49124

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ

Конспект

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В данном курсе лекции рассматриваются вопросы режимов электрических систем, т.е. излагаются некоторые математические методы и приемы, непосредственно применяемые в электрических системах. Так, например, не рассматриваются режимы электрических станций

Русский

2014-03-30

189.58 KB

82 чел.

Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ 

Кафедра “Электрические станции, сети и системы ”

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И КОМПЬЮТЕРНОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ

Конспект лекций

для студентов всех форм обучения специальности

050718 - Электроэнергетика

Алматы 2008

СОСТАВИТЕЛИ: Ж. К. Оржанова., К.К.Тохтибакиев. Математические задачи и компьютерное моделирование в электроэнергетике. Конспект лекций для студентов всех форм обучения специальности 050718 – Электроэнергетика.- Алматы: НАО АИЭС, 2008.- 26с.

В конспекте лекций рассмотрены: применение алгебры матриц и теории графов к анализу сетей электрических систем, основные подходы к математическому исследованию переходных процессов в автоматически регулируемых энергосистемах.

Введение 

В данном курсе лекции рассматриваются вопросы режимов электрических систем, т.е. излагаются некоторые математические методы и приемы, непосредственно применяемые в электрических системах. Так, например, не рассматриваются режимы электрических станций, поведение собственных нужд станций при авариях, релейной защиты электрических систем и средств их автоматики, конструирование регулирующих и управляющих устройств. Цель дисциплины – это связать математику как общетеоретическую дисциплину с практическими ее применениями в работе инженера и дать конкретный практический аппарат для инженерных исследований. Задачи дисциплины - заблаговременная подготовка студентов к восприятию математических вопросов в специальных курсах и сознательному применению математики при решении различных электроэнергетических задач, позволяющие выбрать необходимые методы и приемы, которые дают достоверные результаты и наиболее быстро ведут к цели.

В качестве аппарата решения некоторых специальных задач электрических систем наиболее важными являются:

1) анализ электрических цепей с понятием о методах теории графов и элементах топологии применительно к электрическим сетям и системам;

2) некоторые приемы определения вероятностей;

3) способы анализа некоторых дифференциальных уравнений, используемых при выяснении устойчивых состояний системы.

Дисциплина «Математические задачи и компьютерное моделирование в электроэнергетике» является обязательным базовым предметом для бакалавров высших учебных заведений, обучающихся по специальности 050718 –«Электроэнергетика».

Дисциплина базируется на математической и электротехнической подготовке студентов в предшествующих семестрах и на знаниях, полученных при изучении математики, физики, инженерной и компьютерной графики, теоретических основах электротехники, механики.

1 Лекция 1. Математические задачи и компьютерное моделирование в электроэнергетике. Постановка и основные задачи курса и математические методы их решения

Содержание лекции:

– определение параметров электроэнергетических систем, понятие устойчивости в электроэнергетике, составление математических моделей отдельных элементов систем.

Цели лекции:

– изучение электрических схем, принципиальных схем, схем замещения.

Под электрической системой (ЭС) понимается электрическая часть энергетической системы, т.е. совокупность элементов, вырабатывающих, преобразующих, передающих, распределяющих и потребляющих электрическую энергию (ээ).

Электрическая сеть – это совокупность электроустановок для распределения электрической энергии, состоящая из подстанций, распределительных устройств, воздушных и кабельных линий электропередачи. По электрической сети осуществляется распределение электроэнергии от электростанций к потребителям.

Линия электропередачи (ЛЭП) (воздушная или кабельная) – электроустановка, предназначенная для передачи электроэнергии.

Математическое описание электроэнергетической системы имеет свою специфику и отличается от теплоэнергетической и гидроэнергетической части системы. При составлении математического описания учитывают, что электрическая система включает в себя силовые элементы – генераторы, трансформаторы, преобразователи, нагрузки и электрические сети (высокого напряжения, содержащие линии передач, среднего напряжения, распределительные с относительно низким напряжением).

Электрическая система содержит также элементы управления, изменяющие и регулирующие состояние системы или режим системы. Для расчета режима системы необходим математический аппарат. Взаимодействуя между собой, элементы системы в любой момент связаны единством процессов производства, передачи, распределения и потребления электрической энергии. При этом под процессами понимают отдельные составляющие явления, отражающие некоторые связи между переменными величинами, которые отвечают явлениям, свойственным данному состоянию (или режиму) системы.

Чтобы дать математическое описание системы, надо в виде математической модели представить все связи между переменными величинами процессов. Изучение этих процессов, направлена на обеспечение лучшей работы системы, основная задача которой – выработка электрической энергии.

Энергия – это количественный показатель работы электрической системы. Качество энергии характеризуется главным образом величиной и частотой напряжения у потребителя. Режим системы – это ее состояние в любой момент времени или на некотором интервале времени. Режим системы определяется указанными показателями и другими показателями. Параметры режима – показатели, зависящие от изменения режима. К параметрам режима относятся напряжения в различных точках системы, токи в ее элементах, углы расхождения векторов ЭДС и напряжений, активные и реактивные мощности и т.д.

