49423

Расчёт структуры электромагнитных полей

Курсовая

Физика

Основной метод исследования – решение уравнений Максвелла, уравнений, описывающих волны в реальных средах с учётом законов, так или иначе характеризующих электромагнитное поле (таких, как материальные уравнения, уравнение Лапласа, волновые уравнения Гельмгольца и др.) методом разделения переменных. Сам метод разделения переменных является крайне удобным во многих задачах, рассматриваемых теорией электромагнит. поля.

Русский

2013-12-27

1.31 MB

8 чел.

Министерство Образования Украины

Сумский государственный университет

Кафедра физической электроники

Отчёт

по курсовой работе

«Расчёт структуры электромагнитных полей»

по курсу «Теория поля»

Вариант 70

Выполнил студент группы ФТ-71   

Проверил преподаватель    Воробьев Г.С.

Сумы СумГУ 2002

Содержание

[1]
Введение

[2]
1. Расчёт структуры осесимметричных стационарных электромагнитных полей

[3]
2.Расчет структуры переменных электромагнитных полей в волноводе.

[4] Перечень ссылок

[5]
Приложение А

[6]
Приложение Б

[7]
Приложение В


Введение

Задача настоящей работы – теоретическое исследование электромагнитного поля, основывающееся на классических представлениях о нём, и численное нахождение его характеристик .

Отправной точкой в этом служит модель электромагнитного поля, описанная уравнениями Максвелла. Она достаточно широко изучена, в её рамках объяснен ряд процессов и явлений электромагнетизма, для описания которых выработан удобный и мощный математический аппарат.

В рамках этой работы будут рассмотрены случаи электростатического поля и волнового процесса в прямоугольном волноводе. Обе эти модели являются классическими. Вторая, в частности, описывает ряд процессов в электронной передающей технике.

Наша цель – расчёт структуры постоянных полей внутри и вне осесимметричного тела, а также переменных полей в прямоугольном волноводе с заданными характеристиками.

Основной метод исследования – решение уравнений Максвелла, уравнений, описывающих волны в реальных средах с учётом законов, так или иначе характеризующих электромагнитное поле (таких, как материальные уравнения, уравнение Лапласа, волновые уравнения Гельмгольца и др.) методом разделения переменных. Сам метод разделения переменных является крайне удобным во многих задачах, рассматриваемых теорией электромагнит. поля. В нашем случае мы с его помощью находим интересующие нас аналитические выражения. Некоторые величины – находятся на ЭВМ с применением численных методов.


1. Расчёт структуры осесимметричных стационарных электромагнитных полей

 Общее задание:

Осесимметричное тело радиуса R находится в однородном внешнем электрическом поле Е0 , перпендикулярном к его оси . Заданы материальные характеристики окружающей среды. Получить аналитические выражения внутри и вне тела для потенциалов i и е полей Еi и Ее соответственно. Для заданных численных значений параметров задачи построить семейство эквипотенциальных линий в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии тела

Найти плотность зарядов σ поверхности проводника.

 Параметры задачи.

Заряженный проводящий цилиндр в вакууме: R=10 см; Е0 =150 кВ/м;

е =1, τ=4е-8. Координаты точки М : r=10 см , =60 .

 Решение:

Решение проводится в сферических координатах, связанных с центром шара, rрадиус-вектор точки наблюдения, ось z направлена вдоль приложенного электрического поля (рисунок 1.1). 

Рисунок 1.1

Вне цилиндра сторонних зарядов нет, поэтому следует решать уравнение Лапласа  с соответствующими граничными условиями на поверхности r=R[1].

С учётом азимутальной симметрии задачи поле будет описываться уравнением [1,2]:

   (1.1)

Для интегрирования этого уравнения воспользуемся методом разделения переменных [1] и искомую функцию представим в виде

  (1.2)     

 Полное решение приведено в приложении Б и будет иметь вид [1]:

- для внутренней области

        (1.3)

- для внешней области

     (1.4)

Для определения постоянных интегрирования D и S необходимо учесть не только граничные условия на поверхности шара, но и поведение потенциала на бесконечности. Потенциал 0 на бесконечности в этом случае имеет вид

      (1.5)

 

Анализируя (1.4) и (1.5), получаем:

   (1.6)

Для нахождения постоянной интегрирования S воспользуемся граничными условиями:

