49096

Схема смешанной системы связи и сигналы в различных ее сечениях

Курсовая

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Рассчитать: априорные вероятности и передачи нуля и единицы по двоичному ДКС; ширину спектра сигнала ИКМ. Рассчитать и построить спектр сигнала дискретной модуляции и определить ширину его спектра. Рассчитать: приходящуюся в среднем на один двоичный символ бит мощность и амплитуду сигнала дискретной модуляции необходимую для обеспечения требуемого ОСШ ; пропускную способность гауссовского НКС. Построить функции плотности вероятности ФПВ мгновенных значений и огибающей узкополосной гауссовской помехи УГП а также...

Русский

2013-12-20

1.59 MB

8 чел.

Задание:

  1.  Изобразить структурную схему смешанной системы связи и нарисовать сигналы в различных ее сечениях.
    1.  Рассчитать: спектр плотности мощности  сообщения; энергетическую ширину спектра  и интервал корреляции  сообщения. Построить графики  и .
    2.  Рассчитать: СКП фильтрации  сообщения; мощность  отклика ФНЧ; частоту  и интервал  временной дискретизации отклика ФНЧ. Считать, что исходное сообщение воздействует на идеальный ФНЧ с частотой среза: , .
    3.  Рассчитать: интервал квантования , пороги квантования , и СКП квантования  квантователя АЦП; распределение вероятностей , и интегральное распределение вероятностей , квантованной последовательности ; энтропию , производительность  и избыточность  квантованной последовательности. В расчетах принять квантование с равномерным шагом.
    4.  Закодировать L – ичную последовательность  двоичным безызбыточным блочным кодом ; выписать все кодовые комбинации кода и построить таблицу кодовых расстояний  кода.

   Рассчитать: априорные вероятности  и  передачи нуля и единицы по двоичному ДКС; ширину спектра  сигнала ИКМ.

  1.  Рассчитать и построить спектр сигнала дискретной модуляции и определить ширину его спектра .
    1.  Рассчитать: приходящуюся в среднем на один двоичный символ (бит) мощность   и амплитуду  сигнала дискретной модуляции, необходимую для обеспечения требуемого ОСШ ; пропускную способность  гауссовского НКС. Построить функции плотности вероятности (ФПВ) мгновенных значений и огибающей узкополосной гауссовской помехи (УГП), а также ФПВ мгновенных значений и огибающей суммы гармонического сигнала и УГП.
    2.  Изобразить схему приемника сигнала дискретной модуляции.

   Рассчитать: среднюю вероятность ошибки  и скорость  передачи информации по двоичному симметричному ДКС; показатель эффективности  передачи сигнала дискретной модуляции по НКС.

  1.  Рассчитать: скорость передачи информации  по L – ичному ДКС и относительные потери в скорости передачи информации; СКП шума передачи  и относительную суммарную СКП  восстановления непрерывного сообщения.

Указать пути уменьшения величины , если окажется, что .

Введение

Непрерывное сообщение , наблюдаемое на выходе источника (ИС), представляет собой реализацию стационарного гауссовского случайного процесса с нулевым средним и известной функцией корреляции . Сообщение передается в цифровой форме по смешанной системе связи.

В передающем устройстве (ПДУ) системы на основе аналого-цифрового преобразования (АЦП)

Сообщение отображается в сигнал импульсно-кодовой модуляции (ИКМ), который модулирует один из информационных параметров гармонического переносчика. В результате формируется линейный сигнал  дискретной относительной фазовой модуляции (ДОФМ).

Сигнал дискретной модуляции передается по узкополосному гауссовскому непрерывному каналу связи (НКС).

Прием сигнала ДОФМ осуществляется либо методом сравнения фаз (СФ).

Восстановление оценки  сообщения по принятому с искажениями сигналу ИКМ осуществляется на основе цифроаналогового преобразования (ЦАП) с последующей низкочастотной фильтрацией (ФНЧ).

Исходные данные.