При анализе и составлении математического описания различают три основных вида режимов электрических систем:

нормальный установившийся режим, применительно к которому проектируется электрическая система и определяются технико-экономические характеристики;

послеаварийный установившийся режим, наступающий после аварийного отключения какого-либо элемента или ряда элементов системы. Перечисленные установившиеся режимы характеризуются параметрами, не изменяющимися во времени. При этом связи между параметрами режима представляются алгебраическими уравнениями;

переходный режим, во время которого система переходит из одного состояния к другому. Для него характерно изменение всех его параметров во времени и описание его дифференциальными уравнениями.

Любой режим состоит из множества различных процессов.

Параметры режима электрической системы связаны между собой соотношениями, называемыми параметрами системы.

Параметpы системы – это показатели количественно определяющиеся физическими свойствами элементов системы, схемой их соединений. К параметрам системы относятся значения coпротивлений, проводимостей элементов, коэффициентов трансформации, постоянныx времени и т.п.

Если параметpы системы зависят от изменений ее режима, то система называется нелинейной. Параметры всех реальных электрических систем нелинейны. Но математический аппарат для их исследования еще недостаточно разработан. Поэтому, параметры системы часто полагают постоянными, считая систему на каком-то исследуемом участке линейной.

Схема замещения является математическим инструментом инженера. В зависимости от того, какая электрическая сеть и какие процессы интересуют, инженер подбирает схему замещения изучаемой сети. После подбора схемы замещения, расчет состояния электрической системы (режима) сводится к расчету электрической цепи.

Переходные режимы делятся на нормальные (эксплуатационные) и аварийные. Нормальные переходные процессы обусловлены изменениями нагрузки системы и реакцией на них регулирующих устройств. Нормальные переходные процессы, которые возникают при обычных эксплуатационных операциях: включении и отключении трансформаторов, а также отдельных линий электропередач; эксплуатационных изменениях схемы коммутации системы; включении и отключении отдельных генераторов и нагрузок или изменениях их мощности. При нормальных переходных процессах для описания системы применяют линейные дифференциальные уравнения.

Аварийные переходные процессы возникают вследствие каких-либо резких аварийных изменений режима: при коротких замыканиях элементов системы, изменении схемы соединения системы, случайном отключении агрегатов или линий электропередачи, несущих значительные нагрузки. Такие изменения в математической теории электрических систем, называемые большими возмущениями или воздействиями, приводят к значительным отклонениям параметров режима от их исходного состояния.

При исследовании переходных режимов особое значение имеет проблема устойчивости электрических систем. Рабочее состояние электрической системы, называемое установившимся режимом, должно обладать свойством устойчивости, т.е. способностью восстанавливать исходный установившийся режим или режим, близкий к нему, после какого-либо его изменения – отклонения (возмущение: малые изменения мощности нагрузки, большие изменения мощности, выдаваемой генератором при коротких замыканиях, отключениях электропередач и т.д.). Степень устойчивости системы уменьшается с увеличением нагрузки (мощности, выдаваемой ее генераторами) и понижением напряжения (увеличением мощности потребителей, снижением возбуждения генераторов). Для каждой системы определяются некоторые значения величин – параметров режима, характеризующих предел устойчивости.

Система должна работать не достигая этого предела, т.е. с некоторым запасом устойчивости, определяемым специальными нормативами или послеаварийных условий.

При анализе устойчивости электрических систем различают три ее вида: статическую, динамическую и результирующую.

Статическая устойчивость – способность системы восстанавливать исходное состояние после малого его отклонения (возмущения). Под малым понимается такое отклонение, при котором исследуемая электрическая система может изучаться на основе систем линейных дифференциальных уравнений с применением общих методов Ляпунова, способов малых колебаний, предусматривающих исследование характеристических уравнений и применение частотных характеристик, включая различные приемы построения границ области устойчивости.

Динамическая устойчивость – способность системы восстанавливать исходный режим или практический близкий к нему после большого возмущения (короткого замыкания, отключения линии и т.д.). При анализе динамической устойчивости для выявления изменений параметров режима составляют нелинейные, трансцендентные уравнения высоких порядков. Для этого применяют аналоговые вычислительные машины и расчетные модели переменного тока, снабженного автоматикой.

Результирующая устойчивость – способность системы восстанавливать исходный режим или практический близкий к нему после нарушения в течение некоторого времени синхронной работы с последующим ее восстановлением без отключения основных рабочих элементов системы.

2 Лекция 2. Математические модели установившихся режимов электрической системы. Уравнения установившегося режима электрической системы

Содержание лекции:

– определение схемы замещения, уравнения состояния линейной электрической сети, формирование матричных уравнений состояния электрической цепи.

Цели лекции:

– исследование режима электрической системы, законы Ома и Кирхгофа в матричной форме, математические модели переходных процессов в электроэнергетике.

Анализ условий работы электрической системы требует расчета ее установившихся режимов, целью которого является определение параметров режима: напряжения в узловых точках, токов и мощностей протекающих по отдельным ее элементам.

Основные элементы электрической системы в расчетах установившихся режимов представляются схемами замещения, состоящими из элементов электрической цепи: источников напряжения или тока и сопротивлений. К схеме замещения применимы такие понятия как ветвь, узел и контур. Схемы замещения содержащие контуры, называются замкнутыми, в обратном случае – разомкнутыми.

Состояние линейной электрической цепи описывается уравнениями Ома и Кирхгофа.

