48585

Случайные процессы в системах автоматического управления

Контрольная

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Различают статические и динамические нелинейности. В первом случае связь и описывается алгебраическим уравнением, а в случае динамической нелинейности переменные и связаны дифференциальным, разностным или интегральным уравнениями. Например, зависимость будет характеризовать нелинейное динамическое звено, где – производная по времени.

Русский

2013-12-17

5.5 MB

36 чел.

2. Нелинейные системы автоматического управления

2.1 Общие сведения о нелинейных системах

Система автоматического управления относится к классу нелинейных систем автоматического управления (НСАУ) если хотя бы одно из ее звеньев описывается нелинейным уравнением, связывающим вход и выход звена (рис.1).

Рис. 2.1

Различают статические и динамические нелинейности. В первом случае связь  и  описывается алгебраическим уравнением , а в случае динамической нелинейности переменные  и  связаны дифференциальным, разностным или интегральным уравнениями. Например, зависимость  будет характеризовать нелинейное динамическое звено, где  – производная по времени.

Нелинейные звенья во многих случаях появляются в САУ объективно, т.к. многие реальные элементы нелинейны (усилители, реле, исполнительные двигатели, редукторы, элементы рассогласования и т.п.). С другой стороны, нелинейные элементы могут специально вводиться в систему для придания ей определенных показателей качества. Во многих случаях для построения оптимальных САУ требуется введение законов управления, реализуемых с помощью нелинейных элементов.

В отличие от линейных систем процессы, протекающие в НСАУ, более сложны и многообразны, в связи с чем более сложными оказываются и методы их исследования. Поэтому при анализе НСАУ наиболее часто используют два этапа. На первом этапе, если это возможно, все нелинейные элементы линеаризуют [1], сводят систему к линейной (линеаризованной) и исследуют ее линейными методами. На втором этапе пытаются при анализе учесть те или иные свойства нелинейных элементов. Однако, в случае существенных нелинейностей, особенно разрывных (релейных), линеаризация часто оказывается недопустимой и САУ изначально следует рассматривать как нелинейную.

Количество линейных и нелинейных элементов, их типы, а также места включения могут быть разнообразными. В рамках излагаемого материала будут рассматриваться только нелинейные САУ с одним нелинейным элементом статического типа и остальными линейными элементами. Структура такой системы представлена на рис. 2 2, где НЭ – нелинейный элемент статического типа, ЛЧС – линейная часть системы.

Рис. 2.2

К структуре НСАУ рис. 2.2 можно свести многие нелинейные системы. Эту структуру будем рассматривать как базовую при исследовании нелинейных САУ. Линейная часть системы (ЛЧС) описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами или, как принято в теории автоматического управления, передаточной функцией  [1].

Нелинейные зависимости  могут быть непрерывными, разрывными, периодическими и т.п. На рис. 2.3 представлены в качестве иллюстрации две: а – нелинейная характеристика реального усилительного звена с насыщением и б – элемента сравнения фаз двух гармонических сигналов (фазового детектора).

Рис. 2.3

Реальные характеристики нелинейного элемента  могут иметь сложный вид и сложные математические выражения. Поэтому в теории НСАУ их часто заменяют на идеализированные, аппроксимируя   реальные кривые отрезками прямых линий. На рис. 2.4 представлены некоторые из таких идеализированных характеристик.

 

Рис. 2.4

Характеристика на рис. 2.4, а является идеализированной по отношению к реальной характеристике рис. 2.3, а и характеризует, так называемое, „насыщение”. Аналитическое выражение для этой характеристики будет

 (2.1)

где .

Характеристика на рис. 2.4, б – это характеристика идеального реле  или

 (2.2)

Характеристика на рис. 2.4, в характеризует так называемую зону „нечувствительности” при

 (2.3)

Характеристика рис. 2.4, г характерна, например, для аналого-цифрового преобразователя. Нелинейные характеристики других видов можно найти в литературе по теории автоматического управления, например в [6].

2.2. Математические модели замкнутых нелинейных систем автоматического управления

Рассмотрим нелинейную САУ, структура которой представлена на рис. 2.2. Пусть линейная часть системы описывается передаточной функцией

, (2.4)

используя которую нетрудно получить дифференциальное уравнение, связывающее переменные  и

, (2.5)

где ,  – производные по времени.

В соответствии со структурой нелинейной САУ рис.  2.2 нелинейный элемент имеет характеристику , где . Итак с учетом (2.5) математической моделью замкнутой нелинейной САУ будет следующая система уравнений

 (2.6)

где  – функция, характеризующая нелинейную зависимость.

Другой вариант модели можно получить, используя уравнение состояния [1]. По передаточной функции  или по дифференциальному уравнению (2.5) можно связать координаты  и  с помощью векторно-матричных уравнений

 (2.7)

где  – матрица размерностью ,  –вектор столбец,  – вектор строка,  – вектор состояния с координатами .

В этом случае с учетом ,  получим векторно-матричную модель или уравнения состояния нелинейной системы

 (2.8)

Наконец, иногда рассматривают смешанную модель вида

, , (2.9)

где ,  – изображения, а , ,   функции времени (оригиналы).

Объектом дальнейшего рассмотрения являются модели вида (2.6), (2.8) или (2.9). При этом можно выделить следующие возможные направления исследований:

1. Функция  в окрестностях исследуемого режима (обычно это положение равновесия) является достаточно гладкой и допускает линеаризацию (разложение ее в ряд Тейлора). Тогда при достаточно малых отклонениях от установившегося режима уравнения (2.6) и (2.8) заменяются на линеаризованные и исследуются линейными методами [1].

2. Линеаризация в соответствии с пунктом 1 допустима, но отклонения от установившегося режима большие. В этом случае САУ надо рассматривать как нелинейную.

3. Линеаризация по пункту 1 недопустима, особенно в случае разрывных нелинейных характеристик. САУ следует рассматривать только как нелинейную.

Излагаемое далее будет относиться к двум последним случаям.

Методы анализа нелинейных САУ, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями (2.6), (2.8), условно можно разделить на точные и приближенные. В свою очередь и в тех и в других можно выделить аналитические, графические и графоаналитические методы расчета и анализа. Широкие возможности дают методы с использованием компьютерного моделирования.

При исследовании процессов в НСАУ можно выделить два направления: исследование собственных процессов в НСАУ при  и исследование вынужденных режимов, возникающих при внешних воздействиях . Кроме этого большое значение имеют задачи, связанные с отысканием периодических режимов, автоколебательных режимов и анализом устойчивости процессов в НСАУ.

Пример 2.1. В НСАУ рис. 2.2 линейная часть описывается передаточной функцией . Найдем математические модели системы. Смешанная форма будет

, .

Уравнения (2.6) имеют вид

, .

Используя передаточную функцию , найдем уравнения состояния линейной части в канонической форме

, ,

где ; ;  – вектор с координатами .

С учетом уравнения замыкания получим модель (2.7):

, .

2.3. Исследование нелинейных систем методом фазовой плоскости

2.3.1. Основные понятия

Метод фазовой плоскости обычно применяется для анализа нелинейных систем второго порядка при исследовании в них собственных процессов  или вынужденных при . Пусть в нелинейной системе рис. 2.2 передаточная функция имеет вид

. (2.10)

Используем модели (2.7), (2.8) для данного случая и запишем уравнения (2.7) в нормальной форме [1]:

, .

Уравнение замкнутой системы (2.8)  будет

, .

Будем полагать, что , а нелинейность обладает свойством симметрии относительно начала координат (рис 2.3, 2,4), т.е. .

В этом случае уравнения примут вид:

 (2.11)

где ,  – нелинейные функции.

Частным случаем уравнения (2.11) является случай, когда :

 (2.12)

который встречается довольно часто.

Характерной особенностью (2.11), (2.12) является то, что координата  является скоростью изменения координаты , т.е. .

Пусть при заданных начальных условиях ,  определено конкретное (частное) решение уравнения (2.11). В трехмерном пространстве с координатами , ,  это решение можно изобразить в виде некоторой кривой, которую называют интегральной кривой. Проекция этой кривой на плоскость с координатами ,  также будет некоторой кривой или траекторией, которую будем называть траекторией состояния или фазовой траекторией.

Совокупность фазовых траекторий на плоскости с координатами ,  будем называть фазовым портретом системы, а саму плоскость – фазовой плоскостью.

При  все вышесказанное можно обобщить, однако ввиду сложной геометрической интерпретации фазовое пространство и фазовые траектории для этого случая применяются редко.

Найдем уравнения, определяющие фазовые траектории. Для этого в (2.11) разделим почленно второе уравнение на первое, тогда с учетом ,  получим

. (2.13)

Уравнение (2.13) является нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка, в котором  является аргументом (независимой переменной). Решение этого уравнения () и является искомой фазовой траекторией. Так как в конечном итоге координаты  и  зависят от времени , то с течением времени точка на фазовой траектории, которую назовем изображающей точкой, будет двигаться по фазовой траектории.

Для частного случая (2.12) уравнения  фазовых траекторий будут иметь вид

. (2.14)

Правила движения изображающей точки по фазовым траекториям на фазовой плоскости , где  – ось абсцисс,  – ось ординат:

а) если , то по фазовой траектории изображающая точка движется слева направо в сторону увеличения , т.к. скорость ;

б) если , то наоборот – справа налево;

в) ось  фазовая траектория пересекает под прямым углом (свойство справедливо только для уравнения (2.14)).

Рассмотрим качественное соответствие характера поведения интегральной кривой (координат ,) и соответствующих фазовых траекторий. На рис. 2.3 показаны 5 видов процессов : 1 − периодический, 2 − возрастающий колебательный, 3 − затухающий колебательный, 4 − монотонный возрастающий, 5 − монотонный затухающий. На рис. 4 для каждого из них показаны фазовые траектории.

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Итак, если известен фазовый портрет системы, то можно качественно оценить характер протекающих в системе процессов: являются ли они затухающими и стремятся к нулю при  либо нет; как затухают – с колебаниями, либо монотонно; являются ли периодическими и т.п.

2.3.2. Классификация фазовых портретов 

В первую очередь выделяются точки равновесного состояния системы, в которых в (2.11)  и которые определяются из решения системы нелинейных уравнений

 (2.15)

В этих точках правая часть уравнения (2.13) является неопределенностью вида . Поэтому точки равновесного состояния еще называют особыми точками на фазовой плоскости. Особые точки классифицируются по их типу для линейных систем. В линейном случае в (2.10) , , где  – постоянные коэффициенты, и особая точка будет единственной , , т.е. начало координат на фазовой плоскости. Тип особой точки определяют корнями характеристического уравнения линейной системы

. (2.16)

Различают восемь типов особых точек:

1. устойчивый узел – два различных действительных отрицательных корня;

2. вырожденный устойчивый узел – два равных действительных отрицательных корня;

3. устойчивый фокус – два комплексно-сопряженных корня с отрицательными действительными частями;

4. центр – два чисто мнимых корня;

5. неустойчивы узел – два различных действительных положительных корня;

6. вырожденный неустойчивый узел – два равных действительных положительных корня;

7. неустойчивый фокус – два комплексно-сопряженных корня с положительными действительными частями;

8. седло – два различных действительных корня с разными знаками.

