48652

Расчет структуры электромагнитных полей

Курсовая

Физика

Задача настоящей работы – теоретическое исследование электромагнитного поля, основывающееся на классических представлениях о нём, и численное нахождение его характеристик.

Русский

2013-12-22

780 KB

3 чел.

Сумский государственный университет

Физико-технический факультет

Кафедра физической электроники

Курсовая работа

«Расчет структуры электромагнитных полей »

по курсу «Теория поля»

Выполнил: Студент группы

(вариант №70)

Проверил: Соколов Сергей Викторович

Сумы, 2012 г.Содержание

Введение

1. Задание 1

  1.  Постановка задачи
    1.  Решение
    2.  Результат

2. Задание 2

2.1 Постановка задачи

2.2 Решение

2.3 Результат

Введение

Задача настоящей работы – теоретическое исследование электромагнитного поля, основывающееся на классических представлениях о нём, и численное нахождение его характеристик .

Отправной точкой в этом служит модель электромагнитного поля, описанная уравнениями Максвелла. Она достаточно широко изучена, в её рамках объяснен ряд процессов и явлений электромагнетизма, для описания которых выработан удобный и мощный математический аппарат.

В рамках этой работы будут рассмотрены случаи электростатического поля и волнового процесса в прямоугольном волноводе. Обе эти модели являются классическими. Вторая, в частности, описывает ряд процессов в электронной передающей технике.

Наша цель – расчёт структуры постоянных полей внутри и вне осесимметричного тела, а также переменных полей в прямоугольном волноводе с заданными характеристиками.

Основной метод исследования – решение уравнений Максвелла, уравнений, описывающих волны в реальных средах с учётом законов, так или иначе характеризующих электромагнитное поле (таких, как материальные уравнения, уравнение Лапласа, волновые уравнения Гельмгольца и др.) методом разделения переменных. Сам метод разделения переменных является крайне удобным во многих задачах, рассматриваемых теорией электромагнит. поля. В нашем случае мы с его помощью находим интересующие нас аналитические выражения. Некоторые величины рассчитываются на ЭВМ с применением численных методов.

“Расчет структуры осесимметричных стационарных полей”

1.1 Постановка задачи

Осесимметричное тело радиуса R=10см находится в однородном внешнем электрическом поле E0, перпендикулярном к его оси, E0=150кВ/м. Заданы материальные характеристики окружающей среды: e=1, =410-8. Получить аналитические выражения для потенциалов i и e полей Ei и Ee соответственно внутри и вне тела. Для заданных численных значений параметров задачи построить семейство эквипотенциальных линий (10 линий) в плоскости, перпендикулярной оси симметрии тела.

Найти плотность зарядов поверхности проводника.

1.2 Решение

Решение проводится в цилиндрических координатах, связанных с осью цилиндра, r – радиус-вектор точки наблюдения, ось Z направлена перпендикулярно приложенному электрическому полю (рисунок 1.1).

Величины, служащие для описания поля внутри цилиндра пометим индексом – i, величины для внешней области – индексом e.

На границе проводящее тело – диэлектрик (а вакуум это диэлектрик с =1) при отсутствии тока по проводящему телу выполняется два условия:

  •  отсутствует тангенциальная (касательная к поверхности) составляющая напряженности поля Et=0;
  •  вектор электрического смещения  в любой точке диэлектрика, непосредственно примыкающей к поверхности проводящего тела, численно равен плотности заряда σ на поверхности проводящего тела к этой точке D=σ.

Если в равномерное поле (направлено перпендикулярно оси Z), напряженность которого равна E0 внести проводящий цилиндр, то электрическое поле, особенно вблизи цилиндра, исказится, перестанет быть равномерным. Характер искажений поля зависит от размеров цилиндра, от его напряженности и от величины заряда на цилиндре.