Мощность сообщения                                               

 

Коэффициент

Показатель затухания функции корреляции

Число уровней квантования

Постоянная энергетического спектра шума НКС

Отношение сигнал шум (ОСШ) по мощности на входе детектора

Допустимая относительная среднеквадратическая погрешность (СКП) восстановления сообщения

Частота

Функция корреляции сообщения

Способ передачи

ОФМ

Способ приема

СФ

  1.  Изобразим структурную схему смешанной системы связи и нарисуем сигналы в различных ее сечениях:

В целом в ряде случаев практики встает проблема передачи непрерывного сообщения по дискретному каналу связи. Эта проблема решается при использовании

смешанной системы связи. Одной из таких систем является система передачи непрерывного сообщения методом импульсно-кодовой модуляции (ИКМ). Структурная схема такой системы приведена на рис. 1.

рис. 1 Структурная схема смешанной системы электросвязи

Она состоит из источника сообщений (ИС), аналого-цифрового преобразователя (АЦП), двоичного дискретного канала связи (ДКС), составной частью которого является непрерывный канал связи (НКС), цифро-аналогового преобразователя (ЦАП) и получателя сообщений (ПС). Каждая из указанных частей системы содержит еще целый ряд элементов. Остановимся на них подробнее.

Источник сообщений – это некоторый объект или система, информацию о состоянии или поведении которого необходимо передать на некоторое расстояние. Причем под объектом или системой подразумевают человека, ЭВМ, автоматическое устройство или что-либо другое. Передаваемая от ИС информация является непредвиденной для получателя. Поэтому количественную меру передаваемой по системе информации в теории электросвязи выражают через статистические (вероятностные) характеристики сообщений (сигналов). Сообщение – есть физическая форма представления информации. Часто сообщение представляют в виде изменяющегося во времени тока или напряжения, отображающих передаваемую информацию. Например, в телефонии это изменение тока микрофона под действием звукового давления говорящего человека; в телевидении это изменение напряжения на выходе видикона под действием изменения яркости или цветности отображаемого объекта и т.д.

В ПДУ сообщение вначале фильтруется с целью ограничения его спектра некоторой верхней частотой . Это необходимо для эффективного представления отклика ФНЧ  в виде последовательности отсчетов ,наблюдаемых на выходе дискретизатора. Отметим, что фильтрация связана с внесением погрешности , отображающей ту часть сообщения, которая подавляется ФНЧ. Далее отсчеты  квантуются по уровню. Процесс квантования связан с нелинейным преобразованием непрерывнозначных отсчетов  в дискретнозначные , что также привносит погрешность, называемую погрешностью (шумом) квантования . Квантованные уровни  затем кодируются двоичным безызбыточным кодом.

Последовательность кодовых комбинаций  образует сигнал ИКМ, который подводится к модулятору – устройству, предназначенному для согласования источника сообщений с используемой линией связи. Модулятор формирует линейный сигнал , который представляет собой электрическое или электромагнитное колебание, способное распространяться по линии связи и однозначно связанное с передаваемым сообщением (в данном случае с сигналом ИКМ). Сигнал  создается в результате модуляции – процесса изменения одного или нескольких параметров переносчика по закону модулирующего ИКМ сигнала. При использовании гармонического переносчика  различают сигналы амплитудной, частотной и фазовой модуляции (АМ, ЧМ и ФМ).

Для предотвращения внеполосных излучений в одноканальной или при организации многоканальной связи, а также для установления требуемого ОСШ на входе приемника линейный сигнал фильтруется и усиливается в выходном каскаде ПДУ.

Сигнал  с выхода ПДУ поступает в линию связи, где на него накладывается помеха . На вход ПРУ воздействует смесь  переданного сигнала и помехи. Здесь во входном каскаде ПРУ  фильтруется и подается на детектор.

При демодуляции из принятого сигнала  выделяется закон изменения информационного параметра, который в нашем случае пропорционален сигналу ИКМ. При этом для опознавания переданных двоичных символов на выход демодулятора подключается решающее устройство (РУ).

Наконец, для восстановления переданного непрерывного сообщения  , т.е. получения его оценки , принятые кодовые комбинации подвергаются декодированию, интерполяции и низкочастотной фильтрации. При этом в декодере по двоичным кодовым комбинациям восстанавливаются L – ичные уровни  .

Наличие ошибок в двоичном ДКС приводит к ошибкам передачи в L – ичном ДКС и, соответственно, к возникновению шума передачи . Совокупное действие погрешности фильтрации, шумов квантования и передачи приводит к неоднозначности между переданным и принятым сообщениями .