     (1.7)

.    (1.8)

Учитывая (1.3), получаем:

    (1.9)

Дифференцируя выражение (1.6) и подставляя его в (1.9), получаем:

    (1.10)

Из уравнения (1.10) находим постоянную интегрирования S:

    (1.11)

Подставляя (1.11) в (1.6), получаем выражение для потенциала внешней области:

   (1.12)

Так как поверхностный заряд , то

   (1.13)

Внутри цилиндра поле равно 0. Напряженность поля вне цилиндра:

 (1.14)

Рассчитаем плотность поверхностного заряда цилиндра:

Кл/м2

Уравнение эквипотенциальных линий в плоскости (xoz), заданное в сферических координатах:

 , (1.15)      

где n = const – фиксированное значение потенциала, выбранное для построения эквипотенциали с индексами n = 1, 2, 3 … Уравнения

эквипотенциальных линий внутри и вне цилиндра следуют из формул (1.3), (1.13), (1.15):

        (1.17)

      (1.18)

Составляем блок-схему и программу для расчета и построения эквипотенциальных линий. Пример текста программы приведен в приложении А. Результаты построения для n=10 приведены на рисунке 1.2.


Рисунок 1.2 – Эквипотенциальные линии


2.Расчет структуры переменных электромагнитных полей в волноводе.

Общее задание.

Для заданного типа волны с начальной амплитудой поля =5кВ/см, распространяющейся в прямоугольном волноводе сечением  получить аналитические выражения продольной и поперечных компонент полей в комплексной форме записи и для мгновенных значений. Для численных параметров задачи построить эпюры полей по осям X, Y, Z, а также картину распределения полей в плоскостях XY и XZ. Рассчитать заданные характеристики полей и построить их зависимости от частоты.Во всех случаях считаем , что параметр =1

Параметры задачи

Волна Е15, a x b = 72 x 34 мм; = 13 мм, диэлектрическая проницаемость =2. Расcчитать длину волны в волноводе и эквивалентное сопротивление волновода.

Решение

Процесс распространения электромагнитных волн в полости прямоугольного волновода рассматриваем, полагая, что стенки волновода выполнены из сверхпроводящего материала ( = ). При этом условии напряженность электрического поля на стенках волновода будет равна нулю (плотность тока на стенках волновода = E есть величина конечная).[2]

Эскиз исследуемого волновода приведён на рисунке 2.1.


Рисунок 2.1 – Эскиз исследуемого волновода

Полость волновода заполнена диэлектриком, электрическая проницаемость которого . Длина волновода в направлении оси z не ограничена.

Для заданного типа волны выполняется условие[3] : Ez0 ; Hz=0; m=1; n=5.

В соответствии с этим волновое уравнение для продольных компонент поля будет иметь вид[1,2]

      (2.1)

где  – круговая частота, – абсолютные электрическая и магнитная проницаемости.

Распространяющиеся в волноводе электромагнитные волны являются волнами, бегущими вдоль оси волновода ( вдоль оси z ) и стоячими в двух остальных направлениях [2]. Стоячие волны в направлениях x и y образуются вследствие многократных отражений волн от стенок волновода.

Структура E-волн такова, что составляющую вдоль оси волновода имеет только напряженность электрического поля, а напряженность магнитного поля расположена в плоскостях, перпендикулярных оси волновода [2]. Другими словами, для E-волны

    (2.2)

Если подставить (2.2) в уравнение (2.1), то последнее разобьется на три уравнения для проекций. Для проекции на ось z будем иметь следующее уравнение:

    (2.3)

Упростим уравнение (2.3) путем подстановки решения вида

    (2.4)

справедливого для гармонических процессов в волноводах [2]

– продольный коэффициент распространения в волноводе,  – длины волны в волноводе.

Множитель выражает собой то обстоятельство, что вдоль оси z движется бегущая волна.

