49688

Визуализация численных методов

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

В курсовой работе требуется написать программу на языке Visual Basic, для решения и визуализации данного дифференциального уравнения первого порядка при помощи графика. В программе я сравню эти два метода и затем попытаюсь оценить погрешность и правильность решения.

Русский

2014-01-07

1.19 MB

4 чел.

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУИКАЦИЙ ИИНФОРМАТИКИ

Кафедра физики, прикладной математики и информатики

Курсовая по информатике

             

           На тему: «Визуализация численных методов»

      Студент: Паршуков Артем Алексеевич

Группа:  МЕ-51

      Преподаватель: Минина Елена Евгеньевна

 

Екатеринбург 2006

Оглавление

[1] Оглавление

[1.1] Постановка задачи:

[1.2] Математическая модель:

[2]
Описание используемых методов

[2.1] Метод Эйлера модифицированного

[2.2] Блок-схема описания функции:

[2.3] Исходная форма:

[2.4] Итоговая форма:

[3] Листинг программы на языке Visual Basic

[4] Вывод


Введение

В данной курсовой работе у меня состоит задача в том, чтобы решить дифференциальное уравнение  с помощью двух методов:1)Эйлер 2) Эйлер Модифицированный

В курсовой работе требуется написать программу на языке Visual Basic, для решения и визуализации данного дифференциального уравнения первого порядка при помощи графика. В программе я сравню эти два метода и затем попытаюсь оценить погрешность и  правильность решения.


Постановка задачи и математическая модель

Постановка задачи:

Дано дифференциальное уравнение и начальное условие . Требуется найти функцию , удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию. Также получить результаты в виде таблицы, и затем их отобразить на графиках.

Математическая модель:

Дано:

 

X0=0

Xk=0.8

h=0.05

Y0=4

Найти:

Y - массив значений искомого решения в узлах сетки.


Описание используемых методов

Метод Эйлера:

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:


с начальным условием:              

Выберем шаг h=0.1 и введём обозначения:

и , где  =0,1,2…,

-узлы сетки,

-значение интегральной функции в узлах.

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведём замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной АВ.

Тогда                                 (2).

Из прямоугольного треугольника АВС:                                        (3).

Приравняем правые части (1) и(3). Получим .

Отсюда

Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчёта очередной точки интегральной функции:  (4).

Из формулы (4) видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Метод Эйлера модифицированного

Этот метод используется для уменьшения погрешности вычислений.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием: 

Выберем шаг h=0.1 и введём обозначения: и , где  =0,1,2…,

-узлы сетки,

-значение интегральной функции в узлах.

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 4.

 

Проведем решение в несколько этапов:

1.   Обозначим точки: А(хi; уi), C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi; yi)) и В(хi+1; yi+1).

2.   Через точку А проведем прямую под углом , где

3.   На этой прямой найдем точку C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi; yi)).

4.   Через точку С проведем прямую под углом, где                                                                                                                                                                                                         

5.   Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.

6. Найдем точку Bi+1; yi+1). Будем считать В(хi+1; yi+1) решением дифференциального уравнения при х= хi+1.                                                                                                  

7.   После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения yi+1: 

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 4 это хорошо видно. Так величина  характеризует погрешность метода Эйлера, а  - погрешность метода Эйлера модифицированного.


Блок-схемы

Блок-схема описания функции:


Виды формы проекта

Исходная форма:

Итоговая форма:

Листинг программы на языке Visual Basic

Dim x(25) As Single, y1(25) As Single, y2(25) As Single, y3(25) As Single

Private x0 As Single

Private xk As Single

Function f(x, y As Single) As Single

   f = 2 * y * x / (x + 1)

End Function

Private Sub Command1_Click()

Dim k, k1, k2, k3, k4, y0, r As Single

Dim i

   x0 = Val(text1.Text)

   xk = Val(Text2.Text)

   h = Val(Text3.Text)

   y0 = Val(Text4.Text)

   e = 2.7

   n = Round((xk - x0) / h)

   c = (y0 * (x0 + 1) ^ 2) / Ee ^ (2 * x0)

