48984

Розрахунок структури симетричних стаціонарних електромагнітних полів

Контрольная

Физика

Симетричне тіло радіуса R перебуває в однорідному зовнішньому електричному полі E0, що перпендикулярне до його осі. Задано матеріальні характеристики навколишнього середовища. Одержати аналітичні вирази для потенціалів й і для полів Ei й Ee відповідно всередині та поза тілом.

Украинкский

2013-12-18

146 KB

2 чел.

1 Розрахунок  структури  симетричних  стаціонарних

електромагнітних  полів

Загальне  завдання

Симетричне тіло радіуса R перебуває в однорідному зовнішньому електричному полі E0, що перпендикулярне до його осі. Задано матеріальні характеристики навколишнього середовища. Одержати аналітичні вирази для потенціалів й  і для полів Ei й Ee відповідно всередині та поза тілом. Для заданих чисельних значень параметрів задачі побудувати сімейство еквіпотенційних ліній (10 ліній) у площині, що перпендикулярна осі симетрії тіла. Знайти щільність зарядів  на поверхні провідника.

    Параметри  задачі

Нескінченний незаряджений провідний циліндр в вакуумі:

R=0,08 м; E0=50*103 В/м; =1. Координати точки M: r=0,08 м, =300.

Розв’язок

Розв’язок природно робити в циліндричних координатах, що пов'язані із центром основи циліндра, r - радіус-вектор точки спостереження, вісь x спрямована вздовж прикладеного електричного поля (рис. 1.1).

Рисунок 1.1

При такому розташуванні циліндра, потенціал поля не буде залежати від координати z, і двомірне рівняння Лапласа запишеться у вигляді:

                           (1.1)

Як усередині, так і поза циліндром сторонніх зарядів немає, тому варто вирішувати рівняння Лапласа  з відповідними граничними умовами на поверхні r = R.

Відповідно до методу розділення змінних, можна знайти розв’язок рівняння (1.1) у вигляді добутку двох функцій, кожна з яких залежить тільки від однієї координати:

                                   (1.2)

Після підстановки виразу (1.2) в (1.1) одержимо:

Домножуючи на r2 /MN, легко помітити, що змінні розділяються:

Ця рівність не повинна порушуватися, якщо одну з незалежних змінних  r або довільно змінити, а іншій надати довільне, але постійне значення. Очевидно, що при змінах r або кожна частина рівняння повинна  залишатися постійною та рівною одному і тому самому числу - постійній розділення p:                 

                                    (1.3)

                                            (1.4)

Цим самим розв’язок рівняння (1.1) із частинними похідними зведене до більш простої задачі - до розв’язку звичайних диференціальних рівнянь.

Насамперед, треба знайти частинні розв’язки рівнянь (1.3) і (1.4) для p=0. Позначимо їх M0 та N0, і в результаті одержимо:

Т. як потенціал є парною функцією відносно  тобто  то необхідно прийняти А3=0.

Якщо взяти, відповідно до рівності (1.2), добуток функцій M0 й N0 та  змінити позначення постійних, то можна одержати частинний розв’язок  рівняння Лапласа у вигляді:

                                                           (1.5)

Нехай тепер постійна розділення p у рівняннях (1.3) і (1.4) відмінна від нуля.

Для розв’язку рівняння (1.3) застосуємо підстановку Ейлера M=C*rn. Перша і друга похідні відповідно будуть рівні

М=М12

М11r                                                                  М22/r

М= С1r+ С2/r

Підставимо похідні в рівняння

або        і  тоді                           (1.6)

Значення p визначимо при інтегруванні рівняння (1.4):

С2=0, бо є функція парна, тобто  тоді N(k)=Bcos(k). Якщо прийняти, що потенціал на осі у дорівнює 0  то , а відповідно, k=1. При k>1 нульова потенціальна лінія буде нахилена до осі у, що не відповідає досліджуваному полю (потенціал дорівнює нулю по вісі z). Таким чином розв’язок можна записати у вигляді . Переконаємося в цьому шляхом  підстановки й одночасно знайдемо значення  p:

Отже:  p = 1.

