49625

ДИСКРЕТНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ И ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Курсовая

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Дискретная обработка аналогового сигнала.1 Сравнить форму спектра дискретизированной последовательности со спектром исходного аналогового сигнала. Установить связь между: результатом Z – преобразования и спектральной плотностью дискретной последовательности; спектром исходного периодического аналогового сигнала и дискретными отсчетами его спектральной плотности.1 Методом билинейного Zпреобразования синтезировать цифровой фильтр нижних частот ФНЧ с частотой среза равной ширине основного лепестка в области положительных частот спектра...

Русский

2014-01-04

913.5 KB

32 чел.

Федеральное Агенство по образованию Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

(ТУСУР)

Кафедра теоретических основ радиотехники

(ТОР)

ДИСКРЕТНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ И ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине

“Радиотехнические цепи и сигналы”

Студент гр.123-2

_______Майчук О.М.

«____»  ___________ 2005 г. Руководитель:

Профессор каф.ТОР

  Краковский В.А.

«____»  ___________ 2005 г.

2005


Задание к курсовой работе

1. Дискретная обработка аналогового сигнала. Задание к первой части курсовой работы  

1.1  Дискретизировать заданный шифром сигнал (таблица А.2) и восстановить аналоговый сигнал, используя ряд Котельникова.

1.2  Рассчитать спектр дискретной последовательности, определенной в пункте 1.1. Построить график.

1.3  Найти z- преобразование найденной в пункте 1.1 дискретной последовательности.

1.4  Определить дискретное преобразование Фурье (ДПФ) той же дискретной последовательности. Восстановить аналоговый сигнал, используя тригонометрический ряд Фурье.

1.5  По результатам пункта 1.4 найти исходную дискретную последовательность, применяя обратное дискретное преобразование Фурье к . Построить график.

1.6  Произвести сравнение результатов вычислений.

1.6.1 Сравнить форму спектра дискретизированной последовательности со спектром исходного аналогового сигнала.

1.6.2.  Установить связь между: результатом Z – преобразования и спектральной плотностью дискретной последовательности; спектром исходного периодического аналогового сигнала и дискретными отсчетами его спектральной плотности.  

2.  Синтез ЦФ Чебышева по заданной АЧХ цифрового фильтра.

2.1  Методом билинейного Z-преобразования синтезировать цифровой фильтр нижних частот (ФНЧ) с частотой среза ,равной ширине основного лепестка (в области положительных частот) спектра входного сигнала . При этом в качестве аналогового прототипа необходимо использовать фильтр Баттерворта (ФНЧ с максимально плоской АЧХ), обеспечивающий на удвоенной частоте среза аналогового фильтра  затухание не меньше , дБ.

2.2  Рассчитать АЧХ, ФЧХ и импульсную характеристику синтезированного цифрового фильтра.

2.3  Определить вид дискретного сигнала на выходе фильтра при воздействии на его вход последовательности отсчетов, рассчитанных в первой части курсовой работы.


Содержание

  1.  Введение                                                                                                     4

  1.  Цифровая обработка аналогового сигнала                                              5
    1.   Математическое описание аналогового сигнала                                   5
    2.   Расчет спектральной плотности аналогового сигнала                          5
    3.   Дискретизация аналогового сигнала по времени                                  7
    4.   Восстановление аналогового сигнала с использованием ряда Котельникова                                                                                                        8
    5.   Расчет спектральной плотности дискретизированного сигнала          9
    6.   Z-преобразование дискретной последовательности                            10
    7.   Расчет коэффициентов дискретного преобразования Фурье (ДПФ)  11
    8.   Восстановление исходного сигнала по ДПФ                                        12
    9.   Обратное дискретное преобразование Фурье                                       13

  1.  Синтез цифрового фильтра Чебышева по заданной АЧХ ЦФ             15
    1.   Определение параметров АЧХ цифрового ФНЧ                                  15
    2.   Определение параметров АЧХ аналогового фильтра Чебышева        15
    3.   Определение порядка фильтра Чебышева                                             16
    4.   Определение передаточной функции аналогового фильтра      Чебышева                                                                                                              18
    5.   Расчет и построение временных характеристик аналогового фильтра Чебышева                                                                                                              18
    6.   Расчет системной функции ЦФ Чебышева                                            20
    7.   Расчет частотных характеристик ЦФ Чебышева                                  21
    8.   Расчет импульсной характеристики ЦФ Чебышева                             21
    9.   Прохождение дискретного сигнала через ЦФ Чебышева                    22

  1.  Приложение                                                                                               23

  1.  Список использованной литературы                                                      34

  1.  
    Введение

Одним из основных и перспективных направлений современной обработки радиосигналов является цифровая фильтрация. В её основе лежит преобразование сигналов в последовательности чисел и обработка этой последовательности в цифровом вычислительном устройстве , роль которого может выполнять как универсальная ЭВМ , так и специализированный цифровой процессор.