   MSFlexGrid1.Rows = n + 2

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Y(Э)"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Y(ЭМ)"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Y(О)"

   Max = 0

   Min = y0

   y2(i) = y0

   y3(i) = y0

For i = 0 To n

   x(i) = x0 + i * h

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = x(i)

   y1(i) = (e ^ (2 * x(i))) * c / (x(i) + 1) ^ 2

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(Round(y1(i), 4))

    y2(i + 1) = y2(i) + h * f(x(i) + h / 2, y2(i) + h / 2 * f(x(i), (y2(i))))

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(Round(y2(i), 4))

   y3(i + 1) = y3(i) + h * f(x(i), y3(i))

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(Round(y3(i), 4))

If y1(i) > Max Then Max = y1(i)

If y1(i) < Min Then Min = y1(i)

Next i

   Label5.Caption = Str(Round(Max, 4))

   Label6.Caption = Str(Round(Min, 4))

   Label7.Caption = Str(x0)

   Label8.Caption = Str(xk)

   Picture1.Cls

       kx = (Picture1.Width - 1000) / (xk - x0)

       ky = (Picture1.Height - 1050) / (Max - Min)

For i = 1 To n - 1

   z1 = Round(250 + (x(i) - x0) * kx)

   z2 = Round(5045 - (y1(i) - Min) * ky)

   z3 = Round(250 + (x(i + 1) - x0) * kx)

   z4 = Round(5045 - (y1(i + 1) - Min) * ky)

   Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)

   z1 = Round(250 + (x(i) - x0) * kx)

   z2 = Round(5045 - (y3(i) - Min) * ky)

   z3 = Round(250 + (x(i + 1) - x0) * kx)

   z4 = Round(5045 - (y3(i + 1) - Min) * ky)

   Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)

   z1 = Round(250 + (x(i) - x0) * kx)

   z2 = Round(5045 - (y2(i) - Min) * ky)

   z3 = Round(250 + (x(i + 1) - x0) * kx)

   z4 = Round(5045 - (y2(i + 1) - Min) * ky)

   Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)

Next i

End Sub

Вывод 

В данной курсовой работе было рассмотрено два метода решения дифференциального уравнения: Эйлер и Эйлер модифицированный. Значения этих двух методов и общего решения сводится в таблицу, на основании которой строится график.

Из графика видно, что метод Эйлера имеет большую погрешность, чем метод Эйлера модифицированного. Кривая общего решения находится между двумя этими кривыми, ближе к кривой Эйлера модифицированного.


Начало

X0,Xk,Y0,h

n=(Xk-X0)/h

X(i)=Xo+i*h

C=y^2+(1-x)^2

Y3(i)

i=0..n

X(i)

Y1(i)

y1(i)=(e ^ (2 * x(i))) * c / (x(i) + 1) ^ 2

Y1(i)>MAX

MAX=Y1(i)

MIN=Y1(i)

Y1(i)<MIN

y2(i + 1)=y2(i) + h*f(x(i) + h / 2, y2(i) + h / 2 * f(x(i), (y2(i))))

Y2(i)

2

y3(i + 1) = y3(i) + h * f(x(i), y3(i))

Y2(i)

Label7

Label8

2

Label6

Z4=(y1(i+1)-MIN)*KY

Z3= (X(i+1)-X0)*KX

Z2=(y1(i)-MIN)*KY

Z1= (X(i)-X0)*KX

i=0..n-1   

KY=(Height-1050)/(MAX-MIN)

KX=(Width-1000)/(Xk-X0)

Line(Z1,Z2)-(Z3,Z4)

Z2=(y2(i)-MIN)*KY

Z1= (X(i)-X0)*KX

2

2

Z4=(y2(i+1)-MIN)*KY

Z3=(X(i+1)-X0)*KX

Line(Z1,Z2)-(Z3,Z4)

