49420

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Книга

Математика и математический анализ

Функции нескольких переменных. Кратные интегралы. Тройной интеграл. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Разложение функций в степенные ряды. Определение комплексного числа. Показательная функция с комплексным показателем

Русский

2014-03-30

6.42 MB

18 чел.

Министерство образования и науки Республики Казахстан

АО «Казахский агротехнический университет

им.С.Сейфуллина»

Е.А. Акжигитов, А.Ж. Аскарова, Е.А. Грипп,

Г.Р. Елеусизова, К.К. Такабаев

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
( часть 2)

АСТАНА  2010

Рассмотрено и одобрено                                     «Утверждаю»

учебно-методическим Советом                    Первый заместитель

АО «Казахский агротехнический               Председателя  Правления                                                                               

университет им.С.Сейфуллина»                        Абдыров.А.М.

«___»__________2010г.                                     _____________________

                                                                             «___»__________2010г.

УДК

ББК 51(075.8)

А39        «Руководство к решению задач по высшей математике» ч.2.

/Е.А. Акжигитов, А.Ж. Аскарова, Е.А. Грипп,

Г.Р. Елеусизова, К.К. Такабаев/

ISBN 9965 – 570 -15 - 8

Рецензенты:

Доцент кафедры «Высшей математики и методики математики»

ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, к.ф.-м.н.     Б.У.Аубакир

Доцент кафедры информатики КАТУ им.С.Сейфуллина,

к.ф.-м.н.  Мурзабекова Г.Е.

                                                                                                       ББК

ISBN 9965 – 570 -15 - 8

Рассмотрено и одобрено на заседании  кафедры «Высшая математика» от 2 апреля 2010 года протокол № 8

Рассмотрено и одобрено на заседании  методической комиссии 

от « 13___»___мая______2010г. пртокол № 9

АО «Казахский агротехнический университет им.С.Сейфуллина»

СОДЕРЖАНИЕ

Глава 8. Функции нескольких переменных……………………………….5

   § 1. Область определения функции…………………………………… .5

   § 2. Частные производные функции нескольких переменных………..6

   § 3. Полный дифференциал функции нескольких переменных…… .  8

   § 4. Частные производные и дифференциалы высших порядков….  10

   § 5. Производная сложной функции. Полная производная.

          Полный дифференциал сложной функции………………………..13

   § 6. Производная от функции, заданной неявно…………………….   14

   § 7. Производная по направлению. Градиент функции………………15

   § 8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности………………..17

   § 9. Экстремум функции двух переменных……………………………18

Глава 9. Кратные интегралы………………………………………………23

   § 1. Двойной интеграл…………………………………………………..23

   § 2. Замена переменных в двойном интеграле………………………..28

   § 3. Вычисление площадей, объемов и площадей поверхности с

          помощью двойного интеграла……………………………………..30

   § 4. Тройной интеграл…………………………………………………  36

Глава 10. Дифференциальные уравнения………………………………..40

    § 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого    

           порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися                         

           переменными……………………………………………………….40

    § 2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка….43

    § 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

           Уравнения Бернулли……………………………………………….47

    § 4. Уравнения в полных дифференциалах……………………………50

    § 5. Дифференциальные уравнения высших порядков………………54

    § 6. Дифференциальные уравнения второго порядка,

           допускающие понижение порядка………………………………..56

    § 7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго

            порядка с постоянными коэффициентами………………………58

    § 8. Линейные однородные уравнения п-го порядка с

          постоянными коэффициентами……………………………………61

    § 9. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения

           второго порядка……………………………………………………64

    § 10. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения

            второго порядка с постоянными коэффициентами…………….66

    § 11. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений……..73

Глава 11. Криволинейные интегралы……………………………………79

     § 1. Криволинейные интегралы I и II рода…………………………..79

     § 2. Условие независимости криволинейного интеграла  от пути

            интегрирования. Формула Грина………………………………..82

     § 3. Вычисление площади…………………………………………….85

     § 4. Поверхностные интегралы……………………………………….86

Глава 12. Ряды…………………………………………………………….90

      § 1. Числовые ряды…………………………………………………..90

      § 2. Знакочередующиеся ряды………………………………………97

      § 3. Функциональные ряды…………………………………………100

      § 4. Степенные ряды………………………………………………...104

      § 5. Разложение функций в степенные ряды………………………109

      § 6. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов….113

      § 7. Интегрирование дифференциальных уравнений  с

             помощью рядов…………………………………………………115

      § 8. Ряды Фурье……………………………………………………..118

      § 9. Ряды Фурье для функций с периодом 2l…………………….. 124

Глава 13. Некоторые прикладные задачи……………………………... 127

      § 1. Приложения определенного интеграла……………………… .127

      § 2. Приложения двойного интеграла…….…………………… ….129

      § 3. Приложения тройного интеграла……………………………   134

Глава 14. Комплексные числа………………………………………..... 137

      § 1. Определение комплексного числа…………………………….137

      § 2. Основные действия над комплексными числами…………….137

      § 3. Возведение комплексного числа  в степень и извлечение

             корня из комплексного числа………………………………….140

      § 4. Показательная функция с комплексным показателем……….142

Литература.................................................................................................146

Глава 8

Функции нескольких переменных

§ 1.  Область определения функции

Если каждой паре действительных чисел (х, у), принадлежащих некоторому множеству D, по определенному правилу соответствует определенной значение z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных х и у, определенная в области D.

Символически функция двух переменных обозначается следующим образом

   и т.д.

Совокупность пар (х, у), при которых определяется функция  называется областью определения  или областью существования  этой функции.

Область определения функции  в простейших случаях предсталяет собой либо часть плоскости, ограниченной кривой, либо всю плоскость.

Геометрическим изображением функции  явеляется некоторая поверхность. Пара значений х и у определяет точку  на плоскости ОХУ, а функция  -  аппликату  соответствующей  точки   на поверхности. Поэтому говорят, что z есть функция точки   и записывают .

Пример. Графиком функции  является параболоид вращения.

Аналогично определяется функция любого конечного числа независимых переменных .

Фкнкцию трех и более переменных изобразить с помощью графика невозможно.

Пример. Найти облсть определения функции .

Решение. Для того, чтобы z имело действительное значение, нужно чтобы подкоренное выражение было неотрицательное, т.е. х и у удовлетворяли неравенству    или . Следовательно, облстью определения функции являются все точки круга ограниченные окружностью .

Линией уровня функции называется линия  плоскости  ХОУ, в точках которой функция сохраняет постоянное значение.

Поверхностью уровня функции называется поверхность , в точках которой  функция сохраняет постоянное значение .

Пример. Найти линии уровня функции  .

Решение. Уравнение семейства линий уровны имеет вид . Придавая с различные значения, получим концентрические окружности с центром в начале координат.

Пример. Найти поверхности уровня функции .

Решение. Уравнение семейства поверхностей уровня имеет вид . Если с = 0, то получим конус , если  с>0, то  -  семейство однополостных гиперболоидов, если с<0, то  - семейство двуполостных гиперболоидов.

Найти области определения функций:

8.1.1.                         8.1.2.

8.1.3.                          8.1.4.

8.1.5.                              8.1.6.

8.1.7.                8.1.8.

Найти линии уровня функций:

8.1.9.                                 8.1.10.

8.1.11.                                     8.1.12.

8.1.13.

Найти поверхности уровня функций:

8.1.14.                         8.1.15.

8.1.16.

§ 2. Частные производные  функции нескольких переменных

  1.  Частные производные первого порядка.

Частной производной от функции  по независимой  переменной х  называется конечный предел

                   

вычисленный в предположении, что у является постоянной величиной.

Частной производной от функции  по переменной у называется конечный предел

                  

вычисленный при постоянном х.

Для частных производных применяются оьычные правила и формулы дифференцирования.

Пример. Дана функция . Найти .

Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим . Для определения  принимаем х за постоянную величину и найдем .

Пример. Показать, что функция  удовлетворяет равенству .

Решение. Найдем  , . Подставим полученные выражения  в левую часть равенства:

Получаем тождество, т.е функция z удовлетворяет данному равенству.

8.2.1. . Найти .

8.2.2. . Найти .

8.2.3.. Найти .

8.2.4. . Найти .

8.2.5. . Найти .

8.2.6. . Найти .

8.2.7. . Найти .

8.2.8. . Найти .

8.2.9. . Найти .

8.2.10. . Найти .

8.2.11. . Найти .

8.2.12. . Найти .

8.2.13. . Найти .

8.2.14. . Найти .

8.2.15. . Доказать, что .

8.2.16. . Доказать, что .

8.2.17. . Доказать, что .

8.2.18. . Доказать, что .

8.2.19. Показать, что функция  удовлетворяет уравнению .

§ 3. Полный дифференциал функции нескольких переменных

Полным приращением функции  называется разность

                          

где  произвольные приращения аргументов.

Функция  называется дифференцируемой в точке М(х,у), если в этой точке полное приращение можно представить в виде

               ,

где   и  стремятся к нулю, когда  и  стремятся к нулю.

Полным дифференциалом функции    называется главная часть приращения  , линейная относительно приращений аргументов  , т.е.

                         .

Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. .

Тогда выражение полного дифференциала для функции  примет вид                        

                         .

Если функция , то дифференциал этой функции иммет вид

                  .

При достаточно малых  для дифференцируемой функции  можно записать приближенное равенство       или                     .

Пример. Найти полные       дифференциалы функций: 1) , 2) .

Решение. 1) Найдем частные производные    .

Следовательно: .

2) ,      

Тогда                   .

Пример. Вычислить значение полного дифференциала функции  при .

Решение.  Найдем частные производные и полный дифференциал данной функции:

            .

Подставляя заданные значения переменных х, у  и их дифференциалов , найдем

                         .

Пример. Вычислить приближенное значение .

Решение. Применим формулу

                  .

Полагая, что  есть частное значение функции   в точке (1,08; 3,96), получим

 , тогда . Т.е. . Тогда

                           .

                   

Тогда получим:             .

Найти полные дифференциалы функций:

8.3.16. Найти полный дифференциал и полное приращение функции  в точке (2; 3) при

8.3.17. Найти полный дифференциал и полное приращение функции   в точке (2; 1) при  

8.3.18. Вычислить приближенно  исходя из значения функции  при  и заменяя её приращение дифференциалом.

8.3.19. Вычислить приближенно  изменение функции , когда х изменяется от 5 до 4,5; а у  -  от 3  до 3,3.

8.3.20. Вычислить значение полного дифференциала функции  при перемещении точки  из положения  в положение .

§4. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от её частных производных первого порядка.

Обозначение частных производных второго порядка:

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков, например:

 и  т.д.

«Смешанные» производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны, например:

                                   .

Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал отеё полного дифференциала, т.е. .

Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков:

                        .

                    ,

          .

Символически формулу дифференциала п-го порядка можно записать следующим образом

                        ,

которая формально раскрывается по биномиальному закону.

8.4.1. Дана функция . Найти .

Решение.  Найдем частные производные первого порядка:

                      .

Дифференцируя повторно, получим:

.

Найти частные производные второго порядка следующих функций

.

8.4.11. Найти полный дифференциал функции .

Решение.  .

Полный дифференциал функции будет равен:

.

         8.4.12. Найти  функции .

Решение. ,

             .

Тогда получим:

.

8.4.13. . Найти  .

8.4.14. . Найти  .

8.4.15. . Найти  .

8.4.16.. Найти  .

8.4.17.  . Найти   .

8.4.18. . Проверить, что .

8.4.19. Показать, что функция  удовлетворяет уравнению .

8.4.20. Показать, что функция  удовлетворяет уравнению .

§ 5. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции

Предположим, что в уравнении 

                                 

 и    являются функциями независимых переменных х и у, т.е.

                           .

Тогда  частные производные выражаются формулами

Если , а , то по сути дела  является функцией одной переменной и тогда

                          ..

Эта формула носит название формулы для вычисления полной производной ( в отличии от частной производной ).

Найдем полный дифференциал сложной функции.

Так как           , тогда

                       или

         

,        где     .

8.5.1. Найти , если .

Решение.     Используем формулу       , получим

    

             

             .

8.5.2. Найти , если  .

8.5.3. Найти , если  .

8.5.4. Найти , если .

8.5.5. Найти полные дифференциалы функции, если , .

8.5.6. Найти , если ,  .

§ 6. Производная от функции, заданной неявно

Пусть функция у от х задана уравнением , тогда

                              .

Откуда                      .

Аналогично определяются частные производные неявной функции двух переменных , заданной с помощью уравнения .

          

Отсюда ,        при условии   .

8.6.1. Найти  , если .

Решение.  , тогда

           .

Поэтому             .

8.6.2. Найти  и , если .

Решение.  .

.

Тогда        .

8.6.3. . Найти .

8.6.4. . Найти .

8.6.5. . Найти .

8.6.6. . Найти .

8.6.7. . Найти .

8.6.8. . Найти .

8.6.9. . Найти .

8.6.10. . Найти .

8.6.11. . Найти  

8.6.12. . Найти .

8.6.13. . Найти .

8.6.14. . Найти .

8.6.15. . Найти .

§ 7. Производная  по направлению. Градиент функции

Производной функции   в точке в направлении вектора  называется предел

     ,     где   

Если функция  дифференцируема, то производная в данном направлении вычисляется по формуле

                          

где - угол, образованный вектором  и осью ОХ.

В случае функции трех переменных  производная в данном направлении определяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид

                  ,

где  направляющие косинусы вектора   .

Градиентом   функции   в точке  называется вектор с началом в точке М, имеющий своими координатами частные производные функции :

                            .

Градиент функции и производная по направлению вектора  связаны формулой

                    .

Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке. Производная  в направлении градиента имеет наибольшее значение, равное

                  .

8.7.1. Дана функция . Найти производную   в точке М (1, 1, 1) в направлении вектора .

Решение. Найдем направляющие косинусы вектора  :

.

Частные производные в точке М равны:

.

Тогда             

                     .

8.7.2. Найти производную функции  в точке М (1,1,1) в направлении градиента функции u.

Решение. Найдем градиент функции:

            

            

               .

Теперь найдем производную функции в направлении градиента

.

             .

Т.е.                   .

8.7.3. Определить градиент функции  в точке М (2;4).

8.7.4. Найти производную функции  в точке М (1;1) в направлении вектора , составляющего угол  с положительным направлением оси ОХ.

8.7.5. Найти производную функции  в точке М (3;2;1) в направлении вектора , где N (5;4;2).

8.7.6. Найти производную функции  в точке М (1;2) в направлении , составляющем с осью ОХ угол .

8.7.7. Найти    производную   функции       в точке М (2;1) в направлении , идущем от этой точки к точке N (5;5).

8.7.8. Найти производную функции  в точке М (3;4) в направлении градиента этой функции.

8.7.9. Найти производную функции  в направлении вектора  в точке М (1;2;1).

8.7.10. Найти производную функции  в точке М (1;1;1) в направлении вектора .

§ 8. Касательная плоскость  и нормаль к поверхности

Пусть поверхность задана уравнением , возьмем на ней точку  .

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид

.

Уравнение нормали к поверхности в этой же точке записывается виде

                 .

Если же поверхность задана явным уравнением , то уравнение касательной плоскости в точке   имеет вид

,

а уравнение нормали записывается в виде

             .

8.8.1. Найти уравнения касательной плоскости  и нормали к поверхности  в точке М (1;-1;1).

Решение. Найдем частные производные

и их значения в точке М:  .

Уравнение касательной плоскости имеет вид:

  или   .

Уравнение нормали :   .

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности:

8.8.2.  в точке М (1;1;1).

8.8.3.    в точке М (3;2;2).

8.8.4.  в точке М (2;2;1).

8.8.5.    в точке М (1;1;3).

8.8.6.  в точке   .

8.8.7.  в точке М (2;2;3).

8.8.8. в точке .

