48644

Расчет структуры полей диалектрического шара в вакууме

Курсовая

Физика

Цель работы – расчет структуры полей диалектрического шара в вакууме, а также в волноводе для приведенных в задании параметров. Метод исследования – метод разделения переменных при интегрировании дифференциальных уравнений для получения аналитических выражений потенциалов и напряженностей полей с последующим построением на ЭВМ структуры этих полей.

Русский

2013-12-22

338.5 KB

2 чел.

РЕФЕРАТ

Объекты исследования—диалектрический шар в вакуумеи прямоугольный волновод с волной Е15.

Цель работы – расчет структуры полей диалектрического шара в вакууме, а также в волноводе для приведенных в задании параметров.

Метод исследования – метод разделения переменных при интегрировании  дифференциальных уравнений для получения аналитических выражений потенциалов и напряженностей полей с последующим построением на ЭВМ структуры этих полей.

Для заданной геометрии и параметров среды получены аналитические выражения значений потенциалов и напряженностей полей диалектрического шара в вакууме, а также  расчетное соотношение для вектора электрической индукции. В случае волны Е15, распространяющейся в прямоугольном волноводе сечением 72 х 34 мм, путем интегрирования волнового уравнения и использования уравнений Максвелла получены соотношения, описывающие поведение поперечных и продольных компонент полей, а также выражения для расчета длины волны в волноводе и эквивалентного сопротивления. Путем применения ЭВМ построены  картины структуры статических полей для переменных полей  волновода. Рассчитано значения вектора электрической индукции для диалектрического шара в точке М и проанализированы полученные для волновода результаты.

    Ключевые слова: ПОЛЕ, ВОЛНА, КОЭФФИЦИЕНТ РАСПРОСТРАНЕНИЯ, КРИТИЧЕСКАЯ ЧАСТОТА, ФАЗОВАЯ И ГРУПОВАЯ СКОРОСТИ.

СОДЕРЖАНИЕ

                                                                                 

Задание на курсовую работу                                                                   1

Реферат                                                                                                      2

Содержание                                                                                                3

Условные обозначения и размерность величин                                     4

Введение                                                                                                    5

  1.  Расчет структуры осесимметричных стационарных

электромагнитных полей                                                                         7

  1.  Расчет структуры переменных электромагнитных полей

в волноводе                                                                                              15

Выводы                                                                                                                   

Перечень ссылок                                                                                                    

Приложение А

Приложение Б

 Условные обозначения и размерность величин

Вид поля,

волны

Величина

Наименование

Обозначение

Единица

Электрическое            поле

Напряженность

электрического

поля

Электрическая

индукция

Электрический

потенциал

Электрическая

постоянная

Абсолютная

диэлектрическая

проницаемость

            E

D

В/м

Кл/м2

В (вольт)

8,8510-12 Ф/м

Ф/м

  Электромагн.

        волна

Длина волны

Критическая

длина волны

волновода

Длина волны в

волноводе

Волновое

сопротивление

Коэффициент

распространения

ZЭ

kp

м

м

     м

Ом

м-1

ВВЕДЕНИЕ

Электромагнитное поле — это вид материи, связанный с изменением и  непрерывным взаимопревращением магнитного и электрического полей и  характеризующийся способностью распространяться в вакууме со скоростью м/сек, способностью силового воздействия на заряженные  частицы, токи и на определенным образом ориентированную поверхность  вещества. Электромагнитное поле в одних случаях характеризуется непрерывным распределением в пространстве, а в других случаях обнаруживает дискретность своей структуры.

   Теория электромагнитного поля представляет собой учение об электрических и магнитных явлениях, о теоретических положениях и законах, которым подчиняются эти явления, и о вытекающих из них методах расчета.

   Изучение видов полей (электростатическое поле, электрическое поле постоянного тока в проводящей среде, магнитное поле постоянного тока, переменное электромагнитное поле) расширяет физические представления о поле, известные из курса физики, способствует более глубокому пониманию процессов, происходящих в электротехнических установках, а также важно с прикладной точки зрения, поскольку оно дает возможность решать многие задачи, имеющие существенное значение не только для теории электрических цепей, но и для решения задач, которые выходят за рамки данного курса и имеют самостоятельное значение.

При изучении переменного электромагнитного поля рассматриваются вопросы излучения электромагнитной энергии, распространения электромагнитных волн в идеальном диэлектрике, в проводящей и полупроводящих средах.