Line(Z1,Z2)-(Z3,Z4)

Z4=(y3(i+1)-MIN)*KY

Z3= (X(i+1)-X0)*KX

Z2=(y3(i)-MIN)*KY

Z1= (X(i)-X0)*KX

Конец

f=2xy/(x+1)

F(x,y)

Конец

1

3

1

3

1

3

1

3

Text3

Label4

Text4

Label2

Text2

Label3

Label1

Text1

MSFlexGrid1

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

Label5

Command1

Picture1

Min=y0, Max=0,

Y2=y0, y3=y0

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54958. Причины и социально-экономические последствия инфляции. Антиинфляционная политика государства 18.02 KB
  Как свидетельствует опыт, остановить инфляцию с помощью одних организационных мер весьма трудно, если не сказать невозможно. Для этого необходима структурная реформа, направленная на преодоление возникших в экономике диспропорций.
54959. Пусть всегда будет солнце 62.5 KB
  Вид урока Комбинированный Тип урока Комплексный урок Государственный социальный заказ Во исполнение Закона Российской Федерации Об образовании; Закона О развитии образования в городе Москве; Конвенции о правах ребенка;...
54960. ВЫРЕЗАНИЕ ИЗ БУМАГИ 69 KB
  Цели: Обучающая: Способствовать формированию представления о таком виде декоративно прикладного искусства как вырезание из бумаги. Слайды 18 Сейчас вы можете назвать мне тему нашего урока ответы детей Правильно вырезание из бумаги слайд 9 Но давайте нашему уроку придумаем красивое название...
54961. Материки и океаны 65.5 KB
  План урока Этапы урока Задачи этапов Деятельность учителя Деятельность учащихся Методы и приемы Формы работы Средства обучения Самоопределение в деятельности Настрой учащихся на работу активизация познавательных мотивов учащихся создание психологического комфорта в классе...
54962. Конспект урока на тему баскетбол 41.5 KB
  Прыжки и их разновидности: на двух ногах на правой ноге на левой ноге 1мин 5 мин 3мин 2мин Обратить внимание на внешний вид занимающихся Плечи чуть наклонены вперед Темп движения быстрый руки согнуты ноги не соединять Руки на поясе...
54963. Национальный и религиозный состав населения России 60.1 KB
  Цели: познакомить обучающихся с особенностями национального и религиозного состава населения России. Задачи: образовательные: изучить особенности национального и религиозного состава населения страны языковые семьи и группы; познакомить с национальным составом населения Республики Коми; развивающие: продолжить работу над развитием умения анализировать статистический материал работать с дополнительными источниками; воспитательные: воспитывать гражданственность...
54964. Разработки уроков по информатике 2.39 MB
  Планконспект урока Презентация к уроку Дополнительный материал 2 2 Информация Теория Практика Понятие информации свойства информации единицы измерения объема информации. Планконспект урока Презентация к уроку Дополнительный материал 3 3 Кодирование информации в компьютере Теория Практика Кодирование и декодирование. Планконспект урока Презентация к уроку Дополнительный материал 4 4 Информационная деятельность человека Теория Практика Сбор обработка передача хранение поиск и защита информации. Планконспект урока Презентация к уроку...
54965. Алфавит 64.5 KB
  Буквы значки как бойцы на парад в строгом порядке построены в ряд. Подумайте почему мы прописали именно эти две буквы Первая и последняя буквы алфавита С новой строки пишем соединения букв ал лф фа ав ви ит. С новой строки с маленькой буквы пишем слово алфавит. Беседа Алфавит или азбука это все буквы расположенные в определенном строгом порядке.
54966. Поделка из бумаги. Летящая бабочка 50 KB
  Ход урока Описание урока Комментарии 1 этап Организационный момент Учитель: Долгожданный дан звонок начинается урок. 2 этап Постановка учебной задачи Учитель: Какой праздник приближается 8 марта Что принято совершать в этот день Дарить подарки Кто может предположить что мы будем делать сегодня на уроке...