4932

Основы теории управления. Конспект лекций

Конспект

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Основы теории управления Введение Сигналы управления и возмущения в общем случае могут быть не детерминированные, а случайные, поэтому приходиться прибегать к статистическим методам исследования систем автоматического управления (САУ). Кроме того, ч...

Русский

2012-11-29

1.92 MB

202 чел.

Основы теории управления

Введение

Сигналы управления и возмущения в общем случае могут быть не детерминированные, а случайные, поэтому приходиться прибегать к статистическим методам исследования систем автоматического управления (САУ). Кроме того, часть объектов функционирует и работает в конфликтных ситуациях. Рассмотрим график изменения выходного вектора САУ во времени (рис.2.)

где у* — желаемая траектория объекта управления. 
В начальный момент гп система находилась в точке А. При включении системы управления выходная координата у под действием управляющих сигналов выходит на требуемую (желаемую) траекторию у*. 
Разность E(t)=y*(t)-y(t) называется ошибкой или рассогласованием САУ.
задача теории автоматического управления (ТАУ) состоит:

  1.  Научиться проектировать системы управления, обеспечивающие минимальные допустимые для данного объекта ошибки E(t);
  2.  проектировать системы управления, которые обеспечивают выход системы на желаемую траекторию за минимальное время, т.е. решается задача быстродействия соответствующим выбором системы управления.

Итак, в самом общем случае САУ, выполняющая поставленные выше задачи, может быть представлена в виде блок-схемы (рис.З)

На вход управляющего устройства (УУ) поступает:

  1.  задающее воздействие g;
  2.  информация о текущем состоянии объекта в виде выходной величины у;
  3.  информация о действующем на ОУ возмущении F.

УУ вырабатывает, в соответствии с полученной информацией, определенное (по заданному алгоритму) управляющее воздействие и на объект. В свою очередь УУ в общем случае состоит из:

- чувствительного устройства (ЧУ);
- вычислительного устройства (ВУ);
- исполнительного устройства (ИУ).

Чувствительное устройство (измерительные устройства, датчики) служат для измерения и преобразования подаваемых на УУ воздействий g, у, F. Вычислительное устройство реализует алгоритм работы УУ. В простейших случаях оно осуществляет простые математические операции, такие как сравнения, т.е. разность g-y-F, операции интегрирования и т.п. В более сложных случаях вычислительное устройство может представлять собой ЭВМ, и даже комплекс ЭВМ. Исполнительные устройства предназначены для непосредственного управления ОУ. Например, для согласования мощности ВУ и ОУ необходимо применить усилитель мощности. В тех случаях, когда ИУ отсутствует, САУ называется прямого регулирования. При наличии ИУ САУ называется непрямого регулирования.

Лекция №2

Математическое описание автоматической системы управления.

Дифференциальное уравнение.

Система или устройство x(t)-вход, y(t)- выход. В большинстве случаев при описании используется дифференциальное уравнение. Правая часть содержит производные входа, левая часть производные выхода.

m, n – порядок управления, чаще всего так говорят про число n.

Пример 1.


 





Операторное представление.




Преобразования Лапласа.


- оригинал.
- изображение.
Применим преобразования Лапласа к заданному дифференциальному уравнению при нулевых начальных условиях, в результате получим.

s- комплексная переменная
x,y-функции от s.

Передаточная функция(коэффициент передачи).

Отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигала, при нулевых начальных условиях, называется передаточной функцией. Пусть объект описывается уравнением, применим к нему преобразования Лапласа.


- передаточная функция.
Пример:

Найти коэффициент передачи. 

Моделирование динамических объектов(систем).



 найти решение -->  

Утверждение: Системы уравнений могут быть смоделированы при помощи трех функциональных блоков.
-сумматор
-усилитель
–интегратор
Пример:

Смоделировать устройство которое описывается этим уравнением. 
Переходим к изображению




Принципиальная схема:

Лекция №3

Характеристики динамических систем:

  1.  Временные.
  2.  Частотные.

Временное устройство
U(t)=1 или u(t)=1(t) – на вход подается единичный сигнал.
выходной сигнал h(t) – переходной функцией называется реакция на единичную ступень.
Если перейти к изображению.
y(s)=w(s)u(s)

s-комплексная переменная.
- изображение переходной функции равно изображению передаточной функции деленное на s.
Импульсная переходная функция(весовая функция).
Называется реакция системы на импульс.
- реакция системы на импульс.
- дельта импульс.



Основная характеристика дельта импульса:

высота дельта импульса стремиться к 

ширина дельта импульса стремиться к 0
S=1
Рассмотрим связь между двумя временными характеристиками и их изображением.

Пример:
Апериодическое звено.

- связь между изображением переходной функции и изображением импульсной переходной функцией.
Интеграл от импульсной переходной функции есть переходная функция. Реальное дифференцирующее звено. 


      


Лекция №4

При исследовании и создании САУ, аппарат частотных характеристик был одним из первых, т.к они наиболее полно отражают физическую природу процессов, происходящих в динамических объектах.
В качестве преобразования функции f(t) используется преобразование Фурье

Преобразование Фурье позволяет разложить непериодическую функцию 
f(t) для которой выполняется условие сходимости

в бесконечный ряд гармоник, образующих непрерывный спектр частот в интервале 
от до с бесконечно малым интервалом частот между смежными частотами (0).
Отметим, что по сравнению с преобразованием Лапласа преобразование Фурье позволяет отобразить оригинал только на мнимую ось, в преобразовании Лапласа же используется вся комплексная плоскость.
Для перехода 
к частотным характеристикам, необходимо в уравнение ПФ (3) вместо оператора Лапласа p подставить оператор Фурье , получим частотную характеристику

(3)

Рассмотрим понятие о частотных характеристиках.
Если на вход линейной разомкнутой системы (или звена) подать гармонический входной сигнал, то по истечении некоторого времени окончания переходных процессов на выходе системы (звена) установится также гармонический выходной сигнал той же частоты. Амплитуда и фаза при прочих равных условиях будут зависеть от частоты входного сигнала. По ним, как будет показано дальше, можно судить о свойствах САУ.

Достоинством частотных методов является то, что частотные характеристики можно снять экспериментально. Чтобы снять частотную характеристику необходимо на вход подавать гармонический сигнал, изменяя частоту от 0 до , а на выходе измерять амплитуду и фазу для частот wi,.
Отметим еще, что в выражении передаточной функции и частотной характеристики для реальных систем степень знаменателя всегда больше степени числителя 
n>m, т.к. полоса пропускания частот реальной системы всегда ограничена. Действительно, если n<m, то на выходе системы при увеличении частоты могут возникнуть колебания с бесконечно большой амплитудой.
Частотная характеристика (ЧХ) элемента или системы
 может быть представлена в двух видах:

  1.  
  2.  
  •  - вещественно-частотная характеристика (ВЧХ);
  •  - мнимо-частотная характеристика (МЧХ);
  •  - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);
  •  - фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

Часто ЧХ представляется графически (рис.1) на комплексной плоскости, где все указанные величины связаны между собой по следующим соотношениям.



Часто при исследовании систем используются логарифмические частотные характеристики.

Понятие о логарифмических частотных характеристиках

При исследовании САУ, амплитудную и фазовую частотные характеристики удобно строить в логарифмических координатах. Это связано с двумя обстоятельствами:

  1.  в логарифмических масштабах кривизна характеристик резко уменьшается, что позволяет в большинстве практических случаев приближенно изображать АЧХ ломаными линиями
  2.  в логарифмических масштабах АЧХ цепочки звеньев равна сумме АЧХ отдельных звеньев

АЧХ в логарифмических масштабах строится в координатах и а ФЧХ - в виде зависимости от. Единицей измерения служит децибел, равная 0,1 бела. Бел - единица измерения десятичного логарифма коэффициента усиления мощности сигнала, т.е. 1 бел соответствует усилению мощности в 10 раз, 2 бела - в 100 раз и т.д. Так как мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды А2
(Пример: для электрической цепи
)., то усиление в белах, выраженное через отношение амплитуд A, равно , соответственно в децибелах оно равно

По оси абсцисс откладывается в логарифмическом масштабе частот (десятичный логарифм)(изменение частоты в 10 раз - декада), а около отметок указывается само значение частоты. Иногда По оси абсцисс откладывается в логарифмическом масштабе частота (десятичный логарифм) (изменение частоты в 10 раз - декада), а около отметок указывается само значение частоты. Иногда применяется логарифм частоты при основании 2 (изменение частоты в два раза - октава) одна октава разно 0,303 декады, т.к. lg2 = 0,303 .

Для построения логарифмических фазовых характеристик (ЛФХ) на оси абсцисс используется аналогичная шкала частот  или , а по оси ординат (обычно используется нижняя часть плоскости) откладывается фаза в градусах.

Отметим ещё, т.к. точка =0 в логарифмическом масштабе находится слева , то ЛАФХ строятся не от =0, а от достаточно малого, но конечного значения , которое и откладывается в начале координат

Лекция №5

Усиливающее звено.

1. Безынерционное звено, сигнал на выходе которого, строго пропорционален сигналу на входе, называется усилительным звеном (рис.1).
По определению
g(t) - входное воздействие (один из стандартных сигналов),
x(t) -реакция на выходе, коэффициент пропорциональности.

2.Переходя к преобразованию Лапласа , тогда передаточная функция:
к - коэффициент усиления (если величинабезразмерная) и коэффициент передачи (если 6 размерно).

3.1. Если на вход усилительного звена подать единичную ступенчатую функцию 
g(t), то переходная функция будет иметь вид, как показано на рис.2.

3.2. Для получения импульсной переходной функции необходимо продифференцировать по времени переходную характеристику, тогда на выходе имеем 
-функцию.
3.3. Частотная характеристика 

3.3.1.

на комплексной плоскости имеет вид:

3.3.2. ЛЧХ:
 

ЛФХ:

Описание реальных элементов динамическими характеристиками усилительного безинерционного звена является всегда некоторой идеализацией, т.к. все реальные объекты в природе - инерционны.

Интегрирующее звено.

Звено сигнал на выходе которго пропорционален интегралу сигнала на выходе называется интегрирующим звеном.
По определению:


2. Из 
 свойства преобразования Лапласа:
Тогда по определению передаточная функция будет

Отметим, что коэффициент передачи интегрирующего эвена имеет размерность 1/сек.
3.1. Если 
- единичная ступенчатая функция, то переходная функция интегрирующего звена имеет вид (рис.6). 
3.2. Если 
, то, дифференцируя ,получим (рис.6).
3.3. Частотная характеристика.
3.3.1. 


т.е. амплитудно-фазовая характеристика при изменении частоты от 0 до «э проходит по отрицательной мнимой оси комплексной плоскости (рис.7).