Цилиндр проводящий. Значит, силовые линии должны подходить к его поверхности под прямым углом. Проводящий цилиндр не заряжен. Значит, на нем вследствие явления электромагнитной индукции произойдет разделение зарядов. Силовые линии будут заканчиваться или начинаться на них.

Цилиндр проводящий. Значит внутри цилиндра E=0 и φ=const. Во внешней, по отношению к цилиндру, области нет свободных зарядов, и поэтому поле в наружной области описывается уравнением Лапласа.

Вне цилиндра сторонних зарядов нет, поэтому следует решать уравнение Лапласа

(1.0)

с соответствующими граничными условиями на поверхности r=R.

В выбранной нами, для удобства, цилиндрической системе координат уравнение Лапласа можно представить в виде

(1.1)

Условия симметрии тела облегчает решение задачи. Если мысленно рассечь поле плоскостью, перпендикулярной оси Z и провести в этой плоскости окружность так, чтобы центр ее лежал на оси Z (рисунок 1.1), то окажется, что все точки этой окружности находятся в одинаковых условиях. Поэтому их потенциал один и тот же и выражение (1.1), можно переписать, опустив третье слагаемое, так как для всех точек, обладающих r=const потенциал не будет зависеть от z. Таким образом, поле будет описываться уравнением:

(1.2)

Выражение (1.2) представляет собой уравнение в частных производных. Для интегрирования подобного рода уравнений применяется метод Фурье, согласно которому искомую функцию представляют в виде произведения функций:

 (1.3)

Функция М зависит только от r, а N - только от , обе они подлежат определению.

Определение функции в виде произведения удобно тем, что позволяет разбить уравнение в частных производных (1.1) на два обыкновенных дифференциальных уравнения, одно из которых будет составлено относительно М, а другое – относительно N.

Подставив (1.3) в (1.2):

(1.4)

Почленно разделив (1.4) на произведение MN, преобразуем это уравнение таким образом, чтобы в одной части уравнения была функция только от r, а в другой – только от α

(1.5)

Так как левая и правая части уравнения (1.5) зависят от различных переменных, то они должны быть равны некоторой постоянной, например «р» (постоянной разделения) или нулю. В результате получаем две пары дифференциальных уравнения:

(1.6) ;(1.7) ;(1.6’);

(1.7’);

Значение р определим из (1.7). Решение можно записать в виде:

(1.8); тогда (1.9)

Подставляя (1.8) и (1.9) в уравнение (1.7) получим: -1=-p, p=1

Приравниваем уравнение (1.6) к численному значению р и находим М:

(1.10); Разделим обе части уравнения (1.10) на r/M, получим: (1.11);

В результате:(1.12);

Найдем решение уравнения (1.7) приравняв его к численному значению р:(1.13)

Решая (1.13) относительно N, получаем:

(1.14)

Так как потенциал является четной функцией относительно α, т.е. , то С4=0:

(1.15)

Подставляя (1.11) и (1.15) в соотношение (1.3) получим решение уравнения:

(1.16).Теперь решим (1.6’). Его решение:(1.17)

И для (1.7’): (1.18)

α изменяется от 0 до 2π. Получается, что в одной точке будет два значения потенциала, значит нужно положить А3=0, тогда:

N=A4 (1.19)

Следовательно, частное решение для φ2, вытекающее из выражения (1.3) следующее:

(1.20),где С3=А1А4; С4=А2А4;Полное решение (1.2) имеет вид (константы переобозначены): (1.21)

Для определения четырех постоянных (С1;C2;C3;C4) используем граничные условия на поверхности цилиндра и на бесконечности.

Цилиндр заряжен. Все точки внутри него имеют одинаковый потенциал. Обозначим его φ0.

При удалении от цилиндра на большое расстояние , где R - радиус цилиндра, возмущающее действие цилиндра на поле проявляется как возмущение от заряженной нити (оси), если цилиндр будет иметь заряд Q.

Потенциал φ на бесконечности запишем в виде:

 (1.22)

Первое слагаемое в правой части дает составляющую потенциала от линейной плотности заряда:

(1.23)

сообщенной цилиндру.

