48596

Сокращение трудоемкости статистического моделирования

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

При использовании рациональной схемы статистического моделирования обеспечить снижение требуемого количества опытов по сравнению со стандартной схемой не менее чем в 10 раз.2 с учетом статистической независимости k и определим искомую характеристику: Математическое ожидание выходного процесса определяется с учетом решения Дисперсия выходного процесса определяется с помощью уже найденного выше математического ожидания по формуле Используя полученное аналитически значение дисперсии...

Русский

2013-12-12

308 KB

26 чел.

БАЛТИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "ВОЕНМЕХ"

им.  Д. Ф.  УСТИНОВА

КУРСОВАЯ  работа

по учебной дисциплине __ Стохастические системы управления_____________________________

на тему _ Сокращение трудоемкости статистического моделирования _________________________

студента __________Барышникова        Василия   Игоревича _________________________________

                                                Фамилия ,                             Имя ,            Отчество        студента

группы ______И341_____

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2008  г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………………..3

Основная часть……………………………………………………………………...4

  1.  Аналитическое решение………………………………………………………..4

2.  Стандартная схема статистического моделирования………………………...6

  1.  Метод выделения главной части…………….…………………………………8

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………………..11

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………………………12

ПРИЛОЖЕНИЯ ………………………………………………………………………....13

  1.  Приложение 1 ………………………………………………………………....13
  2.  Приложение 2 ………………………………………………………………....16


ВВЕДЕНИЕ

Требуется определить математическое ожидание выходного сигнала X неустойчивого апериодического звена в заданный момент времени T. Модель звена:

, ,

содержит случайные параметры с равномерным законом распределения в заданных интервалах.

Допустимая абсолютная погрешность .

Задачу решить тремя способами:

  •  используя стандартную схему статистического моделирования;
  •  используя рациональную схему статистического моделирования с применением комбинированного метода сокращения трудоемкости;
  •  аналитически.

Результаты аналитического решения использовать для проверки результатов статистического моделирования и для обоснования построения рациональной схемы моделирования.

При использовании рациональной схемы статистического моделирования обеспечить снижение требуемого количества опытов по сравнению со стандартной схемой не менее чем в 10 раз.

Исходные данные (Вариант 1):

;

;

;

;

.


ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1 Аналитическое решение

  В соответствии с заданием необходимо решить дифференциальное уравнение:

, ,                                        (1)

где g = G( t ),

X(0) = A.       

Сначала найдем решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

 Подставим полученное решение однородного дифференциального уравнения (1):

 

Найдем С1 из условия X(0) = A:

В результате имеем:

Решение исходного дифференциального уравнения (1) имеет вид:

,                                                     (2)

Где где  a – случайный параметр, распределенный по равномерному закону в интервале [0.5;1.1],


k - случайный параметр, распределенный по равномерному закону в интервале [0.6;1],

  Для Т=1.2 с учетом статистической независимости k и a определим искомую характеристику:

   Математическое ожидание  выходного процесса определяется с учетом решения (2) [1]:

            (3)

Дисперсия  выходного процесса определяется с помощью уже найденного выше математического ожидания по формуле (3) [1]:

 (4)

Используя полученное аналитически значение дисперсии можно оценить требуемое количество опытов, которое необходимо было бы провести при решении методом статистического моделирования [1]:

,                                                          (5)

где параметр  принят равным 3 (при доверительной вероятности Рд=0,997.

Подставляя в формулу (5) значение, полученное по формуле (4), получим требуемое значение опытов :


2 Стандартная схема статистического моделирования

Поставленная задача решалась с использованием итерационного алгоритма статистического моделирования [1]. Данный алгоритм включает в себя следующие действия:

1. Проведение начальной серии опытов объемом N>=100, накопление сумм и вычисление оценок математического ожидания m*x и дисперсии D*x :

,                                                               (6)

,                                                      (7)

где xi – решение исходного дифференциального уравнения (1), находимое методом Эйлера с шагом h=0.01.

