48857

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

В данной курсовой работе требуется вычислить дифференциальное уравнение способами Эйлера и Эйлера модифицированный: Результаты вычислений должны содержать: точное значение уравнения приближенные значения графики Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге – Кутта. Метод Эйлера Иногда этот метод называют методом РунгеКутта первого порядка точности. Метод Эйлера.

Русский

2013-12-16

221.5 KB

7 чел.

PAGE  3

Сибирский государственный университет телекоммуникации

и информатики

Уральский технический институт связи и информатики

Кафедра физики, прикладной математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по информатике

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ.

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Выполнил: студент гр.

                                                                                 Руководитель: Минина Е.Е.

Екатеринбург 2005

Содержание.

Введение.

Информатика – это области человеческой деятельности, связанная с процессами преобразования информации с помощью компьютеров и их взаимодействием со средой применения.

Термин и н ф о р м а т и к а возник в 60-х гг. во Франции для названия области, занимающейся автоматизированной обработкой информации с помощью электронных вычислительных машин.

В нашей стране подобная трактовка термина “информатика” утвердилась с момента принятия решения в 1983 г. На сессии годичного собрания Академии наук СССР об организации нового отделения информатики , вычислительной техники и автоматизации. Информатика трактовалась как “комплексная научная инженерская дисциплина, изучающая все аспекты разработки, проектирования, создания, оценки, функционирования основных на ЭВМ систем переработки информации, их применения и воздействия на различные области социальной практики”.

Информатика в таком понимании нацелена на разработку общих методологических принципов построения информационных моделей. Поэтому методы информатики применимы по всюду, где существует возможность описания объекта, явления, процесса и т.п. с помощью информационных моделей. Таким образом, информатика намного ускоряет решение математических задач.

Целью моей работы является изучение основ системы программирования Microsoft  Visual  Basic и приобретение начальных навыков разработки программного обеспечения для операционных систем  Windows.

В данной курсовой работе требуется вычислить дифференциальное уравнение способами Эйлера и Эйлера модифицированный:

Результаты вычислений должны содержать:

- точное значение уравнения

- приближенные значения

- графики

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши

Существует множество технических систем и технологических процессов, характеристики которых непрерывно меняются со временем t. Такие явления обычно подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений.

Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. Лишь очень немногие из них удаётся решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную роль в практике инженерных расчётов.

В зависимости от числа независимых переменных и типа входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными. В этой главе рассматриваются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Постановка задачи

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом.

Пусть дано дифференциальное уравнение      и начальное условие y(x0) = y0.  Требуется найти функцию y(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

 - тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x, y) к оси ОХ, - угловой коэффициент (рис.1).

Существование решения:

Если правая часть f(x,y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами

|xx0| < a ;  |yy0| < b ,

то существует, по меньшей мере, одно решение  y = y(x), определённое в окрестности  |xx0| < h, где h – положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

где N – некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от a и b. Если f(x, y)имеет ограниченную производную  в R, то можно положить

N = max||    при    .

Численные методы решения задачи Коши

При использовании численных методов выполняется замена отрезка [x0, X] – области непрерывного изменения аргумента х множеством , состоящего из конечного числа точек  x0 < x1 < … < xn = X – сеткой.

При этом xi называют узлами сетки.

Во многих методах используются равномерные сетки с шагом 

Задача Коши, определённая ранее на непрерывном отрезке [x0, X], заменяется её дискретным аналогом – системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1, y2, …, yn – приближённые значения функции в узлах сетки.

                                 (4.1)

Численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.

  •  Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой y = f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге – Кутта.
  •  Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскания следующей точки кривой y = f(x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. Чтобы получить достаточно точное численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милна, Адамса – Башфорта и Хемминга.
  •  Явные методы, в которых функция Ф в выражении (4.1) не зависит от yn+1.
  •  Неявные методы, в которых функция Ф зависит от yn+1.

Метод Эйлера

Иногда этот метод называют методом Рунге-Кутта первого порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x0) = y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

 xi = x0 + i.h   и   yi = y(xi) ,   где    i = 0, 1, 2, …,

xi – узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах .

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Проведем прямую АВ через точку (xi,yi) под углом α. При этом

tgα = f(xi,yi) (1).

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции.  Произведем замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной AB.

