48584

Дискретные системы, нелинейные системы, случайные процессы в системах автоматического управления. Теория автоматического управления. Конспект лекций

Конспект

Информатика, кибернетика и программирование

В компактной форме изложены основы теории дискретных, нелинейных, стохастических систем автоматического управления. Рассмотрены элементы современной теории систем. Конспект лекций предназначен для студентов всех форм обучения, изучающих системы автоматического управления. Полезен при выполнении курсовых и дипломных проектов.

Русский

2015-01-12

4.96 MB

55 чел.

В. П. Кузнецов, С. В. Лукьянец, М. А. Крупская

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Конспект лекций

В 2-х частях

Часть 2

Дискретные системы, нелинейные системы,
случайные процессы в системах
автоматического управления

Рекомендовано УМО вузов Республики Беларусь
по образованию в области информатики и радиоэлектроники
в качестве учебно-методического пособия для студентов учреждений,
обеспечивающих получение высшего образования по специальности,
1-53 01 07 «Информационные технологии и управление
в технических системах»

Минск БГУИР 2009

УДК 681.511.4(075.8)

ББК 32.965.5я73

    Т 33

Рецензенты:

кафедра автоматизации технологических процессов и электротехники БГТУ; профессор кафедры систем  автоматического управления
Военной академии Республики Беларусь»
д-р техн. наук, проф. В. А. Куренёв

 Теория автоматического управления. Конспект лекций. В 2 ч.

Т 33 Ч. 2: Дискретные системы, нелинейные системы, случайные процессы
в системах автоматического управления: учеб.-метод. пособие / В. П. Кузнецов, С. В. Лукьянец, М. А. Крупская. – Минск : БГУИР, 2009. – 125
c.: ил.

 ISBN 978-985-488-070-9 (ч.2)

В компактной форме изложены основы теории дискретных, нелинейных, стохастических систем автоматического управления. Рассмотрены элементы современной теории систем.

Конспект лекций предназначен для студентов всех форм обучения, изучающих системы автоматического управления. Полезен при выполнении курсовых и дипломных проектов.

УДК 681.511.4(075.8)

ББК 32.965.5я73

ISBN 978-985-488-070-9 (ч.2)

ISBN 978-985-488-048-8

© кузнецов В. П., лукьянец С. В.,

    Крупская М.А., 2009

© УО «Белорусский государственный
     университет информатики
     и радиоэлектроники», 2009

СОДЕРЖАНИЕ

2. Нелинейные системы автоматического управления………………………..65

2.1. Общие сведения о нелинейных системах………...…………………...65

2.2. Математические модели замкнутых нелинейных систем автоматического управления………….……………………………………………………………..68

2.3. Исследование нелинейных систем методом фазовой плоскости…...70

2.3.1. Основные понятия………...…………………………………………70

2.3.2. Классификация фазовых портретов……………….…………….….73

2.3.3. Построение фазовых траекторий………………..………………….77

2.3.4. Скользящие режимы в нелинейных системах………………..……78

2.3.5. Система с переменной структурой………………...………………..80

2.4. Метод припасовывания…………………..……………………………82

2.5. Метод точечного преобразования…………………..………………...85

2.6. Метод гармонической линеаризации………..…………………….….88

2.6.1. Исходные положения метода гармонической линеаризации……..88

2.6.2. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации…..….92

2.6.3. Алгебраический метод определения симметричных колебаний…92

2.6.4. Частотный метод определения симметричных колебаний………..95

2.6.5. Вынужденные колебания в нелинейных системах………….……..99

2.7. Устойчивость процессов в нелинейных системах…………….....…100

2.7.1. Основные понятия и определения……………...……………….....100

2.7.2. Теоремы Ляпунова…………………………………………...…..…102

2.7.3. Абсолютная устойчивость……...……………………………...…..103

2.8. Коррекция нелинейных систем…………………………..………….106

2.8.1. Коррекция нелинейной системы с помощью обратной связи…...106

2.8.2. Коррекция нелинейной системы с помощью вибрационного сглаживания……………………………………………………………………….....107

3. Случайные процессы в системах автоматического управления………….109

3.1. Случайные процессы и их характеристики…………………………109

3.2. Прохождение случайных сигналов через линейную непрерывную систему автоматического управления………………………………………...112

3.3. Расчёт точности системы при случайных воздействиях……...……115

3.4. Особенности синтеза систем автоматического управления…..…...116

3.5. Случайные процессы в импульсных системах……...……...………119

3.6. Случайные процессы в нелинейных системах……………..….……121

4. Элементы современной теории автоматического управления………..….124

4.1. Оптимальное управление……..……………………………………...124

4.2 Интеллектуальные САУ…..…………………………………………..125

4.2.1. Экспертные информационные системы………..…………………125

4.2.2. Нейросетевые САУ………………………..………………………..126

4.2.3. САУ с ассоциативной памятью………………..…………………..127

4.2.4. Системы управления с нечёткой логикой…………..….…………128

Литература…………………………...…………………………………….133


Предисловие

Конспект лекций по дисциплине “Теория автоматического управления” (ТАУ) содержит две части. Первая часть [1] посвящена изложению теории линейных непрерывных систем. В соответствии с требованиями образовательного стандарта ОСБР 1-53 01 07-2007 и типового учебного плана специальности 1-53 01 07 Информационные технологии и управление в технических системах оптимальные и адаптивные системы выделены в самостоятельную дисциплину. В связи с этим во второй части конспекта лекций рассматриваются дискретные и нелинейные системы, случайные процессы в системах автоматического управления (САУ) и элементы современной ТАУ.

В первом разделе излагается теория дискретных систем. Даются основные понятия дискретных систем, краткие сведения о разностных уравнениях и дискретном преобразовании Лапласа. Рассматриваются передаточные функции и частотные  характеристики импульсных систем. Анализируются процессы в импульсных САУ, их устойчивость и точность. Рассматриваются характеристики импульсных систем, описываемых уравнениями в пространстве состояний. Кратко исследуются цифровые САУ. Излагаются некоторые подходы к синтезу дискретных систем.

Второй раздел посвящен нелинейным системам. В нем приводятся общие сведения о нелинейных системах,  статических и динамических свойствах. Значительное внимание уделено анализу нелинейных САУ методом фазовой плоскости. Рассматриваются скользящие режимы в нелинейных САУ и процессы в системах с переменной структурой. Излагаются методы припасовывания и точечного преобразования. Рассмотрены метод гармонической линеаризации нелинейностей и его применение для определения симметричных колебаний как в режиме свободных, так и в режиме вынужденных движений. В этом разделе также изложены подходы А.М. Ляпунова к анализу устойчивости нелинейных систем. Рассмотрены соответствующие теоремы Ляпунова. Изложен вопрос оценки абсолютной устойчивости нелинейных систем на основе метода В.М. Попова. Рассмотрена коррекция нелинейных систем.

В третьем разделе рассматриваются случайные процессы в САУ. Приводятся общие сведения о случайных процессах и их характеристиках. Анализируется прохождение случайных сигналов через линейные непрерывные, импульсные и нелинейные системы. Кратко излагаются вопросы расчета таких систем.

Четвёртый раздел содержит информацию о некоторых направлениях современной теории автоматического управления, таких как адаптивное оптимальное управление; экспертные информационные системы управления; нейросетевые системы управления; системы фаззи-управления.

Авторы выражают благодарность кандидату технических наук, доценту И.Ф. Кузьмицкому и доктору технических наук, профессору В.А. Куреневу за рецензирование учебно-методического пособия и полезные советы по улучшению его содержания.

Авторы признательны Г.С. Волковой за помощь в компьютерной подготовке рукописи к изданию.

1. Дискретные системы автоматического управления

Развитие дискретных систем обусловлено постоянно повышающимися требованиями к управлению различными технологическими процессами, с одной стороны, и возможностями вычислительной техники в обеспечении этих требований, с другой стороны. Так в современных электромеханических системах необходимо обеспечивать перемещение с высокой скоростью (до 1 м/с) при погрешности, не превышающей десятых долей процента. Погрешность позиционирования иногда должна быть менее 1 мкм. Возникают также задачи реализации сложных законов управления в реальном времени. Аналоговые системы  не могут обеспечить таких показателей из-за инерционности и дрейфа нуля операционных усилителей, на которых, как правило, реализуются устройства управления. Широкое распространение микропроцессоров позволяет устранить отмеченные недостатки аналоговых регуляторов, существенно расширить функции управления и повысить его качество. При этом появляется возможность организации параллельно с управлением тестирования и моделирования. Дискретные системы также обладают высокой помехозащищенностью, имеют меньшие габариты и вес.

В то же время анализ и синтез дискретных систем требуют четкого учета их особенностей, умелого использования соответствующего математического аппарата, тщательной разработки алгоритмов управления, грамотного выбора аппаратных и программных средств при их реализации. Все эти вопросы объединяет теория дискретных систем автоматического управления.

Большой вклад в развитие теории дискретных систем внесли Я.З. Цыпкин, Ю.С. Попков, В.А. Бесекерский, Л.Т. Кузин, Б.К. Чемоданов, Э. Джури, Ю. Ту, В.В. Шахгильдян и др.

Рассмотрим примеры дискретных систем.

На рис. 1. 1, а представлена функциональная схема системы стабилизации частоты генератора электрических колебаний, использующей принцип импульсно-фазовой автоподстройки частоты.

Рис. 1. 1. Система стабилизации частоты генератора электрических колебаний:

а – функциональная схема; б – временные диаграммы сигналов

Объект управления в этой системе – управляемый генератор УГ, управляемая координата – его частота . Возмущением  могут быть внутренние шумы генератора, внешние наводки и т.п. Эталонный генератор ЭГ задает последовательность коротких импульсов . Формирователь Ф создает последовательность коротких импульсов , частота которых равна частоте . Устройством сравнения (фазовым детектором) является статический триггер СТ с двумя входами. Усилительные, преобразовательные и фильтрующие устройства обозначены через УП.

В режиме стабилизации частоты последовательности импульсов  и  равны между собой, а фаза импульсов  отстает от фазы импульсов . Импульсы  переводят триггер в „1”, а  – в „0”. Сигнал рассогласования представляет собой последовательность импульсов, модулированных по ширине при .

Если возмущение  увеличивает частоту сигнала , то длительность  уменьшается и уменьшается среднее значение сигналов  и , что приведет к уменьшению частоты . Так происходит стабилизация частоты.