8.8.9. Составить уравнения касательных плоскостей к поверхности ,  параллельных плоскости .

8.8.10. Найти касательные плоскости к эллипсоиду , параллельные плоскости .

§ 9. Экстремум функции двух переменных

Функция  имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше)  чем её значениу в любой другой точке  некоторой окрестности  точки , т.е.  для всех точек  удовлетворяющих условию , где  - достаточно малое положительно число .

Максимум или минимум функции называются её экстремумами. Точка , в которой функция  имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Если дифференцируемая функция  достигает экстремума  в точке , то её частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.

 (необходимое условие экстремума) (10.1)

Точки, в которых частные производные равны нклю, называются критическими точками.

Пусть в некоторой области, содержащей точку , функция  имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, и точка  является критической точкой  функции , т.е. .

Тогда

1) имеет максимум, если

2) имеет минимум, если

,         (10.2)

3) не имеет ни максимума, ни минимума.  если

,

4) если           , то экстремум может быть , а может и не быть ( в этом случае требуются дополнительные исследования).

Эти условия являются достаточными условиями существования экстремума.

Если необходимо найти экстремум функции нескольких переменных, которые связаны между    собой     несколькими условиями ( число уравнений должно быть меньше числа переменных), то говорят об условном экстремуме. При решении задачи можно пользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа. Чтобы найти экстремум функции  при наличии уравнения связи , составляют функцию Лагранжа

                                                    (10.3)

и ищут её экстремум,  где  неопределенный постоянный множитель.

Необходимые условия экстремума выражаются системой трех уравнений

                             

                                                               (10.4)                                  

                      

с тремя неизвестными  .

Вопрос о существовании и характере условного экстремума нешается на основании исследования функции Лагранжа .

Аналогично находится условный экстремум функции трех и болле переменных.

8.9.1.Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем частные производные первого порядка и критические точки:

Или  .

Решив эту систему, получим четыре точки:  .

Теперь найдем частные производные второго порядка:

и вычислим их значения в критических точках:

         

Подставляя эти значения в достаточные условия (10.2) получим

                   .

Следовательно в точке М1  функция имеет  минимум: .

Аналогично проверяем точку М2 :

         

                   .

Следовательно в точке М2 функция экстремума не имеет.

В точке М3 :

                           .

Это означает, что в точке М3 функция  имеет максимум:    .

В точке М4: ,

               ,

Следовательно в точке М4 экстремума нет.

8.9.2.Найти экстремум функции   при условии, что аргументы её удовлетворяют уравнению .

Решение. Составим функцию Лагранжа (10.3)

                 

И найдем её частные производные:

                         .

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа в данном случае примут вид

            

Решив    эту    систему,      найдем      

                          

                                 .

Найдем вторые частные производные

                

При функция  имеет условный минимум, так как выполняется второе условие из (10.2).

При  функция  имеет условный максимум. Следовательно:   

     

      .

В следующих задачах найти экстремум функции двух переменных:

8.9.3. .

8.9.4. .

8.9.5. .

8.9.6. .

8.9.7. .

8.9.8. .

8.9.9. .

8.9.10. .

8.9.11. .

8.9.12. .

8.9.13. .

Найти условный экстремум функции:

8.9.14.   при   .

8.9.15.  при .

8.9.16.  при .

8.9.17.    при .

8.9.18.  при .

8.9.19.  при .

8.9.20.  при .

Глава 9

Кратные интегралы

§ 1. Двойной интеграл

Пусть функция  задана в ограниченной замкнутой области D плоскости ХОУ. Разобьем область D произвольным образом на п элементарных частей , которые назовем  площадками. В каждой из площадок  выберем произвольную  точку . Обозначим  значения функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида :

                 (1.1)

Эта сумма называется интегральной суммой для функции  в области D.

Двойным интегралом от функции  по области D  называется предел интегральной суммы при условии, что наибольший из диаметров площадок  стремится к нулю

                 

                     

D – область интегрирования.

Если  функция  непрерывна в замкнутой области D, то предел интегральной суммы существует и не зависит  от способа разбиения области D  на элементарные площадки  и от выбора точек   ( теорема существования двойного интеграла).

Если , то двойной интеграл от функции по области D равен объему  тела Q, ограниченного поверхностью , плоскостью  и  цилиндрической  поверхностью, образующие которой   параллельны  оси OZ, а направляющей служит граница области D.

 

Основные свойства двойного интеграла

1.

2.

3. Если область интегрирования D  разбита на две области D1   и D2, то      

Правила вычисления двойного интеграла

Различают два основных  вида области интегрирования:

1. Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми  и  , а снизу и сверху непрерывными кривыми  и   , каждая из которых пересекается прямыми только в одной точке (рис.1).

     У              

      

 

                                                      х

                                                           Рис. 1

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

                      ,

причем    сначала вычисляется  интеграл , в котором х считается постоянным. В результате интегрирования получается функция от х:         .

Эту  функцию интегрируем по х в пределах от а до в :   .

В результате получится постоянное число.

2. Область интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми  и   , а слева и справа непрерывными кривыми  и , каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке(рис.2).

    У                 

 

                                                          Х              Рис.2

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

                  

Сначала вычисляется интеграл , в котором у считается постоянной. В результате интегрирования получается функция . Эту функцию интегрируем по у в пределах от c до d:

                                    

В результате получится постоянное число.

Пример 1. Вычислить интеграл , где область D  ограничена линиями .

Решение.  Приведем двойной интеграл к двукратному:

                        .

Вычислим в начале внутренний интеграл:

                     

Интегрируя полученную функцию в пределах от 0 до 1, получим

        .

Пример 2. Вычислить  , если область D ограничена линиями .

Решение. Построим область D. Первая линия – это парабола с вершиной  в точке (0;2), симметричная относительно оси ОУ. Вторая линия – прямая. Решая их совместно, найдем координаты точек пересечения А (-3;-7), В (1; 1).

                                               у

                                                                                              х

                                                                       Рис.3

Установим границы:

                     .

                     

                     .

Пример 3. Изменить порядок интегрирования в интеграле

                   

Решение. Область интегрирования ограничена прямой  и параболой .

                              У

                                               .

                                                              

                                                                                   Х

                                                    Рис. 4

Изменим порядок интегрирования:

                       ,   ,  

Тогда               .

Замечание. В различных книгах двукратный интеграл записывают по разному:

                     

Здесь первое интегрирование  совершается по той переменной, дифференциал которой написан первым (т.е. по у).

                         

Здесь первое интегрирование  проводится по той переменной, дифференциал которой написан вторым ( по переменной у).

Строгого требования по какой переменной нужно совершать первое интегрирование нет.

Вычислить двойные интегралы:

9.1.1.

9.1.2.

9.1.3.

9.1.4.

9.1.5.

9.1.6.

9.1.7.

9.1.8.

9.1.9.

9.1.10.

9.1.11.

9.1.12.

9.1.13. 1

9.1.14.

9.1.15.

9.1.16.

9.1.17.

9.1.18.

9.1.19.

9.1.20.

9.1.21.

9.1.22.

9.1.23.

9.1.24.

9.1.25.

9.1.26.

9.1.27.

9.1.28.

9.1.29.

9.1.30. 

В следующих задачах изменить порядок интегрирования, предварительно изобразив на рисунке области интегрирования:

9.1.31.                              9.1.32.

9.1.33.                             9.1.34.

§ 2. Замена переменных в двойном интеграле

  1.  Двойной интеграл в полярных координатах.

Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат х, у  к полярным координатам , связанных с прямоугольными координатами соотношениями ,  осуществляется по формуле

       ,

где  область интегрирования D ограничена двумя лучами , выходящими из полюса и двумя кривыми , где  и  однозначные функции при   и , то двойной интеграл вычисляется по формуле

       ,

где   и в начале вычисляется интеграл , здесь  считается постоянным.

  1.  Двойной интеграл  в криволинейных  координатах. 

Пусть двойной интеграл преобразуется от прямоугольных координат х, у к криволинейным координатам . Прямоугольные координаты связаны  с криволинейными координатами соотношениями   и эти функции имеют непрерывные  частные производные и якобиан преобразования в области задания этих функций не равен нулю:

                               .

При этом формула преобразования двойного интеграла имеет вид:

                       .

Для случая полярных координат

                        .

Пример 1. Вычислить двойной интеграл  перейдя к полярным координатам, если D – четверть круга .

Решение.  , тогда имеем

                      .

Переходя к полярным координатам, вычислить двойные интегралы:

9.2.1. где область D – круг .

9.2.2. , где область D ограничена полуокружностью  и .

9.2.3. , если область D ограничена окружностью .

9.2.4. , где область D ограничена линиями   и .

9.2.5.  где область D ограничена линиями  и .

9.2.6. , где область D – круг .

9.2.7. где область D – круг .

9.2.8. , если область D ограничена линиями  и .

9.2.9. , где D определена неравенствами  и .

9.2.10. , где область D – круг .

§ 3. Вычисление площадей, объемов и площадей поверхности с помощью двойных интегралов

Вычисление площади плоской фигуры.

Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D  находится по формуле

                         .

Если область D ограничена линиями  и , , то

                     

Тогда               .

Если область D в полярных координатах определена неравенствами , то

                 .

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Определим точки пересечения данных кривых. В точке пересечения ординаты равны, т.е. , отсюда  . Следовательно искомая площадь будет равна:

       .

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями  ( вне окружности , см. рис. 5).

                                             у

                                                                                            х

                                                        Рис. 5

Решение. Найдем координаты  точки А:

,      т.е. , тогда

                      

                      .

9.3.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

9.3.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,  .

9.3.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

9.3.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

9.3.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,.

9.3.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

9.3.7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

9.3.8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

9.3.9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

9.3.10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

9.3.11. Перейдя к полярным координатам вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Линиями, ограничивающими данную площадь являются окружности    и прямые .

                                              У

Х

                                                               Рис. 6

Найдем точки пересечения прямых и окружностей. Из уравнения первой прямой  выразим  и подставим в первое уравнение окружности, получим

.

Тогда точка пересечения прямой  и окружности  имеет координаты  . При подстановке в уравнение второй окружности найдем координаты  точки

          

                                   У

Х

Решая аналогично, найдем координаты  точек пересечения прямой  с окружностями, получим точки .

Тогда  . Следовательно, .

Теперь перейдем к полярным координатам. Составим в этих координатах уравнения окружностей:  - уравнение окружности ,  -  уравнение окружности. Тогда искомая площадь фигуры , ограниченная указанными линиями определится по формуле

 .

Переходя к полярным координатам найти площадь, ограниченную линиями:

9.3.12. .

9.3.13. .

9.3.14. .

9.3.15. .

9.3.16. .

9.3.17. .

9.3.18. .

9.3.19. .

9.3.20. .

Вычисление объемов.

Объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , где  - неотрицательная функция, снизу плоскостью  и цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит граница области D, а образующие параллельны оси OZ,  равен двойному интегралу от функции   по области D

                                    .

Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .

Решение.            , где D – треугольная область в плоскости ОХУ, ограниченная прямыми .

                                z

                                 1

 

                                                 1          y

                            1

                    x

Расставляя  границы в двойном интеграле, вычислим объем

(куб.ед)

Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями  и расположенного в первом октанте.

Решение.  Данное тело ограничено сверху параболоидом  . Область интегрирования – круговой сектор , являющаяся линией пересечения параболоида с плоскостью  и прямыми . Следовательно,

                           .

Областью интегрирования является часть круга, а подынтегральная функция зависит от . Поэтому целесообразно перейти к   полярным координатам  и тогда уравнение окружности в этих координатах имеет вид , подынтегральная функция . Пределы интегрирования по  находим из уравнений прямых. Для этого найдем точки пересечения прямых с окружностью:

а)  ,

следовательно,  точка  , тогда  .

б) ,

тогда       и  угол .

            

           (куб.ед).

 

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

9.3.21. .

9.3.22. .

9.3.23. .

9.3.24. .

9.3.25. .

9.3.26.

9.3.27.

9.3.28. .

9.3.29. .

9.3.30. .

Вычисление площадей поверхности. 

Если поверхность задана уравнением , то площадь поверхности определяется  по формуле

           ,

где  область D – проекция данной поверхности на плоскость ХОУ.

Если поверхность задана уравнением , то

          ,

где  область D – проекция данной поверхности на плоскость YОZ.

Если поверхность задана уравнением , то

          ,

где  область D – проекция данной поверхности на плоскость XОZ.

Пример 1. Вычислить площадь поверхности сферы  .

Решение. Вычислим площадь поверхности верхней половины сферы           . В этом случае

             

Тогда                  .

Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам

.

Тогда полная поверхность сферы равна

                                        .

9.3.31. Найти площадь части сферы , вырезанной цилиндром .

9.3.32. Найти площадь поверхности конуса  внутри цилиндра .

9.3.33. Найти площадь части плоскости  , которая заключена внутри цилиндра  выше плоскости .

9.3.34. Вычислить площадь поверхности  , отсекаемой плоскостями .

9.3.35. Вычислить площадь поверхности , расположенной внутри цилиндра .

§ 4. Тройной интеграл

Пусть функция  задана в некоторой ограниченной замкнутой области V. Разобьем  область V произвольным образом  на n элементарных областей с объемами  . В пределах области  выберем произвольную точку  и обозначим  через  значение функции в этой точке.

Составим интегральную сумму

                      .

Тройным интегралом  от функции  по области V  называется предел  интегральной суммы  при условии, что наибольший  из диаметров элементарных областей  стремится к нулю:

                 .

В декартовых координатах тройной интеграл обычно записывают в виде  

                .

Пусть область интегрирования V снизу ограничена поверхностью , а сверху  ,, область  D – проекция V на плоскость ХОУ  ограничена линиями , тогда  тройной интеграл сводится к трехкратному интегрированию

          .

Если при вычислении тройного интеграла требуется перейти к новым  переменным , то пользуются формулой

                ,

где                           .

При переходе от декартовых координат  к цилиндрическим  координатам , связанных соотношениями  

                

тройной интеграл вычисляется по формуле

     ,

при этом .

При переходе от декартовых координат  к сферическим  координатам  , связанных соотношениями  

                

тройной интеграл вычисляется по формуле

,

где  .

                                              z

                                                                A

                                                                      

                                              

                                 0                                              y

                                       

                  x

Пример 1 . Вычислить тройной интеграл   по области, ограниченной плоскостями  .

Решение. Эта область ограничена снизу и сверху плоскостями  и проектируется на плоскость  ХОУ в область , представляющую собой  треугольник, ограниченный прямыми . Тодга

                  .

Пример 2. Вычислить , где область V  ограничена цилиндром  и плоскостями .

Решение. Перейдем к цилиндрическим  координатам . Уравнение цилиндра  в этих координатах  примет вид

 .

Следовательно в области V координаты изменяются  так

                .

Тогда  

              

              .

Пример 3. Вычислить  , где область V  половина шара .

Решение. Введем сферические координаты  

                

                  .

                          

                          .

9.4.1. Вычислить , где область V -  прямоугольный параллелепипед, определенный неравенствами .

9.4.2. Вычислить , где область V ограничена поверхностями  .

9.4.3. Перейдя к цилиндрическим  координатам, вычислить , где область V ограничена поверхностями   .

9.4.4.  Перейдя к сферическим координатам вычислить , где область V – шар .

9.4.5. Вычислить  ,  где область V ограничена сферой   и плоскостью .

Глава 10

Дифференциальные уравнения

§ 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальным уравнением называется  уравнение , связывающее независимую переменную х, искомую функцию и ее производные .  Символически дифференциальные уравнения записывают в следующем виде

                                                                        (1.1)

Наивысший порядок производной , входящей в уравнение называется порядком дифференциального уравнения.

 Если искомая функция y является функцией одного аргумента x, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если искомая функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных. В данной главе рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Если уравнение (1.1) разрешено относительно наивысшей производной, то получается  уравнение в нормальной форме.