Применение в радиоэлектронике цифровой фильтрации открывает дополнительные возможности при обработке сигналов. В частности, могут быть реализованы сложные алгоритмы фильтрации, которые аналоговыми методами в ряде случаев вообще не удаётся осуществить. С другой стороны, возможен синтез в цифровой форме аналогов известных радиотехнических устройств различного функционального назначения, а именно: фильтров, преобразователей частоты, детекторов и т.п.

Задание на курсовую работу состоит из двух частей. Первая часть включает подготовку аналогового сигнала к цифровой обработке. Вторая часть содержит синтез ЦФ, анализ  частотных и временных характеристик ЦФ и расчет отклика ЦФ в виде выходной дискретной последовательности.

  1.  
    Цифровая обработка аналогового сигнала.
    1.  Математическое описание аналогового сигнала.

Исходный аналоговый сигнал представлен на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 Исходный аналоговый сигнал.

Параметры импульсов  и  и интервала описания сигнала:

Поинтервальное описание сигнала выглядит следующим образом:

Составим математическую модель, используя функцию Хевисайда:

   (2.1)

  1.  Расчет спектральной плотности аналогового сигнала

Воспользуемся преобразованием Фурье:

      (2.2)

    (2.3)

Возьмем первый интеграл, применив интегрирование по частям:


Возьмем второй интеграл:

Тогда спектральная плотность будет равна:

.    (2.4)

Построим частотные характеристики. Спектральную плотность нормируем относительно интервала описания сигнала

График модуля спектральной плотности сигнала представлен на рисунке 2.2

Рисунок 2.2 – График модуля спектральной плотности сигнала

График фазы спектральной плотности представлен на рисунке 2.3:

Рисунок 2.3 – График фазы спектральной плотности сигнала

  1.  Дискретизация аналогового сигнала по времени

Для определения верхней частоты спектра сигнала воспользуемся пороговым критерием: для частот выше “верхней” модуль спектральной плотности не превышает уровня  от максимального значения.

. Таким образом, частота дискретизации  и интервал дискретизации  будут равны:

,       (2.5)

Сигнал может быть приближенно описан конечным числом выборочных значений. Число выборочных значений, которыми полностью описывается сигнал, называют числом степеней свободы сигнала.

Число степеней свободы  будет равно:

        (2.6)

Но, как мне кажется, чтобы описать исходный сигнал, девяти отсчетов будет мало. Поэтому зададим новый пороговый уровень. Пусть он будет равен 0.014 от максимального значения. Тогда .

, а

Число степеней свободы будет равно:

На рисунке 2.4 приведены отсчеты дискретизированного сигнала:

Рисунок 2.4 – Отсчеты исходного аналогового сигнала

Таким образом, сигнал задается последовательностью отсчетов вида:

Запишем математическую модель дискретного сигнала:

   (2.7)

  1.  Восстановление аналогового сигнала с использованием ряда Котельникова

Восстановление аналогового сигнала по заданным отсчетам произведем, используя ряд Котельникова, а именно:

.         (2.8)

Другими словами, восстановленный сигнал представляет собой сумму функций Котельникова с весами, равными отсчетам сигнала. На рисунке 2.5 приведен результат восстановления:

Рисунок 2.5 – Аналоговый сигнал, восстановленный с помощью ряда Котельникова.

Как видно из рисунка, форма восстановленного сигнала напоминает исходную, однако значения исходного сигнала и восстановленного точно совпадают лишь в точках отсчета.

Увеличение числа отсчетов приведет к повышению точности восстановления, но увеличит объем обрабатываемых данных.

  1.   Расчет спектральной плотности дискретизированного сигнала

Для нахождения спектральной плотности дискретизированного сигнала применим прямое преобразование Фурье:

    (2.9)

Выполняя нормировку относительно числа степеней свободы  и, используя фильтрующее свойство -функции, получим:

На рисунке 2.6 изображены модули спектральной плотности дискретного непериодического сигнала и исходного аналогового сигнала.

Рисунок 2.6 – Модули спектральных плотностей исходного аналогового (пунктирная линия) и дискретизированного (сплошная линия) сигналов

Анализируя рисунок 2.6, можно сделать очень важный вывод: при дискретизации сигнала во временной области спектральная плотность становится периодической функцией частоты с периодом, равным . В то время как континуальный сигнал имеет апериодический спектр.


