48365

Три теорії теплоємності

Лекция

Физика

Теплоємність Теплоємність в класичній теорії. теплоємність Ейнштейна Теплоємність в теорії Дебая.

Украинкский

2013-12-09

152.5 KB

37 чел.

` Лекція 4

Тема

Три теорії теплоємності.

План лекції

1. Ентальпія

2. Теплоємність

3. Теплоємність в класичній теорії.

4. теплоємність Ейнштейна

5. Теплоємність в теорії Дебая.

6. Температура Дебая

7. Закон Джоуля — Коппа

Література

 1. В.Т. Черепин, Експериментальная техника в физическом металловедении. Киев, Техника, 1968, с.279.

2. Металловедение и термическая обработка стали. Справочник в трех томах, т.1, Методы испытаний и исследования, Москва, Металлургия, 1983, с. 351.

3. Энциклопедический словарь “Физика твердого тела”. Киев, Наукова думка, т.1, 1996, с. 556.

1. Ентальпія і теплоемність – загальні поняття.

Ентальпія (по-іншому тепловая функция Гібса або  тепловміст)  — термодинамічний потенціал, що характеризує стан системи в термодінамичній рівновазі, якщо описувати систему за допомогою таких змінних, як тиск, температура та кількість частинок H = H (Р, T).

. Тобто ентальпія — це та енергія, яку можна перетворити в теплоту при певному сталому тиску.

Ентальпія є сумою внутрішньої енергії тіла і роботи, яку необхідно затратити, щоб тіло об'ємом V ввести в навколишнє середовище, що має тиск Р і що знаходиться з тілом в рівноважному стані:

Н = U + РV.       (1)

, .

Оскільки в квазірівноважних процесах  – кількість теплоти, підведеної до системи, звідси витікає фізичний сенс введення поняття ентальпії: її зміна - це тепло, підведене до системи в ізобаричному процесі (при постійному тиску). 

Практичне застосування цієї функції засноване на тому, що безліч хімічних процесів в реальних або лабораторних умовах реалізуються саме при сталому (атмосферному) тиску, коли резервуар відкритий. Так, ентальпія утворення – кількість енергії, що виділяється (екзотермічні реакції) або поглинається (ендотермічні реакції) при утворенні складної речовини з простих речовин. Мірою теплоти реакції служить зміна ентальпії ΔН, яка відповідає теплообміну при постійному тиску. У разі екзотермічних реакцій система втрачає тепло і ΔН – величина негативна. У разі ендотермічних реакцій система поглинає тепло і ΔН – величина позитивна.

Зміну ентальпії в ізобаричних процесах зручно розраховувати, знаючи теплоємність при постійному тиску CР (T): 

Ентальпія – величина адитивна, тобто для складної системи дорівнює сумі ентальпій її незалежних частин:

Повний диференціал ентальпії при постійній кількості частинок системи N :

dН =TdS + VdР       (2)

За цією формулою визначають температуру Т = (дH/дS)Р, об’єм V = (дH/дР)S, а також  теплоємність. сР = (дH/дТ)Р.

2. Теплоємність означає кількість теплоти, яка необхідна для підвищення температури тіла одиничної кількості (1 г, 1 кг, 1 моль) на 1 К. Теплоємність одиниці маси речовини (г, кг) називається питомою теплоємністю. Теплоємність одного моля (кількість структурних елементів в одиницях кількості частинок у 0.012 кг 12С, що є числом Авогадро) речовини називається молярною. Одиниці вимірювання теплоємності – Дж/кг·К, Дж/моль·К, несистемна одиниця кал/моль·К.

Теплоємність – це коефіцієнт пропорційності між ентальпією й температурою:

Н ~  сmT        (3)

Вона вимірюється або при постійному тиску, або при постійному об’ємі. Математично визначається, як перша похідна ентальпії по температурі сp = (дH/дТ)Р., або сV = (дH/дТ)V. При нагріванні при постійному тиску частина тепла йде іде на роботу розширення тіла, а частина на підвищення внутрішньої енергії; при постійному об’ємі уся теплота йде на збільшення внутрішньої енергії U. Саме тому завжди сP>сV. Для газів сP - сV = R, де є газова константа (R = NAkB = 8.314 Дж/моль·К, = 1.986 кал/моль·К).

Для металів сV  неможливо виміряти безпосередньо. Тому вимірюють сР і за формулою сV = сР  - 2VT/К знаходять сV. Тут - це коефіцієнт об’ємного розширення,  = V-1 (дH/дТ)Р, К – це коефіцієнт стиснення,  

К = V-1 (дH/дР)Р.

3. Класична теорія теплоємності.

Тверде тіло може бути змодельоване частинками, які коливаються відносно положення рівноваги. Атоми, які знаходяться у вузлах гратки, при нагріванні коливаються, тому найпростіша модель твердого тіла така: атоми масою m прив'язані один до одного пружинкою жорсткості k. Кожен атом з положенням рівноваги у вузлах гратки будемо моделювати незалежним осцилятором. Енергія осцилятора

.