В качестве следующего примера рассмотрим систему автоматического сопровождения цели по дальности импульсной радиолокационной станции (РЛС), функциональная схема которой приведена на рис. 1.2, а. Система содержит основные функциональные элементы: временной дискриминатор ВД, усилитель-преобразователь УП, исполнительное устройство ИУ и генератор селекторного напряжения ГСН.

Рис. 1.2. Система автоматического сопровождения цели по дальности импульсной РЛС: а – функциональная схема; б – временные диаграммы сигналов

Входным воздействием системы является напряжение импульсов , отраженных от цели. Информация о дальности до цели содержится в запаздывании  (рис. 1.2, б) отраженного сигнала относительно импульса опорного напряжения в дискретные моменты времени .

При работе системы цель облучается с помощью РЛС, отраженные сигналы из РЛС поступают на вход устройства сравнения (ВД) системы сопровождения цели. Напряжение, соответствующее измеренной дальности, вырабатывается системой и после преобразования в дискретную форму с помощью генератора селекторного напряжения поступает на второй вход устройства сравнения. Эти две величины сравниваются между собой. Отклонение  используется для управления исполнительным устройством с целью уменьшения этого отклонения.

Примером цифровой системы управления является электропривод степени подвижности промышленного робота. Аналогичная система рассмотрена в первой части дисциплины ТАУ. К цифровым системам обращаются в случаях, когда регулятор реализуется с помощью микропроцессора.

Дискретные системы  управления  применяются также в  ракетной и атомной технике.

1.1.Основные понятия и классификация

Если хотя бы один из сигналов в замкнутом контуре системы автоматического управления (САУ) подвергается дискретизации (квантованию), то такая система будет относиться к классу дискретных САУ. Различают квантование сигнала по времени, по уровню и одновременно по времени и уровню. Соответственно дискретные САУ делятся на импульсные, релейные и цифровые. Дискретизация в импульсных САУ обычно осуществляется устройствами, называемыми импульсными элементами ИЭ (модуляторами), в релейных  устройствами, имеющими релейные характеристики (реле), а в цифровых  аналого-цифровыми или цифро-аналоговыми преобразователями. Класс релейных систем рассмотрен в разделе 2, т.к. методы исследования релейных систем базируется на теории и методах исследования нелинейных непрерывных САУ. В данном разделе будем рассматривать импульсные и цифровые САУ.

На вход ИЭ поступает непрерывный сигнал , на выходе имеем импульсный сигнал в виде модулированной последовательности прямоугольных импульсов. Параметрами импульсной последовательности, которые подвергаются модуляции, являются ширина , высота  и период  (частота ). Соответственно различают амплитудно-импульсную (АИМ), широтно-импульсную (ШИМ) и частотно-импульсную (ЧИМ) модуляции. Наиболее широко используется АИМ и ШИМ. Кроме этого, различают модуляцию 1-ого и 2-ого рода. Обозначим произвольный момент квантования сигнала через ,  ,…, тогда при модуляции 1-ого рода законы модуляции будут

, , ,  (1.1)

где некоторые функции.

Таким образом, при модуляции 1-ого рода значение модулированного параметра в -й момент времени определяется значением входного сигнала в этот же момент времени .

Если функции  в (1.1) являются линейными относительно , то будем иметь линейный ИЭ и линейные законы модуляции. Если модулируемый параметр, зависит от значений входного сигнала  на некотором интервале времени , часто предшествующем моменту , то имеем случай модуляции 2-ого рода. При этом вместо функций  обычно фигурируют некоторые функционалы. Например, зависимость

,  (1.2)

характеризует так называемую пороговую ШИМ 2-ого рода, где порог срабатывания модулятора.

Классификацию импульсных САУ по виду модуляции закончим еще одним разделением их на два класса: если все элементы САУ (в том числе и ИЭ) описываются линейными уравнениями, то такую САУ будем  называть линейной. Если хотя бы один элемент (в том числе и ИЭ) описывается нелинейными уравнениями, то такую САУ будем относить к классу нелинейных.

Основой общей теории дискретных САУ является теория линейных импульсных систем с АИМ-1 (амплитудно-импульсной модуляцией 1-ого рода), в которой все звенья системы описываются линейными дифференциальными уравнениями или передаточными функциями, а ИЭ осуществляет линейную модуляцию 1-ого рода. Базовая структура линейной стационарной импульсной  САУ, к которой можно во многих случаях свести реальную структуру и которая будет являться предметом дальнейшего рассмотрения, представлена на рис. 1.3, где ЛНЧ линейная непрерывная часть системы, ,   выход и вход системы,   сигнал ошибки,   последовательность прямоугольных импульсов, модулированных по амплитуде.

Рис. 1.3

Будем полагать, что ЛНЧ описывается передаточной функцией , а ИЭ является линейным, характеризуется постоянными параметрами: длительностью импульсов , периодом повторения , коэффициентом передачи (усиления)  и законом линейной  АИМ-1

, (1.3)

причем переменные , , ,  являются непрерывными функциями времени. В дальнейшем можно полагать . Если , то его можно отнести к ЛНЧ.

Связь координат , , ,  можно записать в операторной форме

 , . (1.4)

Уравнения (1.3), (1.4) можно интерпретировать как модель импульсной САУ. Неудобство модели в том, что ряд координат являются непрерывными функциями времени, а другие определены для дискретных моментов времени  или .

1.2. Решетчатые функции, разностные уравнения и дискретное преобразование Лапласа

Основой математической теории описания процессов в импульсных системах является аппарат решетчатых функций и разностных уравнений.

Решетчатой функцией  будем называть функцию, определенную для целочисленных значений аргумента  (, 1, …). Впредь будем рассматривать  или  как дискретное время. Для ШИМ и АИМ , поэтому функции будем обозначать  или . Решетчатые функции  часто получаются из непрерывных  при замене .

Аналогом производных непрерывных функций для решетчатых функций  являются конечные разности. Конечная разность первого порядка (первая разность) для решетчатой функции  обозначается  и определяется выражением

. (1.5)

Вторая разность  определяется как

и т.д. .

Аналогом операции интегрирования для решетчатой функции является операция суммирования 

.

Очевидна связь , а функция  называется первообразной для решетчатой функции .

Аналогом дифференциальных уравнений непрерывных функций для решетчатых функций являются разностные уравнения, связывающие функцию  с ее разностями , …, , или разностные уравнения, связывающие функцию  с ее значениями , …,. В дальнейшем будем рассматривать второй вариант разностных уравнений.

Линейные импульсные системы описываются линейными разностными уравнениями следующего вида:

, (1.6)

где   заданная функция (вход),   искомая функция (решение разностного уравнения, выход), ,   постоянные коэффициенты, при этом чаще всего .

Величина , 2, … определяет порядок разностного уравнения. Для полного задания при нахождении решения  кроме вида функции  следует задать начальные условия искомого решения , ,…, .

В случае непрерывных систем [1], описываемых линейными дифференциальными уравнениями, в теории автоматического управления широкое распространение находят методы исследования, базирующиеся на преобразованиях Лапласа и Фурье, где функция непрерывного аргумента  преобразуется в функцию комплексной переменной  с помощью преобразования Лапласа

{},

где   символ прямого преобразования Лапласа, оригинал,   изображение. Существует обратный переход от  к , т.е.{}, где   символ обратного преобразования Лапласа.

Аналогом преобразования Лапласа для решетчатых функций является дискретное преобразование Лапласа или преобразование, определяемое соотношениями

{}=,

(1.7)

{}=,

где   решетчатая функция (оригинал),   изображение,   комплексная переменная, а  и   соответственно символы прямого и обратного преобразования.

В литературе (например, [6]) приводятся таблицы соответствия между  и . Например, если   единичная ступенчатая решетчатая функция, то . Там же  достаточно подробно рассматриваются свойства преобразования. Например, если , где ,  постоянные, то (свойство линейности).

Другое свойство: пусть {}, тогда  при условии, что , …,  (теорема смещения).

Если применить   преобразование к разностному уравнению (1.6), то с учетом вышеприведенных свойств нетрудно получить алгебраическиe уравнения относительно изображений:

, (1.8)

. (1.9)

Функция комплексной переменной

 (1.10)

называется передаточной функцией и определяется как отношение изображений выхода  ко входу  при нулевых начальных условиях переменных , .

Наряду с решетчатыми функциями  используются смещенные решетчатые функции, которые получаются из непрерывной функции  при замене  и обозначаются  или в сокращенной записи , где   параметр смещения. Уравнение (6) также можно записать относительно смещенных решетчатых функций, т.е. будем иметь разностное уравнение со смещенными аргументом.

Для смещенных решетчатых функций  преобразование (1.7) будет иметь вид

 , (1.11)

т.е. изображение будет зависеть от параметра . При  (1.7) и (1.11) совпадают.

Итак, в рамках изложенного можно говорить о функциях: непрерывной , решетчатой , смещенной решетчатой и соответственно об изображениях: ,  и .

Существует однозначная связь между перечисленными функциями и изображениями [6]. Эти соотношения для наиболее употребительных функций приведены в табл.1.1. преобразование получается из последнего столбца при .

Таблица 1.1

Непрерывная функция

Решетчатая                            функция

преобразование

для

,

Отметим, что в литературе наряду с дискретным преобразованием Лапласа в форме преобразования используется так называемое преобразование, получаемое из (1.7), (1.11) заменой , т.е. изображения будут функциями комплексной переменной . Очевидно, свойства и преобразований во многом идентичны.

Решение разностного уравнения (1.8) при нулевых начальных условиях с использованием преобразования имеет следующий алгоритм:

 по уравнению (1.8) находим передаточную функцию ;

 задавая вход ,находим по таблицам изображение функции ;

 перемножая и ,находим изображение , которое обычно будет иметь вид , где  и  полиномы относительно ;

 сложную дробно-рациональную функцию  представляем в виде суммы простейших дробей первой степени

;

 переходим от изображения  к оригиналу

,

где  находим по таблицам.

Пример 1.1. Найти решение разностного уравнения  при нулевом начальном значении  и воздействии вида единичной ступенчатой функции .

Находим , , .

Представим  в виде следующей суммы .

Из табл. 1.1 , , тогда решение будет иметь вид

.

1.3. Описание разомкнутых импульсных систем

Структура разомкнутой импульсной системы приведена на рис. 1.4.

Рис. 1.4

Линейная непрерывная часть системы характеризуется передаточной функцией , а импульсный элемент законом модуляции  и постоянными значениями величин  и . Заметим, что сигналы  и  непрерывные, а   последовательность прямоугольных импульсов, модулированных по амплитуде.

