48693
Прикладная алгебра
Контрольная
Математика и математический анализ
Понятие группы, подгруппы, факторгруппы, индекса группы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Понятие поля. Построение конечных полей с помощью неприводимых многочленов (привести пример). Полиномиальное и степенное представление элементов поля.
Русский
2014-03-25
2 MB
48 чел.
Прикладная алгебра
[1] Оглавление [2] Понятие группы, подгруппы, факторгруппы, индекса группы по подгруппе. Примеры. Теорема Лагранжа. [2.1] Группа. [2.2] Подгруппа. [2.3] Факторгруппа. [2.4] Индекс группы по подгруппе. [2.5] Примеры [2.6] Теорема Лагранжа. [3] Понятие циклической группы. Структура подгрупп циклической группы. Количество порождающих элементов. [3.1] Циклическая группа. [3.2] Структура подгрупп циклической группы. [3.3] Количество порождающих элементов. [4] Понятие кольца, подкольца, факторкольца, евклидова кольца, идеала в кольце. Примеры. [4.1] Кольцо. [4.2] Подкольцо. [4.3] Факторкольцо. [4.4] Евклидово кольцо. [4.5] Идеал в кольце. [4.6] Примеры [5] Расширенный алгоритм Евклида и его применение. [6] Понятие поля. Построение конечных полей с помощью неприводимых многочленов (привести пример). Полиномиальное и степенное представление элементов поля. [6.1] Поле. [6.2] Построение конечных полей с помощью неприводимых многочленов [6.3] Полиномиальное и степенное представление элементов поля. [7] Алгоритм нахождения всех корней многочлена f(x) над полем [8] Минимальные многочлены для элементов конечного поля. Алгоритм нахождения минимального многочлена. [8.1] Определение минимального многочлена. [8.2] Алгоритм нахождения минимального многочлена. [9] Теорема Хэмминга. Пример построения кода Хэмминга. [9.1] Теорема Хэмминга. [9.2] Пример построения кода Хэмминга. [10] Коды БЧХ: определение, примеры кодов с исправлением одной, двух и трех ошибок. [10.1] Определение кода БЧХ. [10.2] Код с исправлением одной ошибки. [10.3] Код с исправлением двух ошибок. [10.4] Код с исправлением трех ошибок [11] Коды БЧХ: общая схема декодирования. [12] Понятие действия группы на множестве, фиксатор и стабилизатор. Примеры. [12.1] Действие группы на множестве. [12.2] Фиксатор. [12.3] Стабилизатор. [12.4] Примеры [13] Лемма Бернсайда и её применение. [13.1] Лемма Бернсайда. [13.2] Применение. [14] Цикловой индекс действия группы. [15] Группы симметрий правильных многоугольников (диэдральные группы) и группы вращений правильных многогранников. Примеры. Их цикловые индексы. [16] Теорема Редфилда-Пойа и её применение. [17] Идеалы и фильтры частично упорядоченного множества. Конусы. Точные грани. [17.1] Частично упорядоченное множество. [17.2] Порядковый идеал. [17.3] Порядковый фильтр. [17.4] Верхние и нижние конусы и грани. [17.5] Главные идеалы и фильтры. [17.6] Точные грани. [18] Теорема Шпильрайна. Линейное продолжение частично упорядоченного множества. [18.1] Теорема Шпильрайна. [18.2] Линейное продолжение частично упорядоченного множества. [19] Спектр и размерность частично упорядоченного множества. [19.1] Спектр частично упорядоченного множества. [19.2] Размерность частично упорядоченного множества. [20] Фундаментальная теорема о конечных дистрибутивных решётках. [21] Соответствия Галуа. [22] Источники |
{(1) стр. 12}
Группа G = <M, ∗> это такая пара из множества M и бинарной операции ∗ на этом множестве, что выполняются следующие свойства (аксиомы группы):
{(1) стр. 24}
Пусть G группа, и для какого-то множества выполнены свойства:
H называется подгруппой G.
{(1) стр. 52}
Группа смежных классов группы G по нормальному делителю H.
{(1) стр. 28}
Количество смежных классов группы G по подгруппе H называется индексом подгруппы и обозначается через (G : H).
{(1) стр. 29}
Пусть H подгруппа группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G: |G| = (G : H) · |H|.
{(1) стр. 22}
В циклической группе есть такой элемент (он называется порождающим элементом группы), что каждый элемент группы может быть получен (многократным) применением групповой операции к порождающему.
{(1) стр. 30}
Всякая подгруппа циклической группы циклическая.
{(2)}
У циклической группы порядка n существует ровно φ(n) порождающих элементов, где φ функция Эйлера.
{(1) стр. 85}
Кольцо это множество R с двумя бинарными операциями сложения + и умножения · такими, что
Если в кольце имеется единичный элемент для умножения, то кольцо называется кольцом с единицей. Если умножение коммутативно, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.
Такое подмножество кольца, которое является подгруппой по сложению и замкнуто относительно операции умножения.
