48650

Расчет структуры осесимметричных стационарных электромагнитных полей

Курсовая

Физика

Решение производится в цилиндрических координатах связанных с центром основания цилиндра r радиусвектор точки наблюдения ось x направлена вдоль приложенного магнитного поля рис.1 методом разделения переменных методом Фурьев соответствии с которым решение будем искать в виде произведения двух функций каждая из которых зависит только от одной координаты: 1.4 Этим самым решение уравнения 1.

Русский

2013-12-13

203 KB

3 чел.

Расчет структуры осесимметричных стационарных

электромагнитных полей.

1. Общее  задание.

      Осесимметричное тело радиуса R находится в однородном внешнем электрическом поле Е0, перпендикулярном к его оси. Заданы материальные характеристики окружающей среды. Получить аналитические выражения для потенциалов i и e и для полей Еi  и Ee, соответственно внутри и вне тела. Для заданных численных  значений параметров задачи построить семейство эквипотенциальных линий (10) в плоскости оси симметрии тела. Найти плотность зарядов поверхности проводника.

2. Параметры  задачи.

     Бесконечный заряженный проводящий цилиндр в вакууме

R = 6см, E0 = 100 кВ/м, e = 1, = 8*10-8 Кл/м Координаты точки M: r=6 см, =45.

3. Решение.

       Решение производится в цилиндрических координатах, связанных с центром основания цилиндра, r — радиус-вектор точки наблюдения, ось x направлена вдоль приложенного магнитного поля (рис. 1.1).

При таком расположении цилиндра, потенциал поля не будет зависеть от координаты z, и двухмерное уравнение Лапласа

Рис 1.1

запишется в виде [1]:

 (1.1)

Как внутри, так и вне цилиндра сторонних зарядов нет, поэтому следует решать уравнение Лапласа  с соответствующими граничными условиями на поверхности r =R.

Решим уравнение (1.1) методом разделения переменных (методом Фурье),в соответствии с которым решение будем искать в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной координаты:

 (1.2)

    После подстановки выражения (1.2) в (1.1) получается

    Домножая на r /MN, легко заметить, что переменные разделяются

      Это равенство не должно нарушаться, если одну из независимых переменных  r  или произвольно менять, а другой придать произвольное, но постоянное значение. Очевидно, что при изменениях r или каждая часть уравнения должна  оставаться постоянной и равной одному и тому же числу – постоянной разделения

p [1]:                 

       (1.3)

     (1.4)

       Этим самым решение уравнения (1.1) с частными производными сведено к более простой задаче - к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

      Прежде всего надо найти частные решения уравнений (1.3) и (1.4) для  p=0. Обозначим их M0 и N0, и в результате получим:

      Т. к. потенциал является четной функцией относительно ,  т. е.

то необходимо принять

     Если взять, согласно равенству (1.2), произведение функций  и  и  изменить обозначение постоянных, то можно получить частное решение уравнения Лапласа в виде

         (1.5)

     Пусть теперь постоянная разделения p в уравнениях (1.3) и (1.4) отлична от нуля.

     Для решения уравнения (1.3) применим подстановку Эйлера  Первая и вторая производные соответственно будут равны

     Подставим производные в уравнение

или            (1.6)

     Значение p определим при интегрировании уравнения (1.4):

      Решение его можно записать в виде N = E cos[2]. Убедимся в этом путем подстановки и одновременно найдем значение  p:

    Следовательно, p = 1.

    После нахождения числа p подставим его в (1.6) и найдем:  и  Таким образом, совместное решение уравнений (1.3) и (1.4) при p, не равном нулю, дает следующее выражение для

       (1.7)

   Полное решение:

    (1.8)

      В (1.8) присутствуют четыре неизвестных постоянных, значения которых зависят от того, какой цилиндр (проводящий или диэлектрический) внесен в поле. Для их определения надо учесть также не только условия на поверхности, но и на довольно большом отдалении от цилиндра, т.е. условия на бесконечности. Так как отрицательные заряды смещаются на поверхность тела, которая обращена в сторону более высокого потенциала, а положительные в противоположную сторону. Поверхность тела эквипотенциальна. Вектор напряжённости внешнего поля в точке поверхности (любой) подходит к ней под прямым углом. Внутри проводящего тела напряженность поля равна нулю, так как внешнее поле компенсируется полем зарядов, расположенных на поверхности тела.

на бесконечности:

= 0 – Е0cos +  (1.9).

