49211

Одновимірні моделі розповсюдження речовини в нерухомому середовищы

Курсовая

Физика

Еволюція сучасної науки характеризується глибоким проникненням математичних методів дослідження у різні сфери наукової думки – від суто гуманітарних дисциплін до таких як соціологія прикладна лінгвістика екологія що розвиваються на зламі кількох наукових напрямів. Справа в тому що результати навіть досить тонких експериментів далеко не завжди дозволяють відповісти на запитання які основні рушійні сили і механізми впливають на стан і розвиток тієї чи іншої природної системи. І реалізуємо розв’язування...

Украинкский

2014-01-12

118.71 KB

13 чел.

Зміст

1. Вступ 2

2.Одновимірні моделі розповсюдження речовини 3

в нерухомому середовищі 3

2.1 Стаціонарна модель молекулярної дифузії з процесами перетворення речовини 4

2.2 Нестаціонарна молекулярна дифузія неконсервативних речовин 8

3.Приклади 17

Висновок 19

Література 20

1. Вступ

             Еволюція сучасної науки характеризується глибоким проникненням математичних методів дослідження у різні сфери наукової думки – від суто гуманітарних дисциплін до таких, як соціологія, прикладна лінгвістика, екологія, що розвиваються на зламі кількох наукових напрямів. Це певною мірою стосується різних галузей природознавства, де роль математики істотно зростає.

             Обробка експериментальних даних з використанням математичної статистики – це лише найпоширеніше, але не найважливіше застосування математики. Справа в тому, що результати навіть досить тонких експериментів далеко не завжди дозволяють відповісти на запитання, які основні рушійні сили і механізми впливають на стан і розвиток тієї чи іншої природної системи. Такі механізми можуть бути визначені при розгляді функціонування біологічної чи екологічної системи як результату взаємодії її складових елементів і зовнішніх факторів, що позначаються на стані середовища, в якому розглядаються ці системи. Дослідити згадану взаємодію різноманітних чинників можна тільки за допомогою математичних методів і методів математичного та імітаційного моделювання

             Найважливішим етапом застосування математики в екології слід вважати процес побудови адекватної математичної моделі об’єкта або системи, що вивчається.

              Зокрема нижче розглянемо просторову модель, яка будується на основі диференціальних рівнянь у частинних похідних, що описує процес переносу забруднень у нерухомому повітряному або водному середовищі. І реалізуємо розв’язування рівняння, що відповідає цій моделі за допомогою чисельного методу сіток.

2.Одновимірні моделі розповсюдження речовини

в нерухомому середовищі

У випадку одномірного процесу переносу (розповсюдження) забруднень у нерухомому повітряному або водному середовищі математичну модель одержуємо у такому вигляді:

,                                               

де D – коефіцієнт молекулярної дифузії (м/сек); - концентрація речовини, що забруднює повітряне (водне) середовище, або густина організмів, що розповсюджуються в навколишньому середовищі (кг/м, г/дм і т. ін.); - функція, що описує інтенсивність (швидкість) джерела забруднень, витікання речовини з даної екосистеми або швидкість фізичного, хімічного і біологічного перетворення речовини (наприклад, процеси седиментації, хімічного і біологічного самоочищення водойм); - просторова і часова координати.

2.1 Стаціонарна модель молекулярної дифузії з процесами перетворення речовини

Усталений процес розповсюдження неконсервативних речовин,або консервативних речовин при наявності джерел їх поповнення, в екосистемі з нерухомим середовищем описується стаціонарним рівнянням молекулярної дифузії, яке у разі лінійної кінетики перетворення речовини записується в такому вигляді:

                                                               (2.1)

Як і раніше, спочатку знайдемо розв’язок за умови, що відомі значення концентрації забруднень на краях середовища , тобто виконуються крайові умови:

                                                    C(0)= ; c(=                                                                           (2.2)

Розв’язавши характеристичне рівняння у цьому випадку

                                                       D                                                                (2.3)

Маємо:

     ,                                                    (2.4)

Отже загальний розв’язок рівняння (2.1) має вигляд:

C(x)=A + B                                                    (2.5)

Використовуючи граничні умови  (2.2), маємо :

                                                                                                   (2.6)

Розв’язавши систему рівнянь (2.6), знайдемо невідомі сталі А і В, а саме:

,                                        (2.7)

Підставивши сталі (2.7) в праву частину рівності (2.5), шукану математичну модель запишемо в такому функціональному вигляді:

                                 (2.8)

Або у вигляді:

     (2.9)

якщо знайти границю виразу (2.9) при , то, використовуючи правило Лопіталя

,

Одержимо:

+==

Або

остання рівність  збігається з одержданим раніше розв’язком (), що моделює процес молекулярної дифузії без джерел і перетворень (самоочищення). Таке одержання частинного розв’язку із більш загального випадку є підтвердженням правильності і побудованих моделей.