Слагаемое  учитывает прирост потенциала от напряженности однородного поля E0 на пути  Сравним выражения:

и

Отсюда можно сделать вывод:

Для нахождения С4 используем граничные условия на поверхности проводящего цилиндра, а именно Eτ=0; или φ(R)=const:

Правая часть будет постоянной при изменении α, только если:

Отсюда:

Таким образом для всех точек вне цилиндра:(1.24);

В нашем случае цилиндр заряжен. Значит . Тогда формула потенциала вне цилиндра имеет следующий вид:

(1.25)

Можно отметить, что поверхность цилиндра (r=R) образует одну равнопотенциальную поверхность, потенциал каждой равен φ0, поэтому потенциал внутри и на поверхности цилиндра равен:

(1.26)

Напряженность электрического поля имеет две составляющие одна из них (1.27);

исчезает на поверхности цилиндра как тангенциальная составляющая Eτ на поверхности проводника.

Вторая составляющая

(1.28)

принимает на поверхности цилиндра r=R значений:

наибольшее из которых получается со стороны падения поля и с тыльной стороны при α=0; α=180°.

Внутри цилиндра поле равно 0.

(1.29)

Напряженность поля вне цилиндра:

(1.30)

Вектор электрического смещения D, в любой точке диэлектрика, непосредственно примыкающей к поверхности проводящего тела, численно равен плотности заряда σ на поверхности проводящего тела в этой точке: .

(1.31)

Уравнение эквипотенциальных линий в плоскости (xoz), заданное в сферических координатах:

, (1.32)

где n = const – фиксированное значение потенциала, выбранное для построения эквипотенциали с индексами n = 1, 2, 3 … Уравнения эквипотенциальных линий внутри и вне цилиндра:

 (1.33)

(1.34)

Составляем блок-схему и программу для расчета и построения эквипотенциальных линий. Текст программы приведен в приложении А. Результаты построения приведены на рисунке 1.2.


“Расчет структуры переменных электромагнитных полей в волноводе”

2.1 Постановка задачи

Для заданной волны Е15 , = 13 мм, с начальной амплитудой поля E0=5кВ/см, распространяющейся в прямоугольном волноводе сечением a x b = 72 x 34 мм получить аналитические выражения продольной и поперечных компонент полей в комплексной форме записи и для мгновенных значений. Для численных параметров задачи построить эпюры полей по осям X, Y, Z, а также картину распределения полей в плоскостях XY и XZ. Рассчитать заданные характеристики полей и построить их зависимости от частоты. Параметры =1, =2.

Расcчитать длину волны в волноводе и эквивалентное сопротивление волновода, kp, ZЭ.

2.2 Решение

Процесс распространения электромагнитных волн в полости прямоугольного волновода рассматриваем, полагая, что стенки волновода выполнены из сверхпроводящего материала ( = ). При этом условии напряженность электрического поля на стенках волновода будет равна нулю (плотность тока на стенках волновода = E есть величина конечная).

Эскиз исследуемого волновода приведён на рисунке 2.1.

Полость волновода заполнена диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого . Длина волновода в направлении оси z не ограничена.

Для заданного типа волны выполняется условие: Ez0; Hz=0; m=1; n=5.

В соответствии с этим волновое уравнение для продольных компонент поля будет иметь вид

(2.1)

где  – круговая частота, – абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости.

Распространяющиеся в волноводе электромагнитные волны являются волнами, бегущими вдоль оси волновода (вдоль оси z-) и стоячими в двух остальных направлениях. Стоячие волны в направлениях x и y образуются вследствие многократных отражений волн от стенок волновода.

