48644

Расчет структуры полей диалектрического шара в вакууме

Курсовая

Физика

Цель работы – расчет структуры полей диалектрического шара в вакууме, а также в волноводе для приведенных в задании параметров. Метод исследования – метод разделения переменных при интегрировании дифференциальных уравнений для получения аналитических выражений потенциалов и напряженностей полей с последующим построением на ЭВМ структуры этих полей.

Русский

2013-12-22

338.5 KB

2 чел.

РЕФЕРАТ

Объекты исследования—диалектрический шар в вакуумеи прямоугольный волновод с волной Е15.

Цель работы – расчет структуры полей диалектрического шара в вакууме, а также в волноводе для приведенных в задании параметров.

Метод исследования – метод разделения переменных при интегрировании  дифференциальных уравнений для получения аналитических выражений потенциалов и напряженностей полей с последующим построением на ЭВМ структуры этих полей.

Для заданной геометрии и параметров среды получены аналитические выражения значений потенциалов и напряженностей полей диалектрического шара в вакууме, а также  расчетное соотношение для вектора электрической индукции. В случае волны Е15, распространяющейся в прямоугольном волноводе сечением 72 х 34 мм, путем интегрирования волнового уравнения и использования уравнений Максвелла получены соотношения, описывающие поведение поперечных и продольных компонент полей, а также выражения для расчета длины волны в волноводе и эквивалентного сопротивления. Путем применения ЭВМ построены  картины структуры статических полей для переменных полей  волновода. Рассчитано значения вектора электрической индукции для диалектрического шара в точке М и проанализированы полученные для волновода результаты.

    Ключевые слова: ПОЛЕ, ВОЛНА, КОЭФФИЦИЕНТ РАСПРОСТРАНЕНИЯ, КРИТИЧЕСКАЯ ЧАСТОТА, ФАЗОВАЯ И ГРУПОВАЯ СКОРОСТИ.

СОДЕРЖАНИЕ

                                                                                 

Задание на курсовую работу                                                                   1

Реферат                                                                                                      2

Содержание                                                                                                3

Условные обозначения и размерность величин                                     4

Введение                                                                                                    5

  1.  Расчет структуры осесимметричных стационарных

электромагнитных полей                                                                         7

  1.  Расчет структуры переменных электромагнитных полей

в волноводе                                                                                              15

Выводы                                                                                                                   

Перечень ссылок                                                                                                    

Приложение А

Приложение Б

 Условные обозначения и размерность величин

Вид поля,

волны

Величина

Наименование

Обозначение

Единица

Электрическое            поле

Напряженность

электрического

поля

Электрическая

индукция

Электрический

потенциал

Электрическая

постоянная

Абсолютная

диэлектрическая

проницаемость

            E

D

В/м

Кл/м2

В (вольт)

8,8510-12 Ф/м

Ф/м

  Электромагн.

        волна

Длина волны

Критическая

длина волны

волновода

Длина волны в

волноводе

Волновое

сопротивление

Коэффициент

распространения

ZЭ

kp

м

м

     м

Ом

м-1

ВВЕДЕНИЕ

Электромагнитное поле — это вид материи, связанный с изменением и  непрерывным взаимопревращением магнитного и электрического полей и  характеризующийся способностью распространяться в вакууме со скоростью м/сек, способностью силового воздействия на заряженные  частицы, токи и на определенным образом ориентированную поверхность  вещества. Электромагнитное поле в одних случаях характеризуется непрерывным распределением в пространстве, а в других случаях обнаруживает дискретность своей структуры.

   Теория электромагнитного поля представляет собой учение об электрических и магнитных явлениях, о теоретических положениях и законах, которым подчиняются эти явления, и о вытекающих из них методах расчета.

   Изучение видов полей (электростатическое поле, электрическое поле постоянного тока в проводящей среде, магнитное поле постоянного тока, переменное электромагнитное поле) расширяет физические представления о поле, известные из курса физики, способствует более глубокому пониманию процессов, происходящих в электротехнических установках, а также важно с прикладной точки зрения, поскольку оно дает возможность решать многие задачи, имеющие существенное значение не только для теории электрических цепей, но и для решения задач, которые выходят за рамки данного курса и имеют самостоятельное значение.