Використовуючи означення гіперболічного синуса, а саме:

                                                            (2.10)

Розв’язок  (2.2)  можна записати у досить компактному вигляді:

                              (2.11)

Тепер знайдемо розв’язком за умови, що відома концентрація на початку ділянки розповсюдження забруднень, а в кінці ділянки градієнт концентрації дорівнює величині –к, тобто за таких граничних умов:

                                              (2.12)

Загальний розв’язок рівняння (2.1) має вигляд (2.5). Використовуючи крайові умови (2.12), знайдемо сталі А і В у цьому випадку:

                                            (2.13)

,                           (2.14)

Отже, шуканий розв’язок запишеться в такому вигляді:

                  (2.15)

Побудовану функціональну  модель (2.15) можна записати і в такому вигляді:


       (2.
16)

Використовуючи означення означення гіперболічного синуса (2.10) і гіперболічного косинуса,

                                                        (2.17)

Рівність (2.16) можна записати у вигляді:

                                (2.18)

У кінці ділянки шлях розповсюдження речовини закінчується, у цій точці градієнт концентрації забруднень дорівнює нулю (к=0). Отже,  у даному випадку процес розповсюдження забруднень описується такою функцією:

                                                (2.19)

Як бачимо , на відміну від розглянутого раніше лінійного закону розповсюдження консервативних речовин, процес розповсюдження неконсервативних речовин відбувається за нелінійним законом.

2.2 Нестаціонарна молекулярна дифузія неконсервативних речовин

Розглянемо нестаціонарний процес молекулярної дифузії неконсервативних речовин, коли кінетика перетворення (розклад) речовини описується лінійною функцією. У цьому випадку математична модель розповсюдження речовини (або мікроорганізмів) являє собою таку крайову задачу:

                                           (2.20)

C(0,t)=, c(l,t)=;                                                      (2.21)

C(x,0)=,                                                                (2.22)

Де - концентрація забруднень, що розповсюджується у водному або повітряному середовищі, - концентрація забруднень на віддалі l від джерела забруднень,  - концентрація забруднень у початковий момент часу t=0.

Вважатимемо, що граничні умови (2.11) й початкові умови (2.12) є постійними величинами. У випадку, коли ці величини є функціями, задачу потрібно розглядати окремо, хоча методи розв’язування принципово нічим не відрізняються.

Розв’язок крайової задачі (2.20)-(2.22) шукатимемо у вигляді суми:

,                                              (2.23)

Де - розвязок відповідної стаціонарної крайової задачі (2.1),(2.2) або (2.1),(2.12) , а функція - розвязок крайової задачі з однорідними граничними умовами, а саме:

;                                           (2.24)

=0, =0,                                                      (2.25)

.                       (2.26)

Розв’язок крайової задачі (2.14)-(2.16), як і раніше, будемо знаходити у такому вигляді:

                                                   (2.27)

Підставляючи шукану функцію (2.27) у рівняння (2.24) та граничні умови (2.25) , одержимо:

,                                                      (2.28)

, .                                      (2.29)

Після ділення (2.18) на добуток ХТ одержимо:

,                                                    (2.30)

Із співвідношень (2.20) та (2.19) одержимо задачу Штурма-Ліувіля:

, ,                          (2.31)

Розв’язки якої мають вигляд :

.                        (2.32)

Використовуючи однорідні (нульові) граничні умови,маємо:

A=0,  .                                              (2.33)

З останнього рівняння знаходимо:

, n=1,2,3,…                                           (2.34)

Отже, знайдемо всі власні значення:

.                                                 (2.35)

Враховуючи (2.23) і (2.24), розв’язки крайової задачі (2.21) запишуться в такому вигляді:

                                                (2.36)

Із співвідношень (2.20) маємо також рівняння

                                      (2.37)

Розв’язок якого запишеться у вигляді:

                                                         (2.38)

Тепер частинні розв’язки рівняння (2.4) можна записати у вигляді:

                                 (2.39)

А загальний розв’язок цього рівняння має такий вигляд:

,                                        (2.40)

де поки невідомі коефіцієнти.

Знайдемо ці коефіцієнти, скориставшись початковою умовою (2.6):

                             (2.41)

Розв’язок стаціонарної задачі запишемо у вигляді (2.19):

                                           (2.42)

Або

                                         (2.43)

З рівності (2.41) видно, що коефіцієнти  є коефіцієнти Фурє функції

                            (2.44)

при розкладанні її в ряд по синусах на проміжку (0,l). Ці коефіцієнти, як було показано ,визначаються такою рівністю:

                                  (2.45)

Враховуючи співвідношення

                          (2.46)

Рівність (2.45) перепишеться у такому вигляді:

 

,  p= .