Подставляем (2.4) в (2.3):

  (2.3)

Обозначим

.    (2.5)

и поделим (2.3) на . Получаем

     (2.6)

Воспользуемся методом разделения переменных и искомую функцию представим в виде

     (2.7)

и подставим в (2.6) , получаем:

    

Разделяя это уравнение на XY получим:

Сумма двух функций  и , из которых одна является функцией только x, а другая – функцией только y, может равняться постоянному числу –  только в том случае, если каждая из этих функций есть постоянное число. Перейдем от частных производных к простым и положим

     (2.6а)

      (2.6б)

Здесь p, q есть некоторые постоянные числа. Решением двух последних уравнений являются функции

Здесь  есть постоянные интегрирования, которые найдем из граничных условий. Таким образом, в соответствии с (2.4),

   (2.7)

Здесь комплексная амплитуда

Для определения значений p, q, , ψ обратимся к первому и второму уравнениям Максвелла, записанным через проекции напряженностей на оси координат:

(2.8)     (2.11)

(2.9)      (2.12)

 (2.10)   (2.13)

В силу того, что для E-волны , то уравнения (2.8), (2.9), (2.13) можно упростить, убрав выражения, содержащие .

Как уже говорилось выше, на внутренних поверхностях стенок волновода напряженность электрического поля равна нулю. Следовательно,  Если это учесть, то из уравнения (2.7) получим:

Так как по формулам приведения , то мы получим следующее выражение:

     (2.14)

где m и n - целые числа; m - равно числу полуволн электромагнитной волны, которое разместиться по ширине волновода. Число n показывает, сколько полуволн разместится по высоте волновода.

Найдем теперь  Для определения  поступим следующим образом: из уравнения (2.8) выраз им  и подставим в уравнение (2.12). Тогда получим

Отсюда

   (2.15)

Аналогично

  (2.16)

   (2.17)

  (2.18)

Проанализируем полученные результаты. Коэффициент играет роль постоянной распространения электромагнитной волны вдоль оси z. Если будет действительным числом, то волна при своем продвижении по волноводу будет затухать. Затухание будет отсутствовать, если будет мнимым числом.

Для того, чтобы связать с геометрическими размерами волновода a и b и числами m и n, подставим (2.14) в (2.3). Получим . Но . Поэтому, .

 

является мнимым числом при

Таким образом, по волноводу с заданными размерами a и b могут распространяться электромагнитные волны, если частота волны больше .

Для мгновенных значений компонент полей, получаем

Преобразуем полученные выражения, записав kp как функцию , а k1 как  функцию а, b:

Для восстановления действительных значений необходимо компоненты полей домножить на опущенный ранее волновой множитель , перейти по формуле Эйлера к тригонометрической форме записи и взять действительную часть полученного выражения. В результате получаем:

Продольный коэффициент распространения будет равен [4]:

где - длина волны в волноводе, которая равна

В свою очередь связана с геометрическими размерами волновода как  (мм).

Таким образом :  (мм)

kp=2/;

kp=2 .3,14/12,52=0,501 (мм-1)

 Одной из особенностей E-волн является то, что отношение поперечных составляющих электрического и магнитного полей не зависит от координат. Это отношение называется эквивалентным сопротивлением волновода, причем

Эпюры полей по осям и текст работы программы приводится в приложении В.


Перечень ссылок

1.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле.—М.: Высшая школа,1986.

2.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники.—Л. Высшая школа,1972.

3.Татур Т.А. Основы теории электромагнитного поля: Справочное пособие.— М.: Высшая школа, 1989.

4.Методические указания к выполнению курсовой работы ”Расчет структуры электромагнитных полей” по курсу “Теория поля”.—Сумы: СумГУ,1997.

5.Бронштейн И.Н.,Семендяев К.А. Справочник по математике.—М.: Наука,1964.


Приложение А

программа для расчете и построения эквипотенциальных линий полей

#include<bios.h>

#include<stdlib.h>

#include<math.h>

#include<graphics.h>

const  float a = 10,

  E0 = 150000,

  tau = 4e-8;

int hor, ver, but, in, scale = 20;

void ShowMouse()

 { asm { mov ax,1; int 033h } }

void StatusOfMouse()

 { asm { mov ax,3; int 033h; mov but,bx; mov hor, cx; mov ver,dx } }

void HideMouse()

 { asm { mov ax,2; int 033h } }

void MouseWindow()

 { asm { mov ax,8; mov cx,0029h; mov dx,0180h; int 033h } }

int MousePressed()

 { int fl_but;

  asm { mov ax,3; int 033h; mov fl_but,bx }

  if (fl_but) return 1; else return 0;

 }

char *ftoa(float x,float digits)

