінійні (фазні) струми.

Струми в фазах приймача можна визначити за формулами:

, ,

Визначимо напругу на фазі А приймача. Для цього складемо рівняння

за II законом Кірхгофа для контуру І:

- UA + UA' + UN = 0,

звідси

UA' = UAUN.

Аналогічно можемо визначити напруги на фазах В і С приймача:

UB' = UBUN ,   UC' = UC UN.

Визначимо напругу між нейтральними точками UN, для цього скористаємося методом вузлових потенціалів. Нехай VN = 0, тоді UN =Vn.

,     (6.3)

де

;  ;  ;  .

Таким чином, порядок розрахунку несиметричного трифазного кола, з’єднаного зіркою, з нульовим проводом зводиться до наступного:

  1.  Визначаємо UN .
  2.  Визначаємо напругу на фазах приймача

UA' = UA UN, UB' = UB UN , UC' = UCUN..

  1.  Визначаємо струми в фазах приймача

, , .

Струм в нейтральному проводі буде дорівнювати:

IN' = IA + IB + IC,  або .

Наявність напруги між нейтральними точками UN  визиває зміщення на векторній діаграмі нейтральної точки приймача n відносно нейтральної точки генератора N.

Побудуємо векторну діаграму (рис. 6.14).

Порядок побудови:

1. Будуємо фазні та лінійні напруги генератора.

2. Будуємо вектор напруги UN,, отримуємо
точку
n.

3. Будуємо фазні напруги приймача.

4. Будуємо векторну діаграму струмів.

ІІ. Розглянемо трифазне коло з’єднане зіркою без нейтрального проводу (рис.6.15).

В цьому випадку   Zn → ∞, а  .

Тоді     .

Далі розрахунок кола проводимо по знайомій методиці.

Проаналізуємо вираз (6.3) для UN.

1) Хай  Zn = 0, тоді  Yn → ∞,  а  UN  = 0

Тому  U'A = UAUN = UA,  U'B = UB, U'C = UC.

Тобто, напруга на фазах приймача дорівнює напрузі на фазах генератора.

Струми будуть дорівнювати:

, , .

Таким чином, при зміні опору в одній із фаз струми в двох інших фазах змінюватися не будуть.

Трифазне коло “зірка з нульовим проводом” забезпечує незалежну роботу фаз.

2) Хай  Zn0,  тоді і UN   0.

Тому при зміні опору в одній із фаз буде змінюватись UN, а також фазні напруги на приймачі (U'A = UAUN ), а це приведе до зміни струмів в інших фазах.

Таким чином, трифазне коло з Zn0, і особливо коло без нульового проводу, не забезпечує незалежну роботу фаз.

6.8. Розрахунок несиметричного трифазного кола, з’єднаного трикутником

Розглянемо трифазне коло, з’єднане трикутником (рис. 6.16).

Відомо:  UA, UВ, UС  – фазні напруги генератора;

ZЛ – опір лінійного дроту;

ZАВZВСZСА – опір фаз приймача.

Визначимо фазні та лінійні струми.

Нехай обмотки генератора з’єднані зіркою, тоді

UAB = UAUB;  UBC  = UBUC;  UCA  = UCUA.

 1) Якщо ZЛ = 0, то напруга на фазах генератора дорівнюють напрузі на фазах приймача, а фазні струми будуть:

, , .

2) Якщо ZЛ ≠ 0, то фазні напруги приймача будуть невідомі. Для їх визначення необхідно трикутник перетворити в еквівалентну зірку (рис. 6.17)

,  ,  .

Тоді опір в кожній фазі буде дорівнювати:

;  ;  ;

.

Визначимо напругу між нейтральними точками

.

Визначимо напругу на фазах приймача з урахуванням ZЛ

, , .

Визначимо лінійні струми

 

Перевірка:  IA+IB+IC= 0.

Визначимо спади напруги на лінійних проводах та на фазах еквівалентної зірки

   

Визначаємо напругу на фазах приймача, з’єднаного трикутником

, , .

Перевірка:  .

Визначимо струми в фазах приймача вихідної схеми

,  ,  .

Будуємо векторну діаграму (рис. 6.18).

Порядок побудови:

1. Будуємо векторну діаграму фазних та лінійних напруг генератора UA, UB, UC ; UAB, UBC,  UCA.

2. Будуємо вектор напруги між нейтральними точками UN.

3. Будуємо фазні напруги приймача (з урахуванням опору лінії ZЛ ) U"A; U"B; U"C.

4. Будуємо фазні напруги еквівалентної зірки U'A'; U'B'; U'C'.

5. Будуємо фазні напруги вихідного трикутника UA'B'; UB'С'; UC'А'.

  1.  Будуємо спади напруги на опорах лінійних проводів UA; ∆UB; ∆UC.


Приклади розрахунку трифазних електричних кіл

Задача № 1

До симетричного трифазного генератора с фазовою напругою Uф=100В підключене несиметричне навантаження, з’єднане зіркою (рис. Р6.1,а):
ZА = - j100 Oм,  ZB = ZC =100 Ом.

Визначити струми в фазах споживача та активну напругу. Побудувати топографічну діаграму.

Розв’язок

  1.  Визначимо напругу UN між нейтральними точками споживача та генератора:

.

Візьмемо  UA=100В.

Тоді   UB =100 e-j120° B,  де  е-j120°= - 0.5 – j 0.87,

UC =100 ej120° B, де  еj120°= - 0.5 + j 0.87.

; ;

  1.  Визначимо напругу на фазах споживача:

UA =UA - UN =100 - (-20+j60)=120 - j60 =134 e-j26°34’ B;

UB = UB - UN =100 e-j120°- (-20+j60)= -50 - j87+20 - j60 =

= - 30 - j147= - 150 e+j78°28’ B;

UC=UC - UN =100ej120°- (-20+j60)= -50+j87+20-j60= -30+j27= -40e-j42° B;

  1.  Знайдемо фазові струми

4. Знайдемо споживану активну потужність

PA = 0,

PB = RB I2B =100 (1,5)2=225 Bm,

PC = RC I2C =100 (0,4)2=16 Bm,

P=PB+PC =225+16=241 Bm.

5. Побудуємо топографічну діаграму (рис. Р6.1,б).

Бачимо, що напруги на фазах В та С споживача сильно відрізняються між собою, хоча опори цих фаз однакові.

Задача № 2

Симетричний трифазний приймач з комплексним опором фаз
Z=40+j30 Ом, з’єднаний трикутником, працює від симетричного генератора (рис. Р6.2,а).

Визначити фазні та лінійні струми, а також активну, реактивну та повну потужності приймача, якщо UA =200 B. Побудувати векторну діаграму струмів.

Розв’язок

1. Так як в колі симетричний режим, то струми в фазах приймача рівні за величиною, але зсунуті по фазі один від одного на 120°.

Визначимо фазний струм: 

.

2. Лінійні струми також створюють симетричну систему струмів і рівні:

.

3. Визначимо потужності:

P=3RI2Ф=3*40*42=1920 Bm;

Q=3XI2Ф=3*30*42=1440 вар;

S=3ZI2Ф=3*50*42=2400 BA;

4. Побудуємо векторну діаграму струмів (рис. Р6.2,б)

Задача № 3

До трифазного симетричного генератора ввімкнуті 2 споживачі (рис. Р6.3). Визначити струми в лінійних та нульовому проводах, якщо UФ =100В, ZA=10 Ом, ZB=10e-j30° Ом, ZC=10ej30° Ом, ZAB=17,3ej30° Ом, ZBC=17,3e-j90° Ом, ZCA=17,3ej60° Ом.

Розв’язок

  1.  Запишемо в символічній формі фазні та лінійні напруги генератора:

UA=100 B;  UB=100 e-j120° B;  UC =100 ej120° B.

 .

Лінійні та фазні напруги зв’язані залежністю:

UAB =UA - UB = UA - UA e-j120° = UA (1+0,5+/2j)=

=UA (/2+0,5j)= UA e j30°,

аналогічно:  UBС =UВ UС ;  UСА =UС  - UА .

  1.  Знайдемо струми споживача, з’єднаного зіркою:

  1.  Визначимо струм в нульовому проводі: 

IN=IA1+IB1+IC1=10 -j10+j10=10A.

  1.  Знайдемо фазні струми споживача, з’єднаного трикутником:

  1.  Визначимо лінійні струми другого споживача:

IA2=IAB -ICA =10 -j10 A;

IB2=IBC -IAB =10 -10=0;

IC2=ICA -IBC =j10 -10 A.

  1.  Розрахуємо лінійні струми генератора:

IA=IA1+IA2=10+10 -j10 =20 -j10=22.4 e-j26°34’ A;

IB=IB1+IB2= - j10 =10 e-j90° A;

IC=IC1+IC2=j10+j10  10 = - 10+j20 = - 22.4 e-j63°26’ A.


Тема 7. Теорія та розрахунок лінійних кіл несинусоїдного струму

Вступ

На практиці дуже часто застосовуються струми та напруги, які змінюються за несинусоїдним законом: це пилкоподібні та прямокутні імпульси, випрямлена напруга та інші (рис. 7.1).

 

- пилкоподібна напруга (телевізійні

генератори кадрової розгортки);

- прямокутні імпульси

(обчислювальна техніка);

- випрямлена напруга (при

двонапівперідному випрямленні)

Несинусоїдним періодичним сигналом (е, і, и, ф) називається сигнал, миттєве значення якого змінюється за періодичним несинусоїдним законом.

Несинусоїдні струми можуть бути також в електричних колах з синусоїдними ЕРС, якщо в колі є нелінійні елементи R, L, C.

7.1. Несинусоїдні періодичні сигнали, розкладання їх в ряд Фур’є

Аналіз та розрахунок несинусоїдних кіл можна спростити, якщо періодичну несинусоїдну функцію F(ωt), яка задовольняє умову Дірихле (функція обмежена і за період має скінчене число розривів І роду, максимумів і мінімумів), розкласти в тригонометричний ряд (ряд Фур’є або гармонічний ряд) такого вигляду:

F(ωt)=A0+A1 sin(ωt +ψ1)+ A2 sin(2ωt +ψ2)+ A3 sin(3ωt +ψ3)+…=

=A0+Ak sin(kωt +ψk ) – це перша форма запису ряду Фур’є,

де: А0 – постійна складова ряду (середнє значення або нульова гармоніка);

A1 sin(ωt+ψ1) – головна або перша гармоніка, яка змінюється з частотою несинусоїдної функції ω;

Ak sin(kωt+ψk)k-а гармоніка – це вищі гармоніки, які змінюються з частотою ;

Ak, ψk – амплітуда та початкова фаза k-ої гармоніки;

F(ωt) – періодична несинусоїдна функція е, і, и, ф.

Врахуємо, що:

Ak sin(kωt+ψk )= Ak cos ψk sin kωt+Ak sinψk cos kωt =Bk sin kωt +Ck cos kωt,

де  Bk =Ak cosψk;  Ck=Ak sinψk.

Тоді ряд Фур’є запишеться так:

F(ωt)= A0 + Bk sinkωt +Ck coskωt – це друга форма запису ряду Фур’є.

При розрахунку електричних кіл застосовують І або ІІ форми запису ряду Фур’є. Перехід від однієї до іншої форми здійснюється за формулами:

І → ІІ: Bk=Ak cos ψk; Ck=Ak sinψk.

ІІ → І: Ak=; ψk=arctg.

Знак ψk визначається за знаками sinψk і cosψk:

sinψk=,  cosψk=

7.2. Визначення коефіцієнтів ряду Фур’є

Для того, щоб розкласти несинусоїдну функцію в ряд Фур’є, необхідно визначити коефіцієнти Bk, Ck і А0, які являються амплітудами відповідних гармонік.

Коефіцієнти ряду Фур’є можна визначити аналітичним та графоаналітичним методами, або за допомогою спеціальних пристроїв.

Якщо несинусоїдна функція задана аналітично, то для визначення коефіцієнтів застосовують формули Ейлера:

А0 ==;

Bk ==;    (7.1)

Ck ==.

Об’єм роботи по визначенню Bk, Ck і А0 можна зменшити, якщо несинусоїдна функція має якусь симетрію.

7.2.1. Ряди Фур’є симетричних функцій

Функції F(ωt) можуть бути симетричними відносно осей абсцис, ординат і початку координат, що впливає на структуру їх гармонічного ряду.

Функція, симетрична відносно осі абсцис

Для такої функції справедливо:

F(ωt)= -F(ωt+π).

В її ряду Фур’є відсутні нульова і всі парні гармоніки, тобто: А0 = 0;  А= 0,  тому

F(ωt)= sin[(2k-1)ωt+ψ2k-1].

Функція, симетрична відносно осі ординат

Для такої функції виконується умова:

F(ωt)= F(-ωt).

В її ряду Фур’є відсутні синусоїди, тобто ВК=0, тому:

.

Функція, симетрична відносно початку координат

В цьому випадку:

F(ωt)=-F(-ωt),

а гармонічний ряд має тільки синусоїди, тобто А0 = 0 і СК = 0, тому

.

Таким чином, при розкладанні функцій в ряд Фур’є необхідно врахувати їх симетрію, що набагато спрощує процес визначення коефіцієнтів А0, ВК, СК.