33.2. ЛАХ:

Вычислим значение ЛАХ при
 и 

Следовательно, при изменении частоты на 1 декаду, амплитуда уменьшается на 20 децибел (рис.8).

ЛФХ:

3. Апериодическое (инерционное) звено или звено 1-го порядка.

Звено, которое описывается уравнением вида:
где t - коэффициент передачи (усиления),

Т - постоянная времени, характеризующая инерционность (с), называется апериодическим звеном.

2. Переходя к преобразованию Лапласа

(1)

получим по определению передаточную функцию 

(2)

3.1 Переходная характеристика такого звена при  представляет собой экспоненту

Переходный процесс достигает своего установившегося значения 0,95% практически за ЗГ (рис 12).

3.2 Импульсная переходная функция при
 находится дифференцированием при =1, получим


Если эти характеристики получены экспериментально, то по ним МОЖНО определить Ги &, как показано на рис. 33 и 34. и, таким образом, получить уравнение звена (что очень важно).






3.3.1 Частотная характеристика:

График ЧХ в обычном масштабе (рис.35).

3.3% ЛАХ: 

При 
k=1 
Построение:

  1.  При малых частотах, где , пренебрегаем - 0.
  2.  При больших частотах, где , пренебрегаем 1, тогда

В области средних частот, отсюда определяем частоту сопряжения низкочастотной и высокочастотном составляющей: 
Определим наклон высокочастотное составляющей, для чего вычислим изменениепри изменении частоты в 10 раз. т.е. при изменении частоты на одну декаду (в 10 раз),

ЛАХ уменьшается на 20 дБ, следовательно, наклон высокочастотной составляющей равен -20 дБ/дек. 

Это мы построили приближенную характеристику. Действительная АЧХ отличается в частоте сопряжения, как известно из практики на 3 дБ (что допустимо для инженерных расчетов) (рис.15). 
ЛФХ (рис.15):
 -тангенсоида, при

при 

при 

При ЛАХ перемещается параллельно самой себе по оси ординат на величину, ЛФХ - остается той же самой (рис.15).

Лекция №6

Структурные преобразования

В результате разбиения САУ на типовые звенья направленного действия и получения их передаточных функций,
составляется структурная схема всей системы.

  •  Структурная схема - это диаграмма прохождения сигналов управления и их преобразования в САУ.
  •  Структурная схема - это математическая модель системы.

Структурные схемы для реальных САУ имеют сложный и запутанный вид. С целью упрощения
структурной схемы или приведения ее к более удобному виду, можно производить структурные преобразования по определенным правилам:

(1)

Правила преобрзвания структурных схем Преобразование последовательного соединенных звеньев.

Решая(1) совместно, получим 
или передаточная функция двух последовательно соединенных звеньев

(2)

Итак, при n последовательно соединённых звеньев с передаточными функциями
результирующая передаточная функция равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

2. Прсобрачованне параллельного соединенных звеньев.

Решая (1) совместно, получим 
 или
 
Таким образом, перздаточная функция n параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев:

3. Звено, охваченное обратной связью:
3.1. ООС.

Решая (1) относительно
 и , получим:

3.2. ПОС. Проводя аналогичные рассуждения, получим:

3.3. Частный случай: при единичной ОС.
Причём знак "+" соответствует
ООС.

Знак 
"-" соответствует ПОС.
Пример:

обозначив
 и ,получим;
Таким образом, интегрирующее звено, охваченное безынерционной обратной связью, эквивалента типовому апериодическому звену, т.е. уже не является интегрирующим.

Правила переноса сигнала

В общем случае структурные схемы могут иметь различного рода перекрещивающиеся связи поэтому для приведения структуры к одноконтурной - удобной для исследования, разработаны правил; переноса сигналов из одной точки структуры в другую:
1. При прямом переносе сигнала через ПФ
W1:

2. При обратном переносе сигнала через ПФ
W1:

3. При прямом переносе суммирующего звена:

4. При обратном переносе суммирующего звена: 

Замечание:

  1.  Структурные преобразования можно производить только в том случае, если анализ динамической системы производится при нулевых начальных условиях. В противном случае структурные преобразования приводят к потере начальных условий и погрешностям при дальнейшем анализе.
  2.  Структурные преобразования лишены физического смысла.

Лекция №7

Устойчивость - это основное качественное свойство системы автоматического управления, без которого она неработоспособна. Физически устойчивость означает, что процессы в системе стремятся к определенной величине при любых начальных условиях. На рис. 1. приведены переходные характеристики неустойчивой и устойчивой системы. Для последней справедливо условие

Рис. 1. Переходные характеристики системы

1 - сходящийся процесс, система устойчива.
2 - расходящийся процесс, система неустойчива.

Об устойчивости можно судить также по импульсным переходным функциям (рис. 2), которые для устойчивой системы удовлетворяют условию


В случае линейных САУ устойчивость определяется только ее структурой и параметрами и не зависит от внешних воздействий. Рассмотрим, как оценить это свойство для систем типа:

Рис. 2. Импульсная переходная функция

(1)

Переходные процессы в ней определяются как решение матричного уравнения состояния следующим образом:

(2)

Здесь первое слагаемое соответствует свободной составляющей движения, второе - вынужденной.

Основным режимом работы системы является равновесный (статический) режим, при котором переменные состояния с течением времени не меняются, а все производные координат состояния равны нулю.

Покажем, что процgесс движения к равновесию можно считать свободным. Предварительно запишем уравнение равновесия, полагая в (1) 

(3)

откуда при detA определим равновесное значение переменных состояния

(4)

Введем новые координаты, равные отклонениям от точки равновесия,

(5)

и запишем уравнение в отклонениях:

 так как 

(6)

После подстановки в (6) вместо  его значения из (1) с учетом (5) получим

Окончательно уравнение в отклонениях имеет вид:

(7)

Определение. Линейная система называется устойчивой, если для ее процессов выполняется свойство:

(8)

Вид процессов системы (7) определяется ее решением, которое находится через матричную экспоненту в виде

(9)

Поскольку выражение (9) соответствует первой составляющей решения (2), то устойчивость линейной системы (1) определяется только свойствами автономной системы и не зависит от внешних воздействий. Это означает, что можно не переходить к уравнениям в отклонениях от состояния равновесия, а для анализа устойчивости исследовать свойства матрицы A.

Лекция №8

Устойчивость (продолжение).
(Алгебраические критерии устойчивости.)


W = ∑ простые звенья.
, где,- корень полинома знаменателя передаточной функции W.

Пример:

. При , устойчивая система.
 . 
Если 
- положительные числа, то система устойчивая.

Пример:
 система неустойчивая. Т.к. - положительное числа, а - отрицательное. 

Т.к. не все корни знаменателя находятся в левой полуплоскости плоскости С, то система неустойчивая (есть одна растущая экспонента).

Определение: Корни знаменателя W называются полюсами.
Корни 
числителя W называются нулями.
Комментарий:

ноль: , полюса: .

x – полюс.

о – ноль.

Система устойчивая.

Правило: Для того, чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все полюса системы находились в открытой левой полуплоскости С.

Для анализа, синтеза необходимо уметь отвечать на вопрос: “ Лежат ли все корни в левой полуплоскости плоскости С ?” по коэффициентам полинома, не вычисляя корни:

.

Определение: Правила, позволяющее получить ответ на вопрос об устойчивости системы без вычисления корней называются критериями устойчивости.

Имеются 2 группы критериев: алгебраические и частотные. Алгебраические: критерии Роуса и Гурвица.

Критерий устойчивости Гурвица.

Формулировка: По характеристическому полиному замкнутой системы (знаменатель передаточной функции замкнутой – всей системы) составляется определитель вида:

По диагонали выписываем коэффициенты ХПЗС


Столбцы дополняем снизу вверх до последовательности 
. Оставшиеся свободные места заполняем нулями. Выделяем миноры (диагональные) размера 1, 2,…

Для того, чтобы все корни полинома a(s) находились в левой открытой полуплоскости плоскости С, достаточно (и необходимо), чтобы все были больше 0.

Примечание: Считаем, что .

Пример 1: Пусть ХПЗС имеет такой вид:  – требуется исследовать в замкнутой системе на устойчивость.
Составим матрицу:

{[], выделим миноры, 

Т.к. 
 система устойчива.

Пример 2: Пусть ХПЗС имеет такой вид: .
Составим матрицу:


 система устойчивая

Пример 3: Пусть ХПЗС имеет такой вид: .
Составим матрицу:

,


система устойчивая

Следствие: Необходимое условие устойчивости – положительность всех коэффициентов ХПЗС.
Примечание: Для Примера 3 достаточное условие устойчивости:  + .

Лекция №9

Принцип аргумента

ХПЗС : 

Раскладывается как: 

Если р1,р> 0, то система устойчивая.

Возьмем ХПЗС степени n. аi – вещественные числа.

т.к. у рассмотренного полинома коэффициенты вещественные числа, то все корни : вещественные + комплексно сопряженные.

 

Следовательно  (*)

- корни ХПЗС (полюса)

Меняя w :

() получим, что вектор повернется на +П.

() повернется на +П/2.

Если полюс слева, то при изменении вектор  повернется против часовой стрелки(в положительном направлении) на угол +П/2.

Если справа, то угол поворота – П/2( либо -П).

(*) s=jw

Где ∆arg изменение arg(jw) при изменении ()
***принцип аргумента

Критерий устойчивости Михайлова.

a(s) – ХПЗС (знаменатель), имеет n корней и все они лежат слева по принципу аргумента.
Arg a(jw) = +nП/2 
w:(
)

все корни слева.

Лекция №10

Устойчивость (продолжение).
Критерий устойчивости Nyquista.

Требуется по годографу  (, в MatLabe:  ) сделать заключение об устойчивости замкнутой системы.

Решение:

Рассмотрим выражение .

Пусть  - отношение полиномов от s.

,

deg N(s) = m – степень полинома N(s).

deg D(s) = n – степень полинома D(s).

D(s) – характеристический полином разомкнутой системы (ХПРС).

“Физически реализуемая система” правильная система.

Комментарий:

u y

, n = 1, m = 0.

Правильная система: 

Неправильная система: 

 где:  - ХПЗС.

Подставим , тогда: .

Меняем . Тогда векторы  поворачиваются (на плоскости С), но поворот – это изменение аргумента вектора.

 - изменение аргумента вектора  при изменении .

 - изменение аргумента вектора  при изменении .

 - изменение аргумента вектора  при изменении .

С учетом обозначений:

- ключевая формула для критерия Nyquista.

Пусть: Разомкнутая система устойчиваявсе корни D(s) – слева.
Допустим, замкнутая система оказалась устойчивой 
 все корни A(s) – слева  deg A = n  .

