49040

Решение дифференциального уравнение с заданными начальными значениями

Курсовая

Математика и математический анализ

Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов построить их графики.Метод Эйлера Данный метод одношаговый. Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера: 3.Эйлер модифицированный Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера.

Русский

2014-01-07

451 KB

3 чел.

Введение


1.Постановка задачи

В данной курсовой работе необходимо решить дифференциальное уравнение

с заданными начальными значениями
x0=1, xk=2, y0=1, h=0.1. Для проверки точности результатов дано общее решение данного уравнения
.Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного, а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов, построить  их графики.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

 y=f(x,y) – тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x,y) к оси OX,- угловой коэффициент (рис. 1).

 y      

 

                                                                                                                      

                                                                                         α 

0                                                                                                                                х

                                                                       Рис. 1                                                                                                                                   

                                           Существование решения:

Если правая часть f(x;y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами x-x0<a и y-y0<b   , то существует, по меньшей мере, одно решение y=y(x), определенное в окрестности  x-x0<h    , где h- положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

, где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от а и b. Если f(x;y) имеет ограниченную производную fy=(x;y)  в R, то можно положить N=max  при (x;y)R


2.Метод Эйлера

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка

y=f(x;y)

с начальным условием

y(x0)=y0

Выберем шаг h и введем обозначения:

xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,

                                               xi-узлы сетки,

                                               yi- значение интегральной функции в узлах         

Проведем прямую АВ через точку (x0;y0)

x1=x0+h

Рассмотрим треугольник АВС, он прямоугольный, в этом треугольнике известен tan α,и

,  выражаем , , с другой стороны , левые части выражений равны, значит равны и правые, т.е.. Выразим или , найдем точку В(x1; y1),

x1=1+0.1=1.2

y1=1+0,1*3,72=2,372.

Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера:


3.Эйлер модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y=f(x;y)

с начальным условием

y(x0)=y0

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,  

xi -узлы сетки,

                                        yi- значение интегральной функции в узлах         

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Проведем решение в несколько этапов.

1. Обозначим точки: А(), B()  и C(x 1;y 1).

2. Через точку А, с координатами (1;1) проведем прямую под углом , где

3. На этой прямой найдем точку B (), получим B(1,05;1,186)

4. Через точку B проведем прямую под углом, где

5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.

6. Найдем точку C(x1;y1).Координаты точки С: х10+h, x1=1.1; y1=yB+ *f(xB;yB), y1=

7.После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения xi, yi:

         Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке это хорошо видно. Так величина  характеризует погрешность метода Эйлера, а– погрешность метода Эйлера Модифицированного.


4.Блок-схемы основных процедур




5.Листинг программы на языке Visual Basic



6.Формы программы в Visual Basic

 


7.Проверка в MathCad


Заключение



End

Yi=Yi-1+h*F(xi-1; yi-1)

xi=x0+i*h

i=0,…,N-1

h=(xk-x0)/n

Eiler (x0, xk, y0, N, Y)

Eiler M (x0, xk, y0, N, Y)

Yi=Yi-1+h*F(xi+h/2; yi-1+h/2*F(xi-1; yi-1))

End

X=x0+i*h

h=(xk-x0)/n

i=0,…,N-1

chastnoe

C=ex+1-y*x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31335. СПЕЦИФІКА ВИКОНАННЯ РЕНЕСАНСНОЇ ВОКАЛЬНОЇ МУЗИКИ В УМОВАХ ВІТЧИЗНЯНОЇ ХОРОВОЇ ПРАКТИКИ 3.14 MB
  ДАНЬШИНА Наталія Володимирівна СПЕЦИФІКА ВИКОНАННЯ РЕНЕСАНСНОЇ ВОКАЛЬНОЇ МУЗИКИ В УМОВАХ ВІТЧИЗНЯНОЇ ХОРОВОЇ ПРАКТИКИ 17. Інтерес до старовинної музики паростки якого можна побачити у так званих історичних концертах XIX століття активізувався на початку XX ст. Звернення насамперед саме до музики Бароко призвело до вкрай вкрай переконливого художнього репертуару: на засадах реконструкції відповідних епосі музичних інструментів та узлагодження з їх звучанням вокальної манери співаків дивовижно змінився...
31338. Культ Великой Матери богов Кибелы в греко-римской древности (К проблеме религиозного синкретизма в античности) 5.81 MB
  Археологические свидетельства безусловно важны но немы что с одной стороны предоставляет ученым широкий простор для построения различных гипотез а с другой стороны затрудняет их обоснование. Следует подчеркнуть что они очень неравномерно представлены по главным периодам античной истории наибольший объем литературных материалов приходится на римский период причем особый интерес к культу наблюдается на стыке старой и новой эпох и во времена поздней империи. Необходимо подчеркнуть что культовое обращение к Кибеле Пиндара в точности...
31339. СОЦИАЛЬНО-ПОЛИТИЧЕСКИЙ МИФ: ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ 4.36 MB
  Отношение политического мифа к политической идеологии Миф в системе политической науки. Почитание предков и становление политической мифологии лидерства Мифологема Русская земля: целеполагание и пространственные рамки политического процесса Мифология отличного порядка. Общественное насилие над властью: мифология политического самоопределения социума Эволюция групповой идентичности крестьянства...
31340. ИНДОЕВРОПЕЙСКИЕ МИФОТРАДИЦИИ (НА МАТЕРИАЛАХ САКРАЛЬНЫХ ГЕНЕАЛОГИЙ) 2.04 MB
  Современная наука установила факт существования общеиндоевропейского языка праиндоевропейского этноса в виде племени или соплеменности праиндоевропейской культуры как реальности эпохи неолита....
31341. ПРОБЛЕМЫ ЛИНГВИСТИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ ГЕРМАНСКОЙ КОСМОГОНИИ 864.88 KB
  В синхронии основным методом семантической реконструкции является изучение контекста слова. Под контекстом имеется в виду не только непосредственное окружение слова, но и его дальние связи в пределах более крупных единств, например, строф, то есть объектом исследования оказываются как контактное, так и дистантное расположение лексем.
31342. ЛЕКСИКА КУХОННОЙ УТВАРИ И ПОСУДЫ В ОРЛОВСКИХ ГОВОРАХ 3.84 MB
  Комплексное исследование лексики кухонной утвари и посуды позволит предпринятому нами исследованию заполнить пустующую нишу в системе последовательных изысканий в области изучения различных тематических групп в орловских говорах: агентивной лексики Т. Наиболее изученной является эта область лексики в сибирских и северновеликорусских говорах. В разное время обращались к её описанию в томских говорах Ф.