В системах передачи непрерывных сообщений верность (качество) передачи считается удовлетворительной, если суммарная относительная СКП восстановления не превосходит допустимую, т.е. .

А) - Исходный сигнал, Б) - Процедура квантования, В) - Квантованный сигнал, Г) – Шум квантования, Д) – Сигнал импульсно-кодовой модуляции, Е) – Модулирующие двуполярные импульсы, Ж) – Сигнал дискретной относительно-фазовой модуляции, З) – Переданные кодовые комбинации, И) – принятые кодовые комбинации, Й) – Комбинация ошибки, К) – Решение детектора, Л) – Шум передачи, М) – Входной и выходной сигналы

  1.  Рассчитаем: спектр плотности мощности сообщения; энергетическую ширину спектра  и интервал корреляции  сообщения. Построить графики и :

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

154,84

148,73

132,99

113,04

93,43

76,39

62,46

7,0

8,0

9,0

10,0

11,0

12,0

13,0

51,39

42,67

35,78

30,31

25,93

22,39

19,49

0,0

-1,0

-2,0

-3,0

-4,0

-5,0

-6,0

154,84

148,73

132,99

113,04

93,43

76,39

62,46

-7,0

-8,0

-9,0

-10,0

-11,0

-12,0

-13,0

51,39

42,67

35,78

30,31

25,93

22,39

19,49

- достигается при нулевой частоте.

0,0

2,5

5,0

7,5

10,0

12,5

15,0

2,400

2,221

2,055

1,902

1,760

1,629

1,508

17,5

20,0

22,5

25,0

27,5

30,0

32,5

1,395

1,291

1,195

1,106

1,023

0,947

0,876

35,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

150,0

0,811

0,695

0,509

0,374

0,274

0,201

0,023

0,0

-2,5

-5,0

-7,5

-10,0

-12,5

-15,0

2,400

2,221

2,055

1,902

1,760

1,629

1,508

-17,5

-20,0

-22,5

-25,0

-27,5

-30,0

-32,5

1,395

1,291

1,195

1,106

1,023

0,947

0,876

-35,0

-40,0

-50,0

-60,0

-70,0

-80,0

-150,0

0,811

0,695

0,509

0,374

0,274

0,201

0,023

Построим графики корреляционной функциии спектр плотности мощности сообщения :

График корреляционной функции

График спектра плотности мощности сообщения

Найдем ширину спектра  сообщения:

Найдем интервал корреляции сообщения:  

  1.  Рассчитать среднеквадратическую погрешность (СКП) фильтрации  сообщения; Мощность отклика ФНЧ; частоту  и интервал  временной  дискретизации отклика ФНЧ.  Считая, что исходное сообщение воздействует на идеальный  ФНЧ с частотой среза  

Найдем  мощность отклика ФНЧ:

Найдем частоту  и интервал  временной дискретизации отклика ФНЧ: Считая, что исходное сообщение воздействует на идеальный  ФНЧ с частотой среза  

  1.  Рассчитаем: интервал квантования , пороги квантования , , и СКП  квантования АЦП; распределение вероятностей , , и интегрально распределение вероятностей ,, квантованной последовательности; энтропию , производительность  и избыточность  квантованной последовательности. В расчетах принимали квантование с равномерным шагом.

Найдем интервал квантования:

                

Найдем пороги квантования:

0

1

2

3

4

5

6

7

-4,954

-3,715

-2,477

-1,238

0,0000

1,238

2,477

3,715

Найдем уровни квантования:

0

1

2

3

4

5

6

7

-4,335

-3,096

-1,858

-0,619

0,619

1,858

3,096

4,335

Найдем СКП квантования АЦП:

соответственно, мощности (дисперсии) входного и выходного сигналов квантователя.  коэффициент взаимной корреляции между этими сигналами.

где  постоянная  определяется следующим образом:

Функция плотности вероятности  гауссовской величины:

Находим постоянную  с помощью MathCAD 14

 коэффициент взаимной корреляции между этими сигналами равен:

Найдем мощность выходного сигнала квантователя :

В данном соотношении распределение вероятностей , ,  дискретной случайной величины , с учетом порогов  квантования рассчитываются так:

где  - табулированная функция Лапласа.