Пример:

.

Это пример устойчивой системы замкнутой, в предположении, что разомкнутая система устойчивая.

(*)

 

Если разомкнутая система устойчивая, а для  имеем такой результат (см. *), то “что-то здесь не в порядке”.

. Для перехода к необходимо сдвинуть годографналево на 1 (отнять 1).

Формулировка критерия устойчивости Nyquista.

Предположение – разомкнутая система устойчивая.

Для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, годограф разомкнутой системы не должен охватывать точку (-1, j0).

Пример 1:

Пусть , (k, >0)

замкнутая система устойчива.

Пример 2:

k, k1, k2 >0

T > 0, 0< d < 1.

Очевидно, что - устойчивая система, т.е. попали в условия формулировки.

 

1) Устойчивая система

2) На границе устойчивости

3) Неустойчивая

При увеличении годограф “раздувается”.

2 вар. d – уменьшаем


d4<d3<d2<d1

1) Замкнутая система устойчивая

2) Если , то система приближается к границе устойчивости.

Пусть: разомкнутая система неустойчивая, а замкнутая система – устойчивая.

Пусть у D справа r – корней и замкнутая система устойчивая.



Если у разомкнутой системы справа r корней, то W повернется на 
 или в положительном направлении.

Лекция №11

Примечание:

годограф не охватывает -1, значит система устойчивая.

разомкнутая – устойчивая, замкнутая – неустойчивая.

четверть окр. бесконечно

большого радиуса.

Это построение (см выше)равносильно замене интегратора апериодическим звеном, с постоянной стремящейся к 0.

Если , то нужно добавить 2 четверти окружности(пол окружности) обход по часовой стрелке.


Пример:

Дано:

Найти: такое k чтобы система была устойчивой.

Дополненный годограф охватывает критическую точку, следовательно, система неустойчивая.

Вывод: при помощи k систему сделать устойчивой нельзя!

п.3. Устойчивость по логарифмическим характеристикам.

(Диаграммы Bode, или логарифмический аналог критерия устойчивости Nyquista)

Пусть объект имеет вид:


,где k,t,d (0,1)

d1>d2>d3

при d = 0.

Замкнутая система находится на границе устойчивости, т.е. незначительные изменения параметров объекта могут сделать систему как устойчивой так и неустойчивой.

По рисунку нарисуем диаграммы bode:

устойчивая
правило
если сначала w1, а потом w2, то система устойчивая;

если наоборот, то неустойчивая.

Система неустойчивая.

Лекция №12

Точность в установившемся режиме.
п.0. Вывод основных коэффициентов передачи.

V – задание (программа),

Y – выход системы или регулируемая величина,

Е – ошибка или рассогласование,

- коэффициент передачи разомкнутой системы,

F – возмущение (мешает системе)

- коэффициент передачи по возмущению.

Задача: Проанализировать точность системы установившемся режиме.

Внимание в данной лекции K - ...

Найдем изображение выходного сигнала, как функцию двух входов V,F.

Пусть: F ≡ 0.

.

Другая ситуация: V ≡ 0.

Тогда, преобразуем к виду типовых соединений:

.

Итоговая формула: 

В идеале: .

Выразим формулу ошибки:

Пусть: F ≡ 0.

Другая ситуация: V ≡ 0

.

Итоговая формула ошибки: 

Желательно: .

п.1. Входной сигнал – константа.

Найдем соотношения, связывающие параметры W со значениями задающих воздействий.

.

?Можно ли найти  .

.

Случай 1:  не содержит интегратора.

где: K - полином от s без свободного члена.

Тогда: .

Полином + полином без свободных = полином без свободных.

.

.

Найдем формулу ошибки в установившемся режиме: 

где - коэффициент усиления разомкнутой системы,

- коэффициент передачи(усиления) по возмущению.

Пример: . Разомкнутая система не содержит интегратора.

Требуется найти .

Остается: .

Коэффициент усиления разомкнутой системы должен быть ≥ 19 (для уменьшения ошибки в установившемся режиме необходимо увеличивать коэффициент усиления разомкнутой системы).

Случай 2:  содержит интегратор.

.

Для того, чтобы ошибка была равна 0 в установившемся режиме при const на входе, в УУ необходимо ввести интегратор.

Лекция №13

Точность в установившемся режиме
п.2.Линейно нарастающие сигналы.

Рассмотрим систему:

Выражение ошибки системы :

E(S) = 

- без интегратора.

- содержит интегратор.

P>Случай 1:

 W0 объекта не содержит интегратора.

Линейнонарастающая функция.

С течением времени ошибка растет неограниченно, т.е. такая система с течением времени работает все хуже и хуже.

Случай 2:

W0 содержит интегратор.

Если W0 содержит интегратор, то для линейно возрастающего сигнала, ошибка пропорциональна V0 и обратно пропорциональна K0, т.е. чтобы уменьшить ошибку необходимо увеличить K0.

п.3.Синусоидальный сигнал на входе.

A=1

φ=0

w – задана.

На выходе будет синусоида, амплитуда и фаза которой определяется комплексным числом W(jw) для заданного w.

Например для апериодического звена

K,t – заданные числа.

Подставим w и для него получилось такое число:

Для случая F = 0

Тема. 5 Синтез УУ по логарифмическим характеристикам.

Пример: (см. лекцию №11)

Используем:

критерий Nyqista:

Дополненный годограф охватывает (-1;jw), следовательно система неустойчивая.

Критерий Михайлова:

ХПЗС:

Годографы Михалова, случай устойчивой системы.

n- степень ХПЗС.

Отсюда находим w* и подставляем.

Гурвиц: система неустойчивая т.к. среди коэффициентов ХПЗС есть 0.

Лекция №14

п.0. Вводные замечания.

В начале: УУ – нет.

Для системы у которое нет УУ, есть О построим диаграмму Bode ( L , ? ). 

Если диаграмма Bode выглядит следующим образом, то система устойчивая.

В некоторых случаях О → Б → не устойчивая => необходимо ввести УУ. Видимо УУ должна скорректировать “----” до непрерывной линии.

,

.

Пример: Выразить по графику W.

.

Пример: Взяли .

Система может быть устойчивой не удовлетворяющая по качеству переходного процесса – или длинный переходный процесс, или большие колебания, тогда нужно ввести УУ.

20 lg k = 20 lg 100 = 40.

Если k ↑, то диаграмма поднимается вверх => неустойчивое состояние.

Изменением k можно добиться не только устойчивости, но видимо, заданного качества системы.

Можно “доказать”, что должна пересекать ось частот с наклоном: – 20.

Перерегулирование σ тем больше, чем меньше участок h..

Коррекция системы – это “насилие” над системой. Поэтому нужно корректировать систему, как можно меньшей полосе частот.

п.1.Диаграммы зависимости (запас устойчивости по амплитуде и фазе)

- частота среза

 - запас устойчивости по амплитуде (отражает перерегулирование)

- время переходного процесса.

Чем L1 больше, тем перерегулирование σ меньше.

Чем больше , тем время переходных процессов меньше.

Допустим необходимо, чтобы σ ? 30%. Тогда то L1 ≥ 10, φ≈400.

ωп - полоса положительности.

ωср  0,8 ωп.

.

На частоте среза: |W(jω)| = 1 (на меньших частотах |W(jω)| > 1).

На частотах больше частоты среза идет ослабление сигнала.

Допустим нам нужно 

.

Пример: Пусть нам дано РГЗ, обрезанное с 2-х концов: .

Найти УУ такое, чтобы: 

См. выше: L1  10,  30.

lg 30  1.7.

Лекция №15

( синтез по логарифмическим характеристикам )

п.2. Сопряжение L желаемой с L нескорректированной.

Рис.1.

L нск (см. формальное правило построения L)

Найти: w ср - ? Если дано: t пп = 0,7; = 30%.

пп =4.7П / w п

ср = 08w п

Получена среднечастотная часть L ск . Нужно достроить L ск в области низких и высоких частот.

Руководствуемся принципом минимального вмешательства в частотные характеристики объекта. На НЧ и ВЧ совпадает L ск с L нск.

Примечание :

  1.  штриховые участки можно менять на 20% – 30% с целью упрощения алгебраического регулятора.(корректора).
  2.  возможны принципиально отличные варианты:

Рис.2.                                                       Рис.3.

На средних и высоких частотах мы увеличиваем коэффициент передачи нашей системы, т.е. на средних и высоких частотах мы форсируем систему.

  1.  правее от w ср – форсируем , левее – давим.

п.3. Построение L корректора (регулятора).

L нск. на графиках представляется в 2-х вариантах:

L – точная,

L – аппроксимирующая.

По рис.1:

По рис.2:

По рис.3:

Примечание : (область применения)

Wраз.нск не должна содержать нулей и плюсов.

Тема. 6 Пространство состояний (ABCD )

п.0. Введение

Здесь есть 3 дифференциальных уравнения 1-го порядка.

(A,B,C,D) – четверка матриц.

Лекция №16

Пример: Синтез по логарифмическим характеристикам.

Известно: 

Требуется сделать систему устойчивой и чтобы выполнялись требования к качеству переходного процесса.

1) Строим ЛАЧХ исходной (Lнск) системы. Для этого необходимо убрать обратную связь и посмотреть

По формальному правилу построения L. Найдем
. Необходимо отметить точку 20lg k = 20lg 50 = 34. В данной системе 2 звена: интегратор и колебательное звено. , lg 40 = 1,6.

 

Возможные варианты решения:

  1 вариант

  2 вариант

Для 1 варианта: 

Для 2 варианта:

Продолжение примера прошлой лекции:

x1, x2, x3 – выходы динамических звеньев.

Опишем данную структуру системой уравнений:

.

,

.

Желательно алгебраические уравнения исключить.

Эти 3 дифференциальных уравнения можно записать в виде:

(1) x, y, u(t) – функции от времени t

 , , где A = , .

Описание системы в виде (1) называется описанием системы в пространстве состояний.

Дифференциальное уравнение (1):

Описание системы в виде (1) может быть кратко задано так:

nхn nх1 1хn

( A, b, c )

А в более общем виде:

nхn nхm mхn

(A, B, C)

n – размерность матрицы А, размерность вектора x.

m – число входов и число выходов в системе.

По (1) легко найти передаточную функцию. Для этого переходим к изображениям (при нулевых начальных условиях):

x, y, u (s) – функции от s.

.

Лекция №17

(пространство состояний
п.1. Понятие пространства состояний

, где Х – вектор состояний.

С = 1x2 строка.

b = 2x1 столбец.

число входов

A nxn

b nx1

C1xn

число выходов

n - размерность вектора состояний Х.

п.2. Управляемость, наблюдаемость

Пример 1:

не управляемый блок схемы.