   Изучение всего комплекса вопросов этого раздела также подготавливает к решению многих практических задач, как, например, задач, связанных с высоко-частотным нагревом и закалкой, излучением и канализацией энергии высокой частоты и т. п.    


1. РАСЧЕТ СТРУКТУРЫ СТАЦИОНАРНЫХ      ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ  ПОЛЕЙ

                                 Общее  задание

Осесимметричное тело радиуса R находится в однородном внешнем электрическом поле E0, перпендикулярном к его оси. Заданы материальные характеристики окружающей среды. Получить аналитические выражения для потенциалов и  и для полей Ei и Ee соответственно внутри и вне тела. Для заданных численных значений параметров задачи построить семейство эквипотенциальных линий (10 линий) в плоскости, перпендикулярной оси симметрии тела. Найти вектор электрической индукции D в точке М.

    Параметры  задачи

   Шарообразная полость в диэлектрической среде:

R=0,045 м; E0=14*103 В/м; εі =7; εе=1. Координаты точки M: r=0,04м, =0.

Решение

   Решение производить в сферических координатах, связанных с центром шара, r –радиус-вектор точки наблюдения, ось x направлена вдоль приложенного электрического поля (рис. 1.1).

Как внутри, так и вне шара сторонних зарядов нет, поэтому следует решать уравнение Лапласа  с соответствующими граничными условиями на поверхности r = R. 

   Запишем уравнение Лапласа [1]:

             (1.1)

              

С учетом азимутальной симметрии задачи поле будет описываться уравнением [1.2]:

                                 (1.2)

   В соответствии с методом разделения переменных, можно найти решение уравнения [1.2] в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной координаты:

                                     (1.3)

Определение функции φ в виде произведения двух функций [1.3] позволяет разбить уравнение в частных производных [1.2] на два обыкновенных дифференциальных уравнения, из которых одно будет составлено относительно М, другое – относительно N.

После подстановки выражения (1.3) в (1.2), учтя, что:

;        .

Поэтому

                  (1.4)

   Умножив на r2/MN, легко заметить, что переменные разделяются:

                   (1.5)

                              

Из приведенного выше уравнения видно, что первое слагаемое в нем представляет собой функцию только r, а второе слагаемое – функцию только θ. Сумма двух функций равна нулю для бесчисленного множества пар значений r и θ (то есть уравнение [1.5] годится для всех точек поля). Это возможно тогда, когда каждая из данных функций равна нулю:

       и                  (1.5')

либо когда

       и                  (1.5'')

Где р некоторое число, пока не известное.

   Этим самым решение уравнения [1.2] с частными производными сведено к более простой задаче –решению дифференциальных уравнений [1.5'] [1.5''].

   Прежде всего, надо найти частные решения уравнений [1.5'] :

                                               

                 

                            

Заменим:                                                                                 

                                        

                                                                 

                                                              

                                                               

                                                            

                                                                             

                                                            

                                                    

Проинтегрировав уравнения имеем решения для функций М и N соответственно:

                                                             

А3 равно нулю т.к.  только в этом случае отсутствует слагаемое . Потенциал есть функция непрерывная и на конечном отрезке он не может изменяться на бесконечно большую величину. Из физических соображений ясно, что потенциал точек оси z вблизи шара не может быть равен бесконечности. Между тем, если бы А3≠0, то в решении для всех точек, у которых θ=0 (tgθ=0;    ln tgθ = -∞).

Таким образом, частное решение для φ, вытекающее из [1.5'] следующее:

                                    (1.6)

Найдем решение уравнений [1.5'']:

или

Применим подстановку Эйлера M=Crn:

;                                

Подставим производные в уравнение:

или

Решение квадратного уравнения:

                                       (1.7)

Значение р определяется при интегрировании второго уравнения:

Его решение можно записать в виде N=B cosθ. Убедится в этом можно путем подстановки и одновременно найдем значение р:

Следовательно р=2.