Структура E-волн такова, что составляющую вдоль оси волновода имеет только напряженность электрического поля, а напряженность магнитного поля расположена в плоскостях, перпендикулярных оси волновода. Другими словами, для E-волны

(2.2)

Если подставить (2.2) в уравнение (2.1), то последнее разобьется на три уравнения для проекций. Для проекции на ось z будем иметь следующее уравнение:

(2.3)

Упростим уравнение (2.3) путем подстановки решения вида

 (2.4)

справедливого для гармонических процессов в волноводах

– продольный коэффициент распространения в волноводе,  – длины волны в волноводе.

Множитель выражает собой то обстоятельство, что вдоль оси z движется бегущая волна.

Подставляем (2.4) в (2.3):

(2.3)

Обозначим

. (2.5)

и поделим (2.3) на . Получаем

 (2.6)

Воспользуемся методом разделения переменных и искомую функцию представим в виде

 (2.7)

и подставим в (2.6) , получаем:

Деля это уравнение на XY, получим:

Сумма двух функций  и , из которых одна является функцией только x, а другая – функцией только y, может равняться постоянному числу –  только в том случае, если каждая из этих функций есть постоянное число. Перейдем от частных производных к простым и положим

(2.6а); (2.6б);

Здесь p, q есть некоторые постоянные числа. Решением двух последних уравнений являются функции

Здесь  есть постоянные интегрирования, которые найдем из граничных условий. Таким образом, в соответствии с (2.4),

(2.7)

Здесь комплексная амплитуда

Для определения значений p, q, , ψ обратимся к первому и второму уравнениям Максвелла, записанным через проекции напряженностей на оси координат:

(2.8)  (2.11)

(2.9)  (2.12)

 (2.10)  (2.13)

В силу того, что для E-волны , то уравнения (2.8), (2.9), (2.13) можно упростить, убрав выражения, содержащие .

Как уже говорилось выше, на внутренних поверхностях стенок волновода напряженность электрического поля равна нулю. Следовательно,  Если это учесть, то из уравнения (2.7) получим:

Так как по формулам приведения , то мы получим следующее выражение:

 (2.14)

где m и n - целые числа; m - равно числу полуволн электромагнитной волны, которое разместиться по ширине волновода. Число n показывает, сколько полуволн разместится по высоте волновода.

Найдем теперь  Для определения  поступим следующим образом: из уравнения (2.8) выразим  и подставим в уравнение (2.12). Тогда получим

Отсюда

 (2.15)

Аналогично

 (2.16)

 (2.17)

 (2.18)

Проанализируем полученные результаты. Коэффициент играет роль постоянной распространения электромагнитной волны вдоль оси z. Если будет действительным числом, то волна при своем продвижении по волноводу будет затухать. Затухание будет отсутствовать, если будет мнимым числом.

Для того, чтобы связать с геометрическими размерами волновода a и b и числами m и n, подставим (2.14) в (2.3). Получим . Но . Поэтому, .

является мнимым числом при

Таким образом, по волноводу с заданными размерами a и b могут распространяться электромагнитные волны, если частота волны больше .

Для мгновенных значений компонент полей, получаем

Преобразуем полученные выражения, записав kp как функцию , а k1 как функцию а, b:

Для восстановления действительных значений необходимо компоненты полей домножить на опущенный ранее волновой множитель , перейти по формуле Эйлера к тригонометрической форме записи и взять действительную часть полученного выражения. В результате получаем:

Продольный коэффициент распространения будет равен [4]:

где - длина волны в волноводе, которая равна

В свою очередь связана с геометрическими размерами волновода как  (мм).

Таким образом:  (мм)

kp=2/;

kp=2 .3,14/12,52=0,501 (мм-1)

Одной из особенностей E-волн является то, что отношение поперечных составляющих электрического и магнитного полей не зависит от координат. Это отношение называется эквивалентным сопротивлением волновода, причем

Эпюры полей по осям, и текст работы программы приводится в приложении Б.

Перечень ссылок

1.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле.—М.: Высшая школа,1986.

2.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники.—Л. Высшая школа,1972.

3.Татур Т.А. Основы теории электромагнитного поля: Справочное пособие.— М.: Высшая школа, 1989.

