48537

Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой

Лекция

Математика и математический анализ

Уравнение Фху = 0 7.1 называется уравнением линии L если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки лежащей на линии L и не удовлетворяют координаты ни одной точки не лежащей на линии L. х – а y – b = R уравнение окружности радиуса R с центром в точке b.3 уравнение...

Русский

2013-12-17

497.5 KB

3 чел.

Лекция 7.

Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

  Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Определение 7.1. Уравнение

                                     Ф(х,у) = 0                                                                                    (7.1)

называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.

Пример.

(х – а)² + (yb)² = R² - уравнение окружности радиуса R с центром в точке (a,b).

Замечание. Часто удобно использовать параметрические уравнения линии:

                                                     ,                                                     (7.2)

где функции  и  непрерывны по параметру t.

                             Прямая на плоскости.

Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости.

Пусть прямая проходит через точку М0 (x0,y0)   перпендикулярно  вектору n = {A,B}. Тогда вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, ортогонален n. Поэтому координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

                       А(х – х0) + В(у – у0) = 0 -                                                          (7.3)

уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Замечание. Вектор n называется нормалью к прямой.

Преобразуем уравнение (7.3) к виду:

                    Ах + Ву + (-Ах0 – Ву0) = 0.

Обозначив  -Ах0 – Ву0 = С, получим общее уравнение прямой:

                    Ах + Ву + С = 0.                                                                            (7.4)

Получим теперь уравнение прямой, проходящей через точку М0 (x0,y0) параллельно вектору q = {l,m}. Так как вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, коллинеарен q, координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

                       ,                                                                          (7.5)

называемому каноническим уравнением прямой. Вектор q при этом называется направляющим вектором прямой. В частности, если прямая проходит через точки М111) и М222), ее направляющим вектором можно считать , и из уравнения (7.5) следует:

                         -                                                                      (7.6)

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки М(1,2) и N(5,-3). Уравнение (7.6) примет вид:

                  - общее уравнение данной прямой.

Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения (7.5),

можно преобразовать это уравнение к виду:

                  x = x0 + lt,  y = y0 + mt -                                                                    (7.7)

параметрические уравнения прямой.

  Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k – тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение

     у      l                          прямой в виде:

                                                         у = kx + b -                                                   (7.8)            

         b        l1                        уравнение прямой с угловым коэффициентом.

    α      α                         Действительно, все точки прямой l1, параллельной l и проходящей

                                 х    через начало координат, удовлетворяют уравнению  у = kх, а

                                       ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них

                                       на постоянную величину b.

                       Неполные уравнения прямой.

Уравнение (7.4) называется полным, если коэффициенты А,В и С не равны нулю, и неполным, если хотя бы одно из этих чисел равно нулю. Рассмотрим возможные виды неполных уравнений прямой.

  1.  С = 0  - прямая Ах + Ву = 0 проходит через начало координат.
  2.  В = 0  - прямая Ах + С = 0 параллельна оси Оу (так как нормаль к прямой {A,0} перпендикулярна оси Оу).
  3.  А = 0  - прямая Ву + С = 0 параллельна оси Ох.
  4.  В=С=0 – уравнение Ах = 0 определяет ось Оу.
  5.  А=С=0 – уравнение Ву = 0 определяет ось Ох.

Таким образом, прямая, задаваемая полным уравнением, не проходит через начало координат и не параллельна координатным осям. Преобразуем полное уравнение прямой следующим образом:

               Ах + Ву + С = 0 |:(-C),                                      (7.9)

где  и  равны величинам  отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. Поэтому уравнение (7.9) называют уравнением прямой в отрезках.

             Угол между прямыми. Условия параллельности и

                         перпендикулярности двух прямых.

1. Если прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

А1х + В1у + С1 = 0   и  А2х + В2у + С2 = 0,

то угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами {A1,B1} и {A2,B2}. Следовательно,

                    .                                                             (7.10)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к условиям параллельности и перпендикулярности нормалей:

              - условие параллельности,                                            (7.11)

              - условие перпендикулярности.                        (7.12).

2. Если прямые заданы каноническими уравнениями (7.5), по аналогии с пунктом 1 получим:

                      ,                                                        (7.13)

                  - условие параллельности,                                              (7.14)

                 - условие перпендикулярности.                           (7.16).

Здесь  и - направляющие векторы прямых.

3. Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами (7.8)

         у = k1x  +b1 и y = k2x + b2, где , а α1 и α2 – углы наклона прямых к оси Ох, то для угла φ между прямыми справедливо равенство: φ = α2 - α1. Тогда

   .                                                     (7.17)

Условие параллельности имеет вид:  k1=k2,                                                     (7.18)

условие перпендикулярности   –   k2=-1/k1,                                                     (7.19)

поскольку при этом tgφ не существует.

                          Расстояние от точки до прямой.

Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат). Пусть n – единичный вектор, направление которого совпадает с ОР. Составим уравнение прямой L, в которое входят два параметра: р – длина отрезка ОР и α – угол между ОР и Ох.

у                                            Для точки М, лежащей на L, проекция вектора ОМ на прямую

L                                             ОР равна р. С другой стороны, прnOM=n·OM. Поскольку

        Р                                    n={cosα, sinα}, a OM={x,y}, получаем, что

    n         M                                                  x cosα + y sinα = p, или

О                               х                                 x cosα + y sinα - p = 0 -                         (7.20)

                                            - искомое уравнение прямой L, называемое нормальным

                                            уравнением прямой (термин «нормальное уравнение» связан

                                            с тем, что отрезок ОР является перпендикуляром, или нормалью, к данной прямой).

Определение 7.2. Если d – расстояние от точки А до прямой L, то отклонение δ точки А от прямой L есть число +d, если точка А и начало координат лежат по разные стороны от прямой L, и число –d, если они лежат по одну сторону от L.

Теорема 7.1. Отклонение точки А(х00) от прямой L, заданной уравнением (7.20), определяется по формуле:

           .                                                                          (7.21)

Доказательство.

у   Q                         Проекция OQ вектора ОА на направление ОР равна                  

  P          A                n·OA=x0cosα + y0sinα.   Отсюда δ = PQ=OQ-OP=OQ-p=     

  n                             x0cosα + y0sinα - p, что и требовалось доказать.

O

                  L    

Следствие.

Расстояние от точки до прямой определяется так:

                                                                               (7.22).

Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число , причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.

Пример. Найдем расстояние от точки А(7,-3) до прямой, заданной уравнением

3х + 4у + 15 = 0.  А² + B²=9+16=25, C=15>0, поэтому нормирующий множитель равен

-1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид:  Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно

Следовательно, расстояние от точки А до данной прямой равно 4,8.

Лекция 8.

Прямая и плоскость в пространстве. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.

  Отметим, что многие утверждения и формулы, касающиеся плоскости в пространстве, доказываются и выводятся так же, как при изучении прямой на плоскости, поэтому в этих случаях будут даваться ссылки на предыдущую лекцию.

                         Плоскость в пространстве.

  Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М00 0 ,z0) перпендикулярно вектору n = {A,B,C},называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М0М = {x - x0 , y - y0 , z - z0) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

                   A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.                                                 (8.1)

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

   После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:

                   Ax + By + Cz + D = 0,                                                                (8.2)

где D = -Ax0 - By0 - Cz0. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.

                        Неполные уравнения плоскости.

  Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:

  1.  D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.
  2.  А = 0 – n = {0,B,C}Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.
  3.  В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.
  4.  С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.
  5.  А = В = 0 – плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).
  6.  А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.
  7.  B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.
  8.  А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.
  9.  B = D = 0 – плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.
  10.  C = D = 0 -  плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.
  11.  A = B = D = 0 – уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху.
  12.  A = C = D = 0 – получаем Ву = 0 – уравнение координатной плоскости Охz.
  13.  B = C = D = 0 – плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.

Если же общее уравнение плоскости является полным ( то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду:

                                                                                                        (8.3)

называемому уравнением плоскости в отрезках. Способ преобразования показан в лекции 7. Параметры а, b и с равны величинам отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

Угол между плоскостями. Условия параллельности и

перпендикулярности плоскостей.