Рассмотрим получение разностного уравнения на простейшем примере. Пусть , тогда  и  связаны дифференциальным уравнением , которое легко решается.

Обозначим значение координаты  в произвольный момент времени квантования  через , тогда на интервале действия -ого импульса  и закон изменения выхода будет

, . (1.12)

Найдем закон изменения  на интервале паузы в -ом периоде, когда . Он будет иметь вид

.  (1.13)

Полагая в (1.12) , найдем , подставим в (1.13) и после преобразований будем иметь

, . (1.14)

Положим в (1.14)  и, обозначая , ,  будем иметь

                   

,  (1.15)

где , .

Итак, связь  и  в дискретные моменты времени  описывается линейным разностным уравнением первого порядка (частный случай (1.6)), коэффициенты которого  и  определены через параметры ИЭ и ЛНЧ.

Аналогично, можно получить разностное уравнение при , т.е. для смещенных решетчатых функций .

Применяя к (1.15) преобразование, найдем для данного случая передаточную функцию

 ,. (1.16)

Для простейших случаев передаточных функций  можно по этой методике получить дискретные передаточные функции разомкнутой системы. Ниже приведем таблицу для трех вариантов передаточной функции .

Таблица 1.2

Если передаточная функция  имеет более высокий порядок, но может  быть представлена в виде суммы передаточных функций  простейшего типа , то в этом случае  находя по табл. 1.2 , можно получить общую передаточную функцию разомкнутой системы

.

Рассмотрим другой способ получения передаточной функции разомкнутой системы, излагаемый практически в любом учебнике. Структура на рис. 1.4 может быть представлена в виде, изображенном на рис. 1.5, а.

Рис.1.5

На рис. 1.5, а импульсный элемент представлен в виде идеального элемента (ИИЭ) или ключа и формирующего устройства (ФУ). Ключ периодически замыкается с периодом  и формирует последовательность импульсов в виде функций, площадь которых равна . ФУ формирует последовательность прямоугольных импульсов , амплитуда которых равна .

По определению   функция описывается так:

 

.

Разумеется, физически ИИЭ не существует, однако такое математическое представление ИЭ отражает физику процессов в исходной структуре рис.1.3. Объединяя передаточные функции  и , приходим к структуре рис.1.5, б, где ЭЛНЧ – эквивалентная линейная непрерывная часть с передаточной функцией . В случае прямоугольных импульсов  имеет вид

, (1.17)

где .

Если , , то такое формирующее устройство называют фиксатором или экстраполятором нулевого порядка.

Если рассматривать  для , т.е.  и ввести изображения решетчатых функций , , то связь входа и выхода в области изображений будет , где передаточную функцию дискретной разомкнутой системы можно определить по выражению [6]

. (1.18)

Отметим, что Z–преобразование применяется к решетчатым функциям. Однако каждой решетчатой функции  соответствует непрерывная , а ей некоторое изображение . Поэтому  будем понимать как символичную запись .

Алгоритм применения формулы (1.18) следующий. Если  имеет высокий порядок, то  представляют в виде суммы простейших (табличных) слагаемых. Далее по таблицам –преобразования находят изображения каждого слагаемого и суммируют их. В результате получают изображение . Полагая в  , получают первое слагаемое в (1.18) и, полагая , – второе.

Наиболее часто используется случай фиксатора нулевого порядка (). В этом случае формула (1.18) упрощается и имеет вид

. (1.19)

В наиболее общем случае передаточная функция  может быть записана в виде . При этом всегда степень полинома  больше степени полинома , а  характеризует порядок астатизма. В этом случае передаточная функция импульсной системы будет иметь вид

, (1.20)

причем степени полиномов  и  будут равны.

Для импульсной системы понятие порядка астатизма сохраняется, т.е. передаточная функция (1.20) соответствует импульсной системе с астатизмом -го порядка.

Пример 1.2. Найти передаточную функцию разомкнутой импульсной системы, если . Представим  в виде суммы двух слагаемых

,

где , .

Воспользуемся табл. 1.2, тогда

, .

Таким образом,

. (1.21)

Теперь воспользуемся формулой (1.18) и найдем

.

По таблицам Z–преобразования [6] (либо таблица 1.1) находим

,

.

Таким образом, имеем

,

откуда находим  при  и  при  и подставляем их в (1.18). После преобразований приходим к выражению (1.19). Как и следовало ожидать, оба способа дали одинаковую передаточную функцию, которую можно записать и так

 , (1.22)

где , , , , а коэффициенты  и  определены выше.

Если в приведенных выражениях положить , то получим передаточную функцию для случая, когда ФУ является фиксатором нулевого порядка.

1.4. Частотные характеристики импульсных систем

При описании и исследовании импульсных систем наряду с передаточными функциями и разностными уравнениями широкое распространение получили методы на базе частотных характеристик.

Если в формуле (1.7), определяющей прямое Z–преобразование, сделать замену переменной , то получим соотношение

, (1.23)

которое определяет прямое дискретное преобразование Фурье.

Пусть известна передаточная функция разомкнутой системы , тогда после формальной замены  получим , где   угловая частота.

Функция  называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) импульсной системы. Далее знак  будет относиться к частотным характеристикам импульсных систем. Характеристики без этого знака (например, ) будут относиться к непрерывным системам.

называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) системы, а  – фазовой частотной характеристикой системы. Можно также ввести понятия вещественной и мнимой частотных характеристик.

Физический смысл частотных характеристик импульсной системы точно такой же, как и для непрерывной. Если на вход разомкнутой системы рис. 1.3 поступает гармонический сигнал , которому соответствует решетчатая функция , то на выходе в установившемся режиме будем иметь сигнал

, (1.24)

где  здесь и далее будет обозначать установившееся значение сигнала или процесса при  или больших значений времени .

Таким образом, АЧХ показывает, как изменяется амплитуда гармоники, а ФЧХ определяет величину фазового сдвига при прохождении гармоники через импульсную систему.

Так как , а , то в силу периодичности функций  и частотные характеристики по отношению  являются периодическими функциями периода , где здесь и далее  – частота квантования (дискретизации) импульсного элемента.

Так же как для непрерывных систем и для импульсных САУ строятся графики  и  на плоскости при изменении частоты . График  является годографом на комплексной плоскости. Так как частотные характеристики периодические с периодом , то их достаточно строить только на интервале частот от  до . Более того  – четная, а  нечетная функции своего аргумента, а годограф  симметричен относительно действительной оси. Поэтому характеристики обычно строятся на интервале частот от 0 до .

Периодичность частотных характеристик отличает их от характеристик непрерывных систем, что является неудобным для получения логарифмических характеристик. Поэтому введем еще один класс частотных характеристик. В передаточной функции  сделаем замену комплексной переменной  на новую комплексную переменную  по формулам:

,  . (1.25)

Заменяя получим . Обозначим , тогда , где  имеет размеренность угловой частоты и носит название псевдочастоты. При изменении  от  до  псевдочастота изменяется от  до . При малых  частота  близка к .

Итак, заменяя  на , получим передаточную функцию , из которой, полагая  получаем частотные характеристики , ,  – соответственно АФЧХ, АЧХ и ФЧХ относительно псевдочастоты.

Используя АЧХ и ФЧХ можно получить логарифмические характеристики  – ЛАЧХ и  – ЛФЧХ. Графики логарифмических характеристик строятся обычным образом, как и для непрерывных систем в логарифмическом масштабе.

В заключение рассмотрим одно из интересных свойств импульсных систем,  связанное с периодичностью частотных характеристик. Пусть на вход разомкнутой системы поступает гармонический сигнал ,  , которому соответствует решетчатая функция . Тогда в соответствии с (1.24) в установившемся режиме на выходе будем иметь

.

В силу периодичности частотных характеристик  и  имеем , . Кроме того с учетом  можно записать . Окончательно получим , что совпадает с (1.24).

Итак, высокочастотная гармоника  и низкочастотная  на выходе разомкнутой импульсной системы дают один и тот же выходной сигнал. Это явление называется стробоскопическим эффектом, который заключается в переносе высокочастотных составляющих спектра входного сигнала в низкочастотную область.

Пример 1.3. Пусть , тогда передаточная функция разомкнутой системы в соответствии с (1.16) будет иметь вид

, ,   , .

Найдем основные частотные характеристики такой разомкнутой импульсной системы. Полагая  с учетом  будем иметь

, (1.26)

, (1.27)

. (1.28)

График АФЧХ (1.26) на комплексной плоскости представляет собой полуокружность при изменении частоты  от 0 до  (рис.1.6, а). При этом , . Радиус этой окружности равен , а центр лежит на оси в точке C с координатой .

Рис. 1.6

Найдем логарифмические характеристики такой разомкнутой импульсной системы. В передаточной функции  сделаем замену ,  тогда после несложных преобразований получим

,

где , , , а  и  можно рассматривать как постоянные времени. Заменяя , получим АФЧХ относительно псевдочастоты

, (1.29)

из которой находим АЧХ и ФЧХ

, (1.30)

. (1.31)

Логарифмическую амплитуду частотную характеристику получим из , которая будет иметь вид

. (1.32)

На рис. 1.7 приведены графики ЛАЧХ и ЛФЧХ построенные в соответствии с (1.32) и (1.31), в которых учтено, что всегда .

Рис. 1.7

1.5 Характеристики замкнутых импульсных систем

Рассмотрим базовую структуру импульсной САУ (рис. 1.3). Пусть найдена передаточная функция разомкнутой импульсной САУ , связывающая -изображения выхода  и сигнала ошибки . Тогда . Очевидно, что . Из этих уравнений нетрудно получить два соотношения:

, (1.33)

. (1.34)

Введем следующие обозначения

, , (1.35)

тогда (1.33), (1.34) запишутся как , .

Функцию  будем называть главной передаточной функций замкнутой импульсной системы, а  – передаточной функцией замкнутой импульсной системы по ошибке. Итак, зная , нетрудно найти  и . Если  есть отношение двух полиномов некоторых степеней относительно , то  и  также будут отношением полиномов. Поэтому в конечном итоге  можно представить в виде

. (1.36)

Используя (1.36) и связь , нетрудно найти разностное уравнение замкнутой импульсной системы, связывающее вход и выход

. (1.37)

Кроме этого, введем еще одну важную характеристику системы – характеристическое уравнение замкнутой системы

, (1.38)

которое является алгебраическим уравнением n-ой степени. Полином  называется характеристическим полиномом замкнутой системы.