{(2)}
Пусть I идеал кольца R. Определим на R отношение эквивалентности: тогда и только тогда, когда . Класс эквивалентности элемента обозначается как .
Факторкольцо R|I множество классов смежности элементов кольца R по модулю его идеала I, на котором определены операции сложения и умножения:
{(1) стр. 101}
Коммутативное кольцо R называется евклидовым , если для него выполнены следующие свойства:
{(1) стр. 93}
Подмножество I ∈ R называется левым идеалом , если выполняются два следующих условия:
Аналогично определяются правые и двусторонние идеалы.
{(3) слайд 86}
Задача вычисления НОД(a, b) натуральных чисел a и b (a b).
Если d общий делитель пары чисел (a, b), то d является общим делителем для чисел (a b, b). Отсюда:
В результате: за конечное число шагов образуется пара (rn, 0).Ясно, что НОД(a, b) = rn.
Для нахождения по паре натуральных чисел (a; b) натурального d и пары целых (x, y) таких, что
d = НОД(a, b) = ax + ay, применяют расширенный алгоритм Евклида.
Расширенный алгоритм Евклида повторяет схему простого метода, в котором на каждом шаге:
Алгоритм Евклида и его расширенная версия остаётся справедливым в любом евклидовом кольце, следовательно, и в любом поле Галуа. Поэтому: обратный элемент y(x) для некоторого многочлена b(x) в поле определяется соотношением
Оно может быть решено путем применения расширенного алгоритма Евклида для пары многочленов (a; b) в поле F. Решение данных уравнений существует всегда: поскольку a неприводимый многочлен и
{(4) стр. 135}
Поле коммутативное кольцо с единицей, содержащее не менее двух элементов, в котором каждый отличный от нуля элемент имеет обратный элемент.
{(1) стр. 98}
Поле это такое кольцо, ненулевые элементы которого образуют группу относительно умножения, т. е. выполняются дополнительные свойства:
{(3) слайд 67}
Пример: построение поля (слайд 71).
Любой элемент циклической группы можно представить как степень примитивного элемента.
Пример: слайды 265 и далее.
{(3) слайд 129}
Рассмотрим поле , а в нем какой-нибудь элемент β и будем интересоваться многочленами, для которых этот элемент является корнем. Многочлен m(x) называется минимальной функцией (или минимальным многочленом, м.м.) для β, если m(x) нормированный многочлен минимальной степени, для которого β является корнем.
{(1) стр. 172}
При 2r < n максимальное число t кодовых слов находится в пределах
r максимально допустимое число ошибок.
n длина кода.
{(1) стр. 173}
n = 2q 1, r = 1. Для q = 3 построим код Хэмминга (длины 7).
Построим таблицу: слева диагональная матрица размерности 2q (q+1), справа все бинарные наборы длины q, содержащие не менее 2-х единиц. Складывая по mod 2 произвольные совокупности строк, получаем 16 различных бинарных наборов, которыми можно закодировать 16 сообщений.
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
{(3) слайд 402 и далее}
Циклический код, исправляющий кратные (2 и более) ошибки.
{(5) стр. 5}
Пусть . Тогда кодом БЧХ называется (n, k, d)-линейный циклический код, в котором порождающий многочлен g(x) определяется как минимальный многочлен для элементов из поля , где произвольный примитивный элемент поля .
Схема построения:
{(5) стр. 6}
Рассмотрим БЧХ-коды для случая поля Таким образом, . Полином является примитивным полиномом над . Обозначим через его произвольный корень. Построим код БЧХ, исправляющий не менее, чем t = 1 ошибку. Его порождающий полином g(x) строится как минимальный многочлен для элементов . Эти элементы входят в один смежный класс . Поэтому . В результате получаем (7; 4; 3)-код, являющийся кодом Хэмминга.
{(5) стр. 6 внизу, лень переписывать длинные формулы}
Слайд 405.
{(5) стр. 7}
полином локаторов ошибок.
{(1) стр. 46}
Действием группы G на множестве T называется гомоморфизм биекций множества T (взаимно однозначных отображений множества T на себя)
{(3) слайд 465}
Фиксируем g, т.е. находим все элементы множества T ,которые перестановка g оставляет на месте
{(3) слайд 465}
Фиксируем t, т.е. находим все перестановки g, которые оставляют данный элемент неподвижным
{(3) слайды 461 и 467}
Лемма Бернсайда применяется для решения комбинаторных задач (определить число неэквивалентных слов, перестановок, раскрасок) слайды 481 и далее.
Для применения универсального способа вычисления C(G) надо представить эквивалентные элементы множества как классы эквивалентности действия некоторой группы на этом множестве.
{(3) слайд 492}
Сопоставим каждой перестановке вес по правилу , где количество циклов длины k в перестановке (вики). Цикловой индекс действия группы средний вес подстановок в группе:
{(3) слайд 532}
{(3) слайд 575}
Пару , где P непустое множество, а ≤ рефлексивное, антисимметричное и транзитивное бинарное отношение на нём, называют частично упорядоченным множеством.