7.2.2. Графоаналітичний метод визначення коефіцієнтів ряду Фур’є

Якщо несинусоїдна періодична функція F(ωt) задана у вигляді графіка, то коефіцієнти ряду Фур’є А0, ВК, СК можна визначити графоаналітичним методом.

Період синусоїдної функції поділяють на m рівних ділянок (m=24) і вимірюють відповідні ординати F0, F1, …, Fm. Потім інтеграли в формулі Ейлера (7.1) заміняють наближеною сумою.

При цьому враховуємо, що:

∆(ωt)= ,    ωt = n,    n =1,2…m.

Тоді

А0=,

Вk =,

Сk =,

де  n – порядковий номер ординати (n=1…m),

k  порядковий номер гармоніки (k=1…∞).

Число гармонік, котрі необхідно визначити, залежить від конкретного завдання. Але, взагалі, визначають перші три гармоніки, виконують їх побудову і додають. Якщо результуюча крива мало відрізняється за формою від заданої, то цим і обмежуються. Якщо ж має місце значне розходження кривих, то визначається ще одна гармоніка і т. д.

При побудові гармонік необхідно пам’ятати, що масштаб по осі абсцис для різних гармонік різний, а на інтервалі періоду першої гармоніки повинні розміститися k періодів k-тої гармоніки. Тому при побудові k-тої гармоніки її початкова фаза відкладається рівною

7.3. Діючі та середні значення несинусоїдних періодичних струмів, ЕРС і напруг

Несинусоїдну функцію можна розкласти в ряд Фур’є, який складається з постійної складової, першої гармоніки і вищих гармонік.

Крім того, несинусоїдну функцію можна охарактеризувати ще трьома величинами:

- максимальними значеннями несинусоїдної функції:    imax, umax, emax,

- діючими значеннями несинусоїдної функції: I, U, E;

- середніми значеннями несинусоїдної функції: Iс, Uс, Eс..

Максимальне значення – це найбільше значення несинусоїдної функції за період, позначається символом max.

Взагалі, середні і діючі значення несинусоїдних функцій знаходяться за тими же формулами, що і синусоїдних функцій.

7.3.1. Діючі значення

Діючі значення несинусоїдних функцій знаходяться за формулами:

І =, U =, E =.

Тут  i, u, e – несинусоїдні функції.

Знайдемо вираз для квадрату миттєвого несинусоїдного струму:

i2 =(i0 +i1 +i2 +…+ik +…+in )2 =, (p≠q).

Тоді

I2 =.

Розглянемо окремо другий інтеграл:

Інтеграл від косинусоїдної функції за період дорівнює нулю, через це отримаємо:

Звідси

I =.

Отже, діюче значення несинусоїдного періодичного струму дорівнює кореню квадратному із суми квадратів сталої складової і діючих струмів гармонік.

Аналогічно можна отримати вирази для діючих значень ЕРС і напруг:

; .

7.3.2. Середні значення

Середнє значення несинусоїдного струму – це таке значення постійного струму, при якому за визначений проміжок часу через поперечний переріз провідника проходить стільки ж електрики, скільки і при даному несинусоїдному струмі.

Так як несинусоїдна функція може бути симетрична відносно вісі абсцис, то середнє значення беруть за модулем:

Іс =.

Аналогічно: Uс =, Ес =.

7.4. Коефіцієнти, що характеризують форму несинусоїдних періодичних кривих

Для оцінки форми несинусоїдних кривих користуються такими коефіцієнтами:

1. Коефіцієнт форми – це відношення діючого значення несинусоїдної функції до її середнього значення, взятого за абсолютною величиною

Kф =.

Для синусоїди: Кф =.

2. Коефіцієнт амплітуди – це відношення максимального значення несинусоїдної функції до її діючого значення

Ка =.

Для синусоїди:  Ка =.

3. Коефіцієнт спотворення – це відношення діючого значення першої гармоніки несинусоїдної функції до її діючого значення

Кu =.

Для синусоїди: Ku =.

Крім того, в електронній техніці для оцінки форми кривої струму або напруги користуються коефіцієнтом нелінійних спотворень або коефіцієнтом гармонік

Кг =.

Тобто, це відношення діючого значення всіх вищих гармонік струму до діючого значення головної (першої) гармоніки.

7.5. Потужності в колі несинусоїдного періодичного струму

Активна потужність в колі несинусоїдного періодичного струму визначається за формулою:

Р =  =,

при цьому

u=u0+ u1+ u2+…+ uk+…;

i=i0+ i1+ i2+…+ik +…;

де  u0 =U;  i0 =I – постійні складові;

uk =Ukm sin(kωt+ψuk ), ik =Ikm sin(kωt+ψik ) – гармонічні складові напруги і струму.

Запишемо вираз для миттєвої потужності (p ≠ q):

p= ui= (u0+u1+u2+…+uk+…)(i0+i1+i2+…+ik+…)=U0I0+.

Тоді

Або:  P =U0 I0+ U1 I1 cosψ1+ U2 I2 cosψ2+…+ Uk Ik  cosψk +…=

=P0+P1+P2+…+Pk=R0 I02+ R1 I12+ R2 I22+…=R(I02+ I12+ I12+…)=RI2, 

якщо при цьому нехтувати поверхневим ефектом і вважати, що
R0 = R1 = R2 = Rk =R.

Таким чином, активна потужність в колі несинусоїдного струму дорівнює арифметичній сумі активних потужностей постійної і всіх гармонічних складових струму.

Аналогічно активній потужності під реактивною потужністю будемо розуміти алгебраїчну суму реактивних потужностей, створених однойменними гармоніками напруги та струму:

Q=U1 I1 sin ψ1+ U2 I2 sin ψ2+…+ Uk Ik  sin ψk= Q1+ Q2+…+Qk+…=

=X1 I12+ X2 I22+…+ Xk Ik2+….

Повна потужність, що споживається колом, буде дорівнювати  S = UI,

де  ;  .

Для несинусоїдних струмів  

Це можна пояснити таким чином:

нехай  U0 = 0;  I0 = 0,  тоді

тут  S12 = P12+Q12,  S22 = P22+Q22,  Sk2 = Pk2+Qk2;

– потужність спотворення.

Тоді   

В наближених розрахунках несинусоїдний струм та напругу замінюють еквівалентними синусоїдами.

Еквівалентною синусоїдою струму або напруги називається синусоїда, діюче значення якої дорівнює діючому значенню несинусоїдного струму або напруги.

Зсув фаз між еквівалентними синусоїдами напруги та струму визначається за формулою

.

Заміна несинусоїдних величин еквівалентними синусоїдами дозволяє розрахувати такі кола відомими методами.

7.6. Розрахунок кіл несинусоїдного періодичного струму

Розглянемо електричне коло з послідовним з’єднанням R, L, C.

Поверхневим ефектом нехтуємо.

Нехай до кола прикладена несинусоїдна напруга довільної форми.

Запишемо для даного кола рівняння за ІІ законом Кірхгофа:

u= uR+ uL+ uC =.

Запишемо несинусоїдну напругу у вигляді гармонічного ряду:

Тобто, джерело несинусоїдної напруги можна представити сумою джерел, які генерують постійну напругу U0, а також синусоїдні напруги, які змінюються з кутовою частотою ω, 2ω і т.д.

Тому для розрахунку такого кола можна застосувати принцип накладання, згідно якому миттєве значення струму в колі дорівнює алгебраїчній сумі значень струмів, обумовлених кожною гармонікою напруги окремо:

i=i1+ i2+ i3+….

Тобто, електричне коло треба розраховувати стільки разів, скільки гармонік міститься в несинусоїдній напрузі, прикладеній до кола. Для цього необхідно розраховувати інтегро-диференціальні рівняння для кожної гармоніки напруги:

……………………………………

.

З цих рівнянь визначаємо невідомі величини I1m, φ1, I2m, φ2,…, Ikm, φk
за формулами:

 

Тоді миттєвий струм в колі буде дорівнювати:

i=i0+i1+i2+…+ik+…=І1m sin(ωt+ψu11 )+ І2m sin(2ωt+ψu21 - φ2 )+…+

+ Іkm  sin (kωt+ψuk - φk)+…

Постійна складова струму в колі відсутня, так як коло має конденсатор.

При розрахунку електричних кіл з несинусоїдними ЕРС необхідно пам’ятати, що індуктивний та ємнісний опори для різних гармонік, тобто для різних частот, різні:

XLk=kωL,  тобто збільшується в k раз;

XCk=,  тобто зменшується в k раз.

Тоді

  .

Треба відмітити, що для розрахунку струму кожної гармоніки окремо можна застосувати символічний метод, при цьому:

7.7. Вплив параметрів кола на форму кривої несинусоїдного струму

Визначимо вплив параметрів елементів кола R, L і C на форму несинусоїдного струму.

Нехай до кола прикладена несинусоїдна напруга

Введемо поняття – інтенсивність вищих гармонік – це відношення амплітуди k –ої гармоніки струму (напруги) до амплітуди першої гармоніки струму (напруги).

Тобто:

Нехай несинусоїдна напруга прикладена до кола, яке містить тільки активний опір R (рис. 7.7).

В цьому випадку отримаємо:

Визначимо інтенсивність вищих гармонік:

Таким чином, вищі гармоніки струму, які протікають через активний опір, мають таку ж інтенсивність, що і несинусоїдна напруга на затискачах активного опору, тобто крива струму в активному опорі подібна кривій напрузі на його затискачах.

Отже, активний опір не впливає на форму кривої струму в колі.

Нехай несинусоїдна напруга прикладена до кола, яке містить котушку індуктивності L (рис. 7.8).

В цьому випадку отримаємо:

X1L=ωL;  X2L=ωL;  XkL=kωL;

Визначимо інтенсивність вищих гармонік:

Таким чином, інтенсивність k– тої гармоніки струму в колі з індуктивністю в k раз менше, чим інтенсивність цієї ж гармоніки в кривій напруги.

Тобто, індуктивна котушка зменшує вищі гармоніки в кривій струму, і форма кривої струму не буде подібна формі кривої несинусоїдної напруги на її затискачах.

Нехай несинусоїдна напруга прикладена до кола, яке містить тільки конденсатор С (рис. 7.9).

В цьому випадку отримаємо:

Визначимо інтенсивність вищих гармонік:

Таким чином, інтенсивність k– тої гармоніки струму в колі з конденсатором в k раз більше, чим інтенсивність цієї ж гармоніки в кривій напруги.

Властивість індуктивних і ємнісних елементів кола змінювати форму кривої несинусоїдного струму використовується в зглажувальних фільтрах, які використовуються для зменшення змінної складової струму або напруги генераторів або випрямлячів, що виробляють пульсуючу напругу.

7.8. Поняття про резонансні фільтри

Нехай джерело несинусоїдної напруги підключене до кола з послідовним з’єднанням R, L, C (рис. 7.10).

Якщо змінювати, наприклад, індуктивність 0 ≤ L ≤ ∞, то при деяких значеннях L, в колі буде мати рівність індуктивних та ємнісних опорів

.

В колі будемо спостерігати резонанс напруг на різних частотах при

В цьому випадку діючий струм кожної із гармонік буде змінюватись за резонансною кривою (рис. 7.11).

Резонансні явища в колах з несинусоїдними напругами використовуються в електричних фільтрах.

Електричний фільтр – це пасивне коло, яке складається з L і C і призначене для зміни частотного спектру сигналу, що передається.

За допомогою електричного фільтра можна виділяти (підсилювати) одні гармонічні складові несинусоїдного струму і зменшувати інші гармоніки струму. Зазвичай, електричні фільтри включаються між джерелом та споживачем електричної енергії.

Нехай задане електричне коло ввімкнуте на несинусоїдну напругу (рис. 7.12).

Припустимо, що нам необхідно з кривої струму видалити k– ту гармоніку. Для цього необхідно між джерелом і споживачем включити фільтр k – тої гармоніки по одній із схем рис. 7.13.

Для схеми рис. 7.13,а повинна виконуватися умова , при якій резонансний контур представляє собою нескінченно великий опір для струму k– ої гармоніки. Тому в споживачі цієї складової не буде. В випадку схеми рис. 7.13,б повинна виконуватися умова , при які опір фільтра для струму
k– ої гармоніки дорівнює нулю. Вона буде протікати через гілку з L, C, обминаючи споживач.

Якщо необхідно виділити в споживачі k– ту гармоніку струму, то застосовують наступні схеми (рис. 7.14):

В схемі рис. 7.14,а на резонансній частоті опір контуру L, C мінімальний. Струм k– ої гармоніки підсилюється. Для інших гармонік опір контуру великий.

В випадку схеми рис. 7.14,б на резонансній частоті опір контуру L, C максимальний. Струм k –ої гармоніки іде через споживач. Для інших гармонік опір контуру має малу величину.

Приклади розрахунку електричних кіл несинусоїдного струму

Задача № 1

Визначити показання приладів електромагнітної системи і активну потужність в колі, якщо

, R=4 Oм,  XL=ωL=3 Ом.

Записати вираз для миттєвого значення струму.

Рішення

1. Представляємо джерело несинусоїдної напруги у вигляді послідовного з'єднання джерел з постійною напругою Uо = 60 B та синусоїдних напруг

.