Закон Ома определяет взаимосвязь параметров каждой из ветвей цепи. Для i-й ветви, характеризующейся сопротивлением Zi, действующей в ней ЭДС Еi и протекающим по ней током Ii, разность потенциалов между ее концами (падение напряжения на ветви) UBi определяется в соответствии с уравнением

(2.1)

Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в каждом узле цепи, алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Для произвольного узла, содержащего источник тока J и связывающего k ветвей, уравнение имеет вид

(2.2)

Второй закон Кирхгофа определяет баланс напряжений в контурах цепи, алгебраическая сумма падений напряжения на ветвях контура равна нулю. Для произвольного контура, содержащего l ветвей, уравнение имеет вид

. (2.3)

Схема замещения электрической системы обычно является связанным направленным графом. Она состоит из ветвей (ребер), соединенных в узлы (вершины). Ветви образуют цепочки (пути графа), которые могут быть замкнутыми. Все величины, характеризующие состояние ветвей (ЭДС, токи, падения напряжения), имеют определенное направление.

Для направленного графа могут быть определены: 1) матрица соединений ветвей в узлах (первая матрица инциденций); 2) матрица соединений ветвей в независимые контуры (вторая матрица инциденций).

Матрица соединений ветвей в узлах – это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу вершин графа n, а число столбцов – числу ребер m.

M =(mij), i=1,...,n; j=1,....,m..

Матрица соединений ветвей в независимые контуры – это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу независимых контуров графа k, а число столбцов – числу ветвей m.

N=(nij), i=1,……..k; j=1,……. m.

Матрицы М и N дают возможность записать уравнения состояния электрической цепи в матричной форме.

Первый закон Кирхгофа в матричной форме

(2.4)

где - столбцы токов в ветвях и задающих токов в узлах соответственно.

Второй закон Кирхгофа в матричной форме

(2.5)

где - столбец падений напряжений на ветвях схемы.

Чтобы ввести в уравнения второго закона Кирхгофа токи в ветвях схемы замещения, воспользуемся законом Ома, который выражается матричным уравнением:

(2.6)

где ZB – диагональная матрица сопротивлений ветвей; Е – ЭДС в ветвях.

Для формирования обобщенного уравнения состояния необходимо предварительно определить матрицы соединений М и N, которые в аналитической форме отображают конфигурацию схемы замещения электрической сети.

Для составления матрицы М достаточно пронумеровать все узлы и ветви схемы и в каждом столбце матрицы записать (+1) и (-1) в тех строках, которые соответствуют соединяемым данной ветвью узлам, а в остальных элементах столбцах записать «0». Вычеркиванием строки соответствующей балансирующему узлу, получаем искомую матрицу М.

Для составления матрицы N, предварительно требуется выделить независимые контуры, количество которых может быть значительным. Матрица N в общем случае не содержит полной информации о конфигурации сети, т.к. разомкнутые ветви в ней не отражаются.

Задачей расчета установившегося режима электрической системы является определение токов в ветвях схемы замещения, напряжений в ее узловых точках и соответствующих им мощностей. Для этого составляется обобщенное уравнение состояния, которое решается относительно токов в ветвях. По найденной матрице определяются падения напряжения на ветвях схемы согласно уравнению (2.6), затем находятся напряжения узлов относительно балансирующего

Достаточно знать падения напряжения на ветвях схемы, чтобы определить падения напряжения на остальных ветвях и напряжениях всех узлов относительно балансирующего, т.е. и напряжения узлов, если напряжение балансирующего узла задано

Если начинать расчет с определения напряжений в узлах схемы относительно балансирующего (матрицы ), то порядок решаемой системы уравнений будет равен n-1. Система, состоящая из (n-1) уравнений, связывающих напряжения узлов относительно балансирующего с задающими токами в узлах и ЭДС в ветвях, называется системой узловых уравнений.

Обозначим

(2.7)

Квадратная матрица (7) порядка (n-1) называется матрицей узловых проводимостей. Она дает возможность получить окончательную форму записи системы узловых уравнений

(2.8)

Решив уравнение (2.8) относительно , можно получить падения напряжения на ветвях схемы и найти токи в ветвях схемы из (2.6).

Порядок расчета системы узловых уравнений матричным методом. Для выбранной схемы составляется:

- диагональная матрица узловых токов схемы;

- диагональная матрица проводимости ветвей;

- заполняется матрица инциденций нулями и единицами.

3 Лекция 3. Методы решения уравнений состояния электрической системы 

Содержание лекции:

– определение точных и приближенных методов решения линейных алгебраических уравнений;

– решение уравнений состояния методом Гаусса.

Цели лекции:

– обращение матрицы коэффициентов уравнений состояния;

– решение уравнений состояния итерационным методом.

Расчеты установившихся режимов необходимы при выборе конфигурации схемы электрической системы и параметров ее элементов, анализе устойчивости и оценке токов коротких замыканий, определении экономичных режимов ее работы.

Для выполнения расчета любого установившегося режима необходима информация о схеме и параметрах сети электрической системы, о потребителях (нагрузках) и источниках электроэнергии (электростанциях).