Если две плоскости (α1 и α2) заданы общими уравнениями вида:

 A1x+B1y+C1z+D1=0   и   A2x+B2y+C2z+D2=0,

то очевидно, что угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n1={A1,B1,C1) и n2={A2,B2,C2). Из формулы (5.6) получаем, что косинус угла между плоскостями  α1 и α2  равен

                                                                (8.4)

Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:

                                                                                                       (8.5)

а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:

                   A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.                                                                       (8.6)

      Выведем еще несколько уравнений плоскости. Пусть плоскость проходит через точки М1(х1, у1, z1), M2(x2, y2, z2) и M3(x3, y3, z3), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы  М1М2={x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1}, М1М3={x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1} и М1М={x - x1, y - y1, z - z1}, где М(x, y, z)произвольная точка плоскости, компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:

                                                                                (8.7)

Это уравнение, которому удовлетворяют координаты х, у, z любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

  Способом, аналогичным изложенному в лекции 7, можно получить нормальное уравнение плоскости:

                                                                               (8.8)

где р – длина перпендикуляра ОР, опущенного из начала координат на плоскость, а cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы нормали к этой плоскости. При этом расстояние от любой точки А пространства до данной плоскости определяется по формуле:

                  ,                                                       (8.9)

где x0,y0,z0 – координаты рассматриваемой точки А. Подмодульное выражение в формуле (8.9) называется отклонением точки А от плоскости и принимает положительные значения, если А и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательные, если эти две точки лежат по одну сторону от плоскости. Нормальное уравнение получается из общего уравнения плоскости в результате деления его на нормирующий множитель знак которого противоположен знаку D.

Доказательства всех сформулированных утверждений полностью аналогичны исследованию нормального уравнения прямой на плоскости, рассмотренного в лекции 7.

                      Прямая в пространстве.

Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений.

  Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве – представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями

A1x+B1y+C1z+D1=0   и   A2x+B2y+C2z+D2=0, где коэффициенты A1,B1,C1 и A2,B2,C2 не пропорциональны:

                        A1x+B1y+C1z+D1=0                                                                   (8.10)

                        A2x+B2y+C2z+D2=0.

Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.

 Составим уравнения прямой, проходящей через точку М0(x0,y0,z0) параллельно вектору a={l,m,n}.

Определение 8.1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

  Для любой точки М(x,y,z), лежащей на данной прямой, вектор М0М = {x - x0,y - y0,z - z0) коллинеарен направляющему вектору а. Поэтому имеют место равенства:

                                                                                       (8.11)

называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве.

В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки:

М11, у1, z1) и M2(x2, y2, z2), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М1М2 = {x2 x1, y2 - y1, z2 - z1}, и уравнения (8.11) принимают вид:

                     -                                                              (8.12)

  •  уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях (8.11) за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:

                          .                                                                                  (8.13)

    Для того, чтобы перейти от уравнений (8.10) к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор этой прямой и координаты любой точки, принадлежащей ей. Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям к обеим плоскостям, следовательно, он коллинеарен их векторному произведению. Поэтому в качестве направляющего вектора можно выбрать [n1n2] или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные найти из уравнений (8.10), выбрав их так, чтобы определитель из их коэффициентов не равнялся нулю.

Пример. Составим канонические уравнения прямой

                   .

Найдем [n1n2]. n1 = {2,1,-3}, n2 = {1,-5,4}. Тогда [n1n2] = {-11,-11,-11}. Следовательно, направляющим вектором прямой можно считать вектор {1,1,1}.

  Будем искать точку на прямой с координатой z0=0. Для координат х0 и у0 получим систему уравнений    , откуда  х0=2, у0=1. Теперь можно составить канонические уравнения прямой:

                      .

Параметрические уравнения той же прямой имеют вид:

                     .       

Замечание. Если какая-либо из координат направляющего вектора равна 0, то предполагается, что для любой точки прямой числитель соответствующей дроби в канонических уравнениях тоже равен 0.

     Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

 и     косинус угла между ними можно найти по формуле:

                .                                                   (8.14)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к соответствующим условиям для их направляющих векторов:

  -  условие параллельности прямых,                                     (8.15)

 -   условие перпендикулярности прямых.                (8.16)

  Угол φ между прямой, заданной каноническими уравнениями

                                                                                                                                                         и плоскостью, определяемой общим уравнением  

                           Ax + By + Cz + D = 0,                                                                                                                                                                                                          можно рассматривать как дополнительный к углу ψ между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Тогда

                                                      (8.17)    

Условием параллельности прямой и плоскости является при этом условие перпендикулярности векторов n и а:

                    Al + Bm + Cn = 0,                                                                                (8.18)

а условием перпендикулярности прямой и плоскости – условие параллельности этих векторов:   A/l = B/m = C/n.                                                                                       (8.19)

Лекция 9.

Линейные преобразования координат. Собственные векторы и собственные числа матрицы, их свойства. Характеристический многочлен матрицы, его свойства.

  Будем говорить, что на множестве векторов R задано преобразование А, если каждому вектору хR по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор АхR.