Так как решение уравнения  (1.8) годится  и для точек поля, весьма далеко (бесконечно далеко) удалённых от цилиндра, то можно сопоставить выражения (1.8) и (1.9). Они должны давать один и тот же результат. Это будет только в том случае, когда соответствующие слагаемые в обоих выражениях равны. Из сопоставления следует, что

Для нахождения  С4 воспользуемся тем, что в условиях электростатики все точки поверхности шара имеют один и тот же потенциал. Пусть R в данных уравнениях равно  R из условия, тогда:

= const = 0 +  +(  - RЕ0 )cos .        (1.10)

Правая часть будет постоянной с изменением только при условии, что  - RЕ0 = 0, откуда

С4 = E0R2.        (1.11)

Получим аналитическое выражение для потенциала цилиндра:

= 0 +  +(  - R)Е0 cos .

  r=-=- Е0 cos ( - - 1) +;          (1.12)

     ;

Уравнение эквипотенциальных линий в плоскости, проходящей через центр цилиндра перпендикулярно электрическому полю Е0, заданное в цилиндрических координатах, имеет вид

    , (1.13)

где n=const – фиксированное значение потенциала, выбранное для построения;

эквипотенциалы (n=1,2,3...).

    =   +(  - R)Е0 cos .

Найдём плотность зарядов поверхности проводника.

= D  = 0E.

=


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53652. Лицемерие в комедии Ж.Б.Мольера «Тартюф» 57 KB
  Кого сегодня нет учитель отмечает в журнале отсутствующих. Учитель: Запишите пожалуйста тему урока. Учитель: Запишите пожалуйста эпиграф полное имя и годы жизни драматурга. Учитель: До Мольера комедии считались низким жанром.
53653. Бюджетирование как инструмент финансового планирования. Финансовые бюджеты 27 KB
  Планирование текущей деятельности предприятия заключается в построении генерального бюджета, представляющего собой систему взаимосвязанных операционных и финансовых бюджетов
53654. Прямоугольник и квадрат 53 KB
  Цель: Формировать первоначальное представление о геометрических фигурах: прямоугольник и квадрат. Задачи: 1 уточнить понятия прямоугольника и квадрата выявить существенные признаки прямоугольника и квадрата 2 формировать способность к распознанию фигур на основе существенных свойств изображению и вычислению их периметра 3 развивать устные вычислительные навыки логическое мышление обогащать...
53655. Деление чисел с разными знаками 2.66 MB
  Организационный момент Учитель: Здравствуйте садитесь. Проверка домашнего задания учитель включает проектор со слайдом домашней работы на котором также отражены критерии оценки работы Учитель: Поменяйтесь тетрадями. ученики сверяют ответы Учитель: Критерий оценки: все решено верно – ставьте ПЯТЬ один минус – ЧЕТЫРЕ дватри минуса – ТРИ во всех остальных случаях – ДВА. Устная работа Таблица с правилом знаков на магнитной доске Учитель: повторим правило знаков для умножения внимание на магнитную доску.
53656. Сложение 36 KB
  Что обозначают точки Сравните эти ряды что вы заметили в 1ом ряду числа расположены в порядке возрастания в 2ом ряду в порядке убывания 2. слайд № 5 счет до 10 в прямом и обратном порядке Назову я вам число Всем известное оно.
53657. Смысл сложения. Выражение. Равенство 31.5 KB
  Оборудование: таблички со словами: выражение сумма слагаемые значение суммы равенства; кодоскоп с заданиями на пленке таблица Грибы счетный материал белки и грибы 30 шт. наборное полотно калькуляторы корзинки кондитерские грибы на ватмане рисунок Старичка моховичка схема объединения множеств. Приглашаю вас друзья По грибы сегодня я.Коля с мамой в лес ходил Там грибы он находил А когда домой пришел Все грибы сложил на стол.
53658. Прием вычитания с переходом через десяток 58.5 KB
  Записать на доске пример 124 Как можно вычесть 4 Можно вычесть 4 по частям. Убрать два круга из нижнего ряда Сколько мы вычли из 12 Сколько осталось кругов Записать 122=10 А нам надо вычесть 4. Дополнить первую запись 12 4 2 Затем убрать с наборного полотна еще два круга и записать: 12 – 2 2 Сколько кругов осталось Как мы из...
53659. Письменное сложение двузначных чисел с переходом через разряд 41 KB
  Работа одного ученика у доски остальные в тетрадях. Что нам нужно сделать Работают возле доски. Работа одного ученика возле доски остальные в тетрадях. Теперь что нам нужно сделать Какое действие будем выполнять Работа одного ученика возле доски остальные в тетрадях.
53660. Страна музыкальных инструментов 73 KB
  Цель урока: показать многообразие музыкальных инструментов; познакомить детей с различными видами музыкальных инструментов; освоить игру на детских музыкальных инструментах. Русский наигрыш полянка Слушание Исполнение песни детьми Слушание Слушание Слушание Игра детей на детских музыкальных инструментах закрепление материала...