48430

Фізика. Курс лекцій

Конспект

Физика

Для дослідження напруженого стану в точці навколо неї виділяється нескінченно малий паралелепіпед. У загальному випадку навантаження тіла і при довільному розташуванні паралелепіпеда на всіх його гранях діють як нормальні, так і дотичні напруження.

Украинкский

2013-12-15

9.07 MB

6 чел.

Лекція 7

ОБ'ЄМНИЙ НАПРУЖЕНИЙ СТАН

7.1 Компоненти напруженого стану. Тензор напружень

Для дослідження напруженого стану в точці навколо неї виділяється нескінченно малий паралелепіпед. У загальному випадку навантаження тіла і при довільному розташуванні паралелепіпеда на всіх його гранях діють як нормальні, так і дотичні напруження.

Нормальні напруження позначимо індексами осей, у напрямі яких вони діють: , . Дотичним напруженням  дамо два індекси: перший з них вказує на напрям осі, вздовж якої діє дана складова дотичного напруження, другий — напрям зовнішньої нормалі до площини, на якій дана складова виникає (рис. 7.1).

Можна показати, що напруження на довільній площинці залежить від дев'яти компонентів напружень: . Аналогічно як для плоского, так і для об'ємного напруженого стану справедливий закон парності дотичних напружень:

.                               (7.1)

Отже, з дев'яти компонентів напружень залишається шість різних. їх можна записати у таблицю (матрицю), на головній діагоналі якої розташовані нормальні напруження, а точки вказують на те, що дотичні напруження, замість яких вони поставлені, дорівнюють дотичним напруженням, розташованим симетрично відносно головної діагоналі:

Симетричну квадратну матрицю (7.2) називають тензором напружень. Компоненти тензора напружень є свого роду координатами, які визначають напружений стан у точці тіла. Тому напружений стан у точці тіла повністю означений, якщо відомий тензор напружень для цієї точки.

7.2 Визначення головнях напружень

Головні напруження визначаються з кубічного рівняння

                    (7.3)

де

Рівняння (7.3) розв'язують за допомогою ЕОМ або графічно. Можна показати, що всі три корені рівняння (7.3) є дійсні числа. Вони дають три значення головних напружень.

                          У загальному випадку                     . Це об'ємний напружений стан. Найбільше (в алгебраїчному смислі) головне напруження позначають ах, наступне по величині ог, а найменше о*3 s

    (7.5)

Зрозуміло, що головні напруження, тобто корені рівняння (73) визначаються характером напруженого стану і не залежать від того, яка система осей була початковою. Значить при повороті осей х, у, z коефіцієнти І1, І2,13 рівняння (7.3) повинні залишатися незмінними.

Вони називаються інваріантами напруженого стану.

У деяких випадках інваріанти можуть дорівнювати нулю. Наприклад, якщо I3 =0, то один з коренів рівняння (7.3) також дорівнює нулю. В цьому випадку напружений стан є плоским. Якщо I2=I3=0, тоді рівняння (73) має два нульових корені і тільки одне з головних напружень відмінне від нуля. Це – лінійний напружений стан.

Лекція 8

СКЛАДНИЙ ОПІР

Дотепер ми розглядали прості випадки навантаження стержня, які викликають його розтяг або стиск, кручення та прямий згин. Опір стержня у цих випадках називають простим. При сумісній дії кількох простих навантажень виникає так званий складний опір стержня.

8.1 Косий згин. Визначення нормальних напружень

У п. 3.1 ми розглядали прямий згин балок, при якому силова площина П проходить через одну з головних центральних осей її поперечного перерізу. Якщо ж силова площина П не збігається ні з однією з головних центральних осей поперечного перерізу балки, то такий згин називають косим (рис. 8.1).

Визначимо нормальні напруження в деякій точці А(z, у) довільного поперечного перерізу (рис. 8.2). Головні центральні осі z, у в цьому перерізі виберемо так, щоб область розтягу була в 1-й чверті. Згинальний момент М в даному перерізі розкладаємо на складові  де 

                           (8.1).

Користуючись принципом незалежності дії сил, зведемо косий згин до двох прямих згинів у двох взаємно перпендикулярних площинах. Напруження  у точці А знаходиться згідно з принципом суперпозиції як алгебраїчну суму напружень від моментів Мz і Му. За формулою (3.16)

                                                                               (8.2)

У (8.2) моменти  і Му беруться по модулю, а координати точки, для якої визначаються напруження, підставляються з врахуванням знаків.

8.2 Розрахунок на міцність при косому згині

Для визначення небезпечних точок у даному перерізі треба знайти положення нейтральної лінії. Її рівняння визначається з умови (z, у)= 0, тобто

                                                                                            (8.3)

звідки

                                                                                   (8.4)

Кут нахилу  нейтральної лінії до осі z знаходиться з виразу для кутового коефіцієнта k прямої (8.4)

                                                                 (8.5)

З (8.5) видно, що на відміну від прямого згину при косому згині нейтральна лінія (нл.) і силова лінія (р.р.) в загальному випадку (коли ) не будуть взаємно перпендикулярні (рис. 8.3). Для перевірки на міцність слід спочатку побудувати епюри згинальних моментів Мz  і Му. З цих епюр вибрати небезпечний переріз, де Мz і Му по модулю одночасно великі. Таких перерізів може бути декілька. Далі в небезпечному перерізі слід знайти небезпечні точки — це точки, які найбільш віддалені від нейтральної лінії — точки В і D (рис. 8.3). У точці В діє найбільше розтягуюче, а в точці D — найбільше стискаюче напруження. Умова міцності для небезпечних точок має вид

                                

                                                                                                             (8.6)

                        

Відмітимо, що якщо поперечний переріз балки має дві осі симетрії (наприклад, прямокутник, двотавр), то небезпечними будуть завжди кутові точки В і D (рис. 8.3). Умова міцності записується у вигляді

                                                                                 (8.7)                                     (8.7)

Для визначення прогину також використовуємо принцип незалежності дії сил і обчислюємо прогин в кожній з головних площин.

Позначимо прогин в напрямку осі у через   а в напрямку осі г через V. Тоді диференціальні рівняння прогинів у площинах хz і уz запишуться у вигляді

              ;                                (8.8)                                                                                 

Інтегруючи (8.8), визначаємо О) і V.

