48749

Расчет структуры переменных электромагнитных полей в волноводе

Контрольная

Физика

Для заданного типа волны с начальной амплитудой поля Em=5кВ см распространяющейся в прямоугольном волноводе сечением а x в получить аналитические выражения продольной и поперечных компонент полей в комплексной форме записи и для мгновенных значений.1 Распространяющиеся в волноводе электромагнитные волны являются волнами бегущими вдоль оси волновода вдоль оси z и стоячими в двух остальных направлениях. Стоячие волны в направлениях x и y образуются вследствие многократных отражений волн от стенок волновода. Другими словами для Hволны...

Русский

2013-12-29

416 KB

4 чел.

2. Расчет структуры переменных электромагнитных полей в волноводе

Общее задание.

Для заданного типа волны с начальной амплитудой поля Em=5кВ/см, распространяющейся в прямоугольном волноводе сечением а x в получить аналитические выражения продольной и поперечных компонент полей в комплексной форме записи и для мгновенных значений. Для численных параметров задачи построить эпюры полей по осям X, Y, Z, а также картину распределения полей в плоскостях XY и XZ. Рассчитать заданные характеристики полей и построить их зависимости от частоты. Во всех случаях считаем, что параметр =1.

Параметры задачи

Волна H41, a x b = 23 x 10 мм; = 9 мм, диэлектрическая проницаемость =2.2. Рассчитать ,ZЭ.

Решение

Процесс распространения электромагнитных волн в полости прямоугольного волновода рассматриваем, полагая, что стенки волновода выполнены из сверхпроводящего материала ( = ). При этом условии напряженность электрического поля на стенках волновода будет равна нулю (плотность тока на стенках волновода = E есть величина конечная).

Оси координат расположим в соответствии с рис. 2.1.    Рисунок 2.1.

Полость волновода заполнена диэлектриком, электрическая проницаемость которого . Длина волновода в направлении оси z не ограничена. Электромагнитное поле в волноводе описывается уравнением:

    (2.1)

Распространяющиеся в волноводе электромагнитные волны являются волнами, бегущими вдоль оси волновода ( вдоль оси z ) и стоячими в двух остальных направлениях. Стоячие волны в направлениях x и y образуются вследствие многократных отражений волн от стенок волновода. Структура H-волн такова, что составляющую вдоль оси волновода имеет только напряженность магнитного поля, а напряженность электрического поля расположена в плоскостях, перпендикулярных оси волновода. Другими словами, для H-волны

  (2.1’)

Если подставить (2.1’) в уравнение (2.1), то последнее разобьется на три уравнения для проекций. Для проекции на ось z будем иметь следующее уравнение:

,

где  - волновое число, -длина волны в неограниченном пространстве, - круговая частота, a -, a абсолютные электрическая и магнитная проницаемости

Упростим выражение (2.3) путем подстановки решения вида

   (2.2)

где  - продольный коэффициент распространения волны в волноводе, - длина волны в волноводе. Сокращая на множитель , имеем

     (2.3)

     (2.4)

Подставим (2.4) в (2.3)

    (2.5)

Сумма двух независимых переменных в левой части уравнения может равняться постоянному числу только в том случае, если каждая из них есть постоянное число. Переходя от частных производных к обыкновенным, получаем:

     (2.6)

Здесь через kx и ky обозначены постоянные разделения (поперечные волновые числа).

Рассмотрим уравнение типа

.

Умножим его на  и после небольших преобразований получим

.

Из последнего равенства видно, что не зависит от t. Так как эта величина есть суммой двух квадратов, то она положительна и ёё можно представить в виде

,

где q0-постоянная. Чтобы выполнить интегрирование разделим переменные:

.

Отсюда

,

Или

q=q0cos(kt+b).

Здесь q0 и b – постоянные интегрирования.

По аналогии получаем решения уравнений (2.6:

 

Исходя из соотношения (2.4), имеем выражение для амплитуды (волновой множитель опускается) продольной составляющей магнитного поля:

   (2.7) ,

где - начальная комплексная амплитуда; kx, ky, x, y - постоянные интегрирования

Для нахождения поперечных компонент поля воспользуемся уравнениями Максвелла в проекциях на оси координат при условии Ez=0 :

  (2.8)

Поскольку характер изменения полей по оси z задается выражением (2.2), то в (2.8) примем, что . Рассматривая затем первое и пятое уравнения как систему для Ех и Нy, а второе и четвертое - для Еу и Нх , находим данные параметры

Первая система:

Вторая система:

Получаем следующие выражения для поперечных составляющих полей через продольные:

(2.9)

 

Подставляя в (2.9) значение Hz, получаем выражения для поперечных составляющих поля:

Из (2.7) следует:

  (2.10)

В силу того, что для Н-волны Еz=0 и поскольку волны являются бегущими вдоль оси z, то ,и из уравнений 4, 5 системы (2.8) следует, что

    (2.10’)

На внутренних поверхностях стенок волновода напряженность электрического поля равна нулю. Следовательно, Ех=0 при у=0 и y=b, а Ey=0 при x=0 и x=a. Если это учесть, то из уравнений (2.10’) имеем:

Так как , то из уравнений 1,2 системы(2.8) находим:

  (2.12)

Подставляем производные выражения (2.7) в (2.12):

 

где m,n = 0,1,2,…

Подставляем в (2.10) найденные константы интегрирования:

    (2.11)

- эквивалентное сопротивление волновода для H-волны

- волновое сопротивление неограниченной среды; fk-критическая частота

Учитывая, что  а также то, что sin и cos - периодические функции, из (2.11) получаем:

 (2.12)

Аналитические выражения для составляющих поля волны H41 получаем из (2.12) при m=4, n=1,

Составляющие поля волны H41:

Для восстановления действительных значений, необходимо компоненты полей домножить на опущенный ранее волновой множитель , перейти по формуле Эйлера к тригонометрической форме записи и взять действительную часть полученного выражения.

   (2.13)

Фазовая и групповая скорости в общем случае определяются следующими соотношениями [2]:

где  - скорость электромагнитной волны в неограниченной среде с параметрами a, a. (В данном случае v=2·108).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81783. Средневековая наука. Организация науки в средневековых университетах 33.78 KB
  Первый из них факультет свободных искусств trium был наиболее многочисленным и считался подготовительным для трех других факультетов: медицинского юридического и теологического – самого малочисленного но обучение на котором было самым продолжительным. Таким образом Парижский университет оказался в плену противоречивых тенденций: превратиться в центр беспристрастных исследований связанных с изучением античного наследия но всегда стоящих перед опасностью впасть в инакомыслие либо подчинить исследование религиозным целям и тем самым...
81784. Формирование опытной науки в новоевропейской культуре 31.1 KB
  Изменяется роль человека в мире. Происходит постепенная смена мировоззренческой ориентации: для человека значимым становится посюсторонний мир автономным универсальным и самодостаточным становится индивид. Отсюда и характерное для эпохи Возрождения стремление познать принципы функционирования механизмов приборов устройств и самого человека.
81785. Наука в собственном смысле слова: классическая наука, неклассическая и постклассическая 30.52 KB
  Таким образом основные стороны бытия науки это вопервых сложный противоречивый процесс получения нового знания; вовторых результат этого процесса т. объединение полученных знаний в целостную развивающуюся органическую систему а не простое их суммирование; втретьих социальный институт со всей своей инфраструктурой: организация науки научные учреждения и т.; этос нравственность науки профессиональные объединения ученых ресурсы финансы научное оборудование система научной информации различного рода коммуникации ученых и т....
81786. Формирование науки как профессиональной деятельности. Возникновение дисциплинарно организованной науки 35.37 KB
  Возникновение дисциплинарно организованной науки. Несмотря на большое значение великих прозрений античности влияние науки арабов средневекового Востока гениальных идей эпохи Возрождения естествознание до XVII в. У истоков науки как профессиональной деятельности стоит Френсис Бэкон 1561 1626 утверждавший что достижения науки ничтожны и что она нуждается в великом обновлении.
81787. Становление социальных и гуманитарных наук 36.39 KB
  Если на этапе преднауки как первичные идеальные объекты так и их отношения соответственно смыслы основных терминов языка и правила оперирования с ними выводились непосредственно из практики и лишь затем внутри созданной системы знания языка формировались новые идеальные объекты то теперь познание делает следующий шаг. Оно начинает строить фундамент новой системы знания как бы сверху по отношению к реальной практике и лишь после этого путем ряда опосредствований проверяет созданные из идеальных объектов конструкции сопоставляя их с...
81788. Научное знание как система, его особенности и структура 31.63 KB
  Рассмотрим основные особенности научного познания или критерии научности. Его основная задача обнаружение объективных законов действительности природных социальных общественных законов самого познания мышления и др. Нацеленность науки на изучение не только объектов преобразуемых в сегодняшней практике но и тех которые могут стать предметом практического освоения в будущем является важной отличительной чертой научного познания. Существенным признаком научного познания является его системность...
81789. Эмпирический и теоретический уровни научного знания, критерии их различия 30.8 KB
  Эмпирический уровень научного познания включает в себя наблюдение эксперимент группировку классификацию и описание результатов наблюдения и эксперимента моделирование. Теоретический уровень научного познания включает в себя выдвижение построение и разработку научных гипотез и теорий; формулирование законов; выведение логических следствий из законов; сопоставление друг с другом различных гипотез и теорий теоретическое моделирование а также процедуры объяснения предсказания и обобщения. Соотношение эмпирического и теоретического...
81790. Структура эмпирического знания. Эмпирический факт 32.87 KB
  Вторым более высоким уровнем эмпирического знания являются факты. Научные факты представляют собой индуктивные обобщения протоколов это – обязательно общие утверждения статистического или универсального характера. Понятие факт имеет следующие основные значения: 1 Некоторый фрагмент действительности объективные события результаты относящиеся либо к объективной реальности факты действительности либо к сфере сознания и познания факты сознания . Эйнштейн считал предрассудком убеждение в том будто факты сами по себе без свободного...