48826

Кольца, полукольца, мера на полукольце

Лекция

Математика и математический анализ

Кольцо множеств есть система множеств, замкнутая по отношению к взятию суммы и пересечения, вычитанию и образованию симметрической разности. Любое кольцо содержит пустое множество Ø, так как всегда А\A=Ø. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

Русский

2014-09-21

409 KB

20 чел.

Тема 1. Кольца, полукольца, мера на полукольце

Пусть задано некоторое непустое множество Х. Непустое семейство  называется кольцом, если оно обладает тем свойством, что из АK и ВK следует АВK, АВK.

Утверждение 1. Пусть KP(X) кольцо. Тогда  для любых А, ВК выполнено АВ  K и А\В  K.

Таким образом, кольцо множеств есть система множеств, замкнутая по отношению к взятию суммы и пересечения, вычитанию и образованию симметрической разности. Любое кольцо содержит пустое множество Ø, так как всегда А\A. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

Кольцо K называется алгеброй, если ХK. Х в этом случае называется единицей кольца.

Утверждение 2. Пусть непустая система K  Р (Х) и K  Ø обладает свойствами:

1) АK САK;

2) А, ВK АВK.

Тогда K является алгеброй.

Кольцо множеств называется -кольцом, если оно вместе с каждой последовательностью множеств А1, А2,… содержит и их счетное объединение, т.е. . -алгеброй называется -кольцо с единицей.

В теории меры часто приходится расширять произвольную систему множеств до кольца (алгебры) или -кольца.

Теорема 1. Для любой непустой системы множеств S существует одно и только одно кольцо K(S), содержащее S и содержащееся в любом кольце K, содержащем S.

Непустая система SР(Х) подмножеств множества Х называется полукольцом, если она содержит пустое множество, замкнута по отношению к образованию пересечений и обладает тем свойством, что если А, В  S, то найдется конечная система С1,…,Сn попарно непересекающихся множеств из S, что А\В=.

Отметим, что если S полукольцо множеств, то для А, ВS элементы А\В и  в общем случае не будут принадлежать S.

Теорема 2. Пусть S  полукольцо, тогда минимальное кольцо K(S), порожденное S, состоит из непересекающихся конечных объединений множеств из S, т.е. .

Пусть на некотором множестве Х задано полукольцо SР(Х). Будем говорить, что на S задана мера, если каждому элементу АS поставлено в соответствие вещественное число m(A)R таким образом, что выполнены следующие условия:

1)  AS : m(A)  0;

2) если , A, AiS, то .

Таким образом, мера есть числовая функция множества S, но не является отображением из Х в R.

Свойства меры на кольце

  1.  монотонность меры. Если А, ВK и АВ, то m(A)  m(B);
  2.  если А, ВК и А В, то m(B\A) = m(B)-m(A);
  3.  если А, ВK, то m(AB) = m(A)+m(B)-m(AB);
  4.  если А, ВK, то m(AB) =m(A)+m(B)-2m(AB);
  5.  для любых множеств А, ВK выполняется |m(A)-m(B)|  m(AB);

для любых множеств А, В, С  K имеет место следующее неравенство: m (AB)  m(AC)+m(CB).

Мера m называется счетно-аддитивной (σ-аддитивной), если для любых А1, А2, …  S таких, что , A  S выполнено .

  1.  счетная полуаддитивность меры. Пусть А1, А2,… K и , АK и пусть мера m  σ-аддитивна, тогда .

Теорема 3. Длина является σ-аддитивной мерой на полукольце S, состоящем из полуинтервалов вида [a;b[.

Меру m, заданную на кольце K, называют непрерывной сверху, если для любой возрастающей последовательности множеств А1А2 такой, что , где А, Аi K справедливо равенство .

Меру m, заданную на кольце K, называют непрерывной снизу, если для любой убывающей последовательности множеств А1А2 такой, что , А, АiK справедливо равенство .

Если мера непрерывна сверху, то она непрерывна снизу и наоборот. Будем называть меру непрерывной, если она непрерывна сверху или снизу.

Теорема 4. Мера m, заданная на кольце K, является σ-аддитивной тогда и только тогда, когда она непрерывна.

Примеры решения задач

Задача 1. Пусть Z – множество целых чисел. Задает ли данная формула меру на Р(Z), если Ø, если А содержит только отрицательные числа.

Решение. μ не является мерой, т.к. NP(Z) и μ(N)=, т.е. μ не является отображением P(Z) в R.

Задача 2. Пусть Х – произвольное множество. Выяснить, является ли мерой на Р(Х) cледующая функция множеств: μ(Ø)=0; , где  фиксированная последовательность.

Решение. μ является отображением из P(X) в R, т.к. ряд  сходится, но не является мерой, потому что не выполнено условие положительности μ. Если множество А содержит только x2, то μ(А) = –0,25.

Задача 3. Пусть Х = [-1;1[, F : XR и F(x)=sgn x, S полукольцо, порожденное системой полуинтервалов {[a, b[, -1 a < b <1}. Определим на S функцию μ по формуле μ ([a, b[) = F(b)-F(a). Является ли μ σ-аддитивной мерой.

Решение. Функция F является неубывающей, ограниченной, имеющей одну точку разрыва х = 0. Следовательно, F порождает меру. Покажем, что мера μ не является σ-аддитивной. Рассмотрим полуинтервал [-12,0[ и представим его в виде счетного объединения попарно непересекающихся полуинтервалов:

.