 { char *p = 0; return gcvt(x,digits,p); }

void axes()

{

setcolor(RED); pieslice(320, 340, 0, 180, a*scale); setfillstyle(4, RED);

floodfill(322,338,RED); setcolor(YELLOW); line(0,340,640,340);

line(320,20,320,340);

outtextxy(30,350,"Left button - show coordinates;  Right button - to draw" );

setcolor(WHITE); outtextxy(50,364,"+  SCALE  -");rectangle(69,361,116,374);

outtextxy(325,30," -Z");

}

float potential(float x, float y)

{ float r=0, teta=0, Pt = 0;

r = sqrt(pow(x,2) + pow(y,2));

in = 0; if (r < a) in = 1; teta = asin(x/r);

//  Cylinder

if (in == 1) Pt = 20;;

if (in == 0) Pt = E0*cos(teta)*(r+a*a/r)-tau*a/(2*M_PI*r);

//      Sphere

// if (in == 1) Pt = 2*E0*r*cos(teta)*ee/(ei+2*ee);

// if (in == 0) Pt = E0*cos(teta)*(r + (a*a*a/r/r)*(-ei+ee)/(ei+2*ee));

return Pt;

}

int solve(float x, float y)

{ float P, a1, x1, y1, delta,eps, Pt;

moveto(320 + scale*x, 340 - scale*y);

P = potential(x,y);

int h = 1;

begin:

a1 = -1.57;

do { x1 = x + cos(a1); y1 = y + sin(a1);

  a1 = a1 + 0.001; Pt = potential(x1,y1);

  delta = (Pt - P); eps = Pt/100;

 } while ( fabs(delta)>eps );

if ((scale*x1)<300 && (scale*y1)<300 && y1>0)

 { h++; if (h>100) return 0;

  lineto(320 + scale*x1, 340 - scale*y1);

  x = x1; y = y1; goto begin; }

else return 0;

}

void main()

{

int drv = 9, md = 2;  float x_coo, y_coo;

initgraph(&drv,&md,"f:\\bcpp31\\bgi");

MouseWindow(); axes();

ShowMouse();

LP:

 do { if (bioskey(1) == 283) { closegraph(); exit(0); }

    if (bioskey(1) == 15104) { HideMouse(); cleardevice();

                 bioskey(0); axes(); ShowMouse(); }

   } while (!MousePressed() );

 setfillstyle(1,SOLID_FILL); bar(47,10,298,40); StatusOfMouse();

 y_coo = (340 -(float)ver)/scale; x_coo = ((float)hor - 320)/scale;

 if (ver>340 && hor<69 && scale<45) { cleardevice(); scale +=5; axes(); };

 if (ver>340 && hor>116 && scale>5) { cleardevice(); scale -=5; axes(); };

 HideMouse();

 outtextxy(60,10,"X:");

 outtextxy(170,10," Y:               F1 - Clear Screen;     ESC - Quit");

 outtextxy(105,30,"Potential:");

 outtextxy(87,10,ftoa(x_coo,5));

 outtextxy(215,10,ftoa(y_coo,5));

 outtextxy(215,30,ftoa(potential(x_coo,y_coo),5));

 if (but==2) solve(x_coo, y_coo);

 ShowMouse();

goto LP;  }


Приложение Б

Решение уравнения Лапласа

В выбранной нами, для удобства, цилиндрической системе координат уравнение Лапласа можно представить в виде [2]

   (Б1.1)

Условия симметрии тела облегчает решение задачи. Если мысленно рассечь поле плоскостью, перпендикулярной оси Z и провести в этой плоскости окружность так, чтобы центр ее лежал на оси Z (рисунок 1.1), то окажется , что все точки этой окружности находятся в одинаковых условиях. Поэтому их потенциал один и тот же и выражение (Б1.1), можно переписать, опустив третье слагаемое, так как для всех точек, обладающих r=const потенциал  не будет зависеть от z. Таким образом поле будет описываться уравнением:

   (Б1.2)

Выражение (Б1.2) представляет собой уравнение в частных производных. Для интегрирования подобного рода уравнений применяется метод Фурье, согласно которому искомую функцию представляют в виде произведения функций:

    (Б1.3)

Функция М зависит только от r, а N - только от , обе они подлежат определению.