Определение 9.1. Преобразование А называется линейным, если для любых векторов х и у и для любого действительного числа λ выполняются равенства:

              А(х + у)=Ах + Ау,   А(λх) = λ Ах.                                                           (9.1)

Определение 9.2. Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует любой вектор х в самого себя.  

Тождественное преобразование обозначается Е:  Ех = х.

  Рассмотрим трехмерное пространство с базисом е1, е2, е3, в котором задано линейное преобразование А. Применив его к базисным векторам, мы получим векторы Ае1, Ае2, Ае3, принадлежащие этому трехмерному пространству. Следовательно, каждый из них можно единственным образом разложить по векторам базиса:

                   Ае1 = а11 е1 + а21 е2 31 е3,

                   Ае2 = а12 е1 + а22 е2 + а32 е3,                                                                     (9.2)

                   Ае3 = а13е1 + а23 е2 + а33 е3    .

Матрица     называется матрицей линейного преобразования А в базисе е1, е2, е3 . Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах (9.2) преобразования базиса.

Замечание. Очевидно, что матрицей тождественного преобразования является единичная матрица Е.

 Для произвольного вектора х1е1 + х2е2 + х3е3 результатом применения к нему линейного преобразования А будет вектор Ах, который можно разложить по векторам того же базиса: Ах =х`1е1 + х`2е2 + х`3е3, где координаты x`i можно найти по формулам:

       х`1 = a11x1 + a12x2 + a13x3,

       x`2 = a21x1 + a22x2 + a23x3,                                                                                     (9.3)

       x`3 = a31x1 + a32x2 + a33x3.

Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы А.

                        Преобразование матрицы линейного преобразования

                                            при переходе к новому базису.

  Рассмотрим линейное преобразование А и два базиса в трехмерном пространстве: е1, е2, е3 и е1, е2, е3.  Пусть матрица С задает формулы перехода от базиса {ek} к базису {ek}. Если в первом из этих базисов выбранное линейное преобразование задается матрицей А, а во втором – матрицей А, то можно найти связь между этими матрицами, а именно:

                                       А = С-1АС                                                                (9.4)

Действительно,  , тогда А. С другой стороны, результаты применения одного и того же линейного преобразования А в базисе {ek}, т.е. , и в базисе {ek}: соответственно  - связаны матрицей С: , откуда следует, что СА=АС. Умножая обе части этого равенства слева на С-1, получим  С-1СА  = = С-1АС, что доказывает справедливость формулы (9.4).

              Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Определение 9.3. Вектор х называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число λ, что выполняется равенство: Ах = λх, то есть результатом применения к х линейного преобразования, задаваемого матрицей А, является умножение этого вектора на число λ. Само число λ называется собственным числом матрицы А.

 Подставив в формулы (9.3)  x`j = λxj, получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:

   .

Отсюда

                                         .                                (9.5)

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:

                            

получим уравнение для определения собственных чисел λ, называемое характеристическим уравнением. Кратко его можно представить так:

                           | A -  λE | = 0,                                                                            (9.6)

поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А-λЕ. Многочлен относительно λ   | A -  λE| называется характеристическим многочленом матрицы А.

                  Свойства характеристического многочлена:

  1.  Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.                                                                                                           Доказательство. (см. (9.4)), но  следовательно, . Таким образом,  не зависит от выбора базиса. Значит, и |AE| не изменяется при переходе к новому базису.
  2.  Если матрица А линейного преобразования является симметрической (т.е. аij=aji), то все корни характеристического уравнения (9.6) – действительные числа.

             Свойства собственных чисел и собственных векторов:

  1.  Если выбрать базис из собственных векторов х1, х2, х3, соответствующих собственным значениям  λ1, λ2, λ3 матрицы А, то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:

                                                                                   (9.7)                                                    Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.

  1.  Если собственные значения преобразования А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.
  2.  Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.

Пример.

Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы  Составим характеристическое уравнение:                                                    (1- λ)(5 - λ)(1 - λ) + 6 - 9(5 - λ) - (1 - λ) - (1 - λ) = 0, λ³ - 7λ² + 36 = 0, λ1 = -2, λ2 = 3, λ3 = 6.