Введем также понятие частотных характеристик замкнутой системы. Делая в передаточной функции  замену  получим частотные характеристики, из которых наиболее часто используются  – АФЧХ замкнутой системы,  – АЧХ замкнутой системы и  – вещественная частотная характеристика замкнутой системы. Физический смысл этих частотных характеристик такой же, как и для разомкнутых систем.

Следующим классом характеристик импульсной системы являются временные характеристики: весовая функция импульсной системы и переходная функция импульсной системы , определяемые следующими соотношениями:

 

, . (1.39)

Физический смысл временных характеристик следующий. Если на вход замкнутой системы поступает сигнал в виде ­функции , изображение которой , то изображение выхода будет равно . Таким образом, , т.е.  есть реакция системы на сигнал в виде ­функции. Если же на вход системы поступает сигнал в виде единичного ступенчатого воздействия , изображение которого равно , то изображение выхода будет , а оригинал . Таким образом,   это реакция системы на единичное ступенчатое воздействие. Функции  и  связаны следующим соотношением .

Если для системы известна весовая функция , то при заданном входе  выход определяется следующим образом:

. (1.40)

Выражение (1.40) представляет собой аналог интеграла свертки для импульсных систем.

Пример 1.4. Пусть  (см. пример 1.3), тогда , где ,   , . Нетрудно найти основные характеристики замкнутой системы:

,   ,

,

,

,

.

1.6. Процессы в импульсных системах

Под процессом в импульсной САУ будем понимать изменение во времени некоторых координат, характеризующих систему. Чаще всего исследуется поведение системы по отношению к выходной координате  или по отношению к сигналу ошибки. Будем рассматривать все процессы для дискретных моментов времени , т.е. в виде решетчатых функций ,  и т.д. Процессы в САУ возникают за счет приложения внешних воздействий (управляющих, возмущений и т.п.), либо за счет изменения значений внутренних координат системы (вариации начальных условий).

Исходными характеристиками при анализе процессов являются разностное уравнение замкнутой системы, главная передаточная функция системы , либо АФЧХ замкнутой системы .

Методы вычисления процессов можно разделить на три категории: аналитические, графоаналитические и методы моделирования с использованием ЭВМ.

С математической точки зрения вычисление процессов – это нахождение решения разностного уравнения (1.37). В теории разностных уравнений доказано, что общее решение уравнения (1.37) всегда представимо в виде суммы двух слагаемых

 , (1.41)

где  – свободная составляющая общего решения, а – вынужденная составляющая. Свободная составляющая обусловлена ненулевыми начальными условиями по переменной  и, если они равны нулю, то . Вынужденная обусловлена входным воздействием  и, если , то .

Для оценки динамических свойств системы обычно ищется  и наиболее часто для двух видов входного сигнала  – единичной ступенчатой функции и – гармонического воздействия, которым соответствуют решетчатые функции , . Реакция системы на сигнал , как отмечено выше, это переходная функция замкнутой системы .

Типичный вид функции приведен на рис. 1.8, на котором представлен

график решетчатой функции  и непрерывная функция – огибающая.

Рис. 1.8

Величина  – задается, а  – установившиеся значение функции . Используя график, введем два важнейших показателя качества системы, характеризующие ее динамические свойства: перерегулирование

,

которое измеряется в процентах, и время регулирования , определяемое как момент времени, когда переходная функция , “войдет” в область  и будет оставаться там при . На рис. 1.8  , где  – целое число. Обычно . Область  будем называть  трубкой.

Рассмотрим аналитический способ вычисления переходной функции замкнутой системы . Пусть задана передаточная функция замкнутой системы в виде , где  и  полиномы степеней  и , причем . Тогда при входном сигнале , изображение которого равно , изображение выходного сигнала будет

.

Рассмотрим идею получения  для простейшего случая. Пусть характеристическое уравнение  имеет простые корни  (полюса передаточной функции ), тогда дробно-рациональная функция  разлагается на сумму простейших первого порядка

, ,

где считаем . С учетом того, что  будем иметь

.

Таким образом, изображение  будет иметь вид

,

где .

Каждое слагаемое под знаком суммы является табличным, т.е. для него легко найти оригинал. Окончательно, переходя к оригиналам  и обозначая  будем иметь

 (1.42)

Первое слагаемое в (1.42) характеризует установившуюся (постоянную) составляющую, а второе – переходную.

В случае кратных корней характеристического уравнения  в литературе [6] приводят соответствующие выражения для вычисления .

Недостатком такого подхода является необходимость вычисления корней алгебраических уравнений. Кроме того, после получения аналитического выражения,  требуется строить график  для оценки вида переходного процесса и параметров  и . Обычно такой подход применим для систем не выше третьего порядка.

Существуют графо-аналитические способы построения переходного процесса , базирующиеся на вещественной частотной характеристике замкнутой системы . Эти методы изложены, например, в [4], однако в настоящее время мало применяются.

Наиболее распространенный в настоящее время путь вычисления и построения переходной функции  – это компьютерное моделирование.

Второй тип процессов, исследуемых в импульсных системах, это процессы, вызванные гармоническими входными сигналами вида . Наиболее просто они определяются для случая установившегося режима (для больших значений дискретного времени ). В этом случае исходной характеристикой является АФЧХ системы . После вычисления АЧХ как  и ФЧХ как  определяется выходной гармонический сигнал в установившемся режиме

 . (1.43)

Итак, вычисляя  и , найдем амплитуду гармонического сигнала на выходе  и сдвиг его по фазе  относительно входа.

Одним из способов вычисления процессов в импульсной системе при любом законе изменения входной величины является рекуррентный пошаговый способ решения разностного уравнения (1.37). Рассмотрим разностное уравнение примера 1.1:  при  и , . Уравнение запишем в виде

.

Будем последовательно задавать значения  и т. д., тогда при  имеем , но т.к. задано , , то .

При  имеем . При  получим  и т. д. Это совпадает с результатом аналитического решения , полученного ранее в примере 1.1.

Рассмотрим общий случай уравнения (1.37), для чего представим его в следующем виде (принимаем ):

.

Полагаем следующие начальные условия  при , , вход  задан для . Последовательно для  найдем .

В импульсных системах, в отличие от непрерывных, при определенных параметрах системы возможно существование процессов “конечной длительности”, т.е. достигающих установившегося положения за конечный промежуток времени.

Если в импульсной системе путем подбора параметров ИЭ и ЛНЧ можно в передаточной функции замкнутой системы (1.36) сделать все , ,  (далее полагаем ), то передаточная функция (1.36) будет иметь вид

 ,

а разностное уравнение (1.37) соответственно будет

 .

Задавая , ,  при , а также , можно вычислить переходную функцию . При этом, начиная с n-го момента времени ее значения будут постоянными , т.е. переходной процесс заканчивается за  интервалов. Пусть, например, имеем , , , , , , тогда найдем , , .

Итак, в системах с конечной длительностью процессов всегда время регулирования .

Пример 1.5. Пусть передаточная функция  , тогда (см. пример 1.2) передаточная функция разомкнутой системы будет

,

где , , , , .

Пусть , , , . Тогда с учетом , нетрудно вычислить коэффициенты , , , .

Передаточная функция разомкнутой системы в этом случае будет

,

а замкнутой системы

.

Округляя числа, получим окончательное выражение для расчетов

.

Корни характеристического уравнения  будут , . Находим величины, входящие в (1.42). Так как , получим , , . Таким образом, будем иметь

  

После преобразования комплексных чисел с использованием известных правил получаем окончательно

.

Пример 1.6. Пусть , тогда (см. пример 1.4) , , . Передаточная функция замкнутой системы имеет вид . Найдем  при . Очевидно, . По таблице 1 для данного изображения находим оригинал

.

Установившийся процесс в такой системе, при  и , будет . Если , процесс будет монотонным, а если   колебательным. Пусть выполняется условие , т.е. ,что всегда выполнимо. В этом случае имеем систему с процессами конечной длительности, т.е.  будет , . Процесс в системе заканчивается через один период .

1.7. Устойчивость процессов в импульсных системах

Как отмечено в подразделе 1.5, замкнутая импульсная система характеризуется разностным уравнением (1.37) или передаточной функцией (1.36). Решение разностного уравнения всегда представимо в виде суммы свободной  и вынужденной  составляющих (1.41). На устойчивость процессов, протекающих в импульсной системе, или на устойчивость импульсной системы, влияет только поведение свободной составляющей. Дадим определения устойчивости, аналогичные определениям для непрерывных систем .

Если с течением времени при  свободная составляющая  затухает и стремится к нулю, т.е. , то система будет асимптотически устойчивой (далее просто устойчивой).

Если  при  неограниченно возрастает, т.е. , то система будет неустойчивой.

Наконец, если при   не возрастает до бесконечности и не затухает до нуля, то система будет нейтральна или находится на границе устойчивости.

Устойчивость системы, как сейчас покажем, зависит от корней характеристического уравнения замкнутой системы

. (1.44)

Если уравнение (1.44) имеет  простых (различных) корней , то свободная составляющая имеет следующий вид

, (1.45)

где произвольные постоянные.

Из (1.45) нетрудно видеть, что если все действительные величины и все модули , то при  , т.е. система устойчива. Если какой-либо корень  комплексный, т.е. , то его можно представить в виде  ,, . В силу этого составляющая  и при  эта составляющая будет стремиться к нулю.

Рассмотренное выше можно распространить на случай произвольных корней уравнения (1.44) и сформулировать следующее условие: необходимым и достаточным условием устойчивости импульсной системы является выполнение условия

, , (1.46)

т.е. модули всех корней характеристического уравнения (1.44) должны быть меньше единицы.

Если , , то система нейтральна, а если существует хотя бы один корень, модуль которого больше единицы, то система неустойчива.

Для оценки устойчивости, нет необходимости находить корни уравнения (1.44). Разработаны специальные критерии устойчивости для импульсных систем, которые являются аналогами соответствующих критериев непрерывных систем. Существуют их две разновидности: алгебраические и частотные. Начнем рассмотрение с алгебраического критерия.

В уравнении (1.44) сделаем замену комплексной переменной  на новую комплексную переменную  по формуле

. (1.47)

Замена (47) аналогична (25) , только множитель  при  опускается.

В результате замены от (1.44) придем к уравнению -ой степени относительно .

, (1.48)

Формулы, связывающие  с  приводятся в литературе [6].

Замена (1.47) обладает следующими свойствами:

корням  уравнения (1.44) однозначно соответствуют  корней  уравнения (1.48) и наоборот;

корню  уравнения (1.44), для которого , однозначно соответствует корень  уравнения (1.48), который будет иметь отрицательную действительную часть, т.е. .