После нахождения р подставим его в [1.7]:

найдем: n1=1  n2=-2

Таким образом совместное решение уравнений [1.5''] дает следующее выражение для φ:

Полное решение:

                                    (1.8)

То есть:

–для внутренней области

                                    (1.8)

–для внешней  области

                                    (1.9)

Для определения постоянных интегрирования необходимо учесть не только граничные условия на поверхности полости, но и поведение потенциала на бесконечности. Потенциал φ на бесконечности в этом случае имеет вид:

                                                (1.10)

Так как потенциал в поле точечного заряда изменяется обратно пропорционально r, то С / r есть составляющая потенциала от суммарного заряда шарообразной полости, рассматриваемой как точечный заряд. По условию суммарный заряд полости равен нулю. Следовательно,  С=0, а выражение для потенциала после сопоставления [1.9] и [1.10] приобретет вид[1]:

                                      (1.11)

Рассмотрим выражение потенциала φі для внутренней области. Оно должно давать конечное значение потенциала для точек внутри полости. Это возможно только тогда, когда С1і=0    С=0. Постоянная С2i=0, с точностью до которой определяется потенциал, равна аналогичной постоянной С0 для внешней области. Таким образом, для внутренней области

                                      (1.12)

Чтобы найти неизвестные постоянные С  и С воспользуемся граничными условиями:

φi = φe при r = R, следовательно,

                                      (1.13)

Dni=Dne при r=R, следовательно,

                                      (1.14)

Откуда получаем, что

                                      (1.15)

Решая систему уравнений [1.13] и [1.15] получаем следующие результаты для С  и С:

,                                       (1.16)

Подставив найденные постоянные, получаем потенциалы внутренней и внешней области:

              (1.17)

                     (1.18)

Напряженность поля в полости и вне её:

                              (1.19)

     (1.20)

   Уравнение эквипотенциальных линий в плоскости (xoz), заданное в сферических координатах, имеет вид:

                                              (1.21)

где n=const – фиксированное  значение потенциала, выбранное для построения эквипотенциали (n=1,2,3,...). Уравнения эквипотенциальных линий внутри и вне полости следуют из формул [1.17], [1.18] и [1.21]

                                                              (1.22)

                     (1.18)

Составляем блок-схему и программу расчета и построения эквипотенциальных линий (см. приложение А). (эквипотенциальные линии строим в плоскости zx).   

Вектор электрической индукции вне полости определяется выражением[2]:

(в) ;

;

 Численное значение вектора электрической индукции в точке M равно:

2.Расчет структуры переменных электромагнитных

полей в  волноводе.

 Общее  задание

Для заданного типа волны с начальной амплитудой поля E0 = 5кВ/см, распространяющейся в прямоугольном волноводе сечением ab, получить аналитические выражения продольной и поперечных компонент полей в комплексной форме записи и для мгновенных значений. Для численных параметров задачи построить эпюры полей по осям x, y, z, а также картину распределения полей в плоскостях xy и xz. Рассчитать заданные характеристики полей и  построить их зависимости  от частоты.

Параметры  задачи

Волна E42, ab = 2310 мм;  = 7.3 мм; диэлектрическая проницаемость  = 7. Рассчитать ф и гр.

Решение

Оси координат расположим в соответствии с рис. 2.1.

            y    

           x             b

        z   

    a

    Рисунок  2.1.

Полость волновода заполнена диэлектриком, электрическая проницаемость которого . Длина волновода в направлении оси z не ограничена. Процесс распространения электромагнитных волн в полости прямоугольного волновода рассматриваем, полагая, что стенки волновода выполнены из сверхпроводящего материала ( = ). При этом условии напряженность электрического поля на стенках волновода будет равна нулю (плотность тока на стенках волновода  = = E есть величина конечная, поэтому при , E).[2]

Электромагнитное поле в волноводе описывается волновым уравнением:

                                                                    (2.1)

где – круговая частота, а и а – абсолютные электрическая и магнитная проницаемости.

Для заданного типа волны выполняется следующее условие:

Ez  0, Hz = 0, m = 4, n = 2.

Распространяющиеся в волноводе электромагнитные волны являются волнами, бегущими вдоль оси волновода (оси z) и стоячими в двух остальных направлениях.

Тот факт, что волны являются бегущими вдоль оси z, в формально математи-ческом отношении находит свое выражение в том, что каждая из составляющих волн, при записи ее имеет множитель  exp(*t-kp*z), где kp – коэффициент распространения.                                                     

Если подставить  в уравнение (2.1), то последнее разобьется на три уравнения для проекций. Для проекции на ось z будем иметь следующее уравнение:

                                                     (2.2)

Упростим уравнение (2.3) путем подстановки решения вида:

                           ,    (2.3)

справедливого для гармонических процессов в волноводах [2], где

– продольный коэффициент распространения в волноводе,    – длина волны в волноводе. Множитель выражает собой то обстоятельство, что вдоль оси z движется бегущая волна.