2. Получение оценки требуемого количества опытов:

.                                                           (8)

3. Проверка условия окончания вычислений

.                                                               (9)

4. Проведение дополнительной серии опытов и уточнение оценок математического ожидания m*x и дисперсии D*x , найденных по формулам (6) и (7) в случае невыполнения условия (9):

,                                                     (10)

.                                        (11)

5. Уточнение оценки требуемого количества опытов , найденное по формуле (8) с учетом новых значений математического ожидания и дисперсии, полученных по формулам (10) и (11):

.

6. Повторная проверка условия (9), и, в случае его невыполнения, возврат к пункту 4 для очередного проведения дополнительных серий опытов и уточнения найденных результатов.

Провели начальную серию опытов n = 400. Накопили суммы  и :   Вычислили оценки математического ожидания и дисперсии по (6) и (7):   Получили оценку требуемого количества опытов  по (8):

Так как , то провели дополнительную серию опытов  Для того, чтобы не проводилось лишнее число опытов искусственно уменьшили n в 2 раза. Таким образом,  опытов. Вновь накопили суммы ,  и  уточнили оценки математического ожидания и дисперсии по (9) и (10):    Тогда оценка требуемого количества опытов получилась:  Значение n = 11778+200=11978 опытов.

После данной итерации 11978<21100, следовательно, продолжили выполнение итерационного алгоритма. Получили следующие результаты:

    .

Проверили выполнение условия . Данное условие не выполнилось, так как 21398>21377, следовательно, алгоритм завершил работу.

Окончательные результаты :

 

Дифференциальное уравнение (1) решается численным интегрированием методом Эйлера первого порядка [4] с шагом 0.001. Программа, реализующая итерационный алгоритм, написана в среде Borland Delphi 7 [5]. Текст программы представлен в  Приложении 1.

3.Метод Выделения главной части.

  Требуемое число опытов для решения поставленной задачи с заданной точностью можно уменьшить, если воспользоваться одним из методов снижения трудоемкости статического моделирования. В качестве такого метода рассмотрим метод выделения главной части. [1]

 Решение системы                                                  (12)

которое возможно не может быть найдено аналитически,заменяют приближённым выражением , удобным для аналитических преобразований.

 Вводится новая переменная состояния  и в системе уравнений (12) выполняется замена переменной  на Z путём подстановки:

                                                      (13)

                                                  (14)       

или

,

.

Оценка искомого математического ожидания определяется в виде:

mx=M[Y(t1,V)]+M[Z(t1,V)],                                                                                  (15)

где первое слагаемое может быть найдено аналитически:

,

G - область возможных значений вектора V, а второе слагаемое определяется по методу статистического моделирования на основе многократного решения полученной новой системы уравнений до момента времени t1: , , V (i) - i-я реализация вектора случайных параметров, N - количество решений системы уравнений для различных V (i).

При удачном выборе функции Y(t,V) дисперсия случайной величины Z(t1,V) может оказаться существенно меньше, чем дисперсия X1(t1,V), что и приведет к сокращению требуемого количества опытов.

3.2 Применение метода выделения главной части к решению задачи

Данный метод способствует уменьшению требуемого числа опытов. Приближенное решение уравнения (1) выберем в виде, удобном для аналитических преобразований:

                     (16)

Введём новую перемеренную состояния ,

отсюда

,

.

Выполним в уравнении (1) замену переменной X на Z :

                                 (17)

Получим новое уравнение:

,  (18)

где ,.  (Учитывая, что A=0)

Оценка искомого математического ожидания определяется в виде (15), где первое слагаемое может быть найдено аналитически:

а второе слагаемое определяется по методу статистического моделирования на основе многократного решения полученного нового уравнения (18).

При удачном выборе функции  дисперсия случайной величины  оказывается  существенно меньше, чем дисперсия  что и приведёт к сокращению требуемого количества опытов.