На основании вышесказанного, если все корни , то все корни  будут с отрицательными действительными частями  и наоборот. Таким образом, для оценки устойчивости импульсной системы можно применить критерий Гурвица, разработанный для непрерывных систем.

Для уравнения (1.48) составим матрицу Гурвица [1]

 (1.49)

и введем главные (диагональные) определители этой матрицы

,   ,.

Необходимым и достаточным условием устойчивости замкнутой импульсной системы будет выполнение неравенств

 …,. (1.50)

Рассмотрим простейшие случаи. Пусть , тогда (1.44) будет: . Непосредственно находим корень уравнения . Условие устойчивости будет ,т.е.  при .

Пусть , тогда (1.44) будет: . Замена (1.47) приведет к уравнению , где , , . По критерию Гурвица получим условие устойчивости

 , , . (1.51)

Для  условия устойчивости приведены в .

Рассмотрим для импульсных систем частотный критерий устойчивости Найквиста, аналог критерия Найквиста для непрерывных систем. Для оценки устойчивости импульсной замкнутой системы базовой структуры (рис. 1.3) будем использовать АФЧХ разомкнутой системы . Формулировка критериев Найквиста для импульсных систем аналогична формулировке для непрерывных систем. Приведем одну из формулировок для случая, когда передаточная функция разомкнутой системы не имеет полюсов, модули которых больше единицы, т.е. разомкнутая система устойчива или нейтральна. Итак, критерий Найквиста: замкнутая система будет устойчива, если годограф  при изменении  от 0 до  не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами .

Исследовать устойчивость также можно по логарифмическим характеристикам разомкнутой системы  и . Формулировка вышеприведенного критерия Найквиста для логарифмических характеристик разомкнутой системы следующая: замкнутая импульсная система будет устойчивой, если до частоты среза  фазовая характеристика  не пересекает ось , либо пересекает ее четное количество раз. Аналогично непрерывным системам вводятся понятия запасов устойчивости замкнутой импульсной системы по модулю  и по фазе . На рис. 1.7, например, показан случай устойчивой импульсной замкнутой системы и показаны запасы устойчивости , .

При исследовании импульсных систем одной из важнейших задач является задача, связанная с определением областей устойчивости и выбором параметров из условий устойчивости. Коэффициенты  характеристического уравнения (1.44) зависят от параметров импульсной системы: коэффициента усиления, постоянных времени, периода дискретизации и т.п. При одних значениях этих параметров система будет устойчивой, при других  неустойчивой.

Совокупность параметров, при которых система будет устойчивой, определяет область устойчивости в пространстве исследуемых параметров, а граница этой области будет границей устойчивости. Если число исследуемых параметров равно единице или двум, то области устойчивости можно интерпретировать как интервал (или интервалы) в случае одного параметра и как некоторые области на плоскости двух параметров во втором случае. При этом возможно графическое построение областей устойчивости.

Для определения областей устойчивости можно воспользоваться любыми критериями устойчивости. В случае небольшого порядка системы  удобно использовать критерий Гурвица для импульсных систем.

Пусть , -параметры системы, относительно которых определяется область устойчивости, тогда коэффициенты  характеристического уравнения (1.44) и соответственно коэффициенты  уравнения (1.48) зависят от . Таким образом, область устойчивости в пространстве параметров  будет определяться неравенствами (1.50), где , а границы этой области определяются уравнениями

, ,…,. (1.52)

Пример 1.7. Пусть . Требуется исследовать устойчивость замкнутой системы. Передаточная функция разомкнутой системы будет (см. пример 1.2) , где , , . Характеристическое уравнение замкнутой системы . Оно имеет единственный корень  и из условия устойчивости  получим

, . (1.53)

Неравенство (1.53) определяет собой область устойчивости для четырех параметров импульсной системы , , , . Так как , , то будем иметь

. (1.54)

Выражение (1.54) определяет при заданных  и  интервал (область устойчивости) изменения коэффициента усиления  из условий устойчивости, где   граничное (максимальное) значение коэффициента усиления, при этом если , то замкнутая система устойчива, если , то неустойчива.

В частности, при (система с экстраполятором нулевого порядка) из (1.54) имеем

. (1.55)

На базе этого примера сделаем важный общий вывод, касающийся импульсных систем. Для непрерывной замкнутой системы с передаточной функцией  условие устойчивости будет , т.е. при любом  и любом сколь угодно большом  система устойчива. Для импульсной системы увеличивать  безгранично нельзя, система при  станет неустойчивой. Итак, введение импульсного элемента в замкнутый контур САУ делает систему более критичной по отношению к устойчивости.

Анализ устойчивости данной системы можно провести и на базе частотного критерия Найквиста по полученным в примере 1.3 частотным характеристикам. Из рис.1.6 и формулы (1.26) следует, что при увеличении  точка при  будет смещаться влево по действительной оси и при каком-то значении  годограф  охватит точку  и система станет неустойчивой. Это тоже следует из логарифмических частотных характеристик рис. 1.7. Если увеличивается , то увеличивается , ЛАЧХ поднимается вверх,  сдвигается вправо,  и  и система при каком-то  станет неустойчивой.

Пример 1.8. Пусть , что соответствует примеру 1.2. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид (1.22), а характеристическое уравнение замкнутой системы будет

,

где , , , , , , , ,.

Используя (1.51) получим условия устойчивости

, , .

Итак, задавая параметры системы , , , , , находим , и проверяем по приведенным условиям устойчивость замкнутой системы.

Рассмотрим частный случай при , когда можно показать, что система трех неравенств сводится к двум:

,

, (1.56)

где .

Эти неравенства определяют область устойчивости системы в пространстве параметров , , , . Отсюда также видно, что величина  ограничена сверху правой частью первого или второго неравенств.

1.8. Точность импульсных систем

Точность замкнутой импульсной системы (рис. 1.3) в дискретные моменты времени  определяется сигналом ошибки (рассогласования) , который характеризует текущую ошибку. Для оценки точности более удобно ввести, как это сделано для непрерывных систем, понятие  установившейся ошибки , которая определяется для достаточно больших моментов времени  после затухания переходной (свободной) составляющей процессов и в отличие от текущей ошибки часто является числом. Итак, при вычислении  будем полагать, что .

Изображение сигнала ошибки и изображение входа связаны соотношением

,

где передаточную функцию разомкнутой системы будем брать в форме (1.22)

.

Обычно оценивается точность импульсной системы на два вида воздействий: полиномиального  и гармонического .

Частными случаями полиномиального воздействия являются единичная ступенчатая функция (скачок по положению) , линейное воздействие (скачок по скорости)  и квадратичное воздействие (скачок по ускорению) .

В теории -преобразования существует теорема о конечном значении решетчатой функции (оригинала)

.

Используя эту теорему, можно написать

, (1.57)

где .

Рассмотрим частные случаи. Пусть , , тогда  и из (1.57) нетрудно получить . Т.к.  соответствует статической системе, то такую ошибку называют статической.

Пусть , , тогда и из (1.57) получим . Такую ошибку будем называть скоростной. Нетрудно проверить, что в данном случае статическая ошибка будет равно нулю.

Пусть , статическая и скоростная ошибки будут равны нулю, появится ошибка по ускорению. При этом все ошибки будут обратно пропорциональны величине .

Итак, можно сделать вывод, который является общим для импульсных систем: точность системы тем выше (ошибки тем меньше), чем выше порядок астатизма системы и больше величина . Так как  прямо пропорциональна коэффициенту усиления  линейной, непрерывной части системы , то увеличение  будет приводить к повышению точности импульсной системы.

Точность системы в установившихся режимах также можно описывать по коэффициентам ошибок , , …, которые имеют аналогичный непрерывным системам смысл и определяются по выражению :

 , . (1.58)

В частности для системы с астатизмом го порядка .

Рассмотрим анализ точность системы при воспроизведении гармонического сигнала , амплитуду которого будем полагать равной единице. Тогда в соответствии с (1.43) в установившемся режиме на выходе замкнутой системы сигнал будет иметь вид

, (1.59)

а ошибка в установившемся режиме будет

, (1.60)

где , , ,   соответствующие значения модулей и сдвигов фаз, определенные по частотным характеристикам , .

Обычно в теории систем автоматического управления считают, что ошибки воспроизведения гармонического сигнала по фазе не имеют существенного влияния на работу САУ. Ошибки воспроизведения амплитуды из (1.59), (1.60) будут

,

. (1.61)

Обычно , однако в диапазоне низких частот при малом  можно считать .

Так же как и для непрерывных систем, для замкнутой импульсной системы можно ввести понятие полосы пропускания: это диапазон частот от 0 до , в котором ошибка воспроизведения гармонического сигнала  не превышает заданной величины , т.е. .

Так как , а , то для определения  и  в (1.61) можно использовать АФЧХ разомкнутой системы .

Если частота входной гармоники достаточно низкая, то несложно показать, что при   для статических систем  ,  и . Для астатических систем ,  и .

Таким образом, на точность воспроизведения гармонического сигнала влияет порядок астатизма и коэффициент усиления  непрерывной части системы, входящей в .

В заключение отметим, что все изложенное имеет смысл только для устойчивых систем.

Пример 1.9. Рассмотрим импульсную САУ из примеров 1.3 и 1.7. Передаточная функция непрерывной части , а передаточная функция разомкнутой импульсной системы , , . Рассмотрим случай когда , тогда . В примере 1.7 для  условие устойчивости будет .

Найдем  и статическую ошибку

.

Из условия устойчивости  следует, что при любом конечном  ошибку нельзя сделать меньше величины .

Оценим ошибки в такой системе при гармоническом воздействии. Очевидно,

, .

Примем , из условия устойчивости  выберем , тогда . Модули частотных характеристик будут

,   ,

Пусть , , тогда , . В соответствии с (1.61) имеем , , т.е. ошибки почти совпали. В процентном отношении ошибка составляет 33%.

Пусть , из условия устойчивости  выбираем , тогда . При ,  ошибки в этом случае будут , , т.е. %.

1.9. Оценки качества импульсных систем

Так же как и для непрерывных систем, для импульсных САУ существуют различные оценки качественных показателей.

Динамические показатели системы можно оценить по корням характеристического уравнения замкнутой системы  (1.38). Качественные показатели динамических свойств линейной импульсной системы в основном определяются характером поведения свободной составляющей  общего решения (1.41) или, что тоже самое, переходной составляющей, которая является вторым слагаемым переходной функции  в (1.42). В случае различных корней  характеристического уравнения (1.38), свободная (переходная) составляющая имеет вид (1.45), а при наличии одного кратного корня  кратности , и остальных простых корней  будет

.