, где какое-то число.

Система не управляемая(см. пример) т.е. нет возможности сочинить алгоритм управления такой, что вектор состояний будет управляемый.

Примечание:

  •  Если система не управляемая, то можно выделить управляемую и не управляемую часть.
  •  Если не управляемая часть неустойчивая, то система неработоспособна при любом алгоритме управления.

Пример 2:

(*)- матрица наблюдаемости.

rangθ=n- наблюдаемая система, иначе нет.

rangθ=1- система ненаблюдаемая.

Примечание:

  •  Если система ненаблюдаемая, то можно выделить ненаблюдаемую и наблюдаемую части.
  •  Если ненаблюдаемая часть неустойчивая, то не существует алгоритма управления обеспечивающего устойчивость системы.

Утверждение:

Возможны любые сочетания свойств управляемости и наблюдаемости (лучше всего управляемая и наблюдаемая; неплохо если неуправляемые и ненаблюдаемые части устойчивые)

Пример 3:

Система управляемая, но ненаблюдаемая.

Лекция №18

п.3. Синтез.

Пусть дано описание объекта в пространстве состояний.

, где b – вектор-столбец, с – вектор-строка

Пусть доступен для управления вектор состояния x. Требуется найти алгоритм управления такой, чтобы система имела заданный желаемый ХП (характеристический полином).

Вне штриховой лини – устройство управления.

Передаточная функция объекта:

Корни (полюса), полюса характеризуют устойчивость (неустойчивость), качество переходных процессов.

Пример: Пусть первое уравнение имеет вид:

Как найти ХП?

Необходимо взять . Если матрица А размером 3 х 3, тогда det (определитель) матрицы будет полином 3-ей степени.

,

 - ХП объекта (т.е. полином знаменателя передаточной функции). Исследуем объект на устойчивость по Гурвицу, объект неустойчивый (т.к. в ХП есть отрицательные коэффициенты при S).

#

Система: 


Найдем описание с учетом УУ, а именно подставим u в
:

, где:

bp – матрица размером n x n, rang (bp) = 1 (потому что она является произведением 2-х матриц, каждая из которых имеет ранг 1).

С учетом УУ система преобразовалась к виду: 

ХПЗС = , т.е. система:  + регулятор + обратная связь. A, b – известно, при помощи p добьемся чего-нибудь.

Задача: Необходимо сделать УУ такое, чтобы имел полюса равные -3, -3, -3. Т.е. ХПЗС .

, rang (bp) = 1.

Выписываем А:

Блочная матрица:

В примере матрица А задана в каноническом виде, последняя строка - это коэффициенты ХМ матрицы с “перевернутым” знаком: .

Подставляем: , отсюда мы можем легко найти . #

Примечание 1:
(размышление об РГЗ)
Пружина с гирькой без демпфирования описывается таким уравнением: 
.
Описание в пространстве состояний: 
.
.
Ab

Для реализации выше изложенного алгоритма нам необходим вектор X, т.е. компонента - это y, т.е. координата грузика. И компонента - скорость. Нужен , т.е. нам нужны 2 датчика: положения и скорости.

Примечание 2: Алгоритм решения простой, из-за специального вида матриц A и b. В общем случае матрица A не канонического вида.

Примечание 3: Если матрица А задана в произвольном виде, то переходим к другому базису , где Т – преобразование подобия.

х – вектор в старом базисе, - вектор в новом базисе.
Тогда берем 1-ое уравнение: 
, получим. От матрицы А перешли к матрице - это подобное преобразование матриц, свойства не меняются, так получают каноническую форму.

Лекция №19

Алгебраические методы синтеза.

WR- Регулятор или УУ
Wo- Объект
V- Задание или программа.
E- Ошибка
Y- Выход
- - - часть которую надо реализовать.
U- Вход объекта и выход регулятора.

ример 1:

Пусть объект имеет такой вид:

Задачи:

  1.  добиться устойчивости.
  2.  выбрать такой алгоритм управления, чтобы ХП системы замкнутой соответствовал заданному.

Попытка 1:

Пусть WR пропорциональное звено. WR= Х0.

Находим ХПЗС для этого вначале находим Wраз , а затем Wзам :

Выписываем ХПЗС: . Коэффициент при S в первой степени равен 0,
следовательно добиться устойчивости нельзя.

Попытка 2:

Возьмем:

Находим Wраз:

Выписываем ХПЗС:

Выбором x,y>0 добиваемся положительных коэффициентов полинома, т.е. необходимое
условие устойчивости выполнено(Гурвиц).

Произведение средних > произведения крайних

Эта задача квадратичного программирования, и здесь по- видимому решение есть.

Потребуем чтобы ХП системы был равен заданному. Например, 

Т.е. все корни плоскости С лежат в левой полуплоскости и например равны -1.

получили систему линейных уравнений.

Запишем в матричной форме:

Ранг А = 4, решение есть.
Примечание: точность системы в установившемся режиме определяется коэффициентом усиления
разомкнутой системы и может оказаться неудовлетворительной.

Допустим требуется обеспечить астатизм(т.е. ошибка в установившемся режиме равна 0)

Астатизм обеспечивается введением интегратора в закон управления. В нашем случае нужно взять Y0.

Можно перерисовать :

Yизвестно, Y= 0.

Эта система почти всегда не имеет решений.

Попытка 3:

 

Очевидно, что эта система почти всегда не имеет решения, т.е. матрица А- вырожденная.

Попытка 4:

Система почти всегда имеет решения.

Задачи для экзамена

№ 1

Требуется: обеспечить устойчивость для этой системы (решать алгебраически).

№ 2

Требуется: обеспечить устойчивость. Примеч.: синтез по ЛАЧХ можно делать только для объектов
у которых нули и полюса слева (а здесь полюса и слева, и справа).

№ 2*

В задаче № 2:  . (Теперь можно по ЛАЧХ)

№ 3

Дано: 

Провести синтез УУ по ЛАЧХ.

№ 3*

Дано: 

Провести синтез УУ по ЛАЧХ.

№ 4

Дано: 

Провести синтез УУ по ЛАЧХ.

Лекция №20

Дискретные (цифровые системы)

Тема.1 Импульсный элемент (идеальный)

п.0. Введение

Рассмотрим систему управления в вычислительным устройством в УУ:

Ранее мы предполагали, что период квантования достаточно маленький и дискретностью по времени
можно пренебречь. Например, если наименьшая постоянная (инерционность) больше периода квантования, например
больше на 2 порядка, то дискретностью по времени можно пренебречь.

УУ включает в себя алгоритм вычисления и вносит дискретность по времени, т.е. УУ можно представить так:

Алгоритм “отнесем” к объекту (непрерывная часть), тогда система управления + объект может быть зарисована в виде такой системы:

где ИЭ – импульсный элемент.

Допустим:

- период квантования, импульсы определенной формы модулируемые сигналом.

Примечание: “Хвосты” импульсов могут накладываться:


---- - 

Хвосты могут тянуться долго, они меняют вид сигнала. Как правило будем считать,
что импульсный элемент генерирует прямоугольные импульсы.

- период квантования

п.1. Эквивалентная схема импульсного элемента

Схема импульсного элемента:

Его эквивалентная схема

ИИЭ – идеальный импульсный элемент, ФЗ – формирующее
звено. Эта схема должна функционировать эквивалентно одному квадрату.

Последовательность модулированных - импульсов.

- формирует прямоугольные импульсы.

 (изображение по Лапласу). 
Известно:


Итак, получим:.

Таким образом система с вычислителем может быть преобразована к такой структуре:

НЧ – непрерывная часть (там находятся объект и алгоритм счета),

- формирование из - импульса прямоугольный импульс,

ИИЭ – идеальный импульсный элемент (выдает последовательность
- импульсов),

- приведенной непрерывной части.

Задачи для экзамена

№ 5

Прикладывается некоторое напряжение, необходимо найти передаточную
функцию W и все ее характеристики.

№ 6

Дано: . Синтез по L (известны σ и tпп)

№ 7

Дано: . Синтез по L (известны σ и tпп)

№ 8

Дано: . Алгебраический синтез.

№ 9

Дано: .Требуется нарисовать L и φ (диаграмму Bode)

№ 10

Необходимо написать передаточную функцию W и нарисовать L.

п.2. Изображение дискретного сигнала

Последовательность модулируемых - импульсов:

Примечание:

, * - признак что сигнал дискретный.

Изображение дискретного сигнала: .

Иногда:  (обозначают через Z ), Z – сдвиг по времени на такт вперед
(тоже самое, как нет оператора дифференцирования - 
физически). Т.е. правую часть можно записать так:
- изображение дискретного сигнала по переменной Z.

Если Z – сдвиг по времени на такт вперед, то - запаздывание на такт.

Генератор импульсов:

Лекция №21

(п.2. Изображение дискретных сигналов)

*- признак дискретного по времени сигнал.

последовательность δ- импульсов сдвинутых по времени iTи модулированных сигналом X(t) cоотв.значением Х(iTu).

п.3. Передаточная функция импульсной системы

 
Найдем передаточную функцию этой системы(связь между изображением входа и выхода). Звено ИИЭ перенесем налево:

δ(t) –b δ(t) = (a-b) δ(t)

Структурное преобразование эквивалентно:

          Y              ε

δ(t) –b δ(t) = (a-b) δ(t)


Будем искать передаточную функцию между 2-мя точками.

Зная связь между V*(t)>-->Y*(t) легко восстановить связь между V(t)-->Y(t)(но для дискретных моментов времени).


На рис.5а последовательность δ(t)- импульсов это ε*(t).

импульсная переходная ф-ия

Нас интересует реакция системы в момент времени t, который лежит в пределах l* Tu ≤ t ≤ (l + 1)* Tu . Нужно рассмотреть воздействие импульсов приложенных на тактах 0, 1, …l(будущее не влияет на настоящие).

Система линейная, справедлив принцип суперпозиции, т.е. реакция системы будет равна сумме реакций. Будем брать t в дискретные моменты Tu.

Формулы:

Комментарий(к *):

Предел вверху l можно заменить на .

t < 0 => ωпн(t) = 0, т.к. на будущее воздействие системы не реагирует.

Введем :

Лекция №22

(Передаточная функция импульсной системы)

- импульсная переходная функция.

Переход к изображениям:

Известно, что: 

Сделаем преобразование:

Дискретная передаточная функция: 

Примечание: Допустим дано выражение:

, сумели представить в виде
ряда, где 
. То тогда - дискретное значение переходной характеристики передаточной функции.

Если дана импульсная переходная характеристика

п.4.Передаточная функция замкнутой дискретной системы

.

Исключаем  получаем большое выражение и находим связь между и .

Пример 1: Дано: 

=

Обозначим , то получим убывающую геометрическую прогрессию.