Уравнения установившегося режима электрической системы, связывающие мощности, задающие токи и напряжения узлов, при отсутствии ЭДС в ветвях имеют вид

(3.1)

(3.2)

где - столбец мощностей источников или потребителей, присоединенных к узлам схемы замещения системы;

- диагональная матрица напряжений в узлах схемы замещения;

- столбец напряжений в узлах схемы;

- столбец, каждый элемент которого равен напряжению в балансирующем узле;

- столбец задающих токов в узлах (символом отмечаются комплексно-сопряженные величины).

Система нелинейных (3.1) и линейных (3.2) уравнений при заданных мощностях узлов в общем случае может быть решена только итерационным методом. При этом возможны два подхода к решению:

- поочередное решение уравнений (3.1) и (3.2) в общем итерационном цикле;

- объединение этих уравнений в единую систему нелинейных уравнений и последующее ее решение.

В первом случае решение производится по следующей схеме:

1) задаются начальными приближениями напряжений узлов;

2) по значениям напряжений и заданным значениям мощностей (3.1) определяются задающие токи;

3) решается система линейных уравнений (3.2) при известных значениях задающих токов относительно напряжений в узлах;

4) на основе полученных значений напряжений в узлах выполняется следующий шаг итерационного процесса начиная с п.2.

Условием окончания итерационного процесса является близкое совпадение напряжений на двух последующих итерациях, а также совпадение вычисленных по (3.1) значений мощностей узлов с заданными.

Во втором случае уравнения (3.1) и (3.2) объединяются путем подстановки задающих токов либо из (3.2) в (3.1), что приводит к системе вида

(3.3)

либо из (3.1) в (3.2)

(3.4)

Как при первом, так и при втором подходе на каждом шаге итерационного процесса решается система линейных алгебраических уравнений либо непосредственно в виде узловых уравнений (3.2), либо в виде линеаризованных уравнений (3.3) и (3.4).

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений делятся на две группы: прямые и итерационные. К прямым относятся методы, позволяющие получить решение в результате конечного числа арифметических операций, зависящего от вычислительной схемы, а также от порядка и структуры матрицы коэффициентов системы уравнений. Методы этой группы называются также точными, т.к. если исходные данные заданы точно и вычисления точны, то решение также получается точным.

К итерационным относятся методы, с помощью которых решение системы линейных алгебраических уравнений получается как предел последовательных приближений, вычисляемых посредством единообразных операций. Эти методы называются приближенными, т.к. вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение системы уравнений лишь с заданной точностью.

В основе всех прямых методов решения линейных алгебраических уравнений установившегося режима электрической системы (УУР) лежит метод последовательного исключения неизвестных, называемый методом Гаусса. К числу наиболее характерных вычислительных схем этого метода относятся алгоритмы с обратным ходом и без обратного хода.

Алгоритм метода Гаусса с обратным ходом. Решение системы n линейных уравнений вида

по этому алгоритм состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) исходная система за n однотипных шагов преобразуется таким образом, что матрица коэффициентов преобразованной системы становится верхней треугольной, т.е. все элементы, расположенные ниже ее главной диагонали, равны нулю. На втором этапе (обратный ход) последовательно определяются значения неизвестных от хn до х1.

Последовательность операций, выполняемых при прямом ходе:

На первом шаге исходной системе уравнений

новое уравнение делится на а11. Далее х1 исключается из всех последующих уравнений (i=2,....,n) путем умножения первого уравнения каждый раз на аi1 и вычитается из i-го уравнения. В результате этих операций получается система уравнений с матрицей коэффициентов А(1) :

………………………..

где

Выполнение операций первого шага требует, чтобы элемент а11, называемый ведущим был отличен от нуля.

Второй шаг состоит в исключении х2 из уравнений 3,……,n, полученной на первом шаге системы путем выполнения аналогичных операций при использовании в качестве ведущего элемента В результате система приводится к виду

Третий и последующий шаги выполняются аналогично. Формулы для расчета коэффициентов системы уравнений на произвольном (k-м) шаге запишутся как

(3.5)

На последнем шаге (k=n) второе из выражений (3.5) определяет Т.о., при прямом ходе ведущими элементами последовательно выступают и их отличие от нуля является условием осуществимости процесса вычислений.

В общем виде формулы для обратного хода записываются

(3.6)

Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений позволяют получить значения искомых неизвестных в результате многократного выполнения единообразных шагов вычислений, называемых последовательными приближениями или итерациями. Рассмотрим два итерационных метода решения систем линейных алгебраических уравнений (метод простой итерации и метод Зейделя). Эти методы допускают простое обобщение на решение нелинейных уравнений установившегося режима, связывающих мощности и напряжения в узлах электрической системы.

Метод простой итерации. Исходная система линейных алгебраических уравнений

в предположении, что приводится к виду:

(3.7)

Система уравнений (3.7) согласно методу простой итерации решается следующим образом:

1) задаются начальными (нулевыми) приближениями неизвестных

2) значения подставляются в правые части уравнений (3.7) и тем самым определяются следующие приближения неизвестных

3) подстановкой полученных значений находится следующее приближение и т.д.

Таким образом, на k-м шаге итерационного процесса система (3.7) запишется как

(3.8)

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения полученные на двух смежных итерациях, не будут отличаться на величину, меньшую заданной погрешности решения , т.е. до выполнения условия

(3.9)

Для выполнения условия (3.9) при любой заданной точности решения, т.е. при любом сколь малом значении , необходимо, чтобы

(3.10)

где - точные решения исходной системы уравнений.