Можна довести, що середня кінетична енергія осцилятора дорівнює середній потенційній енергії:

.

З статистичної фізики відомо, що

,

тому середня енергія одного осцилятора дорівнює . Тоді внутрішня енергія одного моля буде дорівнювати

,

де R – універсальна газова стала

а теплоємність

Класична теорія говорить, що теплоємність одного моля будь-якого твердого тіла дорівнює 3R. Однак, експериментально виміряна теплоємність твердих має такий вигляд, як на  (рис.1.2). При достатньо низьких температурах теплоємність спадає як T3. Класична теорія не пояснює цього.

Закон

називають законом Дюлонга-Пті, на ім'я вчених, що його винайшли.

Для металів цей закон виконується при високих температурах. При температурах нижче певної характеристичної закон не виконується і залежність теплоємності від температури має нелінійний характер. Наприклад, для срібла крива цієї залежності має вигляд (Рис. 1). Така нелінійна залежність має квантову природу.

Рис. 3.

2. Теорія теплоємності Ейнштейна

Квантова теорія теплоємності Ейнштейна  була створена Ейнштейном у 1907 році, при спробі пояснити експериментальну залежність теплоємності від температури. При розробці теорії Ейнштейн спирався на наступні припущення:

  •  атоми в кристалічній гратці ведуть себе як гармонічні осцилятори, що не взаємодіють один з одним.
  •  частота коливань всіх осциляторів однакова.
  •  число осциляторів у 1 молі речовини дорівнює 3Na, де Na - число Авогадро.
  •  енергія їх є квантованою: ,
  •  число осциляторів з різною енергією визначається розподілом Больцмана:
  •  

Внутрішня енергія 1 моля речовини:

.

де  знаходиться з співвідношення для середнього значення:

і складає:

,

звідки:

.

Визначаючи теплоємність як похідну внутрішньої енергії по температурі, отримуємо остаточну формулу для теплоємності:

.

Рис. 4.

Відповідно до моделі, запропонованої Ейнштейном, при абсолютному нулі температури теплоємність наближається до нуля, при великих температурах, навпаки, виконується закон Дюлонга-Пті.
Проте теорія Ейнштейна недостатньо добре узгоджується з результатами експериментів, оскільки має багато припущень, зокрема, припущення про рівність частот коливань всіх осциляторів. Більш точна теорія була створена Дебайем у 1912 році. 

4. Теплоємність в теорії Дебая.

Модель Дебая розглядає коливання кристалічної решітки як газ квазічастинок  фононів. Ця модель правильно прогнозує теплоємність при низьких температурах, що пропорційна T3. При наближенні до високих температур теплоємність наближається до 3R, згідно закону Дюлонга — Пті.

При тепловій рівновазі енергія E набору осциляторів з різними частотами дорівнює сумі їх енергій

,

де D(ω) — число мод нормальних коливань на одиницю довжини інтервалу частот,

n(ω) — кількість осциляторів у твердому тілі, які коливаються з частотою ω.

Функція густини D(ω) в трьохвимірному випадку має вигляд:

де V — об'єм твердого тіла, v — швидкість вуку в ньому.

Значення квантових чисел обчислюються за формулою Планка:

.

Тоді енергія запишеться у вигляді

де TDтемпература Дебая,

N — число атомів у твердому тілі,

kBстала Больцмана.

Диференцуючи внутрішню енергію за температурою, отримаємо:

:.

6. Температура Дебая – D, це характеристична температура, яка відповідає максимальний частоті коливань кристалу max і визначається за формулою

D = hmax /kB. Тобто температура Дебая – це температура, при якій існують всі моди коливань у твердому тілі. Подальше збільшення температури не призводить до появи нових мод коливань, а лише веде до збільшення амплітуд вже існуючих, тобто середня енергія коливань зі зростанням температури зростає. Температура Дебая характеризує максимальну частоту коливань атомів, швидкість звуку, міжатомний зв‘язок, пружні константи і залежить від кристалічної будови, електронної структури, фазового складу, тощо.

7. Випадки граничних температур.

Розкладання в ряд повної внутрішньої енергії кристалу (…) і його обмеження для двох крайніх випадків дає такі значення теплоємності (…..):

1. для високих температур, T > D, (x <.1), теплоємність залежить від квадрату температури:

сV = 3R – (3R/20)(T/D)2      (…..),

а для дуже високих температур, T >> D, (x <<.1) теплоємність не залежить від температури взагалі:

сV = 3R       (…),

і має вигляд закону Дюлонга-Пті.

2. для низьких температур, T <<D, (x >>1), теплоємність змінюється, як T3:

сV  124R/5(T/D)3 = 233.8R(T/D)3 = Т3   (…),

Вираз (…..) називається законом Дебая .або закон ом T3.