Величина повного прогину  перерізу визначається як геометрична сума прогинів  і V:

                                                                                             (8.9)

8.3 Поза центровий розтяг або стиск стержня.

Визначення нормальних напружень

Позацентровий розтяг або стиск викликається навантаженням, рівнодійна якого Р проходить паралельно до осі стержня з ексцентриситетом е.

Нехай на стержень довільного перерізу діє одна сила Р, яка паралельна до осі стержня і перетинає будь-який поперечний переріз у точці р (рис. 8.4). Координати точки р в системі головних центральних осей позначимо zр і yp. В будь-якому поперечному перерізі внутрішній силові фактори дорівнюють:

    N=P;            My=Pzy;            Mz=Pyp.                     (8.10)               

         На основі принципу суперпозиції нормальне напруження а в довільній точці перерізу дорівнює сумі напружень від кожного силового фактору

                                                                         (8.11)

 Підставляючи (8.10) в (8.11), одержимо

                                                                                   (8.12)

Винесемо Р/А і врахуємо, що

    

де іz, iy  — головні радіуси інерції поперечного перерізу стержня. Tоді

      .                                              (8.13) 

Формула (8.13) дає можливість знайти нормальні напруження в довільній точці поперечного перерізу стержня.

Тут z, у координати довільної точки, а осі z, у вибирають так, щоб точка р лежала в 1-ій чверті.

Ми розглянули випадок, коли сила Р розтягуюча. Якщо ж сила Р стискаюча, то в формулі (8.13) перед Р треба записати знак мінус.

8.4 Розрахунок на міцність при позацентровому розтягу-стиску

Для визначення в даному перерізі небезпечних точок, треба знайти положення нейтральної лінії. Для цього прирівняємо (8.13) до нуля і, скорочуючи на Р/ А, одержимо

                  (8.14)

Отже, нейтральна лінія є прямою, що не проходить через початок координат. Її положення доцільно визначати через відрізки, що відсікаються нею на координатних осях. Позначимо ці відрізки через zн і ун (рис. 8.5).

Підставляючи у формулу (8.14) по черзі у = 0 та z= 0, одержимо для них вирази

                                             ;                                    (8.15)

З співвідношення (8.15) видно, що нейтральна лінія перетинає координатні осі в точках, які належать квадранту, протилежному до того, в якому знаходиться точка р.

Якщо провести паралельно до нейтральної лінії дотичні до контуру перерізу, то знайдемо найбільш небезпечні точки В і D (рис. 8.5), які найбільш віддалені від нейтральної лінії. Напруження в цих точках і умова міцності запишуться у вигляді

                     

                                            

                                                                                                                                          (8.16)

Де zB, уB і ZD, yD — координати точок В і D відповідно. Епюра напружень  показана на рис. 8.5.

Лекція 9

УЗГИН З КРУЧЕННЯМ

9.1 Побудова епюр згинальних і крутних моментів

Нехай на раму (рис. 9.1) діє сила F.

Запишемо рівняння Mx, Му , Мz для кожної ділянки

Ділянка АВ: 0≤х≤а 

Mx=Mk=0;            My=0;           Mz=Fx (нижні);

Mz(0)=0;     Мz(а)=Fа (нижні). .

Ділянка ВС: 0≤ х≤b

Мх=Мк=Fа; Му=0; Мz=Fх (нижні);

Мz(0)=0;   Мz(b)= Fb (нижні).

За одержаними значеннями будуємо епюри Мк=Мх, Му, Мz (рис. 9.1).

Таким чином, на ділянці АВ маємо прямий згин, а на ділянці ВС — згин з крученням. На цій ділянці небезпечний переріз — защемлення С. В цьому перерізі виникає максимальний згинальний і крутний момент.

9.2 Аналіз напруженого стану. Визначення головних напружень

Обмежимося лише розглядом стержнів круглого поперечного перерізу. При сумісному поперечному згині і крученні у поперечному перерізі стержня виникають нормальні напруження від згинального моменту і дотичні напруження, пов'язані з поперечними силами і крутними моментами. Однак, вплив поперечних сил настільки малий, що ними можна знехтувати і брати до уваги лише нормальні напруження згину і дотичні напруження кручення.

Побудуємо епюри σ і τ в небезпечному перерізі С (защемлення) (рис.9.2). Небезпечними точками у перерізі С є точки D і К, у яких одночасно виникають максимальні нормальні та дотичні напруження. Ці напруження визначаються за формулами

                                   .                                          (9.1)           

Виділимо біля точки D нескінченно малий паралелепіпед (рис. 9.2). По чотирьох Його гранях діють дотичні напруження, па двох гранях діють нормальні розтягуючи напруження. Інші грані вільні від напружень (рис. 9.3 а). Отже, ми маємо плоский напружений стан, для якого (рис. 9.3 б)

                                                   (9.2)

 (8.1)

Головні напруження за формулою (6,8)

Отже,

.

                                                                                                           (9.3)

 9.3 Зведений момент. Розрахунок на міцність

Міцність стержня при плоскому напруженому стані треба перевіряти за однією з теорій, залежно від очікуваного характеру руйнування. Якщо передбачається пластичне руйнування, то за третьою теорією міцності

                                   .                               (9.4)

Підставляючи (9.3) в (9.4), маємо

.                         (9.5)

Підставляючи в (9.5) значення для σ і τ з формули (9.1) і враховуючи, що Wp=2Wz , умову міцності можна записати так:

                                                                                     (9.6)

або

,                                       (9.7)

 (9.7)

де через  позначений зведений момент, що дорівнює    

                                                                 .                                                       (9.8)

я

Якщо стержень згинається в двох взаємно перпендикулярних площинах хz і ху, то згинальні моменти Му і Мz можна розглядати як складові згинального моменту М і за формулою (8.1)

                         .                         (9.9) (9.9)

Звідси Мзг=Ms=, а

                                                          (9.10)

З формули (9.7) випливає формула підбору круглого поперечного перерізу при сумісній дії згину і кручення

                                                                                                                                                                                                   (9.11)

Якщо вести перевірку за четвертою теорією міцності (енергетичною), то

                                             (9.12)      

Таким чином

                                      (9.13)

Лекція 10

ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИ ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ

1О.1 Метод Мора

Нехай для балки, що працює на прямий згин при довільному навантаженні системою сил Р (рис. 10.1, а), треба визначити прогин УА=1F  у довільному перерізі А. Для цього треба вибрати фіктивну балку (ф.б.) (задана балка без силових факторів) і у точці А прикласти фіктивну безрозмірну одиничну силу (рис. 10.1 б).