2.6
Z-преобразование дискретной последовательности

Прямое Z-преобразование дискретной последовательности sk   определяется формулой:

       (2.10)

Функцию  называют Z-образом последовательности .

Рассматриваемый сигнал представляет собой сумму трех дискретизированных функций Хевисайда:

Сдвиг дискретной последовательности на n отсчетов приводит к умножению Z-образа на оператор сдвига .

Умножение дискретной последовательности на k приводит к дифференцированию Z-образа:

       (2.11)

Применяя все вышесказанное, получим Z-образ исходной дискретной последовательности:

Для того чтобы на основании Z-образа последовательности отсчетов было возможно получить спектральную плотность, необходимо сделать замену вида:

        (2.12)

На рисунке 2.7 изображён модуль спектральной плотности дискретизированного сигнала, полученной на основе Z-преобразования (с учётом нормирования относительно числа степеней свободы N=24).

График получившийся функции совпадает со спектральной плотностью дискретизированного сигнала, полученной с помощью ППФ. Следовательно, спектральная плотность дискретной последовательности найдена правильно.

Рисунок 2.7 – Спектральная плотность последовательности отсчетов с учетом нормирования относительно N

Таким образом, пара Z-преобразований позволяет связать частотный и временной образы дискретного сигнала. Причём, выборке отсчётов сигнала во временной области соответствует периодическая спектральная плотность в частотной области с периодом повторения .

  1.   Расчет коэффициентов дискретного преобразования Фурье (ДПФ)

В тех случаях, когда последовательность отсчётов периодична, можно установить однозначную связь между временными отсчётами сигнала и отсчётами его спектральной плотности с помощью прямого дискретного преобразования Фурье (ПДПФ):

       (2.13)

Приведем коэффициенты ряда Фурье в таблице 2.1:

Таблица 2.1

 

На рисунке 2.8 представлены графически модули комплексных коэффициентов Фурье:

Рисунок 2.8 – Отсчеты спектральной плотности, полученные по ДПФ

Дискретный периодический сигнал обладает дискретным периодическим спектром. Отсчёты во временной и частотной областях связаны парой ДПФ.

  1.   Восстановление исходного сигнала по ДПФ

Дискретное преобразование Фурье сопоставляет отсчетам сигнала во временной области отсчеты спектральной плотности в частотной области. Используя частотные отсчеты, которые являются коэффициентами ДПФ, можно восстановить исходный аналоговый сигнал. При этом используется ряд Фурье:

       (2.14)


Для восстановления аналогового сигнала , дискретизация которого дала  отсчетов, можно использовать ряд Фурье, представляющий конечную сумму.

  (2.15)

На рисунке 2.9 представлен результат восстановления сигнала по отсчетам его спектральной плотности.

Рисунок 2.9 – Аналоговый периодический сигнал, восстановленный по коэффициентам ДПФ

Восстановленный сигнал является периодической функцией времени. Он точно проходит по отсчётам выборки на первом периоде. Очевидно, что при большем значении  восстановление будет точнее.

  1.   Обратное дискретное преобразование Фурье

Прямое дискретное преобразование Фурье позволяет по дискретным отсчетам сигнала во временной области получить отсчеты его спектральной плотности в частотной области. Обратное ДПФ выполняет противоположное действие – по отсчетам спектра можно рассчитать значения отсчетов во временной области:

       (2.16)

Отсчеты сигнала , подсчитанные по формуле (2.12), совпадают с исходной выборкой.

Построим график по полученным значениям.


Рисунок 2.10 – Аналоговый периодический сигнал, полученный по коэффициентам ДПФ.

График аналогового периодического сигнала, полученный по коэффициентам ДПФ, полностью совпадает с исходным (рисунок 2.4).

Так как по ходу работы выводы делались по ходу работы, сравнение результатов производится не будет.

  1.  
    Синтез цифрового фильтра Чебышева по заданной АЧХ ЦФ             
    1.  Определение параметров АЧХ цифрового ФНЧ

Фильтр Чебышева выбирают тогда, когда требуется равноволновое приближение к АЧХ идеального ФНЧ.

Согласно заданию, цифровой ФНЧ с частотой среза  должен удовлетворять двум условиям:

  1.  неравномерность АЧХ в полосе пропускания не более 1 дБ для , где ;
  2.  затухание АЧХ в полосе задерживания не менее 20 дБ на частоте

Мы оцениваем полосу частот сигнала по половине ширины главного лепестка спектра, поэтому частота среза ЦФ определяется по формуле:

        (3.1)

Скорость обработки сигнала должна совпадать со скоростью работы ЦФ, т.е. частота дискретизации сигнала и период АЧХ цифрового фильтра должны быть одинаковыми.