На рис. 4 показано хід теплоємності, обчисленої за формулою (…) від приведеної температури T/D. Пунктиром показано граничніі значення сV для високих і низьких температур. Видно, що закон Дебая добре описує температурну залежність теплоємності між 0К і  T/D = 0.1, а високотемпературна формула дає добре наближення для  T/D > 0.5.При ще більш високих температурах (T>>D) сV = R, що відповідає законк Дюлонга-Пті.

7. Закон Джоуля — Коппа

Закон Джоуля-Коппа описує теплоємність складних (тобто, що складаються з кількох хімічних елементів) кристалічних тіл. Заснований на законі Дюлонга-Пті. Кожен атом у молекулі має три коливальних ступеня свободи, і він має енергією

Відповідно, молекула з n атомів володіє в n разів більшою енергією:

Молярная теплоємність речовини дорівнює:

,

тобто вона в n разів більше теплоємності кристала з одноатомними молекулами. Іншими словами, молярна теплоємність речовини дорівнює сумі теплоємностей складових його хімічних елементів. Важливо зазначити, що закон Джоуля-Коппа виконується навіть для кристалів, що містять у своїй структурі хімічні елементи, які не підкоряються закону Дюлонга-Пті.

Закон уперше був висловлений Джоулем в 1844 р., а остаточно сформульований і підтверджений експериментально Коппом в 1864 р.

PAGE  7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24127. Исторические типы диалектики. Законы и категории диалектики 17.53 KB
  Диалектика это философское учение о наиболее общих закономерных связях и развитиях. Вершина диалектики учение Гегеля который выделил учение о противоречии как источник развития движения силы развития. В живой материи при процессах развития накопление информации количества переходит в совершенствование качество генетического кода универсализацию и повышение жизнеспособности. Существуют процессы как развития так и деградации переходы как качества в количество так и количества в качество.
24129. Личность и индивид. Личность и общество, проблема отчуждения 16.37 KB
  Личность и индивид. Личность и общество проблема отчуждения. От этих двух понятий необходимо отличать понятие личность. Слово личность лат.
24130. Основные понятия философской аксиологии. Этические и эстетические ценности. Ценности современного общества 14.17 KB
  Этические и эстетические ценности. Ценности современного общества. Этические ценности это прежде всего ценности взаимоотношений с другими людьми. ЭСТЕТИЧЕСКИЕ ЦЕННОСТИ это ценности образного постижения мира в процессе любой деятельности человека прежде всего в искусстве на основе законов красоты и совершенства.
24131. Проблема смысла жизни, цели жизни, счастья 15.82 KB
  Проблема смысла жизни цели жизни счастья. Вопрос о смысле жизни это очень человеческий вопрос. С незапамятных времен вопрос о смысле жизни занимал человека. Когда же речь заходит о самом человеке и его жизни то уже ставится вопрос: Зачем Различное отношение людей к вопросу о смысле жизни нашло отражение в таких воззрениях как оптимизм пессимизм и скептицизм.
24132. Проблема смерти и бессмертия. Основные концепции бессмертия 14.36 KB
  Бессмертие идея о том что очевидный закон жизни что всё живое смертно может нарушаться. Понятие бессмертие следует отличать от понятий характеризующих возможность живого организма существовать долго в зависимости от скорости метаболизма в нём или существовать дольше обычных сроков существования для подобных организмов. В понятие бессмертие входят: бессмертие души представление о том что человеческая душа живёт вечно независимо от тела. бессмертие физического тела представление о вечно живущем человеке.
24133. Культура и цивилизация. Причины духовного кризиса современной цивилизации 14.31 KB
  Культура и цивилизация. Культура и цивилизация Цивилизация это преобразованный человеком мир внеположенных ему материальных объектов а культура это внутреннее достояние самого человека оценка его духовного развития его подавленности или свободы его полной зависимости от окружающего соц. Если культура с этой точки зрения формирует совершенную личность то цивилизация формирует идеального законопослушного члена общества довольствующегося предоставленными ему благами. Цивилизация Ц это синоним культуры В социальной философии...
24134. Понятие глобальных проблем: виды и взаимосвязь, пути их решения 18.5 KB
  Глобальные проблемы это совокупность проблем человечества которые встали перед ним во второй половине XX века и от решения которых зависит существование цивилизации и следовательно требующие согласованных международных действий для их решения. Эти проблемы характеризуются динамизмом возникают как объективный фактор развития общества и для своего решения требуют объединённых усилий всего человечества. Глобальные проблемы взаимосвязаны охватывают все стороны жизни людей и касаются всех стран мира. Стало очевидным глобальные проблемы...
24135. Классификация глобальных проблем. Демографическая, экологическая проблемы 14.81 KB
  Демографическая проблема глобальная проблема человечества связанная с продолжающимся значительным приростом населения Земли опережающим рост экономического благосостояния в результате чего обостряются продовольственная и другие проблемы угрожающие жизни населения в этих странах. Глобальные экологические проблемы делят на несколько групп тесно связанных друг с другом: демографическая проблема негативные последствия роста численности населения в 20м в.; энергетическая проблема дефицит энергии порождает поиск новых ее источников и...