=, где Z  .

Z – краткое обозначение оператора сдвига по времени на такт вперед.

Примечание:

- звено (оператор) запаздывания на такт. Можно строить структуры содержащие звено
запаздывания 
. В дискретных системах  играет туже роль, что интегратор в непрерывных системах.

.

Получили сопоставления изображения непрерывного и дискретного изображения.

п.5.Устойчивость дискретных систем

Пусть дано: - передаточная функция замкнутой дискретной системы

Лекция №23

k*,A* - полиномы от Z.

(*) – ХПЗС.

Для устойчивости все его корни должны лежать в левой полуплоскости плоскости С .

Но полином функция от  , S=j(w+wn)+α – комплексная переменная. Можно показать, что экспонента функция периодическая с периодом по мнимой оси. Период

WИ=2П/ТИ

Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы корни ХПЗС лежали в левой половине полосы.

От S --> Z:

Легко показать, что при переходе от S к Z левая полуплоскость на плоскости Z отобразится в единичную окружность.

Для устойчивости (**) корни должны лежать в единичном круге, т.е. по модулю быть меньше 1.(если лежит на единичной окружности, то на границе устойчивости).

Введем переменную : V= z-1/z+1.

В новой переменной внутренность единичного круга отображается в левую полуплоскость плоскости V.

Вывод: сделав цепочку преобразований Sà Zà V получаем ХПЗС переменной V, применяем критерии из непрерывной теории.

Дано: Требуется исследовать замкнутую систему на устойчивость

Т– инерционность.

ТИ – период квантования.

К – коэффициент усиления.

Будем исследовать систему по Гурвицу. Берем ХПЗС:

Необходимо и достаточно чтобы система была устойчивой.

Область устойчивости.

Лекция №24

(Передаточная функция замкнутой дискретной системы)

Передаточная функции замкнутых дискретных систем – есть отношение полиномов от .

, при .

Делим левую часть (числитель и знаменатель) на . Тогда получим следующее выражение:

.

Преобразуем далее:

,

Переходим к оригиналам:

Возьмем , где - целое. Тогда: . Итак, получим:

Получили дискретное соотношение вх/вых, необходимо избавиться от .

Проинтегрируем уравнение по времени .

Обозначим и подставим, получим следующее выражение:

Задание к расчетно -графической работе.

Организационные вопросы

Лекции: 1,5 раза в неделю (25 занятий, 51 ч.).

Лабораторных работ: 4 штуки по 4 ч.

РГЗ.

Контрольные работы на каждой лекции.

Размер листка для контрольных работ: четвертая часть листа формата А4.

Правильное заполнение листика для контрольных работ:

Лекция №

группа

Ф.И.О.

дата

Возможные баллы: 0,1,2.

Получить автомат можно набрав следующее количество баллов (при учете, что сдано РГЗ и лаб. работы):

б ≥ 51 – отл.,

б ≥ 41 – хор.,

б ≤ 30 – неуд.

РГЗ

Дана система: 3 пружинки, 3 грузика. В этой системе будут 3-х частотные колебания. Необходимо синтезировать такое корректирующее устройство для системы, чтобы она стала устойчивой. Необходимо взять датчики положения и задавать их так, чтобы система успокаивалась.

m1, m2, m3 – массы грузов;

x1, x2, x3 – начальные координаты положения грузов;                                                                                                      

α1, α2, α3 – коэффициенты жесткости;

d1, d2, d3 – коэффициенты демпфирования;

u1, u2, u3 – управляющие переменные (прикладываемые силы).

Данная система описывается 3мя дифференциальным уравнениями 2-го порядка:

   m1(x - x1)(2) + d1(x - x1)(1) + α1(x - x1) – u1 = 0,

   m2(x – x2)(2) + d2(x – x2)(1) + α2(x – x2) – u2= 0,

   m3(x – x3)(2) + d3(x – x3)(1) + α3(x – x3) – u3= 0.

       #

Последняя цифра из номера зачетки – номер варианта.

Оформление РГЗ: Обложка (лист формата А4). Тема: синтез системы управления. В правой нижней части листа должна быть таблица:

дата

примечание

роспись

На 2 листе: задание, цель работы, картинка, описание задачи.

На 3 листе: математическая модель ОУ.

       #

Задание к лабораторным работам.

Лабораторная работа № 1

Элементарные звенья систем автоматического управления

1. Цель работы

Исследовать динамические характеристики, основные свойства типовых звеньев систем автоматического управления (САУ), а также познакомиться с основными правилами структурного метода.

2. Основные сведения

Всё разнообразие линейных САУ можно, при определённых допущениях, представить в виде комбинации достаточно простых (элементарных) звеньев. Их дифференциальные уравнения (основная динамическая характеристика) имеют невысокий порядок, легко анализируются и позволяют найти все другие часто используемые характеристики: переходную функцию h(t), импульсную переходную функцию g(t), передаточную функцию W(p), частотные характеристики.

В лабораторной работе предлагается исcледовать следующие элементарные звенья:

  1.  интегрирующее, дифференциальное уравнение которого

,

где y - выходная координата звена; u - входное воздействие; k- коэффициент передачи; передаточная функция звена:

W(p)=y(p)/u(p)=k/p. 

Переходная функция (ПФ) этого звена, как реакция на входное воздействие типа единичной ступенчатой функции u(t)=1(t) при нулевых начальных условиях, может быть найдена интегрированием дифференциального уравнения:

h(t) = k. t,

Импульсная переходная функция (ИПФ) является производной ПФ звена:

g(t)=k.1(t).

Частотные характеристики можно получить, заменив в передаточной функции p на j:

  W(j) - АФХ;     A()=     P2()+Q2()  - АЧХ;

P()= Re[W(j)] - ВЧХ;  Q()=Im[W(j)] - МЧХ;

 () = arct[Q()/P()] - ФЧХ.

Аналогичным образом указанные характеристики могут быть получены и для других звеньев;

2) апериодическое звено описывается дифференциальным уравнением

T  + y = k u

где T - постоянная времени, k - коэффициент передачи;

3) колебательное звено имеет дифференциальное уравнение

T2  + 2 d T + y = k u,

где d - коэффициент демпфирования;

4) дифференциальное уравнение реального дифференцирующего звена имеет следующий вид:

  + y = k u,

а передаточная функция:

W(p) = y(p) / u(p) = k p /(p+1).

3.Методические указания

Импульсную переходную характеристику звеньев можно получить, подавая на вход ‘’короткий’’ импульс большой амплитуды, площадь которого равна единице (приближение -функции), при нулевых начальных условиях.

В случае если пакет прикладных программ не даёт возможности расчёта частотной характеристики, можно получить её, подавая на вход звена синусоидальное воздействие заданной амплитуды и фиксируя амплитуду и фазу выходного сигнала звена в установившемся режиме (рис.1.1.).

 

        U=Aвх sin(t)                                            y=Aвых sin(t+ )

                                                 W(j)

Рис.1.1. Схема эксперимента по исследованию

частотных характеристик элементарных звеньев

АЧХ строится по точкам при фиксированных значениях частот i:

A(i)= Aвых(i)/ Aвх(i),

а фазочастотная - как разница фаз выходного и входного синусоидальных сигналов.

При исследовании влияния коэффициента  реального дифференцирующего звена на точность воспроизведения производной необходимо построить колебательное звено на интеграторах (рис.1.2.) и при различных  фиксировать выходной сигнал реального дифференцирующего звена и первого интегратора колебательного звена.

4.Порядок выполнения работы

4.1. Используя один из пакетов прикладных программ для исследования САУ (COMPAS, SIMNON, MATLAB), проанализировать свойства модели интегрирующего звена. Получить график переходной функции, импульсной переходной функции (ИПФ), снять частотные характеристики звена, которого необходимо выбрать из табл.1.1.

Номер варианта

Параметр

1

2

3

4

5

6

7

8

9

K

2.50

2.00

4.00

1.50

5.00

0.80

3.00

0.50

6.00

T

0.20

0.40

4.00

0.80

2.00

1.50

0.50

1.00

3.00

d

0.40

0.50

0.10

0.30

0.60

0.80

0.30

0.40

0.00

0.05

0.10

0.50

0.15

0.30

0.20

0.08

0.60

0.40

Таблица 1.1.

4.2. Увеличивая и уменьшая k интегрирующего звена в два раза оценить его влияние на ПФ и ИПФ.

4.3. Повторить эксперименты п.4.1 для апериодического звена.

4.4. Изменяя последовательно k и T апериодического звена, оценить их влияние на ПФ.

4.5. Провести эксперименты для колебательного звена аналогично п.4.1.

4.6. Изменяя последовательно k, T, d, оценить их влияние на переходную характеристику колебательного звена.

4.7. Исследовать характеристики реального дифференцирующего звена аналогично п.4.1.

4.8. Провести эксперимент по снятию частотной характеристики реального дифференцирующего звена в соответствии с методичкой, приведённой в разд. 3 (рис. 1.1). Сравнить экспериментально построенную по точкам логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ) с расчётной.

4.9. На вход реального дифференцирующего звена подать выходной сигнал колебательного звена и сравнить точное значение производной его выходного сигнала с выходным сигналом реального дифференцирующего звена. Оценить влияние  на точность воспроизведения производной.

5.Содержание отчёта

5.1. Дифференциальные уравнения, передаточные функции, схемы моделирования, исследуемых звеньев.

5.2. Экспериментально полученные данные по разд.4.

5.3.Экспериментально полученные частотные характеристики интегрирующего звена.

5.4. Выводы по п.п. 4.2.,4.4., 4.6., 4.9.

6.Контрольные вопросы

6.1.Построить ВЧХ, МЧХ, АЧХ, АФХ, колебательного звена исследованного в работе.

6.2. Как влияют величины k, T, d реального дифференцирующего звена на его ЛАЧХ?

6.3.Записать выражение для переходной характеристики апериодического звена и проанализировать влияние k  и T на параметры переходного процесса.

6.4.Записать передаточные функции интегратора и апереодического звена, охваченных еденичной отрицательной обратной связью.

Лабораторная работа № 2

Исследование устойчивости линейных САУ

1. Цель работы

Исследование влияния параметров линейной системы (рис.2.1) на ее устойчивость.

Рис.2.1. Структурная схема  исследуемой системы

2. Краткое теоретическое введение

Передаточная функция линейной системы в общем случае имеет вид

.

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица предполагает исследование матрицы, составленной из коэффициентов характеристического уравнения:

.

Система устойчива, если все диагональные миноры матрицы Гурвица положительны.

Анализ устойчивости по критерию Михайлова предполагает построение на комплексной  плоскости годографа

при изменении от 0 до . Система будет устойчива, если годограф, начинаясь на положительной вещественной полуоси при = 0, проходит последовательно  n  квадрантов против часовой стрелки, устремляясь в  n-м  в  .