                                                                  (1.2)

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием уравнения. 

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется  любая действительная функция , определенная  на некотором  интервале  и вместе со своими производными  обращающая данное дифференциальное уравнение  в тождество.

Например, пусть имеет уравнение:

                                              .

Функции

                     или      

являются решениями данного дифференциального уравнения.

В этом легко убедиться, подставив указанные функции в уравнение.

Дифференциальное уравнение вида

                                                                               (1.3)

является дифференциальным уравнением первого порядка.

В нормальной форме это уравнение можно  записать в виде

                                                                                  (1.4)

Общее решение уравнения (1.4) имеет вид

                            или                            (1.5)

Геометрически общее решение представляет собой множество интегрированных кривых на плоскости, зависящих от одного параметра С.       

Частным решением дифференциального уравнения называется решение , полученное из общего решения  при фиксированном значении постоянной С.

 Задача Коши для дифференциального уравнения  первого порядка может быть  сформирована следующим образом:

Найти решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию y=y0 при x=x0. Другими словами найти интегральную кривую этого уравнения, проходящую через точку М0(x0,y0).

Дифференциальное уравнение вида

                                                                   (1.6)

называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

Его общим интегралом является

                                                              (1.7)

где С – произвольная постоянная.

Уравнение вида

                                                (1.8)

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.  

         Разделив обе части этого уравнения на, получим

                                                              (1.9)

получим уравнение с разделяющимися переменными вида (1.7).

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

                                                         (1.10)

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

                      

Данное уравнение приводится к виду

                      

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными

                              

Интегрируя это уравнение,   получим

                    

                          или     .

В следующих задачах решить, дифференциальные уравнения:

10.1.1.

10.1.2.

10.1.3.

10.1.4.

10.1.5.

10.1.6.

10.1.7.

10.1.8.

10.1.9.  

10.1.10.

10.1.11.  

10.1.12.  

10.1.13.  

10.1.14.  

10.1.15.  

В следующих задачах найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному условию.

10.1.16.,

10.1.17. ,   

10.1.18.

10.1.19.

10.1.20.

10.1.21.

10.1.22.

10.1.23.

10.1.24.

10.1.25.

10.1.26.

10.1.27.

10.1.28.

10.1.29.  

10.1.30.

§2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Функция  называется однородной функцией n–го измерения, если при любом t выполняется условие:

                                   .                                (2.1)

Пример 1.   однородная функция первого измеряется,  т.к. .

Пример 2.  Функция есть однородная функция второго измерения,  т.к. .

Пример 3.  Функция есть однородная функция нулевого измерения,  т.к. .

Дифференциальное уравнение первого порядка

                                                                             (2.2)

называется однородным относительно переменных x,y, если функция  есть однородная функции нулевого измерения относительно переменных x,y.

C помощью новой переменной   вводимой по формуле

                                                                                      (2.3)

уравнение (2.2) приводится к уравнению с разделяющимися переменными

Положив  уравнение (2.2) приводится к виду

                                                                             (2.4)

Поставив (2.3) приводит это уравнение к виду

                                или          

Интегрируя, найдем:

                                                               (2.5)

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение  .

Сделаем подстановку  ,   тогда  и получим

                               или           

Интегрируя это уравнение, получим

                      

Откуда              

Подставив в это выражение значение  получим общий интеграл данные уравнения            .

Уравнение вида

                                                                 (2.6)

можно привести к однородному уравнению. Для этого сделаем замену переменных

                       ,                                          (2.7)

Тогда .  Уравнение (2.6) имеет вид

                    

Подберём h и k так, чтобы

                         .

При этом уравнение (2.6) становится однородным:

                                                                   (2.8)

Если  , то нужно сделать замену       (2.9)

Пример 5. Дано уравнение            .

Чтобы преобразовать это уравнение в однородное.  сделаем замену (2.7). Тогда

                       

Решив систему

                                 

                                 

найдем .

В результате получим однородное уравнение

                              ,

которое решаем подстановкой

                                                  или       

                                                       ,  

                                 

Получим дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

                                              

Разделив переменные, имеем

                            

Интегрируя, находим

                     

                     

         Подставляя вместо , получим

                                

Переходя к переменным x, y,  получим

                      

Пример 5. Решить уравнение

                               

Это уравнение нельзя решить подстановкой , так как в этом случае система уравнений служащая для определения h и k, неразрешима.

Это уравнение  можно привести к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой.

                         ,

Тогда  и уравнение  приводится к виду

                                      

или                                   

Решая это уравнение, получим

Окончательное решение исходного уравнения получим в виде

                    

или

                   .

Решение записано в виде неявной функции у от х.

Решить однородные дифференциальные уравнения первого порядка:

10.2.1.

10.2.2.

10.2.3.

10.2.4.

10.2.5.

10.2.6.

10.2.7.

10.2.8.

10.2.9.

10.2.10.

10.2.11.

10.2.12.

10.2.13.

10.2.14.

10.2.15.

10.2.16.

10.2.17.

10.2.18.

10.2.19.

10.2.20.  

10.2.21.

10.2.22.  

10.2.23.

10.2.24.  

10.2.25.

10.2.26.  

10.2.27.  

10.2.28.

10.2.29.

Решить уравнения:

10.2.30.                                     10.2.31.

10.2.32.                                    10.2.33.

10.2.34.                                     10.2.35.

10.2.36.                                 10.2.37.

10.2.38.                                10.2.39.

§3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

Уравнение вида

                                                                 (3.1)

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка, где p(x) и g(x) заданные непрерывные функции.

Решение уравнения (3.1) будем искать в виде произведения двух функции

                                                                     (3.2)

Дифференцируя обе части (3.2) найдем

                                                                       (3.3)

Подставив (3.2) и (3.3) в уравнение (3.1) получим

                          

или                                                         (3.4)

Выберем функции. v так, чтобы

                                                                    (3.5)

Интегрируя это уравнение, найдём

                                                                         (3.6)

Подставляя найденную функцию v в уравнение (4.4), получим

                                

отсюда найдём                                                 (3.7)

Тогда общее решение  уравнения  (3.1), с учетом (3.6) и (3.7) будет иметь вид:

                                        (3.8)

Уравнение вида          

                                                            (3.9)

где p(x) и g(x) заданные непрерывные функции, , (в частном случае p(x) и g(x) могут быть постоянными) называется уравнением Бернулли.

С помощью подстановки

                                                                              (3.10)

уравнение Бернулли можно свести к линейному уравнению вида (3.1).

разделим уравнение (3.9) на , тогда  это уравнение  примет вид

                                                             (3.11)

Учитывая, что                                            (3.12)

найдем                                                        (3.13)

Пример 1. Решить уравнение

                                       .

Решение. Полагая  , тогда  .

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим

                         

                                               (3.14)

Для определения    будем полагать

                                

Отсюда                          .

Подставив значение  в уравнение (3.14), получим

                            

Или                        

Откуда получим     .

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

                       .

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

                                           .

Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли, для которого . Разделим обе части данного уравнения на , получим

                                          

Сделаем подстановку     , тогда   .

Подставим эти выражения в данное уравнение

                           или               .

Это уравнение является линейным уравнением.

Здесь  , тогда общее решение уравнения будет иметь вид

                               

Или                  .

Возвращаясь к переменной у получим общее решение исходного уравнения

                                или      .

В следующих задачах решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:

10.3.1.                                 10.3.2.

10.3.3.                         10.3.4.

        10.3.5                    10.3.6.

10.3.7.                              10.3.8.

10.3.9.                             10.3.10.

10.3.11.                          10.3.12.

10.3.13.                      10.3.14.

10.3.15.                    10.3.16.

10.3.17.         10.3.18.

10.3.19.

10.3.20.  

10.3.21.                              10.3.22.

10.3.23.                    10.3.24.

10.3.25.                          10.3.26.  

10.3.27.                         10.3.28.

10.3.29.                            10.3.30.

В следующих задачах проинтегрировать уравнения Бернулли

10.3.31.                               10.3.32.  

10.3.33.        10.3.34.  

10.3.35.                           10.3.36.  

10.3.37.                             10.3.38.

10.3.39.                       10.3.40.

                                       

В следующих задачах найти частные решения, удовлетворяющие указанному условию:

10.3.41.

10.3.42.  

10.3.43.  

         10.3.44.

10.3.45.

        10.3.46.

10.3.47.  

10.3.48.  

10.3.49.

10.3.50.

                                                

§4.  Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение вида

                                                                 (4.1)

называется уравнением в полных дифференциалах , если левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции U, т.е.

                                                             (4.2)     

Общий интеграл этого уравнения определяется формулой:

                                          U= C                                           (4.3)

Так, как

                                           ,                            (4.4)

то из равенств (4.2) и (4.4) получим уравнения:

                               ,                            (4.5)

с помощью  которых определяется функция U.

Необходимое и достаточное условие того, что уравнение (4.1) является уравнением в полных дифференциалах,  выражается равенством

                                                       (4.6)

Используя равенства (4.5) и (4.6) можно найти

                 U                          (4.7)

Общий интеграл уравнения (4.1) получим в виде

                                                             (4.8)

Пример 1.  Решить дифференциальное уравнение

                                   .

Проверим, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах. Здесь

                  

Тогда          .

Условие (4.6)    для выполняется. Следовательно, левая часть данного уравнения есть полный дифференциал некоторой неизвестной функции. Для нахождения  этой функции используем формулу  (4.8):

                                

Отсюда              или     

Это есть общий интеграл данного уравнения.

В формуле (4.8)   выбор нижних границ интегрирования произволен и их единственным ограничением является то, что интегралы левой части этой формулы должны иметь смысл..

Если левая часть уравнения (4.1) не является полным дифференциалом

некоторой функции, то в некоторых случаях можно привести рассматриваемое уравнение к уравнению в полных дифференциалах умножением его на интегрирующий множитель  .

Если интегрирующий множитель зависит только от  ,то он находится по формуле

                                                                    (4.9)

где                  должно являться только  функцией от.

Аналогично, интегрирующий множитель зависящий только от , определяется по формуле

                                    (4.10)

где                      является функцией только от.   

Отсутствие  в (4.9)  переменной,   а в (4.10)  от отсутствие переменной  является признаком существования интегрирующего множителя.

 Пример 2. Проинтегрировать дифференциальное уравнение.

                               

Здесь М, N                                      

                и   

где видно, что данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, т.е

                                       

Но               

поэтому данное уравнение имеет интегрирующий множитель (4.9)

                                     =

Умножив обе части указанного уравнения на интегрирующий множитель   , получим уравнение в полных дифференциалах

              

Для решения этого уравнения используем формулу

                   

                                              

Окончательно               .

В следующих задачах решить дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

10.4.1.  

10.4.2.  +=0

10.4.3.

10.4.4.

10.4.5.

10.4.6.  +=0

10.4.7.

10.4.8.

10.4.9.  

10.4.10.  

10.4.11.

10.4.12.

10.4.13.

10.4.14.  

10.4.15.  

10.4.16.

10.4.17.  

10.4.18.

109.4.19.  

10.4.20.

10.4.21.  

10.4.20.

10.4.21.  

10.4.22.  

10.4.23.

10.4.24.

10.4.25.  

10.4.26.  

10.4.27.  

10.4.28.

10.4.29.

109.4.30.

Решить дифференциальные уравнения, имеющие интегрируемым множителем  или:

10.4.31.  

10.4.32.

10.4.33.

10.4.34.

10.4.35.

10.4.36.

10.4.37.

10.4.38.

10.4.39.

10.4.40.

§5.  Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнения вида:

                           

или, если его можно разделить относительно старшей производной

                                

Решением уравнения n-го порядка является всякая n раз дифференцируемая функция y = y(x), которая обращает это уравнение в тождество.

Задача Коши для уравнения n-го порядка состоит в том, чтобы найти такое решение, которое удовлетворяет условиям  при , где   - заданные числа, которые называются начальными функциями или начальными условиями.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция:

                            

зависящая от n произвольных постоянных  и такая, что:

1) она удовлетворяет уравнение при любых значениях постоянных

2)  при заданных начальных условиях

                                     

                                     

                                     ………....

                                     

постоянные  можно подобрать так, что функция  будет удовлетворять этим условиям.

Всякая функция, полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных  называется частным решением.

Интегрирование дифференциальных уравнений n-го порядка в каноническом виде удаётся произвести в некоторых частных случаях.

Простейшими уравнением n-го порядка является уравнение вида:

                                                                         (5.1)

Решение такого уравнения находится n-кратным интегрированием, а именно:

                   (5.2)

                                             n раз

Пример 1: Найти общее решение уравнения :

                                          

         Решение. Интегрируя один раз получим:

                                  

Далее получим:

                            

Окончательно:

                     

Решить дифференциальные уравнения:

10.5.1.                                       10.5.2.                     

10.5.3.                                    10.5.4.               

10.5.5.                                      10.5.6.

10.5.7.

10.5.8.  

10.5.9.                                 10.5.10.      

10.5.11.      

10.5.12.                             10.5.13.         

10.5.14.                                10.5.15.   

10.5.16.  

10.5.17.  

   10.5.18.    

10.5.19.    

         10.5.20.  

§6. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понятие порядка

1. Уравнение вида:

                                                                                  (6.1)

не содержит явным образом искомой функции.

Для решения этого уравнения можно понизить порядок. Обозначим                                           

                                            тогда                      (6.2)

Подставим эти выражения в уравнение (6.1) получим уравнение первого порядка:

                                                                           (6.3)

Проинтегрировав это уравнение получим:

                                                                 (6.4)

Затем из первой формулы (6.2) получим  общий интеграл (6.1)

                                          

Пример 1: Решить дифференциальное уравнение

                                             

Решение.  ,,  тогда из данного уравнения второго порядка получим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

                                        или                 

Откуда

                                    

тогда

                                        

Так как  , то

2. Уравнение вида:

                                                                        (6.5)

не содержит явным образом независимую переменную х

Для его решения снова положим:

                                                                                 (6.6)

Но теперь мы будем считать p функцией от у. Тогда

                                                (6.7)

Подставляя в уравнение (6.5) выражения (6.6) и (6.7) получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции p(y)

                                                                      (6.8)

Подставляя это значение в (6.6) получим:

                                          

Разделяя переменные,  находим

                                             

Интегрируя это уравнение,  получим общий интеграл исходного уравнения:

                                        

Пример 2:  Решить уравнение: .

Решение. Сделаем замену ,    

                                 или                   

Интегрируя это выражение,  получим

                               

                             

                                        

Возвращаясь к переменной y, получим

или            

    

Отсюда

                          .

Решить уравнения:

10.6.1.                    10.6.2.    

10.6.3.                          10.6.4.    

10.6.5.                                   10.6.6.     

10.6.7.                   10.6.8.     

10.6.9.                             10.6.10.  

10.6.11.                      10.6.12.     

10.6.13.                       10.6.14.     

10.6.15.                                10.6.16.     

10.6.17.                                10.6.18.     

10.6.19.                          10.6.20.     

10.6.21.                              10.6.22.      

10.6.23.                         10.6.24.      

10.6.25.                                   10.6.26.     

10.6.27.                               10.6.28.      

10.6.29.                     10.6.30.    

 

Для следующих уравнений решить задачу Коши

10.6.31.     

10.6.32.     

10.6.33.     

10.6.34.   

10.6.35.      

§7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида:

                                                                       (7.1)

где a, b, c постоянные ,  называются дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если , то уравнение называется линейным неоднородным, если же , то уравнение (7.1) называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами (или уравнениями без правой части).

                                      

Это уравнение можно привести к виду

                                                                   (7.2)

Теорема. Если  и  два линейно названных решения уравнения (7.2), то                                                                         (7.3)

есть его частные решения, где  и  - постоянные.

