49332

Синтезирование непрерывной системы управления с астатизмом второго порядка методом желаемой передаточной функции с заданными передаточной функцией объекта

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Целью выполнения курсовой работы является применение теоретических положений теории управления для синтеза непрерывной системы управления методом желаемой передаточной функции...

Русский

2014-01-15

303.87 KB

28 чел.

Содержание

Задание 2

Исходные данные 2

Теоретическое введение 3

Расчетная часть 8

1) Проведем факторизацию передаточной функции объекта 8

2) Найдем степень  полинома  и вычислим коэффициенты знаменателя желаемой передаточной функции 8

3) Найдем степени  и  полиномов  12

4) Найдем неизвестные коэффициенты полиномов  12

5) Составим выражение для передаточной функции регулятора 12

Вывод 14


Задание

Синтезировать непрерывную систему управления с астатизмом второго порядка методом желаемой передаточной функции с заданными передаточной функцией объекта,  временем регулирования, перерегулированием и нормированной функцией.

Исходные данные

передаточная функция объекта;

коэффициенты передаточной функции объекта;

время регулирования;

время перерегулирования;

степень знаменателя нормированной функции;  

знаменатель нормированной функции;

знаменатель геометрической прогрессии для вычисления соответствующих слагаемых в полиноме знаменателя нормированной функции;

Таблица 1. Соответствие первого члена геометрической прогрессии заданному времени перерегулирования

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

7

11

15

18

20

22


Теоретическое введение

Теория автоматического управления, как и любая теория, имеет дело не с реальными инженерными конструкциями, а с их моделями. Поэтому вопросы математического описания и проектирования систем управления для различных объектов являются актуальными.

Целью выполнения курсовой работы является применение теоретических положений теории управления для синтеза непрерывной системы управления методом желаемой передаточной функции.

Рис. 1 Типовая схема системы управления

Метод желаемой передаточной функции заключается в том, что имея передаточную функцию объекта  и заданную желаемую передаточную функцию  можно получить передаточную функцию регулятора  из равенства передаточной функции  замкнутой системы (см. рис. 1) желаемой передаточной функции:

Разрешив это равенство относительно передаточной функции регулятора, получим:

или, если принять ,

При задании передаточной функции  и определении передаточной функции регулятора  необходимо учитывать физическую осуществимость определяемого регулятора и грубость синтезируемой системы:

  1.  Передаточная функция физически осуществима, если её относительны порядок, равный разности степени знаменателя и степени числителя, неотрицателен.
  2.  При использовании метода синтеза системы по желаемой передаточной функции нельзя допускать нарушения грубости, то есть компенсации правых полюсов и нулей передаточной функции объекта соответственно правыми полюсами и нулями передаточной функции регулятора.

Желаемая передаточная функция должна быть определена исходя из заданных требований к качеству синтезируемой системы. Рассмотрим определение желаемо передаточной функции, основанное на использовании нормированных передаточных функций.

Пусть задана передаточная функция

Произведем замену переменных

Тогда получим

где

называется нормированной передаточной функцией или передаточной функцией в форме Вышнеградского. Нормированная передаточная функция характеризуется тем, что в знаменателе коэффициент при старшей степени и свободный член равны единице.

Время регулирования  исходной системы (2) и время регулирования  для системы с нормированной передаточной функцией (3) связаны соотношением

На последнем равенстве основано определение желаемой передаточной функции, когда нужно обеспечить заданное время регулирования, т.е. как в случае нашего курсового проекта.

Рассмотрим правило нахождения желаемой передаточной функции случая, заданного в данном курсовом проекте.

В общем случае нормированная передаточная функция для всех вариантов будет иметь вид:

Тогда, определив для нее значение  (определено при ), вычислив соответствующее  и учитывая равенство (4), для коэффициентов желаемой передаточной функции получаем:

Для синтеза передаточной функции регулятора представим передаточную функцию объекта следующим образом:

где ,  - полиномы с левыми нулями, а  и  полиномы с правыми нулями. Если полиномы  и  не содержат правых или левых нулей, то соответствующие полиномы , ,  или  равны константе.

Подставив (7) в (1), получим:

Для того чтобы правые полюсы и нули передаточной функции объекта (7) не компенсировались соответственно правыми полюсами нулями передаточной функции регулятора (8), последняя не должна содержать полиномы  и . Это возможно, если в (8)  содержит множитель , а  содержит множитель , т.е. если желаемая передаточная функция удовлетворяет следующим условиям:

где знаменатель желаемой передаточной функции;  и  неопределенные полиномы, которые находятся из полиномиального уравнения, получаемого ниже.

Если объект управления содержит  интегрирующих звеньев, то для того, чтобы  синтезируемая система была астатической и обладала астатизмом -го порядка относительно задающего воздействия и ()-го порядка относительно возмущения передаточная функция регулятора должна содержать в знаменателе множитель  (). А это возможно, если этот множитель будет включен в :

Подставив (9) и (10) в (8), получим:

Исключив  из (4) и (6), получим полиномиальное уравнение:

Коэффициенты полиномов  и  определяются из системы уравнений, которые получаются путем приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях обеих частей полиномиального уравнения (12). Условимся степень полинома обозначать буквой  с индексом обозначающим сам полином.