Получаем:

Отсюда следует, что СКП квантования АЦП:

Находим интегральное  распределение вероятностей:

0

1

2

3

4

5

6

7

0,0014

0,0228

0,1587

0,500

0,8413

0,9772

0,9986

1,000

Рассчитаем энтропию Ну, которая характеризует количественную меру неопределенности о сообщении  до его приема, т.е. то количество информации, которое должно быть в среднем получено для опознавания любого уровня квантования из L- мерного их множества:

Производительность или скорость ввода информации в ДКС:

Избыточность последовательности:

  1.  Закодируем L-ичную  последовательность   двоичным безызбыточным  блочным кодом ; выписать кодовые комбинации кода и построить таблицу кодовых расстояний  кода. Рассчитаем: априорные вероятности р(0) и р(1) передачи нуля и единицы по двоичному ДКС; ширину спектра  сигнала ИКМ.

                                    

l- горизонталь, m- вертикаль

 

Рассчитаем: априорные вероятности р(0) и р(1) передачи нуля и единицы по двоичному ДКС; ширину спектра   сигнала ИКМ.

Число единиц и нулей в кодовых комбинаций ,    соответствующих этим вероятностям, также симметрично, т.е.

Так  как  среднее число нулей  и среднее число единиц  в сигнале ИКМ одинаково (это справедливо для гауссовского сообщения и данного способа кодирования), то и вероятности их появления одинаковы .

Длительность элементарного кодового символа определяется:

Ширина спектра  сигнала ИКМ равна:

  1.  Рассчитаем и построим спектр сигнала дискретной модуляции и определить ширину спектра   

Сигнал ДОФМ представляется в виде

индекс фазовой модуляции (максимальное отклонение фазы сигнала ДОФМ от фазы несущей).

Разложение сигнала ДОФМ по гармоническим составляющим имеет следующий вид:

Сообщение имеет только нечетные гармонические (спектральные) составляющие на частотах

Ширина спектра сигнала ДОФМ определяется следующим образом:

Мощность гауссовского белого шума  в полосе пропускания полосового фильтра (ПФ) геометрически определяется как площадь прямоугольника с высотой    и основанием  :

Учитывая  и то, что требуемое отношение сигнал шум (ОСШ)  на выходе детектора приемника известно, находим мощность сигнала дискретной модуляции, и обеспечивающую это ОСШ:

На длительности посылки, сигнал дискретной модуляции имеет вид гармонического колебания. Мощность гармонического колебания в этом случае равна   (это мощность, развиваемая на сопротивлении 1Ом). Учитывая специфику формирования сигнала ДОФМ, получаем следующие соотношения для их мощностей и амплитуд, в среднем приходится на один двоичный символ:

Разложение сигнала ДОФМ по гармоническим составляющим имеет следующий вид:

-11

-9

-7

-5

-3

-1

9,44

9,91

10,37

10,84

11,30

11,77

0,578

0,706

0,908

1,271

2,118

6,354

1

3

5

7

9

11

12,23

12,70

13,16

13,63

14,09

14,56

6,354

2,118

1,271

0,908

0,706

0,578

  1.  Рассчитаем: приходящуюся в среднем на один двоичный символ (бит) мощность и амплитуду сигнала дискретной модуляции, необходимую для обеспечения требуемого ОСШ; пропускную способность гауссовского НКС. Построить функции плотности вероятности  (ФПВ)  мгновенных значений и огибающей в узкополосной гауссовской  помехи (УГП), а также ФПВ мгновенных значений и огибающей суммы гармонического сигнала и УГП.

Пропускная способность гауссовского НКС:

Функции плотности вероятности (ФПВ) мгновенных значений  имеет вид гауссовского распределения с числовыми характеристиками: .

Огибающая (случайно изменяющаяся амплитуда) гауссовской помехи распределена по закону Релея.

ФПВ мгновенных значений:

Огибающая суммы гармонического сигнала и УГП:

  1.  Изобразим схему приемника сигнала дискретной модуляции. Рассчитаем: среднюю вероятность ошибки  и скорость  передачи информации по двоичному симметричному ДКС; показатель эффективности  передачи сигнала дискретной модуляции по НКС

Для приема сигнала ДОФМ по методу сравнения фаз имеем:

Скорость передачи информации по двоичному симметричному ДКС определяется из следующего выражения:

Эффективность Э передачи сигнала дискретной модуляции по НКС:

  1.  Рассчитаем: скорость передачи информации  по ичному ДКС и относительные потери в скорости передачи информации; СКП шума передачи  и относительную суммарную СКП восстановления непрерывного сообщения.