Фазовые портреты линейных систем с соответствующим типом особой точки приводятся в [4, 6, 7]. Например, для точки типа центр фазовые траектории – это симметричные эллипсы на плоскости , охватывающие начало координат. Для точек типа устойчивый и неустойчивый фокус – это логарифмические спирали, соответственно скручивающиеся к началу координат и раскручивающиеся.

Отметим, что первые три типа точек соответствуют устойчивой линейной системе, четвертый тип – нейтральной или находящейся на границе устойчивости системе, а все точки, начиная с четвертого типа и далее, относятся к неустойчивой линейной системе.

Классификацию особых точек нелинейных систем производят по линеаризованной модели нелинейной системы вблизи исследуемой особой точки. Из уравнений (2.15) после их решения находим координаты особой точки ,  (таких точек может быть несколько и даже бесчисленное множество).

Исходное уравнение (2.11) подвергаем линеаризации относительно найденных координат ,  путем разложения функций ,  в ряд Тейлора [1]. В результате будем иметь уравнения первого приближения

где , , а коэффициенты  определяются следующим образом

. (2.17)

Подставляем найденные  в (2.16), определяем вид корней уравнения (2.16) и тип особой точки нелинейной системы. Если особых точек несколько, процедуру проделываем для каждой особой точки.

Кроме особых точек фазовые портреты нелинейных систем могут иметь еще особые кривые (траектории), что не характерно для линейных систем. Из особых кривых выделим в первую очередь два типа: сепаратрисы и предельные циклы. Сепаратриса – это особая кривая, которая разделяет на фазовой плоскости области с разными типами фазовых траекторий. Предельные циклы  это замкнутые кривые, соответствующие периодическим процессам.

Предельный цикл называется устойчивым предельным циклом, если все фазовые траектории, начинающиеся внутри и за пределами предельного цикла с течением времени стремятся к нему (навиваются на него изнутри и снаружи). Если фазовые траектории снаружи либо изнутри с течением времени удаляются от него, то будем иметь неустойчивый предельный цикл.

Устойчивый предельный цикл (устойчивый периодический процесс) физически соответствует возникновению в системе автоколебаний, которые могут возникать при отсутствии внешнего воздействия, причем их амплитуда и частота не зависит от начальных условий, а определяются внутренними свойствами.

Например, в линейной системе возможен периодический (гармонический) режим рис. 2.3, 2.4 (кривые 1), однако он не является автоколебанием, т.к. его амплитуда зависит от начальных условий.

На рис. 2.5 представлены примеры фазовых портретов нелинейной системы, где жирными линиями выделены предельные циклы. На рис. 2.5 а предельный цикл является устойчивым (автоколебание), а положение равновесия (начало координат) неустойчиво. Вариант рис. 2.5 б дает неустойчивый предельный цикл, а положение равновесия устойчиво. Наконец, в варианте рис. 2.5 в внешний предельный цикл устойчивый (автоколебание), внутренний неустойчив, а положение равновесия устойчиво.

Рис. 2.5

Пример 2.2. Рассмотрим нелинейную систему [7], описываемую уравнениями

 

Уравнения фазовых траекторий будут

 

Особые точки найдем из решения системы уравнений

 

Это особые точки с координатами (0, 0), (1, -1), (-1, 1).

Исследуем первую особую точку (начало координат) , , для которой нетрудно найти (2.17) , , , , а уравнение (2.16) соответственно будет .

Корни этого уравнения будут чисто мнимые , . В соответствии с классификацией особая точка – начало координат будет типа центр. Аналогично, можно показать, что две другие особые точки (1,-1), (-1,1) будут типа седло. На рис. 2.6 дан общий фазовый портрет системы, где жирным выделены кривые, которые являются сепаратрисами.

Рис. 2.6

2.3.3. Построение фазовых траекторий

Аналитическое выражение для фазовой траектории является решением нелинейных дифференциальных уравнений (2.13), (2.14) и найти его в общем случае невозможно. Однако если представить реальные нелинейные характеристики в виде идеальных, т.е. аппроксимированных на отдельных участках прямыми линиями, то возможно применение аналитических методов решения. Суть такого подхода заключается в следующем. Пусть идеальная нелинейность на некотором интервале  описывается линейной характеристикой , где  – заданные коэффициенты. В этом случае уравнение (2.13) для фазовых траекторий будет иметь вид

, (2.18)

где , , , , , .

Уравнение (2.18) является частным случаем уравнения Якоби и может быть проинтегрировано, т.е. задавая начальные значения ,  можно найти вид фазовой траектории  при условии, что .

Таким образом, разбивая всю ось  на ряд интервалов  и аппроксимируя нелинейность  линейной зависимостью  на каждом интервале, получим свое уравнение (2.18), решение которого даст на этом интервале некоторою фазовую траекторию. Линии, соответствующие равенствам  на плоскости , разделят ее на ряд областей. Эти линии, границы областей, будем называть линиями переключения.

При попадании изображающей точки фазовой траектории на линию переключения, конечное значение этой фазовой траектории, т.е. значения координат  и  на ее конце, принимаются за начальные условия для фазовой траектории в смежной области. Такой метод решения дифференциального уравнения называют методом сшивания, склеивания или припасовывания решений.

Другой способ построения фазовых траекторий – это метод изоклин, который является графическим методом. В уравнении для фазовых траекторий (2.13) правая часть в каждой точке фазовой плоскости с координатами ,  определяет скорость движения изображающей точки, т.е. определяет угол наклона касательной к фазовой траектории в этой точке. Уравнение

, (2.19)

где  произвольное число, определяет линию на фазовой плоскости равных значений производных или углов наклона касательной. Эту линию и называют изоклиной.

Изобразив на фазовой плоскости несколько изоклин с соответствующими направлениями касательных, можно приближенно представить вид фазовых траекторий и вид фазового портрета.

Наконец, возможно построение фазового портрета путем моделирования уравнений фазовых траекторий и их решения на компьютере.

2.3.4. Скользящие режимы в нелинейных системах

Рассмотрим нелинейную САУ [7], изображенную на рис. 2.7, где  – модель идеального реле:  при ,  при .

Рис. 2.7

В соответствии с рис. 2.7 уравнение системы будет

.

Вводя новые переменные , , получим систему уравнений

 

из которой находим уравнения для фазовых траекторий

. (2.20)

Уравнение линии переключения получим из условия , т.е.

. (2.21)

В области фазовой плоскости при  уравнение (2.20) имеет вид

, (2.22)

а там где , уравнение (2.20) будет

. (2.23)

Решения уравнений (2.22), (2.23) соответственно имеют вид:

, (2.24)

, (2.25)

где ,  произвольные постоянные, которые определяются начальными условиями , .

Уравнения (2.24), (2.25) на фазовой плоскости определяют параболы. Уравнение (2.24) справедливо справа от линии переключения (2.21), а (2.25) – слева.

На рис. 2.8 изображен фазовый портрет нелинейной системы, из которого следует, что на линии переключения существует отрезок АВ, на котором все фазовые траектории с двух сторон входят в этот отрезок. Изображающая точка, попав на этот отрезок, далее с течением времени обязана двигаться по нему к началу координат (положению равновесия). Такой режим называется скользящим режимом, а отрезок АВ отрезком скольжения. На рис. 2.8 начальная точка  переходит по фазовым траекториям в точку , затем в  (попадает на отрезок скольжения) и далее по линии переключения обязана двигаться к началу координат, т.е. в системе возникает режим скольжения.

Рис. 2.8

Найдем координаты точек А, В, т.е. длину отрезка скольжения. В точке А касательная к параболе должна совпадать с линией переключения, т.е. . Тогда с учетом (2.22) будем иметь , т.е. ордината точки А будет .

Аналогично, ордината точки В будет . Таким образом, длина отрезка АВ будет тем больше, чем больше  или .

Найдем закон движения в скользящем режиме. На линии переключения (2.21) , но , откуда имеет место следующее уравнение

, (2.26)

определяющее закон движения в скользящем режиме. Решение уравнения (2.26) имеет вид .

Таким образом, на линии скольжения исходная нелинейная система второго порядка вырождается в линейную систему первого порядка (2.26), причем параметры процесса скольжения не зависят от параметров прямой цепи . Меняя , можно менять время попадания изображающей точки в начало координат, т.е. фактически время регулирования. Чем меньше величина , тем меньше время регулирования.

2.3.5. Система с переменной структурой

Структура нелинейной САУ изображена на рис. 2.9.

  

Рис. 2.9

На этом рисунке нелинейным элементом является логическое устройство, которое на основе измерения сигнала  управляет по определенному закону ключом , так что передаточная функция разомкнутой системы может быть либо , либо , т.е. система в процессе  работы меняет свою структуру. При включении верхнего звена уравнение замкнутой системы имеет вид

, (2.27)

а при включении нижнего звена

. (2.28)

Характеристическое уравнение такой замкнутой системы будет  и, если , , имеет два комплексных корня, т.е. система является нейтральной или находиться на границе устойчивости. Такая система является неработоспособной.

Обозначим , , тогда уравнения для фазовых траекторий будут

, . (2.29)

Решая уравнения (2.29), получим на фазовой плоскости семейство эллипсов

,

где  – произвольная постоянная.

Путем подбора ,  сделаем одни эллипсы сжатыми вдоль оси , а другие вдоль оси , как это изображено на рис. 2.10.

Закон переключения ключа выберем следующий: если , то имеем цепь с коэффициентом  (рис. 2.10, а), если , то имеем цепь с коэффициентом  (рис. 2.10, б). Линиями переключения будут координатные оси фазовой плоскости , . Итак, если изображающая точка находится, например, в первом квадранте, то с течением времени она движется вниз вдоль эллипса до линии переключения  (рис. 2.10, а) и далее при  вдоль эллипса, сжатого относительно оси   и т.д. Таким образом, с течением времени изображающая точка будет стремиться к началу координат.