До цих двох зрівноважених станів навантаження застосуємо принцип можливих переміщень, згідно з яким

A+V=0,

тобто у випадку рівноваги сил сума можливих робіт зовнішніх і внутрішніх сил, прикладених до системи, дорівнює нулеві. Беручи до уваги лише вплив згинальних моментів, одержимо

звідки 

                                                                                 (10.1)

Одержана формула називається інтегралом Мора для визначення переміщень від дії згинальних моментів.

Інтеграл Мора для визначення переміщень з врахуванням поздовжніх сил, згинальних і крутних моментів запишеться у вигляді                                                                

                                                       (10.2)

Коли вирази для внутрішніх сил є різними для різних ділянок стержня, треба обчисляти інтеграли Мора для окремих ділянок і результати підсумовувати.

Для визначення кутових переміщень треба у перерізі, кут повороту якого шукається, прикласти фіктивний одиничний момент  = 1.

 10.2 Обчислення інтегралів Мора за способом Верещагіна

Обчислення інтегралів Мора суттєво спрощується, якщо одна з епюр прямолінійна. Така умова завжди виконується для систем, які складаються з прямих стержнів, так як епюри від одиничного навантаження обмежені прямими лініями.

Обчислимо інтеграл Мора , для випадку, коли грузова епюра M від заданого навантаження довільна, а від одиничного навантаження балки зображена прямою, рівняння якої можна записати так                       

                                                                     (рис. 10.2)

Підставляючи цей вираз у формулу інтеграла Мора, одержимо     

    (10.2)

Другий інтеграл в (10.2) являє собою площу грузової епюри згинальних моментів М і яку позначимо через

                                                                                 (10.3)

Перший інтеграл в (10.2) — це статичний момент цієї площі відносно осі М, який можна зобразити так:

                       (10.4) (10.4)

де хс абсциса центра ваги С епюри М

Підставляючи (10.3) і (10.4) в (10.2), одержимо

                       (10.5) (10.5)

де ус ордината з одиничної епюри , яка береться під центром ваги грузової епюри М.

Якщо епюра М — лінія ламана, обчислення інтегралу Мора за формулою (10.5) проводиться по ділянках, на кожній з яких епюра  прямолінійна (рис. 10.3), Тоді

Підставляючи (10.5) в (10.1), одержимо остаточно формулу Верещагіна для визначення переміщень при дії згинальних моментів

                                                                                           (10.6)

10.3 Обчислення інтеграла Мора за формулою Сімпсона-Корноухова

Як відомо з інтегрального числення, якщо проміжок інтегрування l розби-1

ти на дві ділянки, то за формулою Сімпсона

                                                                 (10.7)

Де

Позначимо M(х)(х)=у(х) і використовуючи для обчислення інтеграла Мора формулу Сімпсона (10. 7), одержуємо

  (10.8)

Якщо позначити (рис. 10.3)

M(0)=a; M)=f; M(l)=b; =g;

то (10.8) запишеться у вигляді

                                              (10.9)

На таку можливість спрощення обчислення інтеграла Мора вперше вказав український вчений Корноухов, тому і формула (10.9) називається формулою Сімпсона-Корноухова.

У загальному випадку функції y(x) формула Сімgсова (10.7) ‘ наближеною. Але якщо підінтегральна функція у(х) с поліномом не вище третього степеня, то формула (10.7) дає точний результат. Отже, якщо М(х) квадратна парабола, а (х) лінійна функція, то формула (10.9) є точною.

Формулою (10.9) слід користуватись, коли важко знайти площу або центр ваги грузової епюри М.

Лекція 11

СТАТИЧНО НЕВИЗНАЧЕНІ СИСТЕМИ

11.1 Ступінь статично невизначеної системи

Як вже раніше вказувалось, статично невизначеними називаються системи, в яких реакції і внутрішні силові фактори не можна знайти тільки з рівнянь статики. В таких системах більше зв'язків, ніж тих, що потрібні для рівноваги. Такі зв'язки називаються зайвими, а зусилля в них зайвими невідомими. Кількість зайвих невідомих вказує ступінь статичної невизначеності системи.

На рис. 11.1а показана балка на двох опорах система статично визначена і геометрично незмінна. Всі три реакції (RА, НА, RB) визначаються з трьох рівнянь статики. Використовуючи метод перерізів, можна знайти Q(x) і М(х) в довільному перерізі.

Додамо ще один зв'язок, наприклад, шарнірно-рухому опору в перерізі С (рис. 11.1 б). Хоча в результаті цього система стала більш міцною і жорсткою, однак з точки зору геометричної незмінності цей зв'язок зайвий. Тепер з 3 рівнянь рівноваги чотири реакції (RА, НА, RВ,RС) знайти не можна. Таким чином, балка на рис. 11.1 б, один раз статично невизначена.

На рис. 11.2 а балка один раз статично невизначена. На рис. 11.2 б, в балки два рази статично не визначені.

11.2 Канонічні рівняння методу сил

Розрахунок статично невизначеної балки пояснимо на прикладі балки, показаної на рис. 11.3 а.

1. Встановлюємо ступінь статичної невизначеності балки. Кількість невідомих реакцій - 5; кількість рівнянь статики - 3; різниця 5-3=2, отже, балка двічі статично невизначена.

2. Відкидаючи зайві зв'язки, утворюємо основну систему (рис. 11.3 б). Основна система (о.с.) повинна бути статично визначеною і геометрично незмінною. Можливі різні варіанти основних систем. Раціональний вибір о.с. спрощує розрахунок.

  1.  Навантажуємо основну систему заданим навантаженням і реакціями відкинутих зв'язків. Така система називається еквівалентною системою (е.с.) рис. 11.3 в.
  2.  Щоб деформації і внутрішні зусилля заданої системи і еквівалентної були однаковими, прирівнюємо до нуля переміщення точок прикладання невідомих реакцій по напрямку їх дії. Тобто      

                                                                                       (11.1)

На основі закону незалежності дії сил можна кожне і переміщень  зобразити як суму переміщень від дії зайвих невідомих і переміщень від дії заданого навантаження. Тоді (11.1) набувають вигляду

                                                                (11.2)

 - Перший індекс при  означає точку і напрямок її переміщення, другий вказує від якого складового фактору шукається переміщення. Наприклад,  це переміщення точки прикладанні сили Х1 по напрямку ЇЇ дії від сили Х2;  це переміщення точки прикладання сили X1 по напрямку її дії від заданого навантаження.