4.Методические указания к выполнению курсовой работы ”Расчет структуры электромагнитных полей” по курсу “Теория поля”.—Сумы: СумГУ,1997.

5.Бронштейн И.Н.,Семендяев К.А. Справочник по математике.—М.: Наука,1964.

Приложение А

Программа для расчета и построения эквипотенциальных линий полей

#include<bios.h>

#include<stdlib.h>

#include<math.h>

#include<graphics.h>

const float a = 10, E0 = 150000, tau = 4e-8,eps=8.85e-12;

int hor, ver, but, in, scale = 20;

void ShowMouse() { asm { mov ax,1; int 033h } }

void StatusOfMouse() { asm { mov ax,3; int 033h; mov but,bx; mov hor, cx; mov ver,dx } }

void HideMouse() { asm { mov ax,2; int 033h } }

void MouseWindow() { asm { mov ax,8; mov cx,0029h; mov dx,0180h; int 033h } }

int MousePressed()

{ int fl_but;

asm { mov ax,3; int 033h; mov fl_but,bx }

if (fl_but) return 1; else return 0;

}

char *ftoa(float x,float digits)

{ char *p = 0; return gcvt(x,digits,p); }

void axes()

{

setcolor(RED); pieslice(320, 340, 0, 180, a*scale); setfillstyle(4, RED);

floodfill(322,338,RED); setcolor(YELLOW); line(0,340,640,340);

line(320,20,320,340);

outtextxy(30,350,"Left button - show coordinates; Right button - to draw" );

setcolor(WHITE); outtextxy(50,364,"+ SCALE -");rectangle(69,361,116,374);

outtextxy(325,30," -Z");

}

float potential(float x, float y)

{ float r=0, teta=0, Pt = 0;

r = sqrt(pow(x,2) + pow(y,2));

in = 0; if (r < a) in = 1; teta = asin(x/r);

if (in == 1) Pt = 20;;

if (in == 0) Pt = E0*cos(teta)*(-r+a*a/r)-tau*ln(r)*a/(2*M_PI*eps);

return Pt;

}

int solve(float x, float y)

{ float P, a1, x1, y1, delta,eps, Pt;

moveto(320 + scale*x, 340 - scale*y);

P = potential(x,y);

int h = 1;

begin:

a1 = -1.57;

do { x1 = x + cos(a1); y1 = y + sin(a1);

a1 = a1 + 0.001; Pt = potential(x1,y1);

delta = (Pt - P); eps = Pt/100;

 } while ( fabs(delta)>eps );

if ((scale*x1)<300 && (scale*y1)<300 && y1>0)

{ h++; if (h>100) return 0;

lineto(320 + scale*x1, 340 - scale*y1);

 x = x1; y = y1; goto begin; }

 else return 0;

}

void main()

{

int drv = 9, md = 2; float x_coo, y_coo;

initgraph(&drv,&md,"f:\\bcpp31\\bgi");

MouseWindow(); axes();

ShowMouse();

for(;;){

do { if (bioskey(1) == 283) { closegraph(); exit(0); }

if (bioskey(1) == 15104) { HideMouse(); cleardevice();

bioskey(0); axes(); ShowMouse(); }

} while (!MousePressed() );

setfillstyle(1,SOLID_FILL); bar(47,10,298,40); StatusOfMouse();

y_coo = (340 -(float)ver)/scale; x_coo = ((float)hor - 320)/scale;

if (ver>340 && hor<69 && scale<45) { cleardevice(); scale +=5; axes(); };

if (ver>340 && hor>116 && scale>5) { cleardevice(); scale -=5; axes(); };

HideMouse();

outtextxy(60,10,"X:");outtextxy(170,10," Y: F1 - Clear Screen; ESC - Quit");

outtextxy(105,30,"Potential:");outtextxy(87,10,ftoa(x_coo,5));

outtextxy(215,10,ftoa(y_coo,5));outtextxy(215,30,ftoa(potential(x_coo,y_coo),5));

if (but==2) solve(x_coo, y_coo);

