49688

Визуализация численных методов

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

В курсовой работе требуется написать программу на языке Visual Basic, для решения и визуализации данного дифференциального уравнения первого порядка при помощи графика. В программе я сравню эти два метода и затем попытаюсь оценить погрешность и правильность решения.

Русский

2014-01-07

1.19 MB

4 чел.

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУИКАЦИЙ ИИНФОРМАТИКИ

Кафедра физики, прикладной математики и информатики

Курсовая по информатике

             

           На тему: «Визуализация численных методов»

      Студент: Паршуков Артем Алексеевич

Группа:  МЕ-51

      Преподаватель: Минина Елена Евгеньевна

 

Екатеринбург 2006

Оглавление

[1] Оглавление

[1.1] Постановка задачи:

[1.2] Математическая модель:

[2]
Описание используемых методов

[2.1] Метод Эйлера модифицированного

[2.2] Блок-схема описания функции:

[2.3] Исходная форма:

[2.4] Итоговая форма:

[3] Листинг программы на языке Visual Basic

[4] Вывод


Введение

В данной курсовой работе у меня состоит задача в том, чтобы решить дифференциальное уравнение  с помощью двух методов:1)Эйлер 2) Эйлер Модифицированный

В курсовой работе требуется написать программу на языке Visual Basic, для решения и визуализации данного дифференциального уравнения первого порядка при помощи графика. В программе я сравню эти два метода и затем попытаюсь оценить погрешность и  правильность решения.


Постановка задачи и математическая модель

Постановка задачи:

Дано дифференциальное уравнение и начальное условие . Требуется найти функцию , удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию. Также получить результаты в виде таблицы, и затем их отобразить на графиках.

Математическая модель:

Дано:

 

X0=0

Xk=0.8

h=0.05

Y0=4

Найти:

Y - массив значений искомого решения в узлах сетки.


Описание используемых методов

Метод Эйлера:

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:


с начальным условием:              

Выберем шаг h=0.1 и введём обозначения:

и , где  =0,1,2…,

-узлы сетки,

-значение интегральной функции в узлах.

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведём замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной АВ.

Тогда                                 (2).

Из прямоугольного треугольника АВС:                                        (3).

Приравняем правые части (1) и(3). Получим .

Отсюда

Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчёта очередной точки интегральной функции:  (4).

Из формулы (4) видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Метод Эйлера модифицированного

Этот метод используется для уменьшения погрешности вычислений.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

с начальным условием: 

Выберем шаг h=0.1 и введём обозначения: и , где  =0,1,2…,

-узлы сетки,

-значение интегральной функции в узлах.

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 4.

 

Проведем решение в несколько этапов:

1.   Обозначим точки: А(хi; уi), C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi; yi)) и В(хi+1; yi+1).

2.   Через точку А проведем прямую под углом , где

3.   На этой прямой найдем точку C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi; yi)).

4.   Через точку С проведем прямую под углом, где                                                                                                                                                                                                         

5.   Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.

6. Найдем точку Bi+1; yi+1). Будем считать В(хi+1; yi+1) решением дифференциального уравнения при х= хi+1.                                                                                                  

7.   После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения yi+1: 

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 4 это хорошо видно. Так величина  характеризует погрешность метода Эйлера, а  - погрешность метода Эйлера модифицированного.


Блок-схемы

Блок-схема описания функции:


Виды формы проекта

Исходная форма:

Итоговая форма:

Листинг программы на языке Visual Basic

Dim x(25) As Single, y1(25) As Single, y2(25) As Single, y3(25) As Single

Private x0 As Single

Private xk As Single

Function f(x, y As Single) As Single

   f = 2 * y * x / (x + 1)

End Function

Private Sub Command1_Click()

Dim k, k1, k2, k3, k4, y0, r As Single

Dim i

   x0 = Val(text1.Text)

   xk = Val(Text2.Text)

   h = Val(Text3.Text)

   y0 = Val(Text4.Text)

   e = 2.7

   n = Round((xk - x0) / h)

   c = (y0 * (x0 + 1) ^ 2) / Ee ^ (2 * x0)

   MSFlexGrid1.Rows = n + 2

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Y(Э)"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Y(ЭМ)"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Y(О)"

   Max = 0

   Min = y0

   y2(i) = y0

   y3(i) = y0

For i = 0 To n

   x(i) = x0 + i * h

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = x(i)

   y1(i) = (e ^ (2 * x(i))) * c / (x(i) + 1) ^ 2

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(Round(y1(i), 4))

    y2(i + 1) = y2(i) + h * f(x(i) + h / 2, y2(i) + h / 2 * f(x(i), (y2(i))))

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(Round(y2(i), 4))

   y3(i + 1) = y3(i) + h * f(x(i), y3(i))

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(Round(y3(i), 4))

If y1(i) > Max Then Max = y1(i)

If y1(i) < Min Then Min = y1(i)

Next i

   Label5.Caption = Str(Round(Max, 4))

   Label6.Caption = Str(Round(Min, 4))

   Label7.Caption = Str(x0)

   Label8.Caption = Str(xk)

   Picture1.Cls

       kx = (Picture1.Width - 1000) / (xk - x0)

       ky = (Picture1.Height - 1050) / (Max - Min)