При изучении переменного электромагнитного поля рассматриваются вопросы излучения электромагнитной энергии, распространения электромагнитных волн в идеальном диэлектрике, в проводящей и полупроводящих средах.

   Изучение всего комплекса вопросов этого раздела также подготавливает к решению многих практических задач, как, например, задач, связанных с высоко-частотным нагревом и закалкой, излучением и канализацией энергии высокой частоты и т. п.    


1. РАСЧЕТ СТРУКТУРЫ СТАЦИОНАРНЫХ      ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ  ПОЛЕЙ

                                 Общее  задание

Осесимметричное тело радиуса R находится в однородном внешнем электрическом поле E0, перпендикулярном к его оси. Заданы материальные характеристики окружающей среды. Получить аналитические выражения для потенциалов и  и для полей Ei и Ee соответственно внутри и вне тела. Для заданных численных значений параметров задачи построить семейство эквипотенциальных линий (10 линий) в плоскости, перпендикулярной оси симметрии тела. Найти вектор электрической индукции D в точке М.

    Параметры  задачи

   Шарообразная полость в диэлектрической среде:

R=0,045 м; E0=14*103 В/м; εі =7; εе=1. Координаты точки M: r=0,04м, =0.

Решение

   Решение производить в сферических координатах, связанных с центром шара, r –радиус-вектор точки наблюдения, ось x направлена вдоль приложенного электрического поля (рис. 1.1).

Как внутри, так и вне шара сторонних зарядов нет, поэтому следует решать уравнение Лапласа  с соответствующими граничными условиями на поверхности r = R. 

   Запишем уравнение Лапласа [1]:

             (1.1)

              

С учетом азимутальной симметрии задачи поле будет описываться уравнением [1.2]:

                                 (1.2)

   В соответствии с методом разделения переменных, можно найти решение уравнения [1.2] в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной координаты:

                                     (1.3)

Определение функции φ в виде произведения двух функций [1.3] позволяет разбить уравнение в частных производных [1.2] на два обыкновенных дифференциальных уравнения, из которых одно будет составлено относительно М, другое – относительно N.

После подстановки выражения (1.3) в (1.2), учтя, что:

;        .

Поэтому

                  (1.4)

   Умножив на r2/MN, легко заметить, что переменные разделяются:

                   (1.5)

                              

Из приведенного выше уравнения видно, что первое слагаемое в нем представляет собой функцию только r, а второе слагаемое – функцию только θ. Сумма двух функций равна нулю для бесчисленного множества пар значений r и θ (то есть уравнение [1.5] годится для всех точек поля). Это возможно тогда, когда каждая из данных функций равна нулю:

       и                  (1.5')

либо когда

       и                  (1.5'')

Где р некоторое число, пока не известное.

   Этим самым решение уравнения [1.2] с частными производными сведено к более простой задаче –решению дифференциальных уравнений [1.5'] [1.5''].

   Прежде всего, надо найти частные решения уравнений [1.5'] :

                                               

                 

                            

Заменим:                                                                                 

                                        

                                                                 

                                                              

                                                               

                                                            

                                                                             

                                                            

                                                    

Проинтегрировав уравнения имеем решения для функций М и N соответственно:

                                                             

А3 равно нулю т.к.  только в этом случае отсутствует слагаемое . Потенциал есть функция непрерывная и на конечном отрезке он не может изменяться на бесконечно большую величину. Из физических соображений ясно, что потенциал точек оси z вблизи шара не может быть равен бесконечности. Между тем, если бы А3≠0, то в решении для всех точек, у которых θ=0 (tgθ=0;    ln tgθ = -∞).

Таким образом, частное решение для φ, вытекающее из [1.5'] следующее:

                                    (1.6)

Найдем решение уравнений [1.5'']:

или

Применим подстановку Эйлера M=Crn:

;                                

Подставим производные в уравнение:

или

Решение квадратного уравнения:

                                       (1.7)

Значение р определяется при интегрировании второго уравнения:

Его решение можно записать в виде N=B cosθ. Убедится в этом можно путем подстановки и одновременно найдем значение р:

Следовательно р=2.