2. Розрахуємо коло, коли в ньому діє тільки джерело з постійною напругою  Uо = 60 B:

3. Розрахуємо коло, коли в ньому діє тільки перша гармоніка :

– знаходимо струм в колі:

де

- визначимо закон зміни напруги на кожному елементі кола:

- обчислимо активну, реактивну і повну потужності, споживані колом:

 

4. Розрахуємо задане коло, коли в ньому діє тільки джерело напруги, що змінюється з подвійною кутовою частотою  :

- знаходимо закон зміни струму кола

де

- визначаємо закон зміни напруги на кожному елементі кола:

- обчислимо активну, реактивну і повну потужності, споживані колом:

 

5. Визначимо:

- миттєве значення струму в колі

- миттєве значення напруги на кожному елементі кола

- діюче значення несинусоїдного струму (показання амперметра)

- показання вольтметра

- активну потужність

- коефіцієнт потужності кола

Задача № 2

Визначити діючі струми в гілках, активну потужність, споживану колом, якщо ,  

Рішення

1. Застосуємо для розрахунку кожної гармоніки струму окремо символічний метод.

2. Розрахуємо коло, коли в ньому діє напруга першої гармоніки:

- знаходимо комплексні напругу першої гармоніки і опори гілок:

- запишемо комплексний опір кола для струму першої гармоніки

=

- знаходимо комплексну амплітуду струму в нерозгалуженій частині кола

- визначимо комплексні амплітуди струмів в кожній гілці

- запишемо вирази для миттєвих значень струмів в гілках

- визначимо активну потужність, споживану колом і кожною гілкою

3. Розрахуємо задане коло при дії в ньому джерела напруги, що змінюється з потрійною кутовою частотою  :

- знаходимо реактивні опори  гілок

,

.

- визначимо комплексні опори гілок і кола

- знаходимо комплексну амплітуду струму третьої гармоніки в нерозгалуженій частині кола і в кожній гілці

- запишемо вирази для миттєвих значень струмів в гілках

- визначимо активну потужність, споживану колом і кожною гілкою

,     ,

,  

4. Обчислимо діючі струми в гілках і активну потужність, споживану колом:


Тема 8. Розрахунок перехідних процесів класичним методом

8.1. Загальні відомості про перехідні процеси в електричних колах з зосередженими параметрами

Сталий режим – це режим електричного кола, при якому струми у всіх гілках і напруги на всіх елементах залишаються постійними, або змінюються за періодичним законом.

Звичайно у електричних колах мають місце процеси переходу від одного сталого режиму до іншого – перехідні процеси.

Перехідним процесом – називається електромагнітний процес, який виникає у електричному колі при переході від одного сталого режиму до іншого.

Причиною виникнення перехідного процесу у електричному колі є зміна параметрів пасивних або активних елементів, а також ввімкнення чи вимкнення елементів кола.

Довільні зміни у електричному колі можна подати у вигляді перемикань, які будемо називати комутаціями.

Комутації можуть виникати під дією людини або автомата, а також як наслідок аварійних випадків – обрив, коротке замикання в електричному колі тощо.

Перехідні процеси виникають лише при наявності у електричному колі індуктивної котушки або конденсатора. В полях цих елементів, які називають внутрішніми накопичувачами енергії, до комутації запасається визначена кількість енергії.

В момент комутації починається перерозподіл енергії між електричним полем конденсатора та магнітним полем котушки, а також між ними та зовнішніми джерелами електричної енергії.

Коло, яке складається з ідеальних резисторів, енергії не накопичує. Але довільний реальний резистор та всі з’єднувальні проводи мають деякі значення індуктивності і ємності, тому у всіх реальних електричних колах виникають перехідні процеси при переході від одного сталого режиму до іншого.

Під час перехідного процесу струми у колах і напруги на ділянках визначаються як зовнішніми джерелами електричної енергії, так і внутрішніми накопичувачами енергії. Новий сталий режим визначається лише зовнішніми джерелами енергії.

Перехідні процеси є швидкоплинні, їх тривалість складає долі секунди. Але їх вивчення необхідно з наступних причин:

  1.  За законами і параметрами перехідних процесів можна встановити, яким чином змінюються за формою і амплітудою сигнали при проходженні через різні пристрої (фільтри, підсилювачі тощо).
  2.  При перехідних процесах можуть виникати значні перенапруження та кидки струму, що може привести до пошкодження обладнання.
  3.  Перехідні процеси є звичайним робочим станом для багатьох систем автоматичного керування, які знаходяться під дією різних збуджуючих факторів.

Вивчення перехідних процесів необхідно для розуміння фізичної суті явищ, які протікають в системах автоматичного керування, а також для правильної їх експлуатації, синтезу та аналізу.

Задачею розрахунку перехідних процесів в електричних колах є визначення законів і тривалості змін перехідних процесів у гілках і напруг на елементах кола.

8.2. Закони комутації

Перехід від одного сталого режиму до іншого проходить швидко, але не миттєво. Під час перехідних процесів при наявності L та C енергія електричних та магнітних полів змінюється плавно, а не стрибком (∆t=0), або інакше ∞, що не має фізичної сутності. А так як , а , то  та uc також не можуть змінюватись стрибком.

Покажемо, що струм в індуктивній котушці (рис 8.1) не може змінюватись стрибком.

Після комутації:

.    (8.1)

Якщо струм змінюється стрибком, то ∞ (∆t=0) та ∞, що приводить до порушення рівності (8.1).

Отже, струм у котушці стрибком змінюватись не може, так як це суперечить ІІ закону Кірхгофа та фізичній сутності.

Але стрибкоподібна зміна напруги на індуктивній котушці можлива.

Покажемо, що напруга на конденсаторі (рис. 8.2) не може змінюватися стрибком.

Для електричного кола після комутації можна записати:

,   ,  ,

де  ,   тоді  .

Якщо напруга uc змінюється стрибком, то ∞, що приводить до порушення ІІ закону Кірхгофа.

Отже, напруга на конденсаторі стрибком змінюватись не може, бо суперечить фізичній сутності. Але стрибкоподібна зміна струму в конденсаторі можлива.

Розглянуті закономірності перехідних процесів у колах з L та C формулюються у вигляді двох законів комутації.

1-й закон комутації. Струм у індуктивній котушці при комутації не може змінюватись стрибком, а змінюється плавно, починаючи від того значення, яке мав безпосередньо до комутації:   .

Де   – струм у індуктивній котушці безпосередньо до комутації,

– струм у індуктивній котушці безпосередньо після комутації.

Але uL може змінюватись стрибком.

2-й закон комутації. Напруга на конденсаторі при комутації не може змінюватись стрибком, а змінюється плавно, починаючи від того значення, яке мала безпосередньо до комутації:  uc(0- ) = uc(0+ ).

Де  uc(0- ) – напруга на конденсаторі безпосередньо до комутації,

uc(0+ ).– напруга на конденсаторі безпосередньо після комутації.

Але іс може змінюватись стрибком.

8.3. Початкові умови

Під початковими умовами (ПУ) розуміють значення струмів у гілках та напруг на елементах кола в момент комутації при t=0, тобто в момент початку перехідних процесів.

Розрізняють:

  •  докомутаційні та післякомутаційні ПУ;
  •  незалежні та залежні ПУ;
  •  нульові та ненульові початкові умови.

Докомутаційні початкові умови – це значення струмів та напруг у колі до комутації, тобто  та , k=1, 2, …

Післякомутаційні початкові умови – це значення струмів та напруг у колі після комутації, тобто  та , k =1, 2, …

Не всі докомутаційні початкові умови залишаються рівними післякомутаційним, тільки

,   .

Початкові умови, які випливають із законів комутації, тобто  та  звуться незалежними початковими умовами. Для їх визначення необхідно розрахувати сталий режим кола до комутації.

Початкові умови усіх інших струмів та напруг у післякомутаційному колі визначаються за незалежними початковими умовами та законами Кірхгофа і звуться залежними початковими умовами.

Якщо у електричному колі в момент комутації немає запасів енергії електричних та магнітних полів, то таке коло має нульові початкові умови. При нульових початкових умовах перехідні струми в котушках та напруги на конденсаторах почнуть змінюватися від нульових значень.

Початкові умови необхідно визначати з урахуванням вибраного напрямку перехідних струмів та напруг.

8.4. Класичний метод розрахунку перехідних процесів.

Сталі та вільні складові перехідних струмів та напруг

Класичний метод розрахунку перехідного процесу полягає в інтегруванні диференційного рівняння, яке описує перехідний процес у колі, рішення якого представляється у вигляді суми сталої та вільної складових, а сталі інтегрування визначаються з початкових умов.

Розглянемо застосування класичного методу розрахунку перехідних процесів на конкретному прикладі електричного кола рис. 8.3.

Вимикач S замикається, в контурі R, L, C виникає перехідний процес.

Порядок розрахунку:

1. Визначаємо гілки та контури, охвачені перехідним процесом.

2. Довільно задаємося додатнім напрямом перехідних струмів і напруг, а також напрямом обходу контуру. Для зручності розрахунку вони вибираються співпадаючими.

3. З урахуванням вибраних напрямків і та uc визначаємо незалежні початкові умови: iL(0) та uc (0) в колі до комутації.

4. Перехідні процеси у контурі R, L, C описуються рівнянням, складеним за ІІ законом Кірхгофа:

.

Враховуючи, що , перейдемо до рівняння відносно змінної uc, щоб виключити операцію інтегрування для знаходження і, uL та uR:

Отримане рівняння є лінійним неоднорідним диференційним рівнянням 2-го порядку з постійними коефіцієнтами. Порядок диференційного рівняння можна визначити за схемою кола після комутації: він дорівнює числу внутрішніх накопичувачів енергії L та C.

Рішення такого рівняння знаходиться у вигляді суми часткового рішення неоднорідного рівняння uc.c та загального рішення однорідного рівняння uc.в, отриманого з вихідного при рівності правої частини нулю, тобто uc= uc.c+ uc.в, де uc – перехідна напруга на конденсаторі, uc.c – стала напруга, uc.в – вільна напруга на конденсаторі.

Перехідний(на) струм (напруга) – це струм (напруга) у колі під час перехідного процесу.

Сталий(а) струм (напруга) – це періодичний(а) або постійний струм (напруга), які виникають у колі після закінчення перехідного процесу.

Для визначення сталої напруги необхідно розрахувати коло у сталому режимі після закінчення перехідного процесу.

Математично uc.c знаходиться як часткове рішення неоднорідного рівняння:

Вільна(ий) напруга (струм) – це напруга (струм), які дорівнюють різниці перехідної(го) та сталої(го) напруг (струмів).

Вільні напруги та струми можуть існувати тільки за рахунок запасу енергії, накопиченої в електричних полях конденсаторів та магнітних полях котушок. З плином часу вони прямують до нуля, так як запас енергії полів розсіюється на активних опорах кола, перетворюючись в тепло.

Математично uc.в знаходиться як загальне рішення однорідного рівняння:

.

Таким чином, перехідні процеси штучно представляються як накладення сталого режиму, який існує ніби спочатку перехідного процесу, та вільного режиму, інтенсивність якого завжди прямує до нуля. Це можливо лише у лінійних колах, де справедливий принцип суперпозиції.

Аналіз перехідних процесів класичним методом можна схематично представити у вигляді схеми, приведеній на рис.8.4,

де   – внутрішня ЕРС, яка обумовлена магнітним полем котушки;

– внутрішня ЕРС, яка запасена в електричному полі конденсатора.

Фізичне тлумачення часткового рішення неоднорідного диференційного рівняння, як сталої напруги uc.c, та загального рішення однорідного  диференційного рівняння, як вільної напруги uc.в , є позитивною особливістю тільки класичного методу дослідження ПП.

8.5. Перехідні процеси при короткому замиканні у колі з R та L

Розглянемо електричне коло з послідовним з’єднанням R та L (рис. 8.5).

Нехай при t=0 активний опір R та індуктивна котушка L замикаються накоротко за допомогою вимикача S.

Знайдемо закон зміни струму у колі після замкнення вимикача S.

Задаємося додатнім напрямом перехідного струму i та напрямом обходу контуру. Визначимо незалежні початкові умови, для чого розрахуємо коло до комутації:

.

Перехідний процес у колі описується рівнянням:

 або  .

Дане диференційне рівняння є однорідним. Тобто сталий струм буде дорівнювати нулю, а перехідний процес зумовлений тільки енергією, яка запасена у магнітному полі котушки. Тому рішення диференційного рівняння буде таким:

,

де:   – сталий струм;

 - вільний струм.

Визначимо . Для цього вирішимо однорідне диференційне рівняння:

.

Рішення цього рівняння має вигляд:

де   – стала інтегрування, яка визначається з початкових умов;

 – корінь характеристичного рівняння .

Визначимо  з ПУ при ,

, звідси .

Отже  ,

тобто струм зменшується по експоненті.

Затухання вільної складової ПП характеризується сталою часу кола:

[с]

Сталою часу кола називається величина інтервалу часу, за який вільні складові струму чи напруги зменшуються в е (е = 2,71…) раз.

Сталу часу можна визначити графічно, як довжину довільної піддотичної до експоненти (рис. 8.6).

Теоретично ПП у колі триває нескінченно довго, а практично .