Подмножество J элементов ч.у. множества называется его (порядковым) идеалом, если
Подмножество F элементов P называется его (порядковым) фильтром, если
Пусть ч. у. множество и . Множества , определяемые условиями
называются верхним и нижним конусами множества A, а их элементы верхними и нижними гранями множества A соответственно.
фильтр P. Такие идеалы и фильтры называют главными.
Наименьший элемент в называется точной верхней гранью множества A (символически sup A).
Наибольший элемент в называется точной нижней гранью множества A (символически inf A).
{(3) слайд 607}
Любой частичный порядок ≤ может быть продолжен до линейного на том же множестве. Каждый порядок есть пересечение всех своих линейных продолжений (линеаризаций).
{(3) слайд 622}
, Pr(E) вероятность E.
{(3) слайд 627}
Наименьшее число линейных порядков, дающих в пересечении данное ч.у. множество P называется его порядковой размерностью (символически dim(P)).
Наименьшее число линейных порядков, таких, что P вкладывается в их декартово произведение, называется мультипликативной размерностью.
{(3) слайд 696}
Фундаментальная теорема.
Всякая конечная дистрибутивная решётка L изоморфна решётке порядковых идеалов ч.у. множества её неразложимых элементов:
{(3) слайд 715}
Пусть P и Q частично упорядоченные множества. Пара отображений , удовлетворяющая свойствам:
называется соответствием Галуа между P и Q.
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
11560. | Исследование автономного LC-генератора | 287.5 KB | |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 Исследование автономного LC-генератора ЦЕЛЬ РАБОТЫ: теоретические и экспериментальные исследования автономного LC-генератора. РАБОТА СОДЕРЖИТ СЛЕДУЮЩИЕ РАЗДЕЛЫ : 1. Изучение теории автономного... | |||
11561. | Синхронизируемый LC-автогенератор | 359 KB | |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 Синхронизируемый LC-автогенератор ЦЕЛЬ РАБОТЫ: теоретические и экспериментальные исследования процессов протекающих в автогенераторе при наличии внешнего гармонического воздействия. РАБОТА СОДЕРЖИТ СЛЕДУЮЩИЕ РАЗДЕЛЫ: 1. Изучение теории н... | |||
11562. | Фазовая автоподстройка частоты | 212.5 KB | |
Лабораторная работа № 5 Фазовая автоподстройка частоты Оглавление. Предисловие. Содержание учебного пособия соответствует программе курса Устройства приема и обработки сигналов предусмотренного государственным образовательным стандарт... | |||
11563. | Решение прямой и обратной задач магниторазведки для шара | 223.5 KB | |
Лабораторная работа № 1 по дисциплине Полевая геофизика Тема: Решение прямой и обратной задач магниторазведки для шара Цель работы: Вычислить значенияZa и Ha компонент магнитного поля для вертикально намагниченного шара а так же определить параметры шарооб | |||
11564. | Решение прямой и обратной задач магниторазведки для вертикально намагниченного пласта малой мощности | 121 KB | |
Лабораторная работа № 2 по дисциплине Полевая геофизика Тема: Решение прямой и обратной задач магниторазведки для вертикально намагниченного пласта малой мощности Понятие малая мощность используется в том случае когда видимая мощность пласта во мно... | |||
11565. | Решение прямой и обратной задачи для наклонного пласта малой мощности с косой намагниченностью | 134.5 KB | |
Лабораторная работа № 3 по дисциплине Полевая геофизика Тема: Решение прямой и обратной задачи для наклонного пласта малой мощности с косой намагниченностью Для пласта малой мощности безграничного на глубину и по простиранию значение видимой мощности меньше... | |||
11566. | Аномалии силы тяжести в редукции Буге. Принципы качественной интерпретации | 63 KB | |
Лабораторная работа № 4 по дисциплине Полевая геофизика Тема: Аномалии силы тяжести в редукции Буге. Принципы качественной интерпретации Общие положения: Основную величину в наблюденных значениях силы тяжести составляет нормальная сила тяжести g. При измер... | |||
11567. | Прямая задача гравиразведки. Обратная задача гравиразведки. Расчет гравитационного влияния шарообразного (сферического) тела, нахождение параметров тела | 105 KB | |
Лабораторная работа № 6 по дисциплине Полевая геофизика Тема: Прямая задача гравиразведки. Обратная задача гравиразведки. Расчет гравитационного влияния шарообразного сферического тела нахождение параметров тела В результате гравиразведки рассчитываютс | |||
11568. | Динамическая теория вискозиметра | 51.5 KB | |
Динамическая теория вискозиметра Будем считать что условия опыта в работе № 6 обеспечивают ламинарность течения жидкости в капилляре вискозиметра. Тогда распределение скорости v в его поперечном сечении будет иметь параболический характер: . 1 Здесь r | |||