Кожне з переміщень  можна зобразити як добуток питомого переміщення  від дії одиничної сиди на величину невідомої сили ХK

Після підстановки значень переміщень  в умову (11.2) одержимо систему рівнянь, з яких визначаються невідомі зусилля Х1 і Х2

  
                           (11.3)

Рівняння (113) називаються канонічними рівняннями методу сил. Така назва вказує на те, що ці рівняння записуються за відповідним правилом (каноном) і невідомими в цих рівняннях с сили або моменти, які являють собою реакції відкинутих зв'язків. Кількість таких рівнянь дорівнює ступеню статичної невизначеності заданої системи.

Питомі переміщення, які мають однакові індекси, називаються головними коефіцієнтами, а питомі переміщення, які мають неоднакові індекси — бічними коефіцієнтами канонічних рівнянь.

Переміщення  і , які входять в канонічні рівняння (11.3), як правило визначають за методом Мора або за способом Верещагіна. Якщо для балки або рами прямокутного перерізу відношення висоти перерізу до довжини прольоту <0,2, то при визначенні переміщень впливом поперечних сил можна знехтувати.

Слід мати на увазі, що в реальних балочних або рамних конструкціях відношенняh/l < 0,1. Тому при визначенні переміщень за формулою Мора доцільно враховувати лише згинальні моменти. Тоді за формулою (10.1)

;                     

                                     

На основі теореми про взаємність переміщень коефіцієнти  мають властивість

СТІЙКІСТЬ СТИСНУТИХ СТЕРЖНІВ

11.3 Поняття про стійкі і нестійкі форми рівноваги

З теоретичної механіки відомо, що рівновага твердих тіл може бути стійкою, нестійкою та байдужою. Так, на рис. 11.4 а, 11.4 б, 11.4 в положення рівноваги кульки відповідно стійке, нестійке і байдуже. На відміну від форм рівноваги абсолютно твердого тіла, які залежать лише від його положення, форми рівноваги реальних деформованих тіл залежать від їх матеріалу, форми, співвідношення розмірів і величини прикладених сил.

Розглянемо рівновагу прямого стержня, який стискається силою F. До певної величини стискаючої сили F стержень, відхилений від вертикального положення силою Q, під дією внутрішніх сил повертається у початковий стан, якщо силу Q усунути; це означає, що його прямолінійна форма рівноваги є стійкою (рис. 11.5 а). Коли сила F досягає критичного значення, яке ми позначимо через Fкр, стержень, виведений із прямолінійної форми, може повернутися до неї, але може також залишитися злегка зігнутим, коли сила Q перестала діяти (рис. 11.5 б). Якщо F > Fкр , прямолінійна форма рівноваги не зберігається, стержень сильно скривлюється і набуває нової, криволінійної форми рівноваги (рис. 11.5 в) або руйнується.

Отже, критичною силою для прямого стержня ми називаємо ту найменшу стискуючу силу Fmin,  прямолінійна форма рівноваги стержня стає нестійкою.

При розрахунку на стійкість критична сила аналогічна руйнуючій при розрахунку на міцність. Щоб забезпечити стійкість, необхідно, щоб F

Тут

де  - допустимий коефіцієнт запасу стійкості.

Лекція 12

12.1 Визначення критичної сили за формулою Ейлера

Для розрахунків стиснених стержнів на стійкість треба знати способи визначення критичної сили F^. Розглянемо стиск стержня силою F, величина якої трохи більше, ніж Fкр і стержень знаходиться у злегка зігнутому стані (рис. 12.1 а).

Диференціальне рівняння зігнутої осі стержня маг вигляд

                                                                         (12.1)

Так як абсолютна величина згинального моменту

а знак прогину у і другої похідної у" завжди протилежні, то рівняння (12.1) мас вигляд

                                                                                         (12.2)

 

Зауважимо, що незалежно від того, куди зігнеться стержень: вліво (рис. 12.1 а) або вправо (рис. 12.1 б) і незалежно від вибору осі у,  диференціальне рівняння завжди має вигляд (12.2).

Запишемо (12.2) у вигляді

=0

або

                                                                                                                (12.3)

де

                                                                                                         (12.4)

Загальний розв'язок цього однорідного лінійного диференціального рівняння записується, як відомо, так:

                                                                  (12.5)

Сталі інтегрування А і В визначаємо з граничних умов

y(0)=0; y(l)=0                

З першої умови маємо

З другої умови одержуємо

                                                (12.6)

Оскільки А≠0 (в протилежному разі не було б згину стержня, бо якщо A = 0 і B = 0, то у  0, а ми припустили, що стержень зігнувся), то

                                                               (12.7)

Визначаємо з (12.7) к і підставимо в (12.4), знаходимо

                                                              F=                                                     (12.8)

Найменше значення F=Fкр відмінне від нуля, одержимо з (12.8) при

I=Imin і n=1. Тоді

                                                                           (12.9)

Формула (12.9) вперше була одержана Ейлером у 1744 р. і називається формулою Ейлера для критичної сили для стержня з шарнірним закріпленням кінців. Значенню F = Fкр відповідає зігнута вісь стержня у вигляді півхвилі синусоїди (рис. 12.1 а) з рівнянням

                                                                                                (12.10)

Найбільший прогин стержня утах = А при х=l/2. Отже, А це найбільший прогин посередині стержня.

З формули (12.9) видно, що Fкр пропорційна найменшій жорсткості стержня ЕІтіп, гак як очевидно, що прогин стержня відбувається завжди в площині найменшої жорсткості, яка перпендикулярна до осі z, відносно якої момент інерції поперечного перерізу стержня Iz = Imin. .

Для визначення критичної сили при інших способах закріплення кінців стержня треба знов інтегрувати рівняння (12.3) при відповідних граничних умовах. Наведемо формулу Ейлера без доведення для загального випадку

                                                                                  (12.11)

де µl зведена довжина стержня, а µкоефіцієнт зведення довжини, який залежить від способу кріплення кінців стержня. На рис. 12.2 зображено способи кріплення кінців стержня, які найчастіше застосовують, і наведено значення µ.  