Частные решения уравнения (7.3) будем искать в виде

                                       ,             где              (7.4)

          Тогда                         (7.5)

Подставляя (7.4) и (7.5) в уравнение (7.2) получим

                            

Так как , то

                                                                                   (7.6)

Уравнение (7.6) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (7.2).

Характеристическое уравнение имеет 2 корня

                               

Возможный следующие три случая :

1)  и  действительные и различные числа           ().

В этом случае.Эти решения линейно независимы т.к                                .

Поэтому общее решение уравнения (7.2) имеет вид:

                         .                                           (7.7)

2)   и  – комплексные числа.

         Так как комплексные корни входят попарно сопряженные, то обозначим

                                      

где                    

           Частные решения имеют вид

                                

Или        

           Решениями являются комплексные функции. Можно доказать, что действительная и минимальное части являются также решением уравнения, тогда можно принять

                          

 - линейно            независимые          функции, поэтому общее решение

уравнения      (7.2) имеет вид

                                                    (7.8)

3)   и – действительные равные  числа, в этом случае .

Одно частное решение  . Нужной найти второе частное решение линейно независимое с первым.

Будем искать второе частное решение вида:

                                                   ,

где    - неизвестная функция, которую следует определить.

                                   

                      

Подставляя эти выражения в уравнение (7.2) получим

                                          

          Здесь , так как  корень характеристического уравнения,   (по теореме Виета ).

Поэтому для определения  надо решить уравнение  , интегрируя которое получим . Приняв , получим .      

Таким образом второе частное решение можно взять в виде .

Это решение линейно независимо с первым, т.к. .

Поэтому общим решением в этом случае будет функция.

                                                                 (7.8)

Пример 1. Дано уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид .

Находим корни характеристического уравнения:  . Общее решение имеет вид:

                                            .

Пример 2.  Решить дифференциальное уравнение   .

Решение. Составим характеристическое уравнение
                                                   .         

его корни . Следовательно, общее решение имеет вид                     

                                         .

Пример 3. Дано уравнение .

Решение. Напишем характеристическое уравнение
                                                    .
   

Его корни .Общее решение имеет вид

                                       .

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение .

        Решение. Характеристические уравнение имеет вид
                                               .
 

Корни характеристического уравнения. Общее решение имеет вид            

                                         .

В следующих задачах найти общее решение дифференциального уравнения.

10.7.1.  .

10.7.2.  .

10.7.3. .

10.7.4. .

10.7.5.  .

10.7.6.  .

10.7.7. .

10.7.8.  .

10.7.9.  .

10.7.10.  .

10.7.11.  .

10.7.12. .

10.7.13. .

10.7.14.  .

10.7.15.  .                                 10.7.16. .

10.7.17.  .                         10.7.18.  .

10.7.19.  .                          10.7.20.  .

10.7.21.  .                                 10.7.22. .

10.7.23.  .                               10.7.24. .

10.7.25.  .                      10.7.26. .

10.7.27. .                          10.7.28. .

10.7.29.                                    10.7.30. .

§8. Линейные однородные уравнения n-ного порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида

                                                           (8.1)

где  - постоянные, называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-ного порядка с постоянными коэффициентами.

Определение 1. Если для всех x в отрезке [a,b] выполняется равенство.

                         ,

то говорят, что   выражается линейно через функции ,  где  - постоянные числа, среди которых хотя бы одно не равно 0.

Определение 2. Функции  называются линейно независимыми, если никакая из этих выражений линейно не выражается через остальные.

Пример 1.линейно независимые функции, т.к. ни одна из них линейно не выражается через другие.

Здесь - различные числа.

Теорема. Если - являются частными линейно независимыми решениями уравнения (8.1), то его общим решением является функция

                                                               (8.2)

где  - произвольные постоянные.

Если коэффициенты    уравнения (8.1) постоянные, то его решение находится в виде.

                                                                                          (8.3)

Составим характеристическое уравнение

                       

Находим корни характеристического уравнения

                                  

По характеру корней высчитываем частные линейно независимые решения, при этом руководствуясь следующим :

а) конкретному действительному однократному корню  соответствует частное решение .

б) каждой паре комплексных сопряженных однократных корней  

                                 

 cсоответствует два частных решения                                            

                                

в) каждому действительному корню   кратности  соответствует  линейно независимых частных решений

                        .

г) каждой паре комплексных сопряженных корней кратности , соответствует частных решений.

                                

                                

Этих частных решений будет ровно столько, какова степень характеристического уравнения

Пример 2. Найти общее решение уравнения  .

Решение. Составим характеристическое уравнение.

                                   .   

Поскольку

                
                          =

                =

Корни характеристического уравнения будут действительными и различными

                         .

которым соответствуют линейно независимые частные решения.

                     

Тогда на основании (8.2) общее решение имеет вид                                      

                                                               

 

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение.

                                     .

Решение. Составим характеристическим уравнением
                                                  .
  

Так  как

                     . ,

то корни этого уравнения .

Частные решения   .

Общее решение имеет вид

             .

 

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

                             .

Решение. Составить характеристическое уравнение
                                         .
  

Корни                 .  

Тогда частные решения имеют вид

                        

Общее решение запишем в виде                        

                                                                   

или                         

 

Пример 5.   Решить дифференциальное уравнение

                        

Решение. Составим характеристическое уравнения
                                        .
  

Так как            .  

             .

Трехкратным мнимым сопряженным корням соответствуют линейно независимые решения:

                  

                 .

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид                         

 

Или  

             

В следующих задачах найти общие решения однородного дифференциального уравнения.

10.8.1.                          10.8.2.

10.8.3.                       10.8.4.

10.8.5.                        10.8.6. 

10.8.7.                   10.8.8. 

10.8.9.                      10.8.10. 

10.8.11.                                  10.8.12. 

10.8.13.                          10.8.14.

10.8.15.                    10.8.16. 

10.8.17.                         10.8.18. 

        10.8.19.                      10.8.20.

        10.8.21.                              10.8.22.

10.8.23.                  10.8.24.

10.8.25.                        10.8.26. 

10.8.27.                                  10.8.28. 

10.8.29.                           10.8.30. 

§9. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Пусть дано неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

                                                             (9.1)

Структура общего решения этого уравнения(9.1) определяется следующей теоремой, которая приводится без доказательства:

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения (9.1) равно сумме решения  однородного дифференциального уравнения

                                                                    (9.2)

и какого-нибудь частного решения   неоднородного уравнения   (9.1) т.е.

                                                                                 (9.3)

Укажем общий метод нахождения частных решений неоднородного уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных.

Общее решение уравнения (9.2)  имеет вид    (см. § 7)

                                                                       (9.4)

Будем искать частное решение (9.1) в виде (9.4), предполагая, что    и    являются неизвестным функциями от х.

Дифференцируем равенство  (9.4)

                             

Подберем    и   так, чтобы   

                                                                                      (9.5)

 тогда                                                                        (9.6)

Теперь дифференцируем это выражение  
                                   
                                 (9.7)

Подставляя (9.4), (9.6) и (9.7) в уравнение (9.1), получим

            или

              

выражения  ,     т.к.  и  являются частными решениями однородного уравнения .

 Следовательно получим еще одно условие для    и     

                                                                                  (9.8)

Таким образом функция     будет решением неоднородного уравнения (9.1), если для     и   будут выполняться условия

                                                                       (9.9)                            

Так как определитель этой системы не равен нулю, следовательно, решая систему, найдем  

                              

Тогда, интегрируя их, получим  

                        

Подставив найденные значения    и  в (9.4),  найдем общее решение данного неоднородного уравнения.

Пример 1. Найти общее решение  уравнения .

Решение . Найдем общее решение однородного уравнения .

Характеристическое уравнение имеет вид

                   

Значит        .

Отсюда     

Используем систему (9.9):

                                .

                                

                    

                               

Отсюда . Подставим эти значения в (9.4) и получим

                  

                  

                     .

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Найдем решение однородного уравнения .

                           ,

отсюда  .

Приняв за частные решения    составим дополнительные условия     (9.9)

                           

Отсюда             

                       

                            

Тогда общее решение  .Отсюда

                   

                     

Окончательно .

Решить методом вариации произвольных постоянных следующие уравнения

10.9.1.                             10.9.2.   

10.9.3.                10.9.4.

10.9.5.                10.9.6.    

10.9.7.                             10.9.8.     

10.9.9.             10.9.10.

§10. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть имеется уравнение.

                                                     (10.1)

где p и q - постоянные числа.

Общий метод нахождения решения неоднородного уравнения указан в § 9  (формула 9.3).

В случае уравнения с постоянными коэффициентами частное решение неоднородного уравнения можно найти не прибегая к интегрированию. Рассмотрим несколько таких возможностей для уравнения (10.1). Метод, который позволяет решить уравнение (10.1) называют методом неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов.

  1.  Пусть правая часть уравнения (10.1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен:

                                             (10.2)

где  -многочлен n-й степени.

Тогда возможны следующие случаи:

а) Число α не является корнем характеристического уравнения . В этом случае частное решение нужно искать в виде                          

                                        (10.3)

Подставив (10.3) в уравнение (10.1) получим

                          (10.4)

- многочлен n-й степени, - многочлен n-1-й степени, - многочлен n-2 степени . Таким образом слева и справа от знака равенства многочлен n-й степени .Приравняв  коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных получим столько  уравнений столько неизвестных коэффициентов у  многочлена , т.е. n+1 уравнение для определения

б) Число α является однородным корнем характеристического уравнения. В этом строя частное решение нужно искать в виде :

                                                                              (10.5)

в) Число α есть двукратный корень характеристического уравнения, тогда при подстановке в дифференциальное уравнение,  в левой части равенства  (10.4)  получим многочлен n-2  степени.

Так как   (т.Виета) и, потому число α -корень характеристического уравнения. Поэтому частное решение будет искать в виде:  

                                                                              (10.6)

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения .

Составим характеристическое уравнение

                       

Общее решение однородного уравнения имеет вид  

                             

Так как  в правой части  , то правую часть можно представить в виде , причем 0 не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение будем искать в виде

                       , где    

Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим

                       

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x, получим

                  

Откуда найдем   .

Следовательно  

Общее решение   получится  в виде

                

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение  .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения      .

 Поскольку характеристическое уравнение  имеет действительны корни , то общее решение однородного уравнения имеет вид

                             

Правая часть уравнения , здесь .

Так как  число 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид     

                                

Найдем производные

 

Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим
                              

                         

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим

                                 

Отсюда   .

Тогда          .

Общее решение уравнения имеет вид

                        .

Пример 3. Найти общее решения уравнения .

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

                      

Правая часть, где    и совпадает с одним корнем характеристического уравнения, т.е. является однократным корнем характеристического уравнения.

Следовательно, частное решение данного уравнения будем искать а виде     (10.5)

          или           

Отсюда

Или .

Подставим значение   в данное уравнении,  получим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x,  получим

Следовательно, частное решение   

Общее решение данного уравнения

                           .

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Найдем решения  однородного уравнения .

Здесь характеристическое уравнение имеет вид   .

Его корни  .

Общее решение однородного уравнения имеет вид

                             

         является двукратным корнем характеристического уравнения, значит частное решение уравнения имеет вид  

              

Откуда  .

Подставляя     в заданное дифференциальное уравнение, получим

                       

или         .

Следовательно   .

Общее решение уравнения имеет вид

                   

II.  Пусть правая часть уравнения (10.1) имеет вид

                                           (10.7)

где и  многочлены.

В этом случае, если   не является корнем характеристического уравнения, то частное решения  уравнения (10.1) следует искать в  виде

                                               (10.8)

где и  - многочлены, степень которых равна наивысшими степенями многочленов и .

Если     есть корень характеристического уравнения, то частное решение имеет вид

                                             (10.9)

Виды частных решений (10.8) и (10.9) сохраняются и в том случае, если один из многочленов и  равен нулю, то есть когда правая часть имеет вид

                   или            

Рассмотрим частный случай.

Пусть правая часть уравнения (10.1) имеет вид

                        ,

здесь A и B – постоянные числа.

Если   не является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде

                      ,

В случае когда     является корнем характеристического уравнения, то частное решение будет иметь вид

                      ,

здесь P и Q – постоянные числа.

Пример 5. Найти общий интеграл неоднородного уравнения.

                            

Решение. Корни характеристического уравнения  равны. Поэтому общий интеграл соответствующего однородного уравнения      является функция:

                     

Частное решение ищем в виде

                  ,

 

,

где P и Q – постоянные числа.

         Подставляя  в данное  уравнение, получим

                                и                

Откуда

Общее решение заданного уравнения имеет вид:

                 

Пример 6. Решить уравнение  .

Решение. Общее решение однородного уравнения
имеет вид .

Так как кони характеристического уравнения равны  , то частное решение ищем в виде:

,

,

Подставить эти выражения в данное уравнение, получим

                       

Отсюда

,   поэтому .

Общее решение имеет вид:

                       .

Пример 7.  Решить уравнение .

Решение.  Корни характеристического уравнения  равны . Тогда  

Следовательно частное решение будем искать в виде

или   

Находим производные

   

После подстановки в данное уравнение получим

Или             

Отсюда

Следовательно

Общее решение имеет вид

                  

В следующих задачах найти общее решение дифференциальных уравнений методом неопределенных коэффициентов:

         10.10.1.  

10.10.2.  

10.10.3.

10.10.4.  

10.10.5.  

10.10.6.

10.10.7.  

10.10.8.  

10.10.9.

10.10.10.  

10.10.11.   

10.10.12.   

10.10.13.   

10.10.14.

10.10.15.   

10.10.16.   

10.10.17.   

10.10.18.   

10.10.19.   

10.10.20.   

10.10.21.   

10.10.22.  

10.10.23.   

10.10.24.   

10.10.25.   

10.10.26.   

10.10.27.   

10.10.28.   

10.10.29.  

10.10.30.   

§ 11. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему уравнений первого порядка

                                                            (11.1)

Такая система уравнений , в левой части которых стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.

Число уравнений, входящих в систему (11.1) называется порядком системы.

Проинтегрировать систему – это значит определить функции , удовлетворяющие системе уравнений и начальным условиям

                              (11.2)

Одним из методов решения системы (11.1) является сведение её к решению одного дифференциального уравнения высшего порядка.

Для этого продифференцируем первое уравнение системы

       

Заменим производные  их выражениями из системы (11.1).

Получим дифференциальное уравнение

                       .

Дифференцируя полученное уравнение ещё раз и поступая аналогичным способом, получим

       

или       .


Итак, мы получаем  следующую систему:

                                                      (11.3)

Исключая из первых n-1 уравнений определим ,  выразив их через   и производные   :

                                                         (11.4)

  …………………….

Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (11.3), получим уравнение п-го порядка:

                                          (11.5)

Решая это уравнение, определим :

                                                              (11.6)

Дифференцируя  (11.6)  п-1 раз, найдем полные производные  как функции от   . Подставляя эти функции в уравнение (11.4) определим    :

                                                                      

                                                             (11.7)                           

              …………………..

             

Для того, чтобы решения удовлетворяли начальным условиям (11.2) нужно из уравнений (11.6) и (11.7) найти соответствующие значения      .     

Пример 1. Проинтегрировать систему уравнений  

                                                (1)

при начальных условиях                                  (2).

Решение. Дифференцируем первое уравнение по х:

                                                                      (3)

Подставив сюда выражения      из уравнений (1) получим:

                    

или                                                  (4)

Из первого уравнения данной системы найдем

                                                                    (5)

Подставим (5) в уравнение (4) и найдем

                         

или                                                            (6)

Решив это уравнение, получим

                                                             (7)

Продифференцируем  (7), подставим в (6) и получим

                                                  (8)

Учитывая начальные условия, получим систему

                         

Отсюда .

Таким образом, решение, удовлетворяющее начальным условиям имеет вид:

                

                

Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

                                                 (11.8)

Рассмотрим метод решения системы (11.8), позволяющий не сводить  к уравнению п –го порядка.