Для рассматриваемого в первой части курсовой работы сигнала частота дискретизации равна:

3.2 Определение параметров АЧХ аналогового фильтра Чебышева        

Произведем перерасчет частот, соответствующих ЦФ  в частоты аналогового фильтра. Для этого воспользуемся следующим соотношением:

     (3.2)

   

       (3.3)

Значения частот аналогового фильтра, нормированные относительно частоты среза, равны:

       (3.4)

  1.   Определение порядка фильтра Чебышева

Порядок фильтра Чебышева зависит лишь от величины необходимого затухания на удвоенной частоте среза. Данное условие представляется в виде неравенства:

       (3.5)

Следовательно, необходимо рассчитать коэффициент передачи  для фильтров разных порядков и выбрать фильтр, удовлетворяющий данному условию.

АЧХ аналогового ФНЧ Чебышева описывается следующим выражением:

, где      (3.6)

- параметр, характеризующий неравномерность АЧХ в полосе пропускания;

- полином Чебышева первого рода порядка .

Как видно из формулы, необходимо задать параметр , характеризующий величину флуктуаций АЧХ в полосе пропускания:

, где        (3.7)

- величина неравномерности в дБ

На рисунке 3.1 приведены АЧХ фильтров Чебышева разного порядка:

Рисунок 3.1 – АЧХ фильтра Чебышева


Чтобы обеспечить затухание  дБ, надо выбрать фильтр порядка .

       (3.8)

Таким образом, АЧХ анализируемого фильтра Чебышева выглядит следующим образом:

     (3.9)

На рисунке 3.2 представлена амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева третьего порядка, а на рисунке 3.3 – фазо-частотная.

Рисунок 3.2 – АЧХ анализируемого фильтра Чебышева

Рисунок 3.3 – ФЧХ анализируемого фильтра Чебышева

  1.  
    Определение передаточной функции аналогового фильтра Чебышева

Фильтр Чебышева нижних частот порядка  имеет следующее выражение передаточной функции цепи:

, где  (3.10)

;

- вещественные коэффициенты;

- полюса функции .

Для рассматриваемого фильтра третьего порядка полюса операторного коэффициента передачи имеют следующие значения:

После подстановки полюсов в формулу (3.8) получим:

    (3.11)

  1.   Расчет и построение временных характеристик аналогового фильтра Чебышева

Для расчета временных характеристик необходимо перейти от  к , для этого необходимо воспользоваться подстановкой .

    (3.12)

(3.13)

(3.14)

При построении графика переходной характеристики целесообразно нормировать временную ось через


Рисунок 3.3 – Переходная характеристика фильтра Чебышева

Найдем импульсную характеристику фильтра Чебышева:

  (3.15)

На рисунке 3.4 приведена нормированная импульсная характеристика фильтра:

Рисунок 3.4 – Импульсная характеристика фильтра

  1.  
    Расчет системной функции ЦФ Чебышева   

     

При синтезе цифрового фильтра методом билинейного Z-преобразования его системную функцию  определяют исходя из коэффициента передачи  аналогового фильтра-прототипа. При этом производится замена следующего вида:

    (3.16)

Эта замена приводит к изменению масштаба частоты:

(3.17)

Из структуры системной функции видно, что полученный ЦФ является фильтром третьего порядка. С технической точки зрения, реализация сумматора как элемента ЦФ проще, чем реализация линии задержки, поэтому целесообразно представить ЦФ в виде каскадного соединения двух фильтров первого и второго порядков:

    (3.18)

Занесем коэффициенты  и  в таблицу.

Таблица 3.1 – Коэффициенты  и  цифрового фильтра

Структура цифрового фильтра приведена на рисунке 3.5:

Рисунок 3.5 – Структурная схема цифрового фильтра Чебышева

  1.   Расчет частотных характеристик ЦФ Чебышева

Чтобы от системной функции перейти к его амплитудно-частотной характеристике, достаточно сделать замену следующего вида:

        (3.19)

На рисунке 3.6 приведена АЧХ цифрового фильтра Чебышева:

Рисунок 3.6 – АЧХ цифрового фильтра

  1.  Расчет импульсной характеристики ЦФ Чебышева

Для получения импульсной характеристики цифрового фильтра необходимо произвести обратное -преобразование системной функции ЦФ:

, где   (3.20)

- корни полинома знаменателя системной функции ЦФ

Значение нулевого отсчета импульсной характеристики равно ; его мы определим непосредственно из схемы фильтра (рисунок 3.5).