Величина, обернена до сталої часу, зветься коефіцієнтом згасання .

Для кола R, L:

[1/с].

Отже, вільний струм у колі затухає тим швидше, чим більше R та чим менше L.

Напруга  у контурі R, L буде дорівнювати:

.

Напруга на активному опорі змінюється аналогічно струму.

Напруга на індуктивній котушці :

Напруга  в момент комутації змінюється стрибком від 0 до , це видно на графіку рис. 8.6.

ПП у контурі R, L зумовлений енергією, яка запасена в магнітному полі котушки . При  ця енергія перетворюється в теплову: .

Підставивши значення перехідного струму, отримаємо:

.

Отже, кількість тепла, яка виділяється на резисторі , дорівнює енергії, яка запасена у магнітному полі котушки.

Якщо в схемі рис 8.5 просто розімкнути коло, то струм в котушці практично миттєво зменшиться до нуля . При цьому у котушці буде наводитися дуже велика ЕРС самоіндукції . Виникаюче при цьому перенапруження у котушці може призвести до пробою ізоляції, пошкодженню та виходу з ладу рубильника тощо. Тому при вимкненні котушок від мережі їх замикають накоротко або на розрядний резистор.

8.6. Перехідні процеси при включенні кола з послідовним з’єднанням R та L до джерела постійної напруги

Знайдемо закон зміни струму при замкненні вимикача  (рис. 8.7)

Дано: R, L. 

Визначимо: .

Задаємося додатнім напрямком перехідного струму та обходу контуру і визначимо незалежні ПУ:

.

ПП у колі описуються рівнянням:

,

або   .

Рішення цього рівняння шукаємо у вигляді:  .

Сталий струм іс – це струм у колі після закінчення ПП, коли ,
тому   ,  звідки  

Вільний струм  визначається з рішення однорідного диференційного рівняння:   

Рішенням цього рівняння буде , де  - корінь характеристичного рівняння:

Тоді струм ПП дорівнює:

.

Сталу інтегрування визначаємо з початкових умов при :

, або , звідки .

Кінцевий вираз для перехідного струму буде мати вигляд:

.

Напруга на активному опорі uR буде:

.

Напруга на індуктивній котушці uL буде:

.

Напруга на активному опорі uR змінюється аналогічно струму  від 0 до прикладеного значення .

Напруга uL в момент комутації зростає стрибком до величини прикладеної напруги , а при  прямує до 0.

Графіки перехідних i, uR , uL приведені на рис. 8.8

Під час ПП енергія джерела витрачається на утворення магнітного поля котушки і на нагрівання резистора .

8.7. Перехідні процеси при включенні кола R, L до джерела
синусоїдної напруги

Визначимо закон зміни струму в колі після підключення його до джерела синусоїдної напруги u=Umsin(ωt+ψu)
(рис. 8.9).

Задаємося додатнім напрямом перехідного струму та напрямом обходу контуру. Визначимо незалежні ПУ:

, тобто маємо нульові початкові умови.

Перехідний процес описується рівнянням:

,

рішення якого шукаємо у вигляді  .

Сталий струм  ,

де  ,  ,  а  ,

тоді  .

Визначимо вільний струм:

.

Перехідний струм дорівнює:

Сталу інтегрування визначаємо з ПУ: при маємо ,

або  ,

звідси .

Тоді струм ПП буде змінюватися за законом:

.

Перехідна напруга на котушці буде рівна:

.

Побудуємо графік перехідного струму. Характер ПП залежить від початкової фази напруги в момент комутації. При цьому можливі два крайні випадки:

1. В момент комутації  (або ).

У цьому випадку в колі вільний струм відсутній:

.

У колі відразу настає синусоїдний струм  , тобто ПП не буде.

2. В момент комутації . У цьому випадку вільний і сталий струми при  дорівнюють максимальним і протилежним за знаком значенням  ,  .

Перехідний струм змінюється від 0  і при  досягає максимального значення .

При цьому чим більша стала часу , тим ближче це максимальне значення струму до величини , але ніколи не перевищує її (рис. 8.10)

8.8. Перехідні процеси при короткому замиканні у колі з R та C

Визначимо закон зміни перехідного струму при замкненні накоротко кола, зображеного на рис. 8.11.

Задаємося додатнім напрямом обходу контуру. Визначимо незалежні початкові умови з кола до комутації:

uc(0) – U = 0,

звідки uc(0) = U.

Таким чином, до комутації конденсатор знаходився під напругою U і в електричному полі накопичив енергії
We = . Ця енергія і зумовлює перехідні процеси у колі.

Перехідний процес описується рівнянням:

R і+ uc = 0.

Враховуючи, що i = , отримаємо

+ uc = 0.

Рішення рівняння шукаємо у вигляді: uc = ucc + u.

Стала напруга на конденсаторі ucc = 0, так як при відсутності зовнішнього джерела електричної енергії при  t→∞  конденсатор повністю розрядиться.

Вільну напругу шукаємо у вигляді:

u = Аеpt,

де  p =   -  корінь характеристичного рівняння  RС p + 1 = 0.

Стала часу кола R, С дорівнює:

τ = = RС.

Чим більше  τ,  тим довше продовжується перехідний процес.

Через t = τ вільна напруга зменшиться в  е (е = 2,71…) раз.

Величина  δ = 1/τ – коефіцієнт затухання кола R,С.

Сталу інтегрування А знаходимо з початкових умов при t = 0:

uc(0) = ucc (0) + u(0),

або  U = 0+А,  тобто  А = U.

Тоді      uc = .

Перехідний струм у колі дорівнює:

і =  = .

Розрядний струм конденсатора при t = 0 змінюється стрибком до величини - та обмежується в перший момент лише опором R.

Знак “-” говорить про те, що дійсний напрямок перехідного струму в колі протилежний прийнятому, тобто струм розряду протилежний струму заряду конденсатора.

Побудуємо часові діаграми для і та uc (рис. 8.12):

Під час перехідного процесу при розряді конденсатора запасена в ньому електрична енергія перетворюється в тепло, яке виділяється на резисторі R

= .

8.9. Перехідний процес при включенні кола з послідовним з’єднанням R та С до джерела постійної напруги

Нехай конденсатор був попередньо заряджений до напруги Uc (рис.8.13).

Задамося додатними напрямками uc та і, а також обходом контуру.

Визначимо незалежні початкові умови з урахуванням напряму ПП:

uc(0) = - Uc.

ПП у колі описуються наступним рівнянням:

Ri + uc = U,

або     + uc = U.

Рішенням цього рівняння буде:   uc = ucc + u.

Стала напруга ucc= U, так як після закінчення ПП U = const та =0.

Вільну напругу шукаємо з однорідного рівняння

+ u=0,

вона буде дорівнювати  u= Аеpt,

де   p =  – корінь характеристичного рівняння  RС p + 1 = 0.

τ = = RС,  δ =1/τ = – коефіцієнт затухання.

Тоді перехідна напруга буде дорівнювати:

uc = U + .

Сталу інтегрування визначаємо з початкових умов при  t = 0:

uc(0) = ucc (0) + u(0),

або  -Uс = U + А,  звідси  А = -U - Uc= - ( U+ Uc).

Кінцевий вираз для перехідної напруги на конденсаторі має вигляд:

uc = U - ( U+ Uc).

Перехідний струм дорівнює:

і =  = .

Побудуємо часові діаграми для uc та і для кількох характерних випадків.

І. Uc = 0, тобто конденсатор до комутації не заряджений, що відповідає нульовим ПУ.

У цьому випадку (рис 8.14)

uc=U(1-), і =  = .

2. Uc=U, тобто напруга на конденсаторі до комутації дорівнює напрузі джерела та співпадає з напрямком, вказаним на схемі. Після комутації конденсатор перезаряджається від напруги –U до U (рис 8.15).

uc=U(1-2), і =  = 2.

3. Uc = -U, тобто конденсатор попередньо заряджений до напруги джерела живлення. У цьому випадку uc(0)=U, i=0, тому після комутації  перехідного процесу не буде.

4. Uc= -2U, тобто конденсатор попередньо заряджений до подвійної напруги джерела живлення. У цьому випадку після комутації проходить розряд конденсатора від напруги 2U до U, тому маємо:

uc=U(1+), і =  = - .

Для всіх випадків перехідного процесу у колі R, C перехідний струм і в момент комутації змінюється стрибком. Якщо R буде малим, то стум в початковий момент може в багато разів перевищувати номінальний. Це необхідно враховувати.

Під час зарядження конденсатору енергія джерела затрачується на збільшення енергії електричного поля конденсатора та на теплові втрати в активному опорі.

,

 

Тобто енергія, яку віддає джерело живлення під час заряду конденсатора, розподіляється навпіл між конденсатором та резистором, незалежно від співвідношення параметрів R та С.

8.10. Перехідний процес при включенні кола з послідовним
з‘єднанням R та C до джерела синусоїдальної напруги

Визначимо перехідний струм та перехідну напругу на конденсаторі при підключенні кола до джерела синусоїдальної напруги u=Umsin(ωt+φu) (рис.8.17).

Задаємося додатними напрямками uc та і , а також напрямком обходу контуру.

Визначимо незалежні початкові умови:

 uc(0)= 0.

Перехідний процес у колі описується рівнянням:

.

Загальне рішення має вигляд:

uc = ucc + u.

Сталу напругу знаходимо із кола після комутації:

ucc = Umc sin(ωt+ψi - ) = Umc sin(ωt+ψu – φ - )

(напруга на конденсаторі відстає від струму на ),

де   ,   Z=  ,

Вільна напруга на конденсаторі дорівнює u = A,

тоді  uc =Umc sin(ωt+ψu – φ - )+A.

Визначимо сталу інтегрування А з ПУ при  t=0:

uc(0) = ucc (0) + u(0),  або  0 =Umc sin(ψu – φ - )+A.

Звідки   А= - Umc sin(ψu – φ - ).

Тоді перехідна напруга на конденсаторі дорівнює

uc =Umc sin(ωt+ψu – φ - ) - Umc sin(ψu – φ - )..

Перехідний струм у колі дорівнює

i=C= Іm sin(ωt+ψu – φ) + sin(ψu – φ - )..

З наведених виразів видно, що характер ПП залежить від початкової фази напруги ψu на вході кола в момент комутації.

При цьому можливі два крайні випадки.

1. В момент комутації .

У цьому випадку вільна напруга та вільний струм не існують, тобто

u=0,   і=0.

У колі миттєво настає сталий режим (рис.8.18)

uc = ucc =± Umc sinωt,

і c =± Іm cosωt.

2. В момент комутації

ψu -=+n, де  n=0,1…

У цьому випадку вільна напруга та вільний струм приймають при t=0 максимальні значення: 

u(0)=+Umc,  i(0)=.

Стала напруга приймає максимальне, але протилежне за знаком значення (рис.8.19) 

ucc(0)= Umc.

Сталий струм в момент комутації дорівнює нулю: ic(0)=0. Тому перехідна напруга починає змінюватися від 0, а струм від максимального значення. Отже, у колі при t=0 спостерігається стрибок струму. (рис.8.20).

8.11. Перехідні процеси при розряді конденсатора на активний опір та індуктивну котушку

Розглянемо перехідні процеси у колі з послідовним з’єднанням R, L, С, яке є найпростішим прикладом лінійного кола з декількома накопичувачами електричної енергії.

Аналіз ПП будемо здійснювати у тій же послідовності, що й для кіл з одним накопичувачем енергії.

У контурі R, L, C, який отримали після комутації, задамося додатнім напрямком перехідного струму і та напруг uc, uL, uR, а також напрямком обходу контуру.

Визначимо незалежні початкові умови із контуру до комутації з урахуванням вибраного напряму перехідного процесу:

uc(0) – U = 0,

звідки  uc(0) =U,  i(0)=i(0)=0.

Перехідний процес у контурі R, L, C зумовлений розрядом конденсатора на R та L, який до комутації мав енергію

.

Перехідний процес у контурі описується рівнянням:

.

Враховуючи, що , отримаємо

– однорідне рівняння 2-го порядку.

Рішення шукаємо у вигляді

uc= uc.с+ uc.в..

Так як в колі після комутації нема джерела енергії, то uc= 0.

uc.в шукаємо як загальне рішення вихідного однорідного диференційного рівняння другого порядку. Вигляд загального рішення цього рівняння вибирається в залежності від коренів характеристичного рівняння.

Запишемо та знайдемо рішення характеристичного рівняння:

або ,  де  – коефіцієнт згасання контуру без втрат.

В залежності від величини дискримінанту  можливі три випадки: D>0; D=0; D<0. Тому можливі три випадки значень коренів характеристичного рівняння та із-за цього три характери перехідного процесу: аперіодичний, гранично-аперіодичний та коливальний (періодичний).

8.11.1. Аперіодичний розряд конденсатора

Аперіодичний розряд конденсатора на активний опір R та індуктивну котушку L має місце у тому випадку, коли D>0, тобто дискримінант більше нуля.

     , або ,

де   – хвильовий опір контуру.

Отже, для отримання аперіодичного розряду конденсатора активний опір кола повинен бути більше подвоєного хвильового опору контуру R, L, С.

У цьому випадку корені будуть дійсними від’ємними числами, причому: |p1|<|p2|.