For i = 1 To n - 1

   z1 = Round(250 + (x(i) - x0) * kx)

   z2 = Round(5045 - (y1(i) - Min) * ky)

   z3 = Round(250 + (x(i + 1) - x0) * kx)

   z4 = Round(5045 - (y1(i + 1) - Min) * ky)

   Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)

   z1 = Round(250 + (x(i) - x0) * kx)

   z2 = Round(5045 - (y3(i) - Min) * ky)

   z3 = Round(250 + (x(i + 1) - x0) * kx)

   z4 = Round(5045 - (y3(i + 1) - Min) * ky)

   Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)

   z1 = Round(250 + (x(i) - x0) * kx)

   z2 = Round(5045 - (y2(i) - Min) * ky)

   z3 = Round(250 + (x(i + 1) - x0) * kx)

   z4 = Round(5045 - (y2(i + 1) - Min) * ky)

   Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)

Next i

End Sub

Вывод 

В данной курсовой работе было рассмотрено два метода решения дифференциального уравнения: Эйлер и Эйлер модифицированный. Значения этих двух методов и общего решения сводится в таблицу, на основании которой строится график.

Из графика видно, что метод Эйлера имеет большую погрешность, чем метод Эйлера модифицированного. Кривая общего решения находится между двумя этими кривыми, ближе к кривой Эйлера модифицированного.


Начало

X0,Xk,Y0,h

n=(Xk-X0)/h

X(i)=Xo+i*h

C=y^2+(1-x)^2

Y3(i)

i=0..n

X(i)

Y1(i)

y1(i)=(e ^ (2 * x(i))) * c / (x(i) + 1) ^ 2

Y1(i)>MAX

MAX=Y1(i)

MIN=Y1(i)

Y1(i)<MIN

y2(i + 1)=y2(i) + h*f(x(i) + h / 2, y2(i) + h / 2 * f(x(i), (y2(i))))

Y2(i)

2

y3(i + 1) = y3(i) + h * f(x(i), y3(i))

Y2(i)

Label7

Label8

2

Label6

Z4=(y1(i+1)-MIN)*KY

Z3= (X(i+1)-X0)*KX

Z2=(y1(i)-MIN)*KY

Z1= (X(i)-X0)*KX

i=0..n-1   

KY=(Height-1050)/(MAX-MIN)

KX=(Width-1000)/(Xk-X0)

Line(Z1,Z2)-(Z3,Z4)

Z2=(y2(i)-MIN)*KY

Z1= (X(i)-X0)*KX

2

2

Z4=(y2(i+1)-MIN)*KY

Z3=(X(i+1)-X0)*KX

Line(Z1,Z2)-(Z3,Z4)

Line(Z1,Z2)-(Z3,Z4)

Z4=(y3(i+1)-MIN)*KY

Z3= (X(i+1)-X0)*KX

Z2=(y3(i)-MIN)*KY

Z1= (X(i)-X0)*KX

Конец

f=2xy/(x+1)

F(x,y)

Конец

1

3

1

3

1

3

1

3

Text3

Label4

Text4

Label2

Text2

Label3

Label1

Text1

MSFlexGrid1

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

Label5

Command1

Picture1

Min=y0, Max=0,

Y2=y0, y3=y0

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72808. Гипотеза образования Земли и ее внутреннее строение 72.5 KB
  Гипотеза образования Земли и ее внутреннее строение. лет назад из холодного газа пылевого облака вследствие взрыва Земли 1го поколения. Тяжёлые элементы опустились вниз и образовали ядро Земли. В определённый момент размеры Земли стали такие что газы выделявшиеся на поверхности из недр стали удерживаться и образовалась атмосфера.
72809. Гипотезы происхождения жизни на земле. Уровни организации живой природы 138 KB
  Вначале Земля была безжизненной но под действием солнечной радиации а так же процесса на поверхности Земли химических веществ произошёл синтез органических соединений который привел к образованию первых примитивных организмов. Исследование метеоритов показали наличие в них сложных органических соединений углеводородов спиртов...
72810. Устройства ввода-вывода информации. Внешние накопители 38 KB
  Благодаря достаточно большому объему и довольно высокой надежности чаще всего используются в рамках устройств резервного копирования данных на предприятиях и в крупных компаниях хранят резервные копии баз данных и другой важной информации.
72812. Компьютерные сети 54 KB
  Компьютерная сеть — это два или более компьютера, обменивающихся информацией по линиям связи. Компьютерная сеть позволяет передавать информацию с одного компьютера на другой, а значит, совместно использовать ресурсы, например, принтеры, модемы и устройства хранения информации.
72813. ФАЙЛЫ И ФАЙЛОВАЯ СИСТЕМА 46.5 KB
  Имя файла состоит из двух частей разделенных точкой: собственно имя файла и расширение определяющее его тип программа данные и т. Собственно имя файлу дает пользователь а тип файла обычно задается программой автоматически при его создании.
72814. Алгоритм, его свойства. Виды алгоритмов. Формы записи алгоритмов 53 KB
  Виды алгоритмов. Формы записи алгоритмов. Решение задач на компьютере основано на понятии алгоритма. Алгоритм –- это точное предписание определяющее вычислительный процесс ведущий от варьируемых начальных данных к исходному результату.
72815. Устройства вывода информации, мониторы и принтеры 46 KB
  Матричные игольчатые принтеры -– это самые дешевые аппараты обеспечивающие удовлетворительное качество печати для широкого круга рутинных операций главным образом для подготовки текстовых документов.