Итак, по схеме итерационного алгоритма статистического моделирования, подробно рассмотренного выше, определим оценку математического ожидания  величины Z.

Таблица  Результаты вычислений

итерации

mz

Dz

Nтреб.

Общее количество опытов

1

-0.2082

0.0138

1238

500

2

-0.2052

0.0136  

1227

700

3

-0.2056

0.0135

1212

900

4

-0.2056

0.0134

1209

1100

В результате, при статистическом моделировании на основе использованного выше алгоритма, получили следующие оценки:

,  ,  

Оценка математического ожидания по (3) равна:

Таким образом, при использовании описанного метода позволило обеспечить снижение требуемого количества опытов по сравнению со стандартной схемой в  раз. Программа, реализующая итерационный алгоритм, написана в среде MATLAB 6.5 [5]. Текст программы представлен в  Приложении 2.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения работы были получены следующие результаты:

  •  определено математическое ожидание выходного сигнала неустойчивого апериодического звена в заданный момент времени, которое при решении задачи разными методами составило:
    •  при решении аналитически ;
    •  при решении прямым методом статистического моделирования  (необходимо провести 21377 опытов);
    •  при решении  методом выделения главной части  (необходимо провести 1209 опытов);
  •  снижена трудоемкость статистического эксперимента в 17.7 раза за счет выбора и проведения исследования упрощенной модели.


СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Емельянов В. Ю. Методы моделирования стохастических систем управления. Учебное пособие. СПб, 2004.

2. Ануфриев И. Е. Самоучитель Matlab 5.3/6.x. СПб: БХВ-Петербург, 2002. 736 с.

3. “Положение о курсовых проектах и курсовых работах на факультете информационных и управляющих систем (общие требования)”.


ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

unit Unit1;

interface

uses

 Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

 Dialogs,StdCtrls, Buttons;

type

 TForm1 = class(TForm)

   Memo1: TMemo;

   Memo2: TMemo;

   Edit1: TEdit;

   Button1: TButton;

   Memo3: TMemo;

   Memo4: TMemo;

   Memo5: TMemo;

   Memo6: TMemo;

   Label1: TLabel;

   Label2: TLabel;

   Label3: TLabel;

   Label4: TLabel;

   Label5: TLabel;

   Label6: TLabel;

   Label7: TLabel;

   procedure Button1Click(Sender: TObject);

 private

   { Private declarations }

 public

   { Public declarations }

 end;

const

   alfa=9;

   h=0.001;

   eps=0.01;

   kk=1200;

var

 Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

 var

 Sx,Sx2,mx,Dx,g,a,x,Sx2n,Sxn,mxn,Dxn,aa,kkk,K:real;

 i,j,ll:integer;

ntreb,nn,n,n1,n2:longint;

flag:boolean;

 begin

Sx:=0;

Sx2:=0;

randomize;

nn:=400;

Memo1.Lines.Clear;

Memo2.Lines.Clear;

Memo3.Lines.Clear;

Memo4.Lines.Clear;

Memo5.Lines.Clear;

Memo6.Lines.Clear;

// Начальная серия опытов

for i:=1 to nn do

   begin

   g:=1;

   a:=random*0.6+0.5;

   k:=random*0.4+0.6 ;

   x:=0;

   for j:=1 to kk do x:=(a*x+1*k*a)*h+x;

   Sx:=Sx+x;

   Sx2:=Sx2+sqr(x);

   end;

mx:=Sx/nn;     // Вычисление оценок МО и Дисперсии

Dx:=Sx2/(nn-1)-sqr(mx);

ntreb:=round(alfa*Dx/sqr(eps));     // Оценка Требуемого количества опытов

Memo1.Lines.Add('Mx='+FloatToStr(mx));

Memo1.Lines.Add('Dx='+FloatToStr(Dx));

Memo5.Lines.Add('ntreb='+FloatToStr(ntreb));