                                                                

12.2 Межі придатності формули Ейлера. Формула Ясинського

Виведення формули Ейлера грунтується на законі Гука, який дійсний доти, поки напруження не перевищує межі пропорційності σпц. Для визначення меж застосування формули Ейлера знайдемо критичне напруження в стержні σкр,яке виникає під дією критичної сили. Розділивши Fкр на площу поперечного перерізу стержня А, одержимо

                                                          (12.12)

де ітіп = — мінімальний радіус інерції поперечного перерізу стержня; λ — гнучкість стержня, безрозмірна величина. Формулою Ейлера можна користуватися тільки тоді, коли

Отже,

                                                                                                   (12.13)

Величину, яка стоїть у правій частині (12.13), називають граничною гнучкістю і позначають гр. Так, для Ст3 маємо σпц = 200МПа, а E=2*105МПа,

тоді

                               гр=

Якщо гнучкість стержня менша відгр , то формулами Ейлера (12.11) і (12.12) користуватись не можна. Так, для сталі Ст3 при гнучкостях 405≤ <100 критичне напруження визначається за емпіричною формулою Ясинського

                                                                                                                                                                  (12.14)

де α=310 МПа, b = 1,14 МПа — коефіцієнти, які визначаються з дослідів.

При гнучкостях <40 за критичне напруження приймається σТ=240МПа.

Отже, для стержнів з матеріалу Ст3 з малою гнучкістю (<40) σкр = σТ; з середньою гнучкістю (40< 100)  ; з великою гнучкістю (100) .  Графік залежності σкр від  для стержнів з маловуглецевої сталі Ст3 зображено на рис. 12.3.

Лекція 13

КОЛИВАННЯ СИСТЕМ З ОДНИМ СТУПЕНЕМ ВІЛЬНОСТІ

13.1 Основні поняття теорії коливань

Пружні системи, що зазнають коливань, поділяються за числом ступенів вільності. Числом ступенів вільності називається кількість незалежних координат, що визначають положення мас системи.

Наприклад, проста балка з прикріпленим до неї вантажем з масою т (рис. 13.1 а), вісь якої коливається у вертикальній площині, буде системою з одним ступенем вільності, коли масою балки можна нехтувати порівняно з масою вантажу. Положення вантажу при коливаннях визначається лише однією координатою — переміщенням у його центр ваги відносно положення рівноваги. Аналогічно, балка з двома прикріпленими до неї вантажами з масами m1, і m2 (рис. 13.1 б), буде системою з двома ступенями вільності.

Залежно від характеру сил, що підтримують коливання, розрізняють вільні і вимушені коливання. Вільними називаються коливання, що відбуваються під дією одних лише сил пружності системи. У реальних умовах вільні коливання внаслідок дії сил опору поступово затухають і система приходить у стан спокою. Вимушені коливання відбуваються при активній дії зовнішніх сил, здебільшого періодичних, які підтримують коливальний рух. Залежно від напрямку коливань відносно осі стержня розрізняють його поздовжні, поперечні і крутильні коливання.

13.2 Вільні коливання балки з одним ступенем вільності

Розглянемо вільні коливання системи з одним ступенем вільності, наприклад,  невагомої балки з прикріпленим до неї вантажем вагою Р (рис.13.2 а). Під дією ваги Р балка зігнеться і вантаж зміститься вниз на величину

                                                                                                                                                                                   (13.1)

де с — жорсткість балки.

Приймемо координатну вісь ОY з початком у центрі ваги вантажу після його статичного переміщення. Якщо вантаж змістити вниз на величину у і потім відпустити, то він почне коливатися під дією пружної реакції балки відносно рівноважного положення О, яке він займав при статичній деформації балки.

Нехай у довільний момент часу t вантаж рухається вниз. На нього діє сила Р напрямлена вниз і сила пружної реакції балки Fпр напрямлена вгору (рис.13.2 б). За другим законом Ньютона

                                                                (13.2)

де .

Підставляючи (13.1) в (13.2), одержимо 

                                                                                     (13.3)

Одержане рівняння — це диференціальне рівняння вільних коливань системи з одним ступенем вільності. Вводячи позначення

                                                                                                         (13.4)

запишемо рівняння (13.3) у вигляді

                                                                                                                 (13.5)

Загальний розв'язок цього рівняння

                                                                                  (13.6)

де А,   — довільні сталі інтегрування.

Це рівняння називається рівнянням вільних коливань системи. Графік цих коливань показаний на рис. 13.2, б.

Стала А, тобто величина найбільшого відхилення вантажу від рівноважного положення, називається амплітудою коливань, стала  — їх початковою фазою. З рівняння (13.6) видно, що переміщення у повторюється через проміжок часу Т що називається періодом коливань i

                                                                                                  (13.7)

Величина  = 2/Т, що є числом коливань системи за 2 секунд, називається коловою частотою коливань.

На основі залежності (13.4) видно, що

                                                                                               (13.8)

і не залежить від початкових умов.

Враховуючи, що m=P/g і с = Р/, можна колову частоту вільних коливань записати так

                                                                                             (13.9)

Формули (13.8), (13.9) справедливі як для поздовжніх, так і для крутильних вільних коливань систем з одним ступенем вільності.

13.3 Вимушені коливання систем з одним ступенем вільності

Сила, що викликає вимушені коливання, називається збурюючою силою. Нехай збурююча сила прикладена до системи в тому ж перерізі, де прикріплений вантаж Р, і величина ЇЇ змінюється за законом

,

де H — найбільше значення збурюючої сили,  — її колова частота.

Диференціальне рівняння вимушених коливань системи з одним ступенем вільності має вигляд

                                                                                (13.10) (13.10)

Частковий розв'язок цього рівняння шукаємо у вигляді

                                                  .                                           (13.11) (13.11)

Підставимо (13.1) в (13.10). Одержимо рівність

,

яка перетворюється на тотожність, коли

                                              

З останнього рівняння знаходимо

Одержану формулу для амплітуди вимушених коливань можна записати 

                                                                                                       (13.12)

де β називається коефіцієнтом зростання коливань і

                                                                                         .                                                                                    (13.13)

Коли  , тобто при резонансі, коефіцієнт β, а разом з ним і амплітуда вимушених коливань необмежено зростають. У реальних умовах амплітуда вимушених коливань при резонансі не зростає необмежено внаслідок наявності сил опору.