После нахождения р подставим его в [1.7]:

найдем: n1=1  n2=-2

Таким образом совместное решение уравнений [1.5''] дает следующее выражение для φ:

Полное решение:

                                    (1.8)

То есть:

–для внутренней области

                                    (1.8)

–для внешней  области

                                    (1.9)

Для определения постоянных интегрирования необходимо учесть не только граничные условия на поверхности полости, но и поведение потенциала на бесконечности. Потенциал φ на бесконечности в этом случае имеет вид:

                                                (1.10)

Так как потенциал в поле точечного заряда изменяется обратно пропорционально r, то С / r есть составляющая потенциала от суммарного заряда шарообразной полости, рассматриваемой как точечный заряд. По условию суммарный заряд полости равен нулю. Следовательно,  С=0, а выражение для потенциала после сопоставления [1.9] и [1.10] приобретет вид[1]:

                                      (1.11)

Рассмотрим выражение потенциала φі для внутренней области. Оно должно давать конечное значение потенциала для точек внутри полости. Это возможно только тогда, когда С1і=0    С=0. Постоянная С2i=0, с точностью до которой определяется потенциал, равна аналогичной постоянной С0 для внешней области. Таким образом, для внутренней области

                                      (1.12)

Чтобы найти неизвестные постоянные С  и С воспользуемся граничными условиями:

φi = φe при r = R, следовательно,

                                      (1.13)

Dni=Dne при r=R, следовательно,

                                      (1.14)

Откуда получаем, что

                                      (1.15)

Решая систему уравнений [1.13] и [1.15] получаем следующие результаты для С  и С:

,                                       (1.16)

Подставив найденные постоянные, получаем потенциалы внутренней и внешней области:

              (1.17)

                     (1.18)

Напряженность поля в полости и вне её:

                              (1.19)

     (1.20)

   Уравнение эквипотенциальных линий в плоскости (xoz), заданное в сферических координатах, имеет вид:

                                              (1.21)

где n=const – фиксированное  значение потенциала, выбранное для построения эквипотенциали (n=1,2,3,...). Уравнения эквипотенциальных линий внутри и вне полости следуют из формул [1.17], [1.18] и [1.21]

                                                              (1.22)

                     (1.18)

Составляем блок-схему и программу расчета и построения эквипотенциальных линий (см. приложение А). (эквипотенциальные линии строим в плоскости zx).   

Вектор электрической индукции вне полости определяется выражением[2]:

(в) ;

;

 Численное значение вектора электрической индукции в точке M равно:

2.Расчет структуры переменных электромагнитных

полей в  волноводе.

 Общее  задание

Для заданного типа волны с начальной амплитудой поля E0 = 5кВ/см, распространяющейся в прямоугольном волноводе сечением ab, получить аналитические выражения продольной и поперечных компонент полей в комплексной форме записи и для мгновенных значений. Для численных параметров задачи построить эпюры полей по осям x, y, z, а также картину распределения полей в плоскостях xy и xz. Рассчитать заданные характеристики полей и  построить их зависимости  от частоты.

Параметры  задачи

Волна E42, ab = 2310 мм;  = 7.3 мм; диэлектрическая проницаемость  = 7. Рассчитать ф и гр.

Решение

Оси координат расположим в соответствии с рис. 2.1.

            y    

           x             b

        z   

    a

    Рисунок  2.1.

Полость волновода заполнена диэлектриком, электрическая проницаемость которого . Длина волновода в направлении оси z не ограничена. Процесс распространения электромагнитных волн в полости прямоугольного волновода рассматриваем, полагая, что стенки волновода выполнены из сверхпроводящего материала ( = ). При этом условии напряженность электрического поля на стенках волновода будет равна нулю (плотность тока на стенках волновода  = = E есть величина конечная, поэтому при , E).[2]

Электромагнитное поле в волноводе описывается волновым уравнением:

                                                                    (2.1)

где – круговая частота, а и а – абсолютные электрическая и магнитная проницаемости.

Для заданного типа волны выполняется следующее условие:

Ez  0, Hz = 0, m = 4, n = 2.

Распространяющиеся в волноводе электромагнитные волны являются волнами, бегущими вдоль оси волновода (оси z) и стоячими в двух остальных направлениях.