Рассмотрим, каким условиям должны удовлетворять степени неопределенных полиномов, чтобы регулятор был физически реализуем и полиномиальное уравнение было разрешимо.

Получим условие разрешимости. Чтобы система была разрешимой, число уравнений () не должно превышать числа неизвестных ():

Получим условие физической осуществимости. Система будет физически осуществима, если относительный порядок передаточной функции регулятора (11) будет неотрицательным, т.е.:

Так как в силу физической осуществимости степень числителя передаточной функции  не больше степени её знаменателя, то при приведении к общему знаменателю в левой части соотношения (10) в общем случае получим отношение полиномов, степени которых равны между собой. Поэтому степени полиномов числителя и знаменателя в правой части (10) также должны быть равны:

Соотношение (10) получено из условия обеспечения грубости синтезируемой системы, поэтому условие (13.3) называется условием грубости.

Таким образом, в силу всего вышеизложенного, порядок синтеза регулятора по методу желаемой передаточной функции состоит в следующем:

  1.  производится факторизация передаточной функции объекта;
  2.  из условий (13,1-3) определяется наименьшее возможное значение степени  полинома  и вычисляются коэффициенты знаменателя желаемой передаточной функции в соответствии с заданной нормированной функцией;
  3.  из условий (13,1-3) определяются наименьшие возможные значения степени  и   полиномов  и ;
  4.  записываются полиномы  и  с неопределенными коэффициентами, степени которых равны найденным значениям  и  , а затем, используя их, составляют полиномиальное уравнение (12); приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях в левой и правой частях полиномиального уравнения  определяют неизвестные коэффициенты полиномов  и ;
  5.  подставив найденные коэффициенты в полиномы  и , по формуле (11) определяем искомую передаточную функцию регулятора.

В ходе выполнения курсовой работы будет использован интеллектуальный программный комплекс для моделирования «Анализ систем 3.1».


Расчетная часть

Проведем факторизацию передаточной функции объекта

в числителе нет ни левых, ни правых, ни нейтральных корней;

полиномы с левыми нулями;

в знаменателе нет ни правых, ни нейтральных корней.

Найдем степень  полинома  и вычислим коэффициенты знаменателя желаемой передаточной функции

По условию курсового проектирования наша система должна обладать астатизмом второго порядка () и передаточная функция объекта не содержит интегрирующих звеньев (), отсюда получаем степень множителя  для формулы (10):

Из условий (13.1), (13.2) и (13.3) получим выражение для нахождения :

Из таблицы 1 в соответствии с условием  возьмем , где  - первый член геометрической прогрессии для вычисления коэффициентов в нормированной передаточной функции. Получим выражение для знаменателя нормированной функции:

Получим нормированную передаточную функцию:

В программе «Анализ систем 3.1» возьмем генератор с величиной воздействии равной единице, сумматор для отрицательной обратной связи и три апериодических звена,  задав им соответствующие значения коэффициентов усиления и постоянных времени получим структурную схему с нормированной функцией (см. рис. 2).

Рис. 2 Структурная схема с нормированной функцией

Проверим правильность введенных данных нажав на кнопку «Передаточная функция на панели инструментов»

Рис. 3 Вид передаточной функции

Из рисунка 2 видно, что нормированная передаточная функция задана верно.

Смоделируем переходный процесс, нажав на кнопку «Переходный процесс» на панели инструментов.

Рис. 4 Задание точек съема сигнала, масштаба и времени моделирования

Рис. 5 График переходного процесса

Из рисунка 5 видно, что , тогда , соответственно нижняя граница допустимого отклонения от установившегося значения (в пересечении с которой графика переходного процесса снимается время регулирования ) будет на отметке . Зададим моделирование, поставив максимальное значение в масштабе равное , и узнаем

Рис. 6 Повторный график переходного процесса

Из рисунка 6 видно, что .

Вычислим коэффициенты для полинома знаменателя желаемой передаточной функции. Из равенства (4) вычислим значение :

По формулам (6) определим соответствующие коэффициенты знаменателя желаемой передаточной функции:

– знаменатель желаемой передаточной функции.

Найдем степени  и  полиномов

Из условия грубости (13.3) получим :

Из условия разрешимости (13.1) и условия физической осуществимости (13.2) получим :

Найдем неизвестные коэффициенты полиномов

Запишем полиномы  с неопределенными коэффициентами:

Подставим полученные полиномы в полиномиальное выражение (12) и, приравняв коэффициенты у соответствующих степеней, получим значения коэффициентов полиномов :

Составим выражение для передаточной функции регулятора

Подставим все полученные данные в выражение (11):

Построем структурную схему с полученным регулятором и заданным объектом.

Рис. 7 Структурная схема с полученным регулятором и заданным объектом

Смоделируем переходный процесс, нажав на кнопку «Переходный процесс» на панели инструментов.

Рис. 8 График переходного процесса

Из рисунка 8 видно, что получившаяся система устойчива, есть перерегулирование.