Выражение для  выглядит:

гдевероятность

совместного наступления событий: на передаче и  на приеме;

распределение вероятностей, определяемое из соотношения п.4; элементы матрицы переходных вероятностей        ичную ДКС, которые определяются следующим образом:

где значность кода ;- кодовое расстояние между

кодовыми комбинациями; - вероятность ошибки в двоичном симметричном ДКС .

В соотношении  распределение вероятностей принятых ичных уровней определяют так:

Получим:

посчитаем с помощью MathCAD 14 и получаем:

Относительные потери в скорости передачи информации:

СКП шума передачи:

Дисперсия случайных амплитуд импульсов, равная

Относительную суммарную СКП  восстановления непрерывного сообщения:

Относительная суммарная СКП восстановления сообщения больше допустимого значения. Для ее уменьшения необходимо увеличить энергетическую  ширину спектра  либо увеличить число уровней квантования L.

Изменим ширину энергетического спектра  до 15 000 Гц.

Рассчитать среднеквадратическую погрешность (СКП) фильтрации  сообщения; Мощность отклика ФНЧ; частоту  и интервал  временной  дискретизации отклика ФНЧ.  Считая, что исходное сообщение воздействует на идеальный  ФНЧ с частотой среза

Найдем  мощность отклика ФНЧ:

Найдем частоту  и интервал  временной дискретизации отклика ФНЧ: Считая, что исходное сообщение воздействует на идеальный  ФНЧ с частотой среза  

Рассчитаем: интервал квантования , пороги квантования , , и СКП  квантования АЦП; распределение вероятностей , , и интегрально распределение вероятностей , , квантованной последовательности; энтропию , производительность  и избыточность  квантованной последовательности. В расчетах принимали квантование с равномерным шагом.

Найдем интервал квантования:

                

Найдем пороги квантования:

0

1

2

3

4

5

6

7

-5,535

-4,151

-2,767

-1,384

0,0000

1,384

2,767

4,151

Найдем уровни квантования:

0

1

2

3

4

5

6

7

-4,843

-3,459

-2,075

-0,692

0,692

2,075

3,459

4,843

Найдем СКП квантования АЦП:

соответственно, мощности (дисперсии) входного и выходного сигналов квантователя.  коэффициент взаимной корреляции между этими сигналами.

где  постоянная  определяется следующим образом:

Функция плотности вероятности  гауссовской величины:

Находим постоянную  с помощью MathCAD 14

 коэффициент взаимной корреляции между этими сигналами равен:

Найдем мощность выходного сигнала квантователя :

В данном соотношении распределение вероятностей , ,  дискретной случайной величины , с учетом порогов  квантования рассчитываются так:

где  - табулированная функция Лапласа.

Получаем:

Отсюда следует, что СКП квантования АЦП:

Находим интегральное  распределение вероятностей:

0

1

2

3

4

5

6

7

0,0013

0,0227

0,1587

0,500

0,8413

0,9772

0,9986

1,000

Рассчитаем энтропию Ну, которая характеризует количественную меру неопределенности о сообщении  до его приема, т.е. то количество информации, которое должно быть в среднем получено для опознавания любого уровня квантования из L- мерного их множества:

Производительность или скорость ввода информации в ДКС:

Избыточность последовательности:

Закодируем L-ичную  последовательность   двоичным безызбыточным  блочным кодом ; выписать кодовые комбинации кода и построить таблицу кодовых расстояний  кода. Рассчитаем: априорные вероятности р(0) и р(1) передачи нуля и единицы по двоичному ДКС; ширину спектра  сигнала ИКМ.

                                    

l- горизонталь, m- вертикаль

 

Рассчитаем: априорные вероятности р(0) и р(1) передачи нуля и единицы по двоичному ДКС; ширину спектра   сигнала ИКМ.

Число единиц и нулей в кодовых комбинаций ,    соответствующих этим вероятностям, также симметрично, т.е.

Так  как  среднее число нулей  и среднее число единиц  в сигнале ИКМ одинаково (это справедливо для гауссовского сообщения и данного способа кодирования), то и вероятности их появления одинаковы .

