48650

Расчет структуры осесимметричных стационарных электромагнитных полей

Курсовая

Физика

Решение производится в цилиндрических координатах связанных с центром основания цилиндра r радиусвектор точки наблюдения ось x направлена вдоль приложенного магнитного поля рис.1 методом разделения переменных методом Фурьев соответствии с которым решение будем искать в виде произведения двух функций каждая из которых зависит только от одной координаты: 1.4 Этим самым решение уравнения 1.

Русский

2013-12-13

203 KB

3 чел.

Расчет структуры осесимметричных стационарных

электромагнитных полей.

1. Общее  задание.

      Осесимметричное тело радиуса R находится в однородном внешнем электрическом поле Е0, перпендикулярном к его оси. Заданы материальные характеристики окружающей среды. Получить аналитические выражения для потенциалов i и e и для полей Еi  и Ee, соответственно внутри и вне тела. Для заданных численных  значений параметров задачи построить семейство эквипотенциальных линий (10) в плоскости оси симметрии тела. Найти плотность зарядов поверхности проводника.

2. Параметры  задачи.

     Бесконечный заряженный проводящий цилиндр в вакууме

R = 6см, E0 = 100 кВ/м, e = 1, = 8*10-8 Кл/м Координаты точки M: r=6 см, =45.

3. Решение.

       Решение производится в цилиндрических координатах, связанных с центром основания цилиндра, r — радиус-вектор точки наблюдения, ось x направлена вдоль приложенного магнитного поля (рис. 1.1).

При таком расположении цилиндра, потенциал поля не будет зависеть от координаты z, и двухмерное уравнение Лапласа

Рис 1.1

запишется в виде [1]:

 (1.1)

Как внутри, так и вне цилиндра сторонних зарядов нет, поэтому следует решать уравнение Лапласа  с соответствующими граничными условиями на поверхности r =R.

Решим уравнение (1.1) методом разделения переменных (методом Фурье),в соответствии с которым решение будем искать в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной координаты:

 (1.2)

    После подстановки выражения (1.2) в (1.1) получается

    Домножая на r /MN, легко заметить, что переменные разделяются

      Это равенство не должно нарушаться, если одну из независимых переменных  r  или произвольно менять, а другой придать произвольное, но постоянное значение. Очевидно, что при изменениях r или каждая часть уравнения должна  оставаться постоянной и равной одному и тому же числу – постоянной разделения

p [1]:                 

       (1.3)

     (1.4)

       Этим самым решение уравнения (1.1) с частными производными сведено к более простой задаче - к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

      Прежде всего надо найти частные решения уравнений (1.3) и (1.4) для  p=0. Обозначим их M0 и N0, и в результате получим:

      Т. к. потенциал является четной функцией относительно ,  т. е.

то необходимо принять

     Если взять, согласно равенству (1.2), произведение функций  и  и  изменить обозначение постоянных, то можно получить частное решение уравнения Лапласа в виде

         (1.5)

     Пусть теперь постоянная разделения p в уравнениях (1.3) и (1.4) отлична от нуля.

     Для решения уравнения (1.3) применим подстановку Эйлера  Первая и вторая производные соответственно будут равны

     Подставим производные в уравнение

или            (1.6)

     Значение p определим при интегрировании уравнения (1.4):

      Решение его можно записать в виде N = E cos[2]. Убедимся в этом путем подстановки и одновременно найдем значение  p:

    Следовательно, p = 1.

    После нахождения числа p подставим его в (1.6) и найдем:  и  Таким образом, совместное решение уравнений (1.3) и (1.4) при p, не равном нулю, дает следующее выражение для

       (1.7)

   Полное решение:

    (1.8)

      В (1.8) присутствуют четыре неизвестных постоянных, значения которых зависят от того, какой цилиндр (проводящий или диэлектрический) внесен в поле. Для их определения надо учесть также не только условия на поверхности, но и на довольно большом отдалении от цилиндра, т.е. условия на бесконечности. Так как отрицательные заряды смещаются на поверхность тела, которая обращена в сторону более высокого потенциала, а положительные в противоположную сторону. Поверхность тела эквипотенциальна. Вектор напряжённости внешнего поля в точке поверхности (любой) подходит к ней под прямым углом. Внутри проводящего тела напряженность поля равна нулю, так как внешнее поле компенсируется полем зарядов, расположенных на поверхности тела.

на бесконечности:

= 0 – Е0cos +  (1.9).

Так как решение уравнения  (1.8) годится  и для точек поля, весьма далеко (бесконечно далеко) удалённых от цилиндра, то можно сопоставить выражения (1.8) и (1.9). Они должны давать один и тот же результат. Это будет только в том случае, когда соответствующие слагаемые в обоих выражениях равны. Из сопоставления следует, что

Для нахождения  С4 воспользуемся тем, что в условиях электростатики все точки поверхности шара имеют один и тот же потенциал. Пусть R в данных уравнениях равно  R из условия, тогда:

= const = 0 +  +(  - RЕ0 )cos .        (1.10)

Правая часть будет постоянной с изменением только при условии, что  - RЕ0 = 0, откуда

С4 = E0R2.        (1.11)

Получим аналитическое выражение для потенциала цилиндра:

= 0 +  +(  - R)Е0 cos .

  r=-=- Е0 cos ( - - 1) +;          (1.12)

     ;

Уравнение эквипотенциальных линий в плоскости, проходящей через центр цилиндра перпендикулярно электрическому полю Е0, заданное в цилиндрических координатах, имеет вид

    , (1.13)

где n=const – фиксированное значение потенциала, выбранное для построения;

эквипотенциалы (n=1,2,3...).