Определение функции  в виде произведения удобно тем, что позволяет разбить уравнение в частных производных (Б1.1) на два обыкновенных дифференциальных уравнения, одно из которых будет составлено относительно М, а другое – относительно N.

Подставив (Б1.3) в (Б1.2):

  (Б1.4)

Почленно разделив (Б1.4) на произведение MN, преобразуем это уравнение таким образом, чтобы в одной части уравнения была функция только от r, а в другой – только от α

  (Б1.5)

Так как левая и правая части уравнения (Б1.5) зависят от различных переменных, то они должны быть равны некоторой постоянной, например «р» (постоянной разделения). В результате получаем два дифференциальных уравнения:

  (Б1.6)

   (Б1.7)

Значение р определим из (Б1.7). Решение можно записать в виде:

   (Б1.8)

тогда

   (Б1.9)

Подставляя (Б1.8) и (Б1.9) в уравнение (Б1.7) получим:

-1=-p,   p=1

Приравниваем уравнение (Б1.6) к численному значению р и находим М:

  (Б1.10)

Разделим обе части уравнения (Б1.10) на r/M, получим:

   (Б1.11)

В результате:

   (Б1.12)

Найдем решение уравнения (Б1.7) приравняв его к численному значению р:

   (Б1.13)

Решая (Б1.13) относительно N, получаем:

  (Б1.14)

Так ка потенциал является четной функцией относительно α, т.е. , то С4=0:

   (Б1.15)

Подставляя (Б1.11) и (Б1.15) в соотношение (Б1.3) получим решение уравнения:

  (Б1.16)

Полное решение (Б1.16) имеет вид:

  •  для внутренней области

  (Б1.17)

  •  для внешней области

  (Б1.18)


Приложение В

Программа для расчета эпюр электромагнитных полей

#include<dir.h>

#include<stdio.h>

#include<conio.h>

#include<graphics.h>

#include<stdio.h>

#include<math.h>

const int N = 1000; // array variable

float E0 = 5, a = 0.0072, b = 0.0034, l = 0.013, ze = 276.8 , L = 0.0125 ,Kp = 0.502;

int m=1, n=5;

float kf1 , kf2;

float Hx(float x, float y)

 { return -kf1/ze * sin(m*M_PI*x/a)*cos(n*M_PI*y/b); }

float Hy(float x, float y)

 { return  kf2/ze * cos(m*M_PI*x/a)*sin(n*M_PI*y/b); }

float Ex(float x, float y)

 { return  E0*kf1 * cos(m*M_PI*x/a)*sin(n*M_PI*y/b); }

float Ey(float x, float y)

 { return  E0*kf2 * sin(m*M_PI*x/a)*cos(n*M_PI*y/b); }

float F(float z)

 { return cos(-Kp*z); }

void main()

{ kf1 = E0*(m*n/L)*(a*b*b)/(m*m*b*b+n*n*a*a);

 kf2 = E0*(m/L)*(a*a*b)/(m*m*b*b+n*n*a*a);

 Kp = 2*M_PI/L;

float x, y, z, E_x, E_y, H_x, H_y, H_z;

mkdir("c:\\data_tp");

FILE *out;

out = fopen("c:\\data_tp\\file1.dat","wt");

x = 0;

do

 {

  E_x = Ex(x,b/8); E_y = Ey(x,0); H_x = Hx(x,0); H_y = Hy(x,b/8);

  fprintf(out,"%f %f %f %f %f \n",x, E_x, E_y, H_x, H_y);

  x += 1e-5;

 } while (x < a);

fclose(out);

y = 0;

out = fopen("c:\\data_tp\\file2.dat","wt");

do

 {

  E_x = Ex(0,y); E_y = Ey(a/2,y); H_x = Hx(a/2,y); H_y = Hy(0,y);

  fprintf(out,"%f %f %f %f %f \n",y, E_x, E_y, H_x, H_y);

  y += 1e-5;

 } while (y < b);

fclose(out);

z = 0;

out = fopen("c:\\data_tp\\file3.dat","wt");

do

 {

  E_x = -ze*kf2*F(z); E_y = -ze*kf1*F(z); H_x = kf1*F(z); H_y =kf2*F(z);

  H_z = E0*sin(-Kp*z);

  fprintf(out,"%f %f %f %f %f %f\n",z, E_x, E_y, H_x, H_y, H_z);

  z += 1e-4;

