48650

Расчет структуры осесимметричных стационарных электромагнитных полей

Курсовая

Физика

Решение производится в цилиндрических координатах связанных с центром основания цилиндра r радиусвектор точки наблюдения ось x направлена вдоль приложенного магнитного поля рис.1 методом разделения переменных методом Фурьев соответствии с которым решение будем искать в виде произведения двух функций каждая из которых зависит только от одной координаты: 1.4 Этим самым решение уравнения 1.

Русский

2013-12-13

203 KB

3 чел.

Расчет структуры осесимметричных стационарных

электромагнитных полей.

1. Общее  задание.

      Осесимметричное тело радиуса R находится в однородном внешнем электрическом поле Е0, перпендикулярном к его оси. Заданы материальные характеристики окружающей среды. Получить аналитические выражения для потенциалов i и e и для полей Еi  и Ee, соответственно внутри и вне тела. Для заданных численных  значений параметров задачи построить семейство эквипотенциальных линий (10) в плоскости оси симметрии тела. Найти плотность зарядов поверхности проводника.

2. Параметры  задачи.

     Бесконечный заряженный проводящий цилиндр в вакууме

R = 6см, E0 = 100 кВ/м, e = 1, = 8*10-8 Кл/м Координаты точки M: r=6 см, =45.

3. Решение.

       Решение производится в цилиндрических координатах, связанных с центром основания цилиндра, r — радиус-вектор точки наблюдения, ось x направлена вдоль приложенного магнитного поля (рис. 1.1).

При таком расположении цилиндра, потенциал поля не будет зависеть от координаты z, и двухмерное уравнение Лапласа

Рис 1.1

запишется в виде [1]:

 (1.1)

Как внутри, так и вне цилиндра сторонних зарядов нет, поэтому следует решать уравнение Лапласа  с соответствующими граничными условиями на поверхности r =R.

Решим уравнение (1.1) методом разделения переменных (методом Фурье),в соответствии с которым решение будем искать в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной координаты:

 (1.2)

    После подстановки выражения (1.2) в (1.1) получается

    Домножая на r /MN, легко заметить, что переменные разделяются

      Это равенство не должно нарушаться, если одну из независимых переменных  r  или произвольно менять, а другой придать произвольное, но постоянное значение. Очевидно, что при изменениях r или каждая часть уравнения должна  оставаться постоянной и равной одному и тому же числу – постоянной разделения

p [1]:                 

       (1.3)

     (1.4)

       Этим самым решение уравнения (1.1) с частными производными сведено к более простой задаче - к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

      Прежде всего надо найти частные решения уравнений (1.3) и (1.4) для  p=0. Обозначим их M0 и N0, и в результате получим:

      Т. к. потенциал является четной функцией относительно ,  т. е.

то необходимо принять

     Если взять, согласно равенству (1.2), произведение функций  и  и  изменить обозначение постоянных, то можно получить частное решение уравнения Лапласа в виде

         (1.5)

     Пусть теперь постоянная разделения p в уравнениях (1.3) и (1.4) отлична от нуля.

     Для решения уравнения (1.3) применим подстановку Эйлера  Первая и вторая производные соответственно будут равны

     Подставим производные в уравнение

или            (1.6)

     Значение p определим при интегрировании уравнения (1.4):

      Решение его можно записать в виде N = E cos[2]. Убедимся в этом путем подстановки и одновременно найдем значение  p:

    Следовательно, p = 1.

    После нахождения числа p подставим его в (1.6) и найдем:  и  Таким образом, совместное решение уравнений (1.3) и (1.4) при p, не равном нулю, дает следующее выражение для

       (1.7)

   Полное решение:

    (1.8)

      В (1.8) присутствуют четыре неизвестных постоянных, значения которых зависят от того, какой цилиндр (проводящий или диэлектрический) внесен в поле. Для их определения надо учесть также не только условия на поверхности, но и на довольно большом отдалении от цилиндра, т.е. условия на бесконечности. Так как отрицательные заряды смещаются на поверхность тела, которая обращена в сторону более высокого потенциала, а положительные в противоположную сторону. Поверхность тела эквипотенциальна. Вектор напряжённости внешнего поля в точке поверхности (любой) подходит к ней под прямым углом. Внутри проводящего тела напряженность поля равна нулю, так как внешнее поле компенсируется полем зарядов, расположенных на поверхности тела.

на бесконечности:

= 0 – Е0cos +  (1.9).