Этот метод дает возможность более наглядно анализировать характер решений.

Решение будем искать в виде

                                        (11.9)

Требуется определить постоянные     так, чтобы функции (11.9) удовлетворяли системе (11.8).

Подставляя (11.9) в систему (11.8), получим

              

Сократив на  и перенося все члены  в одну сторону, получим

                                         (11.10)

Составим определитель

                                              (11.11)

Если , то . Тогда решения будут равны нулю, т.е.

             .

Ненулевые решения получим только при таких к, при которых  определитель (11.11) обращается в нуль. В этом случае мы приходим к уравнению п-го порядка для определения  к:

                                              (11.12)

Уравнение (11.12) называется характеристическим уравнением для системы (11.8).

Пусть корни характеристического уравнения действительные и различные. Обозначим корни характеристического уравнения через . Тогда решение системы для каждого  будет иметь вид:

для :   ,

для :   ,

………………………………………………

для :   .

Непосредственной подстановкой  можно убедиться, что функции

                                      (11.13)

являются решениями системы (11.8), где - произвольные постоянные.

(11.13) – есть общее решение системы.

Пример 2. Найти общее решение системы    

               

Решение. Составим характеристическое уравнение:

                        

или                    .

Корнями этого уравнения являются   .

Определим ,  соответствующие для  . Для этого подставим в характеристическое уравнение и получим:

                     

Откуда найдем  и  выразив их через :

                        .

Задавая   получим   значения , соответствующие для .

Аналогично для  получим систему

                        

Выразив  и    через , получим:

                       

Задавая   получим   значения , соответствующие для .

При    .будем иметь систему

                        

Найдем ,.

Общее решение системы записываем в виде

                       

                       

                       

Найти общие решения системы:

10.11.1.                           10.11.2.            

10.11.3.                          10.11.4.    

10.11.5.      

10.11.6.                        10.11.7.         

10.11.8.          

10.11.9.        

10.11.10.        

Глава 11

Криволинейные и поверхностные  интегралы

§ 1. Криволинейные интегралы I и  II рода

Криволинейный интеграл I рода ( по длине дуги ).

Пусть функция  определена и непрерывна в точке дуги АВ гладкой кривой, имеющей уравнение . Разобьем дугу АВ произвольным образом на п  элементарных дуг точками , пусть  длина дуги . На  каждой  элементарной дуге выберем произвольную точку  и умножим значение  функции  в этой точке на длину  соответствующей дуги. Составим интегральную сумму

                                        .

Криволинейным интегралом I рода (криволинейным интегралом по длине дуги) называется предел интегральной суммы при условии, что :

                     .

Криволинейный интеграл I рода вычисляется по формуле

                  .

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями , то

             .

Основные свойства криволинейного интеграла I рода :

1. Криволинейный интеграл  I рода  не зависит от направления пути интегрирования

                          .

2.

3. ,    

4. Если  АВ = АС + СВ, то

   

Криволинейный интеграл II рода ( по координатам ).

Пусть функции  непрерывны в точках дуги АВ гладкой кривой, имеющей уравнение , где  .

Интегральной суммой для функций  по координатам называется сумма вида

                       ,

где   проекции элементарной дуги на оси ОХ и ОУ.

Криволинейным интегралом II рода ( по координатам )  от выражения  по направленной дуге АВ называется предел интегральной суммы при условии, что  и :

   

Основные свойства криволинейного интеграла II рода:

1.

2.

Остальные свойства аналогичны свойствам криволинейного интеграла I рода.

Криволинейный интеграл II рода  вычисляется по формуле:

           .

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями , то

.

Пример 1. Вычислить     вдоль   отрезка прямой АВ, где А (0; 0),В (4; 3).

Решение.  Уравнение прямой АВ имеет вид . Найдем , тогда

         .

Пример 2. Вычислить , если  .

Решение.  , тогда

.

Вычислить криволинейные интегралы I рода:

11.1.1. ,     где     АВ     отрезок   прямой   между точками А (0; 0), В (1;1).

11.1.2. ,  где АВ   отрезок дуги , соединяющей    точки А (1; 1) и .

11.1.3., где АВ – дуга синусоиды  .

11.1.4. , где АВ – дуга кривой  .

11.1.5. ,  где АВ верхняя часть окружности .

11.1.6. , где АВ дуга окружности ,   .

11.1.7. , где АВ дуга астроиды .

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по данной линии в указанном направлении:

11.1.8. ,  где АВ отрезок прямой между точками  А (1; 1), В (3; 4).

11.1.9. , где АВ дуга кривой .

11.1.10. , где АВ дуга кривой  .

11.1.11. , где АВ дуга кривой .

11.1.12. , где АВ дуга кривой .

11.1.13. , где АВ дуга эллипса  .

11.1.14. , где АВ дуга циклоиды .

§ 2. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула Грина

Пусть функции  непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в односвязной области D и L – ограничивающий эту область контур, тогда справедлива формула

            .

Эта формула называется формулой Грина.

Необходимым и достаточным условием независимости криволинейного интеграла  о пути интегрирования является выполнение в области D тождества

                                  .

При соблюдении указанного условия криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру L содержащемуся в области D равен нулю

                       .

Если выполняется условие   для подынтегрального выражения в криволинейном интеграле, то оно является полным дифференциалом функции , тогда

             .

Функцию ( первообразную) можем найти, вычисляя соответствующий криволинейный интеграл по ломанной , где  - произвольная фиксированная точка,  переменная точка, а  имеет координаты  и . Тогда вдоль       и , а вдоль  имеем .

В результате получим следующую формулу

           .

Аналогично, интегрируя по ломанной , где  получим

            .

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл второго рода  , где:

1) L – отрезок прямой от точки О (0;0) до точки В (1;1);

2) L – дуга параболы  от точки О(0;0) до точки В (1;1);

3)  L – ломанная ОАВ, где О (0;0),  А (1;0), В (1;1);

4)  L – дуга линии  от точки О (0;0) до точки В (1;1).

Решение. 1) уравнение прямой ОВ имеет вид у = х, поэтому в этом случае :

   

                          .

2) Во втором случае данный интеграл равен сумме двух интегралов, первый из них берется вдоль ОА, здесь :

       .

Второй интеграл берется вдоль АВ, где  :

       .

Следовательно

       .

3) . Поэтому

   .

4) В последнем случае . Следовательно

                            .

Во всех рассматриваемых случаях значения криволинейного интеграла одно и то же. В данном примере  подынтегральное выражение является полным  дифференциалом некоторой функции, так как

                           .

Поэтому значение криволинейного интеграла не зависит от пути интегрирования.

Пример 2. Применяя формулу Грина, вычислить , где замкнутый контур ограничен дугой параболы  и отрезком прямой между точками О (0,0) и В (1,1).

Решение. В данном примере

                             .

Тогда                      .

           .

Пример 3. Найти первообразную функцию , если

                             .

Решение. Здесь    .

В качестве точки  возьмем точку, где  , тогда

          .

Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути интегрирования:

11.2.1. .

11.2.2. .

11.2.3. .

Вычислить криволинейный интеграл, предварительно определив функцию , соответствующим полным дифференциалом которой является подынтегральное выражение:

11.2.4. , где А (-1,-1),   В (1,1).

11.2.5. , где А (0,1),   В (1,2).

11.2.6. , где А (0,2),   В (1,3).

11.2.7. , где А (0,0),   В (1,1).

11.2.8. , где А (0,2),   В (3,1).

§ 3. Вычисление площади

Площадь S фигуры, расположенной на плоскости ХОУ и ограниченной линией L находится по формуле

                                            

Контур интегрирования обходят так, что ограниченная им область  остается слева (положительное направление).

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (имеется в виду площадь, примыкающая к началу координат).

                                   у

                                               В

                                          

                                                            А

  1.  х

Решение. Решая совместно уравнения  и  найдем . Следовательно

                  .

Вдоль   ОА:  .

Вдоль АВ: .

Вдоль ВО: .

Тогда      

                              (кв.ед.)

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой .

Решение. Используем формулу

                                      ,

где  .

Следовательно

.

11.3.1. Вычислить площадь, ограниченную параболами .

11.3.2. вычислить площадь, ограниченную эллипсом .

11.3.3. Вычислить   площадь   четырехугольника    с   вершинами А (5,2),  В (4,5),С (2,6),  D(-1,1).

11.3.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченную контуром ОАВС, если О (0,0),  А (0,4),  В (1,3),    С (-1,2).

11.3.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией  (циклоида).

§ 4. Поверхностные интегралы

Пусть  - непрерывная функция и  - гладкая поверхность S, где   задана в некоторой области D плоскости ХОУ.

Поверхностным интегралом  I рода называется предел интегральной суммы при условии, что :

                   .

где   - площадь i-того элемента поверхности S, точка  принадлежит этому элементу, di – диаметр этого элемента,  определена в каждой точке поверхности S.

Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны  поверхности S, по которой производится интегрирование.

Если проекция D поверхности S на плоскость ХОУ однозначна, то соответствующий поверхностный интеграл I рода вычисляется по формуле

           .

Если - непрерывные функции и  - сторона гладкой поверхности S, характеризуемая направлением нормали  , то соответствующий поверхностный интеграл II рода выражается формулой

         .

При переходе  на другую сторону  поверхности этот интеграл меняет свой знак на противоположный.

Если поверхность S задана уравнением в неявном виде , то направляющие косинусы нормали этой поверхности определяются формулами:

                   

                   

                  

Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл I рода  , где S –часть конической поверхности , заключенной между плоскостями  и .

Решение.  

.

Тогда поверхностный интеграл преобразуется в двойной интеграл

                         .

Областью интегрирования D является круг . Переходя к полярным координатам,  получим

Пример 2. Вычислить поверхностный интеграл II рода  , где  S внешняя сторона эллипсоида  .

Решение. Разобьем данный поверхностный интеграл по координатам общего вида на три слагаемых интеграла

                  .

, где  - проекция S на плоскость ХОУ часть эллипса . Интеграл  равен четвертой части эллипса с полуосями , тогда

                      .

, где  - часть круга .

Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам

.

, где   - часть эллипса  , .

Тогда  

              .

Следовательно

                       .

Вычислить поверхностные интегралы  первого рода:

11.4.1 , где S - часть  поверхности , ограниченная плоскостями .

11.4.2. , где S – поверхность , ограниченная плоскостями .

11.4.3. , где S – часть поверхности , ограниченная плоскостями .

11.4.4. , где S  - полусфера  .

11.4.5. , где S – часть поверхности , вырезанная цилиндром .

Вычислить поверхностные интегралы второго рода:

11.4.6. , где S -  внутренняя сторона  куба, ограниченного плоскостями  

11.4.7. , где S – верхняя сторона части поверхности , ограниченная плоскостями

11.4.8. , где  S – внутренняя сторона части поверхности , отсеченная плоскостями

11.4.9. , где S – внешняя сторона части поверхности , ограниченная плоскостями .

11.4.10. , где S – внешняя сторона части полусферы , вырезанной конусом .

-

Глава 12

Ряды

§ 1. Числовые ряды

             Пусть дана бесконечная числовая последовательность  

                                                                                     (1.1)

Числовая последовательность считается заданной, если известен закон, по которому можно вычислить любой ее член, т.е.

Выражение                                            (1.2)

называется числовым рядом, а числа                    называются членами ряда.   

   называется общим членом. 

Для краткости ряд часто записывают  в виде

                                       

  Сумму первых       членов называют частичной суммой ряда:

                           

         Если существует конечный предел     

то         называется суммой ряда.

         Если частичная сумма      ряда  (1.2)  при        имеет конечный предел, то ряд называется сходящимся, если  при    не стремится к конечному пределу, то ряд называется расходящимися.

        Рассмотрим ряд                                (1.3)

Это геометрическая прогрессия с первым числом               и знаменателем

Сумма первых членов геометрической прогрессии

                            или    

        1)  Если          ,  то        при    , следовательно

                         

Значит при         ряд  (1.3) сходится  и      

       2) Если      , то        при      ,   тогда

                      

Следовательно ряд (1.3) расходится.

      3) Если        , то         и        ,      ряд расходится.

      4) Если      , то ряд  (1.3)  имеет вид  

     В этом случае              

Следовательно, частичная сумма     не имеет предела – ряд расходится.

Таким образом, геометрическая прогрессия сходится только тогда, когда знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы и сумма ряда в этом случае

                                     

         Приведем основные признаки о сходящихся числовых рядах :

         1.  Если сходится ряд, получившийся из данных ряда  (1.2)   отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд.

         2.   Если сходится   данный ряд, то сходится и ряд,  получившийся из данного отбрасыванием нескольких членов.   Иными словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа ее членов.

         3.     Если ряд сходится ряд     , и его сумма равна , то будет сходиться и ряд ,  и сумма  его будет равна  .

         4.     Если сходятся  ряды

                     ,                 

имеющие соответственно суммы  ,  то сходятся и ряды

                            

причем их суммы равны    

          5.   Если ряд       сходится , то его  -й  член стремится к нулю при неограниченном возрастании     (),   т.е.            

                                     .

            Следствие.    Если   ,  то ряд  расходится.  

          Пример.  Ряд                расходится,  т.к.

                                     .

          Подчеркнем, что приведенный  признак является только необходимым, но не является достаточным, т.е. из того, что -й  член стремится к нулю, еще не следует, что ряд сходится, ряд может и расходится.

         Например, так называемый гармонический ряд

                                         

расходится, хотя     

              Приведем достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.  

              Первый признак сравнения.   Пусть даны два ряда  

                                                      (1.4)

                                                       (1.5)

Причем :   1)   Если     и   ряд  (1.5)  сходится, то сходится  и ряд  (1.4).

2)  Если   и   ряд  (1.5) расходится, то расходится  и ряд  (1.4).

             Второй признак сравнения.     Если существует конечный не равный нулю предел   ,   то оба ряда      одновременно сходятся или одновременно расходятся.

            Признак Даламбера.   Если для ряда     

существует предел     ,     то :

          1)  ряд сходится,   если  ;

          2)  ряд расходится,   если  ;

В случае , если   вопрос о сходимости и расходимости с помощью признака Даламбера не решается.

          Признак Коши.   Если для ряда  

существует       ,  то:  

         1)  ряд сходится, если     ;

         2)  ряд расходится,   если  ;

         Интегральный признак.  Пусть члены ряда   

положительны и не возрастают,  т.е.         и  пусть  

-  непрерывная , положительна и монотонно убывающая функция, что

                         

то ряд:   

           1) сходится, если сходится несобственный интеграл    ;

          2)  расходится, если расходится несобственный интеграл    .

          Пример 1.  Записать первые шесть членов ряда, общий член которого задан формулой       .

          Решение:   при          при   

при        при         при   

при   .

          Следовательно,  

                                 

         Пример 2.   Найти формулу для общего члена ряда:

                                    

считая, что каждый последующий член ряда получается по тому же закону, по которому образованы записанные члены.

         Решение :  Каждый член данного ряда представляет собой дробь, числитель которого равен единице, а знаменатель есть произведение двух последовательных чисел натурального ряда : первое из них четное - ,  другое нечетное - . Так как знаки членов чередуются и первый член положителен, то для того, чтобы получить искомую формулу, нужно еще добавить множитель   ,  тогда

                                .

         Пример 3.  Найти сумму ряда :     

         Решение :  Общий член ряда:       ,   так как

                                          

то       ,     ,      

следовательно,

      

           .

         Так как  

то ряд сходится и сумма ряда   

           Пример 4. Найти сумму ряда   

           Решение : Члены ряда образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем     т.е.    и  сумма определяется по формуле

                                  .

         Пример 5.  Исследовать сходимость ряда :

                                      

         Решение :  Общий член ряда:      ,    так как  

                              

Предел общего члена не равен нулю, значит ряд расходится (не выполняется необходимое условие сходимости ряда).

