48650

Расчет структуры осесимметричных стационарных электромагнитных полей

Курсовая

Физика

Решение производится в цилиндрических координатах связанных с центром основания цилиндра r радиусвектор точки наблюдения ось x направлена вдоль приложенного магнитного поля рис.1 методом разделения переменных методом Фурьев соответствии с которым решение будем искать в виде произведения двух функций каждая из которых зависит только от одной координаты: 1.4 Этим самым решение уравнения 1.

Русский

2013-12-13

203 KB

3 чел.

Расчет структуры осесимметричных стационарных

электромагнитных полей.

1. Общее  задание.

      Осесимметричное тело радиуса R находится в однородном внешнем электрическом поле Е0, перпендикулярном к его оси. Заданы материальные характеристики окружающей среды. Получить аналитические выражения для потенциалов i и e и для полей Еi  и Ee, соответственно внутри и вне тела. Для заданных численных  значений параметров задачи построить семейство эквипотенциальных линий (10) в плоскости оси симметрии тела. Найти плотность зарядов поверхности проводника.

2. Параметры  задачи.

     Бесконечный заряженный проводящий цилиндр в вакууме

R = 6см, E0 = 100 кВ/м, e = 1, = 8*10-8 Кл/м Координаты точки M: r=6 см, =45.

3. Решение.

       Решение производится в цилиндрических координатах, связанных с центром основания цилиндра, r — радиус-вектор точки наблюдения, ось x направлена вдоль приложенного магнитного поля (рис. 1.1).

При таком расположении цилиндра, потенциал поля не будет зависеть от координаты z, и двухмерное уравнение Лапласа

Рис 1.1

запишется в виде [1]:

 (1.1)

Как внутри, так и вне цилиндра сторонних зарядов нет, поэтому следует решать уравнение Лапласа  с соответствующими граничными условиями на поверхности r =R.

Решим уравнение (1.1) методом разделения переменных (методом Фурье),в соответствии с которым решение будем искать в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной координаты:

 (1.2)

    После подстановки выражения (1.2) в (1.1) получается

    Домножая на r /MN, легко заметить, что переменные разделяются

      Это равенство не должно нарушаться, если одну из независимых переменных  r  или произвольно менять, а другой придать произвольное, но постоянное значение. Очевидно, что при изменениях r или каждая часть уравнения должна  оставаться постоянной и равной одному и тому же числу – постоянной разделения

p [1]:                 

       (1.3)

     (1.4)

       Этим самым решение уравнения (1.1) с частными производными сведено к более простой задаче - к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

      Прежде всего надо найти частные решения уравнений (1.3) и (1.4) для  p=0. Обозначим их M0 и N0, и в результате получим:

      Т. к. потенциал является четной функцией относительно ,  т. е.

то необходимо принять

     Если взять, согласно равенству (1.2), произведение функций  и  и  изменить обозначение постоянных, то можно получить частное решение уравнения Лапласа в виде

         (1.5)

     Пусть теперь постоянная разделения p в уравнениях (1.3) и (1.4) отлична от нуля.

     Для решения уравнения (1.3) применим подстановку Эйлера  Первая и вторая производные соответственно будут равны

     Подставим производные в уравнение

или            (1.6)

     Значение p определим при интегрировании уравнения (1.4):

      Решение его можно записать в виде N = E cos[2]. Убедимся в этом путем подстановки и одновременно найдем значение  p:

    Следовательно, p = 1.

    После нахождения числа p подставим его в (1.6) и найдем:  и  Таким образом, совместное решение уравнений (1.3) и (1.4) при p, не равном нулю, дает следующее выражение для

       (1.7)

   Полное решение:

    (1.8)

      В (1.8) присутствуют четыре неизвестных постоянных, значения которых зависят от того, какой цилиндр (проводящий или диэлектрический) внесен в поле. Для их определения надо учесть также не только условия на поверхности, но и на довольно большом отдалении от цилиндра, т.е. условия на бесконечности. Так как отрицательные заряды смещаются на поверхность тела, которая обращена в сторону более высокого потенциала, а положительные в противоположную сторону. Поверхность тела эквипотенциальна. Вектор напряжённости внешнего поля в точке поверхности (любой) подходит к ней под прямым углом. Внутри проводящего тела напряженность поля равна нулю, так как внешнее поле компенсируется полем зарядов, расположенных на поверхности тела.

на бесконечности:

= 0 – Е0cos +  (1.9).