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по частотной характеристике разомкнутой системы. Если разомкнутая система устойчива, то замкнутая система также будет устойчивой в том случае, когда АФХ разомкнутой системы Wp (j)  не охватывает точку (-1, j0)  при изменении   от  0 до .

 

3. Методические указания

Работа выполняется с помощью пакета прикладных программ COMPAS.

Для экспериментального определения критического значения исследуемого параметра его необходимо изменить в несколько раз по сравнению с исходным и проанализировать полученные переходные процессы. Если при одном параметре система была устойчива, а при другом - неустойчива, то критическое значение находится внутри выделенного интервала, и найти его можно, например, методом половинного деления.

Наличие незатухающих колебаний постоянной амплитуды на выходе свидетельствует о положении системы на границе устойчивости.

4. Порядок выполнения работы

4.1. Набрать модель исследуемой системы, параметры которой приведены в таблице 2.1. Номер варианта соответствует порядковому номеру бригады.

4.2.Подавая на вход единичное скачкообразное воздействие, зарисовать переходные процессы в системе при заданных параметрах. На экран графического монитора  выводить входной, выходной сигналы и ошибку ().

4.3.Экспериментально определить критическое значение коэффициента передачи k1= 2.45, т.е. такие значения, при которых система находится на границе устойчивости.  Сравнить их с расчетными значениями, найденными с помощью критерия Найквиста.

  Таблица 2.1.

Номер варианта

k1

k2

T2

k3

T3

d

1

1

1.5

0.4

4

1.2

1.2

2

5

0.8

0.2

3

1

1

3

2

1

0.1

2

0.8

0.8

4

3

2

0.3

2

1.5

1.5

5

1.5

4

0.5

1

0.9

0.9

6

2.5

1.5

0.2

2

1

1

7

4

0.6

0.2

2

0.7

0.7

8

2

1

0.5

1

0.6

0.6

4.4.Построить переходный процесс при k1 = 0.8 k1кр, проанализировать результаты.

4.5. Увеличить коэффициент d в два раза по сравнению с исходным значением и определить k1кр. Затем уменьшить d в два раза и найти k1кр. Построить зависимость k1кр= k1кр(d).

4.6.Найти экспериментальное критическое значение  dкр. Сравнить с dкр, рассчитанным с помощью критерия Гурвица.

4.7.Воспользовавшись критерием Михайлова, найти Т2кр. Определить критические значения Т2кр  экспериментально и проанализировать результаты.

4.8.* Определить область допустимых значений параметра XXX методом D-разбиений (через XXX обозначить параметр, указанный в таблице). Сравнить с экспериментально полученными результатами.

4.9.**Определить область допустимых значений параметров XXX и XXX методом D-разбиений.

 

5. Содержание отчета

5.1. Цель работы.

5.2.Структурная схема исследуемой системы и численные значения параметров.

5.3.Рассчитанные и экспериментально найденные критические значения параметров.

5.4.График переходного процесса исследуемой системы при табличных значениях параметров.

5.5. График переходных процессов при  k1 = k1кр и k1 = 0.8 k1кр.

5.6. График зависимости k1кр (d).

6. Контрольные вопросы

6.1. Как формулируется основное условие устойчивости линейных систем?

6.2. Как по АФХ исследуемой разомкнутой системы найти k1кр?

6.3. Каким образом коэффициент передачи разомкнутой системы влияет на вид годографа Михайлова?

6.4.Как, используя критерий Гурвица для замкнутой системы, найти критическое значение коэффициента разомкнутой системы?

6.5.Как определить область допустимых значений неизвестного параметра методом D-разбиений?

6.6. Как определить область допустимых значений двух параметров методом D-разбиений?

Лабораторная работа №3

Анализ переходных процессов и точности работы САУ

1.Цель работы

Исследовать влияние структуры и параметров системы на качество переходных процессов и статическую ошибку.

2. Основные сведения

Необходимо проанализировать свойства системы, структурная схема которой имеет вид.

Рис.3.1. Структурная схема исследуемой системы

Качество переходных процессов в ней можно оценить следующим образом:

1) Корневой способ.

По расположению корней на комплексной плоскости приближенно определяют длительность переходного процесса

 

 

 и колебательность  системы

 

которая, в свою очередь, однозначно связана с перерегулированием

 .

2)Частотный способ.

Качество переходных процессов в системе можно оценить по виду вещественной частотной хорактеристики P(w), при этом длительность переходного процесса

   

          а перерегулирование

%

Выражение для ошибки в исследуемой системе имеет вид

При V=const, M=const можно найти статическую ошибку

.

 

В статической системе ошибка  не равна нулю, и её абсолютная величина определяется значениями V и М, а также коэффициентом усиления разомкнутой системы: чем он больше, тем меньше ошибка. Однако необходимо помнить, что с увеличением коэффициента усиления уменьшается запас устойчивости системы, т.е. требования точности и устойчивости оказываются противоречивыми.

В астатической системе составляющая ошибки   от действия v=const всегда будет равна нулю, а от М=const обращается в ноль только в том случае, когда точка приложения возмущения «расположена» после интегратора. Для астатических систем существует понятие скоростной ошибки , которая оценивается при линейно возрастающем входном сигнале V=at (где а=const)

 .

3. Методические указания

 

Поскольку для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, то при исследовании статической ошибки, вызванной действием входного сигнала V=1, возмущение М должно быть равно нулю. Для исследования составляющей ошибки от возмущения подают М=1, а V=0. Полная статическая ошибка  в системе может быть получена как сумма двух составляющих или при одновременной подаче V=1 и M=1.

Для определения скоростной ошибки на вход системы необходимо подавать V=at при М=0. Линейно изменяющийся сигнал V(t) формируется с помощью интегрирующего звена, на вход которого поступает единичное воздействие. При коэффициенте усиления интегратора, равном а, и нулевых начальных условиях на его выходе получим функцию V=at.

4. Порядок выполнения работы

4.1. Подготовить модель системы, структурная схема которой приведена на рис. 3.1, где

        .

Параметры передаточных функций приведены в табл.3.1.

Таблица 3.1

Параметр

1

2

3

4

5

6

7

8

К1

3

2

2

3

2

10

1

2

Т1

0,1

0.2

0.5

0.4

0.05

0.08

0.1

0.5

d

0.8

1.0

1.3

1.1

2.0

1.5

1.2

1.5

K2

4

3

2

1

20

2

4

3

T2

0,7

0.1

0.8

0.2

0.9

0.5

0.7

0.5

a

2

3

5

1

4

2.5

2

4

Оценить качество переходного процесса и ошибку от входного воздействия. Зарисовать графики изменения сигналов  v(t), y(t) и .

4.2. Оценить качество переходного процесса и ошибку от возмущения, зарисовать графики изменения сигналов M(t), y(t)  и .

4.3. Определить скоростную ошибку системы по входу  и оценить качество переходного процесса.

4.4. Изменить модель системы следующим образом:

;

и повторить пп. 4.1 и  4.2.

4.5. Заменить интегрирующее звено апериодическим с передаточной функцией

и повторить пп. 4.1, 4.2. Сравнить полученные результаты с пп.4.1, 4.2 и 4.4.

4.6. Определить полную статическую ошибку от действия входного сигнала v и возмущения М. Сравнить переходный процесс с аналогичным по п.4.5.

4.7.Уменьшить в 2 раза К2 и определить полную статическую ошибку 0. Проанализировать изменение вида переходного процесса y(t) по сравнению с п.4.6.

4.8. Увеличить в 2, а затем и в 5 раз коэффициент К2 и определить статическую ошибку 0. Сравнить 0  и график переходного процесса y(t) с аналогичными величинами по пп.4.6. и 4.7.

5.Содержание отчета

5.1. Цель работы.

5.2. Структурные схемы исследованных систем.

5.3. Графики всех переходных процессов.

5.4. Экспериментально найденные tn и % для п.4.1 и их значения, рассчитанные частотным и корневым способами.

5.5. Выводы к работе.

6.Контрольные вопросы

6.1. Как влияет местоположение интегратора в системе на статическую ошибку?

6.2. Записать выражение для АЧХ и ВЧХ замкнутой системы.

6.3. Как по ВЧХ системы оценить tn и % ?

6.4. Какая взаимосвязь существует между ВЧХ и переходной характеристикой системы?

6.5. Как оценить качество переходного процесса по корням характеристического уравнения?

6.6. Записать выражение для статической ошибки от действия входного сигнала и возмущения в статической системе.

6.7. Как влияет изменение коэффициента усиления разомкнутой системы на статическую ошибку  и качество переходного процесса?

6.8. Какая система называется астатической?

6.9. Какими свойствами обладает система позиционирования?

Лабораторная работа № 4

Синтез линейных САУ частотным методом

1.Цель работы

Расчет частотным методом корректирующего устройства для линейной системы (рис.4.1) .

Рис.4.1. Структурная схема исходной системы

2.Основные сведения

Первым этапом частотного метода синтеза является построение логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) разомкнутой системы. Затем по требованиям к качеству переходного процесса (tп и %) строят среднечастотный участок желаемой ЛАЧХ, который имеет наклон -20 дб/дек и пересекает ось абсцисс в точке (lgc >0), - где c- частота среза, c=(0.6 - 0.9)·n, n - частота положительности. Исходя из заданного перерегулирования %, по номограммам (рис.4.2) определяют запас устойчивости по модулю L, ограничивающий среднечастотный участок ЛАЧХ, и п=N/tп, где N- коэффициент пропорциональности, соответствующий найденному значению Pmax.

Например, при =25% получаем Pmax=1.22, N=4.

Рис.4.2. Номограммы для определения параметров желаемой ЛАЧХ

В области высоких и низких частот желаемую характеристику сопрягают с ЛАЧХ исходной системы. Вычитая из желаемой ЛАЧХ характеристику разомкнутой системы, получают ЛАЧХ корректирующего звена, по которому определяют его передаточную функцию. Структурная схема системы с учетом корректирующего звена показана на рис.4.3.

3. Методические указания

Для выполнения лабораторной работы необходимо рассчитать параметры корректирующего звена в соответствии с требованиями к качеству процессов в замкнутой системе. Работа выполняется с помощью одного из пакетов прикладных программ для исследования САУ(COMPAS, SIMNON, MATLAB) .

Рис.4.3. Структурная схема скорректированной системы

4.Порядок выполнения работы

4.1. Набрать модель исследуемой системы (рис.4.1.), параметры которой приведены в таблице. Зарисовать графики процессов y(t), (t).

4.2. По требованиям к качеству переходных процессов в системе рассчитать параметры корректирующего звена.