Рис. 2.10

В рассмотренном случае процесс будет колебательным. Однако возможно в такой системе организовать скользящий режим. Пусть в структуре рис. 2.9   , тогда уравнения для фазовых траекторий будут

, ,

первое из которых при ,  описывает эллипсы, а второе при ,  гиперболы на фазовой плоскости. Первый контур соответствует, как и раньше, нейтральной системе, а второй – неустойчивой системе. Переключение организуем следующим образом: если , работает верхняя цепь (коэффициент ), а если , работает нижняя цепь (коэффициент ). Таким образом, линиями переключения будут  (ось ординат) и прямая , где  – параметр, который можно выбирать. Линия скольжения в данном случае не ограничена конечным отрезком, а является всей прямой . Фазовый портрет изображен на рис. 2.11, где волнистая линия – это линия переключения.

Рис. 2.11

2.4. Метод припасовывания

Этот метод применяется для случая, когда нелинейная характеристика  в САУ рис. 2.2 представляется в виде кусочно-линейной, т.е. на отдельных участках изменения переменной  нелинейная характеристика аппроксимируется линейной зависимостью. Теоретически этот подход можно применять для систем любого порядка при вычислении как свободных (), так и вынужденных процессов ().

Основная идея подхода следующая. Диапазон изменения переменной  на входе нелинейности разбивается на ряд интервалов, так что в -ом интервале  нелинейная функция  заменяется линейной . Тогда в -ом интервале уравнения (2.6), (2.8) или (2.9) становятся линейными и теоретически можно найти общее решение соответствующих линейных дифференциальных уравнений при заданном входе :

 (2.30)

где  – произвольные постоянные.

Задавая начальные условия для частного (конкретного решения)  при условии  и полагая в (2.30) , находим произвольные постоянные и соответствующие частные решения , которые справедливы только при .

Далее находим значение момента времени , при котором , либо . При  по выражениям (2.30) вычисляем конечные значения решения и его производных , которые принимаем за начальные значения решения в следующем  или  интервалах. Далее процесс поинтервального решения повторяется.

Итак, для каждого -го интервала изменения переменных системы имеем свою линейную модель, которая дает определенное решение, справедливое только для -го интервала. На границах интервалов, там, где , производится припасовывание (склеивание, сшивание) решений: конечные значения решений для -го интервала становятся начальными значениями искомого решения для следующего интервала. Отсюда и название метода – метод припасовывания решений. Фактически он уже применялся для нахождения решений дифференциальных уравнений для фазовых траекторий в пункте 2.3.3. Границы интервалов  являются линиями переключения.

Пример 2.3. Пусть в нелинейной системе рис. 2.2  , а нелинейность имеет вид рис. 2.4, а, которая описывается уравнением

 (2.31)

Исходная система нелинейных уравнений будет иметь вид

. (2.32)

Исследуем процессы в системе при входном сигнале . Тогда из (2.32) с учетом (2.31) получим три модели системы для трех интервалов:

 

 

 

Общее решение в каждом случае будет иметь вид:

 

 (2.33)

 

Пусть , , тогда из первого уравнения (2.33) найдем  и решение будет . Найдем момент времени , когда . Это вытекает из решения уравнения  при условии . Момент  определится по формуле

.

По первой формуле (2.33) определяем

.

Конечное значение процесса  принимаем за начальное для второй формулы (2.33), тогда получим  и

. (2.34)

Итак, закон изменения координаты  при  и

, . (2.35)

Если же , то при  выход будет изменяться по закону (2.35), а далее при  закон изменения будет (2.34).

При  в первом случае на выходе имеем установившееся значение , а во втором .

2.5. Метод точечного преобразования

Метод точечного преобразования является усовершенствованным методом припасовывания с привлечением геометрического аппарата фазовой плоскости и применяется в основном для анализа свободных режимов в системах второго порядка.

Пусть система описывается уравнениями (2.11), а уравнения для фазовых траекторий будут (2.13). На фазовой плоскости нарисуем отрезок линии , как показано на рис. 2.12, который пересекается фазовыми траекториями в одном направлении. Пусть  – начальная точка пересечения фазовой траекторией этого отрезка, а  – последующая при движении по данной фазовой траектории. Обозначим через  и  соответствующие расстояния точек  и  до точки 0 (начала координат). Точка  называется последующей по отношению к исходной (предыдущей) точке . Зависимость

 (2.36)

будем называть функцией последования, которая определяет закон точечного преобразования вдоль отрезка .

Так как фазовые траектории всюду плотно заполняют фазовое пространство, то исходные и последующие точки всюду плотно заполняют отрезок .

Рис. 2.12

По виду функции последования  можно качественно судить о поведении фазовых траекторий и виде фазового портрета, а в ряде случаев и определить количественные характеристики процессов в системе.

В соответствии, например, с рис. 2.12 можно сделать ряд следующих выводов. Если величина , то фазовые траектории приближаются к началу координат. Если , то все фазовые траектории удаляются от начала координат. Если в процессе точечного преобразования , то на фазовой плоскости существует замкнутая  кривая, соответствующая предельному циклу.

Рис. 2.13

Исследование поведения системы с помощью точечного преобразования удобно проводить, используя график функции . На рис. 2.13 изображен график функции  и через начало координат проведена прямая, совпадающая с биссектрисой первого квадранта плоскости .

Ход точечного преобразования следующий. Выбираем исходную точку на оси  − точку , для нее находим координату последующей точки на кривой . Далее используем найденную последующую, принимаем ее за исходную и находим опять последующую. Ход точечного преобразования из точки  показан стрелками. Итак, по ходу стрелок видно, что мы приближаемся к точке , в которой . Для исходной точки  картина точечного преобразования повторяется. Таким образом, в точке  существует устойчивый предельный цикл (автоколебания). Обратная картина будет относительно точки , где есть предельный цикл, но он неустойчив.

Графики, подобные приведенному на рис. 2.13, называются диаграммами точечного преобразования.

Определение функции  часто трудоемкая задача. Проще эту функцию задать в параметрической форме, когда  и  зависят от некоторого параметра. В качестве такого параметра выбирают величину  − время прохождения из точки  в последующую точку  по ходу фазовой траектории. Итак, находят уравнения

, , (2.37)

которые являются параметрической формой задания зависимости .

Рис. 2.14

На рис. 2.14 приведен пример точечного преобразования при параметрической форме задания кривых (2.37). Точка с координатами ,  соответствует наличию устойчивого предельного цикла (автоколебаний). При этом величина  − период автоколебаний. Конкретные примеры применения точечного преобразования можно найти в [6, 7].

2.6.Метод гармонической линеаризации

2.6.1. Исходные положения метода гармонической линеаризации

Метод гармонической линеаризации (метод гармонического баланса) –. это приближенный (инженерный) метод, позволяющий исследовать собственные и вынужденные колебания, а также устойчивость  нелинейных систем. Метод не имеет ограничений на порядок системы. Этот метод до настоящего времени строго не обаснован. Однако длительная практика  применения доказала его эффективность.

Пусть имеем нелинейное звено рис. 2.1 с нелинейной статической характеристикой

, (2.38)

на вход которого подается гармонический сигнал . Сигнал на выходе нелинейного звена будет не гармоническим, однако периодическим с тем же самым периодом , т.е. .

Рис. 2.15

На рис. 2.15 дана графическая иллюстрация преобразования гармонического сигнала нелинейной характеристикой, имеющей зону нечувствительности и насыщения.

Так как сигнал  является периодическим с периодом , то разложим его в ряд Фурье

, (2.39)

где

  (2.40)

Коэффициенты ряда Фурье ,  вычисляются по известной нелинейности . Обычно амплитуды первой гармоники , значительно больше амплитуд высших гармоник частот , , ….

Сигнал с выхода нелинейного элемента в соответствии со структурой замкнутой системы рис. 2.2 поступает на вход линейной части систем с передаточной функцией  или с соответствующей АФЧХ . Будем считать, что степень полинома  меньше степени полинома , что соответствует физически реализуемой системе. В этом случае  (АЧХ) с ростом  обязательно будет стремиться к нулю. Вид АЧХ приведен на рис. 2.16, где кривая 1 соответствует статической, а 2 − астатической системе. Здесь же приведены спектральные составляющие входного сигнала в соответствии с (2.39) основной частоты  и высших гармоник , , ….

Рис. 2.16

В соответствии с рис. 2.16 линейная система отфильтрует высокочастотные составляющие и на выходе линейной части будет сигнал, близкий к гармоническому . Такое свойство линейной части будем называть свойством фильтра. Таким образом,  если линейная часть системы является низкочастотным фильтром (выполняется гипотеза фильтра), то при определенных условиях в замкнутой системе при  сигнал  в установившемся режиме будет гармоническим или достаточно близким к гармоническому

. (2.41)

Выяснение выполнения таких условий и определения амплитуды  и частоты  гармонического режима, возникающего в замкнутой системе, и составляет суть метода гармонического баланса. Колебания вида (2.41) будем называть симметричными. Они обычно возникают при отсутствии внешнего воздействия (), т.е. являются собственными, и при нечетной нелинейности . При , либо при несимметричных нелинейностях относительно начала координат в разложении (2.39) появляется постоянная составляющая и появляются несимметричные колебания

, (2.42)

в которых определению подлежат три параметра , , .

Рассмотрим связь входа и выхода нелинейного элемента в предположении, что на входе действует сигнал , а на выходе сигнал (2.39) без учета высших гармоник, т.е.

. (2.43)

Первоначально будем рассматривать случай симметричных колебаний, т.е. считать . Обозначим , , тогда

. (2.44)

С учетом того, что  , где , получим

, (2.45)

, (2.46)

. (2.47)

Выражение (2.45) является уравнением гармонической линеаризации нелинейности, а  (2.46) и  (2.47) называются коэффициентами гармонической линеаризации.

Из (2.45), приняв , находим гармонически линеаризованную передаточную функцию нелинейного элемента

, (2.48)

а при  - амплитудно-фазовую характеристику нелинейного элемента

. (2.49)

Особенностью (2.48), (2.49) является то, что передаточная функция зависит от амплитуды и частоты входного сигнала, а АЧХ не зависит от частоты, но зависит от амплитуды . Выражения (2.45), (2.48), (2.49) справедливы только для определенного типа входного сигнала − гармонического  и при условии отсутствия высших гармоник на выходе нелинейного элемента. Последнее, предположительно, будет выполняться в замкнутой нелинейной САУ при выполнении гипотезы фильтра.

В случае несимметричных колебаний сигнал на выходе нелинейного элемента будет иметь вид

, ,

а выражения (2.45), (2.46), (2.47) будут следующими:

, (2.50)

, (2.51)

, (2.52)

. (2.53)

2.6.2. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации

Если нелинейная характеристика представлена в виде кусочно-линейной, то получить коэффициенты гармонической линеаризации несложно. Отметим общие свойства этих коэффициентов. Если  является нечетно-симметричной однозначной характеристикой, то всегда , а (2.46) будет иметь вид

. (2.54)

Для петлевых нечетно-симметричных характеристик можно в интегралах (2.46), (2.47) брать пределы интегрирования от 0 до  и удвоить полученные результаты.