Так как решение уравнения  (1.8) годится  и для точек поля, весьма далеко (бесконечно далеко) удалённых от цилиндра, то можно сопоставить выражения (1.8) и (1.9). Они должны давать один и тот же результат. Это будет только в том случае, когда соответствующие слагаемые в обоих выражениях равны. Из сопоставления следует, что

Для нахождения  С4 воспользуемся тем, что в условиях электростатики все точки поверхности шара имеют один и тот же потенциал. Пусть R в данных уравнениях равно  R из условия, тогда:

= const = 0 +  +(  - RЕ0 )cos .        (1.10)

Правая часть будет постоянной с изменением только при условии, что  - RЕ0 = 0, откуда

С4 = E0R2.        (1.11)

Получим аналитическое выражение для потенциала цилиндра:

= 0 +  +(  - R)Е0 cos .

  r=-=- Е0 cos ( - - 1) +;          (1.12)

     ;

Уравнение эквипотенциальных линий в плоскости, проходящей через центр цилиндра перпендикулярно электрическому полю Е0, заданное в цилиндрических координатах, имеет вид

    , (1.13)

где n=const – фиксированное значение потенциала, выбранное для построения;

эквипотенциалы (n=1,2,3...).

    =   +(  - R)Е0 cos .

Найдём плотность зарядов поверхности проводника.

= D  = 0E.

=


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74591. Современное состояние и перспективы развития токсикологии отравляющих и сильнодействующих ядовитых веществ 114.5 KB
  Значительная часть американских химических боевых средств размещена и за пределами национальной территории: в Южной части Тихого океана (атолл Джонсоне) и в Германии. Общий объём ОВ, находящихся только на территории Германии
74592. Отравляющие и сильнодействующие ядовитые вещества нервно-паралитического действия. Клиника, диагностика и лечение 126 KB
  Это объясняется следующими свойствами ФОВ: а высокой токсичностью в десятки раз и сотни превышающая токсичность старых ОВ ультраяды один вдох смертелен при концентрации 01 мг л. На тактическое использование ФОВ существенное влияние оказывают их физико-химические и токсические свойства. После возникновения клинической картины отравления смертельный исход наступает обычно быстрее чем при поражении другими ФОВ. Способы доставки ФОВ: авиабомбы артиллерийские химические снаряды мины фугасы специальные распылители...
74593. Отравляющие и сильнодействующие ядовитые вещества общеядовитого действия. Клиника 29.97 KB
  Физикохимические и токсические свойства синильной кислоты цианидов оксида углерода нитробензола серо водорода акрилнитрила динитроортокрезола и др. Некоторые органические соедине ния синильной кислоты употребляются в сельском хозяйстве в добывающей промышленности могут встречаться поражения людей этими соединениями. снарядами снаряженными смесью синильной кислоты и треххлористого мышьяка. синильной кислоты и хлорциана опасность синильной кислоты в полевых условиях оказалась не существенной изза низкой устойчивости ее паров в...
74594. Отравляющие и сильнодействующие ядовитые вещества удушающего действия. Клиника. Диагностика и лечение 35.16 KB
  Для клинической картины интоксикации этими ОВ типично развитие острого отека легких который и является основной причиной гибели пораженных. Газобаллонные пуски хлора предпринятые немецкими милитаристами 22 апреля 1915 года вызвали массовое поражение токсическим отеком легких. Военному врачу нужно быть готовым к оказанию помощи больным с токсическим отеком легких и в мирное время. ОВ удушающего действия фосген и дифосген вызывают развитие токсического отека легких без выраженных резорбтивных признаков.
74595. Отравляющие вещества раздражающего действия 23.47 KB
  Изучить патологию клинику и лечение поражений ОВ раздражающего действия. Рассмотреть медицинские средства профилактики оказания помощи и лечение поражений ОВ раздражающего действия. Бадюгина Материальное обеспечение: Таблицы по ОВ раздражающего действия.
74596. Отравляющие и сильнодействующие ядовитые вещества психотомиметического действия. Клиника, диагностика и лечение 71.5 KB
  Изучить патологию, клинику и лечение поражений ОВ психотомиметического действия. Изучить медицинские средства профилактики, оказания помощи и лечение поражений ОВ психотомиметического действия.
74597. Ядовитые технические жидкости 78 KB
  Знать токсикологическую характеристику ядовитых технических жидкостей. Знать медицинские средства профилактики, оказания помощи и лечение поражений ядовитыми техническими жидкостями.