         Пример 6.  Исследовать сходимость ряда :

                                      

         Решение :  Здесь  .   Сравним ряд с гармоническим рядом, для  которого  .

                                 .

Следовательно,  данный ряд расходится.

          Пример 7.   Исследовать сходимость ряда :

                             

          Решение :   Здесь       

   ;             

Тогда  .

Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

         Пример 8.  Исследовать сходимость ряда :

                                        

          Решение :  Общий член ряда определяется по формуле :    

                                                 .

Для этого ряда удобно применить признак Коши, так как  

                  .

Следовательно,  ряд сходится.

         Пример 9.  Исследовать сходимость ряда :

                             

         Решение : Применим интегральный признак Коши.  

Здесь       ,  то  

                  .

Интеграл расходится, поэтому и данный ряд расходится.

              В следующих задачах записать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

                                      

                                       

                                    

   В следующих задачах составить формулы общих членов рядов:

     

     

     

     

     

     

          Найти суммы рядов:

   

  

  

  

 

 

         Исследовать сходимость рядов с помощью признаков сравнения:

 

 

 

         Исследовать сходимость рядов с помощью признака Даламбера:

  

     Исследовать сходимость рядов с помощью интегрального признака :

;                                             ;

;                                                 ;

;

                               Исследовать сходимость рядов:

                    § 2.    Знакочередующиеся  ряды.

          Рассмотрим знакопеременные ряды. Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным.  

          Знакопеременный  ряд

                                                                            (2.1)

сходится, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. ряд

                                                                                     (2.2)    

В этом случае ряд (2.1) называется абсолютно сходящимся. Если знакопеременный ряд  (2.1) сходится, а ряд  (2.2) , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный ряд (2.1) называется условно (неабсолютно) сходящимся. Сумму условно сходящегося ряда путем перестановки его членов можно сделать равной любому данному члену.

       Рассмотрим ряд у которого любые два соседних члена имеют разные знаки, т.е. ряд      

                                                                              (2.3)

где  , называется знакочередующимся.

      Теорема Лейбница.    Если в знакочередующимся ряде

        ,                          

члены таковы, что                  

и       то знакочередующийся ряд  (2.4)  сходится, сумма его положительна и не превосходит первого члена.

        Суммой рядов  

                                                                        (2.4)

                                                                         (2.5)

называется ряд

                                              (2.6)

Аналогично определяется разность рядов .

        Произведением рядов  (2.4)  и  (2.5)  называется ряд

                                                                  (2.7)  

где                                                     (2.8)

              Ряд (2.6) сходится, если сходится оба ряда (2.4) и (2.5) ; его сумма равна сумме данных  рядов.

              Если ряды  (2.4) и (2.5)  сходятся абсолютно, то ряд  (2.7)  также сходится абсолютно и его сумма   , где   - суммы рядов (2.4) и (2.5) соответственно.

             Пример 10.  Исследовать, сходится ли знакопеременный ряд

                                

            Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

                         

Последний ряд сходится как геометрический ряд со знаменателем  .

Следовательно, данный ряд также сходится и он является абсолютно сходящимся рядом.

          Пример 11.  Исследовать сходимость ряда :

                    

          Решение.  Данный ряд сходится на основании теоремы Лейбница. Составим знакоположительный ряд                  

По признаку Даламбера            ,

          Ряд составленный из абсолютных величин также сходится. Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

           Пример 12.  Исследовать сходимость ряда :

                                           

          Решение.  По теореме Лейбница данный ряд сходится. Рассмотрим ряд составленный из абсолютных величин этого ряда

 

              

Применим интегральный признак :

   .

Ряд составленный из модулей членов данного ряда расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно.

     В следующих задачах исследовать сходимость рядов:

                          § 3.  Функциональные ряды.

 

            Определение.  Функциональным рядом называется выражение вида

                                                                   (3.1)

где    - заданная последовательность функций.

             Функциональный ряд задан, если известен его общий член                    

                                                  .

            При каждом фиксированном значении   функциональный ряд  (3.1) становится числовым рядом:

                                                              (3.2)        

            Если ряд  (3.2)  сходится, то значение аргумента  называется точкой сходимости ряда  (3.1). Областью сходимости функционального ряда  (3.1)  называется совокупность всех точек сходимости этого ряда, а суммой ряда – функция

                                   

            Функция   называется суммой остатка ряда   (3.1).

            Если ряд  (3.2)  расходится, то значение аргумента  называется точкой расходимости ряда  (3.1).   

            Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на промежутке, если для любого числа  существует такой номер , не зависящий от , что при  для всех  из данного промежутка выполняется неравенство  , где  - сумма остатка ряда.

              Признак Вейерштрасса.  Функциональный ряд (3.1) сходится абсолютно и равномерно на некотором промежутке, если существует сходящимся ряд с положительными членами

                                                                      (3.3)

такой, что      для всех    из данной области .

             Ряд  (3.3)  в этом случае называется мажорантным  для ряда  (3.1).

Сформулируем две теоремы, относящиеся  к интегрированию и дифференцированию функциональных рядов.

         1. Если ряд  , где    - непрерывные функции, равномерно сходится  в некоторой области    и имеет сумму  , то ряд  

                     

сходится и имеет сумму  (промежуток  .

          2.  Пусть функции   определены в некоторой области  и имеет в этой области производные  

Если в этой области ряд    сходится равномерно, то его сумма равна производной от суммы первоначального ряда.

           То есть, если        

то   

           Пример 1.  Показать, что ряд  

                      

сходится  равномерно для всех  .

            Решение. Данный ряд сходится при любом значении    по признаку Лейбница, поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства

                                т.е.    

Так как неравенства      равносильны, то, взяв   , где - какое-нибудь целое положительное число, удовлетворяющее условию

              приходим к неравенству  

                      

Итак, данный ряд сходится равномерно в промежутке  .

           Пример 2.   Показать, что ряд   

сходится равномерно в интервале   .

           Решение.  В указанном интервале ряд сходится  как  бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

          Здесь       т.к.      

Но  ,  следовательно,  приняв  , мы не сможем добиться выполнения неравенства   при любом значении  . Итак ряд

                          

сходится равномерно.

             Пример 3.  Дан функциональный ряд  

                   

исследовать сходимость ряда в точках  

              Решение. В точке    получим ряд  

                                  

Здесь  .        Применяем признак Даламбера:

       

 ряд в точке    расходится.

В точке  получаем ряд   

По признаку Даламбера:

             

т.е.  при  ряд сходится.

            Пример 4.  С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд

                                       

сходится равномерно в промежутке  .

            Решение.  Так как     и   ряд       сходится, то данный ряд сходится равномерно при любых значениях   .

           Пример 5.  Найти область сходимости ряда  

                                    

          Решение. Считая  фиксированным, применим признак Даламбера:

             

          

Найдем  

По признаку Даламбера ряд сходится, если  

Это неравенство равносильно неравенством   

Откуда при  получаем:  

Первое неравенство выполняется для всех  , второе для .   Значит ряд сходится при  .

               При   получим ряд:        который сходится – как знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница.

               При   данный функциональный ряд расходится.

Областью сходимости является промежуток  .

                  В следующих задачах найти область сходимости функционального ряда:

                              § 4.   Степенные ряды.

       Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

                                              (4.1)

где  - постоянные и называются коэффициентами ряда.

        При    степенной ряд примет вид

                                                          (4.2)

        Основное свойство степенных рядов состоит в том, что если степенной ряд сходится при  , то он сходится ( и притом абсолютно) при всяком значении   , удовлетворяющем неравенству:

                             (теорема Абеля).

          Из теоремы Абеля следует, что для всякого степенного ряда существует интервал сходимости    или    с центром в точке  , внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого он расходится. На концах интервала, т.е. в точках    ряд может как сходиться, так и расходиться.

       Число   -  называется радиусом сходимости степенного ряда. Если  , то степенной ряд сходится только при , если же , то ряд сходится на всей числовой оси.

      

         Для определения радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих формул.

        1. Если коэффициенты ряда   не равны нулю, т.е. ряд содержит все целые положительные степени разности  , то

                                                                                    (4.3)

при условии, что этот предел существует (конечный или бесконечный).

          2.  Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность в ряде показателей степеней разности    любая радиус сходимости можно находить по формуле:

                                                                                   (4.4)

          3.  Если исходный ряд имеет вид

                            

(где   - определенное положительное число:   2, 3, …), то

                                                                                (4.5)

            4.  Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применив непосредственно признаки Даламбера и Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда, т.е. если ряд записать в виде

                       

то интервал сходимости находят из неравенств

                                   или          

          Отметим следующее свойство степенных рядов: ряды полученное почленным дифференцированием и интегрированиям степенного ряда, имеют также интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.

           Таким образом, если    , то

                

где  .

           Пример 1. Исследовать сходимость степенного ряда  

                      

           Решение. Здесь  .  Найдем радиус сходимости                          

                                       .

Следовательно, ряд сходится для всех  , удовлетворяющих неравенству

                                                  .

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если , то подучим ряд:       и  при   сумма ряда  , ряд расходится.

            Если  , то ряд расходится так, как  .

Интервал сходимости  .

            Пример 2.  Исследовать сходимость ряда   

               

            Решение.  Здесь  .       ,

Следовательно, ряд сходится, если  ,   т.е.   .

На концах промежутка ряд расходится, поэтому интервалом сходимости является интервал  .

            Пример 3.  Исследовать сходимость ряда   

                         

            Решение.  Здесь  .

                          .

Ряд сходится только при    т.е. в точке  .

           Пример 4.  Исследовать сходимость ряда   

               

            Решение.  .    Поэтому применим формулу   (4.4)

                    

Интервал сходимости    .

Исследуем ряд на концах интервала:   при      получим

          

Здесь     .

    ,   следовательно при     ряд расходится.

Так же при    ряд будет расходится.  областью сходимости ряда будет интервал    .

               Пример 5.  Найти область сходимости ряда:

                           

               Решение.  Применим признак Даламбера, считая   - фиксированным

             .

При     или    ряд сходится . Это значит, что    -  радиус сходимости, а интервал сходимости  .  На концах этого интервала ряд сходится.  Следовательно, областью сходимости данного ряда является промежуток  .

              Пример 6.  Найти интервал сходимости ряда:

                        

              Решение.  Для определения радиуса сходимости исследуем формулу:

               .

Радиус сходимости  .   Интервал сходимости  .

               Пример 7.  Найти сумму ряда:   .

               Решение.  Данный ряд получим продифференцировав ряд  

                                 

Тогда  ,     

               Пример 8.  Найти сумму ряда:    

               Решение.  Интегрируя ряд от  0  до                                                             

получим:              

Этот ряд сходится в промежутке   .

           В следующих задачах найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

      

                Найти суммы рядов:

             Указание. Обозначив сумму ряда через , составить выражение    в виде суммируемого ряда.

            Указание. Составить выражение  .

              § 5.  Разложение функции в степенные ряды.

           Всякая функция бесконечно дифференцируемая в интервале  , т.е.   , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней бесконечный  степенной ряд Тейлора:  

                     (5.1)

если в этом интервале выполняется условие

                                                              (5.2)

где   - остаточный член формулы Тейлора,  .

      При     получим так называемый ряд Маклорена:

                                       (5.3)

Если в некотором интервале, содержащем точку    при любом   выполняется неравенство   , где  - положительная величина, то                                                                                              (5.4)

и функция разложима в ряд Тейлора.

            Приведем примеры разложения в ряд Тейлора некоторые функции.

            Пример 1.  Разложить в ряд функцию  .

            Решение.  Находим значение функции и ее производных при   .

                  

                  

                  

                  

                  

                  

                   

               Подставляя найденные значения функции и ее производных при   в формулу Маклорена получим:

                    

полученный ряд сходится для   .

              Аналогично расскладывают в ряд функции  :

                              

                    .                              

                    

                     

Все эти ряды сходится на всей числовой оси, т.е.   .

              Пример 2.  Разложить в ряд функцию   .

              Решение.  Продифференцируем функцию   раз.

                     

                            

                     

                   

                    

                   

                  

                  

            Найдем значения   .

Получим, что    

               

                 

при любом  , а  - величина ограниченная.  Следовательно, функцию  , можно представить в виде суммы ряда Тейлора:

              

           Задачу можно решить и иначе. В равенстве    заменяем   его разложением в степенной ряд:

               

           После несложных преобразовании получим найденное выше получим разложение.

            Функция вида   разлагается  в ряд Тейлора по формуле:

(5.5)

Такой ряд называется биномиальным.

           В частности, если   , то получим:     

При    получим ряд:

                       

При    имеем:

                         

            Применим биноминальный ряд к разложению других функции. Разложим в ряд Тейлора функцию      

Разложим в ряд функцию:

    

но  ,    следовательно

Этот ряд сходится при  .

Так как при  

              

           Разложим в ряд функцию:           

          

или                                      (5.6)

Это равенство справедливо в интервале  .

          Аналогично получим   

                                                                   (5.7)

который сходится в интервале      .

     

           Выведем формулу для вычисления натуральных логарифмов любых целых чисел. Так как при вычислении двух сходящихся рядов получается сходящийся ряд, то вычитая равенство  (5.7) из равенства  (5.6) находим

                     

            Полагая,      получим  .

При любом    имеем  , поэтому

             

           Откуда

    

При    получим  

              

            Для вычисления   с требуемой точностью надо подсчитать частичную сумму так сумма отброшенных  члена должна быть меньше допустимой погрешности (меньше требуемой точности)

        ,

             ,          и т.д.

         

           В следующих задачах с помощью биноминального ряда разложить в ряд Маклорена данную функцию.

12.5.1.                                 12.5.2.     

12.5.3.                               12.5.4.     

12.5.5.                               12.5.6.     

         В следующих задачах разложить функцию в ряды по степеням  .

12.5.7.                               12.5.8.     

12.5.9.                                  12.5.10.   

12.5.11.                           12.5.12.    

12.5.13.                          12.5.14.     

12.5.15.                            12.5.16.    ;

12.5.17.                  

( Указание     ).

12.5.18.                              12.5.19.   

12.5.20.   

       Написать первые четыре члена разложения в ряд по степеням    следующие функций.

12.5.21.                                   12.5.22.   

12.5.23.                          12.5.24.   

12.5.25.   

12.5.26.  Ограничившись  двумя членами биноминального ряда

               

вычислить    и оценить погрешность.

12.5.27.  Вычислить     с точностью до  0,0001.

12.5.28.  Вычислить     с точностью до  0,0001.

12.5.29.  Вычислить     с точностью до  0,0001.

12.5.30.  Вычислить     с точностью до  0,001.

            § 6.  Вычисление определенных интегралов с помощью рядов.

              Известно, что существуют определенные интегралы, которые, как функции верхнего предела не выражаются через элементарные функции.

Такие интегралы иногда бывает удобно вычислить с помощью рядов.

              Пример 1.  Требуется вычислить интеграл:      .

              Решение.  Для вычисления этого интеграла разложением  подынтегральную функцию в ряд

              

            Интегрируя обе части это равенства в пределах от  0  до   получим

                     

             С помощью этого равенство  данный интеграл всегда можно вычислить с требуемой точностью.

            Пример 2.  Вычислить интеграл:       .

            Решение.   Разложим функцию     в ряд  

                                 

Тогда     

Этот ряд сходится при всех значениях   . Интегрируя почленно получим

  

    

Последнее выражение позволяет вычислить интеграл  с требуемой  точностью при любом  .

             Пример 3.  Вычислить эллиптический интеграл:  

                      

             Решение.  Разложим подынтегральную функцию в биноминальный ряд, положив    .    Тогда

       

Этот ряд сходится при всех значениях    и  допускает почленное  интегрирование. Поэтому   

     

          При    получим:

                .

12.6.1.    Вычислить     с точностью до 0,0001.

12.6.2.    Вычислить     с точностью до 0,001.