Так как решение уравнения  (1.8) годится  и для точек поля, весьма далеко (бесконечно далеко) удалённых от цилиндра, то можно сопоставить выражения (1.8) и (1.9). Они должны давать один и тот же результат. Это будет только в том случае, когда соответствующие слагаемые в обоих выражениях равны. Из сопоставления следует, что

Для нахождения  С4 воспользуемся тем, что в условиях электростатики все точки поверхности шара имеют один и тот же потенциал. Пусть R в данных уравнениях равно  R из условия, тогда:

= const = 0 +  +(  - RЕ0 )cos .        (1.10)

Правая часть будет постоянной с изменением только при условии, что  - RЕ0 = 0, откуда

С4 = E0R2.        (1.11)

Получим аналитическое выражение для потенциала цилиндра:

= 0 +  +(  - R)Е0 cos .

  r=-=- Е0 cos ( - - 1) +;          (1.12)

     ;

Уравнение эквипотенциальных линий в плоскости, проходящей через центр цилиндра перпендикулярно электрическому полю Е0, заданное в цилиндрических координатах, имеет вид

    , (1.13)

где n=const – фиксированное значение потенциала, выбранное для построения;

эквипотенциалы (n=1,2,3...).

    =   +(  - R)Е0 cos .

Найдём плотность зарядов поверхности проводника.

= D  = 0E.

=


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17376. Грошово-кредитна система 83.5 KB
  1. Грошова маса та її структуру. Валютна система. 2. Кредит: сутність функції принципи форми. 3. Банки: їх діяльність і операції. Банківська система України. 4.Грошовокредитна політика держави. 1. Грошова маса та її структуру. Валютна система. Грошова система –це є фо...
17377. Фінансово-бюджетна політика держави 86 KB
  5. Фінанси: сутність та функції. Фінансова система та її структура. 6 . Податки: функції та види. Природа податку на додану вартість. Ставка оподаткування та крива Лаффера. 7. Держбюджет і джерела його наповнення. Бюджетний дефіцит. Державний борг: зовнішній внутрішній. Д
17378. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ПОДАТКОВОЇ ТЕРМІНОЛОГІЇ 64.5 KB
  ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ПОДАТКОВОЇ ТЕРМІНОЛОГІЇ В основі вивчення податкової системи і механізмів оподатковування повинне лежати повне і точне розуміння податкової термінології і понять що розкривають суть оподатковування. Розглянемо основні елементи що характеризую
17379. Грошова маса 166 KB
  Грошова маса Г.м. обсяг випущених в обіг паперових грошових знаків банківських та казначейських білетів металевих монет і депозитних грошей грошових засобів на поточних рахунках в банках. У статистиці розвинутих країн існує декілька понять гро
17380. МІЖНАРОДНА ЕКОНОМІКА 75.5 KB
  МІЖНАРОДНА ЕКОНОМІКА Міжнародна економіка іnternational есоnomics це частина теорії ринкової економіки яка вивчає закономірності взаємодії господарюючих суб'єктів різної державної приналежності в області міжнародного обміну товарами руху капіталів факторів виробництва ...
17381. Інтернаціоналізація виробництва 201.5 KB
  1. Інтернаціоналізація виробництва. Міжнародний поділ праці і кооперація праці. 2.Міжнародна торгівля товарами і послугами. Торгівельні бар’єри. СОТ і ГАТТ. 3.Міжнародна міграція капіталу і робочої сили. Злиття та поглинення економічних суб’єктів ринку. 4.Іноземніміжн...
17382. Міжнародна трудова міграція та процес міжнародної інвестиційної взаємодії 78.5 KB
  Міжнародна трудова міграція та процес міжнародної інвестиційної взаємодії Міжнародна трудова міграція: суть та причини виникнення. Явище міжнародної міграції населення досить давнє і залишило помітний слід у розвитку людства. Більша частина населення деяких...
17383. Економічна інтеграція 63.5 KB
  Економічна інтеграція Міжнародна економічна інтеграція це вищий рівень розвитку міжнародних економічних відносин коли інтернаціоналізація господарського життя проявляється у переплетінні національних господарств двох або кількох країн та проведенні ними узгодж
17384. ИСТОРИЯ СОЦИОЛОГИИ КАК ОБЛАСТЬ ЗНАНИЯ 92.5 KB
  Лекция первая ИСТОРИЯ СОЦИОЛОГИИ КАК ОБЛАСТЬ ЗНАНИЯ Содержание 1. О границах социологии и ее истории 2. Онтологические критерии социологического знания 3. Эпистемологические критерии 4. Этические критерии 5. Институциональноорганизационные критерии 6.