Максимальне динамічне переміщення  можна зобразити як суму статичного переміщення ст від дії сили Р і амплітуди вимушених коливань

,

або

де кд — динамічний коефіцієнт, що дорівнює

                                                                                             (13.14)

Оскільки в межах справедливості закону Гука напруження пропорційні деформаціям, то при вимушених коливаннях динамічне напруження σд дорівнює

                                                                                                  (13.15)

а умова міцності має вигляд

                                                                          (13.16)

Лекція 14

УДАРНІ НАВАНТАЖЕННЯ. ДИНАМІЧНИЙ КОЕФІЦІЄНТ ПРИ УДАРІ

14.1 Основні поняття і припущення

Ударним навантаженням називають навантаження, яке передається на тіло протягом малого проміжку часу і викликає значні прискорення в тілі, що зазнає удару.

Розрахунок на дію ударного навантаження проводиться у так званій технічній теорії удару, в основу якої покладені такі припущення:

1.Під час удару виникають тільки пружні деформації, тобто після припинення дії ударного навантаження тіло повертає свої початкові форму і розміри.

2.Для ударного навантаження матеріалу розраховуваного елемента конструкції дійсний закон Гука.

3. Удар вважають абсолютно непружним, тобто ударний вантаж після удару не відскакує від пружної системи, а продовжує в процесі дії деформації рухатися разом з нею.

4.Маса пружної системи, яка приймає удар, мала порівняно з масою ударного тіла, і тому масою пружної системи можна нехтувати.

5.Робота падаючого (ударного) тіла повністю переходить у потенціальну енергію деформації елемента конструкції, який сприймає дію удару.

На основі цих припущень визначимо напруження і деформації, що виникають у стержневих елементах при ударі.

14.2 Поздовжній удар

Розглянемо систему, яка складається з вертикального пружного стержня і вантажу Q, який падає на цей стержень (рис. 14.1, а).

Розглянемо два випадки:

1)   вантаж Q прикладається до стержня статично і стискає стержень на     величину  (рис. 14.1, б);

2)   вантаж падає на стержень з висоти к і стискає стержень на величину (рис. 14.1, в).

Зміна деформації стержня при ударному навантаженні Q порівняло з деформацією при статичній дії сили Q характеризується коефіцієнтом динамічності

                                                                                               (14.1)

З фізичних міркувань очевидно, що кд > 1.

Враховуючи лінійний зв'язок між напруженнями і деформаціями по аналогії з формулою (14.1) одержимо

                                                                                                      (14.2)

де

                                           (14.3)

напруження, що виникає в стержня при статичній дії сили Q.

За законом Гука

                             ;                                             (14.4)

На основі закону збереження енергії робота, яку виконує вантаж під час падінні дорівнює потенціальній енергії деформації стержня:

                                                                                  (14.5)

де Nд — найбільша величина динамічної сили при ударі.

З (14.4) визначаємо і підставляємо в (14.5)

                                ;           

або

                 ;                                 (14.6)

Одержаний вираз перепишемо так

                                                  (14.7)

Звідси знаходимо динамічну деформацію

                                                              (14.8)

Так як знак мінус не відповідає фізичному змісту задачі, то в (14.8) беремо знак плюс.

Враховуючи (14.1), знаходимо коефіцієнт динамічності

                                                                              (14.9)

Оскільки h =  (V — швидкість вантажу в момент удару), то коефіцієнт динамічності можна визначати ще так:

                                                                                  (14.10)

Звернемо увагу, що при h = 0, тобто, коли сила прикладається миттєво, то з (14.9) або з (14.10) одержимо  kд= 2. Отже, при динамічному навантаженні стержня переміщення, зусилля і напруження у два рази більше від відповідних статичних величин.

Використовуючи формулу (14.2), визначимо динамічні напруження при ударі

                   .                    (14.11)

14.3 Поперечний удар

При поперечному ударі залишаються чинними формули (14.9-14.11), одержані для поздовжнього удару, якщо в них під  розуміти статичний прогин балки.

Наприклад, при ударному навантаженні силою Q, що падає з висоти h на  кінець балки (рис. 14.2), будемо мати

                            

де kд обчислюється за формулою (14.9), а , наприклад, за способом Верещагина

14.4 Крутильний удар

Крутильний удар може виникнути, наприклад, під час раптового гальмування обертового руху валів із закріпленими на  них маховиками, шківами тощо. Нехай вал довжиною l, на кінці якого закріплений маховик з масою m, обертається з кутовою швидкістю . При раптовому гальмуванні кінця А парою сил з моментом М на його другому кінці виникне пара сил з моментом такої ж величини і зворотного напрямку, викликана силою інерції маховика. Ці пари сил раптово закручують вал (рис. 14.3).

Умова збереження енергії

                                              T0=Uд                                                    (14.12)

Для обертового руху маємо

                                              Т0=                                                     (14.13)

де  — динамічний момент інерції маховика (масою вала нехтуємо).

Потенціальна енергія деформації кручення для вала круглого перерізу

                                                         (14.14)

де GIр жорсткість вала при крученні.

Підставляючи (14.13) і (14.14) в (14.12), одержуємо рівняння для визначення Мд

                                                          (14.15)

Якщо маховик має вигляд циліндра з масою m і радіусом R, то

      

За відомим динамічним крутним моментом Мд можна знайти максимальне дотичне напруження та динамічний кут закручування

                              .                                          (14.16)

Лекція 15

РОЗРАХУНОК НА МІЦНІСТЬ ПРИ ПОВТОРНО-ЗМІННИХ

НАПРУЖЕННЯХ

  1.  Фізична природа руйнування матеріалів при повторно-змінних напруженнях

У частинах багатьох машин і споруд у процесі їх експлуатації напруження періодично змінюються. Наприклад, нормальне напруження згину в будь-якій точці поперечного перерізку вагонної осі безперервно змінюється під час оберту. Змінність напруження в часі показані кривими на рис. 15.1. Час T, протягом якого напруження повторює своє найбільше або найменше значення, є періодом (рис. 15.1, а). Послідовність значень напруження за один період називається циклом напруження.