Загальне рішення однорідного диференційного рівняння шукаємо у вигляді:

тоді     

Для визначення двох сталих інтегрування А1, А2 необхідно мати два рівняння. В якості другого рівняння візьмемо рівняння для струму:

Скористаємося початковими незалежними умовами. При t=0:

,

звідси  , .

Тоді:

Враховуючи, що   

Отримаємо: .

Перехідна напруга на індуктивній котушці:

.

Побудуємо часові діаграми  і, uL, uC.

З отриманих виразів видно, що функції  і, uL, uC в кожний момент часу визначаються різницею двох експонент з коефіцієнтом згасання P1 та Р2.

Так як |P2|>|P1|, то експоненти  згасають швидше ніж .

Побудуємо графік для uC:

Перехідна напруга на конденсаторі uC нерозривно та плавно зменшується з плином часу від напруги джерела U до нуля.

Графіки перехідного струму і та напруги uL побудуємо на основі характерних точок.

Перехідний струм і змінюється від нуля і досягає максимального значення в момент часу t1, який можна визначити з умови:

,  або  ,

звідки  .

В момент часу t2=2t1 крива і має точку перегину. Враховуючи ці особливості будуємо графік перехідного струму і.

Перехідна напруга uL в момент комутації дорівнює uL (0+)= - uc (0)= - U. При t= t2 перехідна напруга uL досягає додатного максимального значення.

При  t= t2 uL = L di/dt = 0,  тому що  .

Таким чином uс та і, з якими пов’язані запаси енергії в електричних та магнітних полях, ведуть себе аперіодично.

Розглянемо енергетичну сторону аперіодичного розряду конденсатора на R та L.

В інтервалі часу  ,  коли струм зростає, енергія електричного поля конденсатора перетворюється в теплову енергію в опорі R та витрачається на утворення магнітного поля в котушці.

Коли струм починає зменшуватися, то енергія електричного та магнітного полів перетворюється тільки в теплову енергію в резисторі R.

Під час аперіодичного розряду конденсатора на R та L перезарядження конденсатора не відбувається.

8.11.2. Коливальний (періодичний) розряд конденсатора

Коливальний розряд конденсатора у контурі R,L,С має місце при умові, що дискримінант характеристичного рівняння менше нуля, тобто D < 0

< 0, або  R<2ρ.

У цьому випадку корені характеристичного рівняння будуть комплексно-спряжені з від'ємною дійсною частиною

де  – кутова частота власних коливань контуру з втратами,

звідси:  .

У даному випадку загальне рішення однорідного рівняння необхідно шукати в вигляді:

  де  θ=arctgωc  /δ.

Докажемо це, для чого запишемо комплексно-спряжені корені в показниковій формі:

 де  θ=arctgωc  /δ.

Підставимо значення p1 та p2 у вираз для uc

Отриманий вираз аналогічний раніше записаному та представляє собою затухаючий процес. Отже, у випадку комплексно-спряжених коренів характеристичного рівняння рішення однорідного диференційного рівняння другого порядку треба шукати у вигляді:

Для визначення сталих інтегрування  A та   в якості другого рівняння використаємо рівняння для струму:

Скористаємося незалежними початковими умовами. При t=0:

Враховуючи, що

Звідси:  , .

Визначимо sinθ за відомими

 

для чого скористаємося допоміжним трикутником (рис. 8.23), звідки маємо:

.

Тоді сталі інтегрування дорівнюють:

, .

Підставимо значення A та  у вирази для напруги uс та струму і, отримаємо:

.

Для спрощення побудови та аналізу часової діаграми перехідного струму i приведемо його вираз до однієї тригонометричної функції.

З допоміжного трикутника маємо:   

Враховуючи, що , отримуємо:

Введемо позначення  ,  тоді:

Закінчений вираз для uc та i приймає вид :

Напруга нa індуктивній котушці uL буде:

Коливальний характер зміни напруги uс та струму i пояснюється багатократним обміном енергією між електричним полем конденсатора та магнітним полем котушки. Так як коло має опір R, то коливальний процес є затухаючим. Вільний процес затухає тим швидше, чим більше коефіцієнт згасання контуру ,який входить у множник .

Кількісною характеристикою швидкості згасання служить декремент коливання.

Декрементом коливань зветься відношення двох наступних друг за другом максимальних значень струму або напруг одного знаку:

Величина   зветься логарифмічним декрементом коливань.

8.11.3. Гранично-аперіодичний розряд конденсатора

Гранично-аперіодичний розряд конденсатора в контурі R,L,С має місце при   тобто ,  або  що зветься критичним опором.

У цьому випадку корені характеристичного рівняння є рівними та від’ємними числами:

.

У цьому випадку вільну складову напруги шукають у вигляді:

Перехідний струм у контурі

Знаходимо сталі інтегрування. При t=0:

,   звідси  

Після підстановки сталих інтегрування отримаємо:

, .

Напруга на індуктивній котушці:

Враховуючи, що:

 

отримаємо:

   .

Часові діаграми і,uL,uc за формою подібні відповідним кривим при аперіодичному розряді конденсатора. Але цей процес є граничним, при якому ще не відбувається перезарядки конденсатора.

8.12. Загальні відомості про операторний метод

розрахунку перехідних процесів

Операторний метод заснований на тому, що функція f(t) дійсного аргументу t, яка називається оригіналом, перетворюється в функцію F(p) комплексного аргументу p=a+jb, що називається зображенням. Відповідність між оригіналом та зображенням записується в наступному вигляді:

f(t).=˙F(p),

де  “.=˙” – знак відповідності.

Внаслідок перетворення інтегрально-диференційні рівняння відносно оригіналів перетворюються в алгебраїчні рівняння відносно зображень. Розв’язуючи алгебраїчні рівняння знаходимо зображення шуканих функцій, а потім за зображеннями визначаємо самі функції.

Перехід від оригіналів до зображень здійснюється за допомогою формули прямого перетворення Лапласа:

,

або перетворення Карсона:

,

де: f(t) – функція, що перетворюється, тобто, оригінал,

 F(p) – зображення функції.

Наводимо формули перетворення деяких простих функцій (без доведення).

  1.  Зображення сталої – A.=˙ .

  1.  Зображення похідних – f’(t).=˙pF(p)-f(0);

.=˙ .

  1.  Зображення інтеграла – .=˙;

.=˙ .

  1.  Зображення показникових функцій:

eαt.=˙;   e-αt.=˙;

ejωt.=˙;  e-jωt.=˙.

  1.  Зображення тригонометричних функцій:

cosωt.=˙;  sinωt.=˙;

Am sin(ωt+φ).=˙.

8.13. Закон Ома в операторній формі

Розглянемо електричне коло з послідовним з’єднанням R, L, C
(рис. 8.25). Коло має ненульові ПУ:

iL(0)=i(0)≠0, uC(0)≠0.

Розглянемо перехідний процес в колі після ввімкнення рубильника S. Перехідний процес в колі після комутації описується рівнянням uR+uL+uC=e(t).

Підставимо значення uL, uR, uC та врахуємо ненульові початкові умови:

.

Знайдемо зображення складових даного рівняння:

i(t).=˙I(p);   e(t).=˙E(p);   Ri.=˙RI(p);

.=˙;   .=˙.

Тоді

.

Визначимо струм

.

Це закон Ома для нерозгалуженого кола в операторній формі при ненульових початкових умовах,

де I(p) – операторний струм;

 E(p) – операторна ЕРС;

– операторні опори елементів;

L·i(0) – внутрішня ЕРС, що обумовлена запасом енергії в магнітному полі котушки до комутації;

– внутрішня ЕРС, що обумовлена запасом енергії в електричному полі конденсатора до комутації.

За аналогією із законом Ома

– операторний опір кола з послідовним з’єднанням R, L, C.

Операторний опір Z(p) можна отримати із комплексного опору Z(jω) шляхом заміни на p.

Відповідно формулі закону Ома зобразимо еквівалентну схему заміщення вихідного кола, що називається операторною (рис. 8.26). За позитивний напрямок внутрішньої ЕРС L·i(0) та  приймається напрямок, який збігається з напрямком операторного струму I(p).

Коли початкові умови нульові, тобто iL(0)=0, uC(0)=0, то закон Ома в операторній формі приймає вигляд  .

8.14. Закони Кірхгофа в операторній формі

8.14.1. Перший закон Кірхгофа в операторній формі

Для миттєвих струмів в вузлі електричного кола за І-м законом Кірхгофа маємо:

i1+i2+…+in=0

Припускаємо, що відомі зображення миттєвих струмів

i1.=˙I1(p);  i2.=˙I2(p);  in.=˙In(р).

Тоді для операторних струмів отримаємо

I1(p)+I2(p)+…+In(p)=0,

або

.

Алгебраїчна сума операторних струмів в вузлі дорівнює нулю – це є перший закон Кірхгофа в операторній формі

8.14.2. Другий закон Кірхгофа в операторній формі

Для будь-якого контуру електричного кола, який має n віток з елементами R, L, C та e(t), можна скласти рівняння за ІІ законом Кірхгофа для миттєвих величин:

.

Припускаємо, що відомі зображення для миттєвих струмів та ЕРС в кожній вітці контуру.

i1 .=˙I1(p), i2 .=˙I2(p), … in .=˙In(p); e1 .=˙E1(p), e2 .=˙E2(p), …en .=˙En(p).

Тоді, використовуючи зображення, рівняння за ІІ-м законом Кірхгофа запишемо в наступному вигляді:

.

Перетворимо дане рівняння

.

Позначимо  ,

тоді   .

Дане рівняння є математичним записом другого закону Кірхгофа в операторній формі.

Алгебраїчна сума операторних зовнішніх та внутрішніх ЕРС в контурі електричного кола дорівнює алгебраїчній сумі операторних напруг на всіх елементах цього контуру.

При ненульових ПУ напруга на індуктивній котушці та конденсаторі в операторній формі дорівнює:

UL(p)=pLIL(p)-LiL(0),  .

При нульових ПУ ІІ закон Кірхгофа в операторній формі записується в наступному вигляді:

.

Таким чином, для розрахунку перехідних процесів операторним методом справедливі закони Ома та Кірхгофа. Тому усі методи розрахунку електричних кіл при сталих режимах, які засновані на законах Ома та Кірхгофа, можна застосовувати: метод еквівалентних перетворень, контурних струмів, вузлових потенціалів тощо. Запис рівнянь в операторній формі збігається за виглядом для кіл постійного та змінного струмів. Це є основною перевагою операторного методу розрахунку перехідних процесів.

Переваги операторного методу:

- не потрібно визначати постійні інтегрування;

- розв’язувати необхідно алгебраїчні рівняння, а не інтегрально-диференційні.

8.15. Розрахунок перехідних процесів операторним методом

Розрахунок перехідних процесів операторним методом складається з двох основних етапів:

– визначення зображення шуканої функції;

– перехід від зображення до оригіналу.

8.15.1. Визначення зображення шуканої функції часу

Для отримання зображення функції часу використовуються закони Ома та Кірхгофа в операторній формі, а також всі методи, що базуються на цих законах. При цьому:

- нерозгалужені електричні кола з нульовими та ненульовими ПУ, а також прості розгалужені кола з нульовими ПУ розраховуються за законом Ома;

- розгалужені електричні кола з ненульовими ПУ розраховуються за законами Кірхгофа та іншими методами розрахунку складних кіл в операторній формі.

8.15.2. Перехід від зображення до оригіналу

В загальному випадку перехід від зображення до оригіналу здійснюється за допомогою формули оберненого перетворення Лапласа

,

для чого необхідно знати теорію функцій комплексного змінного.

В простих випадках перехід виконують за формулами відповідності між оригіналом та зображенням, які приводяться в довідниках.

Другий шлях заснований на застосуванні формули розкладання.

Допускаємо, що зображення F(p) має вигляд раціонального правильного нескоротного дробу:

,

де:  F1(p) та F2(p) – багаточлени;

ak та bk – дійсні числа,  m<n.

Якщо багаточлен F2(p) не має кратних коренів, тоді шукана функція часу, згідно теореми розкладання визначається за наступною формулою

,

де: pkk-й корінь рівняння F2(p)=0;

F1(pk) – значення багаточлену F1(p) при підстановці в нього кореня pk;

F2´(pk) – значення похідної від багаточлену F2(p) при підстановці в нього кореня pk.

Приклад:

Розглянемо застосування операторного методу розрахунку перехідних процесів на конкретному прикладі (рис. 8.27).

Дано:  R1; R2; C; U=const.

Розрахувати перехідний процес в колі при ввімкненні його до джерела постійної напруги.

Розв’язання:

Маємо розгалужене електричне коло з нульовими ПУ. Для розрахунку застосовуємо закон Ома в операторній формі для нульових ПУ

,

де: ,  .

Тоді:   .

Для знаходження оригіналу скористаємося формулою розкладення

,

яка застосовується наступним чином.

  1.  Визначаємо корні знаменника pk:

F2(p)=p(R1R2 pC+R1+R2)=0,

p1=0; .

  1.  Обчислимо похідну від знаменника F2’(p):

F2’(p)=2R1R2Cp+R1+R2.

  1.  Обчислимо значення F1(pk) та F2’(pk):

1) p1=0 → F1(p1)=U;  F2’(p1)=R1+R2.

