48650

Расчет структуры осесимметричных стационарных электромагнитных полей

Курсовая

Физика

Решение производится в цилиндрических координатах связанных с центром основания цилиндра r радиусвектор точки наблюдения ось x направлена вдоль приложенного магнитного поля рис.1 методом разделения переменных методом Фурьев соответствии с которым решение будем искать в виде произведения двух функций каждая из которых зависит только от одной координаты: 1.4 Этим самым решение уравнения 1.

Русский

2013-12-13

203 KB

3 чел.

Расчет структуры осесимметричных стационарных

электромагнитных полей.

1. Общее  задание.

      Осесимметричное тело радиуса R находится в однородном внешнем электрическом поле Е0, перпендикулярном к его оси. Заданы материальные характеристики окружающей среды. Получить аналитические выражения для потенциалов i и e и для полей Еi  и Ee, соответственно внутри и вне тела. Для заданных численных  значений параметров задачи построить семейство эквипотенциальных линий (10) в плоскости оси симметрии тела. Найти плотность зарядов поверхности проводника.

2. Параметры  задачи.

     Бесконечный заряженный проводящий цилиндр в вакууме

R = 6см, E0 = 100 кВ/м, e = 1, = 8*10-8 Кл/м Координаты точки M: r=6 см, =45.

3. Решение.

       Решение производится в цилиндрических координатах, связанных с центром основания цилиндра, r — радиус-вектор точки наблюдения, ось x направлена вдоль приложенного магнитного поля (рис. 1.1).

При таком расположении цилиндра, потенциал поля не будет зависеть от координаты z, и двухмерное уравнение Лапласа

Рис 1.1

запишется в виде [1]:

 (1.1)

Как внутри, так и вне цилиндра сторонних зарядов нет, поэтому следует решать уравнение Лапласа  с соответствующими граничными условиями на поверхности r =R.

Решим уравнение (1.1) методом разделения переменных (методом Фурье),в соответствии с которым решение будем искать в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной координаты:

 (1.2)

    После подстановки выражения (1.2) в (1.1) получается

    Домножая на r /MN, легко заметить, что переменные разделяются

      Это равенство не должно нарушаться, если одну из независимых переменных  r  или произвольно менять, а другой придать произвольное, но постоянное значение. Очевидно, что при изменениях r или каждая часть уравнения должна  оставаться постоянной и равной одному и тому же числу – постоянной разделения

p [1]:                 

       (1.3)

     (1.4)

       Этим самым решение уравнения (1.1) с частными производными сведено к более простой задаче - к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

      Прежде всего надо найти частные решения уравнений (1.3) и (1.4) для  p=0. Обозначим их M0 и N0, и в результате получим:

      Т. к. потенциал является четной функцией относительно ,  т. е.

то необходимо принять

     Если взять, согласно равенству (1.2), произведение функций  и  и  изменить обозначение постоянных, то можно получить частное решение уравнения Лапласа в виде

         (1.5)

     Пусть теперь постоянная разделения p в уравнениях (1.3) и (1.4) отлична от нуля.

     Для решения уравнения (1.3) применим подстановку Эйлера  Первая и вторая производные соответственно будут равны

     Подставим производные в уравнение

или            (1.6)

     Значение p определим при интегрировании уравнения (1.4):

      Решение его можно записать в виде N = E cos[2]. Убедимся в этом путем подстановки и одновременно найдем значение  p:

    Следовательно, p = 1.

    После нахождения числа p подставим его в (1.6) и найдем:  и  Таким образом, совместное решение уравнений (1.3) и (1.4) при p, не равном нулю, дает следующее выражение для

       (1.7)

   Полное решение:

    (1.8)

      В (1.8) присутствуют четыре неизвестных постоянных, значения которых зависят от того, какой цилиндр (проводящий или диэлектрический) внесен в поле. Для их определения надо учесть также не только условия на поверхности, но и на довольно большом отдалении от цилиндра, т.е. условия на бесконечности. Так как отрицательные заряды смещаются на поверхность тела, которая обращена в сторону более высокого потенциала, а положительные в противоположную сторону. Поверхность тела эквипотенциальна. Вектор напряжённости внешнего поля в точке поверхности (любой) подходит к ней под прямым углом. Внутри проводящего тела напряженность поля равна нулю, так как внешнее поле компенсируется полем зарядов, расположенных на поверхности тела.

на бесконечности:

= 0 – Е0cos +  (1.9).

Так как решение уравнения  (1.8) годится  и для точек поля, весьма далеко (бесконечно далеко) удалённых от цилиндра, то можно сопоставить выражения (1.8) и (1.9). Они должны давать один и тот же результат. Это будет только в том случае, когда соответствующие слагаемые в обоих выражениях равны. Из сопоставления следует, что

Для нахождения  С4 воспользуемся тем, что в условиях электростатики все точки поверхности шара имеют один и тот же потенциал. Пусть R в данных уравнениях равно  R из условия, тогда:

= const = 0 +  +(  - RЕ0 )cos .        (1.10)

Правая часть будет постоянной с изменением только при условии, что  - RЕ0 = 0, откуда

С4 = E0R2.        (1.11)

Получим аналитическое выражение для потенциала цилиндра:

= 0 +  +(  - R)Е0 cos .

  r=-=- Е0 cos ( - - 1) +;          (1.12)

     ;

Уравнение эквипотенциальных линий в плоскости, проходящей через центр цилиндра перпендикулярно электрическому полю Е0, заданное в цилиндрических координатах, имеет вид

    , (1.13)

где n=const – фиксированное значение потенциала, выбранное для построения;

эквипотенциалы (n=1,2,3...).