Дискретная импульсная характеристика ЦФ приведена на рисунке 3.7:

Рисунок 3.7 – Отсчеты импульсной характеристики ЦФ

  1.   Прохождение дискретного сигнала через ЦФ Чебышева

Сигнал на выходе фильтра определим, воспользовавшись дискретной сверткой:

       (3.21)

На вход фильтра подадим аналоговый периодический сигнал, рассмотренный в первой части курсовой работы.

На рисунке 3.8 приведены отсчеты сигнала на выходе ЦФ Чебышева:

Рисунок 3.8 – Результат прохождения аналогового периодического сигнала через ЦФ Чебышева

  1.  Приложение









  1.  
    Список использованной литературы.

  1.  Каратаева Н.А. РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ. Дискретная обработка сигналов и цифровая фильтрация: Методические указания по выполнению курсовой работы. – Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2002. - 93 с.

  1.  Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы.Москва. “Высшая школа”, 2000. – 462 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75670. Динамічні структури, що розгалужуються (дерева) 455.83 KB
  На початку програми зявляється розбита на елементи формула-зразок у вигляді дерева. Вершина цього дерева містись саму формулу. У листах дерева містяться змінні. Користувач може ввести свою формулу натиснувши клавішу Insert. Після того можна змінити значення змінних, які за замовчуванням дорівнюють
75671. Задача синтаксичного аналізу формули 267.86 KB
  На початку програми користувачу пропонується ввести вираз. Потім вираз перевіряється на коректність за допомогою функції bool CheckExp(string s). Спочатку відбувається перевірка використаних символів. Потім перевірка правильності розставлення дужок, знаків, запису функції у виразі...
75672. Ефективні методи програмування задач редагування і пошуку в послідовностях. Збалансовані дерева 180.05 KB
  Закріпити знання про динамічні структури даних. Сформувати навички обробки збалансованих дерев. Сформувати уміння застосовувати АВЛ-дерева для редагування і пошуку в послідовностях.
75673. Задачі обчислювальної геометрії 264.79 KB
  Припустимо, що знайдена найменша в лексикографічному порядку точка р1 заданої множини точок. Ця точка завідомо є вершиною оболонки, і тепер треба знайти наступну за нею вершину р2 опуклої оболонки. Точка р2 - це точка, яка має найменший позитивний полярний кут відносно точки р1 як початку координат
75674. Задачі комбінаторики (перебору) 547.83 KB
  На початку виконання програми користувачу пропонується ввести кількість елементів, а потім, відповідно, вагу кожного елемента (ціле число). Усі елементи записуються я у головний масив. Для двох груп елементів створюються два нових пустих масиви.
75675. Динамічні інформаційні структури (ДІС) 467.95 KB
  Засвоїти знання про динамічні інформаційні структури. Сформувати навички опису ДІС і використання стандартних функцій при реалізації АТД ДІС засобами мови С++. Сформувати вміння застосовувати ДІС для розв’язування практичних задач.
75676. Стилистическое использование грамматических категорий глагола 268.97 KB
  Стилистическая характеристика категории времени При изучении стилистики глагола особое внимание привлекает категория времени которую характеризуют своеобразное функционирование в разных видах речевой деятельности и широкие экспрессивные возможности благодаря богатой синонимии временных форм. В сравнении с другими грамматическими категориями глагола категория времени наиболее наглядно отражает функциональностилевую специфику использования глагольных форм. В художественной речи как и в разговорной широко представлены самые различные формы...
75677. Стилистическое использование неспрягаемых форм глагола 15.82 KB
  Инфинитив Инфинитив как неспрягаемая форма глагола лишен важнейших грамматических категорий наклонения времени лица рода числа что определяет его особое положение: инфинитив не центр глагольной системы а ее окраина как образно об этом сказал В. При статистическом подсчете получены интересные данные об использовании инфинитива в книжных стилях. Важно учесть среднюю частотность инфинитивов в отношении к общему числу глаголов в этих стилях. Характерно что при наименьшем количестве глаголов деловая речь дает наибольшее количество форм...
75678. Стилистика наречия 114.56 KB
  Важной отличительной чертой наречий является их соотнесенность с другими частями речи от которых они образуются и с которыми не теряют функциональной связи. Большинство наречий образовано от качественных прилагательных от которых они унаследовали не только общность лексического значения но и стилистическую активность. Однако стилистическая инертность лексического значения подобных наречий может компенсироваться выразительностью их словообразования. Так выделяются словообразовательные модели наречий в основе которых лежит сравнение что...