2) ;

.

4. Визначимо струм за формулою розкладення:

.

5. Для визначення інших струмів можна застосувати класичний метод. Для I-го контуру (рис. 8.27) маємо:

R1i1+R2i2=U;  ,

тоді   i3= i1 - i2.


Приклади розрахунку перехідних процесів

Задача № 1

На кінці лінії постійного струму в навантаженні відбулося коротке замкнення. Електромагнітне реле захисту від короткого замикання з внутрішніми параметрами R, L, вимкнуло своїми контактами Sp (рис. Р8.1) лінію від джерела енергії, коли струм в ній досяг значення
30 А. Визначити закон зміни струму в лінії і проміжок часу, за який спрацює реле після короткого замикання, якщо  R=3 Ом, L=0,2 Гн, Rл=2 Ом, Rн=20 Ом, U=200 B.

Рішення

  1.  Визначимо контур, в якому протікає перехідний процес.

Після виникнення короткого замикання (ввімкнення вимикача S на
рис. Р8.1) перехідний процес буде протікати в контурі, що включає реле з параметрами
R, L та контактом Sр, опір лінії Rл  та джерело енергії з
напругою
U.

  1.  Позначимо напрям перехідного струму та обходу контуру.
  2.  Визначимо незалежні початкові умови із контуру до комутації з врахуванням вибраного напряму перехідного струму:

iL(0)=I=.

Такий струм протікав в колі до короткого замикання.

  1.  Складаємо рівняння перехідного процесу для контуру після комутації:

.

  1.  Рішення диференціального рівняння шукаємо в вигляді суми двох складових:   і=іусв.

Для визначення усталеної складової перехідного струму іус розрахуємо коло після закінчення перехідного процесу:

iус=.

Вільну складову перехідного струму ів шукаємо як загальне рішення однорідного рівняння:

в вигляді:  ,

де  р – корінь характеристичного рівняння:

(R+Rл )+ pL=0,

звідки  .

Тому   ,

де  – стала часу кола.

Таким чином і=іусв=40+Ае-25t A.

  1.  Сталу інтегрування А знаходимо із початкових умов при t=0:

і(0)=іус(0)+ів(0), 8=40+А, А= - 32 А.

Тепер можемо записати кінцевий вираз для перехідного струму:

і=40 - 32е-25t A.     (1)

7. Визначимо проміжок часу tc, за який спрацює реле після виникнення короткого замикання.

За умовою реле спрацює, коли перехідний струм досягне значення 30А. Підставимо це значення струму в рівняння (1) і розрахуємо його відносно часу t=tc :

  30=40-32,  або     32=10.

Тоді   ,   .

8. Побудуємо часову діаграму і(t), для цього спершу окремо побудуємо усталену складову перехідного струму
іус = 40 А – це пряма,
та вільну складову
  

в масштабі часу, кратному сталій часу кола  τ=0,04 с.

 Пам’ятаємо, що за інтервал часу τ вільна складова зменшується в е (е=2,71…) раз. Перехідний струм і знаходимо як суму і=іусв. За кривою і(t) для струму І=30 А визначаємо час спрацювання реле tc. (рис. Р8.2).

Задача № 2

Коло зі змішаним з’єднанням елементів R1, C, R2 знаходиться під постійною напругою U=120 В. Визначити закони зміни перехідних напруг на конденсаторі і струму в ньому після вимикання вимикача, якщо R1=40 Ом, R2=20 Ом, С=50 мкФ  
(рис. Р8.3).

Рішення

  1.  Показуємо в контурі, де протікає перехідний процес, напрямок перехідного струму і та напруги на конденсаторі uc і обхід контуру за напрямом перехідного струму.
  2.  Визначимо незалежні початкові умови uc(0) з кола до комутації:

.

  1.  Складемо рівняння перехідного процесу для контуру після комутації, в якому протікає перехідний струм:

,   або  ,  де  .

  1.  Рішення цього рівняння шукаємо в вигляді суми двох складових:

Усталену складову ucус знаходимо в колі після комутації для усталеного режиму:

.

В усталеному режимі струм в колі не протікає, тому  uR1= 0, а

uсус=U=120 В.

Вільну складову uсв знаходимо як загальне рішення однорідного рівняння

в вигляді:  ucв=АеPt ,

де р - корінь характеристичного рівняння R1C p+1=0.

.

Таким чином  .

  1.  Визначимо сталу інтегрування А із початкових умов:

 ,

звідки  А=- 80 В.

Кінцевий вираз для перехідної напруги на конденсаторі має такий вигляд:

.

6. Знаходимо перехідний струм:

Задача № 3

Електричне коло (рис. Р8.4) підключене до джерела постійного струму. Визначити закони зміни струмів в гілках і1, і2 і напруги на вході кола uаб після вимкнення вимикача, якщо  R1=R2=10 Ом, J=2 A,
С=100 мкФ
.

Рішення

  1.  Показуємо напрямок перехідних струмів в гілках.
  2.  Визначаємо незалежні початкові умови uc(0) з кола до комутації:

так як джерело струму замкнене накоротко, то  uc(0)= uаб(0)= 0.

  1.  Складемо рівняння за I-м законом Кірхгофа для вузла «а»:

і12=J.

Наступні перетворення будемо здійснювати відносно струму і2 враховуючи, що:   ,

отримаємо:  

або, враховуючи, що  

  1.  Вирішимо отримане рівняння, рішення будемо шукати в вигляді:

де  

 р – корінь характеристичного рівняння, рівний:

.

Таким чином

.

  1.  Визначимо сталу інтегрування А із початкових умов при  t=0:

Тоді   .

  1.  Визначимо перехідні струми в гілках:

  1.  Визначимо напругу на вході кола

.

Задача № 4

Знайти перехідну напругу на обкладинках конденсатора після вимикання вимикача S в колі рис. Р8.5, якщо u=200sin(1000t+ψu) B, R=50 Ом, L=0,05 Гн, С=20 мкФ і при t=0 напруга, зростаючи, досягає позитивної величини, рівної її діючому значенню.

Рішення

1. Попередньо знаходимо початкову фазу прикладеної напруги u із умови:

 або 135°.

В нашому випадку ψu=45°, так як комутація виконується в той момент, коли напруга зростає в області позитивних значень.

Таким чином:

.

  1.  Знаходимо напругу на конденсаторі в колі до комутації:

де  

В показовій формі:

.

Переходячи до тригонометричної форми, отримаємо напругу на конденсаторі до комутації:

  1.  Визначаємо незалежні початкові умови:

  1.  Складемо рівняння перехідного процесу за ІІ-м законом Кірхгофа для контуру R,C відносно uc:

  1.  Вирішимо складено рівняння:

  1.  При t=0:

uc(0)=ucус(0)+ucв(0),

.

Тому   .

Задача № 5

Визначити перехідний струм при включенні кола рис. Р8.6 на постійну напругу , якщо  ; ; .

Рішення

  1.  Відповідно до полярності прикладеної напруги вказуємо на схемі (рис. Р8.6) позитивний напрямок перехідного струму.
  2.  На підставі закону Ома складемо вираз для перехідного струму в операторній формі:

.

  1.  За допомогою теореми розкладання за знайденим операторним струмом знайдемо перехідний струм

.

Знайдемо корні рівняння ,

, ,

Обчислимо значення похідної при знайдених коренях

,

,

.

Знайдемо значення :

.

Підставимо у формулу розкладання числові значення величин:

.

При необхідності будь-яку перехідну напругу на ділянці кола можна знайти відразу, не обчислюючи струм. Наприклад:

Застосувавши до цього виразу теорему розкладання, знайдемо .

Задача № 6

Розрахувати перехідний процес при відключенні кола рис. Р8.7 від джерела постійної напруги, якщо

Рішення

При вимиканні рубильника S утвориться коло з послідовним з’єднанням R,  та , до якого можна застосувати закон Ома для ненульових початкових умов.

  1.  Задамося напрямками перехідних струму, напруги на конденсаторі та обходу контуру (рис. Р8.7).
  2.  Визначимо значення струму в котушці та напруги на конденсаторі в колі до комутації з врахуванням вибраного напряму перехідного процесу:

,  "+" – тому, що  співпадає з ;

uc(0)= - U= - 150 B.

  1.  Складемо вираз для операторного перехідного струму за законом Ома для ненульових початкових умов:

.

так як немає джерела енергії в контурі після комутації.

4. За допомогою теореми розкладання за операторним струмом знайдемо перехідний струм:

.

Визначимо корені рівняння  

,   , ,   ,

  .

Визначимо похідну  та її значення при знайдених коренях:

.

,

.

Знайдемо значення :

,

Підставивши у формулу розкладення числові значення величин, отримаємо:

5. Зробимо перевірку

  1.  На відповідність початковим умовам:

при  t=0  .

  1.  На відповідність усталеним значенням:

при   .

Умови задачі задовольняються.

  1.  Побудуємо криву перехідного струму (рис. Р8.8). При побудові складових перехідного струму враховуємо, що  а .


Тема №9. Пасивні чотириполюсники

Вступ

Чотириполюсником називається частина електричного кола, що має два вхідних та два вихідних затискачі (полюси).

Звичайно чотириполюсник вмикаються між джерелом та приймачем електричної енергії.

Приклади чотириполюсників (рис.9.1)

 

Чотириполюсники поділяються на лінійні та нелінійні.

Лінійними чотириполюсниками називаються чотириполюсники, параметри яких не залежать від величини струму або напруги, а також від їх напрямків.

Нелінійними чотириполюсниками називаються чотириполюсники, параметри яких залежать від струму або напруги.

Чотириполюсники бувають активні і пасивні.

Активні чотириполюсники мають джерела електричної енергії (підсилювачі, напівпровідникові пристрої).

Пасивні чотириполюсники не містять джерел електричної енергії.

9.1. Основні рівняння пасивних лінійних чотириполюсників

Розглянемо лінійний пасивний чотириполюсник (рис. 9.2)

1-1’ – вхідні затискачі, до яких вмикаються джерела енергії,

2-2’ – вихідні затискачі, до яких вмикаються навантаження,

I1 і U1, I2 і U2відповідно вхідні і вихідні струми та напруги чотириполюсника,  Z2комплексний опір споживача.

Чотириполюсник характеризується двома напругами U1, U2 та двома струмами I1, I2. Будь-які дві величини із чотирьох можна визначити за двома іншими. Число комбінацій з 4 по 2 дорівнює , тому можливі 6 форм запису рівнянь чотириполюсника.

Виведемо основні рівняння пасивного чотириполюсника, що встановлює зв’язок між вхідними та вихідними величинами.

Нехай пасивний чотириполюсник містить n контурів. Для визначення струмів I1 та I2 використаємо метод контурних струмів.

При цьому  II=I1;  III=I2,  а частину опору вихідного контуру, що знаходиться всередині чотириполюсника, позначимо через Z22, тоді Z22=Z22+Z2  i   Z22I2=Z22I2+Z2I2=Z22I2+U2.

Рівняння приймуть наступний вигляд:

Визначимо струми I1 та I2 за методом визначників, тобто як , де

 

Розкладемо k по елементах k – го стовпця, тоді

.

Визначимо струми I1 та I2, враховуючи, що EI = U1;   EII = -U2, ЕІІІ,…,
ЕN =0 (як для пасивного чотириполюсника), тоді

   (9.1)

   (9.2)

З рівняння (9.2) визначимо U1 та підставимо його в рівняння (9.1).

.

Позначимо:    ;

   

Тоді основна система рівнянь пасивного чотириполюсника при передачі електричної енергії зліва направо прийме вигляд:

– основна система рівнянь пасивного чотириполюсника,

де A, B, C, D – сталі чотириполюсника, це комплексні величини.

A, D – безрозмірні величини, [B] – Ом; [C] – См.

Для кожного чотириполюсника сталі чотириполюсника можна визначити розрахунковим або дослідним шляхом.

Для чотириполюсників, що задовольняють принципу оберненості, тобто 12=∆21, сталі чотириполюсника зв’язані співвідношенням:

AD-BC=1.

Доведемо це:

Отже, будь-який пасивний чотириполюсник характеризується трьома сталими, так як четверта може бути визначена із рівності  AD-BC=1.

Тепер поміняємо місцями джерело енергії та приймач, тобто електрична енергія буде передаватися з права наліво (рис. 9.3).

В цьому випадку в рівняннях чотириполюсника потрібно замінити:

U1 на U2; U2 на U1;

I1  на –I2; I2 на –I1.

Тоді рівняння приймають вигляд:

 

Розв’яжемо одержану систему відносно U1 та I1, для цього спочатку перше рівняння помножимо на D, а друге – на B, а потім перше рівняння помножимо на С, а друге – на A і віднімемо від першого друге

I DU2=ADU1-BDI1    II CU2=ACU1-BCI1

                  

 BI2=BCU1-BDI1              AI2=CAU1-ADI1

                       

 DU2+BI2=U1     CU2+AI2=I1

Таким чином,  – основне рівняння чотириполюсника при зворотній передачі енергії.

Ці рівняння відрізняються від рівнянь чотириполюсника, складених для випадку передачі енергії зліва направо тим, що помінялись місцями A та D.

Чотириполюсник називається симетричним, якщо при передачі енергії зліва направо він по відношенню до вхідних затискачів представляє собою таке ж саме коло, як і при передачі енергії з права наліво.