Найдем координаты собственных векторов, соответствующих каждому найденному значению λ. Из (9.5) следует, что если х(1)={x1,x2,x3} – собственный вектор, соответствующий λ1=-2, то

                     - совместная, но неопределенная система. Ее решение можно записать в виде х(1)={a,0,-a}, где а – любое число. В частности, если потребовать, чтобы |x(1)|=1, х(1)=

Подставив в систему (9.5) λ2=3, получим систему для определения координат второго собственного вектора  -  x(2)={y1,y2,y3}:

                   , откуда х(2)={b,-b,b} или, при условии |x(2)|=1, x(2)=

Для  λ3 = 6  найдем собственный вектор x(3)={z1, z2, z3}:

                     ,  x(3)={c,2c,c} или в нормированном варианте

х(3) = Можно заметить, что х(1)х(2) = abab = 0, x(1)x(3) = acac = 0, x(2)x(3) = bc - 2bc + bc = 0. Таким образом, собственные векторы этой матрицы попарно ортогональны.

Лекция 10.

Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Определение 10.1. Квадратичной формой действительных переменных х1, х2,…,хn называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени.

Примеры квадратичных форм:

       (n = 2),

       (n = 3).   (10.1)

Напомним данное в прошлой лекции определение симметрической матрицы:

Определение 10.2. Квадратная матрица называется симметрической, если , то есть если равны элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали.

    Свойства собственных чисел и собственных векторов симметрической матрицы:

  1.  Все собственные числа симметрической матрицы действительные.

Доказательство (для n = 2).

Пусть матрица А имеет вид: . Составим характеристическое уравнение:

                           (10.2)        Найдем дискриминант:

следовательно, уравнение имеет только действительные корни.

  1.  Собственные векторы симметрической матрицы ортогональны.

Доказательство (для n = 2).

Координаты собственных векторов  и  должны удовлетворять уравнениям:

Следовательно, их можно задать так:

. Скалярное произведение этих векторов имеет вид:

По теореме Виета из уравнения (10.2) получим, что  Подставим эти соотношения в предыдущее равенство:  Значит, .

Замечание. В примере, рассмотренном в лекции 9, были найдены собственные векторы симметрической матрицы и обращено внимание на то, что они оказались попарно ортогональными.

Определение 10.3. Матрицей квадратичной формы (10.1) называется симметрическая матрица  .                                              (10.3)

Таким образом, все собственные числа матрицы квадратичной формы действительны, а все собственные векторы ортогональны. Если все собственные числа различны, то из трех нормированных собственных векторов матрицы (10.3) можно построить базис в трехмерном пространстве. В этом базисе квадратичная форма будет иметь особый вид, не содержащий произведений переменных.

         Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Определение 10.4. Каноническим видом квадратичной формы (10.1) называется следующий вид: .                                       (10.4)

Покажем, что в базисе из собственных векторов квадратичная форма (10.1) примет канонический вид. Пусть

              - нормированные собственные векторы, соответствующие собственным числам λ123 матрицы (10.3) в ортонормированном базисе . Тогда матрицей перехода от старого базиса к новому будет матрица

. В новом базисе матрица А примет диагональный вид (9.7) (по свойству собственных векторов). Таким образом, преобразовав координаты по формулам:

                         ,

получим в новом базисе канонический вид квадратичной формы с коэффициентами, равными собственным числам λ1, λ2, λ3:

              .                                                         (10.5)

Замечание 1. С геометрической точки зрения рассмотренное преобразование координат представляет собой поворот координатной системы, совмещающий старые оси координат с новыми.

Замечание 2. Если какие-либо собственные числа матрицы (10.3) совпадают, к соответствующим им ортонормированным собственным векторам можно добавить единичный вектор, ортогональный каждому из них, и построить таким образом базис, в котором квадратичная форма примет канонический вид.

Пример.

Приведем к каноническому виду квадратичную форму

         x² + 5y² + z² + 2xy + 6xz + 2yz.

Ее матрица имеет вид  В примере, рассмотренном в лекции 9, найдены собственные числа и ортонормированные собственные векторы этой матрицы:

Составим матрицу перехода к базису из этих векторов:

(порядок векторов изменен, чтобы они образовали правую тройку). Преобразуем координаты по формулам:

 . Получим:

Итак, квадратичная форма приведена к каноническому виду с коэффициентами, равными собственным числам матрицы квадратичной формы.

           Лекция 11.

Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

Определение 11.1. Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.

Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных.

                                          Эллипс.         

Определение 11.2. Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Замечание. При совпадении точек F1 и F2 эллипс превращается в окружность.