Тот факт, что волны являются бегущими вдоль оси z, в формально математи-ческом отношении находит свое выражение в том, что каждая из составляющих волн, при записи ее имеет множитель  exp(*t-kp*z), где kp – коэффициент распространения.                                                     

Если подставить  в уравнение (2.1), то последнее разобьется на три уравнения для проекций. Для проекции на ось z будем иметь следующее уравнение:

                                                     (2.2)

Упростим уравнение (2.3) путем подстановки решения вида:

                           ,    (2.3)

справедливого для гармонических процессов в волноводах [2], где

– продольный коэффициент распространения в волноводе,    – длина волны в волноводе. Множитель выражает собой то обстоятельство, что вдоль оси z движется бегущая волна.

Подставляем (2.3) в (2.2):

          

Заменим  и поделим на . Получим:

                                                   (2.4)

Воспользуемся методом разделения переменных и искомую функцию представим в виде:

                                                        (2.5)

и подставим в (2.4), получаем:  

                                         

Разделим это уравнение на XY, получим:

                                              (2.6)

Сумма двух функций   и , из которых одна является функцией только x, а другая – функцией только y, может равняться постоянному числу  только в том случае, если каждая из этих функций есть постоянное число. Перейдем от частных производных к обыкновенным и положим:

                                                   

Здесь через kx и ky обозначены постоянные разделения (поперечные волновые числа), удовлетворяющие равенствам:

,   .

Исходя из соотношения (2.5), имеем выражение для амплитуды (волновой множитель опускаем) продольной составляющей электрического поля:

     (2.7)

где  – начальная комплексная амплитуда; kx, ky, x и y – постоянные интегрирования.

Для нахождения поперечных компонент поля воспользуемся уравнениями Максвелла в проекциях на оси координат[1,2]:

    (2.8)      (2.11)

   (2.9)            (2.12)

            (2.10)                   (2.13)

В силу того, что для E-волны , то уравнения (2.8), (2.9), (2.13) можно упростить, убрав выражения, содержащие :

      

Поскольку характер изменения полей по оси z задается выражением (2.4), то в (2.8)-(2.13) примем, что:

.   

Рассмотрим теперь уравнения (2.8) и (2.12) как систему для и , а уравнения (2.9) и (2.11) — и :

       

  

 

     (2.14)

Подставляя в (2.14) значение , получаем выражения для поперечных составляющих поля:

         (2.15)

    

    

В соответствии с граничными условиями на стенках волновода = 0 при x=0 и x=a, а = 0 при y=0 и y=b. Тогда:

, где n = 0, 1, 2, …

, где m = 0, 1, 2, …

Окончательное выражение для составляющих поля после подстановки найденных постоянных, а также после подстановки , примет вид:

                 

    

    

Заменим a:

, где — эквивалентное сопротивление волновода для Е-волны [3];  — волновое сопротивление неограниченной среды; fкр — критическая частота.

Тогда:

                 

            (2.16)

    

Аналитические выражения для составляющих поля волны Е41 получаем из (2.16) при m = 4 и n = 1:

                 

            (2.16)

    

Для восстановления действительных значений необходимо компоненты полей домножить на опущенный ранее волновой множитель , перейти по формуле Эйлера [4] к тригонометрической форме записи и взять действительную часть полученного выражения:

Получили:

     (2.17)

Длина волны в волноводе и эквивалентное сопротивление волновода для Е-волны в общем случае определяются следующими соотношениями [1, 2]:

,   ,   

где  — волновое сопротивление неограниченной среды; акр — критическая длина волны, которая равна:

Подставив значения, получаем:

Фазовая и групповая скорости в общем случае определяются следующими соотношениями:

ф =  гр =    (2.18)

ф= = (м/с)   

гр = = (м/с)   

Для соотношений (2.17), (2.18) составляем блок-схему и программу расчета зависимостей компонент поля от координат волновода и значений ф и гр от .

Выводы

При выполнении курсовой работы были приобретены навыки по расчету структуры  стационарных потенциальных полей и переменных электромагнитных полей в направляющих системах, а также  закреплены навыки основ программирования и работы на персональном компьютере.

В соответствии с заданием на курсовую работу были выведены выражения для потенциала и напряженности полей, рассчитаны (с помощью ЭВМ) семейство эквипотенциальных линий для цилиндрической полости в диэлектрической среде.