Рассмотрим простейший случай. Пусть , т.е. рассматривается идеальное реле. Так как  – однозначная нечетно-симметричная нелинейность, то , а

, (2.55)

Для этой же характеристики для случая несимметричных колебаний можно получить

, . (2.56)

В литературе [6, 7] можно найти аналитические выражения коэффициентов гармонической линеаризации , ,  практически для любых видов нелинейностей, а также графики их зависимостей от величины амплитуды .

2.6.3. Алгебраический метод определения симметричных колебаний

Пусть нелинейная система, изображенная на рис. 2.2, имеет  и передаточную функцию линейной части . Полагаем, что выполняется гипотеза фильтра, т.е. АЧХ является фильтром низких частот, а нелинейность нечетно-симметричной, т.е. . В этом случае имеем следующую модель системы:

, ,.

Уравнение замкнутой системы будет

. (2.57)

Полагаем, что нелинейное уравнение (2.57) имеет решение , где ,   следует определить. После гармонической линеаризации

,

так что с учетом этого уравнение (2.57) будет

. (2.58)

Уравнение (2.58) является гармонически линеаризованным уравнением замкнутой системы. Это линейное дифференциальное уравнение, коэффициенты которого зависят от двух постоянных  и  − параметров искомого гармонического режима , оно справедливо только для решений подобно типа.

Характеристическое уравнение замкнутой системы будет

. (2.59)

Линейное дифференциальное уравнение имеет гармоническое решение вида  только в том случае, если его характеристическое уравнение содержит пару чисто мнимых корней , т.е. подставляя в (2.59) , получим условие существования гармонического решения

. (2.60)

Выделяя в (2.60) действительную  и мнимую  части, и приравнивая их к нулю, получим условия существования периодического решения

, . (2.61)

Уравнения (2.61) представляют собой систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными ,  и могут не иметь решения − периодический режим вида  не существует, иметь единственное решение, что соответствует существованию единственного периодического решения с амплитудой  и частотой , и, наконец, иметь несколько решений (возможно бесчисленное множество).

Полагая периодический режим с найденными амплитудой  и частотой  существующим, рассмотрим вопрос об устойчивости этого режима. Предполагается приближенный способ оценки устойчивости периодического режима. Найдем для функций  и  частные производные по  и

, ,  

, .

В полученных выражениях положим , , тогда получим  

, , , .

Периодический режим с параметрами ,  будет устойчивым, если выполняется неравенство

 (2.62)

при условии, что для коэффициентов многочлена

 (2.63)

выполняется условие критерия Гурвица [7].

Если найденный периодический режим устойчив, то в системе существуют автоколебания гармонической формы с параметрами , . если неустойчив, то автоколебаний нет, хотя периодический режим существует.

Предложенный подход можно применить и для анализа несимметричных колебаний. При этом вместо системы двух уравнений (2.61) получим систему из трех уравнений для определения  параметров , , .

Пример 2.4. Пусть в нелинейной САУ рис. 2.2 нелинейный элемент − идеальное реле с характеристикой , а передаточная функция линейной части имеет вид

.

Для нелинейного элемента имеем , а  (2.55). Уравнение (2.60) имеет вид

,

из которого получаем уравнения (2.61)

, .

Решая полученные уравнения, найдем амплитуду и частоту периодического режима:

, .

Нетрудно проверить, что для найденных , , условия (2.62), (2.63) выполняются, т.е. в системе возникают  автоколебания и

.

2.6.4. Частотный метод определения симметричных колебаний

Передаточная функция разомкнутой нелинейной САУ рис. 2.2 будет , где  имеет вид (2.48), а АФЧХ разомкнутой системы соответственно будет , где  имеет вид (2.49), т.е.

.

Наличие в характеристическом уравнении  пары чисто мнимых корней , соответствующих периодическому режиму , в соответствии с критерием устойчивости Найквиста будет  в том случае, если АФЧХ разомкнутой системы в комплексной плоскости пройдет через точку с координатами , т.е. должно выполняться условие

,

или

, (2.64)

где .

Решение уравнения (2.64), если оно существует, определяет амплитуду  и частоту  искомого периодического режима. Это уравнение можно решить аналитически, выделив действительные и мнимые части и приравняв их друг к другу, либо графическими. В последнем случае на комплексной плоскости наносится АФЧХ линейной части  и обратная амплитудно-фазовая характеристика нелинейности с обратным знаком . В точке их перечисления по кривой  находится частота , а по кривой  амплитуда  искомого периодического режима, как это изображено на рис. 2.17.

Рис. 2.17

Для определения периодического режима можно воспользоваться логарифмическими характеристиками. Из (2.64) можно получить

,

.

Вводя логарифмическую характеристику , можно записать

, (2.65)

. (2.66)

Выражения (2.65) и (2.66) называют балансом амплитуд и фаз.

В соответствии с (2.65), (2.66) строятся четыре графика: , , соответствующие линейной части, и , , соответствующие нелинейному элементу. Частота  откладывается в логарифмическом масштабе, амплитуда  в обычном. Далее находятся такие  и , при которых (2.65), (2.66) выполняются. Наиболее просто  и  определяются для однозначных нечетно-симметричных нелинейностей, для которых .

Для определения устойчивости периодического режима, если он существует, можно воспользоваться следующим приближенным правилом [3]: если при движении по кривой  в сторону возрастания величины  пересечение кривой  происходит изнутри наружу, то найденный режим устойчив, если наоборот, то неустойчив. На рис. 2.17 показан случай устойчивого периодического режима.

Отметим следующую особенность возникновения периодических режимов, исходя из изложенного метода гармонического баланса. Для нелинейностей, у которых , характеристика  совпадает с отрезком, лежащим на отрицательной полуоси действительной оси. Ввиду этого, если  при изменении  от 0 до  полностью находится в третьем и четвертом квадрантах комплексной плоскости, т.е. АФЧХ не пересекает отрицательную полуось, то периодические режимы в такой системе невозможны. Например, если передаточная функция линейной части имеет вид

,

то при  в случае  периодических режимов в системе не будет.

Пример 2.5. Рассмотрим систему с нелинейностью в виде идеального реле с зоной нечувствительности, для которой

 

а передаточная функция нелинейной части имеет вид

.

Для данного вида нелинейности , а коэффициент  определяется выражением

, .

Зависимость  .

На рис. 2.18 изображены графики  и . Последняя характеристика имеет две ветви, совпадающие с отрицательным отрезком действительной оси. При изменении  от  до  происходит движение изображений точки слева направо по верхней ветви кривой , а при  – вдоль нижней ветви кривой. При  выполняется соотношение .

Рис. 2.18

Выражения АЧХ и ФЧХ линейной части системы имеют вид:

,

.

АФЧХ пересекает отрицательную полуось при , что дает значение частоты . При этой частоте модуль АЧХ будет равен . В системе невозможны периодические режимы, если , т.е. при

.

Если последнее неравенство не выполняется, то в системе возможны два периодических режима с амплитудами  и , , как показано на рис. 2.18. Амплитуды  и  определяются из решения уравнения

.

Применяя предложенный выше критерий устойчивости периодического режима, приходим к выводу, что режим с частотой  и амплитудой  будет устойчивым, т.е. в системе возникнут автоколебания.

2.6.5. Вынужденные колебания в нелинейных системах

Рассмотрим НСАУ, структурная схема которой приведена на рис. 2.2, в режиме вынужденных движений, когда на вход системы подается сигнал . Будем искать решение в виде .

Для гармонически линеаризованной системы используем связь изображения ошибки  и входного воздействия  через передаточную функцию замкнутой системы по ошибке . Сделав замену  и подставив значения  и  в показательной форме, получим

.

После очевидных преобразований имеем

. (2.67)

Здесь   – основание натурального логарифма.

Для определения решений (2.67) строится в системе координат линейной части системы зависимость, соответствующая левой части (2.67) (обозначим ее А) и окружность радиуса  с центром в начале координат (рис. 2.19, а). Точка пересечения 1 дает искомые значения  и . Колебания будут устойчивы (т.е. в НСАУ возникнут автоколебания), если при росте  возрастает значение .

В нелинейных системах наличие автоколебаний зависит от величины внешнего воздействия. Если кривая А начинается не в начале координат, то режим в НСАУ зависит от пороговой величины внешнего воздействия  (рис. 2.19, б).

                        

Рис. 2.19

Значение  соответствует точке 1 касания окружности линии А. Эта граница раздела движений на колебания (автоколебания), когда  и вынужденные колебания, когда . Они могут быть устойчивыми (точка 2) и неустойчивыми (точка 3).

2.7.Устойчивость процессов в нелинейных системах

2.7.1.Основные понятия и определения

Раздел, посвященный анализу устойчивости систем автоматического управления, является традиционным при изложении курса ТАУ. Объясняется это тем, что системы управления с обратными связями (кибернетические системы) склонны к неустойчивости. Устойчивостью любого явления в природе называют его способность достаточно длительно сохранять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает существовать. Применительно к САУ этими явлениями являются протекающие в них процессы.

Основные определения и методы анализа устойчивости были даны в работах крупнейшего российского математика Ляпунова А.М.

Рассмотрим простейший случай нелинейной системы первого порядка рис. 2.2, которая описывается нелинейным дифференциальным уравнением

, (2.68)

где  − входное воздействие,  − исследуемая координата.

Пусть при  задано начальное значение искомого решения  и задано определенное входное воздействие  при . В этом случае уравнение (2.68) имеет определенное решение , которое будем называть невозмущенным процессом (решением, движением). Любое другое решение, обусловленное другими начальными условиями , но при том же воздействии , будем называть возмущенным и обозначать . Задача ставится следующим образом: как ведет себя возмущенное движение  относительно невозмущенного  с течением времени, т.е. при , или как ведет себя отклонение  при . Решение этой задачи и составляет предмет математической теории устойчивости.

Анализ поведения решений исходного уравнения можно заменить анализом тривиального решения  уравнения

, (2.69)

полученного из (2.68) заменой .

Уравнение (2.68) называется уравнением возмущенного движения в отклонениях. Это уравнение всегда имеет решение .

Рассмотрим общий случай нелинейной системы произвольного порядка, для которой уравнения возмущенного движения в отклонениях имеют вид:

, , (2.70)

где при  функции .

Дадим ряд понятий и определений устойчивости, следуя работам Ляпунова.

Невозмущенное решение  (положение равновесия) называется устойчивым, если при заданном , сколь бы оно мало ни было, существует такое , в общем случае зависящее от , что при начальных отклонениях , будет выполняться условие , при .