Після знаходження числа p підставимо його в рівняння (1.6) і знайдемо: n1=1 й n2= -1. Таким чином, спільний розв’язок рівнянь (1.3) і (1.4) при p, не рівному нулю, дає наступний вираз для

                                                                  (1.7)

Повний розв’язок:

                                        (1.8)

В (1.8) присутні чотири невідомі постійні, значення яких залежать від того, який циліндр (провідний або діелектричний) внесений у поле.

Якщо в рівномірне поле поміщений нескінченний незаряджений провідний циліндр, то, як усередині, так і поза ним вільних зарядів немає й, тому поле описується рівнянням Лапласа. Величини, що служать для опису поля усередині циліндра, позначимо з індексом i, а величини, за допомогою яких записується потенціал у зовнішній стосовно циліндра області, - з  індексом e. Таким чином:

для  внутрішньої  області:

                                                      (1.9)

для  зовнішньої  області:

                                                    (1.10)

Треба знайти 8 постійних інтегрування. Потенціал на нескінченності в цьому випадку

Зіставимо останній вираз з (1.10):  

Отже:

                              (1.11)

У виразі (1.10) залишилася невідомою лише постійна C4e.

Розглянемо вираження потенціалу  для внутрішньої області. Т. як циліндр провідний, то поле всередині його дорівнює нулю, а потенціал являє собою деяку постійну величину. Це можливо тільки тоді, коли C1i=0, C3i=0 й C4i=0. Постійна C2i, з точністю до якої визначається потенціал, дорівнює аналогічної постійної  для зовнішньої області. Таким чином, для внутрішньої  області

                                                                                                 (1.12)

Невідому постійну C4e знайдемо із граничних умов:

 при . Отже:

                                (1.13)

cosα=0                                   або                            =0

cosα не дорівнює 0 стоїть умова , а α є якоюсь певною величиною.

Залишається лише =0. Звідси С0R2

Підставивши знайдені постійні, остаточно одержимо потенціал внутрішньої області:

                                                 (1.14)

потенціал зовнішньої області:

                                 (1.15)

Знайдемо вираз для напруженості електричного поля всередині та поза циліндром. Напруженість рівномірного поля усередині циліндра рівна нулю:

                                                    (1.16)

Тому що потенціал залежить тільки від r та α, то напруженість електричного поля поза циліндром має лише дві складові:

                                         (1.17)

Рівняння еквіпотенційних ліній у площині, що проходить через центр циліндра перпендикулярно електричному полю E, задане в циліндричних координатах, має вигляд:

                                                                                         (1.18)

де n=const — фіксоване значення потенціалу, обране для побудови еквіпотенціали (n=1,2,3,...). Рівняння еквіпотенційних ліній поза циліндром треба з формул (1.15), (1.18) і врахувавши те що 0=0 маємо:

            та           

Відповідно:                                                               (1.19)

Еквіпотенціальні лінії будуємо в площині xz.

Щільність зарядів на поверхні провідника прямо пропорційна вектору електричної індукції поза циліндром і визначається виразом:

Вона постійна на всій поверхні циліндра. Значення щільності зарядів на поверхні циліндра при r=R:

Чисельне значення вектора електричної індукції в точці M при r=R дорівнює:

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79151. Учение пятидесятников о крещении Духом Святым 11.87 KB
  Внешним признаком КДС для большинства пятидесятников является говорение на иных языках. обладают даром говорения на языках. Учение пятидесятников о КДС которое обязательно должно сопровождаться внешним проявлением в виде говорения на иных языках не находит подтверждение в Св. Так в день пятидесятницы крестилось около 3000 человек но они не говорили на языках Деян.
79152. Пятидесятнические теории говорения иными языками 14.2 KB
  Из Деяний следует что апостолы говорил на национальных языках но в послании к 1Кор. Правда сейчас теория говорения на смешанных языках не получила своего распространения. Писания о предназначении дара говорения на иных языках. Широкое распространение дара говорение на иных языках в ранний период церковной истории было вызвано необходимостью проповедью христианства в языческом и многоязычном мире который требовал знамений служивших для религиозного сознания верующего человека подтверждением истинности какой либо доктрины.