12.6.3.    Вычислить     с точностью до 0,001.

12.6.4.    Вычислить     с точностью до 0,0001.

12.6.5.    Вычислить     с точностью до 0,001.

12.6.6.    Вычислить     с точностью до 0,0001.

12.6.7.    Вычислить     с точностью до 0,0001.

12.6.8.    Вычислить     с точностью до 0,0001.

12.6.9.    Вычислить     с точностью до 0,001.

12.6.10.   Вычислить     с точностью до 0,0001.

12.6.11.   Вычислить     с точностью до 0,01.

12.6.12.   Вычислить     с точностью до 0,001.

12.6.13.   Вычислить     с точностью до 0,001.

12.6.14.   Вычислить     с точностью до 0,001.

12.6.15.   Вычислить     с точностью до 0,0001.

12.6.16.   Вычислить     с точностью до 0,0001.

12.6.17.   Вычислить     с точностью до 0,001.

       § 7.  Интегрирование дифференциального уравнении с помощью    

                                                     рядов.

          Если интегрирование дифференциального уравнения не сводится к квадратурам, то применяют приближенные методы интегрирования.

          Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде ряда Тейлора. Сумма конечного числа членов ряда будет приближенно равна искомому частному решению.  

          Пусть требуется найти решение дифференциального уравнение второго порядка

                                                                                                 (7.1)

удовлетворяющее начальным условием

                                                                           (7.2)

          Допустим, что решение    существует и его можно представить в виде ряда Тейлора

                                         (7.3)

           Нам нужно найти      т.е. значение частного решение при  . Это можно сделать при помощи уравнения  (7.1)  и  начальных условий  (7.2) . Из условии  (7.2)  следует, что

                  

            Из уравнения   (7.1)  будем иметь     .

Дифференцируя обе части уравнения  (7.1)  по  получим:

                                                    (7.4)

            Подставляя в это выражение   в правую часть, получим:

                                  .

Дифференцируя  (7.4)  еще раз получим:      и т.д.

           Найденные значение производных подставляем в  (7.3). Для тех значении , для которых этот ряд сходится, он представляет решение уравнения.

            Пример 1.  Найти решение уравнение:     ,  удовлетворяющее начальным условиям:   

             Решение.  Из начального условия имеем:                             

                             .

Из данного уравнение находим:    .

Далее  найдем:      

                

             Дифференцируя обе части уравнение    раз найдем:  

                         .

При  

полагая     найдем     

Отсюда     

                 

                 …………………………………………………

                    

Кроме того    

                      

                         

              Не обращают в нуль только те производные, порядок которых кратен четырем . Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получим решение уравнения:

                      

               С помощью признака Даламбера можно показать, что этот ряд сходится при всех значениях  . Следовательно, он является решением уравнения.

               Если уравнение линейное, решение удобно искать по методу неопределенных коэффициентов. Для этого применяем степенной ряд:

                       

и подставляем  его в дифференциальное уравнение и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях    в разных частях уравнения.

             Пример 2.  Найти решения уравнение :  

                                    ,    

удовлетворяющее начальным условиям:        

            Решение. Предположим, что решение представлено в виде

                              

Из начального условия найдем        

Следовательно,     

                              

                              

         Подставляя эти выражения в заданное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степени , получим:

                              откуда     ,

                     откуда     ,

              откуда     

        ……………………………………….

         ,  откуда   

        …………………………………………………..

          Следовательно,  

                            

          Подставляя найденные коэффициенты, получим искомое частное решение:

                           

          Полученный ряд сходится при всех  . Преобразуем полученное решение

                        

или      .

          12.7.1.    Найти решение уравнение:     , удовлетворяющее начальным условиям:       .

          12.7.2.   Найти решение уравнение:     , удовлетворяющее начальным условиям:       .

           12.7.3.   Найти решение уравнение:     , удовлетворяющее начальным условиям:       .

           12.7.4.  Найти решение уравнение:     , удовлетворяющее начальным условиям:       .

     Найти четыре первых членов разложения в степенной ряд решение следующих дифференциальных уравнении при указанных начальных условиях.

            12.7.5.     

           12.7.6.      

           12.7.7.     

           12.7.8.     

           12.7.9.      

           12.7.10.    

                             § 8.  Ряд Фурье.

 

      Функциональный ряд вида

                                   

или                                                                   (8.1)

называется тригонометрическим рядом  и   называются коэффициентами ряда.

       Если ряд  (8.1)  сходится, то его сумма есть тригонометрическая функция   с периодом    так как члены ряда    является периодическим функциями с периодом  .

      Таким образом

                                            

      Пусть такая периодическая функция является суммой ряда  (8.1)

                                                                 (8.2)

         В таком случае говорят, что функция      разлагается в тригонометрический ряд. Предполагая, что тот сходится  равномерно на отрезке   , покажем как определить коэффициенты.

        Тригонометрический ряд  (8.1)  будет сходиться, если будет сходиться ряд составленный из абсолютных величин коэффициентов этого ряда, т.е.

                                                      (8.3)

        В этом случае его можно почленно интегрировать в промежутке  . Используем это для вычисления коэффициента   

                  .

         Вычислим    каждый интеграл отдельно

                    

                   

                    

          Следовательно, подставляя эти величины в ряд  (8.2)  получим   

                                

Откуда                                                                          (8.4)

           Прежде чем определить остальные коэффициенты рассмотрим предварительно некоторые определенные интегралы.

            Если   , то    

                                                                                  (8.5)

                                

            Если   , то    

                                                                                  (8.6)

                                

              Для определения коэффициента    при фиксированном    умножим обе части равенства  (8.2)  на  . Опять получим равномерно сходящихся ряд. Поэтому его можно почленно интегрировать на любом отрезке

         

            Принимая во внимание формулы  (8.5)  и  (8.6)  получим:

          

откуда                                                                     (8.7)

            Умножая обе части равенства  (8.2)  на  и интегрируя на отрезке  , найдем

                                 

откуда                                                                        (8.8)

             Коэффициенты, определенные по формулам  (8.4), (8.7)  и  (8.8)  называются коэффициентами Фурье для функции  , а тригонометрический ряд  (8.1)  с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции  .

            Определение.  Функция  называется кусочно монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек  

на интервалы   так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т.е. либо невозрастающая, либо неубывающая.

              Из определения следует, что если функция    -  кусочно монотонная и ограниченная на отрезке  , то она может иметь только точки разрыва первого рода. Действительно, если    точка разрыва функции  , то в силу монотонности существуют пределы

                             

                            

т.е. точка   есть точка разрыва первого рода.

               

              Теперь сформулируем теорему, которая даст достаточные условие представимости функции     рядом Фурье.

               Теорема. Если периодическая функция    с периодом   - кусочно монотонная и ограниченная  на отрезке , то ряд Фурье постренный для этой функции сходится во всех точках. Сумма полученного ряда   равна значению функции  в точке непрерывности функции.

В точках разрыва функция  сумма ряда, равна среднему арифметическому пределов    слева и справа, т.е. если   - точка разрыва функции    , то   

                                  

                 Далее  приведем примеры разложение функции в ряд Фурье.

               Пример 1.  Периодическая функция    с периодом    определена следующим образом:     .  

Разложить эту функцию в ряд Фурье.

              Решение. Эта функция кусочно монотонная и ограниченная. Следовательно ее можно разложить в ряд Фурье. Определим коэффициенты ряда Фурье:

         

         

         

          

           Таким образом, подставив найденные коэффициенты в ряд Фурье, получим:

                

           Этот ряд сходится во всех точках, кроме точек разрыва. В точках разрыва сумма ряда равно нулю.

           Пример 2. Периодическая функция    с периодом    задана следующим образом:        при   

                                              при         (т.е.

Разложить эту функцию в ряд Фурье.

             Решение. Эта функция кусочно монотонная и ограниченная на отрезке  

                                          (рис. 1)

                                      

Определим коэффициенты ряда Фурье.

Рис 1

    

при    четном  ,          при    нечетном       

         В этом случае  получаем ряд:

Полученный ряд сходится, и его сумма равна данной функции№

           Пример 3. Разложить в ряд Фурье   , заданную на отрезке  

           Решение. На рис. показан график функции

Определим коэффициенты для ряда Фурье:

                    

                     

                     

         .

       Следовательно ряд Фурье для данной функции имеет вид:

                 .

         12.8.1. Разложить в ряд Фурье функцию  , заданную на отрезке             .

         12.8.2. Разложить в ряд Фурье функцию  , заданную на отрезке   .

          12.8.3. Разложить функцию в ряд Фурье , заданную на отрезке    

                                       

           12.8.4. Разложить функцию               в ряд Фурье , заданную на отрезке    

           12.8.5. Разложить функцию в ряд Фурье , заданную на отрезке    , следующим образом:

                                       

          12.8.6. Разложить функцию в ряд Фурье на отрезке    , заданную следующим образом:

                                       

         12.8.7.  Разложить в ряд Фурье на отрезке     функцию                             

                                       

         12.8.8.  Разложить функцию в ряд Фурье на отрезке                                

                                       

         12.8.9. Разложить функцию в ряд Фурье , заданную на отрезке    :                 

          12.8.10. Разложить функцию в ряд Фурье на отрезке    , заданную следующим образом:

                                       

                            § 9.  Ряд Фурье для функции с периодом  .

        Пусть   есть периодическая функция с периодом . Разложим ее в ряд Фурье, причем  . Сделаем замену переменной    . Тогда функция    периодическая функция от    с периодом  . Ее можно разложить на отрезке  .

                                                               (9.1)

где         

     

                       

             .

              Возвратимся к старой переменной:     .

Тогда       

                                                                                  (9.2)

               

            Ряд  (9.1)  получит вид:

                                                         (9.3)

где  коэффициенты    определяются  по формуле  (9.2).

              Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом  .

            Пример 1.  Разложить в ряд Фурье функцию    с периодом  , которая на отрезке  имеет вид:

                                 

             Решение. Так как рассматриваемая функция четная

                          

            Следовательно, ряд примет вид:

   .

           Пример 2.  Разложить в ряд Фурье функцию

                       

           Решение.  Разбивая интервал на две части в точке    и поскольку в каждой интервал    найдем коэффициенты Фурье

            

            

             

Тогда данная функция при разложении в ряд Фурье имеет вид:

               

           В промежутке    разложить функцию    в ряд Фурье

12.9.1.     

12.9.2.     

12.9.3.     .

           В промежутке    разложить функцию    в ряд Фурье

12.9.4                                     12.9.5.     

12.9.6.                                                        12.9.7.     .

           Разложить функцию   в ряд Фурье в промежутке  

12.9.8.                                            12.9.9.    

12.9.10.   

Глава 13

Некоторые прикладные задачи

§ 1. Приложения определенного интеграла

1. Центр тяжести плоской кривой .

Пусть на плоскости дана система  материальных точек  обладающих массами .

Статистическим моментом этой системы относительно оси ОХ называется сумма произведений масс этих точек  на их координаты:

               .

Аналогично определяется статистический момент относительно оси ОУ:

               .

Координаты центра тяжести данной системы определяются по формулам:

                                                    (1.1)

                                                   (1.2)

Пусть кривая АВ задана уравнением , где , и пусть эта кривая обладает  массой  (материальная кривая).

Предположим, что плотность материальной кривой равна . Если разбить  эту кривую  на п частей длины , тогда массы этих частей будут равны  . При таких предположениях  формулы (1.1) и (1.2) можно привести к виду:

                              (1.3)

где - координаты точек, взятых на части дуги .

Переходя к пределу  при , получим

                                                                     (1.4)

                                                                     (1.5)

Будем считать, что .

Формулы (1.4) и (1.5) определяют координаты центра тяжести  плоской кривой.

Пример 1. Определить координаты центра тяжести полуокружности , расположенной над осью ОХ.

Решение. Определим   . Тогда

              .

       ,

, так как полуокружность симметрична относительно оси ОУ.

2. Центр тяжести плоской кривой.

Если данная фигура ограничена линиями  при  представляет материальную плоскую фигуру, то координаты  центра тяжести определяются по формулам:

                (1.6)

Пример 2. Определить координаты центра  тяжести сегмента параболы , отсекаемого прямой .

Решение. В данном случае . Тогда

                        ,         

 , так как данная  фигура  симметрична относительно оси ОХ.

3. Теорема Гульдена.

Теорема 1. Площадь поверхности , полученной при вращении дуги плоской кривой  вокруг оси, лежащей в плоскости  этой кривой  и не пересекающей её равна длине дуги кривой, умноженной  на длину окружности , описанной центром тяжести  дуги.

Теорема 2. Объем тела, полученного плоской фигуры при вращении вокруг оси , не пересекающей её  и расположенной  в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности , описанной центром тяжести этой фигуры.

13.1.1. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной  линиями .

13.1.2. Найти координаты центра тяжести четверти окружности расположенной  в первом квадранте.

13.1.3. Найти  центр тяжести плоской фигуры, ограниченной линиями

13.1.4. Найти  центр тяжести плоской фигуры, ограниченной линиями

13.1.5. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной  линиями

13.1.6. Найти координаты центра тяжести параболического сегмента , ограниченного линиями

13.1.7. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной  линиями .

13.1.8. Найти координаты центра тяжести  полуокружности , расположенной над осью ОХ.

13.1.9. Пользуясь теоремой Гульдена , найти объем тела , образованного вращением полукруга радиуса R вокруг касательной, параллельной  диаметру.

13.1.10.Пользуясь теоремой Гульдена доказать, что центр тяжести  треугольника отстоит от его основания на одну треть высоты.

§ 2. Приложения двойного интеграла

1. Координаты центра тяжести плоской фигуры.

Пусть пластинка занимает область D плоскости ХОУ и имеет поверхностную плотность , тогда масса М пластинки выражается двойным интегралом

                                                                         (2.1)

Статистические моменты  пластинки относительно оси ОХ и ОУ находятся по формулам

                   

Координаты центра тяжести  пластинки вычисляются по формулам

                        (2.2)

Если пластинка однородная, то . В этом случае

                                            (2.3)

Пример 1. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной  линиями .

Решение. Фигура,  ограниченная данными линиями является сегментом  круга , отсеченным прямой . Пластинка однородная,  , где .

Найдем массу однородной пластинки по формуле (2.1)

      

      

В первом интеграле сделаем подстановку тогда . При  , при .

.

Второй интеграл

                        .

Следовательно, масса пластинки равна

                  .

Теперь найдем статистические моменты относительно осей координат

     ,

      

      .

По формулам (2.3) вычисляем координаты центра тяжести

                 

                 .

Пример 2. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Будем считать, что плотность    ( т.е. пластинка, ограниченная данными линиями,  однородная). В этом случае координаты центра тяжести  будут определяться по формулам

                    .

Найдем

            .

Тогда

                           

                              .

Аналогично

    

      

         .

2. Момент инерции площадки плоской фигуры.

Моментом инерции материальной точки А массы m относительно  точки О называется  произведение  массы m на квадрат её расстояния r  от точки О:

                                  .

Моментом инерции системы материальных точек  относительно точки О есть сумма моментов инерций  отдельных точек системы:

                              .

Момент инерции плоской фигуры D относительно  начала координат определяется  по формуле

                                                             (2.4)

Момент инерции плоской фигуры D относительно  осей координат ОХ и ОУ вычисляется по формулам

                                       (2.5)

Тогда                                                                           (2.6)

Полагая  , получим формулы для вычисления геометрических моментов инерции

 ,       ,        

Пример. Вычислить момент инерции относительно координатных осей  и начала координат плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Момент инерции относительно оси ОХ:

В первом интеграле  сделаем подстановку . При при .

                      

                      

Вычислим второй интеграл

           .

Следовательно

                    /

Момент  инерции относительно оси ОУ:

    

Вычислим первый интеграл

                     

Вычислим второй интеграл

Тогда момент инерции относительно оси ОУ будет равен

                        .

