48984

Розрахунок структури симетричних стаціонарних електромагнітних полів

Контрольная

Физика

Симетричне тіло радіуса R перебуває в однорідному зовнішньому електричному полі E0, що перпендикулярне до його осі. Задано матеріальні характеристики навколишнього середовища. Одержати аналітичні вирази для потенціалів й і для полів Ei й Ee відповідно всередині та поза тілом.

Украинкский

2013-12-18

146 KB

2 чел.

1 Розрахунок  структури  симетричних  стаціонарних

електромагнітних  полів

Загальне  завдання

Симетричне тіло радіуса R перебуває в однорідному зовнішньому електричному полі E0, що перпендикулярне до його осі. Задано матеріальні характеристики навколишнього середовища. Одержати аналітичні вирази для потенціалів й  і для полів Ei й Ee відповідно всередині та поза тілом. Для заданих чисельних значень параметрів задачі побудувати сімейство еквіпотенційних ліній (10 ліній) у площині, що перпендикулярна осі симетрії тіла. Знайти щільність зарядів  на поверхні провідника.

    Параметри  задачі

Нескінченний незаряджений провідний циліндр в вакуумі:

R=0,08 м; E0=50*103 В/м; =1. Координати точки M: r=0,08 м, =300.

Розв’язок

Розв’язок природно робити в циліндричних координатах, що пов'язані із центром основи циліндра, r - радіус-вектор точки спостереження, вісь x спрямована вздовж прикладеного електричного поля (рис. 1.1).

Рисунок 1.1

При такому розташуванні циліндра, потенціал поля не буде залежати від координати z, і двомірне рівняння Лапласа запишеться у вигляді:

                           (1.1)

Як усередині, так і поза циліндром сторонніх зарядів немає, тому варто вирішувати рівняння Лапласа  з відповідними граничними умовами на поверхні r = R.

Відповідно до методу розділення змінних, можна знайти розв’язок рівняння (1.1) у вигляді добутку двох функцій, кожна з яких залежить тільки від однієї координати:

                                   (1.2)

Після підстановки виразу (1.2) в (1.1) одержимо:

Домножуючи на r2 /MN, легко помітити, що змінні розділяються:

Ця рівність не повинна порушуватися, якщо одну з незалежних змінних  r або довільно змінити, а іншій надати довільне, але постійне значення. Очевидно, що при змінах r або кожна частина рівняння повинна  залишатися постійною та рівною одному і тому самому числу - постійній розділення p:                 

                                    (1.3)

                                            (1.4)

Цим самим розв’язок рівняння (1.1) із частинними похідними зведене до більш простої задачі - до розв’язку звичайних диференціальних рівнянь.

Насамперед, треба знайти частинні розв’язки рівнянь (1.3) і (1.4) для p=0. Позначимо їх M0 та N0, і в результаті одержимо:

Т. як потенціал є парною функцією відносно  тобто  то необхідно прийняти А3=0.

Якщо взяти, відповідно до рівності (1.2), добуток функцій M0 й N0 та  змінити позначення постійних, то можна одержати частинний розв’язок  рівняння Лапласа у вигляді:

                                                           (1.5)

Нехай тепер постійна розділення p у рівняннях (1.3) і (1.4) відмінна від нуля.

Для розв’язку рівняння (1.3) застосуємо підстановку Ейлера M=C*rn. Перша і друга похідні відповідно будуть рівні

М=М12

М11r                                                                  М22/r

М= С1r+ С2/r

Підставимо похідні в рівняння

або        і  тоді                           (1.6)

Значення p визначимо при інтегруванні рівняння (1.4):

С2=0, бо є функція парна, тобто  тоді N(k)=Bcos(k). Якщо прийняти, що потенціал на осі у дорівнює 0  то , а відповідно, k=1. При k>1 нульова потенціальна лінія буде нахилена до осі у, що не відповідає досліджуваному полю (потенціал дорівнює нулю по вісі z). Таким чином розв’язок можна записати у вигляді . Переконаємося в цьому шляхом  підстановки й одночасно знайдемо значення  p:

Отже:  p = 1.

Після знаходження числа p підставимо його в рівняння (1.6) і знайдемо: n1=1 й n2= -1. Таким чином, спільний розв’язок рівнянь (1.3) і (1.4) при p, не рівному нулю, дає наступний вираз для

                                                                  (1.7)

Повний розв’язок:

                                        (1.8)

В (1.8) присутні чотири невідомі постійні, значення яких залежать від того, який циліндр (провідний або діелектричний) внесений у поле.

Якщо в рівномірне поле поміщений нескінченний незаряджений провідний циліндр, то, як усередині, так і поза ним вільних зарядів немає й, тому поле описується рівнянням Лапласа. Величини, що служать для опису поля усередині циліндра, позначимо з індексом i, а величини, за допомогою яких записується потенціал у зовнішній стосовно циліндра області, - з  індексом e. Таким чином:

для  внутрішньої  області:

                                                      (1.9)

для  зовнішньої  області:

                                                    (1.10)

Треба знайти 8 постійних інтегрування. Потенціал на нескінченності в цьому випадку

Зіставимо останній вираз з (1.10):  

Отже:

                              (1.11)

У виразі (1.10) залишилася невідомою лише постійна C4e.