    =   +(  - R)Е0 cos .

Найдём плотность зарядов поверхности проводника.

= D  = 0E.

=


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82506. Особенности и тенденции развития современного американского права 27.6 KB
  Федеративное устройство США ставит на повестку дня вопрос о единстве правовой системы страны. Наличие Конституции США ограничивает свободу действий как законодательных так и судебных органов в части внесения изменений в организацию правосудия. Втретьих реализация принципа разделения властей дополняет с введением судебного контроля за конституционностью законов При этом Верховный суд США напоминает скорее законодательный чем правоприменительный орган особенно когда создаваемая им норма распространяется не на рассматриваемое дело а на дела...
82507. Характеристика судебной системы США 26.5 KB
  Кроме того в систему федеральных судов входят так называемые специализированные суды имеющие отдельную компетенцию с правом вынесения приговоров и решений налоговый суд суд по делам военнослужащих суд по таможенным и патентным делам претензионный суд. Районные суды рассматривают уголовные и гражданские дела в качестве суда первой инстанции. Апелляционные окружные суды осуществляют проверку решений районных судов а также рассматривают жалобы на решения ряда административных квазисудебных органов например Национального управления...
82508. Общая характеристика мусульманской правовой семьи 28.91 KB
  История развития мусульманской правовой системы неразрывно связана с формированием мусульманской религиозной культуры. Но в Коране было упомянуто о том что мнение единое во всей мусульманской общине не может быть неверным. Иджма мнение по правовым вопросам авторитетных ученыхтеологов которое представлено как мнение всей мусульманской общины.
82509. Общая характеристика правовых систем стран Дальнего Восток 26.29 KB
  К отличительным критериям на основе которых можно определить к какой правовой семье следует отнести ту или иную правовую систему принадлежит также восприятие права как исключительно важного социального инструмента регулирования общественных отношений. Поэтому описание китайского и японского права позволит выявить некоторые важные и характерные элементы общей дальневосточной концепции права. Все западные правовые системы независимо от того относятся ли они к семье романогерманского или общего права едины в том что важнейшие вопросы...
82510. Общая характеристика российской правовой системы 27.03 KB
  То что правоприменители и граждане столь часто подчиняются правовым обыкновениям даже в ущерб соблюдению норм права связано с историческими особенностями с противодействием монгольскому владычеству и с традиционной либеральностью центральной власти по отношению к местной. Система права стала более упорядоченной. Правда остаются весьма болезненными проблемы соответствия законодательства субъектов федеральному законодательству и отсутствия нормативных актов в ряде важнейших отраслей права экологическом незавершенность налоговой кодификации...
82511. Значение сравнительного правоведения как науки и учебной дисциплины 26.7 KB
  Сравнительноправовые исследования в сочетании с традиционными историческим нормативным и социологическим видением права позволяют: вопервых изучить явления правовой действительности которые ранее не охватывались проблематикой правоведения и выйти за национальные рамки своей правовой системы; вовторых взглянуть под особым углом зрения на ряд традиционных проблем юридической науки с учетом тенденций развития права в современном мире. Для юридической науки обращенной прежде всего к национальному праву использование сравнительного...
82512. История сравнительного правоведения 27.8 KB
  Сторонники первого похода рассматривающие его лишь как один из научных методов юриспруденции настаивают на древнем происхождении сравнительного правоведения При этом они указывают что еще античные а позже и средневековые философы и законодатели использовали сравнение как метод исследования в целях решения конкретных проблем. При этом иногда указываются такие конкретные даты как 1869 год год основания французского Общества сравнительного законодательства и реже 1900 год. когда был проведен I Международный конгрес сравнительного права.
82513. Научная, образовательная, практическая функции сравнительного правоведения 24.14 KB
  Сравнительное правоведение как и любая другая наука воздействует на общество. Научная функция Сравнительное правоведение является одним из важнейших поставщиков информации об иностранных правовых системах для всей юридической науки. Кроме этого сравнительное правоведение обладает и самостоятельной научной ценностью особенно в части разработки теории правовой системы. Сравнительное правоведение один из немногих курсов позволяющих более или менее подробно ознакомиться иными правовыми системами что существенно расширяет профессиональный...
82514. Правовая семья (правовая система) – основное понятие сравнительного правоведения 27.46 KB
  Правовая система как совокупность социальных институтов их функциональных связей и качественных характеристик посредством которых осуществляется правовое регулирование общественных отношений. Наиболее распространен в современной компаративистике термин правовая семья Категория правовая семья служит для обозначения группы правовых систем имеющих сходные юридические признаки позволяющие говорить об относительном единстве этих систем. Понятие правовая семья отражает те особенности некоторых правовых систем которые являются результатом...