Невозмущенное решение  называется неустойчивым, если хотя бы для одного  условие  не выполняется.

Если решение  устойчиво и дополнительно при  ,, то невозмущенное решение  будем называть асимптотически устойчивым.

Если положение равновесия асимптотически устойчиво при любых начальных отклонениях , т.е. , то говорят об устойчивости в целом. Если известна величина , то говорят об устойчивости в большом или об устойчивости в области. Если известно, что величина  существует и может быть сколь угодно малой, то говорят об устойчивости в малом.

Наконец, если положение равновесия асимптотически устойчиво  в целом при любых нелинейных функциях  из заданного класса, то говорят об абсолютной устойчивости нелинейной системы (2.70).

Отметим, что в случае линейной системы положение равновесия устойчиво (асимптотически устойчиво) при любых отклонениях, т.е. устойчиво в целом. Кроме этого следует помнить, что устойчивость линейных систем не зависит от характера внешних воздействий, т.е. в этом плане устойчивость (неустойчивость) линейных систем является ее внутренним свойством.

2.7.2.Теоремы Ляпунова

Кроме определений Ляпуновым были разработаны два метода анализа устойчивости решений дифференциальных уравнений.

Суть первого метода заключается в замене нелинейной системы (2.70) линейной (линеаризованной) путем разложения правых частей уравнений (2.70) в ряды Тейлора относительно начала координат  и отбрасывания всех нелинейных членов. В результате получаются линейные уравнения (уравнения первого приближения)

, , (2.71)

где  − постоянные коэффициенты.

Ляпуновым доказана следующая основная теорема первого метода, которую приведем в упрощенной форме: если линейная система (2.71) асимптотически устойчива, то положение равновесия нелинейной системы (2.70) будет асимптотически устойчивым в малом, если система (2.71) неустойчива, то положение равновесия (2.70) будет неустойчивым.

По первому методу, исключая так называемые критические случаи, задача анализа устойчивости нелинейной системы сведена к более простой задаче анализа линейной системы. Первый метод Ляпунова не позволяет исследовать устойчивость в большом, целом или абсолютную устойчивость. Для этих целей Ляпуновым был разработан второй метод или прямой метод анализа устойчивости.

Введем в рассмотрение непрерывную функцию   переменных, такую, что  при , , т.е. обращающуюся обязательно в ноль в начале координат.

Если в некоторой области переменных  функция  или , то ее называют знакоопределенной: соответствен положительно определенной или отрицательно определенной. Если функция  сохраняет свой знак, но может обращаться в ноль не только в начале координат, то ее называют знакопостоянной (положительной или отрицательной). Такие функции в дальнейшем будем называть функциями Ляпунова. Примеры функций:  − положительно определенная;  − отрицательно определенная;  − знакопостоянная функция (положительная).

Наконец, функция  называется знакопеременной, если в рассматриваемой области она меняет свой знак. Например, .

Приведем три основные теоремы Ляпунова второго метода.

1. Если для системы уравнений (2.70) существует знакоопределенная функция , производная которой  является знакопостоянной противоположного знака, то решение  устойчиво.

2. Если в предыдущем случае производная  будет знакоопределенной, но противоположного знака, то решение  будет устойчивым асимптотическим.

3. Если для системы уравнений (2.70) существует функция , производная которой  является знакоопределенной функцией, причем в любой сколь угодно малой окрестности начала координат, имеется область, в которой знаки  и  совпадают, то решение  системы (2.70) неустойчиво.

Отметим, что приведенные в теоремах условия являются только лишь достаточными и эффективность их будет зависеть от выбранной функции Ляпунова . Не существует в общем случае методик выбора функций Ляпунова, дающих необходимые и достаточные условия.

Довольно часто в качестве функций Ляпунова используют квадратичные формы, для которых, используя известные критерии, можно сравнительно легко определять их знак.

2.7.3. Абсолютная устойчивость

Рассмотрим понятие абсолютной устойчивости применительно к структуре нелинейной системы рис. 2.2.

Уравнения, описывающие поведение системы при  имеют в соответствии с [8] вид

 (2.72)

Будем полагать, что , тогда уравнения имеют тривиальное решение , , , т.е. в системе существует положение равновесия, устойчивость которого будем исследовать.

Если положение равновесия системы (2.72) асимптотически устойчиво в целом при любом виде функции  из заданного класса, то САУ называется абсолютно устойчивой в этом классе.

Будем рассматривать класс функций , удовлетворяющих секторным ограничениям, т.е. с характеристикой , построенной на плоскости , которая полностью укладывается в угловом секторе, образованном двумя прямыми  и , .

Итак, рассматривается класс нелинейных функций, удовлетворяющих условиям

 для , . (2.73)

При этом вид функции  неизвестен, а нелинейность будет относиться к классу . Возможны также дополнительные ограничения, например, функция  должна быть непрерывной или другие.

Из класса (2.73) выделяют два подкласса:  и , .

Анализ абсолютной устойчивости возможен с помощью функций Ляпунова, а также частотных критериев абсолютной устойчивости. Рассмотрим последние как наиболее практичные.

Круговой критерий устойчивости.

Для нелинейностей из класса  достаточным условием абсолютной устойчивости является выполнение неравенства

, (2.74)

где , ,  − АФЧХ линейной части системы (рис. 2.2).

Неравенство (2.74) определяет область на комплексной плоскости, в которой должна лежать АФЧХ линейной части системы, чтобы нелинейная система была абсолютно устойчива.

Заменяя в (2.74) знак неравенства на знак равенства, получим границу этой области. Это будет уравнение окружности с центром на вещественной оси в точке  и проходящей через точки  и  на оси . Неравенство (2.74) требует, чтобы АФЧХ при всех  располагалась вне круга, ограниченного этой окружностью. На рис. 2.20 приведены запретные области (заштрихованные) для характеристики  и характеристики .

Рис. 2.20

В [4] даются более подробные случаи для разных классов .

Вторым распространенным частотным критерием является критерий В.М. Попова. Рассмотрим его формулировку для класса нелинейных характеристик : система будет абсолютно устойчивой для нелинейностей из класса , если через точку  можно провести прямую так, что она не пересечет модифицированную частотную характеристику (последняя лежит справа от прямой).

В этом критерии под модифицированной частотной характеристикой понимается характеристика , где , .

Рис. 2.21, а удовлетворяет критерию абсолютно устойчивой системы, а рис. 2.21, б при заданном  не удовлетворяет этому критерию.

Рис. 2.21

В заключение отметим, что все критерии абсолютной устойчивости, в том числе частотные, дают только лишь достаточные условия абсолютной устойчивости.

2.8. Коррекция нелинейных систем

При синтезе нелинейных систем кроме классической задачи коррекции САУ по точности, устойчивости, качеству решаются специфические задачи: подавление автоколебаний или организация колебаний с определенными значениями амплитуды и частоты. При этом применяются цепи обратной связи, вибрационное сглаживание, другие методы.

2.8.1. Коррекция нелинейной системы с помощью обратной связи

Рассмотрим метод подавления автоколебаний, основанный на введении обратной связи, охватывающей нелинейный элемент и часть линейной системы (рис. 2.22). Предполагается, что НЭ относится к статическому типу.

Рис. 2.22

Запишем характеристическое уравнение гармонически линеаризованной замкнутой системы:

, (2.75)

где  – гармонически линеаризованный коэффициент усиления нелинейного элемента.

В соответствии с критерием устойчивости Гурвица система третьего порядка будет находиться на границе устойчивости при условии:

. (2.76)

По данному выражению можно построить границу устойчивости системы в области интересующих параметров, задаваясь максимальным значением характеристики нелинейного элемента. Например, для идеального двухпозиционного реле , и тогда максимальное значение , соответствующее границе устойчивости НСАУ, войдет в соотношения:

, . (2.77)

Из (2.77) при известных значениях, например,  находятся предельные значения  и . Для обеспечения устойчивости НСАУ значения  и  должны быть выбраны так, чтобы они попали в область, соответствующую отсутствию автоколебаний.

2.8.2. Коррекция нелинейной системы с помощью вибрационного сглаживания

Вибрационное сглаживание (вибрационная линеаризация) применяется для подавления автоколебаний и устранения влияния нелинейностей типа люфт, зона насыщения, реле и др.

Пусть на вход НЭ (рис. 2.23) подан дополнительный сигнал , причем медленно меняющаяся составляющая  удовлетворяет условию, а частота  находится за полосой пропускания линейного звена .

Рис. 2.23

Сигнал на выходе НЭ содержит две составляющих

,  (2.78)

где постоянная составляющая (функция смещения), например, для идеального двухпозиционного реле

. (2.79)

Зависимость (2.79) имеет вид, приведенный на рис. 2.24. При малых значениях  – это линейная зависимость , где .

Для указанного НЭ

.

Рис. 2.24

Однако в силу принятых допущений  не пропускает гармонику, т.е. колебания локализируются во внутреннем контуре. Так осуществляется вибрационное сглаживание.

При этом частота дополнительного сигнала, как отмечалось ранее, , где  – полоса пропускания линейного звена , а амплитуда  должна выбираться из условия . Дополнительный сигнал вводят, применяя специальный генератор синусоидальных колебаний, либо организуя собственные колебания путем введения местной гибкой отрицательной обратной связи.

В зависимости от структуры системы и типа нелинейных элементов применяются и другие способы построения регуляторов.


3. Случайные процессы в системах автоматического управления

3.1. Случайные процессы и их характеристики

Прежде чем дать определение случайного процесса напомним основные понятия из теории случайных величин. Как известно, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее неизвестное. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Основной характеристикой случайной величины является закон распределения, который может быть задан в виде графика или в аналитической форме. При интегральном законе распределения функция распределения , где  – вероятность того, что текущее значение случайной величины  меньше некоторого значения . При дифференциальном законе распределения используют плотность вероятности . Численными характеристиками случайных величин являются так называемые моменты, из которых наиболее употребительны момент первого порядка – среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и центральный момент второго порядка – дисперсия. В случае, если имеется несколько случайных величин (система случайных величин), вводится понятие корреляционного момента.

Обобщением понятия случайной величины является понятие случайной функции, т.е. функции, которая в результате опыта может принять тот или иной вид, неизвестный заранее. Если аргументом функции является время t, то её называют случайным или стохастическим процессом.

Конкретный вид случайного процесса, полученный в результате опыта, называется реализацией случайного процесса и является обычной неслучайной (детерминированной) функцией. С другой стороны в фиксированный момент времени имеем так называемое сечение случайного процесса в виде случайной величины.

