49332

Синтезирование непрерывной системы управления с астатизмом второго порядка методом желаемой передаточной функции с заданными передаточной функцией объекта

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Целью выполнения курсовой работы является применение теоретических положений теории управления для синтеза непрерывной системы управления методом желаемой передаточной функции...

Русский

2014-01-15

303.87 KB

27 чел.

Содержание

Задание 2

Исходные данные 2

Теоретическое введение 3

Расчетная часть 8

1) Проведем факторизацию передаточной функции объекта 8

2) Найдем степень  полинома  и вычислим коэффициенты знаменателя желаемой передаточной функции 8

3) Найдем степени  и  полиномов  12

4) Найдем неизвестные коэффициенты полиномов  12

5) Составим выражение для передаточной функции регулятора 12

Вывод 14


Задание

Синтезировать непрерывную систему управления с астатизмом второго порядка методом желаемой передаточной функции с заданными передаточной функцией объекта,  временем регулирования, перерегулированием и нормированной функцией.

Исходные данные

передаточная функция объекта;

коэффициенты передаточной функции объекта;

время регулирования;

время перерегулирования;

степень знаменателя нормированной функции;  

знаменатель нормированной функции;

знаменатель геометрической прогрессии для вычисления соответствующих слагаемых в полиноме знаменателя нормированной функции;

Таблица 1. Соответствие первого члена геометрической прогрессии заданному времени перерегулирования

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

7

11

15

18

20

22


Теоретическое введение

Теория автоматического управления, как и любая теория, имеет дело не с реальными инженерными конструкциями, а с их моделями. Поэтому вопросы математического описания и проектирования систем управления для различных объектов являются актуальными.

Целью выполнения курсовой работы является применение теоретических положений теории управления для синтеза непрерывной системы управления методом желаемой передаточной функции.

Рис. 1 Типовая схема системы управления

Метод желаемой передаточной функции заключается в том, что имея передаточную функцию объекта  и заданную желаемую передаточную функцию  можно получить передаточную функцию регулятора  из равенства передаточной функции  замкнутой системы (см. рис. 1) желаемой передаточной функции:

Разрешив это равенство относительно передаточной функции регулятора, получим:

или, если принять ,

При задании передаточной функции  и определении передаточной функции регулятора  необходимо учитывать физическую осуществимость определяемого регулятора и грубость синтезируемой системы:

  1.  Передаточная функция физически осуществима, если её относительны порядок, равный разности степени знаменателя и степени числителя, неотрицателен.
  2.  При использовании метода синтеза системы по желаемой передаточной функции нельзя допускать нарушения грубости, то есть компенсации правых полюсов и нулей передаточной функции объекта соответственно правыми полюсами и нулями передаточной функции регулятора.

Желаемая передаточная функция должна быть определена исходя из заданных требований к качеству синтезируемой системы. Рассмотрим определение желаемо передаточной функции, основанное на использовании нормированных передаточных функций.

Пусть задана передаточная функция

Произведем замену переменных

Тогда получим

где

называется нормированной передаточной функцией или передаточной функцией в форме Вышнеградского. Нормированная передаточная функция характеризуется тем, что в знаменателе коэффициент при старшей степени и свободный член равны единице.

Время регулирования  исходной системы (2) и время регулирования  для системы с нормированной передаточной функцией (3) связаны соотношением

На последнем равенстве основано определение желаемой передаточной функции, когда нужно обеспечить заданное время регулирования, т.е. как в случае нашего курсового проекта.

Рассмотрим правило нахождения желаемой передаточной функции случая, заданного в данном курсовом проекте.

В общем случае нормированная передаточная функция для всех вариантов будет иметь вид:

Тогда, определив для нее значение  (определено при ), вычислив соответствующее  и учитывая равенство (4), для коэффициентов желаемой передаточной функции получаем:

Для синтеза передаточной функции регулятора представим передаточную функцию объекта следующим образом:

где ,  - полиномы с левыми нулями, а  и  полиномы с правыми нулями. Если полиномы  и  не содержат правых или левых нулей, то соответствующие полиномы , ,  или  равны константе.

Подставив (7) в (1), получим:

Для того чтобы правые полюсы и нули передаточной функции объекта (7) не компенсировались соответственно правыми полюсами нулями передаточной функции регулятора (8), последняя не должна содержать полиномы  и . Это возможно, если в (8)  содержит множитель , а  содержит множитель , т.е. если желаемая передаточная функция удовлетворяет следующим условиям:

где знаменатель желаемой передаточной функции;  и  неопределенные полиномы, которые находятся из полиномиального уравнения, получаемого ниже.