                                     Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему

  у              М(х,у)        координат так, чтобы ось Ох совпала с прямой F1F2, начало      

        r1      r2                           координат – с серединой отрезка F1F2. Пусть длина этого  

                                      отрезка равна 2с, тогда в выбранной системе координат

F1   O   F2              x       F1(-c, 0), F2(c, 0). Пусть точка М(х, у) лежит на эллипсе, и                 

                                       сумма расстояний от нее до F1 и F2 равна 2а.

                                      Тогда r1 + r2 = 2a, но  ,

поэтому  Введя обозначение b² = a²-c² и проведя несложные алгебраические преобразования, получим каноническое уравнение эллипса:                                                                               (11.1)

Определение 11.3. Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а    (11.2)

Определение 11.4. Директрисой Di эллипса, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с Fi относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.

Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (11.1), а уравнением второй степени другого вида.

                        Свойства эллипса:

  1.  Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.
    1.  Весь эллипс содержится внутри прямоугольника
    2.  Эксцентриситет эллипса e < 1.                                                            

Действительно,

4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е<1, следовательно, а/е>a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике )

5) Отношение расстояния ri от точки эллипса до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.

Доказательство.

Расстояния от точки М(х, у) до фокусов эллипса можно представить так:

Составим уравнения директрис:

 (D1),   (D2). Тогда   Отсюда ri / di = e, что и требовалось доказать.

                                  Гипербола.

Определение 11.5. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

|r1 - r2| = 2a, откуда  Если обозначить b² = c² - a², отсюда можно получить

                    

                - каноническое уравнение гиперболы.             (11.3)

 Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.

Определение 11.7. Директрисой Di гиперболы, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с Fi относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.

                       Свойства гиперболы:

  1.  Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.
  2.  Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

                                   и   .

3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением

                  ,                                                                      (11.3`)  

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5)   Отношение расстояния ri от точки гиперболы до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

                                      Парабола.

Определение 11.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.

            у                                    Для вывода уравнения параболы выберем декартову

                                                 систему координат так, чтобы ее началом была середина

           d          M(x,y)         перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директри-

                     r                     су, а координатные оси располагались параллельно и

                                            перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD 

 D   O      F            x             равна р. Тогда из равенства r = d следует, что

                                                        поскольку

Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду:    y² = 2px ,                                                                 (11.4)

называемому каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы.

                      Свойства параболы:

  1.  Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.
  2.  Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:

Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e<1), гиперболу (при e>1) или параболу (при е=1).

    Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

Определение 11.9. Линия, определяемая общим уравнением второго порядка

            ,                                             (11.5)

называется алгебраической линией второго порядка.

Для квадратичной формы  можно задать матрицу

                 .                                                                                  (11.6)

  Для того, чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:

  1.  поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);
  2.  параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).

Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат – совпасть с вершиной параболы.

 Поскольку в канонических уравнениях кривых второго порядка отсутствуют произведения переменных, необходимо перейти к координатной системе, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов матрицы А. В этом базисе уравнение (11.5) примет вид:

              (в предположении, что λ1,2 не равны 0).

Зададим последующий параллельный перенос формулами:

            . Получим в новой координатной системе уравнение

                                            .                                                     (11.7)

Рассмотрим возможные геометрические образы, определяемые этим уравнением в зависимости от знаков λ1, λ2 и :

  1.  если собственные числа матрицы А λ1 и  λ2 и одного знака, уравнение (11.7) представляет собой каноническое уравнение эллипса:

                              , где       

(случаи  и , имеющего знак, противоположный знаку λ1, λ2, будут рассмотрены в следующей лекции).

  1.  если λ1 и  λ2 имеют разные знаки, уравнение (11.7) является каноническим уравнением гиперболы:

  или    , в зависимости от знака .

В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (11.5) в результате двух преобразований координат можно привести к виду:

                             ,                                                                              (11.8)

являющимся каноническим уравнением параболы.

Пример.

Приведем к каноническому виду уравнение второго порядка

               3x² + 10xy +3y² - 2x – 14y – 13 = 0.

Матрица квадратичной формы  3x² + 10xy + 3y² имеет вид:

                          .

Найдем ее собственные числа и собственные векторы. Составим характеристическое уравнение:  Для координат собственного вектора е1, соответствующегоλ1, получим с учетом нормировки:

, откуда e1 = {}. Аналогично найдем е2: ,

e2 = {}. Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты собственных векторов: . Тогда

. Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим его вид в новой системе координат:  Заметим, что коэффициентами при x² и y² являются λ1 и λ2.