Для описания случайных процессов обобщаются естественным образом понятия теории случайных величин. Для некоторого фиксированного момента времени, случайный процесс  превращается в случайную величину , для которой можно ввести функцию , называемую одномерным законом распределения случайного процесса . Одномерный закон распределения  не является исчерпывающей характеристикой случайного процесса. Он, например, не характеризует корреляцию (связь) между отдельными сечениями случайного процесса. Если взять два разных момента времени  и , можно ввести двумерный закон распределения  и т.д. В пределах нашего дальнейшего рассмотрения будем ограничиваться в основном одномерным и двумерным законами.

Рассмотрим простейшие характеристики случайного процесса, аналогичные числовым характеристикам случайной величины. Математическое ожидание или среднее по множеству

 (3.1)

и дисперсию

 (3.2)

Математическое ожидание  – это некоторая средняя кривая, вокруг которой группируются отдельные реализации случайного процесса, а дисперсия  характеризует в каждый момент времени разброс возможных реализаций. Иногда, используется среднеквадратичное отклонение .

Для характеристики внутренней структуры случайного процесса вводится понятие корреляционной (автокорреляционной) функции

 (3.3)

Наряду с математическим ожиданием (среднее по множеству) (3.1) вводится ещё одна характеристика случайного процесса – среднее значение случайного процесса для отдельной реализации (среднее по времени)

 (3.4)

Для двух случайных процессов можно также ввести понятие взаимной корреляционной функции по аналогии с (3.3).

Одним из частных случаев случайного процесса, находящих широкое применение на практике, является стационарный случайный процесс – это случайный процесс, вероятностные характеристики, которого не зависят от времени. Итак, для стационарного случайного процесса , , а корреляционная функция  зависит от разности , т.е. является функцией одного аргумента .

Стационарный случайный процесс в какой-то мере аналогичен обычным или установившимся процессам в системах управления.

Стационарные случайные процессы обладают интересным свойством, которое называется эргодической гипотезой. Для стационарного случайного процесса всякое среднее по множеству равно среднему по времени. В частности, например,  Это свойство позволяет часто упростить физическое и математическое моделирование систем при случайных воздействиях.

Как известно, при анализе детерминированных сигналов широкое применение находят их спектральные характеристики на базе ряда или интеграла Фурье. Аналогичное понятие можно ввести и для случайных стационарных процессов. Отличие будет заключаться в том, что для случайного процесса амплитуды гармонических составляющих будут случайными, а спектр статического случайного процесса будет описывать распределение дисперсий по различным частотам.

Спектральная плотность стационарного случайного процесса связана с его корреляционной функцией  преобразованиями Фурье :

, (3.5)

, (3.6)

где корреляционную функцию  будем трактовать как оригинал, а    как изображение.

Существуют таблицы, связывающие оригиналы и изображения . Например, если , то .

Отметим связь спектральной плотности и корреляционной функции с дисперсией D

. (3.7)

В заключение рассмотрим свойства “белого шума”. Под белым шумом понимают случайный процесс, спектральная плотность которого постоянна при всех частотах от  до , т.е.  (рис.3.1,а).

Рис. 3.1

Корреляционная функция в соответствии с (3.6)

. (3.8)

График  приведен на рис. 3.1, б.

Пример 3.1. Для стационарного случайного процесса со свойствами белого шума в ограниченной полосе частот от  до  (рис. 3.2, а) определить дисперсию и корреляционную функцию.

На основании (3.7) .

Корреляционная функция в силу (3.6) . Её график изображён на рис. 3.2, б.

Рис. 3.2

В  приводятся графики зависимостей  и  для различных реализаций случайных процессов.

3.2. Прохождение случайных сигналов через линейную непрерывную систему автоматического управления

При анализе САУ со случайными воздействиями необходимо оценить изменения характеристик случайных процессов при прохождении случайных сигналов через динамическую систему. Рассмотрим эту задачу в простейшем варианте, когда имеется сигнал  на входе системы (звена),   на её выходе, а сама система описывается передаточной функцией , т.е. является линейной. Будем полагать, что на входе системы действуют стационарные случайные сигналы с известными характеристиками: математическим ожиданием , дисперсией , корреляционной функцией  и спектральной плотностью .

Далее предположим, что после затухания переходных процессов на выходе системы имеем установившиеся процессы (это предполагает асимптотически устойчивую систему), т.е. процесс на выходе будем считать стационарным случайным процессом. В этом случае основные характеристики стационарного случайного сигнала  на выходе могут быть вычислены по формулам

, (3.9)

, (3.10)

, (3.11)

, (3.12)

где   амплитудно-частотная характеристика (АФЧХ), получаемая из  при .

Для вычисления дисперсии  по выражению (3.12) разработаны специальные методы и таблицы.

Отметим два частных важных случая, когда  является передаточной функцией идеального дифференцирующего звена -го порядка  или идеального интегрирующего звена -го порядка , тогда для первого случая , а для второго .

Рассмотрим анализ замкнутых линейных систем автоматического управления, стандартная структура для которых имеет вид, представленный на рис. 3.3.

Рис.3.3

Переменные ,  и  в области изображений связаны соотношениями

, (3.13)

, (3.14)

где главная передаточная функция замкнутой системы ;

передаточная функция замкнутой систем по возмущению ; передаточная функция замкнутой системы по ошибке ;

передаточная функция разомкнутой системы .

По передаточным функциям несложно найти АЧХ как ,  и . Полагая входной сигнал  и возмущение  случайными стационарными процессами и задавая их характеристики , , , , , , ,  по формулам (3.9) – (3.12) можно получить характеристики случайных сигналов  и . При этом следует различать два случая, когда случайные сигналы  и  не коррелированны между собой и когда они коррелированны.

Если случайные сигналы некоррелированные, то, например, для первого соотношения (3.13) получим

 , (3.15)

 , (3.16)

. (3.17)

Аналогично можно получить характеристики случайного сигнала ошибки .

В случае коррелированных случайных сигналов  и  следует дополнительно знать их взаимные корреляционные функции  и , а также взаимные спектральные плотности  и . При этом, например, в (3.17) появятся ещё два слагаемые, соответствующие спектральным плотностям  и  [6].

Приведенное выше касается вопросов анализа САУ, т.е. определения характеристик случайных процессов в самой системе при заданных структуре системы (рис. 3.3), передаточных функциях ,  и характеристиках случайных сигналов  и . Теоретически эта задача решается с использованием изложенных аналитических методов.

3.3. Расчёт точности системы при случайных воздействиях

Рассмотрим расчёт среднеквадратичной ошибки на примере системы, структурная схема которой имеет вид, изображённый на рис. 3.4.

 

Рис. 3.4

Пусть на вход системы поступают регулярный сигнал  и помеха  типа “белый шум” со спектральной плотностью . Параметры передаточной функции:  1/с, с.

Необходимо определить среднеквадратичную ошибку. Средний квадрат ошибки , где  - квадрат регулярной составляющей ошибки, а   средний квадрат случайной составляющей ошибки.

Составляющая находится по известной формуле: .

Коэффициенты ошибок  определяются при разложении в ряд Маклорена передаточной функции системы по ошибке . В нашем случае .

Так как , то надо вычислить лишь первую производную .

Следовательно . При учёте численных значений , а .

Определим среднее значение квадрата случайной составляющей . Как показано в

. (3.18)

Для преодоления трудностей при вычислении интеграла (3.18), его представляют в виде:

, (3.19)

где ; .

Формулы для вычисления интегралов по коэффициентам  и  для соответствующих значений  сведены в таблицы. Приведём их для  от 1 до 3 :

;  ;

;  ;

;  .

В нашем случае ; ; . Коэффициенты: , , , , . Интеграл .

Среднеквадратичная ошибка . С учётом численных значений .

3.4. Особенности синтеза систем автоматического управления

При синтезе систем со случайными воздействиями решается задача определения динамических характеристик системы, наилучшим образом обеспечивающих выполнение определённого статистического критерия оптимальности. Наиболее часто применяется критерий минимума среднеквадратичной ошибки системы. В простейшем случае, когда на систему воздействуют некоррелированные стационарные полезный сигнал  и помеха , среднее значение квадрата ошибки .

Графики зависимости составляющих ошибки от коэффициента передачи разомкнутой системы (рис. 3.3) могут иметь вид, изображенный на рис. 3.5 .

 

Рис. 3.5

Этот рисунок показывает, что ошибка системы по входному воздействию уменьшается с увеличением , но при этом расчёт ошибка от возмущения. Поэтому при одновременном воздействии на систему полезного сигнала и помехи необходимо находить оптимальное значение параметра, например , доставляющего ошибке минимальное значение .

При синтезе САУ возможны два вида задач: синтез при заданной структуре системы и синтез при произвольной структуре системы.

При решении первой задачи задаются структура системы, её передаточная функция, статистические характеристики полезного сигнала и помехи. Находятся оптимальные параметры регулятора (коэффициент передачи, постоянные времени), при которых обеспечивается минимум среднеквадратичной ошибки.

Задача решается так: находится средний квадрат ошибки , аналогично рассмотренному в подразделе 3.3; далее дифференцируют  по  интересующим параметрам и приравнивают нулю эти частные производные; решая систему из  уравнений, находят оптимальные значения этих параметров.

Для рассмотренного примера ; ; ; ; .

В случае синтеза САУ при её произвольной структуре чаще всего рассматривают приложение воздействий к одной точке (рис. 3.6) .

 

Рис. 3.6

На этой схеме   передаточная функция эталонной модели,   искомая передаточная функция замкнутой системы, обеспечивающая минимум среднему значению квадрата суммарной ошибки :

.

При этом заданными считаются , статистические характеристики полезного сигнала  и помехи .

Как показано в ,

, (3.20)

где  и   соответственно спектральные плотности полезного сигнала и помехи.

Однако частотную передаточную функцию (3.19) практически реализовать невозможно [4]. Для реализации функции, близкой к оптимальной, разлагают  на комплексные множители:

, (3.21)

где   функция, все нули и полюсы которой лежат в верхней полуплоскости комплексной переменной , а   функция, комплексно-сопряжённая с , все нули и полюсы которой лежат в нижней полуплоскости переменной . Эту операцию называют “факторизацией”.

Далее осуществляют операцию “расщепления”, т.е. разделение  на реализуемые и нереализуемые части:

, (3.22)

где реализуемая часть обозначена знаком “+”, а нереализуемая знаком “−”. К нереализуемой части относят члены, содержащие звенья, у которых есть правые полюсы.

Нереализуемую часть отбрасывают. Близкая к оптимальной реализуемая частотная передаточная функция системы

. (3.23)

Заменяя в (3.23)  на , окончательно получают передаточную функцию замкнутой системы , из которой можно получить передаточную функцию разомкнутой системы  и выбрать её элементы.

