49040

Решение дифференциального уравнение с заданными начальными значениями

Курсовая

Математика и математический анализ

Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов построить их графики.Метод Эйлера Данный метод одношаговый. Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера: 3.Эйлер модифицированный Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера.

Русский

2014-01-07

451 KB

3 чел.

Введение


1.Постановка задачи

В данной курсовой работе необходимо решить дифференциальное уравнение

с заданными начальными значениями
x0=1, xk=2, y0=1, h=0.1. Для проверки точности результатов дано общее решение данного уравнения
.Данное уравнение необходимо решить методом Эйлера и Эйлера модифицированного, а также сравнить результаты и сделать вывод об эффективности методов, построить  их графики.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

 y=f(x,y) – тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x,y) к оси OX,- угловой коэффициент (рис. 1).

 y      

 

                                                                                                                      

                                                                                         α 

0                                                                                                                                х

                                                                       Рис. 1                                                                                                                                   

                                           Существование решения:

Если правая часть f(x;y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами x-x0<a и y-y0<b   , то существует, по меньшей мере, одно решение y=y(x), определенное в окрестности  x-x0<h    , где h- положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

, где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от а и b. Если f(x;y) имеет ограниченную производную fy=(x;y)  в R, то можно положить N=max  при (x;y)R


2.Метод Эйлера

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка

y=f(x;y)

с начальным условием

y(x0)=y0

Выберем шаг h и введем обозначения:

xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,

                                               xi-узлы сетки,

                                               yi- значение интегральной функции в узлах         

Проведем прямую АВ через точку (x0;y0)

x1=x0+h

Рассмотрим треугольник АВС, он прямоугольный, в этом треугольнике известен tan α,и

,  выражаем , , с другой стороны , левые части выражений равны, значит равны и правые, т.е.. Выразим или , найдем точку В(x1; y1),

x1=1+0.1=1.2

y1=1+0,1*3,72=2,372.

Обобщим формулу для решения дифференциальных уравнений методом Эйлера:


3.Эйлер модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y=f(x;y)

с начальным условием

y(x0)=y0

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi=x0+i*h и, где i = 0, 1, 2, …,  

xi -узлы сетки,

                                        yi- значение интегральной функции в узлах         

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Проведем решение в несколько этапов.

1. Обозначим точки: А(), B()  и C(x 1;y 1).

2. Через точку А, с координатами (1;1) проведем прямую под углом , где

3. На этой прямой найдем точку B (), получим B(1,05;1,186)

4. Через точку B проведем прямую под углом, где

5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.

6. Найдем точку C(x1;y1).Координаты точки С: х10+h, x1=1.1; y1=yB+ *f(xB;yB), y1=

7.После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения xi, yi:

         Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке это хорошо видно. Так величина  характеризует погрешность метода Эйлера, а– погрешность метода Эйлера Модифицированного.


4.Блок-схемы основных процедур




5.Листинг программы на языке Visual Basic



6.Формы программы в Visual Basic

 


7.Проверка в MathCad


Заключение



End

Yi=Yi-1+h*F(xi-1; yi-1)

xi=x0+i*h

i=0,…,N-1

h=(xk-x0)/n

Eiler (x0, xk, y0, N, Y)

Eiler M (x0, xk, y0, N, Y)

Yi=Yi-1+h*F(xi+h/2; yi-1+h/2*F(xi-1; yi-1))

End

X=x0+i*h

h=(xk-x0)/n

i=0,…,N-1

chastnoe

C=ex+1-y*x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44854. Оборотный капитал предприятия 16.77 KB
  Бухгалтерское деление Оборотные средства также именуемые оборотным капиталом это те средства которые компания употребляет для воплощения собственной ежедневной деятельности полностью потребляемые в промежуток производственного цикла. К ним точно относятся: Запасы материалы полуфабрикаты сырьё энергия запчасти топливо затраты в незаконченном производстве уже полностью готовые товары и продукция расходы в дальнейшем будущем периоде НДС по купленным ценностям Дебиторский долг больше 12 месяцев Краткосрочные финансовые...
44855. Язык SQL. Особенности языка SQL как инструмента работы с реляционными БД. Подмножества языка SQL 28.5 KB
  Набор операторов языка для определения данных и ограничения целостности. Набор операторов языка для извлечения изменения данных. Язык SQL наиболее распространённый язык управления базами данных типа клиент сервер. В SQL определены два подмножества языка: SQLDDL Dt Definition Lnguge язык определения структур и ограничений целостности баз данных.
44856. Методы правового регулирования (коллизионный и материально-правовой) 39.85 KB
  Даже в тех случаях когда государства пришли к согласию относительно необходимости разработки того или иного договора они не всегда способны прийти к такому соглашению относительно содержания составляющих его норм. Целью заключения международного договора коллизионного характера является максимальное обеспечение так называемого международного соответствия судебного решения то есть такой ситуации при которой судебное решение будет идентичным основанным на идентичных коллизионных принципах независимо от того в какой стране это судебное...
44858. Назначение и состав бурильной колонны. Типы и размеры труб. Материал для изготовления. Определение действующих нагрузок 23.19 KB
  Бурильная колонна состоит из ведущей трубы бурильных труб и утяжеленных бурильных труб соединяемых бурильными замками муфтами и переводниками. Утяжеленные бурильные трубы устанавливают в нижней части колонны и они служат для создания осевой нагрузки на долото. Между ведущей и утяжеленными трубами находятся бурильные трубы составляющие большую часть бурильной колонны. ВЕДУЩИЕ ТРУБЫ Ведущие трубы имеют квадратный шестигранный либо крестообразный профиль с концентрично расположенным круглым или квадратным отверстием для прохода промывочного...
44859. Драматургия 18 века 40.5 KB
  Тяжелая судьба постигла трагедию Княжнина Вадим Новгородский написанную в 1789 г. Эта трагедия без сомнения лучшее произведение Княжнина и политически наиболее содержательное и смелое. Однако же для Княжнина важна и здесь мысль об исконной свободе русского народа о чуждом для него характере самодержавия. Вадим Княжнина блюститель вольности свойственной его родине и он добивается не новых форм правления а сохранения того что принадлежит Новгороду по праву и по традиции.
44861. The formation of prices. Prices in the wholesale and retail trade. The impact of inflation on the price 19.21 KB
  Today we discuss such question «The formation of prices. Prices in the wholesale and retail trade. The impact of inflation on the price.» . Price - a monetary expression of value of goods, the amount of money paid per unit of product or service. In general, demand, supply, price - key variables that characterize the market. They are closely linked and mutually influence each other, creating a market mechanism for self-regulation