Таблица 4.1

Параметр

Номер варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

W1(p)

W2(p)

Ko

20

25

10

20

25

45

20

40

25

K1

2.0

2.0

2.0

2.0

1.4

2.0

1.5

2.0

2.0

T1(0)

0.03

0.025

0.04

0.1

0.13

0.05

5.0

0.25

0.017

K2

2.5

1.0

0.9

1.5

2.0

2.1

3.3

1.25

2.0

T2(0)

-

-

-

0.15

0.025

0.013

0.05

0.017

0.25

D

0.3

0.5

0.4

-

-

-

0.4

0.5

0.7

tп(0)

1.7

0.8

2.0

2.0

1.6

1.2

2.0

0.4

2.0

%

30

40

20

35

30

40

20

30

25

4.3. Набрать модель корректирующего звена и включить его в систему. Снять переходный процесс в скорректированной системе и убедиться, что показатели качества соответствуют заданным.

4.4. Изменить параметры корректирующего звена, зафиксировать переходный процесс, определить показатели качества процесса, сравнить их с результатами п.4.3.

5.Содержание отчета

5.1. Цель работы.

5.2. Структурные схемы системы без коррекции и с коррекцией.

5.3. ЛАЧХ исходной системы, желаемая ЛАЧХ разомкнутой системы и корректирующего звена.

5.4. Передаточная функция корректирующего звена.

5.5. Переходные процессы по п.4.1, 4.3, 4.4.

6.Контрольные вопросы

6.1. Какая часть ЛАЧХ определяет свойства системы в статическом режиме?

6.2. Какая часть ЛАЧХ определяет свойства системы в динамике?

6.3. Как по передаточной функции системы построить ее асимптотическую ЛАЧХ?

6.4. Как учитываются внешние возмущения при синтезе регулятора?

6.5. Как связаны показатели качества замкнутой системы с видом желаемой ЛАЧХ?

6.6. Как по ЛАЧХ корректирующего звена восстановить его передаточную функцию?

Лабораторная работа № 5

Исследование свойств наблюдателей состояния

     

1. Цель работы

Исследовать методы построения и свойства наблюдателей состояния для динамических объектов.

2. Основные сведения

Рассматриваются линейные стационарные объекты поведение, которых описывается передаточной функцией

       Y                 K

      W(p)  =        =                                                                  (5.1)

       U        T2p2+2dTp+1

Существует ряд методов синтеза систем управления (методы аналитического конструирования оптимальных регуляторов, модальный метод синтеза), применение которых предполагает использование переменных состояния системы в законе управления. Однако на практике обычно доступна для измерения только выходная  переменная системы y(t), поэтому возникает задача получения оценки вектора состояния x(t).

Для оценки переменных состояния используется специальная техническая  система - фильтр оценки состояния (наблюдатель состояния). В лабораторной работе рассматриваются такие способы построения наблюдателей состояния, как способ параллельной модели и фильтр Калмана. Способ параллельной модели может быть использован для устойчивых линейных стационарных объектов (5.1). При этом уравнение наблюдателя состояния имеет вид

 

T2ÿ+2dTý+y=KU                                       (5.2)

Соответствующая структурная схема объекта (5.1) с наблюдателем состояния приведена на рис. 5.1.

В случае, когда объект управления (5.1) неустойчив или требуется ускорить процесс оценки переменных состояния, обычно используется фильтр Калмана, который кроме параллельной модели содержит стабилизирующую добавку L(p). Структурная схема системы приведена на рис. 5.2.

Передаточная функция, связывающая между собой переменные Δ и U, имеет вид:

                                                Δ                  K

                                          W (p) =      = -                                             .                  (5.3)

                                                        U       T2p2+2dTp+1+KL(p)      

 

Характеристическое уравнение наблюдателя следующее

                                             T2p2+2dTp+1+KL(p)=0.          (5.4)

Выбор коэффициентов стабилизирующей добавки L(p) осуществляется исходя из требований к качеству переходных процессов в наблюдателе. При этом формируется желаемое характеристическое уравнение, коэффициенты которого приравниваются коэффициентам уравнения (5.4).

                                                    K                                           Y    

                                W(p)=

                                         T2p2+2dTp+1  

                                                         

                                                                                                  Δ 

                                                 

                                             2d                                    (-)   

                                              T                                             

                                

                          K                 1     Ŷ     1                                   Ŷ   

                          T2                p             p    

                                    

                                  

                                                           1   

                                                           T2  

                          

     Рис.5.1. Структурная схема объекта с наблюдателем

                 в виде параллельной модели

                                                  K                                                Y

                                W(p)=

                                           T2p2+2dTp+1  

                                                                          Δ              

                                             

                                                 

                                             2d                            (-)   

                                              T                                             

                                

                          K                 1       Ŷ  1                                        Ŷ  

                          T2               p             p    

                                    

                                  

                                                             1   

                                                            T2  

                          

      Рис.5.2. Структурная схема объекта с наблюдателем

                  в виде фильтра Калмана

3. Методические указания

3.1. Выполнить расчет стабилизирующей добавки L(p)=KЗ, исходя изпроцесса в наблюдателе.

                                                 τ1p+1                                                                                   

3.2  Рассчитать L(p)=K           по требованию к качеству  

                                       τ2p+1

переходных процессов в наблюдателе, где tп  - желаемое время переходного процесса; σ% - величина допустимого перерегулирования.

3.3. Пункты, отмеченные символом *, выполняются по рекомендации преподавателя.

4. Порядок выполнения работы

4.1. Собрать схему моделирования системы (5.1) с наблюдателем состояния по способу параллельной модели (рис.5.1) в соответствии с номером варианта.

          Таблица 5.1

Параметр

Номер варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

К

8.0

6.0

5.0

12.0

3.0

4.0

20.0

8.0

Т,(с)

4.0

2.0

4.0

5.0

2.0

1.0

5.0

2.0

d

0.5

0.3

0.5

0.4

0.3

0.2

0.6

0.25

tп,(c)

1.0

0.6

1.5

2.0

0.5

0.3

1.5

0.5

%

30

0

30

30

0

0

30

0

4.2. Зарисовать графики переходных процессов для переменных состояния объекта и наблюдателя, а также ошибку Δ(t), подавая  на вход исследуемой системы единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

4.3. Провести моделирование аналогично п.4.2, подавая на вход исследуемой системы единичное ступенчатое воздействие при различных начальных условиях для объекта и наблюдателя.

4.4. Изменить величину T в объекте в 2 раза и повторить п.4.3.

4.5. Оценить влияние K на свойства системы, последовательно увеличивая и уменьшая его значение для объекте в 2 раза относительно номинального и повторяя п. 4.3.

4.6. Собрать модель системы с фильтром Калмана (рис.5.2) и стабилизирующей добавкой L(p)=кЗ  и зарисовать графики переходных процессов для выходных переменных объекта и наблюдателя, а также ошибку Δ(t), подавая на вход исследуемой системы единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

4.7. Провести моделирование аналогично п.4.6, подавая на вход исследуемой системы единичное ступенчатое воздействие при различных начальных условиях для объекта и наблюдателя.

4.8. Исследовать влияние K, последовательно увеличивая и уменьшая его  значение в два раза относительно расчетного и повторить п. 4.6 и 4.7.

4.9*. Изменить величину T в объекте в 2 раза и повторить п.4.7.

4.10*. Оценить влияние K на свойства системы, последовательно увеличивая и уменьшая его значение для объекта в 2 раза относительно номинального и повторяя п. 4.7.

4.11. Собрать модель системы с фильтром Калмана и стабилизирующей добавкой L(p)=K(τ1p+1)/(τ2p+1) и зарисовать графики переходных процессов для выходных переменных объекта и наблюдателя, а также ошибку Δ(t), подавая на вход исследуемой системы единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

4.12. Провести моделирование аналогично п.4.11, подавая на вход исследуемой системы единичное ступенчатое воздействие при различных начальных условиях для объекта и наблюдателя.

4.13. Изменить величину T в объекте в 2 раза и повторить п. 4.12, сравнить с результатами пп. 4.4 и 4.9.

4.14. Оценить влияние K на свойства системы, последовательно увеличивая и уменьшая его значение для объекта в 2 раза относительно номинального и  повторяя  п.4.12. cравнить с результатами, полученными в пп.4.5 и 4.10.

5. Содержание отчета

5.1. Цель работы.

5.2. Структурные схемы исследованных систем.

5.3. Расчет параметров стабилизирующей добавки L(p).

5.4. Графики результатов моделирования.

5.5. Выводы по работе.

                     

6. Контрольные вопросы

                                            

6.1. Какова область применения способа параллельной  модели?

6.2. Как влияет изменение параметров объекта на ошибку оценки переменных состояния способом параллельной  модели?

6.3. Как выбирают параметры стабилизирующей добавки L(p)?

6.4. Какова область применения фильтров Калмана?

6.5. Как  влияет  изменение  параметров  объекта  на  ошибку оценки переменных состояния с помощью фильтра Калмана?

6.6. Можно ли изменить скорость оценки переменных состояния с помощью наблюдателя в виде параллельной модели?

6.7. Как осуществляется оценка  переменных  состояния, если объект и наблюдатель имеют различные начальные условия?

Лабораторная работа № 6

Синтез линейных систем модальным методом

1.Цель работы

Изучение  модального метода синтеза для одноканальных линейных систем регулирования.

2.Основные сведения

Расчетная схема системы с модальным законом управления приведена на рис.6.1.

Рис.6.1.Структурная схема системы управления

В качестве объекта управления задано колебательное звено с малым коэффициентом демпфирования (d < 1):

   

где k0- коэффициент передачи, T- постоянная времени колебательного звена, d- коэффициент демпфирования.

Регулятор системы состоит из корректора статики (ks) и корректора динамики (kd), передаточные функции которых имеют вид:

   

В процессе синтеза системы определяются коэффициенты k, d0, d1 из условия обеспечения желаемых динамических свойств, которые, как правило, описываются значениями перерегулирования (%) и временем переходного процесса (tnn).

Характеристический полином замкнутой синтезированной системы имеет вид:

Исходя из требований к желаемым динамическим свойствам системы, выбираются корни 1, 2, 3 и определяется эталонный (желаемый) характеристический полином

Aж(p)=(p-1)(p-2)(p-3).

Коэффициенты регулятора определяются из условия Aзам(p)= Aж(p).

В данном случае корректор динамики обладает дифференцирующими свойствами, так как deg D > deg B. Поэтому для реализации корректора динамики используется наблюдатель состояния вида фильтра Калмана. Наблюдатель состоит из модели объекта и динамического звена L(p). Модель имеет передаточную функцию такую же, как и объект управления (Wm(p)=Wо(p)).