Преобразуем полученное уравнение:

Зададим параллельный перенос формулами: . Получим уравнение:  , а после деления на 8:

- каноническое уравнение гиперболы.

Лекция 12.

Классификация кривых второго порядка на плоскости. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения основных поверхностей второго порядка: эллипсоидов, гиперболоидов и параболоидов.

                            

                            Классификация кривых второго порядка.

Рассмотрим общее уравнение второго порядка (11.5):

       

и выясним, какие геометрические образы на плоскости могут задаваться этим уравнением.

  1.  Если собственные числа матрицы А λ1 и  λ2 одного знака, уравнение (11.5) называется уравнением эллиптического типа. Его можно привести к виду (11.7):   , которое, в свою очередь, преобразуется в следующую форму:

а) если имеет тот же знак, что и λ1,2, при делении на получаем

                              -  каноническое уравнение эллипса.

б) если =0, уравнение  имеет единственное решение:, определяющее точку на плоскости.

в) если знак  противоположен знаку λ1,2, уравнение после деления на  примет вид:

                           

                . Множество его решений пусто (иногда это пустое множество называют мнимым эллипсом).

  1.  Если собственные числа матрицы А λ1 и  λ2 разных знаков, уравнение (11.5) называется уравнением гиперболического типа.

а) при  оно сводится к одному из двух видов:

  или    , в зависимости от знака . Оба этих уравнения определяют гиперболу.

б) При =0 получаем уравнение  , эквивалентное двум линейным уравнениям:  и  , задающим пару пересекающихся прямых.

  1.  Если одно из собственных чисел равно 0, уравнение (11.5) называется уравнением параболического типа, и его можно привести к одному из следующих видов:

а) к уравнению (11.8):  , определяющему параболу;

б) к уравнению , или , задающему пару параллельных прямых;

в) к уравнению , определяющему одну прямую (или пару совпадающих прямых);

г) к уравнению , не имеющему решений и, следовательно, не определяющему никакого геометрического образа.

              Поверхности второго порядка.

Определение 12.1. Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

  -          (12.1)

уравнению второй степени от трех неизвестных, называемому общим уравнением поверхности второго порядка.

Если найти собственные числа и нормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы  и перейти к системе координат, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов, уравнение (12.1) можно привести к одному из следующих видов:

  1.  Если λ1, λ2, λ3 – одного знака, уравнение (12.1) есть уравнение эллиптического типа и приводится к канонической форме:

а)                                    -                                                           (12.2)

каноническое уравнение эллипсоида.

Замечание, Если два собственных числа совпадают, эллипсоид называется эллипсоидом вращения и представляет собой поверхность, полученную в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Если все собственные числа равны, уравнение (12.2) становится уравнением сферы.

б)                     -                                                                              (12.3)

уравнение задает точку в пространстве;

в)                    -                                                                              (12.4)

пустое множество.

  1.  Если собственные числа разных знаков, уравнение (12.1) приводится к каноническому виду:

а)    -  каноническое уравнение однополостного гиперболоида,  (12.5)

б)     -                                                                                                   (12.6)

  •  каноническое уравнение двуполостного гиперболоида,

в)  -                                                                                                     (12.7)

уравнение конуса второго порядка.

  1.  Одно из собственных чисел равно 0. При этом с помощью преобразований координат можно получить следующие формы уравнения (12.1):

а)   -                                                                                                    (12.8)

каноническое уравнение эллиптического параболоида,

б)   -                                                                                                          (12.9)

каноническое уравнение гиперболического параболоида 

и уравнения цилиндрических поверхностей:

в)   - эллиптический цилиндр,                                                     (12.10)

г)   - гиперболический цилиндр.                                                 (12.11)

Наконец, уравнение может определять пару плоскостей:

д) .                                                                                                (12.12)

  1.  Если два собственных числа равны 0, уравнение (12.1) приводится к одному из следующих видов:

а)   - параболический цилиндр,                                            (12.13)

б)     - пара параллельных плоскостей,                                  (12.14)

в)          - пустое множество.