Если объект управления содержит  интегрирующих звеньев, то для того, чтобы  синтезируемая система была астатической и обладала астатизмом -го порядка относительно задающего воздействия и ()-го порядка относительно возмущения передаточная функция регулятора должна содержать в знаменателе множитель  (). А это возможно, если этот множитель будет включен в :

Подставив (9) и (10) в (8), получим:

Исключив  из (4) и (6), получим полиномиальное уравнение:

Коэффициенты полиномов  и  определяются из системы уравнений, которые получаются путем приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях обеих частей полиномиального уравнения (12). Условимся степень полинома обозначать буквой  с индексом обозначающим сам полином.

Рассмотрим, каким условиям должны удовлетворять степени неопределенных полиномов, чтобы регулятор был физически реализуем и полиномиальное уравнение было разрешимо.

Получим условие разрешимости. Чтобы система была разрешимой, число уравнений () не должно превышать числа неизвестных ():

Получим условие физической осуществимости. Система будет физически осуществима, если относительный порядок передаточной функции регулятора (11) будет неотрицательным, т.е.:

Так как в силу физической осуществимости степень числителя передаточной функции  не больше степени её знаменателя, то при приведении к общему знаменателю в левой части соотношения (10) в общем случае получим отношение полиномов, степени которых равны между собой. Поэтому степени полиномов числителя и знаменателя в правой части (10) также должны быть равны:

Соотношение (10) получено из условия обеспечения грубости синтезируемой системы, поэтому условие (13.3) называется условием грубости.

Таким образом, в силу всего вышеизложенного, порядок синтеза регулятора по методу желаемой передаточной функции состоит в следующем:

  1.  производится факторизация передаточной функции объекта;
  2.  из условий (13,1-3) определяется наименьшее возможное значение степени  полинома  и вычисляются коэффициенты знаменателя желаемой передаточной функции в соответствии с заданной нормированной функцией;
  3.  из условий (13,1-3) определяются наименьшие возможные значения степени  и   полиномов  и ;
  4.  записываются полиномы  и  с неопределенными коэффициентами, степени которых равны найденным значениям  и  , а затем, используя их, составляют полиномиальное уравнение (12); приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях в левой и правой частях полиномиального уравнения  определяют неизвестные коэффициенты полиномов  и ;
  5.  подставив найденные коэффициенты в полиномы  и , по формуле (11) определяем искомую передаточную функцию регулятора.

В ходе выполнения курсовой работы будет использован интеллектуальный программный комплекс для моделирования «Анализ систем 3.1».


Расчетная часть

Проведем факторизацию передаточной функции объекта

в числителе нет ни левых, ни правых, ни нейтральных корней;

полиномы с левыми нулями;

в знаменателе нет ни правых, ни нейтральных корней.

Найдем степень  полинома  и вычислим коэффициенты знаменателя желаемой передаточной функции

По условию курсового проектирования наша система должна обладать астатизмом второго порядка () и передаточная функция объекта не содержит интегрирующих звеньев (), отсюда получаем степень множителя  для формулы (10):

Из условий (13.1), (13.2) и (13.3) получим выражение для нахождения :

Из таблицы 1 в соответствии с условием  возьмем , где  - первый член геометрической прогрессии для вычисления коэффициентов в нормированной передаточной функции. Получим выражение для знаменателя нормированной функции:

Получим нормированную передаточную функцию:

В программе «Анализ систем 3.1» возьмем генератор с величиной воздействии равной единице, сумматор для отрицательной обратной связи и три апериодических звена,  задав им соответствующие значения коэффициентов усиления и постоянных времени получим структурную схему с нормированной функцией (см. рис. 2).

Рис. 2 Структурная схема с нормированной функцией

Проверим правильность введенных данных нажав на кнопку «Передаточная функция на панели инструментов»

Рис. 3 Вид передаточной функции

Из рисунка 2 видно, что нормированная передаточная функция задана верно.

Смоделируем переходный процесс, нажав на кнопку «Переходный процесс» на панели инструментов.

Рис. 4 Задание точек съема сигнала, масштаба и времени моделирования

Рис. 5 График переходного процесса

Из рисунка 5 видно, что , тогда , соответственно нижняя граница допустимого отклонения от установившегося значения (в пересечении с которой графика переходного процесса снимается время регулирования ) будет на отметке . Зададим моделирование, поставив максимальное значение в масштабе равное , и узнаем

Рис. 6 Повторный график переходного процесса

Из рисунка 6 видно, что .