В начальный момент времени между сигналами y и ym может существовать ошибка (), отличная от нуля, порожденная разными начальными условиями в объекте и модели, а также возмущениями, действующими на объект. Для того чтобы ошибка () сходилась к нулю с заданными показателями качества переходных процессов, вводится звено L(p), где degL(p)=deg A(p)-1. В работе предлагается использовать L(p) вида

Наблюдатель должен быть устойчивым, а его параметры целесообразно выбирать таким образом, чтобы время переходного процесса по  было меньше, чем желаемое tnn замкнутой системы. Синтез наблюдателя (определение коэффициентов L(p)) можно проводить модальным методом.

3.Методические указания

Процессы на выходе объекта управления, наблюдателя и системы в целом снимать при постоянном входном воздействии V=1(t).

Значение перерегулирования по кривой переходного процесса определяется следующим образом:

где ymax, y- соответственно максимальное и установившееся значения выходной переменной.

Рис.6.2.Структурная схема системы управления с наблюдателем

4.Порядок выполнения работы

4.1.Ввести модель объекта управления в соответствии с номером варианта. Снять переходной процесс, оценить tnn и %.

4.2.По заданным корням синтезировать желаемый (эталонный) характеристический полином. По уравнению собрать эталонную модель. Снять переходной процесс. Определить желаемые показатели качества переходного процесса. Сравнить их с соответствующими показателями объекта управления.

4.3.Рассчитать параметры динамического звена L(p).

             Таблица 6.1

Номер варианта

Параметры ОУ

Желаемые корни

T

d

k0

1

2

3

1

1

0.1

0.8

-2

-2

-2

2

2

0.1

1

-1

3

1

0.5

2

-1.6+j1.2

-1.6-j1.2

-2

4

0.5

0.05

4

-0.5

-1+j1

-1-j1

5

2

0.4

1.5

-2

-2

-3

6

4

0.2

3

-1

-1

-1

4.4.Ввести наблюдатель (модель и звено L(p)). Снять выходной сигнал при нулевых начальных условиях объекта и наблюдателя и единичном входном воздействии. Снять выходной сигнал при различных начальных условиях на интеграторах наблюдателя:

.

Сравнить выходные сигналы объекта и наблюдателя.

4.5.Рассчитать параметры регулятора d0 ,d1 ,k.

4.6.Ввести регулятор, замкнуть обратные связи. Снять переходной процесс в синтезированной системе при нулевых начальных условиях в объекте и наблюдателе. Определить tnn и %, сравнить с п.4.2.

4.7.Снять процессы на выходе системы при не нулевых начальных условиях в наблюдателе (ym(0)=-2). Сравнить с результатами п.4.6.

5.Содержание отчета

5.1.Цель работы.

5.2.Математическая модель объекта управления.

5.3.Структурная схема системы.

5.4.Значения желаемых показателей качества процессов в системе (п.4.2) расчет параметров регулятора и наблюдателя.

5.5.Переходные процессы по п.4.1 - 4.7.

5.6.Выводы по работе.

6.Контрольные вопросы

6.1.Основные этапы модального метода синтеза?

6.2.Назначение наблюдателя в системе?

6.3.Как определить характеристический полином системы?

6.4.Как получить уравнение статики замкнутой системы?

6.5.Как влияют начальные условия на работу системы?

Задачи по лекциям.

  •  

Найти коэффициент усиления

  •  

W(s) - ?

  •  

Записать дифференциальное уравнение, характеризующее систему

  •  

Смоделировать устройство

  •  

y(t) - ?

  •  W(s) реального дифференцирующего звена
  •  годограф Nyquist для апериодического звена
  •  годограф Михайлова для апериодического звена
  •  годограф Nyquist для интегратора
  •   Структурное преобразование схемы

  •  Выразить y через f и v 
  •  ЛАЧХ для разомкнутой системы

  •  ЛАЧХ

  •  ЛАЧХ

  •  ЛАЧХ

  •  Найти W(s) по заданной ЛАЧХ

  •  При каких T1, T2 система устойчива

  •  Необходимое и достаточное условие устойчивости системы с характеристическим полиномом замкнутой системы третьего порядка по Гурвицу.
  •  При каком a система устойчива,  заданы

  •  Проверить систему на устойчивость с помощью критерия Найквиста
  •  При каком k система устойчива

  •  Исследовать на устойчивость с помощью диаграмм Bode

  •    При каком k1 ошибка не превышает 3%

T = 1, k1 = 1, k2 = 2, d = 0.5,  = 1,  3%

  •  L желаемая для tпп = 0,33,  = 30%

  •  Синтез устройства управления по логарифмическим характеристикам

        k0 = 25, k1 = 2, k2 = 1, T1 = 0.025, d = 0.5, tп = 0.8,  = 40%

  •  Дано колебательное звено. Перейти к описанию пространства состояний (A,B,C)
  •  Исследовать на управляемость и наблюдаемость

  •  Алгебраический метод синтеза устройства управления для объекта

Подбор регулятора:

  •  
  •  

Исследовать замкнутую систему на устойчивость

  •  

Исследовать замкнутую систему на устойчивость используя критерий устойчивости Найквиста

  •  

 x(t) = 1(t)

 Найти выходной сигнал

 

Задачи к экзамену по дисциплине Основы Теории Управления

Задача № 1

Требуется: обеспечить устойчивость для этой системы (решаем алгебраическим методом синтеза).

Задача № 2

Требуется: обеспечить устойчивость. Примеч.: синтез по ЛАЧХ можно делать только для объектов у которых нули и полюса слева (а здесь полюса и слева, и справа).

Задача № 2*

В задаче № 2:  . (Теперь можно по ЛАЧХ)

Задача № 3

Дано:  ,

Провести синтез УУ по ЛАЧХ.

Задача № 3*

Дано:  ,

Провести синтез УУ по ЛАЧХ.

Задача № 4

Дано:  ,

Провести синтез УУ по ЛАЧХ.

Задача № 5

Прикладывается некоторое напряжение, необходимо найти передаточную функцию W и все ее характеристики.

Задача № 6

Дано: . Синтез по L (известны σ и tпп)

Задача № 7

Дано: . Синтез по L (известны σ и tпп)

Задача № 8

Дано: . Алгебраический синтез.

Задача № 9

Дано: .Требуется нарисовать L и φ (диаграмму Bode)

Задача № 10

Необходимо написать передаточную функцию W и нарисовать L.


Y

V

                k3

   T32p2+2dT3 р+1   

        k2

  T2p+1

k1

+

-

М

V

*

*

*

*

*

Pmax

Po

P

Pmin

Рис.3.3.  Вещественная частотная характеристика

W1(p)

W2(p)

Ko

V

y

V

W1(p)

W2(p)

Ko

y

Wk(p)

U

L(p)

k

p

V

y

U

D(p)

B

ks

kd

ОУ

Wo (p)

1

p

V

y

Wо(p)

U

ОУ

k

p

L(p)

T-2

T-2

1

p

k0

d1

d0

2d/T

W1

W2

W3

W4

+

f

Wf

W

+

v

e

y

L

Lg w

w

w1 w2           w3 w4

-20

+40

k0

W1(s)

W2(s)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37592. Оценка вариантов территориального размещения строительных объектов с учетом инвестиционной привлекательности регионов РФ 1.78 MB
  Обзор методов и моделей оценки инвестиционной привлекательности региона . Методические принципы оценки инвестиционной привлекательности региона при размещении на его территории строительного объекта 2. Обоснование метода оценки размещения проекта в конкретных региональных условиях . Методы и информационнотехнические средства оценки вариантов размещения строительного объекта 3.
37593. МАРКЕТИНГОВОЕ УПРАВЛЕНИЕ РАЗВИТИЕМ ПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА РЕГИОНА 1.08 MB
  Методические рекомендации по поиску целевогосегмента рынка 206 ГЛАВА 4. Стержневой задачей как и в прежние годы остается насыщение регионального рынка товарами разработка механизмов регулирования кооперативного арендаторского фермерского движения поиск источников субсидирования предприятий местной промышленности поддержание жизненного уровня малообеспеченного населения и т. Методологической и практической основой для эффективной деятельности предприятий на региональных и межрегиональных рынках на микроуровне является региональный...
37594. ИПОТЕЧНОЕ КРЕДИТОВАНИЕ В РОССИИ И ПРОБЛЕМЫ ПОВЫШЕНИЯ ЕГО ЭФФЕКТИВНОСТИ 767 KB
  ЭкономиЧЕСКИЕ И правовЫЕ основЫ Ипотечного кредитования [2.3] Отечественные схемы ипотечного кредитования [2.1] Отечественные тенденции ипотечного кредитования [2.2] Регионы как участники ипотечного кредитования [2.
37595. Соотношение мер защиты и мер ответственности в гражданском праве России 780 KB
  Однако проблема соотношения мер защиты и мер ответственности изучена недостаточно. Несмотря на то, что проблема рассматривалась в некоторых работах, сделанные в них выводы не дают возможности считать этот вопрос разработанным, поэтому требуется специальное научное исследование в этой сфере.
37596. МЕТОДОЛОГИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРСОНАЛОМ 1.54 MB
  В литературе по управленческой тематике преобладают, как правило, публикации учебного и учебно-методического характера, рассматривающие главным образом историю и основы менеджмента, а также специальные вопросы управления, такие как финансовый менеджмент, кадровый менеджмент, ситуационные и системные подходы к управлению, социология организаций, маркетинг. При этом в море публикаций по проблемам управления явно не хватает литературы, для специалистов-менеджеров, высшего звена, а именно по оценки эффективности управления персоналом.
37597. ГОСУДАРСТВЕННОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ФАРМАЦЕВТИЧЕСКОГО РЫНКА 2.67 MB
  Целью диссертационной работы является исследование комплекса проблем рынка лекарственных средств для формирования системы государственного регулирования фармацевтического рынка России в сложившихся экономических, политических и социальных условиях.
37598. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АНТИКРИЗИСНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЕМ 1.27 MB
  современные проблемы управления несостоятельными предприятиями [2. Кризисные предприятия в национальной экономике России [2.2] Понятие несостоятельного предприятия [2. Степень качества финансового состояния предприятия [2.
37599. СТИМУЛИРОВАНИЕ НАЕМНЫХ РАБОТНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 1.04 MB
  Теоретические основы организации стимулирования наемных работников в процессе предпринимательской деятельности [2.2] работников в предпринимательской деятельности [2. Анализ действующих систем стимулирования наемных работников [3.
37600. Издержки производства: экономическая природа, региональные особенности и резервы снижения (на примере отраслей нефтедобычи Республики Татарстан) 957 KB
  Экономическое содержание издержек производства. Классификация издержек производства. Региональные особенности издержек производства в нефтедобыче.