 } while (z < 0.1);

fclose(out);

float Lkp = 0.002239;

float vgr, vfz, cn = 0;

out = fopen("c:\\data_tp\\file4.dat","wt");

do

 {

  L = cn/( sqrt(3-(cn/Lkp)*(cn/Lkp)));

  ze = 217.6*cn/L;

  fprintf(out,"%f %f %f \n",cn, L, ze);

  cn += 1e-6;

 } while (cn < Lkp-3e-5);

 fclose(out);

}




 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83463. Поняття визнання в міжнародному праві 35.51 KB
  Таке визначення визнання вказує поперше на те що це є акт політичний який залежить від політичних інтересів держави що визнає та подруге це є акт правовий тобто такий що тягне за собою правові наслідки встановлення дипломатичних консульських відносинукладення договорів та ін. Інститут визнання відноситься відповідно дестинаторами визнання є до визнання державиуряду повсталої сторони нації що бореться за свою незалежність. В ширшому розумінні визнання відноситься до будьякої правової ситуації наприклад визнання...
83464. Теорії визнання 36.65 KB
  Згідно з конститутивною теорією визнання лише визнання породжує відповідні правові наслідки та надає відповідні правові консти туюючі правовстановлюючі якості дестинатору визнання: державі міжнародну правосуб’єктністьуряду здатність представляти державу у міжнародних відносинах. Відповідно без визнання держава не може вважатися суб’єктом міжнародного права. Серед недоліків конститутивної теорії визнання потрібно зазначити поперше відсутність визначеної кількості актів визнання необхідних для надання дестинатору зазначених...
83465. Види визнання 36.34 KB
  Визнання держави має місце у випадках появи нової незалежної держави революційних та інших соціальних перетворень територіальних змін об’єднання та розділу держав і т. Основним критерієм визнання держави є її незалежність та самостійність у реалізації ефективної та легітимної державної влади що означає законність її встановлення та підтримку з боку населення встановленого режиму. Визнання уряду означає визнання його здатності здійснювати ефективну державну владу в країні та представляти її на міжнародній арені.
83466. Визнання держав 34.95 KB
  В міжнародному праві існують дві теорії визнання держав конститутивна і декларативна. Конститутивна теорія: політичний акт визнання є попередньою умовою існування юридичних прав нової держави. Саме акт визнання іншими державами створює нову державу породжує і забезпечує її міжнародну правосуб’єктність. Визнання нової держави яка додержує умов державності має бути правовим обов’язком.
83467. Форми визнання 36.2 KB
  Найбільш поширеним є визнання dejure яке є офіційним повним та остаточним. Воно передбачає встановлення між суб’єктами міжнародного права міжнародних відносин у повному обсязі та супроводжується як правило заявою про офіційне визнання та встановленням дипломатичних відносин. Визнання деюре носить безумовний характер та як правило не може буди відкликане.
83468. Визнання урядів 35.44 KB
  Значення і правові наслідки визнання нового уряду відрізняються від визнання нової держави. Визнання уряду надає йому можливість репрезентувати державу в міжнародних відносинах. Питання визнання уряду виникає лише в тому випадку коли уряд здобуває владу іншим аніж визначено в національному законодавстві шляхом. В міжнародному праві існують такі доктрини щодо визнання урядів: 1.
83469. Доктрини визнання урядів 35.14 KB
  Історії міжнародного права відомі спеціальні доктрини про визнання урядів, названі іменами міністрів закордонних справ Еквадору Карлоса Тобара (доктрина Тобара) і Мексики Хенаро Естради (доктрина Естради), що сформувалися на початку XX століття в практиці держав американського континенту.
83471. Інститут правонаступництва держав в міжнародному праві. Джерела міжнародного правонаступництва 35.98 KB
  Джерела міжнародного правонаступництва Для стабільності міжнародних відносин важливе значення має послідовне виконання суб’єктами міжнародного права укладених ними міжнародних договорів їх міжнародних зобов’язань щодо території власності членства у міжнародних організаціях тощо. Інститут правонаступництва у міжнародному праві є міжгалузевим інститутом: його норми містяться в праві міжнародних договорів праві міжнародних організацій міжнародному економічному праві та ін. Тривалий час основу інституту правонаступництва складали звичаєві...