Вычислим коэффициенты для полинома знаменателя желаемой передаточной функции. Из равенства (4) вычислим значение :

По формулам (6) определим соответствующие коэффициенты знаменателя желаемой передаточной функции:

– знаменатель желаемой передаточной функции.

Найдем степени  и  полиномов

Из условия грубости (13.3) получим :

Из условия разрешимости (13.1) и условия физической осуществимости (13.2) получим :

Найдем неизвестные коэффициенты полиномов

Запишем полиномы  с неопределенными коэффициентами:

Подставим полученные полиномы в полиномиальное выражение (12) и, приравняв коэффициенты у соответствующих степеней, получим значения коэффициентов полиномов :

Составим выражение для передаточной функции регулятора

Подставим все полученные данные в выражение (11):

Построем структурную схему с полученным регулятором и заданным объектом.

Рис. 7 Структурная схема с полученным регулятором и заданным объектом

Смоделируем переходный процесс, нажав на кнопку «Переходный процесс» на панели инструментов.

Рис. 8 График переходного процесса

Из рисунка 8 видно, что получившаяся система устойчива, есть перерегулирование.

Так же из графика видно, что , тогда , соответственно верхняя граница допустимого отклонения (в данном случае рассматривается верхняя граница, т.к. график переходного процесса приближается к установившемуся значению сверху) будет на отметке . Зададим моделирование, поставив максимальное значение в масштабе равное , а время просмотра 2.8 секунды и узнаем, соответствует ли время регулирования  заданному условию ().

Рис. 9 График повторного моделирования переходного процесса

Из рисунка 9 видно, что отклонение выходной величины становится в пределах допустимого за время меньше чем 1.5 секунды. По условию время регулирование должно быть меньше или равно 2.8, значит полученные в ходе моделирования результаты можно считать удовлетворительными.

Вывод

Можно сделать вывод, что регулятор настроен правильно, так как по условию курсового проектирования время регулирования должно быть меньше чем 2.8 секунды, а наша система с регулятором полученным методом желаемой передаточной функции достигает установившегося значения за время меньше заданного предела.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72641. Структурный IF 21.71 KB
  Сначала вычисляется условие e, а затем в зависимости от его истинности выполняется на выбор один из двух блоков, а после этого - следующий оператор. Один оператор if можно вкладывать в другой оператор IF. Один из таких случаев вложения, а именно if в блок НЕТ другого IF допускает...
72642. ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 14.43 KB
  Логическими данными могут быть не только переменные и константы логического типа. Данные или выражения любого встроенного типа связанные операцией логического отношения образуют конструкцию логического типа. Такие конструкции могут входить в логические выражения наравне с логическими переменными и константами.
72643. Условные операторы 23.83 KB
  Условные операторы позволяют выбирать одно из нескольких возможных продолжений процесса программы. Имеется несколько форм условных операторов, из которых самым мощным и простым является структурный оператор IF.
72644. Последовательность выполнения операторов в программной единице 12 KB
  Главная программа является ведущей программной единицей, и обработка всей программы всегда начинается с первого исполняемого оператора главной программы. Обычно главную программу располагают в начале всей программы, т.к. этого требуют некоторые компиляторы; за главной программой следуют подпрограммы.
72645. Последовательность выполнения операторов в программной единице 12.99 KB
  Любая программная единица представляет собой последовательность операторов и комментариев. Комментарии могут располагаться в любом месте программной единицы. Они не влияют на ход выполнения программы. Порядок следования операторов в программе существен.
72646. Логические выражения 14.67 KB
  Результатом логического выражения является величина типа LOGICAL. Простейшие формы логических выражений следующие: Логические константы. Ссылки на логические переменные. Ссылки на элементы логических массивов. Ссылки на логические функции. Выражения отношения.
72647. Арифметические выражения 13.77 KB
  Используемые величины переменных или элементов массивов должны быть определены до того, как они появятся в арифметическом выражении. Также, величины целых переменных должны быть арифметическими, а не величинами меток операторов, установленными оператором ASSIGN.
72648. Размещение элементов массива в памяти ЭВМ 11.81 KB
  Если массив одномерный то его элементы хранятся в памяти друг за другом например А1 А2 А3 А4 Во многих языках программирования например в СИ элементы двумерного массива располагаются в памяти ЭВМ по строкам в Фортране по столбцам.
72649. Понятие массива 18.25 KB
  Каждый массив должен быть описан в начале программы с помощью оператора размерности DIMENSION с указанием предельных значений каждого индекса, которые задаются целыми константами. Это необходимо для того, чтобы зарезервировать соответствующий объем памяти для хранения элементов массива.