В случае переменного электромагнитного поля в прямоугольном волноводе получены аналитические выражения для электрических и магнитных компонент поля,  построены их распределения в поперечном и продольном сечениях. В поперечных сечениях волновода вдоль осей x и у образуются стоячие волны в результате наложения многократных отражений от стенок волновода электромагнитного поля. Длина волны в волноводе больше длины волны в свободном пространстве. При таком условии возможно нормальное распространение электромагнитных волн (без затухания).

Перечень ссылок

  1.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле.— М.: Высшая школа, 1986.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. — Л.: Высшая школа, 1972.
  3.  Татур Т.А. Основы теории электромагнитного поля: Справочное пособие.— М.: Высшая школа, 1989.
  4.  Методические указания к выполнению курсовой работы «Расчет структуры электромагнитных полей» по курсу «Теория поля».— Сумы: СумГУ, 1997.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54870. Розв’язування задач на застосування теореми Піфагора 156 KB
  Тема уроку: Розв’язування задач на застосування теореми Піфагора. Формувати вміння розв’язувати задачі на застосування теореми Піфагора. Розвивати увагу логічне мислення.
54871. Теорема Піфагора 54.5 KB
  Знайти периметр прямокутника. Знайти довжину гіпотенузи. Знайти периметр трикутника. Знайти периметр прямокутника.
54872. Подготовка учащихся к написанию эссе по обществознанию 68 KB
  Самое знаменитое (и, по мнению литературоведов, первое по времени написания) произведение данного жанра трехтомное сочинение французского философа-скептика XVI в. Мишеля Монтеня (1533-1592) русскоязычным читателям известно под названием «Опыты»
54873. Процент как доход на капитал. Номинальная и реальная ставка процента 19.21 KB
  Понятие «капитал» как ресурс в экономической теории включает в себя средства производства, созданные людьми. Использование капитала приносит в перспективе доход его владельцам.
54874. Двогранні куги піраміди. Побудова лінійного кута двогранного кута між бічною гранню та основою піраміди 196 KB
  Мета: засвоєний поняття двогранного кута та його лінійного кута; формування навичок доведення того що побудований кут є лінійним кутом двогранного кута піраміди; оволодіння навичками побудови лінійних кутів двогранних кутів піраміди; удосконалення вміння зображувати стереометричні фігури. Назвати план побудови лінійного кута двогранного кута між бічною гранню та основою піраміди. Довести що площина лінійного кута перпендикулярна до кожної грані лінійного кута.
54875. Пряма призма. Піраміда. Площа поверхні та об’єм призми і піраміди 152 KB
  Площа поверхні та об’єм призми і піраміди. Демонструються моделі пірамід Спільну вершину трикутних граней називають вершиною піраміди протилежну їй грань основою а всі інші грані бічними гранями піраміди. Відрізки що сполучають вершину піраміди з вершинами основи називають бічними ребрами. Перпендикуляр опущений із вершини піраміди на площину її основи називають висотою піраміди.
54876. Подорож до Великих пірамід 352.5 KB
  Вчитель: Сьогодні на уроці ми поговоримо про піраміди як многогранники і основну увагу будемо приділяти правильній чотирикутній піраміді а також заочно побуваємо в Стародавньому Єгипті ознайомимося з першим дивом світупірамідою Хеопса поєднавши знання з геометрії і історії. На попередньому уроці ви одержали творче завдання: провести теоретичне дослідження правильної чотирикутної піраміди і зробити презентацію цього многогранника. Презентація піраміди Презентацію проводять двоє учнів використовуючи моделі пірамід різні слайди. 1й...
54877. Радісне свято Великдень 153.5 KB
  Коломия є музей писанки. Свячені писанки були оберегом житла від грому й вогнюа людей і тваринвід лихого ока.Жупарина Писанки Робота над мелодією дикцією диханням характером твору. Серед її інструментальних творів варіації для фортепіано Українські писанки особливо вирізняються самобутнім використанням та осмисленням української народної пісенності.
54878. Як писанка барвиста, наша славна Україна, її часточка маленька, наша класная родина 128.5 KB
  Приспів: Дуже класно буде тричі Посміхнись До вашої уваги веселий діалог: Кумедні історії нашого класу Максим і Марко МАРКО. Я завжди здоровий коли нема школи МАРКО. МАРКО. МАРКО перебиває.