Тогда μ ( [-½, 0[ ) = F(0) –F(-½) = 0(1) = 1.

Далее рассмотрим ряд

.

Составим последовательность частичных сумм этого ряда Sn=F(an) – F(a1) = (1)(1) = 0. Следовательно, , но

Итак, мы получили, что . Тем самым доказано, что мера μ не является σ-аддитивной. Обратим внимание, что функция F не является непрерывной слева.

Задача 4. Пусть , S – совокупность дуг, содержащихся в X, замкнутых слева и открытых справа , h(x, y) – неотрицательная, непрерывная на прямоугольнике [0, 2π]  [0, 1] функция. Пусть  функция, заданная на [0,2π]. Положим

.

Задает ли F σ-аддитивную меру.

Решение. Функция F как интеграл Римана с переменным верхним пределом является неубывающей, непрерывной слева, следовательно, μ является σ-аддитивной мерой.

Задача 5. Пусть Х={a, b, c, d}, кольцо K=P(X). Определить на K меру так, чтобы μ({a})=10, μ({a, b})=100.

Решение. Для любого множества AP(X) определим меру по формуле

где  – количество элементов во множестве А. Простым перебором показывается, что μ – аддитивная функция.

Задача 6. Пусть μ – мера, заданная на кольце множеств K. Доказать, что если для A, BK и μ(АВ) = 0, то μA = μB.

Доказательство. Воспользуемся свойством меры: . Следовательно, , т.е. μA = μB.

Задание 1. Образуют ли кольцо, σ-кольцо, алгебру, полукольцо следующие системы множеств:

  1.  Все ограниченные множества на прямой;
    1.  Все конечные множества на прямой;
    2.  Все счетные множества на прямой;
    3.  Все конечные множества натуральных чисел;
    4.  Все ограниченные замкнутые (компактные) множества на прямой;
    5.  Все всюду плотные множества в R;
    6.  Все множества, дополнения к которым конечны в R;
    7.  Все множества, дополнения к которым счетны в R;
    8.  Все компактные множества в R²;
    9.  Все выпуклые множества на плоскости;
    10.  Все множества, инвариантные относительно вращения вокруг начала координат;
    11.  Множество всех многоугольников на плоскости;
    12.  Все множества на плоскости, инвариантные относительно растяжений и сжатий;
    13.  Все конечные подмножества некоторого множества Х.

Задание 2. Пусть Х={a, b, c}, S = P(X). Построить, если возможно, меру на S так, чтобы:

  1.  m({a}) = 2, m({a, b}) = 5, m({a, b, c}) = 8;
    1.  m({b}) = 2, m({b, c}) = 6, m({a, b, c}) = 7;
    2.  m({c}) = 1, m({a, c}) = 5, m({c, b}) = 8;
    3.  m({a}) = 1, m({a, c}) = 4, m({a, b, c}) = 5;
    4.  m({b}) = 2, m({a, b}) = 3, m({a, b, c}) = 4;
    5.  m({c}) = 1, m({b, c}) = 4, m({a, c}) = 6;
    6.  m({a, b}) = 2, m({b, c}) = 4, m({a, c}) = 6;
    7.  m({a, c}) = 5, m({c, b}) = 6, m({a, b}) = 8;
    8.  m({c}) = 3, m({a, c}) = 5, m({b, c}) = 4;
    9.  m({b, c}) = 5, m({a, c}) = 5, m({a, b, c}) = 10;
    10.  m({a, b}) = 2, m({b, c}) = 6, m({a, b, c}) = 8;
    11.  m({b}) = 1, m({b, c}) = 2, m({a, b, c}) = 5;
    12.  m({a, c}) = 5, m({a, b}) = 7, m({a, b, c}) = 8;
    13.  m({c}) = 3, m({b, c}) = 4, m({a, c}) = 5.

Задание 3. Пусть Х=N. K – кольцо, состоящее из конечных подмножеств N. Задает ли данная формула меру на K?

3.1. ;    3.2. ;

3.3. ;    3.4. ;

3.5. ;   3.6. ;

3.7.   среднее арифметическое;

3.8.   среднее геометрическое;

3.9. ;  3.10. ;

3.11.  – среднее квадратическое;

3.12.   среднее гармоническое;

3.13. ;    3.14. ,

где   количествово элементов множества А.

Задание 4. Пусть Х=[-1;1[, S = {[a,b[X}, m([a,b[) = F(b) –F(a). При каких значениях параметра эта формула задает меру, σ-аддитивную меру. Если мера не является σ-аддитивной, то указать полуинтервал [,  [ и его разбиение  такое, что .

4.1.    4.2.

4.3.    4.4.

4.5.             4.6.

4.7.    4.8.

4.9.            4.10.

4.11.           4.12.

4.13.         4.14.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26231. Логістичні системи доставки вантажів 81 KB
  У загальному випадку доставка вантажу від відправника до одержувача передбачає виконання логістичних операцій щодо вибору видів транспорту та сполучень підготовки вантажу до перевезень доставки його на термінал магістрального транспорту виконання навантажувальнорозвантажувальних та складських робіт транспортування вантажу з одного магістрального виду транспорту на інший перевезення вантажу з терміналу магістрального виду транспорту до адресата. Транспортнотехнологічні схеми доставляння вантажів можна класифікувати на: інтермодальні ...