Memo6.Lines.Add('Sx='+FloatToStr(Sx));

Memo6.Lines.Add('Sx2='+FloatToStr(Sx2));

Memo5.Lines.Add('nn='+FloatToStr(nn));

n1:=0;

flag:=true;

// Дополнительная серия опытов

randomize;

while nn<ntreb do

begin

     n1:=ntreb-nn;      // Объём дополнительной серии

     edit1.text:=floattostr(n1);

     if (n1>8500) then n1:=n1 div 2

     else begin

     if n1<7 then n1:=n1*2;end;

     for i:=nn to n1+nn do

     begin

     G:=1;

   a:=random*0.6+0.5;

   k:=random*0.4+0.6 ;

     x:=0;

     for j:=1 to kk do x:=(a*x+1*K*a)*h+x;

     Sx:=Sx+x;

     Sx2:=Sx2+sqr(x);

     end;

Memo2.Lines.Add('n1='+FloatToStr(n1));

mx:=(Sx)/(n1+nn); //

Dx:=(Sx2)/(n1+nn-1)-sqr(mx);

Memo3.Lines.Add('Sxn='+FloatToStr(Sx));

Memo3.Lines.Add('Sx2n='+FloatToStr(Sx2));

Memo2.Lines.Add('mx='+FloatToStr(mx));

Memo2.Lines.Add('Dx='+FloatToStr(Dx));

nn:=n1+nn;

ntreb:=round(alfa*Dx/sqr(eps));  //

Memo4.Lines.Add('nn='+FloatToStr(nn));

Memo4.Lines.Add('ntreb='+FloatToStr(ntreb));

Memo4.Lines.Add('************************');

end; end;

end.

Приложение 2

Функция a.m

function ret = g(t,x);

global A;

global G;

global a;

global k;

Y = (A + k * G )*(1+a*t*2)-k*G;

dY = a*k*2;

ret =  k * a * G + a * x + a * Y - dY;

Скрипт-файл Main.m

clear all;

clc;

global A;

global G;

global a;

global k;

G = 1;

t = 1.2;

A = 0;

array = [500 700 900 1100];

n = 0;

index = 1;

disp('Итерация    М.О.      Дисперсия      Треб. кол-во опытов     Общее кол-во опытов');  

ntr = array(1);

while (n < ntr && index < 5)

   

   nn=array(index);

       

   for i = (n+1):1:nn

       k = unifrnd(0.6, 1.0);

       a = unifrnd(0.5, 1.1);

       

       [T,U] = ode23('g', t, 0);

       tmp = U(size(U));

       x(i) = tmp(1);

   end;

   

   Mx = sum(x) / nn;

   Dx = sum(x .^ 2) / (nn - 1) - Mx ^ 2;

   n = nn;

   ntr = round(9 / 0.0001 * Dx);

   d = [index Mx Dx ntr n];

   fprintf('%5.0f    %8.4f    %8.4f              %5.0f               %5.0f\n',d);    

   index = index + 1;

       

