48984

Розрахунок структури симетричних стаціонарних електромагнітних полів

Контрольная

Физика

Симетричне тіло радіуса R перебуває в однорідному зовнішньому електричному полі E0, що перпендикулярне до його осі. Задано матеріальні характеристики навколишнього середовища. Одержати аналітичні вирази для потенціалів й і для полів Ei й Ee відповідно всередині та поза тілом.

Украинкский

2013-12-18

146 KB

2 чел.

1 Розрахунок  структури  симетричних  стаціонарних

електромагнітних  полів

Загальне  завдання

Симетричне тіло радіуса R перебуває в однорідному зовнішньому електричному полі E0, що перпендикулярне до його осі. Задано матеріальні характеристики навколишнього середовища. Одержати аналітичні вирази для потенціалів й  і для полів Ei й Ee відповідно всередині та поза тілом. Для заданих чисельних значень параметрів задачі побудувати сімейство еквіпотенційних ліній (10 ліній) у площині, що перпендикулярна осі симетрії тіла. Знайти щільність зарядів  на поверхні провідника.

    Параметри  задачі

Нескінченний незаряджений провідний циліндр в вакуумі:

R=0,08 м; E0=50*103 В/м; =1. Координати точки M: r=0,08 м, =300.

Розв’язок

Розв’язок природно робити в циліндричних координатах, що пов'язані із центром основи циліндра, r - радіус-вектор точки спостереження, вісь x спрямована вздовж прикладеного електричного поля (рис. 1.1).

Рисунок 1.1

При такому розташуванні циліндра, потенціал поля не буде залежати від координати z, і двомірне рівняння Лапласа запишеться у вигляді:

                           (1.1)

Як усередині, так і поза циліндром сторонніх зарядів немає, тому варто вирішувати рівняння Лапласа  з відповідними граничними умовами на поверхні r = R.

Відповідно до методу розділення змінних, можна знайти розв’язок рівняння (1.1) у вигляді добутку двох функцій, кожна з яких залежить тільки від однієї координати:

                                   (1.2)

Після підстановки виразу (1.2) в (1.1) одержимо:

Домножуючи на r2 /MN, легко помітити, що змінні розділяються:

Ця рівність не повинна порушуватися, якщо одну з незалежних змінних  r або довільно змінити, а іншій надати довільне, але постійне значення. Очевидно, що при змінах r або кожна частина рівняння повинна  залишатися постійною та рівною одному і тому самому числу - постійній розділення p:                 

                                    (1.3)

                                            (1.4)

Цим самим розв’язок рівняння (1.1) із частинними похідними зведене до більш простої задачі - до розв’язку звичайних диференціальних рівнянь.

Насамперед, треба знайти частинні розв’язки рівнянь (1.3) і (1.4) для p=0. Позначимо їх M0 та N0, і в результаті одержимо:

Т. як потенціал є парною функцією відносно  тобто  то необхідно прийняти А3=0.

Якщо взяти, відповідно до рівності (1.2), добуток функцій M0 й N0 та  змінити позначення постійних, то можна одержати частинний розв’язок  рівняння Лапласа у вигляді:

                                                           (1.5)

Нехай тепер постійна розділення p у рівняннях (1.3) і (1.4) відмінна від нуля.

Для розв’язку рівняння (1.3) застосуємо підстановку Ейлера M=C*rn. Перша і друга похідні відповідно будуть рівні

М=М12

М11r                                                                  М22/r

М= С1r+ С2/r

Підставимо похідні в рівняння

або        і  тоді                           (1.6)

Значення p визначимо при інтегруванні рівняння (1.4):

С2=0, бо є функція парна, тобто  тоді N(k)=Bcos(k). Якщо прийняти, що потенціал на осі у дорівнює 0  то , а відповідно, k=1. При k>1 нульова потенціальна лінія буде нахилена до осі у, що не відповідає досліджуваному полю (потенціал дорівнює нулю по вісі z). Таким чином розв’язок можна записати у вигляді . Переконаємося в цьому шляхом  підстановки й одночасно знайдемо значення  p:

Отже:  p = 1.