В цьому випадку A=D.

9.2. Т і П – подібні схеми заміщення пасивного чотириполюсника

Будь-який пасивний чотириполюсник можна замінити триелементною схемою заміщення:

Т – подібною, це з’єднання елементів “зіркою”;

П – подібною, це з’єднання елементів “трикутником”.

Розглянемо ці схеми: (рис. 9.4).

Опори схем заміщення вибираються так, щоб схема заміщення мала ті ж самі сталі A, B, C та D, що й замінений чотириполюсник.

Ця задача вирішується однозначно, так як схема заміщення має три елементи, а чотириполюсник характеризується трьома незалежними сталими, четверта визначається з рівняння AD-BC=1.

Визначимо залежності між параметрами схем заміщення і сталими еквівалентного чотириполюсника.

Для T – подібної схеми:

I1=I0+I2,   але I0=Y0U0;

I контур:  U0=I2Z2+U2,  тоді I0=Y0Z2I2+Y0U2,

I1=Y0Z2I2+Y0U2+I2=Y0U2+(1+Z2Y0)I2    (9.3)

Запишемо рівняння за ІІ законом Кірхгофа для зовнішнього контуру

U1=Z1I1+Z2I2+U2.

Підставимо значення струму I1, тоді

U1=Z1Y0U2+Z1I2+Z1Z2Y0I2+Z2I2+U2=(1+Z1Y0)U2+(Z1+Z2+Z1Z2Y0)I2.    (9.4)

Порівняємо рівняння (9.3) та (9.4) з основними рівняннями чотириполюсника, тоді одержимо:

A=1+Z1Y0;  B=Z1+Z2+Z1Z2Y0;

C=Y0 ;  D=1+Z2Y0.

Звідси можна визначити зворотні залежності

.

Якщо Z1=Z2, то A=D і чотириполюсник буде симетричним.

Для П – подібної схеми:

Складемо рівняння за І законом Кірхгофа для 1 та 2 вузлів:

I1=I’+I0; I0=I2+I’’, →  I1=I’+I’’+I2.

Враховуючи, що I’=Y1U1;  I’’=Y2U2, одержимо

I1=Y1U1+Y2U2+I2;  I0=I2+Y2U2

За ІІ законом Кірхгофа для зовнішнього контуру

U1=Z0I0+U2=Z0(I2+Y2U2)+U2.

Тоді:

Порівняємо рівняння (9.5) та (9.6) з основними рівняннями чотириполюсника, одержимо:

A=1+Y2Z0; B=Z0;

C=Y1+Y2+Y1Y2Z0; D=1+Y1Z0.

Звідси визначимо зворотні залежності:

Якщо Y1=Y2 то A=D, і чотириполюсник буде симетричним.

Отже, якщо відома конфігурація кола чотириполюсника та параметри його елементів, то сталі чотириполюсника можна визначити розрахунковим шляхом, так як будь-яке пасивне коло можна звести до триелементного.

9.3. Дослідне визначення постійних чотириполюсника

Дослідне визначення постійних A, B, C, D чотириполюсника застосовують в тому випадку, якщо невідомі конфігурація кола та параметри його елементів.

Введемо поняття: вхідний опір чотириполюсника – це еквівалентний опір всього кола по відношенню затискачів, до яких ввімкнено джерело електроенергії.

Однак, джерело може бути ввімкнене або до затискачів 1-1’, або
до 2-2’, тому розрізняють відповідні вхідні опори (рис. 9.5).

З рівнянь (9.7) та (9.8) видно, що для визначення параметрів чотириполюсника необхідно знати U1; U2; I1; I2  для 4-х дослідів. Ці величини можна виміряти за допомогою електровимірювальних пристроїв. Так як чотириполюсник лінійний, то вхідні опори можуть бути визначені для будь-яких значень U2 та I2.

Для спрощення задачі завжди можна прийняти U2=0, або I2=0. В цих випадках матимемо або режим холостого ходу, коли I2=0; U2 ≠ 0, або режим короткого замикання, коли U2=0; I2 ≠ 0.

Припустимо, що джерело електричної енергії ввімкнено до затискачів 1-1’, а затискачі 2-2’ розімкнені, тобто I2=0, U2 ≠ 0, – режим холостого ходу

Тепер замкнемо затискачі 2-2’, тобто U2 = 0; I2 ≠ 0, – режим короткого замикання

Поміняємо місцями джерело і приймач і повторимо ті ж самі режими роботи

З одержаних залежностей для вхідних опорів чотириполюсника бачимо, що його сталі можна визначити дослідним шляхом. Для цього необхідно виміряти величини: U1XX; I1XX; φ1XX; U1K3; I1K3; φ1K3; U’1XX; I’1XX; φ2XX; U’1K3; I’1K3; φ2K3.

За показниками приладів визначимо:  Z1XX; Z1K3; Z2XX; Z2K3. 

Для контролю правильності виконання досліду необхідно перевірити, щоб виконувалась рівність:

.

Дослідні схеми приведені на рис. 9.6.

За показниками приладів визначаємо Z1XX; Z1K3; Z2XX; Z2K3; а потім знаходимо сталі чотириполюсника, враховуючи, що AD – BC=1:

Звідси:

;

.

Тоді:

.

Потім визначаємо сталі A, B, C.

Таким чином, в результаті проведення дослідів холостого ходу та короткого замикання чотириполюсника можна визначити його сталі.


Приклади розрахунку чотириполюсників

Задача № 1

До чотириполюсника, схема якого зображена на рис. Р9.I, приєднаний приймач з опором Z = 50+j50 Ом. Визначити сталі чотириполюсника та знайти вхідні струм і напругу, якщо струм на виході I2 = 1A, а параметри елементів чотириполюсника такі:

ω = 2500 1/с;   R1 = 30 Ом;  L1 = 16 мГн;  R2 = 10 Ом; L2 = 12 мГн;

R0 = 100 Ом;  С = 8 мкФ.

Побудувати векторну діаграму чотириполюсника.

Розв’язання

I. Знайдемо параметри даного чотириполюсника. Із схеми видно, що чотириполюсник Т – подібний:

Z1 = R1+jωL1 = 30+j2500·15·10-3 = 30+j40 Ом;

Z2 = R2+jωL2 = 10+j2500·12·10-3 = 10+j30 Ом;

См;

Ом;

І спосіб

2. Визначимо сталі чотириполюсника, використовуючи відомі співвідношення між його параметрами та сталими.

С = Y0 = 0,01+j0,02 См.  D = 1+Y0Z2 = 0,5+j0,5.

A = 1+Y0Z1 = 1+(0,01+j0,02)(30+j40) = 1+0,3+j0,4+j0,6–0,8 = 0,5+j.

B=Z1+Z2+Y0Z1Z2 = 30+j40+10+j30+(0,01+j0,02)(30+j40)(10+j30) =

= 40+j70+(–0,5+j)(10+j30) = 40+j70+j10–30–5–j15 = 5+j65 Ом.

3. Розрахуємо напругу та струм на вході чотириполюсника.

U1 = AU2+BI2 ,

де U2 = I2·Z = 1·(50+j50) = 50+j50 B. (ψi2 = 0).

Тоді U1 = (0,5+j)(50+j50)+(5+j65)·1 = 25+j25+j50–50+5+j65 =

= - 20+j140 B.

 I1 = CU2+DI2 = (0,01+j0,02)(50+j50)+(0,5+j0,5)·1 =

= 0,5+j0,5+j–1+0,5+j0,5 = j2 A.

4. Будуємо векторну діаграму струмів та напруг чотириполюсника
(рис. Р9.2).

ІІ спосіб

2. Визначимо сталі чотириполюсника за методом холостого ходу та короткого замикання, використовуючи відомі співвідношення між його сталими та вхідними опорами. Знаходимо в такій послідовності: D→B→C→A:

;

;

;  .

Для Т – подібного чотириполюсника за допомогою схеми знайдемо всі вхідні опори.

Z1x = Z1+Z0 = 30+j40+20–j40 = 50 Ом;

Z2x=Z2+Z0 = 10+j30+20–j40 = 30–j10 Ом;

Ом;

Тоді:   

,

D′ = 0,5+j0,5;  D″ = 0,5–j0,5.

Далі:

См.

A = Z1x·C = 50·(0,01+j0,02) = 0,5+j .

B = Z1кз·D = (70+j60)(0,5+j0,5) = 35+j35+j30–30 = 5+j65 Ом;

Задача № 2

Сталі чотириполюсника відповідно дорівнюють:

A = I;  B = 100 Ом;  D = I+j2.

Визначити параметри Т і П – подібних схем заміщення.

Розв’язання

І спосіб.

1. Для Т – подібної схеми заміщення маємо:

,  ,  .

Із  AC–BC = 1   знаходимо   .

См;

Тоді:  Y0 = j0,02 См.

;   Ом.

2. Для П – подібної схеми:

Z0 = B = 100 Ом,

См,   .

ІІ спосіб.

Розрахуємо параметри схем заміщення за відомими сталими чотириполюсника методом холостого ходу і короткого замикання.

Відомо, що

;  ;  .

Тому:

Ом;

Ом;

Ом.

Для Т – подібної схеми чотириполюсника маємо:

Z1x = Z1+Z0; (1)   Z2x = Z2+Z0 ;  (2)   Z1кз = Z1+ (3).

Із рівнянь (1) та (2) знаходимо

Z1 = Z1xZ0,  Z2 = Z2xZ0.

Підставимо значення Z1, Z2 в рівняння (3) і знайдемо Z0:

Z1кз = Z1xZ0+;

Z1кз·Z2x = Z1x·Z2xZ0·Z2x+Z0·Z2xZ02 ;

Ом;

Z1′ = j50 Ом;  Z0″ = –j50 Ом.

Тоді:

Z1′ = Z1xZ0′ = –j50–j50 = –j100 Ом;

Z1″ = Z1xZ0″ = 0.

Z2′ = Z2xZ0′ = –j50+100–j50 = 100–j100 Ом.

Z2″ = Z2xZ0″ = 100–j50+j50 = 100 Ом.

Параметри П – подібної схеми можна знайти за відомими параметрами Т – подібної схеми заміщення, використовуючи формули еквівалентного переходу від зірки до трикутника.

Z = Z1T+Z0T+.

Для Z0″ = –j50 Ом;  Z1″ = 0;  Z2″ = 100 Ом    маємо:

Z = 0–j50+0 = –j50 Ом.

Тоді:

См.

Z = Z+Z0T+.

Тоді:

Y2→0.  Z0 = Z1T+Z2T+Ом.


Тема № 10. Нелінійні електричні кола постійного струму

Вступ

Нелінійним електричним колом називається коло, в якому електричний опір, індуктивність або ємність, принаймні, однієї з ділянок залежать від значень та напрямку струмів і напруг на цій ділянці.

В нелінійних колах електромагнітні процеси описуються нелінійними алгебраїчними та диференційними рівняннями.

10.1 Нелінійні елементи в колах постійного струму. Вольт-амперні характеристики нелінійних елементів

Нелінійні елементи (НЕ) – елементи, параметри яких (електричний опір R, індуктивність L чи ємність С) залежать від величини або напряму струмів в них чи напруг на їх затискачах. В колах постійного струму мають місце тільки нелінійні резистори.

НЕ на відміну від лінійних мають нелінійні вольт-амперні характеристики (ВАХ). ВАХ – це залежність струму, що протікає через елемент кола, від напруги на ньому, тобто I=f(U) або U=f(I).

НЕ поділяються на дві великі групи: некеровані та керовані.

В керованих НЕ, на відміну від некерованих, крім основного кола, зазвичай, є ще принаймні допоміжне (керуюче) коло, яке впливає на ВАХ основного кола. В некерованих НЕ ВАХ зображають однією кривою, а в керованих – декількома кривими, кожна з яких знімається при деяких заданих значеннях керованих величин.

В залежності від виду ВАХ розрізняють НЕ з симетричними та несиметричними ВАХ. ВАХ НЕ з симетричними характеристиками не залежать від напрямку струму або напруги, тобто для них справедливо
U(I)= - U(I).

Симетричними ВАХ характеризуються лампи розжарювання (рис. 10.1).

  1.  вугільна нитка;
  2.  металева нитка.

R = tg.

Графік показує, що із збільшенням струму опір лампи розжарювання з металевою ниткою підвищується, а з вугільною ниткою зменшується.

ВАХ НЕ з несиметричними характеристиками залежить від напрямку струму або напруги. Прикладом такого НЕ є напівпровідниковий діод (рис. 10.2).

Для керованих НЕ керуючими величинами є температура, тиск, освітленість напруга електричного та магнітного поля тощо.

ВАХ термістора – керованого НЕ, приведена на рис. 10.3. Його опір змінюється в залежності від температури, з ).

10.2 Статичні та динамічні опори НЕ

Окрім ВАХ НЕ характеризується також статичним  та динамічним  опорами.

Для точки A() (рис. 10.4) визначимо . .

Під статичним опором розуміють відношення постійної напруги на НЕ до струму в ньому

[Ом]

Отже, статичний опір НЕ в будь-якій точці ВАХ пропорційний тангенсу кута нахилу до  осі струму лінії, що проходить через дану точку і початок координат.