Отже, шуканий розв’язок має такий остаточний вигляд:

,                       (2.47)

де коефіцієнти  визначаються рівністю:

.                           (2.48)

Як правило, в кінці ділянки, на яку поширюється забруднення, значення концентрації забруднюючої речовини невідомо. Тому краще в цій точці задавати значення градієнта концентрації k. У цьому випадку приходимо до розв’язування такої крайової задачі:

D,                                                           (2.49)

                                        (2.50)

.                                            (2.51)

Розв’язок як і раніше, шукаємо у вигляді:

,                                                (2.52)

Де   ,(2.12) і записується у вигляді (2.15), а функція є розвязок крайової задачі з однорідними граничними умовами, а саме:

D ,                                                     (2.53)

                                            (2.54)

.                               (2.55)

Розв’язок крайової задачі (2.53)-(2.55) шукаємо методом Фур’є, тобто у вигляді добутку:

                                                  (2.56)

Підставивши (2.56) в рівняння (2.53) та в граничні умови (2.54), одержимо:

,                                                    (2.57)

X(0)T(t)=0,                                                 (2.58)

Після ділення (2.57) на добуток ХТ одержимо:

.                                                    (2.59)

Із співвідношень (2.59) та (2.58) одержуємо задачу Штурма-Ліувіля:

D                             (2.60)

Загальний розв’язок записується у вигляді:

                                   (2.61)

Використовуючи нульові граничні  умови, одержимо:

A=0,   .                                                     (2.62)

з останнього рівняння знаходимо:

                                           (2.63)

Отже, власні значення визначаються такою рівністю:

.                                                (2.64)

Враховуючи (2.62) і (2.63), розв’язки крайової задачі (2.60)  запишуться у вигляді:

.                                               (2.65)

Із співвідношень (2.59) одержуємо також рівняння

,                                                                (2.66)

розв’язок  якого запишеться так:

.                                                        (2.67)

Тепер частинні розв’язки рівняння (2.53), що задовольняють однорідним граничним умовам (2.55), мають вигляд:

,                               (2.68)

де , a   визначається  рівністю (2.64).

Загальний  розв’язок запишеться у вигляді:

,                             (2.69)

де  поки що невідомі коефіцієнти.

Знайдемо коефіцієнти , скориставшись початковою умовою (2.55), а саме:

 ,                     (2.70)

де  визначається формулою (2.15).

з рівності (2.70) видно, що коефіцієнти  є коефіцієнтами розкладу функції

                                            (2.71)

в ряд Фур’є, причому сталі А і В визначаються рівностями (2.14), а . Як відомо, коефіцієнти Фур’є при  розкладі  функції (2.71) по синусах на проміжку (0,) визначаються такою рівністю:

.                             (2.72)

Враховуючи співвідношення

,                      (2.73)

рівність (2.72) перепишеться таким чином:
 
 (2.74)

враховуючи рівність (2.15), шуканий розв’язок запишеться у такому вигляді:

,

де  визначаються рівністю:

, .                         (2.75)

Сталі А і В визначаються рівностями (2.14).

Враховуючи, що , рівність (2.75) перепишеться у такому вигляді:

,                   (2.76)

або в такому остаточному вигляді:

.                               (2.77)

 



 

3.Приклади

1. Розв’яжемо параболічне рівняння вигляду:

Kрайові умови візьмемо такі: задані значення концентрації забруднення на початку процесу в точці і на віддалі від початку в точці , а саме:  C(0,t)=, c(l,t)=;

і повинна виконуватись одна з таких додаткових (початкових) умов:

                                   ,                               

рівняння обчислюється за такою формулою:

                                            .

Програмно обчисливши це рівняння методом сіток ми отримали наступний результат:

2. Розв’яжемо теж рівняння вигляду:

Але за таких крайових умов:

рівняння обчислюється за такою формулою:


.

Програмно обчисливши це рівняння методом сіток ми отримали наступний результат:

Отже, метод сіток є зручним і ефективним методом для розв’язування рівнянь такого типу.І як можемо бачити з різними крайовими умовами результати фактично збігаються.