З практики відомо, що при напруженнях, які циклічно змінюються, в конструкціях може виникнути процес руйнування, що називається втомним руйнуванням. Суть втомного руйнування полягає в утворенні мікротріщин, які при певних умовах розвиваються в макротріщину. Остання поступово розростається і процес закінчується руйнуванням конструкції. Досліди показують, що розвиткові мікротріщини в макротріщину сприяють внутрішні дефекти структури, а також зовнішні концентратори напружень.

15.2Типи циклів напружень. Границя витривалості і криві витривалості

Змінність напруження в часі можна зобразити кривими в координатах час-напруження (рис. 15.1). Час T, протягом якого напруження повторює своє найбільше або найменше значення, є періодом (рис. 15.1, а). Послідовність значень напруження за один період називається циклом напруження.

Найбільше (в алгебраїчному смислі) нормальне напруження циклу називається максимальним і позначається σmax ( або τmax – якщо розглядається зміна дотичного напруження), а найменше — мінімальним σmin (або τmin).

Алгебраїчна півсума максимального і мінімального напруження циклу називається його середнім напруженням

                                                                       (15.1)

Алгебраїчна піврізниця  і  називається амплітудою циклу  і

                                                                                  (15.2)

Легко помітити, що ці величини пов'язані між собою рівностями

                                                                            

                                                                                   (15.3)

Для характеристики циклу користуються коефіцієнтом асиметрії r 

                                                                                               (15.4)

Цикл напружень називається симетричним, якщо . У цьому випадку коефіцієнт асиметрії r = -1. Цикли, для яких r ≠ -1 називаються асиметричними. Окремим видом асиметричного циклу є віднульовий (пульсаційний цикл), для якого  0   (або  = 0). Для віднульового циклу напруження не змінює свого напрямку. Коефіцієнт асиметрії такого циклу r = 0.

На рис. 15.1 графічно показані деякі випадки циклічної зміни напружень. Крива а зображає симетричний цикл, крива δдовільний асиметричний цикл, крива b віднульовий цикл.

Опір матеріалів повторно-змінним напруженням досліджується шліхом випробувань на спеціальних випробувальних машинах.

Найбільш поширені випробування на згин з симетричним циклом. Зразок закріплюється в патроні шпінделя машини і обертається з великим числом обертів (3000-6000 об/хв). Кожен оберт відповідає одному циклові напруження. Виготовляється кілька однакових стандартних зразків круглого перерізу з полірованою поверхнею і діаметром 8-10 мм.

Перший зразок навантажується досить великим напруженням σ1, що приводить до руйнування при невеликій кількості циклів N1. Для другого зразка навантаження знижується, тому його руйнування настає при σ2 < σ1 але після більшого числа циклів N2, Поступове зниження напружень проводиться і для наступних зразків. Значення циклів і відповідних руйнівних напружень зображені на рис. 15.2 точками з координатами N, σтах. З'єднавши одержані точки плавною кривою, одержуємо криву витривалості (криву Велера) для симетричних циклів (r = -1). Аналогічно можна одержати криві витривалості і для асиметричних циклів.

Крива витривалості для маловуглецевої і середньовуглецевої сталі має горизонтальну асимптоту (рис. 15.2). Найбільше циклічне напруження  σr (індекс r коефіцієнт асиметрії циклу), при дії якого зразок не руйнується після дуже великого числа циклів є границею витривалості для цього типу циклів. Для незагартованої сталі досить визначити таке неруйнівне навантаження при числі циклів N0 = 107 , тоді при цьому напруженні не буде руйнування й при довільному числі циклів N >N0. Число називається базою визначення границі витривалості.

Слід зауважити, що границі витривалості залежать від коефіцієнта асиметрії циклів. Найнижчі границі витривалості одержуються для симетричних циклів, причому границя витривалості при згині σ-1 вища від границі витривалості σ-1р при розтягу-стиску і від границі витривалості τ-1k при крученні.

Експериментальні дані для сталі дають такий зв'язок між цими величинами:

         .                                                 (15.5)

15.3 Основні фактори, які впливають на втомну міцність

Експериментальні дослідження показують, що на втомну міцність суттєво впливають такі фактори: концентрація напружень, розміри деталі і стан її поверхні.

Концентрація напружень. Зниження границі витривалості за рахунок тих чи інших концентраторів напружень (виточки, отвори, шпонкові канавки) враховується ефективним коефіцієнтом концентрації напружень, які позначаються кσ або кτ (залежно від виду напружень).

Ефективний коефіцієнт концентрації напружень знаходять як відношення границі витривалості зразка без концентратора напружень до границі витривалості такого ж зразка, але з концентратором напружень

                                   .                         (15.6)

Н відміну від теоретичного коефіцієнта концентрації напружень, які залежать тільки від форми (геометрії) деталі, ефективний коефіцієнт залежить також і від властивостей матеріалу деталі — чим менш пластичний матеріал, тим він чутливіший до концентрації напружень. Ефективний коефіцієнт визначають експериментально, але в деяких випадках за відсутності експериментальних даних його визначають через теоретичний коефіцієнт a за формулою

                                 ,                                                  (15.7)

де д коефіцієнт чутливості матеріалу, який визначається експериментально. Для сталей при симетричному циклі він набуває значень в межах 0,5-0,9.

При відсутності експериментальних і теоретичних даних величину kσ визначають наближено за емпіричними формулами

                                                                      (15.8)

                                                                      (15.9)

де границя міцності σмц визначається в МПа. Формули (15.8), (15.9) використовується відповідно при відсутності або наявності гострих концентраторів напружень.

Вплив розмірів деталі. Міцність при циклічній дії напружень значною мірою залежить також від розмірів деталі. Збільшення розмірів підвищує наявність різного роду дефектів, що сприяють утворенню і розвиткові втомних тріщин. Вплив розмірів деталі враховується масштабним коефіцієнтом βМ, який дорівнює відношенню границі витривалості стандартного зразка діаметром 7-10 мм до границі витривалості геометрично подібної деталі більших розмірів

                        .                                         (15.10)

Вплив стану поверхні.  Тріщини при повторно-змінних напруженнях починаються, як правило, з поверхні деталі. Тому стан поверхневого шару суттєво впливає на міцність деталі. Риски від механічної обробки, пошкодження поверхні і т.п. відіграють роль концентратора напружень і можуть суттєво І зменшити границю витривалості.