Тогда yi+1 = yiy (2).

Из прямоугольного треугольника АВС  (3).

Приравняем правые части (1) и (3). Получим .

Отсюда

Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчета очередной точки интегральной функции:

    (4).

Рисунок 2. Метод Эйлера.

Из формулы (4) видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Метод Эйлера – один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 2 погрешность вычислений для i-го шага обозначена ε. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.

Метод Эйлера модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта  второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x0) = y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

 xi = x0 + i.h   и   yi = y(xi) ,   где    i = 0, 1, 2, …,

xi – узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах .

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 4.

Рисунок 4. Метод Эйлера модифицированный.

Проведем решение в несколько этапов.

1. Обозначим точки: A(xi, yi), C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)) и B(xi+1, yi+1).

2. Через точку  А проведем прямую под углом α, где

3. На этой прямой найдем точку C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)).

4. Через точку  С проведем прямую под углом α1, где

5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.

6. Найдем точку В(xi+1, yi+1). Будем считать  В(xi+1, yi+1) решением дифференциального уравнения при x=xi+1.

7. После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения yi+1:

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 4 это хорошо видно. Так величина ε1 характеризует погрешность метода Эйлера, а ε – погрешность метода Эйлера модифицированного.

Блок схема

Код программы.

Объявление переменных 

Dim x(50) As Single, y(50) As Single, yE(50) As Single, yT(50) As Single

Private y0 As Single

Private x0 As Single

Private xk As Single

Задание функции

Function f(t As Single, q As Single) As Single

f = -q / (1 + t ^ 2)

End Function

Задание переменных

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

y0 = Val(Text4.Text)

h = Val(Text3.Text)

N = Round((xk - x0) / h)

Форматирование таблицы

MSFlexGrid1.Rows = N + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Y"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "YE"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "YT"

Решение методами

Max = 1

Min = 0.8

y(0) = y0

yE(0) = y0

yT(0) = y0

For i = 0 To N

x(i) = x0 + i * h

y(i + 1) = Round(y(i) + f(x(i), y(i)) * h, 4)

yE(i + 1) = Round(yE(i) + f(x(i) + h / 2, yE(i) + h / 2 * f(x(i), yE(i))) * h, 4)

yT(i) = Round(Exp(-Atn(x(i)) + 0.7854), 4)

If yT(i) > Max Then Max = yT(i)

If yT(i) < Min Then Min = yT(i)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(y(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(yE(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(yT(i))

Next i

Построение графиков

Picture1.Cls

kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)

ky = (Picture1.Height - 1000) / (Max - Min)

Label4.Caption = Str(Min)

Label5.Caption = Str(Max)

Label6.Caption = Str(x0)

Label7.Caption = Str(xk)

For i = 0 To N - 1

z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(5400 - (y(i) - Min) * ky)

z3 = Round(5400 - (yE(i) - Min) * ky)

z4 = Round(5400 - (yT(i) - Min) * ky)

z5 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z6 = Round(5400 - (y(i + 1) - Min) * ky)

z7 = Round(5400 - (yE(i + 1) - Min) * ky)

z8 = Round(5400 - (yT(i + 1) - Min) * ky)

Picture1.Line (z1, z2)-(z5, z6), vbGreen

Picture1.Line (z1, z3)-(z5, z7), vbRed

Picture1.Line (z1, z4)-(z5, z8)

Next i

End Sub

Выход из программы

Private Sub Command2_Click()

End

End Sub

Проверка в пакете MathCad.

Формы программы

Заключение.

По результатам проведённой мной работы я выяснил, что решение дифференциальных уравнений предпочтительно модифицированным методом Эйлера, так как он является наиболее точным.

5 Литература

  1.  А.Ф.Грачев, В.В.Историна «Курсовой проект, курсовая и реферативная работа», методические указания.

  1.  В.А.Добряк, В.Д.Нехорошев «Ваша первая программа на Microsoft V. Basic».

  1.  Г.М.Финтенгольц  «Курс дифференциального и интегрального исчисления».

4.Н.В.Макарова учебник «Информатика».