44


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24581. Методика проведення загального аудиту 33 KB
  Методичні прийоми проведення аудиторської перевірки До їх складу відносять: фактичну перевірку підтвердження документальну перевірку спостереження обстеження опитування перевірку механічної точності аналітичні тести сканування обстеження спеціальну перевірку та зустрічну перевірку див. Під фактичною перевіркою слід розуміти перевірку кількісного і якісного стану об'єктів який встановлюється шляхом обстеження огляду обмірювання перерахунку зважування лабораторного аналізу та інших способів перевірки фактичного стану активів....
24582. Документування аудиторських послуг 26.5 KB
  Документальне оформлення аудиторської перевірки складається з двох видів документації робочої та підсумкової. Аудитор зобов'язаний вести документацію зі справ які стосуються прийнятих рішень за результатами проведеної аудиторської перевірки і які в свою чергу будуть покладені в основу аудиторського висновку. Суть робочої документації Робоча документація це записи за допомогою яких аудитор фіксує проведені процедури перевірки тести отриману інформацію і відповідні висновки які робляться під час проведення аудиторської перевірки....
24583. Договір на проведення аудиту 32 KB
  Договір на проведення аудиту. Порядок укладання договору Після обміну листами між аудитором та його клієнтом укладається договір на проведення аудиту. Договір на проведення аудиту є основним документом який засвідчує факт досягнення домовленості між замовником та виконавцем про проведення аудиторської перевірки він документально стверджує що сторони дійшли згоди з усіх моментів обумовлених у договорі. Договір на проведення аудиту має суттєві відмінності від інших договорів які використовуються в підприємництві.
24584. Клієнти аудиторських фірм (аудиторів), процедури їх вибору то погодження 29 KB
  За організаційноправовими формами клієнтів поділяють на підприємства установи організації об'єднання фонди громадян які самостійно провадять підприємницьку діяльність. Крім цих форм законодавством окремо виділяються господарські товариства підприємства установи й організації створені на засадах угоди між юридичними особами і громадянами шляхом об'єднання їх майна для провадження підприємницької діяльності. За формами власності споживачів аудиторських послуг поділяють на: ♦ індивідуальні підприємства засновані тільки на особистій...
24585. Поняття і види аудиторських послуг 39 KB
  Аудиторські організації та підприємціаудитори які провадять свою діяльність одноосібно можуть проводити аудит і надавати супутні аудиту послуги. Уся інша робота аудитора це супутні аудиту послуги. Поряд із проведенням аудиту Національні стандарти передбачають супутні аудиту послуги: оглядову перевірку операційну перевірку та компіляцію трансформацію обліку. Аудиторські послуги як правило не атестовані тобто не потребують подання аудиторського висновку та формальної звітності аудитора на адресу клієнта.
24586. Планування конкретної аудиторської перевірки 34.5 KB
  Вимоги та рекомендації щодо планування аудиту визначені МСА 300 Планування згідно з яким аудитори й аудиторські фірми України мають право самостійно визначати форми і методи аудиту на підставі чинного законодавства наявних норм і стандартів умов договору із замовником професійних знань та досвіду. Мета планування Метою планування аудиту є концентрація уваги аудитора на найважливіших напрямах аудиту виявленні проблем які слід перевірити якнайдетальніше. Документальне оформлення Характер планування залежить від організаційної форми...
24587. Планування аудиторської діяльності 30 KB
  Планування аудиторської діяльності. Обов'язковою умовою успішної діяльності будьякого підприємства є планування. Нормативна база з аудиту МСА 300 Планування регламентує лише порядок планування аудиторської перевірки визначає порядок підготовки загального плану і розроблення програми проведення аудиту і не визначає порядок планування аудиторської діяльності. У літературі з аудиту питання планування аудиторської діяльності також майже не висвітлювалось.
24588. Контроль якості роботи аудиторів 29 KB
  Контроль якості роботи аудиторів Аудиторська фірма зобов'язана дотримуватися політики і процедур контролю якості аудиторських послуг які гарантують що всі аудиторські перевірки проводяться у відповідності з Національними стандартами аудиту та Законом України Про аудиторську діяльність . Зміст строки й обсяг аудиторських процедур та політики аудиторської фірми щодо контролю якості залежать від таких чинників як розміри і характер діяльності аудиторської фірми її дислокація рівень організації перевірки і відповідних суджень про...
24589. Поняття аудиторської діяльності та її правове забезпечення 32 KB
  Основними нормативними документами що визначають головні засади аудиторської діяльності є Закон України Про аудиторську діяльність Національні стандарти аудиту та Кодекс професійної етики аудиторів України. Згідно з Законом України Про аудиторську діяльність до аудиторської діяльності належить організаційне і методичне забезпечення аудиту практичне виконання аудиторських перевірок аудиту та надання інших аудиторських послуг. За національним законодавством На жаль національне законодавство обмежує рамки аудиту аудитом фінансової...