Вплив стану і якості поверхні деталі на величину границі витривалості враховується коефіцієнтом якості поверхні βП. Цей коефіцієнт дорівнює відношенню границі витривалості зразка з полірованою поверхнею до границі витривалості такого ж зразка з заданим станом поверхні

                                                                     (15.11)

Для зниження βП використовують обкатку поверхні деталі роликами або обдуванню дробом. Значного ефекту можна також досягти шляхом гартування струмами високої частоти.

Сумісний вплив концентрації напружень, масштабного ефекту і стану поверхні оцінюють коефіцієнтом Kσд (Kτд)який дорівнює добутку трьох вказаних вище коефіцієнтів

                                   .                         (15.12)

Коефіцієнт  () називається загальним коефіцієнтом знижені границі витривалості при симетричному циклі.

Таким чином, границя витривалості деталі при симетричному циклі () залежить від границі витривалості () матеріалу, з якого виготовлено деталь) визначається формулою

                                                                                            (15.13)

Аналогічно у випадку дотичних напружень

                                                                                            (15.14)

ЛЕКЦІЯ 7. ОБ'ЄМНИЙ НАПРУЖЕНИЙ СТАН  30

  1.  Компоненти напруженого стану. Тензор напружень 30
  2.  Визначення головних напружень…………....................................   ...32
  3.  Узагальнений закон Гука       32
  4.  Об'ємний закон Гука      .........34

ЛЕКЦІЯ 8.     СКЛАДНИЙ ОПІР             .... 35

  1.  Косий згин. Визначення нормальних напружень 35
  2.  Розрахунок на міцність при косому згині     36
  3.  Позацентровий розтяг або стиск стержня.

Визначення нормальних напружень     38

  1.  Розрахунок на міцність при позацентровому розтягу-стиску .  39

ЛЕКЦІЯ 9. ЗГИН З КРУЧЕННЯМ     ....   40

  1.  Побудова епюр згинальних і крутних моментів...  40
  2.  Аналіз напруженого стану. Визначення головних напружень 41
  3.  Зведений момент. Розрахунок на міцність    42

ЛЕКЦІЯ 10. ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИ ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ 44

10.1 Метод Мора............................................. …………………………. 44

10.2 Обчислення інтегралів Мора за способом Верещагіна - 45

10.3 Обчислення інтеграла Мора за формулою Сімпсона-Корноухова.. 47

ЛЕКЦІЯ 11. СТАТИЧНО НЕВИЗНАЧЕШ СИСТЕМИ 48

  1.  Ступінь статично невизначеної системи     48
  2.  Канонічні рівняння методу сил.

Стійкість стиснутих стержнів     49

  1.  Поняття про стійкі і нестійкі форми рівноваги   51

ЛЕКЦІЯ 12         53

12.1Визначення критичної сили за формулою Ейлера   53

12.2 Межі придатності формули Ейлера. Формула Ясинського 56

ЛЕКЦІЯ 13. КОЛИВАННЯ СИСТЕМ З ОДНИМ СТУПЕНЕМ ВІЛЬНОСТІ.    57

  1.  Основні поняття теорії коливань…..57
  2.  Вільні коливання балки з одним ступенем вільності —58       13.3Вимушені коливання систем з одним ступенем вільності 60

ЛЕКЦІЯ 14. УДАРНІ НАВАНТАЖЕННЯ

ДИНИМІЧНИЙ КОЕФІЦІЄНТ ПРИ УРІ…………………………………..62

14.1 Основні поняття і припущення…………………………………………62

14.2 Поздовжній удар………………………………………………………..62

14.3Поздовжній  удар ……………………………………………………65       14.4 Крутильний удар  ………………………………………………………66

ЛЕКЦІЯ 15. РОЗРАХУНОК НА МІЦНІСТЬ ПРИ ПОВТОРНО-ЗМІННИХ НАПРУЖЕННЯХ ……………………………………………………………...67 15.1 Фізична природа руйнування матеріалів при повторно-змінних напруженнях …………………………………………………………………..67 15.2  Типи циклів. Границя витривалості і криві витривалості…………..67 15.3  Основні фактори, які впливають на втомну міцність………………..70  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47093. Граница деятельности государства. Расходы, связанные с вмешательством государства в экономику. Эффективность государственного сектора 55.36 KB
  Исторически первым возникло натуральное производство при котором продукты труда предназначались для внутрихозяйственного потребления. Общественное разделение труда в натуральном хозяйстве было развито слабо. К примеру внутри латифундий имело место разделение труда между рабами которые исполняли различные виды работ. Но разделения труда между хозяйственными единицами не существовало был лишь идентичный набор видов работ.
47094. Ресурсы и человеческий капитал 58.68 KB
  Отраслевой рынок и дифференциация продукта Как показывает практика трудно найти на отраслевом рынке два одинаковых товара не из одной партии. установления степени дифференциации продукта. В зависимости от того насколько модифицируются различные свойства продукта выделяют четыре'главных вида дифференциации продукта. Вовторых существуют различия в качестве продукта: например туфли могут быть сделаны из натуральной кожи или кожезаменителя.
47095. Последовательное заполнение электронных уравнений атомов 55.7 KB
  принцип Пауликоторый часто называют еще принципом запрета ограничивает число электронов которые могут находиться на одной орбитали. Согласно принципу Паули на любой орбитали может находиться не более двух электронов и то лишь в том случае если они имеют противоположные спины неодинаковые спиновые числа. Поэтому в атоме не должно быть двух электронов с одинаковыми четырьмя квантовыми числами n l ml ms 3.Согласно правилу Гунда заселение орбиталей относящихся к одному и тому же энергетическому подуровню начинается одиночными...
47101. Агрохимическая служба в стране. Почвенный покров полярных и субполярных областей 53 KB
  Им был предложен термин элементарный почвенный ареал ЭПА это почвы относящиеся к какойлибо одной классификационной единице наиболее низкого ранга разряда занимающие пространство со всех сторон ограниченное другими ЭПА или непочвенными образованиями. Агрохимические картограммы – это карты землепользования хозяйства где условными обозначениями указано содержание доступных форм питательных элементовазот фосфор калий микроэлементы гумус а также кислотность емкость катионного обмена степень насыщенности почвы основаниями....