end;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80776. Природоохранительная деятельность судебных органов 29.93 KB
  Высокая степень общественной опасности этого вида правонарушений обусловлена тем что объектом их посягательства является стабильность среды обитания человека а также гарантированное статьей 42 Конституции Российской Федерации право каждого на благоприятную природную среду. Конституция Российской Федерации ст. Особенно важная роль принадлежит Конституционному Суду Российской Федерации разрешающему дела о соответствии федеральных законов нормативных актов Президента РФ законов субъектов Российской Федерации ее Конституции.
80777. Нормативы воздействия на окружающую среду: виды, критерии и порядок определения 31.07 KB
  В числе основных следует назвать Федеральный закон Об охране окружающей среды глава V которого Нормирование в области охраны окружающей среды определяет систему экологических нормативов критерии их установления. В систему экологических нормативов входят: нормативы качества окружающей среды; нормативы предельно допустимого вредного воздействия на состояние окружающей среды; нормативы допустимого изъятия природных ресурсов. Будучи утвержденными специально уполномоченными государственными органами в области природопользования и...
80778. Система экологических нормативов. Нормативы качества окружающей среды: назначение, виды, критерии определения 31.46 KB
  Нормативы качества окружающей среды: назначение виды критерии определения По действующему экологическому законодательству нормативы качества окружающей среды устанавливаются в форме нормативов предельно допустимых концентраций ПДК вредных веществ а также вредных микроорганизмов и других биологических веществ загрязняющих окружающую среду и нормативов предельно допустимых уровней ПДУ вредных физических воздействий на нее. Нормативы качества окружающей среды выполняют ряд функций. Установленные в соответствии с требованиями...
80779. Экологическая сертификация хозяйственной и иной деятельности 32.51 KB
  Подтверждение соответствия осуществляется на основе принципов: доступности информации о порядке осуществления подтверждения соответствия заинтересованным лицам; недопустимости применения обязательного подтверждения соответствия к объектам в отношении которых не установлены требования технических регламентов; установления перечня форм и схем обязательного подтверждения соответствия в отношении определенных видов продукции в соответствующем техническом регламенте; уменьшения сроков осуществления обязательного подтверждения соответствия...
80780. Экологический аудит: понятие, значение, содержание 35.63 KB
  Рассматриваемый вид аудита способствует повышению конкурентоспособности и рентабельности продукции аудируемого предприятия с позиции роста экономической эффективности его хозяйственной и в том числе природоохранной деятельности дает возможность правильно сформировать учетную политику организации способствует эффективному решению вопросов льготного налогообложения при внедрении ресурсосберегающих технологий предотвращению возможных производственных аварий. Федеральный закон Об аудиторской деятельности не содержит дефиниции экологическое...
80781. Понятие, виды и принципы экологической экспертизы 29.8 KB
  Экологическая экспертиза проводится в целях предупреждения возможных неблагоприятных воздействий соответствующей деятельности на окружающую природную среду и связанных с ними социальных экономических и иных последствий реализации объекта экологической экспертизы. Принципы экологической экспертизы Согласно Федеральному закону Об экологической экспертизе такая экспертиза основывается на принципах: презумпции потенциальной экологической опасности любой намечаемой хозяйственной и иной деятельности; обязательности проведения государственной...
80782. Правовое регулирование государственной экологической экспертизы 30.41 KB
  Цели проведения экологической экспертизы: 1 проверка соответствия хозяйственной и иной деятельности экологической безопасности общества; 2 предупреждение возможных неблагоприятных воздействий хозяйственной деятельности на окружающую природную среду и связанных с ними социальных экономических и иных последствий реализации объекта экологической экспертизы; 3 определение допустимости реализации объекта экологической экспертизы. Законодательство РФ об экологической экспертизе: 1 Конституция РФ; 2 Федеральный закон от 23 ноября 1995 г. № 1...
80783. Общественная экологическая экспертиза 30.78 KB
  Вторым нормативным актом в этой области явился Федеральный закон Об экологической экспертизе 1995 г. Общественная экологическая экспертиза организуется и проводится по инициативе граждан и общественных организаций объединений а также по инициативе органов местного самоуправления общественными организациями объединениями основным направлением деятельности которых в соответствии с их уставами является охрана окружающей природной среды в том числе организация и проведение экологической экспертизы и которые зарегистрированы в порядке...
80784. Понятие и роль экономического регулирования в области охраны окружающей среды 30.11 KB
  Прежде всего он направлен на экономическое обеспечение рационального природопользования и охраны окружающей среды. Правовые требования касающиеся экономических мер природопользования и охраны окружающей среды содержатся в ряде законов и подзаконных актов относящихся к экологическому и к иным отраслям российского законодательства. Основные требования в данной области предусмотрены Федеральным законом Об охране окружающей среды .