Величина, обернена до ,називається статичною провідністю  [См].

Динамічним (диференційним) опором називається скалярна величина, яка дорівнює граничному відношенню приросту напруги на НЕ до приросту струму в ньому, якщо останній прямує до нуля.

.

Для визначення  проведемо дотичну до точки А. З трикутника ΔАМN маємо:

Отже,  пропорційний тангенсу кута нахилу до осі струму дотичної до даної точки ВАХ.

В загальному випадку . Вони є змінними величинами.

10.3. Розрахунок нелінійних кіл з послідовним з`єднанням НЕ

Для розрахунку нелінійних кіл застосовуються:

- аналітичний метод;

- графічний метод;

- графоаналітичний метод.

Для розрахунку кіл з послідовним з`єднанням НЕ (рис. 10.5) застосовується графічний метод. Він вважається для даного випадку основним.

Дано: U, ВАХ НЕ:  та .

Визначити: I,

Порядок розрахунку.

Розрахунок зводиться до знаходження ВАХ усього кола U(I), що рівнозначно заміні початкового нелінійного кола еквівалентним колом з одним НЕ (рис. 10.6).

1. Складаємо рівняння для нелінійного кола:

I=const,  U =

2. Використовуючи ВАХ НЕ будуємо ВАХ усього кола  I(U)=I(), для чого необхідно задати кілька значень струму І та скласти напруги, що їм відповідають на НЕ1 та НЕ2 (рис. 10.7).

3. Визначаємо за допомогою ВАХ усього кола І, та  для заданої U. Для чого необхідно для заданої U визначити I, а потім  та .

Аналогічно розраховуються кола, в яких послідовно з НЕ ввімкнено джерело ЕРС (рис. 10.8).

Спочатку складаємо рівняння за ІІ законом Кірхгофа для кожного кола:

U`-U=E   U`-U=-E

U=U`-E   U=U`+E

Далі будуємо ВАХ усього кола.

ВАХ усього кола аналогічна ВАХ НЕ, але зсунута на величину Е в бік збільшення напруги при зустрічному напрямку струму та ЕРС і навпаки (рис. 10.9).

10.4. Розрахунок кола з паралельним з`єднанням НЕ

Дано: U, ВАХ НЕ1 U() та ВАХ НЕ2 U().

Визначимо  I, І1  та І2  (рис.10.10).

Порядок розрахунку:

  1.  Складаємо рівняння за законами Кірхгофа

.

2. Будуємо ВАХ усього кола , для чого необхідно задати значення вхідної напруги U, знайти значення вхідного струму I, як суму струмів в окремих вітках (рис. 10.11).

3. Для заданої напруги U по ВАХ усього кола знаходимо струми

10.5. Розрахунок кіл зі змішаним з`єднаннями НЕ

Дано: U, ВАХ НЕ1, НЕ2, НЕ3:

Визначити: , (рис. 10.12).

1. Для паралельного з`єднання НЕ, для якого , І123, будуємо ВАХ еквівалентного НЕ  

.

Переходимо до схеми з послідовним з’єднанням НЕ рис. 10.13.

  1.  Для послідовного з`єднання НЕ будуємо ВАХ усього кола (рис. 10.14)

3. По ВАХ усього кола за заданою напругою знаходимо

10.6 Заміна НЕ лінійним резистором та ЕРС

Розглянемо наступну ВАХ НЕ. Припускаємо, що НЕ функціонує тільки на лінійній ділянці mn. В цьому випадку НЕ можна замінити лінійною еквівалентною схемою з послідовним з’єднанням резистора із опором Rдин  та джерела ЕРС E (рис. 10.15).

Для доведення припустимо, що робочий режим НЕ характеризується точкою А(U,I) (рис. 10.16). Проведемо до точки А дотичну до перетину з віссю напруги. Таким чином ми заміняємо нелінійну ВАХ прямою лінією, яка зсунута на величину Е. Для точки А знаходимо

 BC=U-E, AC=I.

,   IRдин =U – E,

IRдин – U= - E.

Цьому рівнянню відповідає схема на рис 10.15,б.

Розглянемо НЕ з опуклою ВАХ (рис. 10.17)

Цьому рівнянню відповідає схема на рис 10.18. Після такої заміни отримана схема розглядається як лінійне коло.

Цей метод відноситься до аналітичного методу розрахунку нелінійних кіл та називається методом лінеаризації.

10.7. Розрахунок складних електричних кіл з одним НЕ

Дано: R1, R2, E1, E2, (E1 >E2), ВАХ НЕ U3(I3). Визначимо I1, I2, I3 (рис. 10.19).

Порядок розрахунку:

1.Спочатку використовуємо метод еквівалентного генератора та визначаємо I3. Вітку з НЕ вважаємо виділеною і переходимо до схеми рис 10.20, де треба визначити. UXX та Rвт.

Визначимо Uxx, використовуючи розрахункову схему рис 10.21.

UXX +I'1 R1=E1;  UXX=E1 - I'1 R1,

де   

З розрахункової схеми рис 10.22 визначаємо Rвт :

.

На рис 10.20 відомі всі параметри кола. Струм І3 визначаємо графічним методом, як для кола з послідовним з’єднанням НЕ. Для цього за відомою ВАХ НЕ та ВАХ лінійного резистора Uвт3) знаходимо ВАХ усього кола (рис 10.23). ВАХ лінійного резистора Rвт – це пряма лінія, яка проходить через початок координат.

Другу точку вибираємо довільно, наприклад:  для .

Для значення UXX за ВАХ усього кола знаходимо  І3  та U3. Струми І1  та  І2  знаходимо із схеми рис 10.19.

Для контуру I:  

Для контуру ІІ:  

Це є приклад графоаналітичного методу розрахунку нелінійного кола.


Тема 11. Нелінійні кола змінного струму без феромагнітних елементів

11.1. Загальні властивості нелінійних кіл змінного струму

В колах змінного струму НЕ є не тільки резистори, але й індуктивні котушки та конденсатори. Тут проявляються такі особливості НЕ, як інерційність і несиметричність ВАХ.

Інерційними НЕ називають елементи, у яких нелінійність базується на температурній залежності електричної провідності матеріалу.

Наприклад, терморезистор – це інерційний елемент, його нелінійність обумовлена нагріванням при проходженні струму. Через це його нелінійні властивості проявляються тільки при зміні діючого значення струму.

Для миттєвих значень струму та напруги ВАХ терморезистора являється лінійною, так як зміна нагріву не встигає за зміною миттєвого струму (рис. 11.1)

Через це при синусоїдній напрузі на затискачах інерційного НЕ струм в ньому також буде змінюватись за законом синуса, що дає можливість скористатися символічним методом для розрахунку таких нелінійних кіл.

В колах змінного струму застосовуються також і безінерційні елементи, для яких нелінійність проявляється уже для миттєвих значень струмів і напруг.

До них належать:

- напівпровідникові діоди,

- нелінійні індуктивності та конденсатори.

Якщо електричне коло містить безінерційні НЕ, то при синусоїдній напрузі струм в ньому буде змінюватись за несинусоїдним законом (рис 11.2)

Безінерційний НЕ з несиметричною ВАХ, який має односторонню провідність, використовується для перетворення змінного струму в постійний.

НЕ в колах змінного струму дозволяють:

- перетворювати змінний струм в постійний і навпаки;

- виконувати множення і ділення частоти, підсилення напруги;

- стабілізувати струм чи напругу.

11.2. Апроксимація характеристик нелінійних елементів

Електромагнітні процеси в нелінійних колах змінного струму описується нелінійними диференційними рівняннями. Для аналітичного вирішення таких рівнянь необхідно ВАХ НЕ замінити аналітичним виразом – формулою.

Наближений математичний опис заданої нелінійної ВАХ аналітичною функцією – називається апроксимацією.

Найбільш широке застосування для апроксимації характеристик НЕ набули наступні аналітичні вирази:

- степеневий поліном

,

де   – коефіцієнти апроксимації;

- експоненціальний поліном

,

де    – коефіцієнти апроксимації;

- трансцендентні функції

,

,

де: - коефіцієнти апроксимації.

Розглянемо кулон-вольтну характеристику нелінійного конденсатора (рис 11.3).

Її можна замінити наступним степеневим поліномом:

де: коефіцієнти апроксимації невідомої величини.

Для визначення  та  скористаємось методом вибраних точок. Для точок 1 і 2 отримаємо два рівняння з двома невідомими:

,

.

Звідси визначаємо та .

Для більш точної апроксимації можна використати поліном виду

.

11.3. Випрямлячі. Однофазний однонапівперіодний випрямляч

Випрямлячами називаються статичні пристрої, призначені для перетворення змінного струму в постійний.

Зобразимо принципову схему випрямляча (рис.11.4).

Основними елементами випрямляча є:

1–силовий трансформатор – призначений для узгодження вхідної і випрямленої напруги, а також для електричної ізоляції між вхідними і вихідними колами.

2 – вентильний блок – перетворює змінний струм в постійний.

3 – згладжувальний фільтр – для згладжування пульсації випрямленої напруги.

Для перетворення змінного струму в постійний використовуються діоди – безінерційні НЕ з несиметричною ВАХ (рис. 11.5). Вони називаються електричними вентилями. Вентиль має два електроди:- анод і катод.

Електричний вентиль – це прилад, який проводить електричний струм в одному напрямку від анода до катода.

Вентиль характеризується наступними параметрами:

- постійною прямою напругою,

- прямим струмом,

- постійною зворотною напругою,

- середнім зворотнім струмом.

Випрямлячі бувають:

- одно-, двох-, трьох-, шестифазні однонапівперіодні;

- одно-, трифазні двонапівперіодні чи мостові.

Розглянемо однофазну однонапівперіодну схему випрямляча (рис 11.6)

Аналіз процесів в схемі проведемо для випадку, коли ВАХ вентиля замінимо ламаною лінією (рис 11.6) при цьому Rзв → нескінченість. Опір вентиля в прямому напрямку буде дорівнювати

.

Враховуючи внутрішній активний опір вторинної обмотки трансформатора Rt2 ,схеми заміщення випрямляча мають вигляд (рис. 11.7).

Тут:  Rt2 – активний опір вторинної обмотки;

Rд – опір вентиля в прямому напрямку;

Rн – опір приймача (навантаження).

Нехай напруга на затискачах вторинної обмотки трансформатора змінюється за синусоїдним законом:  .

Упродовж додатного напівперіоду синусоїди, тобто коли 0, вентиль буде відкритий, у вторинному колі трансформатора проходить синусоїдний імпульс струму і2, форма якого повторює форму напруги u2 (рис. 11.8), цьому напівперіоду напруги відповідає схема рис.11.7,а.

Запишемо для неї рівняння за II-м законом Кірхгофа:

де:  – миттєва напруга на активному опорі вторинної обмотки трансформатора;

миттєва напруга на вентилі при його відкритому стані;

миттєва випрямлена напруга на приймачеві.

Струм у вторинній обмотці буде дорівнювати

.

Максимальне значення струму дорівнює:

де:  R=RT2+Rд+ Rн – сумарний активний опір вторинної обмотки.

Напруга на приймачеві u0 буде повторювати форму струму:

,

При ωt= проходить зміна знака на затискачах вторинної обмотки. Упродовж від’ємного напівперіода синусоїди, тобто при , вентиль буде закритий, струм і2=0, так як . Цьому напівперіоду напруги відповідає схема рис.11.7,б. Запишемо для неї рівняння за II законом Кірхгофа: u2=uд.

Звідси слідує, що струм іо і напруга uo будуть пульсуючими.

Їх можна представити у вигляді тригонометричного ряду:

де: Umo –максимальне значення випрямленої напруги.

Постійна складова випрямленої напруги дорівнює

,

але   

тоді  

звідси  .

За даною формулою можна визначити необхідну діючу напругу U2 на вторинній обмотці, для отримання заданої постійної напруги Uo на приймачеві.

Максимальне значення струму через вентиль дорівнює:

але   

тоді   

де  Io – стала складова струму приймача.

Діюче значення струму у вторинній обмотці:

,   sin

Повна потужність в колі вторинної обмотки дорівнює

,

але

 ,

тоді

.

Активна потужність в колі вторинної обмотки

.

Коефіцієнт потужності кола дорівнює

cos

, так як має місце потужність спотворення, обумовлена відмінністю форм кривих струму і2 і напруги  u2 :

.

Визначимо коефіцієнт ефективності перетворення змінного струму в постійний:

.

Максимальна напруга на вентилі в інтервалі, коли вентиль закритий, називається зворотною напругою:

.

Коефіцієнтом пульсації називаються відношення амплітуди першої гармоніки випрямленої напруги до її сталої складової.

k  так як    .

Якщо нехтувати активним опором вторинної обмотки трансформатора  () і вважати вентиль ідеальним (), то  і отримані вище співвідношення приймуть вигляд:

 .

.

.

 .

ВАХ ідеального вентиля (діоду)приведена на рис. 11.9.

11.4. Двофазний однонапівперіодний випрямляч

Двофазна однонапівперіодна схема випрямлення представляє собою сполучення двох однофазних однонапівперіодних випрямлячів, які працюють на загальний приймач Rн .

Зобразимо схему такого випрямляча:

Напруги u2' і u2''