При выполнении (3.10) для произвольного начального приближения итерационный процесс называется сходящимся. В противном случае итерационный процесс не приводит к решению и называется расходящимся.

Необходимые и достаточные условия сходимости итерационного процесса по методу простой итерации (3.13), так и только достаточные условия (3.14а) и (3.14б) определяются соотношением элементов матрицы коэффициентов А и не зависят ни от значений элементов столбца правых частей b, ни от начального приближения х(0).

Метод Зейделя. Этот метод, так же как и метод простой итерации, базируется на использовании уравнений, приведенных к виду (3.7). В отличие от метода простой итерации для вычисления i-й переменной на каждом k-м шаге итерационного процесса используются значения переменных, вычисленные как на предыдущем (k-1)-м шаге, так и на данном. При этом на k-м шаге итерационного процесса система (3.7) имеет вид:

(3.16)

Для выяснения условий, определяющих сходимость итерационного процесса по методу Зейделя, как и ранее, представим (3.7) в матричной форме записи:

где В – столбец; С – квадратная матрица с нулевыми диагональными элементами.

Представим С в виде суммы верхней (Св) и нижней (Сн) треугольных матриц, получим:

В соответствии с этим представим итерационный процесс (3.16) в матричной форме:

или (3.17)

где

Выражение (3.17) аналогично выражению (3.11), полученному для метода простой итерации. Следовательно, для сходимости итерационного процесса по методу Зейделя, необходимо и достаточно, чтобы собственные значения матрицы С/ по абсолютной величине были меньше единицы. Поскольку матрицы С и С/ по-разному выражаются через компоненты матрицы А, то условия сходимости метода Зейделя и метода простой итерации в общем случае различны, т.е. существуют такие матрицы А, для которых итерационный процесс по методу Зейделя сходится, а по методу простой итерации не сходится, и наоборот.

Достаточные условия сходимости метода простой итерации являются достаточными и для метода Зейделя. Если эти условия выполняются, то процесс по методу Зейделя сходится.

Известно, что при положительно-определенной матрице А итерационный процесс по методу Зейделя всегда сходится. Следовательно, если матрица А – положительно-определенная, то сходимость гарантируется; если нет, то исходную систему можно привести к эквивалентной с положительно-определенной матрицей коэффициентов путем умножения слева на транспонированную матрицу А, т.е. путем перехода от системы Ах=b к системе или

где

Если исходная система имеет решение, т.е. если А – неособенная, то матрица А/ - положительно-определенная и итерационный процесс по методу Зейделя сходится к решению.

4 Лекция 4. Применение линейного программирования в энергетике

Содержание лекции:

- области применения и основные приемы решения. Составление математической модели и методы нахождения опорного плана транспортной задачи. Метод потенциалов.

- решение открытых транспортных задач и транспортных задач с промежуточными перевозками. Транспортные задачи в сетевой постановке с использованием метода границ и ветвей.

Цели лекции:

- изучение задач линейного программирования в энергетике, формирование экстримальных задач в форме транспортных, методы их решений.

Задача линейного программирования математически может быть представлена следующим образом. Пусть математическая модель записана в виде линейного соотношения

Надо найти значения х1, ……,хn, при которых может быть обеспечено экстремальное значение функции Ц(х), при ограничениях

В ограничения, присутствующие в задачах линейного программирования, иногда вводят также ограничения в виде условий неотрицательности всех или части переменных xj≥0, j=1,....,p.

Целевую функция Ц(а,х) иногда называют критерием или функционалом задачи линейного программирования.

Одной из наиболее распространенных задач линейного программирования является так называемая транспортная задача. При решении этой задачи отыскивается наиболее экономичный способ перевозки каких-либо продуктов со складов к потребителям, причем принимается, что известны затраты на перевозку единицы продукта к потребителям продукта в заданных пунктах реализации.

Постановка транспортной задачи в матричной форме. Формулировка транспортной задачи по критерию стоимости приведена ниже. В m пунктах производства А1, …..,Аm находится однородный продукт (сахар, уголь, картофель и т.д.)в количествах соответственно а1,…..,аm, который должен быть доставлен n потребителям В1,….,Вn в количествах b1,…..,bn. Известны транспортные издержки сij (расходы), связанные с перевозкой единицы продукции из пункта Аi в пункт Вj.

Для разрешимости поставленной задачи необходимо и достаточно, чтобы сумма запасов равнялась сумме спроса всех пунктов, т.е.

Для наглядности транспортную задачу представим в виде таблицы, которая называется распределительной (см. таблицу 4.1).

Т а б л и ц а 4.1

Поставщик

Потребитель

Запасы груза

В1

В2

….

Вn

А1

с11

х11

с12

х12

….

с1n

х1n

а1

А2

с21

х21

с22

х22

….

с2n

х2n

а2

……

……

……

……

……

……

Аm

сm1

хm1

сm2

хm2

……

сmn

хmn

аm

Потребность в грузе

b1

b1

……

bn

Матрица называется матрицей тарифов (издержек или транспортных расходов), а числа сij – тарифами.

Планом транспортной задачи называется где каждое число хij обозначает количество единиц груза, которое надо добавить из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения. Матрицу Х называют еше матрицей перевозок.