Из приведенных выражений следует, что характер изменения во времени  зависит от вида корней . Будем далее предполагать, что , т.е. система устойчива. Тогда при  все составляющие затухают и .

В теории линейных импульсных систем принято вводить корневые оценки относительно корней  характеристического уравнения , получаемого из уравнения  заменой . Если , а , то нетрудно получить связь между действительными и мнимыми частями корней

, , .

Доминирующей составляющей (наиболее медленно затухающей) в переходном процессе будет та, для которой корень  будет иметь наибольший модуль , который обозначим через . Этому корню будет соответствовать корень , для которого величина  будет минимальной.

Степенью устойчивости  будем называть минимальную величину модуля вещественной части корня характеристического уравнения  замкнутой системы

. (1.62)

Таким образом, для определения  следует в (1.62) взять корень , имеющий минимальный модуль.

Степень устойчивости  применяется для оценки быстродействия системы: чем больше , тем меньше . С этой точки зрения термин “степень устойчивости” является неудачным, его следовало бы заменить на термин “степень быстродействия”. Однако будем придерживаться общепринятой терминологии. Если определить время регулирования  как время вхождения переходной функции в 5% трубку от установившегося режима, то это произойдет за -периодов.

,. (1.63)

В частности, для процессов “конечной длительности” (см. подраздел 1.6) все корни характеристического уравнения  равны нулю и величина . Поэтому такие системы называют системами с бесконечной степенью устойчивости.

Второй корневой оценкой является степень колебательности (колебательность системы) , определяемая как

. (1.64)

Величина  характеризует склонность системы к колебаниям: чем больше , тем переходные процессы становятся более колебательными.

Вычисление  и  по корням характеристического уравнения при высоком порядке последнего – трудоемкий процесс. Существуют косвенные методы оценки этих величин, изложенные в литературе [4].

Следующим видом оценок процессов в импульсных системах являются суммарные оценки вид

, , (1.65)

где   переходная функция замкнутой системы,   ее установившееся значение при .

Оценка  принимается для монотонных процессов , а  как для монотонных, так и для колебательных . Поэтому чаще применяются более универсальная оценка . Суммарные оценки, так же как интегральные для непрерывных систем, одновременно с помощью одного показателя оценивают как длительность переходного процесса (время регулирования ), так и его отклонения. Считается, что чем меньше величины  и , тем лучше качество динамики системы.

Как показано в [4],

, , (1.66)

где  при ,   характеристический полином передаточной функции замкнутой системы , а .

Методика определения  может базироваться на построении графика зависимости квадрата модуля  от частоты на интервале  и определении площади полученной фигуры.

Перейдем к рассмотрению частотных оценок качества импульсных систем, использующих частотные характеристики разомкнутой и замкнутой системы.

Использование АФЧХ замкнутой системы позволяет ввести так называемый показатель колебательности системы 

, (1.67)

который характеризует колебательность процессов в системе: чем больше  тем процессы являются более колебательными. Величина  соответствует отсутствию колебаний. Обычно приемлемой считается величина , лежащая в пределах .

Использование  позволяет, как об этом говорилось в п. 1.8, ввести понятие полосы пропускания замкнутой системы, т.е. диапазон частот от 0 до , в котором ошибка воспроизведения амплитуды входного гармонического сигнала на выходе системы не превышает заданной. Иногда  определяют, как частоту, при которой .

Отметим, что прямое определение  требует построения . Однако, существуют косвенные методы определения  по известной АФЧХ разомкнутой системы .

При использовании частотных характеристик разомкнутой системы , ,  определяют в первую очередь запасы устойчивости по фазе и модулю. Наиболее часто их определяют по логарифмическим характеристикам. Эти запасы легко определить по графикам, что показаны на рис. 1.7 в примере 1.3.

Отметим, что величина  влияет на время регулирования . Так же как и в непрерывных системах, чем больше , тем меньше .

Напомним, что для непрерывных систем получено достаточно много аналитических и графических зависимостей, связывающих параметры частотных характеристик и качественных показателей системы . К сожалению, этого нельзя сказать об импульсных системах, у которых эти связи более сложные и часто менее прозрачные.

Пример 1.10. Рассмотрим импульсную САУ из примеров 1.3 и 1.7, где , , , . Характеристическое уравнение замкнутой системы  имеет единственный корень . Из условия устойчивости . Если , то корень , если , то корень . Степень устойчивости

,

которая при  изменяется от  до 0. Очевидно, при , величина  и система будет иметь бесконечную степень устойчивости.

Величина  при  и  при .

Найдем суммарную оценку . Так как , то в соответствии с (1.66) . Эту оценку следует применять при , т.е. при . Минимальная величина  будет при , т.е. в системе с бесконечной степенью устойчивости.

1.10.Условия эквивалентности импульсных и непрерывных САУ

Рассмотрим разомкнутую импульсную систему, приведенную на рис. 1.5, б, передаточная функция ЭЛНЧ которой имеет вид . Передаточная функция импульсной системы будет , а частотная характеристика . Существует связь между частотными характеристиками ЭЛНЧ  и частотной характеристикой импульсной системы , которая имеет вид [4]:

, (1.68)

где, как и ранее,   частота дискретизации.

Итак, характеристика  получается суммированием смещенных относительно друг друга вдоль оси  на частоту повторения  характеристик  ЭЛНЧ, умноженных на . Из (1.68) вещественные и мнимые части частотных характеристик

,

(1.69)

.

Предположим, что вещественная и мнимая частотные характеристики заданы на интервале частоты  от  до  (  полоса пропускания) и вне этого интервала равны нулю, а спектральные характеристики входного сигнала  определены на некотором интервале  и равны нулю вне этого интервала. В этом случае, если , справедливо следующее соотношение

. (1.70)

Итак, при выполнении условия  импульсная система с передаточной функцией  преобразует входной сигнал точно так же, как некоторая непрерывная система с передаточной функцией .

Фактически сформулирован аналог известной теоремы Котельникова: если спектр частот входного воздействия ограничен и лежит в диапазоне частот , то свойство системы с АИМ, у которой  тождественны свойствам эквивалентной непрерывной системы с АФЧХ .

Частотные характеристики входного сигнала  и системы  на практике реально не ограничены по частоте величинами  и , и можно говорить лишь об их малости при  и . Поэтому на практике условие сведения системы с АИМ к соответствующей непрерывной системе обычно ужесточают и требуют, чтобы

, (1.71)

где  – частота, характеризующая полосу пропускания ЭЛНЧ.

Для проверки выполнения (1.71) следует построить  и найти . Иногда вместо (1.71) легче воспользоваться другой более простой рекомендацией [6]:

, (1.72)

где  – максимальная постоянная времени передаточной функции .

Использование  в качестве эквивалентной передаточной функции неудобно из-за присутствия в ней передаточной функции формирующего устройства, АФЧХ которого имеет вид

.

АЧХ и ФЧХ фиксирующего устройства будут:

, .

Соответственно АФЧХ эквивалентной непрерывной системы

. (1.73)

В основном методы анализа непрерывных линейных систем управления разработаны для случая, когда передаточная функция разомкнутой системы является дробно-рациональной относительно . Поэтому непосредственное исследование передаточной функции

 , (1.74)

и частотных характеристик разомкнутой системы (1.73) затруднительно.

Рассмотрим возможные варианты дальнейшего упрощения моделей импульсных систем.

Если полагать в (1.73) , то  и , а (1.74) превратится в следующее выражение:

. (1.75)

И, наконец, наиболее простой вид модель приобретает при условии, когда  мало:

, (1.76)

т.е. практически с точностью до множителя   передаточные функции  и  совпадают. Очевидно, при  все сказанное соответствует случаю, когда формирующее устройство является фиксатором нулевого порядка.

Для всех трех эквивалентных моделей (1.74), (1.75), (1.76) характерно то, что они тем более близки к исходной импульсной системе, чем ниже диапазон рассматриваемых частот, т.е. справедливы в низкочастотной области. Модель (1.74) более точная, но неудобная, модель (1.76) менее точная из всех трех типов.

Пример 1.11. Пусть . В примерах 1.3 и 1.7 получена передаточная функция разомкнутой системы ,, . Передаточная функция замкнутой системы .

Далее будем рассматривать для наглядности случай , . В примерах 1.3 и 1.7 получены следующие результаты при анализе импульсной системы:

– область устойчивости

 ;

– процессы будут носить монотонный характер , если

 ;

– процессы будут носить колебательный характер , если

 ;

– переходная функция  имеет вид

 . (1.77)

Основные выводы: в системе могут при определенных параметрах существовать как монотонные, так и колебательные процессы; коэффициент усиления  ограничен из условия устойчивости и не может быть сделан сколь угодно большим.

Вместо импульсной системы рассмотрим эквивалентную непрерывную систему с передаточной функцией вида (1.76). Так как  в нашем примере , то имеем . Вид переходного процесса в замкнутой системе будет

 , (1.78)

а условие устойчивости: .

Итак, коэффициент  можно увеличивать до любого значения без потери устойчивости, а процессы (1.78) всегда будут монотонными.

Для дискретных моментов времени  выражение (1.78) приобретает вид:

 . (1.79)

Очевидно, чем ближе величины  и , тем процессы будут ближе между собой. Так как , , то разлагая функции  и  в ряд Тейлора относительно  и ограничиваясь линейными членами, получим

 ,

 .

Итак, при малых  процессы в обеих системах идентичны и имеют монотонный характер.

Однако, например, при  и  процесс в дискретной системе (1.77) будет , а в соответствующей непрерывной системе (1.79) , т.е. эти процессы совершенно различны.

Рассмотрим второй случай замены импульсной системы непрерывной с передаточной функцией (1.75). Для нашего случая  и

 .

Передаточная функция замкнутой системы будет

.

В этом случае приходим к системе автоматического управления с запаздыванием.

Уравнение, связывающее вход и выход системы, будет иметь вид

 

и является дифференциально-разностным. При  оно превращается в дифференциальное.

Условие устойчивости для такой системы

 .

Здесь опять имеем ограничения на коэффициент усиления  из условий устойчивости, как и в исходной импульсной системе.

Наконец, замена импульсной системы непрерывной с передаточной функцией (1.74) приводит нас в данном случае к дифференциально-разностному уравнению второго порядка

, .