Розглянемо вираження потенціалу  для внутрішньої області. Т. як циліндр провідний, то поле всередині його дорівнює нулю, а потенціал являє собою деяку постійну величину. Це можливо тільки тоді, коли C1i=0, C3i=0 й C4i=0. Постійна C2i, з точністю до якої визначається потенціал, дорівнює аналогічної постійної  для зовнішньої області. Таким чином, для внутрішньої  області

                                                                                                 (1.12)

Невідому постійну C4e знайдемо із граничних умов:

 при . Отже:

                                (1.13)

cosα=0                                   або                            =0

cosα не дорівнює 0 стоїть умова , а α є якоюсь певною величиною.

Залишається лише =0. Звідси С0R2

Підставивши знайдені постійні, остаточно одержимо потенціал внутрішньої області:

                                                 (1.14)

потенціал зовнішньої області:

                                 (1.15)

Знайдемо вираз для напруженості електричного поля всередині та поза циліндром. Напруженість рівномірного поля усередині циліндра рівна нулю:

                                                    (1.16)

Тому що потенціал залежить тільки від r та α, то напруженість електричного поля поза циліндром має лише дві складові:

                                         (1.17)

Рівняння еквіпотенційних ліній у площині, що проходить через центр циліндра перпендикулярно електричному полю E, задане в циліндричних координатах, має вигляд:

                                                                                         (1.18)

де n=const — фіксоване значення потенціалу, обране для побудови еквіпотенціали (n=1,2,3,...). Рівняння еквіпотенційних ліній поза циліндром треба з формул (1.15), (1.18) і врахувавши те що 0=0 маємо:

            та           

Відповідно:                                                               (1.19)

Еквіпотенціальні лінії будуємо в площині xz.

Щільність зарядів на поверхні провідника прямо пропорційна вектору електричної індукції поза циліндром і визначається виразом:

Вона постійна на всій поверхні циліндра. Значення щільності зарядів на поверхні циліндра при r=R:

Чисельне значення вектора електричної індукції в точці M при r=R дорівнює:

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.

Арк.

Дата

Підпис

№ докум.

Арк.

Змн.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51197. Цифровое управляющее устройство в контуре управления 466.86 KB
  Цифровое управляющее устройство в контуре управления Влияние периода дискретизации. Поэтому значения управляемых координат присутствующих в ЦВМ отличаются от значений их же в объекте управления.1 h=l Наилучшие параметры по результатам проведенных опытов а0=1 1=l с дискретизацией h=100 Вывод: По результатам исследования системы мы можем утверждать что при увеличении шага дискретизации цифрового управляющего устройства качество переходных процессов в системах управления ухудшается что связанно с запаздыванием по времени вносимым...
51198. Цифровое управляющее устройство в контуре управления 660.15 KB
  Для отработки блока дискретизации рассмотрена система с неидеальным запаздывающим АС.1 Система неустойчива 0.4 Система неустойчива 0.1 Система неустойчива 0.
51199. Анализ влияния дискретизации на перерегулирование 55.18 KB
  Цель: сравнение результатов с идеальным и неидеальным АС на одном графике при различных h. Результаты исследования влияния т и h на уравнение с неидеальным...
51200. Анализ влияния дискретности цифровой системы управления на параметры автоколебаний в системе с релейными исполнительными органами 559.64 KB
  Определить зависимость частоты и размаха автоколебаний от величины Мупр а0 и а1 при h = 1. Определить зависимость частоты и размаха автоколебаний от величины Мупр а0 Т при h = 50. Определили зависимость частоты и размаха автоколебаний от величины Мупр а0 и а1 при различных h. Результаты исследования влияния а0 и h на уравнение моделирующее работу цифровой системы управления с релейными и...
51201. Исследование биполярного транзистора 497.57 KB
  Цель работы: изучение свойств биполярного транзистора в режиме постоянного тока и при переменном сигнале в зависимости от схемы его включения. Характеристики биполярного транзистора П306А: Тип прибора Проводимость Предельные значения параметров при Т=25С Значения параметров при Т=25С П306А pnp 80 04 10 005 535 01 60120 Схемы установок для исследования транзисторов: Рис.1 Схема с общей базой для исследования выходных статических характеристик биполярного транзистора...
51202. Разработка интерпретатора текстовой (теговой) разметки документа 148.66 KB
  Идея языков разметки состоит в том, что визуальное отображение документа должно автоматически получаться из логической разметки и не зависеть от его непосредственного содержания. Это упрощает автоматическую обработку документа и его отображение в различных условиях (например, один и тот же файл может по-разному отображаться на экране компьютера, мобильного телефона и на печати...
51203. Аналитическое моделирование дискретно-стохастической СМО 241.97 KB
  Цель: Построить граф состояний СМО . Смысл кодировки состояний раскрыть (время до выдачи заявки, число заявок в накопителе и т.д.). На схеме условно обозначены
51204. Построение аналитической и имитационной модели одноканальной СМО с неограниченной очередью и ее исследование 56.42 KB
  Цель: Имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью. Входной поток и поток обслуживаний - простейшие с интенсивностями и соответственно. Время пребывания в очереди ограничено случайным сроком , распределенным по показательному закону с математическим ожиданием...