Общие суммарные затраты, связанные с реализацией плана перевозок, можно представить целевой функцией

(4.1)

Переменные хij должны удовлетворять ограничениям по запасам, по потребностям и условиям неотрицательности. В математической форме эти ограничительные условия компактно можно представить так:

(4.2)

(4.3)

Условия (4.2) образуют систему ограничений. Любой план, компоненты которого удовлетворяют этой системе, будет допустимым.

Таким образом, математическая постановка транспортной задачи ставится так. Даны система ограничений (4.2) при условии (4.3) и целевая функция (4.1), требуется среди множества решений системы найти такой неотрицательный план перевозок, который минимизирует целевую функцию (4.1).

Для транспортной задачи важное значение имеет следующая теорема: Ранг матрицы транспортной задачи на единицу меньше числа уравнений, т.е.

Транспортные задачи решаются с помощью общего последовательного улучшения планов, состоящего из следующих основных этапов: 1) определения исходного опорного плана; 2) оценки этого плана; 3) перехода к следующему плану путем однократного замещения одной базисной переменной на свободную.

Определение исходного опорного плана. 1. Правило «северо-западного угла». Для составления исходного плана перевозок удобно пользоваться правилом «северо-западного угла», которое состоит в следующем.

Заполняем таблицу начиная с левого верхнего (северо-западного) угла, двигаясь далее по строке вправо или по столбцу вниз. Занесем в клетку (1, 1) меньшее из чисел а1 и b1, т.е.

Если a1>b1, то х11= b1 и первый столбец «закрыт» для заполнения остальных его клеток, т.е. хi1=0 для i=2,3,….,m (потребности первого потребления удовлетворены полностью). Двигаясь далее по первой строке, записываем в соседнюю клетку (1, 2) меньшее из чисел а1-b1 и b2, т.е.

Если b1>a1, то аналогично «закрывается» первая строка, т.е. x1k=0 для k=2,3,….,n. Переходим к заполнению соседней клетки (2, 1) куда заносим

.

Заполнив клетку (1, 2) или (2, 1), переходим к заполнению следующей, третьей клетки либо по второй строке, либо по второму столбцу. Процесс продолжается до полного исчерпания груза у поставщиков или полного удовлетворения потребителей. Последняя заполненная клетка (m, n) окажется лежащей в последнем n-м столбце и в последней m-й строке.

2.Правило «минимального элемента». Число итераций можно сократить, если исходный план строить по более усовершенствованному правилу «минимального элемента». Сущность его состоит в том, что на каждом шаге осуществляется максимально возможная поставка в клетку с минимальным тарифом сik. Заполнение таблицы начинаем с клетки, которой соответствует наименьший элемент сik из всей матрицы тарифов. Затем остаток по столбцу или строке помещаем в клетку того же столбца или строки, которой соответствует следующее по величине значение сik , и т.д. Последовательность заполняемых клеток определяется по величине сik , а помещаемые в этих клетках величины xik как и в правиле «северо-западного угла».

Решение транспортной задачи методом потенциалов. Сущность метода потенциалов состоит в следующем. После того как найден исходный опорный план перевозок, каждому поставщику Аi (каждой строке) ставится в соответствие некоторое число ui а каждому потребителю Bj (каждому столбцу) – некоторое число j. Числа ui и j называются потенциалами соответственно поставщика Аi и потребителя Вj и выбираются так, чтобы в любой загруженной клетке их сумма равнялась тарифу этой клетки, т.е.

ui +j ij. Так как всех потенциалов m+n, занятых клеток m+n-1, то для определения чисел ui и j придется решать систему из m+n-1 уравнений

ui +j ij с m+n неизвестными.

План оптимален, когда для каждой свободной клетки (i, j) разность sij есть величина неотрицательная, т.е.

Полученные разности называются оценками (характеристиками) свободных клеток.

Чтобы решить транспортную задачу методом потенциалов, необходимо:

1) построить опорный план перевозок по одному из вышеизложенных правил;

2) вычислить потенциалы ui и j соответственно поставщиков и потребителей;

3) вычислить суммы потенциалов (косвенные тарифы) для свободных клеток ui +j ij ;

4) проверить разность sij=cij - cij.

5 Лекция 5. Математические модели, применяемые при изучении переходных процессов в электрических системах 

Содержание лекции:

- введение в теорию устойчивости в электроэнергетике. Понятие об устойчивости в ”малом” и “большом”, их принципиальное различие. Понятие статической и динамической устойчивости. Алгебраические критерии устойчивости;

Цели лекции:

- ознакомление с понятием устойчивости нормальных и переходных режимов электроэнергетической системы.

Теория устойчивости электроэнергетических систем. Теория устойчивости ЭЭС относится к фазовым системам, для которых характерны следующие состояния: устойчивое или неустойчивое состояние равновесия, возмущенное состояние (переходное) от одного состояние равновесия (покоя) к другому. Устойчивому состоянию равновесия соответствует установившийся режим ЭЭС, при котором генераторы системы вращаются с единой синхронной скоростью. Возмущенному состоянию равновесия соответствует переходный режим ЭЭС, при котором, один или несколько генераторов системы работают с различной (различными) синхронной скоростью (синхронными скоростями).