Після знаходження числа p підставимо його в рівняння (1.6) і знайдемо: n1=1 й n2= -1. Таким чином, спільний розв’язок рівнянь (1.3) і (1.4) при p, не рівному нулю, дає наступний вираз для

                                                                  (1.7)

Повний розв’язок:

                                        (1.8)

В (1.8) присутні чотири невідомі постійні, значення яких залежать від того, який циліндр (провідний або діелектричний) внесений у поле.

Якщо в рівномірне поле поміщений нескінченний незаряджений провідний циліндр, то, як усередині, так і поза ним вільних зарядів немає й, тому поле описується рівнянням Лапласа. Величини, що служать для опису поля усередині циліндра, позначимо з індексом i, а величини, за допомогою яких записується потенціал у зовнішній стосовно циліндра області, - з  індексом e. Таким чином:

для  внутрішньої  області:

                                                      (1.9)

для  зовнішньої  області:

                                                    (1.10)

Треба знайти 8 постійних інтегрування. Потенціал на нескінченності в цьому випадку

Зіставимо останній вираз з (1.10):  

Отже:

                              (1.11)

У виразі (1.10) залишилася невідомою лише постійна C4e.

Розглянемо вираження потенціалу  для внутрішньої області. Т. як циліндр провідний, то поле всередині його дорівнює нулю, а потенціал являє собою деяку постійну величину. Це можливо тільки тоді, коли C1i=0, C3i=0 й C4i=0. Постійна C2i, з точністю до якої визначається потенціал, дорівнює аналогічної постійної  для зовнішньої області. Таким чином, для внутрішньої  області

                                                                                                 (1.12)

Невідому постійну C4e знайдемо із граничних умов:

 при . Отже:

                                (1.13)

cosα=0                                   або                            =0

cosα не дорівнює 0 стоїть умова , а α є якоюсь певною величиною.

Залишається лише =0. Звідси С0R2

Підставивши знайдені постійні, остаточно одержимо потенціал внутрішньої області:

                                                 (1.14)

потенціал зовнішньої області:

                                 (1.15)

Знайдемо вираз для напруженості електричного поля всередині та поза циліндром. Напруженість рівномірного поля усередині циліндра рівна нулю:

                                                    (1.16)

Тому що потенціал залежить тільки від r та α, то напруженість електричного поля поза циліндром має лише дві складові:

                                         (1.17)

Рівняння еквіпотенційних ліній у площині, що проходить через центр циліндра перпендикулярно електричному полю E, задане в циліндричних координатах, має вигляд:

                                                                                         (1.18)

де n=const — фіксоване значення потенціалу, обране для побудови еквіпотенціали (n=1,2,3,...). Рівняння еквіпотенційних ліній поза циліндром треба з формул (1.15), (1.18) і врахувавши те що 0=0 маємо:

            та           

Відповідно:                                                               (1.19)

Еквіпотенціальні лінії будуємо в площині xz.

Щільність зарядів на поверхні провідника прямо пропорційна вектору електричної індукції поза циліндром і визначається виразом:

Вона постійна на всій поверхні циліндра. Значення щільності зарядів на поверхні циліндра при r=R:

Чисельне значення вектора електричної індукції в точці M при r=R дорівнює:

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54336. Текстові формули (функції) Microsoft Excel (MICROSOFT OFFICE 2010) 263.5 KB
  Необхідно використовуючи текстові функції заповнити даними таблицю № Автор Назва книги Видавник Кількість сторінок. формат запису функції НАЙТИискомый_текст; просматриваемый_текст; начальная позиция в якості результату повертає позицію початку пошукового рядка тексту який міститься в даному рядку текста.
54337. Методичний конструктор як техніка підготовки педагогів до впровадження директивних інновацій 59.5 KB
  Цей методичний захід має бути необхідний закладу та учителям легкий у виконанні не обтяжуючий учасників заходу і водночас корисний Для цього треба не забувати про особливості навчання дорослих людей які мають свій досвід свої погляди на себе та оточуючий світ на розвиток себе в професії і суспільстві. Подруге підійдіть до розробки заходу дуже ретельно хоча на сучасному етапі саме розробка дійсно якісного методичного заходу не завжди є проблемою для цього є маса літератури з даного приводу але до технік що обираються треба...
54338. Використання методу проектів на уроках інформатики 187 KB
  Тема: Компютерні презентації Проект: Я інформую Тип проекту : інформаційнотворчий. Очікуваний результат: створення презентації засобами MS PowerPoint. Порада Перед створенням презентації бажано: Визначити тему та призначення презентації Створити схему сценарій презентації Спланувати зміст усіх слайдів їх стиль. ДОДАТКОВІ ВИМОГИ ДО ЗМІСТУ ПРЕЗЕНТАЦІЇ ЗА Д.
54339. ВИКОРИСТАННЯ ПРОЕКТНИХ ТЕХНОЛОГІЙ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ ЯК ЗАСІБ АКТИВІЗАЦІЇ ПІЗНАВАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ УЧНІВ 107.5 KB
  Дуже важливою також є структуризація змістовної частини проекту із зазначенням поетапних результатів. Необхідною складовою методики здійснення проектної діяльності є складання загальної моделі що розглядається як умовний образ схема кінцевого результату проекту. Першим із них передбачено виконання завдань навчального проекту та здійснення презентації кінцевого інтелектуального матеріального продукту безпосередньо на уроці або під час проведення серії уроків з певної теми. Водночас педагогічна функція вчителя ускладнюється порівняно з...
54340. Метод проектів на уроках інформатики 78.5 KB
  Історія виникнення методу проектів Місце методу проектів у навчальному процесі Формування проектних компетенцій Метод проектів на уроках інформатики Висновки Використані джерела Вступ Сучасну практичну діяльність людства науковотехнічний та культурний прогрес у різних сферах суспільного буття неможливо уявити без проектування і проектів. Історія виникнення методу проектів Використання у навчальновиховному процесі методу проектів не є новим для українських шкіл. Першим увів поняття метод проектів...
54341. Культура Европы в XX - начале XXI вв.: противоречия и проблемы 28.21 KB
  Таким образом процесс подготовки и проведения такого учебного занятия как комбинированный урок увлекает студентов активизирует их достаточно свободно пользоваться простыми языковыми средствами в основных видах речевой деятельности: говорении аудировании чтении и письме. ФГОУ СПО Чебоксарский техникум строительства и городского хозяйства МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА ЗАНЯТИЯ Дисциплина: Английский язык Группа: С41 Преподаватель: Бутакова Л. Тема занятия: Строительство зданий и сооружений Тип и вид занятия: комбинированный Цели занятия...
54342. Методические основы использования прикладного ПО на уроках в школе 111.5 KB
  Деление на группы производят либо по способностям либо случайным образом например по партам или по алфавиту. В этом случае как правило формируются разно уровневые группы в которых быстро определяются лидеры и аутсайдеры. Гузеев предложил различать группы выравнивания поддержки и развития. Группы выравнивания состоят из учащихся с различной успеваемостью и ориентированы на достижение всех ее участников обязательного уровня образования; группы поддержки однородны по успеваемости; в группах развития ученики более высокого уровня...
54343. Дмитриу Донской. Куликовская битва 83 KB
  Что позволило Дмитрию Ивановичу открыто выступить против монголотатар и разгромить их 12 октября 1350 года у московского удельного князя Ивана родился сын которого окрестили Дмитрием. Дмитрия Московского сумели получить для своего князя ярлык. Разведка великого князя донесла что Мамай собрав войско уже три недели ждал на Дону Ягайло Литовского.
54344. Сучасний урок - джерело творчості вчителя 2.78 MB
  Тестові завдання з геометрії. клас із використанням тестуючого комплексу MIFTests. Кожен вчитель є справжнім керівником дитячого колективу діти визнають своїх педагогів за лідерів та активно співпрацюють із ними а це означає: вчитель має власний педагогічний імідж свій особливий педагогічний почерк він конкурентоспроможний компетентний фахівець. МАТЕМАТИКА ТА ІТК У сучасному світі потреба в компютерних технологіях постійно зростає вони необхідні і вдома і на робочому місці. Систематичне використання...