Так же из графика видно, что , тогда , соответственно верхняя граница допустимого отклонения (в данном случае рассматривается верхняя граница, т.к. график переходного процесса приближается к установившемуся значению сверху) будет на отметке . Зададим моделирование, поставив максимальное значение в масштабе равное , а время просмотра 2.8 секунды и узнаем, соответствует ли время регулирования  заданному условию ().

Рис. 9 График повторного моделирования переходного процесса

Из рисунка 9 видно, что отклонение выходной величины становится в пределах допустимого за время меньше чем 1.5 секунды. По условию время регулирование должно быть меньше или равно 2.8, значит полученные в ходе моделирования результаты можно считать удовлетворительными.

Вывод

Можно сделать вывод, что регулятор настроен правильно, так как по условию курсового проектирования время регулирования должно быть меньше чем 2.8 секунды, а наша система с регулятором полученным методом желаемой передаточной функции достигает установившегося значения за время меньше заданного предела.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26015. Классификация бесприоритетных дисциплин обслуживания 13.11 KB
  Возможны следующие бесприоритетные дисциплины обслуживания то есть правила выборки заявки из очереди при необходимости назначения на обслуживание: выбирается первая в очереди заявка дисциплина первым пришел первым вышел FIFO First Input First Output; выбирается последняя в очереди заявка дисциплина последним пришел первым вышел LIFO Last Input First Output; заявка выбирается из очереди случайным образом.
26016. Классификация приоритетных дисциплин обслуживания 13.39 KB
  В приоритетных дисциплинах обслуживания заявкам некоторых типов представляется преимущественное право на обслуживание перед заявками других типов называемое приоритетом. Относительные приоритеты учитываются только в момент назначения заявки на обслуживание. При освобождении канала обслуживания сравниваются приоритеты заявок находящихся в очереди в состоянии ожидания и обслуживание предоставляется заявке с наибольшим приоритетом после чего выбранная заявка захватывает канал обслуживания. Обслуживание...
26017. СМО с отказами и полной взаимопомощью для массовых потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения 35.4 KB
  На систему обслуживания имеющую n каналов обслуживания поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность обслуживания заявки каждым каналом . После окончания обслуживания все каналы освобождаются. Поведение такой системы массового обслуживания можно описать Марковским случайным процессом t представляющим собой число заявок находящихся в системе.
26018. Определение Пуассоновского потока. Свойства 60.41 KB
  Определение Пуассоновского потока. Пуассоновский поток это ординарный поток без последействия. Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский простейший поток. Он характеризуется набором вероятностей Pk поступления k сообщений за временной интервал t: где k=01 число сообщений; λ интенсивность потока.
26019. Общее понятие СМО. Основные составляющие модели 32.32 KB
  Система массового обслуживания СМО система которая производит обслуживание поступающих в нее требований. В зависимости от наличия возможности ожидания поступающими требованиями начала обслуживания СМО подразделяются на: системы с потерями в которых требования не нашедшие в момент поступления ни одного свободного прибора теряются; системы с ожиданием в которых имеется накопитель бесконечной ёмкости для буферизации поступивших требований при этом ожидающие требования образуют очередь; системы с накопителем конечной емкости...
26020. Классификация СМО 34.33 KB
  Эти ограничения могут касаться длины очереди числа заявок одновременно находящихся в очереди времени пребывания заявки в очереди после какогото срока пребывания в очереди заявка покидает очередь и уходит общего времени пребывания заявки в СМО и т. Например для СМО с отказами одной из важнейших характеристик ее продуктивности является так называемая абсолютная пропускная способность среднее число заявок которое может обслужить система за единицу времени. Наряду с абсолютной часто рассматривается относительная пропускная способность...
26021. Понятие систем обслуживания. Классификация 15.7 KB
  При исследовании операций очень часто приходиться сталкиваться с анализом работы своеобразных систем называемых системами массового обслуживания СМО. Каждая СМО состоит из какогото числа обслуживающих единиц которые называются каналами обслуживания. Всякая СМО предназначена для обслуживания какогото потока заявок поступающих в какието случайные моменты времени. Случайный характер потока заявок и времен обслуживания приводит к тому что в какието периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое число заявок они либо...
26022. Понятие дисциплины обслуживания. Классификация 15.64 KB
  Понятие дисциплины обслуживания. Дисциплины постановки в очередь и выбора из нее определяют порядок постановки требований в очередь если заняты устройства обслуживания и порядок выбора из очереди если освобождается обслуживающее устройство. Правила обслуживания характеризуются длительностью обслуживания распределением времени обслуживания количеством требований которые обслуживаются одновременно и дисциплиной обслуживания. Время обслуживания бывает детерминированным или заданным вероятностным законом распределения.
26023. Понятие очереди. Классификация 50.44 KB
  Понятие очереди. Очереди характеризуются правилами стояния в очереди дисциплиной обслуживания количеством мест в очереди сколько клиентов максимум может находиться в очереди структурой очереди связь между местами в очереди. Бывают ограниченные и неограниченные очереди. Это такие системы в которых на пребывание заявки в очереди накладываются некоторые ограничения.