Длительность элементарного кодового символа определяется:

Ширина спектра  сигнала ИКМ равна:

Рассчитаем и построим спектр сигнала дискретной модуляции и определить ширину спектра   

Сигнал ДОФМ представляется в виде:

индекс фазовой модуляции (максимальное отклонение фазы сигнала ДОФМ от фазы несущей).

Разложение сигнала ДОФМ по гармоническим составляющим имеет следующий вид:

Сообщение имеет только нечетные гармонические (спектральные) составляющие на частотах

Ширина спектра сигнала ДОФМ определяется следующим образом:

Мощность гауссовского белого шума  в полосе пропускания полосового фильтра (ПФ) геометрически определяется как площадь прямоугольника с высотой    и основанием  :

Учитывая  и то, что требуемое отношение сигнал шум (ОСШ)  на выходе детектора приемника известно, находим мощность сигнала дискретной модуляции, и обеспечивающую это ОСШ:

На длительности посылки, сигнал дискретной модуляции имеет вид гармонического колебания. Мощность гармонического колебания в этом случае равна   (это мощность, развиваемая на сопротивлении 1Ом). Учитывая специфику формирования сигнала ДОФМ, получаем следующие соотношения для их мощностей и амплитуд, в среднем приходится на один двоичный символ:

Разложение сигнала ДОФМ по гармоническим составляющим имеет следующий вид:

-11

-9

-7

-5

-3

-1

7,05

7,95

8,85

9,75

10,65

11,55

0,804

0,983

1,263

1,769

2,948

8,843

1

3

5

7

9

11

12,45

13,35

14,25

15,15

16,05

16,95

8,843

2,948

1,769

1,263

0,983

0,804

Рассчитаем: приходящуюся в среднем на один двоичный символ (бит) мощность и амплитуду сигнала дискретной модуляции, необходимую для обеспечения требуемого ОСШ; пропускную способность гауссовского НКС. Построить функции плотности вероятности  (ФПВ)  мгновенных значений и огибающей в узкополосной гауссовской  помехи (УГП), а также ФПВ мгновенных значений и огибающей суммы гармонического сигнала и УГП.

Пропускная способность гауссовского НКС:

Функции плотности вероятности (ФПВ) мгновенных значений  имеет вид гауссовского распределения с числовыми характеристиками: .

Огибающая (случайно изменяющаяся амплитуда) гауссовской помехи распределена по закону Релея.

ФПВ мгновенных значений:

Огибающая суммы гармонического сигнала и УГП:

Рассчитаем: среднюю вероятность ошибки  и скорость  передачи информации по двоичному симметричному ДКС; показатель эффективности  передачи сигнала дискретной модуляции по НКС

Для приема сигнала ДОФМ по методу сравнения фаз имеем:

Скорость передачи информации по двоичному симметричному ДКС определяется из следующего выражения:

Эффективность Э передачи сигнала дискретной модуляции по НКС:

Рассчитаем: скорость передачи информации  по ичному ДКС и относительные потери в скорости передачи информации; СКП шума передачи  и относительную суммарную СКП восстановления непрерывного сообщения.

Выражение для  выглядит:

гдевероятность

совместного наступления событий: на передаче и  на приеме;

распределение вероятностей, определяемое из соотношения п.4; элементы матрицы переходных вероятностей        ичную ДКС, которые определяются следующим образом:

где значность кода ;- кодовое расстояние между

кодовыми комбинациями; - вероятность ошибки в двоичном симметричном ДКС .

В соотношении  распределение вероятностей принятых ичных уровней определяют так:

Получим:

посчитаем с помощью MathCAD 14 и получаем:

Относительные потери в скорости передачи информации:

СКП шума передачи:

Дисперсия случайных амплитуд импульсов, равная

Относительную суммарную СКП  восстановления непрерывного сообщения:


Источник сообщения

НЧ

Дискрети-затор

Квантова-тель

Кодер

Модулятор

Вых. усторй-ство ПДУ

Линия связи

Вх. устройство ПРУ

Декодер

Интерпо-лятор

ФНЧ

Получательсообщения

Реш. У-во

Детектор

А

Ц

П

Ц

А

П

Источник помех

n(t)

a(t)

x(t)

xk

{xkl }

{bkl }

S(t,li)

S(t)

Z(t)

S’(t,bi)

{b’km}

{x’km }

x’m(t)

a’(t)