3.5. Случайные процессы в импульсных системах

Будем рассматривать стационарные эргодические случайные дискретные (решётчатые) процессы  как совокупность решётчатых реализаций . Здесь решётчатая реализация  понимается как последовательность ординат, совпадающих с соответствующими значениями непрерывной реализации  в дискретные моменты времени , где  - период квантования (дискретизации).

По аналогии с непрерывными системами вводятся статистические характеристики импульсных систем [4].

Среднее значение (математическое ожидание)

, (3.24)

где  - реализация дискретного процесса.

Дисперсия дискретного случайного процесса

. (3.25)

Корреляционная функция

, (3.26)

где  − дискретные значения относительного времени.

При наличии двух случайных процессов вводят взаимную корреляционную функцию.

Спектральная плотность дискретного случайного процесса

, (3.27)

где  − относительная частота.

Спектральная плотность  дискретного случайного процесса связана со спектральной плотностью  соответствующего непрерывного случайного процесса формулой:

. (3.28)

Спектральная плотность и корреляционная функция связаны с дисперсией:

. (3.29)

Расчёт импульсных систем при случайных воздействиях аналогичен расчёту непрерывных систем с учётом дискретных статистических характеристик. Чаще всего оценивают среднее значение квадрата дискретной ошибки. Если на вход импульсной системы поступают некоррелированные стационарные полезный сигнал  и помеха , то спектральная плотность дискретной случайной ошибки

, (3.30)

где  и  - частотные передаточные замкнутой импульсной функции системы по ошибке и замкнутой системы, а  и  − дискретные спектральные плотности полезного сигнала и помехи.

Среднее значение квадрата дискретной ошибки

, (3.31)

где  - регулярная составляющая ошибки, а  - дисперсия ошибки.

Поскольку вычисления, связанные с оптимизационными задачами, громоздки, то эти исследования целесообразно проводить с помощью компьютерного моделирования.

3.6. Случайные процессы в нелинейных системах

Нелинейные элементы искажают входные случайные сигналы. В связи с тем, что в НСАУ не применим принцип суперпозиции, при одновременном поступлении полезного сигнала и помехи влияние последней может существенно ослабить действие полезного сигнала и ухудшить качество функционирования системы. Поскольку общие точные методы исследования НСАУ со случайными воздействиями отсутствуют, прибегают к статистической линеаризации нелинейных элементов, что позволяет затем использовать известные методы расчёта линейных систем.

Рассмотрим кратко метод статистической линеаризации. Он основан на замене нелинейных преобразований статистически эквивалентными преобразованиями. На рис. 3.7 изображены нелинейный (НЭ) и линейный (ЛЭ) элементы.

 

Рис. 3.7

Процессы на входе и на выходе НЭ представляют в виде:

 (3.32)

где  и  − математические ожидания, а  и  − центрированные (у которых матожидание равно 0) составляющие процессов  и .

При статистической линеаризации нелинейное преобразование  заменяют линейным вида:

. (3.33)

Коэффициенты  и  выбираются так, чтобы выполнялись определённые критерии статистической эквивалентности нелинейного и линейного преобразований.

Первый критерий заключается в равенстве математических ожиданий и дисперсий процессов на выходе НЭ и ЛЭ. Второй связан с минимизацией среднего квадрата разности процессов на выходе этих элементов.

На основании первого критерия

, (3.34)

. (3.35)

Здесь  соответствует первому критерию эквивалентности.

По второму критерию

. (3.36)

После преобразований уравнения (3.36) с учётом (3.32) и (3.33) и исследования на

, (3.37)

. (3.38)

Из сопоставления выражений (3.37) и (3.34), а также (3.38) и (3.35) следует, что коэффициенты , найденные по различным критериям, совпадают а   различаются.

Для получения достоверных результатов принимают

. (3.39)

Следует заметить, что коэффициенты линеаризации зависят от закона распределения . Он обычно неизвестен. Как правило, при расчётах его полагают нормальным. Кроме того, коэффициенты  и  для типовых нелинейностей можно рассчитать предварительно.

При расчётах статистически линеаризованной нелинейной системы исходная одноконтурная система заменяется эквивалентной двухконтурной (рис. 3.8) [4].

 

Рис. 3.8

Задающими воздействиями являются для верхнего канала математическое ожидание , а для нижнего центрированная случайная составляющая входного сигнала . Входной сигнал может быть линейной комбинацией полезного сигнала и помехи. Здесь   передаточная функция линейной части системы.

Для верхнего канала записывают уравнение по теореме о предельном значении функции:

, (3.40)

а для нижнего канала – уравнение для :

. (3.41)

Решая систему (3.40) и (3.41), находят  и .

Конкретные примеры исследования статистически линеаризованных НСАУ рассматриваются в [4, 8].


4. Элементы современной теории автоматического управления

Классическая теория автоматического управления рассматривает широкий класс систем, их статические и динамические характеристики, методы анализа и синтеза применительно к управлению “в малом”. При таком подходе считается, что известны свойства и параметры объекта, режимы технологического процесса и, зачастую, структура системы. Определение программы управления связано, как правило, с разрешением противоречий между устойчивостью и качеством системы.

В последние десятилетия усилия исследователей все больше направляются на управление “в большом”, т.е. при существенных изменениях параметров объекта управления и внешних воздействий, а также на управление при неполной информации о технологическом процессе. При этом возникают задачи оценивания характеристик и параметров в процессе эксплуатации системы в реальном времени, что требует применения  новейших информационных технологий. Кроме того, приходится обеспечивать так называемую живучесть системы при ее реконфигурации.

4.1. Оптимальное управление

При создании оптимальных систем все чаще используется адаптивное управление. Укрупненная структура такой адаптивной оптимальной системы может быть реализована на основе самоорганизующегося оптимального регулятора с экстраполяцией [8].В такой системе осуществляется адаптивное управление при заранее неизвестной структуре объекта за счет применения наблюдателей в виде фильтра Калмана-Бьюси, устройств экстраполяции и блока нахождения модели. При этом применяется неклассический обобщенный функционал, учитывающий затраты на синтезируемое управление и на оптимальное управление.

Современным  направлением является создание синергетических оптимальных систем. Под синергетикой понимают совместные действия различных динамических систем [8].Основные положения этой теории состоят в том, что в фазовом пространстве образуются аттракторы (инвариантные многообразия),объединяющие макропеременные ,к  которым притягиваются траектории системы. Примером такого аттрактора в оптимальной по быстродействию системе второго порядка является линия переключения . Правильным выбором макропеременных можно обеспечить высокие качественные показатели системы при значительных отклонениях изображающей точки фазового пространства от наперед заданных значений.

4.2 Интеллектуальные САУ

Большой класс современных систем составляют интеллектуальные САУ. Под интеллектуальной системой понимают [8, 9] объединённую информационной технологией совокупность технических средств и программного обеспечения, функционирующую во взаимосвязи с человеком или автономно, способную на основе соответствующих знаний при наличии мотивации синтезировать цель, вырабатывать решения и находить рациональные способы достижения цели.

Структурная схема интеллектуальной системы [9] представлена на рис. 4.1.

Рис. 4.1

Эта структура инвариантна к объекту управления. Однако, для её реализации необходимо решить ряд проблем, разработать новые подходы и методы, математические модели протекающих  технологических процессов.

К настоящему времени выделились четыре интеллектуальных технологии [8]: экспертных систем; нейросетевых структур; ассоциативной памяти; нечёткой логики.

4.2.1. Экспертные информационные системы

Такие системы могут создаваться по схемам построения адаптивных систем. Наиболее приемлемой является схема с эталонной моделью. Функционирование динамической структурной экспертной системы происходит в несколько этапов. На первом осуществляется проектирование системы управления, включающее выбор структуры модели объекта, идентификацию его параметров, определение закона управления, синтез и предварительную настройку параметров этого закона. На втором этапе производится обучение системы, отсеиваются отклонения от заданных режимов, формируются данные о взаимосвязи параметров среды с параметрами системы и её модели. На третьем этапе реализуется управление на основе сопоставления имеющейся теоретической информации, полученной на предыдущих этапах, с реальными данными от датчиков о состоянии объекта управления и внешней среды.

Важнейшей составляющей экспертной системы является база знаний об идентификации объекта и синтезе алгоритмов управления. При идентификации объекта используются частотные, статистические и другие подходы. Для создания базы данных о синтезе алгоритмов управления применяют различные критерии: интегральный квадратичный, максимальной степени устойчивости, с использованием показателей качества системы в переходном режиме и т.п. В случае нелинейных алгоритмов рассматриваются методы Ляпунова и Лагранжа.

4.2.2. Нейросетевые САУ

Нейросетевые технологии в интеллектуальных системах позволяют решать ряд задач в управлении, когда информация об объекте неполная и неточная [9]. В таких случаях мощные традиционные информационные средства, такие как система моделирования Matlab + Simulik, не дают нужного результата. Так как искусственные нейронные сети строятся на принципах биологических сетей, то они обладают важными свойствами последних, склонны к обучению и обобщению. За счёт распараллеливания информации они обладают высоким быстродействием. Схема искусственного нейрона приведена на рис. 4.2.

Рис. 4.2

На нейрон подаются сигналы , после умножения на свой вес  они суммируются. Сигнал  модифицируется специальной функцией  так, что выходной сигнал нейрона [9]

. (4.1)

В интеллектуальных системах наибольшее распространение получила многослойная сеть прямого распространения (рис. 4.3). На этой схеме прямоугольниками показаны отдельные нейроны.

Рис. 4.3

В такой сети скрытых слоёв может быть несколько. Число нейронов во входном и выходном слоях определяется количеством входных и выходных координат. Число нейронов в скрытых слоях подбирается опытным путём.

При обучении сети решается ряд задач по коррекции весовых коэффициентов отдельных нейронов. Некоторые подходы изложены в [9].

Наиболее предпочтительная область применения нейронных сетей – распознавание образов. Возможно их использование в системах управления производственными объектами [9].

4.2.3. САУ с ассоциативной памятью

В системах управления может быть организована и использована ассоциативная память. Ассоциативная память – это средство хранения информации на основе ассоциации, т.е. её извлечение по сочетанию определённых признаков.

Различают [8] пирамидальную (иерархическую), матричную и самоорганизующуюся память.

Пирамидальная память осуществляет классификацию входного информационного вектора по одному признаку, затем по-другому и так до тех пор, пока все признаки не совпадут с какой-либо классификационной группой.

Матричная память – это один уровень пирамидальной  ассоциативной памяти. Она реализуется на логических элементах и нейросетях.

Самоорганизующаяся память хранит информацию в виде аттракторов, на один из которых выходит система.