    =   +(  - R)Е0 cos .

Найдём плотность зарядов поверхности проводника.

= D  = 0E.

=


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23447. Битва за небеса 1.56 MB
  После нее победители немцев Британия Франция и США устанавливают Версальскую систему равновесия. Германия снова повержена и победители прежде всего наша Империя и США в 1944 году на Ялтинской конференции проектируют Ялтинскую модель мира. С балансом сил двух мировых держав СССР и США. Проклятая Североатлантическая сила ударит и по России едва только у нас сгниют от старости последние баллистические ракеты способные ударить по США.
23448. Геноцид русского народа 288.39 KB
  Ежегодно население России её коренных народов неуклонно сокращается и этот процесс вотвот станет необратимым. Каждый раз ставилась цель: довести долю машин и оборудования в экспорте России хотя бы до уровня 1985 года хотя бы до 40 . При этом промышленность России 2000х годов примерно в 13 раза энергопрожорливее индустрии СССР 1985 года. Ну где это всё Производительный малый бизнес в России раздавлен.
23449. Секретная служба в тылу немцев (1914 - 1918 гг.) 1.97 MB
  В 1913 году закончил колледж Гонвилла и Кейюса в Кембридже и собирался продолжить учебу чтобы стать горным инженером но с началом Первой мировой войны пошел добровольцем на фронт сначала служил в медицинской службе потом в полевой артиллерии где дослужился до капитана. Тем не менее они отмечали что в книгах содержится ряд неточностей и что автор порой слишком преувеличивал свои заслуги. Если мне не придётся больше быть в Голландии то я всё же буду помнить что дорога из Роттердама в Амстердам через Гаагу и Гарлем ровная а вокруг...
23450. История гитлерюгенда 404.5 KB
  История гитлерюгенда Введение ХХ век далеко не случайно считается эпохой тоталитаризма. У части западных историков сложилось восприятие гитлерюгенда как организации автономной от НСДАП и государственных органов Третьего Рейха. Поэтому несомненно что в большинстве своем члены гитлерюгенда свободны от вины за преступления совершенные нацистами. Но несмотря на всё это надо объективно рассматривать историческую роль гитлерюгенда так как он был организацией вполне интегрированной в политическую систему Третьего Рейха.
23451. Алфавитно-справочный перечень государей русских и замечательнейших особ их крови 4.98 MB
  АГАФИЯ великая княгиня Так некоторые известия именуют жену Всеволода II Ольговича великого князя киевского сообщая что она выдана за него в 1116 г. 189 и родила мужу сыновей Святослава князя киевского и Ярослава князя черниговского да еще дочь Звениславу за Болеславом IV герцогом польским. АГАФИЯ ВСЕВОЛОДОВНА великая княгиня жена по Татищеву вторая великого князя Юрия Георгия II Всеволодовича великого князя владимирского дочь Всеволода Святославича Чермного князя черниговского одно время великого князя киевского от...
23453. Древние майя. Загадки погибшей цивилизации 2.28 MB
  Древние майя. Кто создал эти колоссы Когда С какой целью Что вызвало к жизни блестящую цивилизацию майя в саном центре гиблых тропических джунглейАвтор книги на основе новейших данных о древнеамериканской истории рассматривает ряд таинственных событий далекого прошлого индейцев майя. Гуляева это древнейшие судьбы Мезоамерики важнейшего и глубоко своеобразного региона одного из первых очагов производящего хозяйства высокой и оригинальной цивилизации индейских народностей майя сапотеков нахуа. Гуляев назвал ее Древние...
23454. Георгий Константинович Жуков Воспоминания и размышления 10.56 MB
  Скоро мы узнали что в Питере 9 января 1905 года царские войска и полиция расстреляли мирную демонстрацию рабочих которая шла к царю с петицией просить лучших условий жизни. После Нижегородской ярмарки в том же году пришлось поехать на другую ярмарку в Урюпино в Область Войска Донского. Я всегда восхищался этим романтическим родом войск. От раненых мы многое узнали и в первую очередь то что наши войска очень плохо вооружены.
23455. Третий Рим 14.12 MB
  Ведь ему известно что русские были сторонниками христианской Византии и противниками мусульманской Турции. Следуя тезису о богоустановленном единстве всего христианского мира Филофей доказывал что первым мировым центром был Рим старый за ним Рим новый Константинополь а в последнее время на их месте стал третий Рим Москва. Не надо думать что это какаято гипербола или метафора. Филофей ясно подчеркивает что речь идет об объединении всех христианских царств под властью великого князя Василия.