Момент инерции плоской фигуры относительно начала координат определяется формулой

.

13.2.1. Вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями

13.2.2. Вычислить координаты центра тяжести и момент инерции плоской фигуры, ограниченной линиями

13.2.3. Определить центр тяжести фигуры, ограниченной линиями .

13.2.4. Найти центр тяжести и момент инерции фигуры, ограниченной линиями.

13.2.5.  Найти центр тяжести и моменты инерции фигуры, ограниченной линиями  относительно осей ОХ, ОУ и начала координат.

13.2.6. Вычислить момент инерции площади эллипса  относительно его большой оси.

13.2.7. Определить момент инерции прямоугольника  относительно осей  ОХ, ОУ и начала координат.

13.2.8. Найти центр тяжести и моменты инерции фигуры, ограниченной линиями .

13.2.9. Найти центр тяжести и моменты инерции фигуры, ограниченной линиями .

13.2.10. Найти массу пластинки, ограниченную линиями  и имеющую поверхностную площадь .

13.2.11. Найти массу пластинки, ограниченную линиями  и имеющую поверхностную площадь .

§ 3. Приложения тройного интеграла

1. Координаты  центра тяжести тела.

Как и для плоских фигур, координаты центра тяжести  тела определяются аналогичными формулами

                                                    (3.1)

где   - плотность тела,

Масса тела определяется по формуле

                                                                          (3.2)

2. Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей.

          (3.3)

3. Моменты инерции тела относительно  осей координат ОХ, ОУ, ОZ

выражаются соответственно формулами

       

                                                                                 (3.4)

4.Момент инерции тела относительно начала координат.

                    

                                                                (3.5)

Пример 1. Найти координаты центра тяжести  тела, ограниченного      плоскостями .

Решение. Найдем объем тела

     .

Тогда     

              

                                      ,

           

                                     ,

         

                                               .

13.3.1. Найти массу  куба, ограниченного поверхностями ,   если плотность в точке A(x,y,z)  есть .

13.3.2. Найти координаты центра тяжести  тела,  ограниченного поверхностями  .

13.3.3. Найти координаты центра тяжести  тела,  ограниченного поверхностями , если плотность .

13.3.4. Найти координаты центра тяжести  тела,  ограниченного поверхностями .

13.3.5. Найти момент инерции куба  относительно его ребра.

13.3.6. Найти моменты инерции относительно координатных осей и начала координат для однородного тела, ограниченного поверхностями .

13.3.7. Найти моменты  инерции относительно координатных плоскостей  для однородного тела, ограниченного поверхностями .

 

Глава 14

Комплексные числа

§ 1. Определение комплексного числа

       Комплексным числом называется выражение вида

                                                                                         (1.1)

где х и у действительные числа, а iтак называемая,  мнимая единица

                                                                              (1.2)

Числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа.

Если х = 0, то называется  чисто мнимым, если , то получается  действительное число.

Два комплексных числа  считаются равными , если равны их действительные и мнимые части, т.е . Комплексное число  равно нулю, если только х = 0 и у = 0.

Отметим, что если , а , то комплексное число  называется сопряженным с  и обозначается символом . Таким образом

                                                                         (1.3)

§2. Основные действия над комплексными числами

1. Сложение комплексных чисел.

Суммой  двух комплексных чисел  и  называется комплексное число

                        (2.1)

Из данного определения непосредственно вытекают следующие законы сложения:

а) переместительный:  ;

б) сочетательный: .

2. Вычитание комплексных чисел .

Разностью двух комплексных чисел  и называется  такое комплексное число, которое будучи сложенным с  дает в сумме комплексное число .

                         (2.2)

3. Умножение  комплексных чисел.

Произведением двух комплексных чисел и  называется комплексное число

             (2.3)

Из определения вытекают следующие законы умножения:

а) переместительный:  ;

б) сочетательный: ;

в) распределительный (относительно сложения): .

Формула (2.3) получается, если эти числа мы перемножаем как двучлены по правилам алгебры, учитывая, что

    , и т.д.             (2.4)

и вообще при любом целом : .

Отметим, что произведение комплексного числа    на сопряженное с ним всегда неотрицательно. С учетом того, что  имеем

                                                   (2.5)

4.Деление комплексных чисел.

Пусть                                                                     (2.6)

Умножим и разделим правую часть (2.6) на сопряженное со знаменателем комплексное число:

                     .

С учетом (2.5) получим:

                                                     (2.7)

5. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости ОХУ в виде точки М с координатами х и у. Обратно, каждой точке плоскости М (х, у) соответствует одно комплексное число . Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексной переменной. При этом действительные числа  будут изображаться точками оси ОХ, которую называют действительной осью, чисто мнимые будут изображаться точками оси ОУ, которую называют мнимой осью. Соединив точку М (х, у) с началом координат (см. рис), получим вектор . В некоторых случаях удобно считать геометрическим изображением комплексного числа  вектор .

                                               z

                                                            М (х, у)

                                                      r              y

                                           

                                               Х

                                                    Рис. 1

6. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Обозначим через   и  полярные координаты точки М (х, у). Считая начало координат полюсом , а положительное направление оси ОХ – полярной осью. Тогда (см. рис.1) получим следующие равенства

                        .

Следовательно,  комплексное  число можно представить в виде

                                                       (2.8)

Выражение стоящее справа называется тригонометрической формой комплексного числа ,  называется аргументом комплексного числа, а  - модулем комплексного числа, т.е.

                         

Величины и определяются следующим образом:

                       .

Замечание. Сопряженные комплексные числа   и  имеют равные модули , а их аргументы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку: .

Отметим, что действительное число может  быть записано  в форме (2.8) в виде

                  , если ,

                 , если .

Используя тригонометрическую форму комплексного числа  (2.8) найдем произведение двух комплексных чисел.

Пусть тогда

Таким образом    

                                                   (2.9)

Т.е при умножении двух комплексных чисел получается комплексное число, модуль которого  равен произведению  модулей сомножителей, а аргумент  равен сумме  аргументов сомножителей.

Если комплексные числа даны  в тригонометрической форме то

                                 .

Для определения частного  умножим  числитель и знаменатель  на сопряженное со знаменателем комплексное число

                         

.

В итоге получим

                                                  (2.10)

Таким образом модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Из вышеприведенных правил действий над комплексными числами : сложения, вычитания, умножения и деления  получаются снова комплексные числа.

Пример 1. Даны комплексные числа . Найти произведение  чисел .

Решение.   . Умножаем как два двучлена:

         .

Учитывая, что , получим

                          .

Пример 2. Найти .

Решение.  .

Пример 3.  Даны комплексные числа . Найти .

Решение. Для вычисления этой дроби умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число , получим:

                  .

Пример 4. Найти .

Решение. .

                            .

Окончательно имеем:

                               .

§ 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа

1. Возведение в степень.

Из формулы (2.9) следует, что если п – целое положительное число , то

                                              (3.1)

Эта формула называется формулой Муавра. Из этой формулы следует, что при возведении комплексного  числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример 1. Дано комплексное число . Найти .

Решение. Представим комплексное число в тригонометрической форме (2.8). Найдем модуль  . В данном примере , следовательно:  , а аргумент . Тогда

                      .

Теперь   найдем по формуле Муавра :

        .

Окончательно имеем:

                                      .

2. Извлечение корня п –ой степени из комплексного числа.

Корнем п-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число, п-я степень которого равна подкоренному выражению, т.е.

                                              (3.2)

если .

Так как у равных комплексных чисел модули равны, а аргументы отличаются на число, кратное , то

                .

Отсюда , где .

Подставляя эти выражения в (3.2), получим

                         (3.3)

Итак, корень п-ой степени из комплексного числа имеет п различных значений . Корень п-ой степени из действительного числа также имеет п значений , так как действительно число  является частным случаем  комплексного числа  и может быть представлено  в тригонометрической форме (см.§2, п.5).

Пример 2. Найти все значения кубического корня  из комплексного числа .

Решение. Представим данное число  в тригонометрической форме

                  ,      .

Так как , тогда ,   . Следовательно

                          .

По формуле (3.3) получим

     .

Задавая к значения  0, 1, 2 найдем три значения корня

,

3. Решение двучленного уравнения.

Уравнение вида  называется двучленным.

Найдем корни этого уравнения . Если А – действительное число, то . Тогда

           .

Если А – действительное отрицательное число, то . Поэтому

        .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение.   .

Полагая     найдем   .

при  имеем ,

при  имеем ,

при   имеем .

§ 4. Показательная функция с комплексным показателем

Пусть , если х и у действительные переменные, z называется комплексной переменной.

Если каждому значению комплексной переменной z из некоторой области  плоскости комплексной переменной  соответствует  определенное значение  другой комплексной величины w, то w  является функцией комплексной переменной.

Рассмотрим  показательную функцию комплексной переменной

                        ,    .

С помощью  формулы Тейлора  разложим функцию  в ряд:

        

Учитывая, что  

     ,                         ,

получим                                                              (4.1)

т.е.                                                               (4.2)

Свойства показательной функции:

1. Если и  комплексные числа , то

                                   .

Доказательство. Пусть ,    . Тогда

                                           (4.3)

2. .

                                                  (4.4)

3. Если  - целое число, то

                                                                                            (4.5)

4. Справедливо тождество

                 

т.е.                                                                                        (4.6)

На основании (4.6) следует, что показательная функция комплексной переменной  есть периодическая  функция с периодом . На основании (4.1) можно получить

                                                                                 (4.9)

Эта формула носит название  формулы Эйлера.

Представим комплексное число  в тригонометрической форме

                           .

По формуле Эйлера

                                                                             (4.10)

Формула (4.10) показывает, что всякое комплексное число  можно представить  в показательной форме .

Пример 1. Представить числа 1 и     в показательной форме.

Решение. ,

                .

Пусть , тогда:

1. .

2. .

3. /

4. .

14.4.1. Постройте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам , если:

 

14.4.2. Вычислить выражения:

14.4.3. Представить в тригонометрической форме следующие комплексные числа:

14.4.4. Представить в алгебраической форме комплексные числа:

14.4.5.Вычислить следующие выражения, представив их в тригонометрической форме:

14.1.6. Вычислить значения выражений:

14.4.7. Выполните действия, результат запишите в показательной, тригонометрической и алгебраической формах:

14.4.8. Вычислить:

14.4.9.Решите уравнения:

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1.  Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление. т.1,2. М., 1985.
  2.  В.П. Минорский. Сборник задач по высшей математике. М., Наука, 1987.
  3.  В.С. Шипачев. Высшая математика. М., 2001.
  4.  И.И. Лихолетов. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика. Минск, 1979.
  5.  А.А. Гусак. Высшая математика. Учебник. Минск,т.1,2. 1983, 1984.
  6.  А.А. Гусак. Задачи и упражнения по высшей математике. Минск, т.1,2. 1988.
  7.  Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике. Москва. Айрис-пресс, 2004.

Е.А. Акжигитов, А.Ж. Аскарова, Е.А. Грипп,

Г.Р. Елеусизова, К.К. Такабаев

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
( часть 2)

Подписано к печати

Формат 60 х 841/16 . Заказ №

Тираж 200 экземпляров

Типография АО «Казахский агротехнический университет им. С.Сейфуллина», 2010г

010011  г.Астана, пр. Победы, 62 а


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29383. Этапы работы над литературным произведением в начальных классах 61 KB
  Этапы работы над литературным произведением в начальных классах Основываясь на литературоведческих закономерностях построения художественного произведения на психологии восприятия художественного произведения младшими школьниками а так же на собственно методических положениях о чтении художественного произведения в начальных классах современная методика чтения выделяет следующие этапы работы над художественным текстом: подготовка к восприятию художественного произведения первичное восприятие проверка первичного восприятия анализ...
29384. Научно-методические принципы изучения литературных произведений в начальных классах 50.5 KB
  Принцип целенаправленности Этот принцип гласит: изучение произведения в том числе и его анализ должны быть целенаправленным. Изучение произведения в начальной школе всегда преследует две группы целей. 1 Коррекция субъективного первичного восприятия произведения объективным смыслом текста углубление восприятия прочитанного постижение художественной идеи и авторской позиции – полноценное восприятие художественного текста. 1 Основная цель каждого урока литературы – освоение художественной идеи произведения.
29385. Методика чтения и изучения эпических произведений. Модель урока литературного чтения по изучению рассказа (сказки) 35.5 KB
  Модель урока литературного чтения по изучению рассказа сказки Эпос – один из трёх родов литературы повествовательный род. Их захватывает острый занимательный сюжет сказок необычность обстановки в которой развертываются события; привлекают герои смелые сильные находчивые удалые люди; сказки подкупают своей идейной направленностью: добрые силы всегда побеждают. Сила воздействия образов и сюжета сказки такова что младшие школьники уже в процессе первого чтения ярко проявляют свои симпатии и антипатии к персонажам сказок всецело...
29386. Методика чтения и изучения лирических произведений. Модель урока литературного чтения по изучению стихотворения 42 KB
  Модель урока литературного чтения по изучению стихотворения. В книгах для чтения Родная речь представлены эпические и лирические стихотворения. Анализ эпического стихотворения направлен на выяснение сюжета раскрытие особенностей действующих лиц идеи произведения его художественного своеобразия. В эпических стихотворениях часто используется диалог что позволяет автору живо описать событие как бы включить самого читателя в круг описываемых событий.
29387. Современные концепции начального литературного образования 33 KB
  приоритетная задача курса углубление интереса к чтению и литературе осознанию учеником значения читательской деятельности как средства успешности обучения и развития человека формирование умений работать с произведениями разного жанра вида и стиля; расширение круга классических и современных произведений при литературном анализе которых особое внимание уделяется сравнению произведений разных авторов жанров и тематики а также моделирующей деятельности учащихся; частью курса является Литературное слушание идея которой – в...
29388. Пропедевтический этап в системе литературного образования школьников 49 KB
  Важнейшей особенностью предмета является формирование и развитие навыка чтения а также таких качественных характеристик чтения как сознательность и выразительность. Развитие навыка чтения предполагает на первом году обучения становление механизма чтения овладение слоговым и комбинированным способами чтения; на втором году обучения – интенсивное овладение способом чтения целыми словами наращивание темпа чтения освоение способа чтения молча; на третьем году обучения – становление способа чтения целыми словами в темпе соответствующем...
29389. Принципы построения учебных книг по литературному чтению: традиционное и инновационное. Детские книги как особый учебный материал для формирования читателя 23 KB
  Эту функцию выполняет учебник. Учебник рассматривает текст как информационное поле на котором состоится встреча автора и читателя. Типы книг для начальной школы: Обязательные: учебник хрестоматия учебникхрестоматия Факультативные: справочник энциклопедия словари рабочие тетради Принципы организации учебника: тематический по темам жанровый стихи рассказы сезонный Виды вопросов и заданий в учебниках: до текста и после текста репродуктивные на выявление первичного восприятия на анализ на синтез продуктивные...
29390. Урок литературного чтения и его особенности. Моделирование урока литературного чтения в логике одной из образовательных программ (на примере одного литературного произведения) 57 KB
  Урок литературного чтения и его особенности. Моделирование урока литературного чтения в логике одной из образовательных программ на примере одного литературного произведения Современный урок литературного чтения имеет свои особенности: Каждый урок рассматривается как часть более широкой системы литературное развитие школьника Урок – это этап в изучении литературного произведения Урок – это художественнопедагогическое целое содержание форма уока будет определяться жанром и особенностями произведения а так же художественным миром...
29391. Конструктивное исполнение электрооборудования в НГП 30 KB
  Конструктивное исполнение электрооборудования в НГП должно соответствовать условиям его эксплуатации. исполнение характеризуется тем что электродвигатели имеют специальные приспособления крышки кожухи сетки. Водозащищенное IP55 IP56 исполнение электродвигатели недоступны проникновению внутрь струй воды любого направления.