1.11. Элементы синтеза импульсных систем

Как известно, под синтезом любой САУ понимают создание и построение системы, удовлетворяющей заданным требованиям. Частным случаем синтеза является оптимальный, когда наряду с обеспечением заданных требований необходимо минимизировать (максимизировать) некоторые показатели системы. Оптимальные методы синтеза в данном разделе рассматриваться не будут.

Основные этапы синтеза САУ следующие:

1. Выбор отдельных функционально необходимых элементов системы и исходной структуры системы. На этом этапе формируется исходная структура, включающая объект управления, исполнительное устройство, усилительно-преобразовательные устройства, датчики и т.п. Желательно уже здесь учесть некоторые требования к показателям создаваемой системы. Определяют математические модели отдельных элементов и получают исходную структуру системы рис.1.3 с передаточной функцией .

2. Анализ полученной системы на соответствие ее заданным требованием. Если они не удовлетворяются, то возникает задача изменения параметров, структуры или отдельных элементов до получения требуемых показателей.

3. Придание системе нужных свойств – этап коррекции системы, которая осуществляется путем введения в систему специальных корректирующих устройств.

4. Последний этап – проверочный. Так как большинство методов синтеза являются приближенными, то для синтезированной системы определяются все необходимые показатели на соответствие их заданным требованиям.

Коснемся третьего, наиболее важного этапа синтеза. Характеристиками исходной нескорректированной системы являются, ,  или, . Требуется создать систему, передаточная функция прямой цепи которой была бы требуемой (желаемой) . Реализация этого возможна двумя путями.

Первый путь заключается в изменении  введением в прямую цепь после формирующего устройства корректирующих устройств обычного непрерывного типа: последовательных, параллельно-встречных или параллельных с некоторыми передаточными функциями , так чтобы передаточная функция прямой цепи стала  и . Такой подход носит название непрерывной коррекции.

Второй путь заключается во введении в прямую цепь (обычно) до ИИЭ звена с импульсной передаточной функцией , так что . Этот подход носит название дискретной или импульсной коррекции.

Первый способ коррекции иллюстрирует рис.1.9, а, второй – рис.1.9, б.

На рис. 1.9, а , а после введения трех типов корректирующих устройств будет

 ,

а на рис.1.9, б имеем .

Рис. 1.9

Отметим, что при дискретной коррекции необходимо вводить дополнительный импульсный элемент.

Рассмотрим формальные пути коррекции импульсной системы. Исходными данными являются передаточная функция , характеризующая полученную функционально необходимую структуру, и импульсный элемент с передаточной функцией , т.е. фактически задана . Кроме этого заданы некоторые показатели качества системы: точность, корневые показатели, суммарные оценки, частотные показатели, время регулирования, перерегулирование или другие.

На первом шаге коррекции исходя из заданных показателей качества выбирается желаемая импульсная передаточная функция разомкнутой системы .

Второй шаг содержит два возможных варианта: импульсная  и непрерывная коррекция.

В случае импульсной коррекции определяем  и далее передаточную функцию импульсного корректирующего устройства .

В случае непрерывной коррекции по  находим . Зная  и , выбираем тип и конкретный вид коррекции. Например, в случае последовательной коррекции в прямую цепь следует включить звено с передаточной функцией .

Существенные трудности такого формального подхода:

1. Не существует четких рекомендаций по выбору  ввиду того, что трудно связать показатели качества системы и вид .

2. Получаемые передаточные функции корректирующих устройств могут быть очень сложными и в ряде случаев физически нереализуемыми. Поэтому при выборе  (или ) следует учитывать передаточную функцию исходной системы  (или ).

Касаясь последнего замечания, отметим, что синтез является многозначной задачей, т.е. можно найти бесчисленное множество таких передаточных функций , при которых система будет удовлетворять заданным показателям качества. Отсюда возникает требование – найти такую ,  при которой коррекция будет наиболее простой и легко реализуемой на практике.

Рассмотрим один из возможных путей коррекции, позволяющих обойти первую трудность, указанную выше. Это путь сведения импульсной системы к непрерывной. Пусть выполняются условия (1.71) и (1.72). Тогда вместо исходной импульсной системы будем рассматривать непрерывную с передаточной функцией в прямой цепи , . Используя известные и хорошо разработанные методы синтеза непрерывных линейных систем [1] (например, частотные), найдем  с учетом заданных показателей качества  для импульсной системы. Зная  по , реализуем коррекцию  одним из известных способов.

При таком подходе необходим проверочный расчет синтезированной импульсной системы. Используя  и  , находим  и проверяем выполнение заданных показателей для импульсной системы.

Некоторые подходы к синтезу импульсных САУ по логарифмическим частотным характеристикам  и  импульсной системы даны в [3].

1.12.Уравнения состояния линейных импульсных систем

Так же как и непрерывные системы [1], импульсные можно описывать с помощью векторно-матричных уравнений, называемых уравнениями состояния.

Уравнениями состояния линейной импульсной системы называются уравнения вида

 (1.80)

где   вектор состояния системы,   вектор входа системы,   вектор выхода системы,   основная матрица системы размерности ,   матрица входа системы размерности ,   матрица выхода системы размерности ,  дискретное время.

Первое уравнение в (1.80)− уравнение входа системы, второе − уравнение выхода. Уравнениями (1.80) описываются как многомерные системы, когда ,  − вектора, так и одномерные системы, когда ,   скалярные величины.

Рассмотрим методику получения уравнений (1.80) для разомкнутой импульсной системы, изображенной на рис. 1.4. Вход  и выход  линейного непрерывного звена с передаточной функцией  можно описать с помощью уравнений состояния [1]:

 (1.81)

где коэффициенты матриц  размерности ,  размерности  и  размерности  находятся по передаточной функции .

Используя матрицу , можно найти [1] переходную матрицу состояния непрерывной системы (1.81), которую обозначим , и записать общее уравнение первого (дифференциального) уравнения (1.81) в виде

 

где  − момент приложения внешнего воздействия ,  − начальное значение вектора состояния при . Сигнал  с выхода ФУ представляет собой последовательность прямоугольных импульсов длительности  и высоты , поступающих в моменты времени . Рассмотрим произвольный -ый момент времени  и обозначим значение вектора состояния при  через . Тогда реакция системы (выход звена) на -ый импульс будет

 (1.82)

Обозначим при  (момент окончания импульса) значение вектора  через . Тогда во время паузы в -ом периоде сигнал на выходе звена будет определяться выражениями:

 (1.83)

Из (1.82) находим при  вектор , подставляем его в (1.83) и окончательно получаем

 (1.84)

Положим в (1.84)  и, используя свойства переходной матрицы состояния , получим

.

Сделав под интегралом замену переменной  и с учетом , получим

 

Обозначим числовые матрицы

, ,, (1.85)

а векторы , , ,  через , , , . Окончательно получим уравнения состояния разомкнутой импульсной системы вида (1.80)

 (1.86)

Приведенная методика получения разностных уравнений разомкнутой импульсной  системы обобщает подход, изложенный в подразделе 1.2 при выводе уравнения (1.15).

Напомним [1] один из возможных способов определения вида матриц , ,  в (1.81) с использованием передаточной функции  линейной непрерывной части системы. Пусть  − дробно-рациональная функция переменной  и уравнение  имеет  различных корней , тогда

, , , (1.87)

где ,  .

Если  − диагональная матрица (87), то нетрудно найти , , ,  в (1.86)

, , , . (1.88)

В случае кратных корней  матрица  будет в форме Жордана.

Получим уравнения состояния замкнутой линейной импульсной системы рис. 1.3. С учетом уравнения замыкания  из (1.86) получим уравнения состояния замкнутой импульсной системы

 (1.89)

где  − основная матрица замкнутой системы.

Возможно также получение уравнений состояния импульсной системы с использованием в качестве исходных передаточной функций разомкнутой  или замкнутой  импульсной системы, либо соответствующих разностных уравнений [5].

Пример 1.12. Пусть в разомкнутой импульсной системе . Уравнение  имеет два корня , . Находим , . В соответствии с (1.88) определяем матрицы , , . Окончательно уравнения состояния разомкнутой импульсной системы будут

 (1.90)

1.13. Характеристики импульсных систем, описываемых уравнениями в пространстве состояний

Если в первом уравнении (1.80), которое является неоднородным разностным уравнением считать матрицу  нулевой, то получим однородное разностное уравнение

, (1.91)

в котором, полагая заданным начальное состояние вектора  при , получим , , и т.д. Таким образом, общее решение уравнения (1.91) можно записать в виде

. (1.92)

Матрица  носит название переходной матрицы состояния линейной импульсной системы. Вычисление  по известной матрице  всегда возможно. Наиболее просто найти , если матрица  диагональная. Если , то .

Если найдена , то в импульсной системе, описываемой уравнениями (1.80), можно вычислить выход  при заданном входе  по выражению

. (1.93)

В (1.93) первое слагаемое − свободная составляющая, а второе − вынужденная.

Применим к уравнениям (1.80) -преобразование, полагая, что начальные значения вектора состояния  нулевые. Получим , , где , ,  − изображения соответствующих векторов , , .

Из полученного уравнения найдем

, (1.94)

где  − обратная матрица к матрице ,  − единичная  матрица.

Матрица  размерности  носит название передаточной матрицы (матрицы передаточных функций) импульсной системы. Ее элементы  являются обычными скалярными функциями, связывающими  вход  с  выходом . Если , − скалярные величины, то  − обычная скалярная передаточная функция.

Матрицу  будем называть весовой матрицей. Очевидна связь

, .

Отметим один из способов определения переходной матрицы состояния  с помощью -преобразования

.

Введем еще одну из важнейших характеристик импульсной системы, заданной уравнениями состояния (1.80), – характеристическое уравнение импульсной системы

, (1.95)

где  означает определитель матрицы . Если матрица  размерности , то (1.95) − это алгебраическое уравнение -ой степени.

Линейная импульсная система, описываемая уравнениями состояния (1.80), будет устойчива, если все корни  уравнения (1.95) по модулю меньше единицы, т.е. , . Для выяснения этого факта можно, например, использовать алгебраический критерий устойчивости импульсных систем, изложенный в подразделе 1.7.

Для импульсных систем, описываемых уравнениями (1.80), можно ввести и другие понятия, аналогичные понятиям для непрерывных систем [1], такие как наблюдаемость и управляемость. Управляемость и наблюдаемость зависят от вида матриц , ,  в (1.80). Определения и методы оценки управляемости и наблюдаемости идентичны [1] и здесь не приводятся.

Пример 1.13. Найдем передаточную функцию разомкнутой импульсной системы из примера 1.12, используя полученные уравнения состояния (1.90). В соответствии с (1.94) . Найдем матрицу . Очевидно,

.