Висновок

              В даній курсовій роботі ми розглянули математичну модель у випадку нестаціонарного процесу переносу забруднень у нерухомому середовищі за відсутності джерел і хімічних або біологічних перетворень. Такий процес описується нестаціонарним рівнянням молекулярної дифузії:

Практичний розв’язок шукаємо методом сіток. При розв’язуванні цим методом дістаємо різницеву схему, яка є явною, тому що дає можливість знайти розв’язок на шарі через розв’язок на - му шарі. Також слід відмітити, що схема  апроксимує задачу  на розв’язку з похибкою порядку , тому ця схема є також і збіжною з похибкою такого ж порядку. Остаточна формула практичного розв’язоку має вигляд:

.

За таких крайових умов:

C(0,t)=, c(l,t)=;     , .                         

І такого вигляду :

.

При таких умовах:     

.

Література

  1.  Лаврик В.І. Методи математичного моделювання в екології: Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів. – Вид. дім „КМ Академія”, 2002-203с.
  2.  Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вичислений М.: Физматгиз, 1960, т.2.
  3.  Гаврилюк І.П., Макаров В.Л. Методи обчислень: У – 2 ч. К.: Вища школа, 1996. ч.2.
  4.  Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д. Обчислювальні методи К.: Вид. „Либідь”, 1995. – 280 с.
  5.  Крилов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики. Минск: Высшая школа, 1975, т.2.    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79696. Математика в Стародавньому Китаї 245.75 KB
  Періоди розвитку математики в Китаї Древнє математичне Десятікніжье Математика Китаю Висновок Список літератури Введення Математика в Китаї розвивалася з глибокої давнини і досягла свого найбільшого розвитку до XIV ст. Наша увага буде приділена математики стародавнього Китаю в період з II ст. Історія математики стародавнього Китаю розглядається в роботі у вигляді декількох глав кожна з яких є по суті незалежної один від одного про найбільш характерні проблеми математики стародавнього...
79697. Основні етапи розвитку математики 70.41 KB
  Основні етапи розвитку математики. Основні етапи становлення сучасної математики. Основні етапи розвитку математики. Історію математики не можна розглядати у відриві від історії розвитку філософії і науки в цілому бо усі ці три інтелектуальні пізнання тісно повязані між собою і роблять вплив один на одного як за часів Стародавнього світу так і в Новий час.
79698. Развитие математики 37.52 KB
  История развития математики – это не только история развития математических идей понятий и направлений но это и история взаимосвязи математики с человеческой деятельностью социально-экономическими условиями различных эпох.Становление и развитие математики как науки возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием потребностей общества в измерениях контроле особенно в областях аграрной промышленной и налогообложения. Первые области применения математики были связаны с созерцанием звезд и земледелием.
79699. Андрей Николаевич Колмогоров - историк математики 29.4 KB
  В случае с историей математики это выглядит даже более естественно чем с физикой: напомню что свою научную карьеру в самом начале 20х гг. Статья начинается с определения математики данного Ф. Согласно Колмогорову история эта распадается на четыре этапа: 1 период зарождения математики на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал 2 период элементарной математики начинающийся в VIV вв.
79700. Нормативно-правовой акт и его виды 41.5 KB
  Обозначенные отличия нормативно-правового акта от иных источников права являются и выражением основных признаков нормативно-правового акта. Что касается видов, тот требуется более четкого рассмотрения каждого в по отдельности, как закона так и подзаконного акта.
79701. Правотворчество и систематизация законодательства 61 KB
  К способам правотворчества относят: Принятие нормативноправовых актов органами государства Принятие нормативных актов народом путем референдума Заключение различного рода нормативных договоров Признание юридических прецедентов Санкционирование обычаев или норм выработанных негосударственными организациями. В юриспруденции выработан ряд принципов правотворчества выражающихся в следующих закрепленных принципах: Принцип демократизма – население должно привлекаться к участию в правотворчестве а его мнение учитываться при разработке и...
79702. ТИПЫ ПРАВА 42.5 KB
  В теории права существуют два подхода к типологии: формационный и цивилизационный. Основное место в классификации подходов отдано рассмотрению типов права, выделяемых в рамках первого - формационного подхода.
79703. ПРАВОВЫЕ СЕМЬИ СОВРЕМЕННОСТИ 65.5 KB
  Современная юридическая наука изучая теорию права предпочитает оперировать не понятием тип права а такими научными категориями как правовая система и правовая семья. Соответственно выделяют следующие основные правовые семьи: романогерманскую континентальную; англосаксонскую семью общего права; семью социалистического права; мусульманскую; африканскую. Строгая иерархия источников форм права среди которых безусловно главным является закон. Деление права на частное и публичное.
79704. Система права и система законодательства 60.5 KB
  Различия, существующие между понятиями «система права» и «правовая система» позволяет отделять два объекта изучения друг от друга: система права представляет собой лишь один из элементов правовой системы государства, наряду с правоотношениями, правосознанием, юридическими принципами и институтами, правовой культурой общества и др