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79748. Отчетность предприятия 94 KB
  В разделе Капитал и резервы содержаться следующие группы статей: Уставный капитал Добавочный капитал Резервный капитал Нераспределенная прибыль прошлых лет Прибыль отчетного года. Отчет о финансовых результатах Отчет о финансовых результатах характеризует финансовые результаты организации за отчетный период и в развернутом виде показывает: по хозяйственной деятельности: выручку нетто от реализации продукции работ услуг за минусом НДС и акцизов; себестоимость реализации товаров продукции работ услуг; коммерческие...
79749. Поступление товаров на предприятие оптовой торговли 57.5 KB
  Поступление товаров на предприятие оптовой торговли Поступление товаров на склад поставщика Синтетический учет поступления товаров Аналитический учет поступления товаров Учет приобретения товаров у физических лиц Поступление товаров на склад поставщика Приемка товара на склад поставщика железнодорожной станции пристани в аэропорту осуществляется материально-ответственным лицом по доверенности с предъявлением паспорта. Первый и второй остаются у поставщика в бухгалтерии и на складе тритий и четвертый передаются покупателю в...
79750. Принципы организации оптовой торговли 63.5 KB
  Принципы организации оптовой торговли Понятие оптовой торговли Дата оприходования товаров на предприятиях оптовой торговли Формирование покупной цены товара Учет изменения первоначальной стоимости товара Понятие оптовой торговли Гражданское законодательство дает определение договора розничной куплипродажи. Таким образом критериями отнесения торговли к оптовой не является способ оплаты товара и количество приобретенного товара а является вид покупателя и характер использования товара. Кроме того существуют специализированные...
79751. Расчеты с контрагентами 65.5 KB
  Одним из существенных моментов является соблюдение порядка ведения журналов учета счетовфактур при расчетах по НДС. Счетфактура представляется поставщиком покупателю и дает право на зачет сумм НДС Д68К19. Второй экземпляр счета фактуры остается у поставщика для отражения в книге продаж и начисления НДС при реализации товаров Д46К68. В счетефактуры должны быть указаны: порядковый номер счетафактуры; наименование и регистрационный номер поставщика товаров ИНН; наименование и регистрационный номер получателя товара ИНН;...
79752. ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ 122.5 KB
  Целевые качественные или количественные изменения в выборе и использовании материалов сырья информации оборудования информации работников и других ресурсов Целевые качественны или количественные изменения в результатах производственно хозяйственной деятельности..
79753. МИРОВОЙ ОПЫТ И СХЕМЫ ФИНАНСИРОВАНИЯ ИННОВАЦИЙ 236.5 KB
  Если правительство заинтересовано в реализации инновационного проекта оно может действовать в следующих направлениях: Национализация перспективного проекта когда сотрудники инновационной фирмы получают возможность на стабильных рабочих местах не опасаясь неожиданностей но под постоянным контролем; Поддержка проекта когда создается микроструктура в государственном аппарате управления призванная шефствовать над проектом. Фирма получает при этом помощь не теряя самостоятельности; Пособие государства когда выделяется единовременная...
79754. Финансирование инвестиций. Оценка потребности в финансировании 72 KB
  Оценка потребности в финансировании Исходным пунктом для организации финансирования является расчет потребности в средствах необходимых для реализации проекта. Он производится на основе графика выполнения работ что вопервых обеспечивает привязку ко времени а вовторых позволяет увязать объемы финансирования и направления расходования средств. Итогом работы является таблица в которой потребность в средствах расписывается по месяцам. В этом случае более удобна следующая форма представления расчета: Виды работ Месяцы выполнения...
79755. Разработка инвестиционных проектов. Этапы инвестиционного проектирования 472.5 KB
  Инвестиционный проект это план программа хозяйственного мероприятия или предпринимательского проекта реализация которых требует привлечения инвестиций. Структура затрат на реализацию проекта а также доходов получаемых в результате инвестиций традиционно отлична для каждой из выделенных стадий. Определение целей и класса инвестиций 1. Метод расчета рентабельности инвестиций 2.
79756. СУЩНОСТЬ ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ И КЛАССИФИКАЦИОННЫЕ ПОДХОДЫ К ИХ ГРУППИРОВКЕ 308 KB
  Изменения в организации производства и его материально-техническом обеспечении. Речь может идти также о качественных или количественных изменениях как с положительными так и с отрицательными социально-экономическими последствиями. Большинство западных авторов обычно подчеркивают необходимость практической реализации изменения. Это могут быть количественные или качественные изменения которые касаются той или иной сферы деятельности предприятия.