Интеллектуальные системы с ассоциативной памятью могут работать в условиях предсказуемой и непредсказуемой неопределённости. В первом случае обучение системы происходит автоматически, поскольку известна заранее информация о поле, в котором меняются координаты объекта управления. Во втором случае в процессе первичного обучения участвует оператор. После того, как произведено первичное обучение, ассоциативная память заменяет человека и далее осуществляется автоматическая подстройка структуры и параметров объекта управления. При использовании ассоциативной памяти уменьшается её объём и повышается быстродействие системы в целом.

4.2.4. Системы управления с нечёткой логикой

Рассмотрим особенности систем управления с нечёткой логикой [8, 9]. Системы с нечёткой логикой (Fussy-Logic) создают для управления сложными трудно формализуемыми и слабо структурированными процессами. При этом используется опыт специалистов-экспертов.

К основным понятиям фаззи-логики относятся нечёткое множество и лингвистическая переменная.

Под нечётким множеством  понимают подмножество  множества , которое определяется непрерывной функцией принадлежности  могущей принимать значения от 0 до 1. Нечеткое множество  может задаваться так:

. (4.2)

Лингвистическая переменная – это переменная, которая задаётся нечёткими словами или предложениями. Отдельное лингвистическое значение (терм) определяется одной функцией принадлежности. Для описания лингвистических переменных в ТАУ может применяться набор до семи термов, созданных словами: отрицательный (negative), нулевой (zero), положительный (positive), большой (big), средний (middle), малый (small), изображённых треугольными и трапецеидальными функциями принадлежности на рис. 4.4.

Рис. 4.4

Минимальный набор термов – три: N, ZE, P, но при этом осуществляется грубая декомпозиция входного пространства на подмножества.

Процедуру определения значения функции принадлежности , соответствующего конкретному значению  переменной , называют фаззификацией. Другими словами: под фаззификацией понимают преобразование чётких значений переменных в нечёткие.

Операции с нечёткими множествами используют известные в алгебре чёткой логики операции «И», «ИЛИ», «НЕ» с той разницей, что вместо истинности переменных (0 и 1) применяют функции принадлежности.

Операция конъюнкция («И») осуществляется с помощью минимизации:

 (4.3)

где нечёткое множество  называется фаззи-пересечением нечётких множеств  и :

. (4.4)

Операция дизъюнкции («ИЛИ») осуществляется с помощью максимизации:

, (4.5)

где нечётное множество   фаззи-объединение нечётких множеств  и :

. (4.6)

На рис. 4.5, а показана функция принадлежности фаззи-пересечения множеств ZE и P, а на рис. 4.5, б – функция принадлежности фаззи-объединения этих множеств.

Рис. 4.5

Важнейшей операцией фаззи-логики является операция нечёткого вывода. Она основана на ряде композиционных операторов. Рассмотрим операцию импликации (связывания). Она заключается в соединении двух нечётких множеств  и  по правилу «ЕСЛИ  ТО », причём множества  (посылка) и  (заключение) определены на разных базисных множествах  и .

Множество, соответствующее правилу «ЕСЛИ  ТО », образуется из пар , относящихся к новому базисному множеству

. (4.7)

Связь между множествами  и  устанавливается с помощью отношения

, (4.8)

где   функция принадлежности пар  из декартова произведения  к подмножеству, образованному по определённому правилу .

Функцию принадлежности  можно определить с помощью операции минимизации:

. (4.9)

Функцию принадлежности  при конкретном значении  можно определить двумя способами:

, (4.10)

. (4.11)

Рис. 4.6 иллюстрирует эти случаи: трапеция 1 соответствует формуле (4.10), а треугольник 2-формуле (4.11).

Рис. 4.6

Нечёткое множество  может представлять также пересечение или объединение нескольких множеств.

Рассмотри следующую операцию агрегирование, т.е. композицию нескольких правил «ЕСЛИ  ТО », связанных через «ИЛИ». Оно осуществляется максимизацией функций принадлежности всех объединённых правил.

Результирующая функция принадлежности нечёткого множества  величины  при .

, (4.12)

где  - номер правила; - функция принадлежности заключения  -го правила, ограниченная значением (рис. 4.6);  и   функции принадлежности соответственно посылки и заключения -го правила.

Для определения конкретных значений  по полученной результирующей функции принадлежности (4.12) проводится дефаззификация. Дефаззификация преобразует нечёткие величины в чёткие. В настоящее время при дефаззификации чаще всего используют два метода: метод центра тяжести и метод максимума [9].

В первом случае чёткое значение выходной переменной

, (4.13)

а для дискретных пространств

. (4.14)

Во втором случае (метод максимума)

, (4.15)

где   выходная переменная, для которой функция принадлежности достигла максимума, а   число таких величин.

Из этих двух методов первый даёт приемлемые результаты для установившихся режимов, а второй для переходных режимов [9].

Простейшие примеры реализации основных процедур фаззи-логики применительно к нечётким системам управления приведены в [8, 9].

В настоящее время в теории систем управления развиваются и другие подходы. Среди них выделяются теории катастроф и детерминированного хаоса.

Теория катастроф основана на объединении теории гладких отображений и теории устойчивости и бифуркаций динамических систем. Теория катастроф изучает зависимость качественного характера решения уравнений от значений параметров этих уравнений. Применительно к САУ на основании теории катастроф можно исследовать, например, потерю устойчивости при постепенном изменении какого-либо параметра, когда возникают бифуркации. Такой пример с исследованием летательного аппарата приводится в [9].

В нелинейных системах возможен режим хаотической динамики, когда траектории систем сильно зависят от начальных условий. Такие режимы возможны в механических системах с зазорами, трением скольжения, нелинейными обратными связями. Основами теории хаоса является так называемое логистическое уравнение и странный аттрактор (внутри которых нельзя предугадать поведение траекторий на длительный интервал). Изучение таких режимов позволяет глубже понять процессы в НСАУ и научно обосновать законы управления ими.

Для глубокого изучения методов современной теории автоматического управления могут быть использованы упомянутые книги.


Литература

  1.  Теория автоматического управления. Конспект лекций. В 2 ч. Ч. 1 : Линейные непрерывные системы : учеб.-метод. пособие / В. П. Кузнецов,
    С. В. Лукьянец, М. А. Крупская. – Минск : БГУИР, 2007. – 132 с.
  2.  Кузнецов, В. П. Линейные непрерывные системы : тексты лекций по курсу «Теория автоматического управления» для студ. спец. «Автоматика и управление в технических системах» / В. П. Кузнецов. – Минск: БГУИР, 1995. – 180 с.
  3.  Иванов, В. А. Теория дискретных систем автоматического управления. / В. А. Иванов, А. С. Ющенко. – М.: Наука, 1983. – 336 с.
  4.  Теория автоматического управления в 2 частях. / Под ред. А. А. Воронова. – М.: Высш. шк., 1986. Ч.1 – 362 с. Ч.2. – 382 с.
  5.  Кузнецов, В. П. Линейные импульсные системы : математическое описание : тексты лекций по курсу «Теория автоматического управления» для студентов специальности «Автоматика и управление в технических системах» / В. П. Кузнецов. – Минск : БГУИР, 1996. – 70 с.
  6.  Бесекерский, В. А. Теория автоматического управления / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. – СПб. : Профессия, 2004. – 752 с.
  7.  Попов, Е. П. Теория нелинейных систем автоматического управления/ Е. П. Попов. – М.: Наука, 1979. – 256 с.
  8.  Теория автоматического управления : учеб. пособие / М. М. Савин, В. С. Елсуков, О. Н. Пятина; под ред. В. И. Лачина. – Ростов н/Д: Феникс, 2007. – 469 с.
  9.  Методы классической и современной теории автоматического управления : учебник в 5 т. / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. – М. : Изд-во МГТУ, 2004. Т. 5 – 784 с.

PAGE  119


Нелинейное

звено

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Логическое устройство


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49083. Шестипольный полевой севооборот в отделении совхоза Калининской области 1.31 MB
  Производственные показатели для составления системы применения удобрений. Выход навоза заготовка хранение и технология внесения органических удобрений. Технология внесения органических удобрений на примере одного поля. Составление системы применения удобрений на планируемый урожай при освоении севооборота18 4.
49084. Сущность демократической формы организации и осуществления власти 64 KB
  Проблема понимания демократии сейчас по-настоящему актуальна. В связи с провозглашением большинства политических систем современных государств демократическими, данным словом постоянно оперируют лица, связанные с политикой
49085. ТЕХНОЛОГИЯ РАЗРАБОТКИ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ УЧЕТА ЗАПАСНЫХ ЧАСТЕЙ ДЛЯ ТЯЖЕЛОЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОЙ ТЕХНИКИ НА СКЛАДЕ 528.5 KB
  Задача автоматизированных информационных систем состоит в хранении всех представляющих интерес данных в одном или нескольких местах причем таким способом который заведомо исключает ненужную избыточность. Создание автоматизированных информационных систем преследует две основные цели: понизить избыточность данных и повысить их надежность. Между собственно физической базой данных и пользователями системы располагается уровень программного обеспечения именно это и подразумевается под понятием СУБД. Основная задача СУБД – дать пользователю базы...
49086. Анализ задач и функций СЗИ предприятия 156.5 KB
  В результате работы были найдены оптимальные программы для обеспечения конфиденциальности информации государственной коммерческой персональной путем шифрования дисков и файлов. Анализ функций СЗИ предприятия Заключение Список использованных источников Обозначения и сокращения СЗИ система защиты информации КСЗИ комплексная система защиты информации АС автоматизированные системы ПЭМИ побочные электромагнитные излучения Введение Принятие решений во всех сферах жизнедеятельности предприятия или организации все в большей степени...
49088. Разработка технологического процесса изготовления детали по чертежу 470.5 KB
  Курсовая работа по дисциплине Технология конструкционных материалов на тему Разработка технологического процесса изготовления детали. В курсовой работе был разработан технологический процесс изготовления детали по чертежу. Был выбран самый...
49090. МОИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О КАЧЕСТВАХ И ЦЕННОСТЯХ БУДУЩЕГО КОНКУРЕНТОСПОСПОСОБНОГО ЭКОНОМИСТА 69.46 KB
  Определить влияние на развитие личности человека таких социальных и факторов и врожденных качеств как конкуренция в социальной среде, врожденных особенностей и т.д. В ходе тестового анализа определить какими же качествами обладаю лично я, т.е. определить свой уровень агрессивности и конфликтности, уровень креативности, определить, какие символические ценности для меня превыше всего и т.д...
49091. Направления повышения прибыли и рентабельности ОАО Электроавтомат 246 KB
  Теоретикометодологические основы понятия прибыли и рентабельности организации. Анализ прибыли и рентабельности ОАО Электроавтомат. Направления повышения прибыли и рентабельности ОАО Электроавтомат. Целью исследования является аналитическое использование прибыли и рентабельности предприятия.