ShowMouse();

}

} Приложение Б

Программа для расчета эпюр электромагнитных полей

#include<dir.h>

#include<stdio.h>

#include<conio.h>

#include<graphics.h>

#include<stdio.h>

#include<math.h>

const int N = 1000; // array variable

float E0 = 5, a = 0.0072, b = 0.0034, l = 0.013, ze = 276.8 , L = 0.0125 ,Kp = 0.502;

int m=1, n=5;

float kf1 , kf2;

float Hx(float x, float y)

 { return -kf1/ze * sin(m*M_PI*x/a)*cos(n*M_PI*y/b); }

float Hy(float x, float y)

 { return kf2/ze * cos(m*M_PI*x/a)*sin(n*M_PI*y/b); }

float Ex(float x, float y)

 { return E0*kf1 * cos(m*M_PI*x/a)*sin(n*M_PI*y/b); }

float Ey(float x, float y)

 { return E0*kf2 * sin(m*M_PI*x/a)*cos(n*M_PI*y/b); }

float F(float z)

{ return cos(-Kp*z); }

void main()

{ kf1 = E0*(m*n/L)*(a*b*b)/(m*m*b*b+n*n*a*a);

 kf2 = E0*(m/L)*(a*a*b)/(m*m*b*b+n*n*a*a);

Kp = 2*M_PI/L;

float x, y, z, E_x, E_y, H_x, H_y, H_z;

 mkdir("c:\\data_tp");

FILE *out;

out = fopen("c:\\data_tp\\file1.dat","wt");

 x = 0;

do

{

E_x = Ex(x,b/8); E_y = Ey(x,0); H_x = Hx(x,0); H_y = Hy(x,b/8);

fprintf(out,"%f %f %f %f %f \n",x, E_x, E_y, H_x, H_y);

 x += 1e-5;

} while (x < a);

fclose(out);

y = 0;

out = fopen("c:\\data_tp\\file2.dat","wt");

 do

{

E_x = Ex(0,y); E_y = Ey(a/2,y); H_x = Hx(a/2,y); H_y = Hy(0,y);

fprintf(out,"%f %f %f %f %f \n",y, E_x, E_y, H_x, H_y);

 y += 1e-5;

} while (y < b);

fclose(out);

z = 0;

out = fopen("c:\\data_tp\\file3.dat","wt");

do

{

E_x = -ze*kf2*F(z); E_y = -ze*kf1*F(z); H_x = kf1*F(z); H_y =kf2*F(z);

 H_z = E0*sin(-Kp*z);

fprintf(out,"%f %f %f %f %f %f\n",z, E_x, E_y, H_x, H_y, H_z);

 z += 1e-4;

} while (z < 0.1);

fclose(out);

float Lkp = 0.002239;

float vgr, vfz, cn = 0;

out = fopen("c:\\data_tp\\file4.dat","wt");

do

{

L = cn/( sqrt(3-(cn/Lkp)*(cn/Lkp)));

ze = 217.6*cn/L;

fprintf(out,"%f %f %f \n",cn, L, ze);

 cn += 1e-6;

} while (cn < Lkp-3e-5);

 fclose(out);

} 


PAGE  1


EMBED Equation.3

EMBED Word.Picture.8

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED PBrush


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29325. Анализ цветовых характеристик оригинала 50 KB
  Определяем цветовой охват оригинала и сопоставляем его с возможным цветовым охватом репродукции. Частотные параметры оригинала При анализе оригинала в первую очередь бросается в глаза градация во вторую – цвет в третью – резкостные параметры изображения то с какой точностью воспроизводятся мелкие детали изображения К частотным параметрам относятся и шумы. Могут быть детерминированные шумы примером которых может служить растровая структура полиграфической репродукции если в качестве оригинала выступает полиграфический оттиск.