Устойчивость системы – это свойство системы восстанавливать исходное состояние равновесия (или практически близкое к нему) после возмущения.

Возмущение (возмущающее воздействие) - это причины, вызывающие изменения равновесного состояния (или параметров режима) системы. По силе воздействия возмущения делятся на малые и большие. Малые возмущения не приводят к большим изменениям и отклонениям параметров режима от устойчивого состояния системы. Большие возмущения приводят к значительным отклонениям параметров от состояния равновесия.

Устойчивость при малых возмущениях или «в малом» принято называть статической устойчивостью системы или устойчивость стационарного (установившегося) режима.

Устойчивость при больших возмущениях или «в большом» принято называть динамической устойчивостью системы или устойчивость переходного режима системы (перехода от возмущенного состояния к состоянию покоя).

Устойчивость имеет качественные и количественные показатели. Степень устойчивости определяется количественными показателями: пределом мощности передачи, запасом по мощности по напряжению и др.

При математической оценке устойчивости, определенной как способность системы возвращаться в исходное или близкое к исходному положению после малого возмущения, необходимо иметь в виду следующее строгое положение. На промежутке (в качестве t0 часто берут t=0) возмущающие силы вызывают отклонения системы от состояния равновесия:

В момент времени t=t0 действие возмущающих сил прекращается и далее имеет место переходный процесс, обусловленный начальными возмущениями. Переходный процесс при этом соответствует решению системы уравнений

(5.1)

с начальными условиями, приобретенными при действии возмущающих сил до t<t0.

Положение равновесия системы (5.1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого  можно найти такое 0, что все решения системы с начальными условиями для tt0 будут удовлетворять .

Условие устойчивости называется необходимым, если при невыполнении его появляется неустойчивость; условие устойчивости называется достаточным, если при его выполнении имеет место устойчивость.

Необходимое и достаточное условие статической устойчивости обеспечивается тогда и только тогда, когда все корни характеристического уравнения этой системы

(5.2)

имеют отрицательные вещественные части.

Алгебраические критерии устойчивости. Алгебраические критерии устойчивости основаны на закономерностях, связывающих отрицательность всех действительных частей корней характеристического уравнения (5.3) со знаками коэффициентов этого уравнения и некоторых функций от коэффициентов.

(5.3)

D(p) – главный определитель.

Алгебраические критерии содержат группу условий (группу неравенств), при соблюдении которых имеет место устойчивость; если же хотя бы одно из них нарушено, то имеет место неустойчивость. Для проведения анализа устойчивости с помощью алгебраических критериев необходимо предварительно вычислить коэффициенты характеристического уравнения

Необходимые условия устойчивости: если состояние равновесия системы (5.1) асимптотически устойчиво, то все коэффициенты положительны:

Необходимые и достаточные условия устойчивости. Для устойчивости системы требуется, чтобы коэффициенты характеристического многочлена не только были положительными, но и удовлетворяли некоторым соотношениям.

Система неравенств Гурвица строится следующим образом. Из коэффициентов характеристического многочлена n-й степени

. (5.4)

составляется матрица Гурвица квадратная, n-го порядка.

Понятие о статической устойчивости системы, запас устойчивости. При нормальной эксплуатации системы в ней всегда происходят некоторые малые возмущающие воздействия, которые вызывают малые возмущения режима. Малые возмущения не должны вызывать нарушения устойчивости системы, т.е. не должны приводить к прогрессивно возрастающему изменению параметров ее режима. Система должна быть устойчива при малых возмущениях, иначе говоря, она должна обладать статической устойчивостью.

Статическая устойчивость – это способность системы восстанавливать исходный режим после его возмущения или режим, весьма близкий к исходному (если возмущающее воздействие не снято).

Современные электрические системы имеют, как правило, достаточно сложную структуру. Однако для понимания физики процессов, происходящих в системе при возмущениях режима, лучше предварительно рассмотреть их в системах простой структуры.

Рассмотрим простейшую электрическую систему (см. рисунок 1), представляющую удаленный генератор, работающий на шины приемной системы в 8-10 раз больше мощности передающей станций. В этом случае никакие возмущения в передающей системе не повлияют на режим работы приемной системы, поэтому напряжение на шинах приемной системы. Можно принять неизменными по величине и по фазе.

Рисунок 1

Здесь и в дальнейшем будем принимать , т.е. рассматривать неявнополюсный генератор.

На рисунке 2 дана схема замещения простейшей системы, в которой активные сопротивления и емкости опущены, и элементы схемы представлены только их индуктивными сопротивлениями. В этой схеме замещения генератор учтен без регулирования возбуждения, поэтому представлен постоянными синхронным сопротивлением и э.д.с. .

Рисунок 2

Сумма индуктивных сопротивлений генератора трансформатора и линий дает результирующее индуктивное сопротивление системы

где Хс – внешнее сопротивление системы.

Значение напряжения на шинах генератора Иг нетрудно получить путем сложения вектора напряжения системы И и падения напряжения во внешнем сопротивлении Хс (см. рисунок 3).

Рисунок 3

Далее, прибавляя к вектору Иг вектор ΔИг падения напряжения в индуктивном сопротивлении генератора, находим э.д.с. генератора , величина которой определяется известным выражением

, (5.5)

где Р и Q соответстсвенно активная и реактивная мощности, выдаваемые генератором.