Подставляем (2.3) в (2.2):

          

Заменим  и поделим на . Получим:

                                                   (2.4)

Воспользуемся методом разделения переменных и искомую функцию представим в виде:

                                                        (2.5)

и подставим в (2.4), получаем:  

                                         

Разделим это уравнение на XY, получим:

                                              (2.6)

Сумма двух функций   и , из которых одна является функцией только x, а другая – функцией только y, может равняться постоянному числу  только в том случае, если каждая из этих функций есть постоянное число. Перейдем от частных производных к обыкновенным и положим:

                                                   

Здесь через kx и ky обозначены постоянные разделения (поперечные волновые числа), удовлетворяющие равенствам:

,   .

Исходя из соотношения (2.5), имеем выражение для амплитуды (волновой множитель опускаем) продольной составляющей электрического поля:

     (2.7)

где  – начальная комплексная амплитуда; kx, ky, x и y – постоянные интегрирования.

Для нахождения поперечных компонент поля воспользуемся уравнениями Максвелла в проекциях на оси координат[1,2]:

    (2.8)      (2.11)

   (2.9)            (2.12)

            (2.10)                   (2.13)

В силу того, что для E-волны , то уравнения (2.8), (2.9), (2.13) можно упростить, убрав выражения, содержащие :

      

Поскольку характер изменения полей по оси z задается выражением (2.4), то в (2.8)-(2.13) примем, что:

.   

Рассмотрим теперь уравнения (2.8) и (2.12) как систему для и , а уравнения (2.9) и (2.11) — и :

       

  

 

     (2.14)

Подставляя в (2.14) значение , получаем выражения для поперечных составляющих поля:

         (2.15)

    

    

В соответствии с граничными условиями на стенках волновода = 0 при x=0 и x=a, а = 0 при y=0 и y=b. Тогда:

, где n = 0, 1, 2, …

, где m = 0, 1, 2, …

Окончательное выражение для составляющих поля после подстановки найденных постоянных, а также после подстановки , примет вид:

                 

    

    

Заменим a:

, где — эквивалентное сопротивление волновода для Е-волны [3];  — волновое сопротивление неограниченной среды; fкр — критическая частота.

Тогда:

                 

            (2.16)

    

Аналитические выражения для составляющих поля волны Е41 получаем из (2.16) при m = 4 и n = 1:

                 

            (2.16)

    

Для восстановления действительных значений необходимо компоненты полей домножить на опущенный ранее волновой множитель , перейти по формуле Эйлера [4] к тригонометрической форме записи и взять действительную часть полученного выражения:

Получили:

     (2.17)

Длина волны в волноводе и эквивалентное сопротивление волновода для Е-волны в общем случае определяются следующими соотношениями [1, 2]:

,   ,   

где  — волновое сопротивление неограниченной среды; акр — критическая длина волны, которая равна:

Подставив значения, получаем:

Фазовая и групповая скорости в общем случае определяются следующими соотношениями:

ф =  гр =    (2.18)

ф= = (м/с)   

гр = = (м/с)   

Для соотношений (2.17), (2.18) составляем блок-схему и программу расчета зависимостей компонент поля от координат волновода и значений ф и гр от .

Выводы

При выполнении курсовой работы были приобретены навыки по расчету структуры  стационарных потенциальных полей и переменных электромагнитных полей в направляющих системах, а также  закреплены навыки основ программирования и работы на персональном компьютере.

В соответствии с заданием на курсовую работу были выведены выражения для потенциала и напряженности полей, рассчитаны (с помощью ЭВМ) семейство эквипотенциальных линий для цилиндрической полости в диэлектрической среде.

В случае переменного электромагнитного поля в прямоугольном волноводе получены аналитические выражения для электрических и магнитных компонент поля,  построены их распределения в поперечном и продольном сечениях. В поперечных сечениях волновода вдоль осей x и у образуются стоячие волны в результате наложения многократных отражений от стенок волновода электромагнитного поля. Длина волны в волноводе больше длины волны в свободном пространстве. При таком условии возможно нормальное распространение электромагнитных волн (без затухания).

Перечень ссылок

  1.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле.— М.: Высшая школа, 1986.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. — Л.: Высшая школа, 1972.
  3.  Татур Т.А. Основы теории электромагнитного поля: Справочное пособие.— М.: Высшая школа, 1989.
  4.  Методические указания к выполнению курсовой работы «Расчет структуры электромагнитных полей» по курсу «Теория поля».— Сумы: СумГУ, 1997.