С учетом матриц  и  из (1.90) имеем

,

где , , , .

Этот результат совпадает с результатом, полученным в примере 1.2.

1.14. Цифровые системы автоматического управления

Цифровой САУ можно назвать такую, в состав которой включено цифровое вычислительное устройство (ЦВУ) в виде отдельных схем на базе элементов цифровой логики, микропроцессоров, микроконтроллеров и в наиболее сложных случаях в виде специализированных управляющих вычислительных машин (комплексов).

При классификации САУ по виду математических моделей под цифровой САУ будем понимать такую, в которой хотя бы один из сигналов в контуре управления подвергается одновременной дискретизации (квантованию) по уровню и времени. С этой точки зрения цифровая САУ является подклассом дискретных систем.

На ЦВУ возлагаются следующие основные функции: формирование программы управления (для систем стабилизации, позиционирования и программного управления), реализация цифровых алгоритмов управления и реализация дискретной коррекции. Кроме этого ЦВУ можно применять и для выполнения других функций: контроля элементов и состояния всей системы в целом, некоторых сервисных функций (учет времени работы и т.п.).

Цифровая САУ содержит две части: ЦВУ и непрерывную часть, включающую объект управления, исполнительное устройство, усилительно-преобразовательные и корректирующие устройства, датчики и т.п. Будем считать непрерывную часть линейной, описываемой передаточной функцией . Тогда базовая структура рассматриваемой системы будет иметь следующий вид:

Рис. 1.10

На рис. 1.10 АЦП – аналого-цифровой преобразователь; ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь; Т – период замыкания идеальных импульсных элементов (ключей); , , ,  – сигналы, представленные в цифровой форме; ,  – непрерывные сигналы;  – последовательность прямоугольных модулированных по амплитуде импульсов;  – передаточная функция формирующего устройства;  – математическая модель, отражающая алгоритм функционирования ЦВУ.

АЦП и ЦАП на рис. 1.10 выделены в самостоятельные функциональные блоки, хотя на практике они могут непосредственно являться узлами ЦВУ. Каждый из них представлен в виде идеального квантователя и нелинейной статической характеристики, характеризующий процесс. Период замыкания ключей везде одинаковый и равен  (обычно задается ЦВУ). ЦВУ осуществляет операцию сравнения двух сигналов в цифровой форме  и преобразование их по определенному алгоритму в соответствии с выражением  в цифровое значение , которое преобразуется в сигнал .

Рассмотрим особенности процессов квантования по времени и уровню в цифровой САУ. Пусть оба ключа АЦП замыкаются в момент времени  и изменяют значения  и . Далее требуется определенное время на преобразование этих значений в цифровую форму , , определение разности , преобразование  в  и, наконец, преобразование  в аналоговое (постоянное) значение . Обозначим это время через . Таким образом, постоянное значение на выходе ЦАП по отношению к моменту съема информации АЦП появляется с задержкой на время . Обычно формирующее устройство является фиксатором нулевого порядка, т.е. постоянное значение сигнала  держится до момента следующего замыкания ключа. Очевидно, период замыкания  не может быть меньше , т.е. всегда выполняются условие .

Итак, из рассмотренного следует, что ключ ЦАП замыкается с задержкой на время  по отношению к моментам  замыкания ключей АЦП.

Время зависит от быстродействия АЦП, ЦАП и ЦВУ и длительности (сложности) отработки программы преобразования  в . Быстродействие современных вычислительных средств достаточно велико и непрерывно повышается, а алгоритмы обработки информации в ЦВУ обычно простые. В силу этого время  достаточно малое.

В процессе квантования по уровню весь диапазон изменения аналоговой величины, например, разбивается на  равных частей (квантов), тогда величина

 

определяет разрешающую способность АЦП.

Каждому кванту из  интервалов присваивается определенное число (двоичный код). Для однозначности такого присвоения (кодирования) должно выполняться условие

,

где  – число двоичных разрядов без учета знакового разряда. В АЦП обычно число разрядов велико (от 8÷32 и более) и величина  также большая, т.е. число ступеней нелинейной характеристики большое. Например, если , то  и при   величина .

При условии   нелинейную характеристику АЦП заменяют линейной с коэффициентом передачи , т.е. .

ЦАП с числом разрядов  имеет на выходе число уровней напряжения, равное

,

а величина . При большом числе  ступенчатую характеристику заменяют на линейную с коэффициентом передачи .

Считая, что ЦВУ реализует линейный алгоритм, т.е. является линейной, исходную структуру можно преобразовать к виду, изображенному на рис. 1.11.

Рис. 1.11

На этом рисунке , где учитывают коэффициенты передачи АЦП и ЦАП, а множитель  время запаздывания, необходимое на обработку информации в цифровых элементах.

Считаем  малой величиной, тогда  а  при идентичных характеристиках АЦП и ЦАП. В дальнейшем можно полагать .

1.15. Исследование цифровых систем автоматического управления

В первом приближении без учета нелинейностей характеристик АЦП и ЦАП и считая запаздывание малым , структура цифровой системы сводится к структуре системы с АИМ-1, к которой возможно применение всех изложенных выше методов анализа и синтеза импульсных систем.

Более подробно остановимся на функциях ЦВУ, которыми являются реализация дискретных алгоритмов управления и дискретной коррекции. Будем рассматривать линейные модели, реализуемые ЦВУ в общем случае. Этими моделями являются линейные разностные уравнения

 (1.96)

где переменные ,  представлены в виде цифровых кодов.

Применяя к (1.96) Z-преобразование, получим

, (1.97)

где  – передаточная функция ЦВУ.

Линейное разностное уравнение (1.96) представляет собой алгоритм работы ЦВУ и может быть записано в виде

       (1.98)

Задавая , можно последовательно находить , , …, используя найденные на предыдущих этапах значения  и . При таком подходе ЦВУ осуществляет три операции: умножение чисел, сложение чисел и запоминание чисел. Алгоритм возможен (реализуем) только при условии . Если , то для вычисления текущего значения  следует знать ряд будущих значений входа, что физически невозможно. Итак, при  передаточную функцию  будем называть физически реализуемой.

Рассмотрим несколько возможных алгоритмов управления и найдем для них передаточные функции.

1. Пропорциональный закон (по отклонению) .

В дискретном случае , . Это наиболее простой алгоритм. При этом ЦВУ выступает в роли элемента сравнения (сумматора), осуществляя операцию вычитания  в цифровой форме.

2. Дифференциальный закон (по производной от отклонения) . Найдем дискретный аналог этого закона

 .

Полагая , получим

. (1.99)

Применяя z-преобразование, найдем передаточную функцию

.  (1.100)

3. Интегральный закон (по интегралу от отклонения) . В зависимости от способа вычисления интеграла рассмотрим два варианта дискретных аналогов:

– по методу Эйлера

, ; (1.101)

– по методу трапеций

, . (1.102)

Комбинируя рассмотренные законы 1, 2, 3, можно получить пропорционально-интегральный закон , пропорционально-дифференциальный закон  и пропорционально-интегрально-дифференциальный .

Кроме реализации законов управления в дискретной форме ЦВУ используется также для реализации цифровой коррекции, т.е. синтеза передаточной функции , обеспечивающей цифровой системе заданные свойства.

Синтез цифровых САУ при их сведении к структуре рис. 1.11 может производиться тремя способами: при заданной  введением непрерывной коррекции, т.е. изменением передаточной функции ; при заданной отыскание дискретной коррекции ; применением обоих подходов. О проблемах, связанных с этими путями коррекции, говорилось при рассмотрении линейных импульсных систем.

Пример 1.14. Пусть в цифровой САУ . Требуется, чтобы в замкнутой системе ошибка по положению (статическая ошибка) была равна нулю, а скоростная при  была меньше заданной величины . Передаточная функция  для данного случая при  получена в примерах 1.3 и 1.6 и имеет вид

, .

Исходная система является статической и ошибка по положению не равна нулю. Для выполнения заданных требований реализуем на ЦВУ интегратор с передаточной функцией

,

тогда передаточная функция разомкнутой системы будет

.

Для такой системы в соответствии с результатом подраздела 1.8 статическая ошибка равна нулю, а скоростная будет

.

Из условия , находим

. (1.103)

Если взять цифровой интеграл в виде , то получим тот же результат (1.103).

При выборе  следует также учесть условия устойчивости для данной системы. Характеристическое уравнение замкнутой системы будет . Применяя критерий (1.55), нетрудно получить условие устойчивости

, (1.104)

Таким образом, величина  выбирается исходя из заданной точности и обеспечения устойчивости из неравенства

. (1.105)

Соотношение (1.105) при известных , , , , позволяет выбрать . Пусть , , , , тогда . Так как проектируемая система должна обладать запасами устойчивости в пределах дБ, что соответствует возможности увеличить коэффициент усиления в  раз без потерь устойчивости, то следует выбрать величину  для данного примера близкой к двадцати.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64592. Историческая основа дипломатической школы Египта 37 KB
  Во время войн на территории северного Египта мы встречаем первый случай предъявления ультиматума вождем гиксосов правителю Фив. Кстати после изгнания гиксосов из Египта между правителями Египта и другими древневосточными государствами установился систематический обмен посольствами.
64593. Критика эмпиризма 16.63 KB
  Причины в опыте не наблюдаются в этом проблема эмпиризма. Проблема непосредственности. Проблема описания факта. Проблема интерпретации факта.
64594. Обязанности нанимателей и работников по охране труда 30 KB
  Наниматель обязан обеспечить все рабочие места техническим оборудованием соответствующим требованиям по ОТ улучшать условия труда и быта работающих соблюдать законодательство о труде.
64595. Понятие архитектуры вычислительной системы 88.01 KB
  Организация памяти в ЭВМ Память используется для хранения следующих объектов: Компьютерные программы. В памяти недопустима обработка данных и следовательно применимы всего две операции: выборка информация не разрушается...
64598. Структурная схема ЭВМ 75.87 KB
  ЭВМ персональный компьютер ПК это универсальная вычислительная диалоговая система реализованная на базе микропроцессорных средств компактных внешних запоминающих устройств способная выполнять последовательность операций над информацией определенной программы.
64599. Понятие и сущность государства 25.5 KB
  Государство многогранное явление поэтому существует множество его определений. На протяжении нескольких веков государство определяли по-разному: Государство это самодовлеющее общение граждан ни в каком другом общении не нуждающееся и ни от кого другого не зависящее Аристотель.