Из рассмотрения следует, что

, (5.6)

а из получим

, (5.7)

где - угол сдвига между векторами (5.6) и (5.7), получим

,

или

(5.8)

Из выражения (5.7) следует, что при постоянстве э.д.с. Еq и напряжения системы И изменение передаваемой мощности Р может быть обусловлено лишь соответствующим изменением угла .

Угол является важным параметром, характеризующим электромеханический переходный процесс.

Из рисунка 4 следует, что угол характеризует положение ротора генератора в пространстве и его величина будет изменяться только при перемещении ротора генератора, вызванного изменением скорости его вращения.

Рассмотрим, под действием каких сил происходит изменение скорости вращение ротора генератора. При синхронной скорости вращения на валу генератора действуют уравновешивающие друг-друга ускоряющий момент турбины (МТ) и тормозящий момент генератора (Мз). по мере открытия регулирующих клапанов паровой турбины или направляющего аппарата у гидравлических турбин мощность турбины возрастает т.к. увеличивается впуск пара (или воды) в турбину, и равновесие вращающего и тормозящего моментов турбины и генераторов нарушается, что вызывает ускорение его вращения.

.

Рисунок 4

Список литературы 

1. Гордиевский И.Г. Критериальный анализ некоторых технико-экономических задач энергетики.- М.: «Высшая школа», 2002.- 223с.

2. Волков Л.Т. Математические задачи энергетики. Типовые задачи: Учебное пособие.-М.: Энергия, 2003.-120с.

3. Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики: Учебник для студентов вузов / Под ред. В.А. Веникова. - М.: Высшая школа, 1986. - 288 с.

4. Астраханов Ю.А., Веников В.А., Ежков В.В. Электроэнергетические системы в примерах и иллюстрациях. - М.: Высшая школа, 1989.-120с.

5. Электрические системы и сети, Ежков В.В. и др. Учебное пособие для электроэнергетических специальностей. Учебная литература /Технические науки. –М.: «Высшая школа», 2005.-120с.

6. Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями. - М.: «Издательский дом Дашков и К», 2004.-238с.

Содержание

Введение………………………………………………………………………3

1 Лекция 1. Математические задачи и компьютерное моделирование в электроэнергетике. Постановка и основные задачи курса и математические методы их решения……………………..4

2 Лекция 2. Математические модели установившихся режимов электрической системы. Уравнения установившегося режима электрической системы ..................7

3 Лекция 3. Методы решения уравнений состояния электрической системы….…………10

4 Лекция 4. Применение линейного программирования в энергетике…...16

5 Лекция 5. Математические модели, применяемые при изучении переходных процессов в электрических системах……………………………….20

Список литературы…………………………………………………………..25

Содержание………………………………..…………………………………25


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16020. Охоронний апарат Української Держави квітень – грудень 1918 2.92 MB
  Незважаючи на кризовий соціально-економічний, політичний і правовий стан країни на момент приходу П. Скоропадського до влади, голові Української Держави та його урядовому оточенню вдалося розробити державну охоронну концепцію та здійснити низку заходів з її нормативно-організаційного забезпечення. Проте за умов поширеного правового нігілізму, анархічних наслідків російської революції у П. Скоропадського не було історичних шансів виводу держави з кризової ситуації, наведення порядку в країні...
16022. Международное право. Учебник 2.27 MB
  МВД Украины Университет внутренних дел Л.Д.ТИМЧЕНКО МЕЖДУНАРОДНОЕ ПРАВО Рекомендовано ГУРЛС МВД Украины в качестве учебника для юридических специальностей вузов МВД ХАРЬКОВ Консум 1999 Светлой помят своего Учител Михаила Владимировича Яновског посвяще...
16023. Иностранное право в судебной практике 862.5 KB
  ИНОСТРАННОЕ ПРАВО В СУДЕБНОЙ ПРАКТИКЕ Ю.А. Тимохов Волтерс Клувер 2004 Оглавление КОММЕНТАРИЙ Предисловие Глава I. ПРИМЕНЕНИЕ СУДАМИ ИНОСТРАННОГО ПРАВА 1. Российское законодательство об иностранном праве 2. Применение иностранного права в случае предусм
16024. Уголовно-исполнительная система России цифры факты и события 1.21 MB
  В.Г.Тимофеев Уголовноисполнительная система России: цифры факты и события Министерство образования Российской Федерации Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова Тимофеев В. Г. Уголовноисполнительная система России: цифры факты и с
16025. История законодательства о праве поземельной собственности в России с IX по начало XX века 579 KB
  Тесля А. А. История законодательства о праве поземельной собственности в России с IX по начало XX века. Учебное пособие. 2004. Тесля Андрей Александрович преподаватель кафедры Правоведение Дальневосточного государственного университета путей сообщения. Данн
16026. Взаимодействие следователя с иными подразделениями органов внутренних дел при расследовании преступлений 316.5 KB
  Тертышник B.M. Слинько С.В. Взаимодействие следователя с иными подразделениями органов внутренних дел при расследовании преступлений. Харьков: Унт внутр. дел. 1995 . 66 с. ВВЕДЕНИЕ все действия следователя должны быть направлены к достижению цели следствия состоящей в т...