49787

Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Числовые методы позволяют построить интегральную кривую по точкам. В зависимости от того, сколько точек используется для расчета очередной точки интегральной кривой, все численные методы делятся на одношаговые и многошаговые. В нашем случае мы используем одношаговые численные методы.

Русский

2014-01-08

124 KB

2 чел.

Министерство РФ по связи и информатизации

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики»

Уральский технический институт связи и информатики (филиал)

Кафедра физики, прикладной математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по информатике

ВАРИАНТ №14:

«Визуализация численных методов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений».

Исполнитель:

студент гр. ОЕ-71

Паньшин А.А.

Руководитель:

Доцент Минина Е.Е

Екатеринбург

2008

Введение

Дифференциальными называются уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Лишь очень немногие из таких уравнений удается решить без помощи вычислительной техники.

Если решить сложно или невозможно, используют численные методы, то есть приближенные значения. В числовых методах обязательно используют начальные условия, чтобы исключить константу.

Числовые методы позволяют построить интегральную кривую по точкам. В зависимости от того, сколько точек используется для расчета очередной точки интегральной кривой, все численные методы делятся на одношаговые и многошаговые. В нашем случае мы используем одношаговые численные методы.

Основные цели и задачи работы:

Цель моей работы- ознакомление, изучение основ системы программирования Microsoft  Visual  Basic и приобретение начальных навыков решение ДУ в Microsoft  Visual  Basic

1. Постановка задачи

Решить методами Эйлера и Эйлера модифицированного задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка 2*x*y*dx-(x+1)=0

на отрезке [0; 0.8] с шагом h=0.05 и начальным условием: Y(0) = 4. Общее решение: y=exp(2*x)*C/(x+1)^2

Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:

X

Y(1)

Y(2)

YT

X0

Y0(1)

Y0(2)

Y(X0)

X1

Y1(1)

Y1(2)

Y(X1)

Xk

Yk(1)

Yk(2)

Y(Xk)

Где: Y(1) - решение, полученное методом Эйлера, Y(2) – решение, полученное методом Эйлера модифицированного, YT – точное решение дифференциального уравнения.

Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.

Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычесть значение коэффициента c, используемого в общем решении.

2. Описание используемых методов

Метод Эйлера

 Этот  метод  называют   методом  Рунге-Кутта  первого   порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

       Для решения поставленной задачи выполняем следующие действия:

  •  Строим оси координат;
  •  Отмечаем точку A(0; 4) – первую точку интегральной кривой;
  •   Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

  •  Строим касательную AB в точке А под углом α0;
  •  Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 0 + 1 · 0.05 = 0.05;

  •  Проводим прямую x = x1 = 0.05  до пересечения с прямой AB, отмечаем точку B(x1; y1);
  •  Ищем  y1:

Из прямоугольного треугольника  ,

Δy = y1 y0,

 y1 y0= Δx· tg α0

Δx = x1 – x0 = h => y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 4 + 0.05  f(0;4) = 4+0.05*0= 4

Следовательно, точка B имеет координаты (0.05; 4).

Следующую точку будем искать аналогичным способом по формуле расчета очередной точки интегральной функции:

(*)

Метод Эйлера модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Для решения поставленной задачи выполняем следующие действия:

  •  Строим оси координат;
  •  Отмечаем А(0; 4) – первую точку интегральной кривой;
  •  Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

  •  Строим касательную AB в точке А под углом α0;
  •  Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 0 + 0.05 · 1 = 0.05;

  •  Делим шаг интегрирования на два отрезка и отмечаем x1/2= x0 + h/2, проводим прямую из этой точки до прямой AB, отмечаем точку B(x1/2; y1/2);
  •  Ищем координаты В:

x1/2 = x0 + h/2 = 0 + 0.025 = 0.025

y1/2 = y0 + h/2 · f(x0; y0) = 4 +  0.025· 0= 4

Следовательно, точка B имеет координаты (0.025; 4);

Ищем угол наклона касательной к графику в точке B:

Tgα1=2*0.025*4/0.025+1=0.1951 рад. α1=0.1977

  •  Строим касательную BC в точке B под углом α1;
  •  Проводим прямую x1 = 0.05 до пересечения с прямой BC, отмечаем точку C с координатами (x1; y1);
  •  Ищем y1 :

y1 = y1/2 + h/2(f(x1/2;y1/2)) = 4 + 0.025 · 0.1977 = 4.0049

Следовательно, точка C имеет координаты (0.05; 4.0049).

yi+1 = yi + hf(xi + h/2, yi + h/2 ∙ f(xi, yi))

3. Блок-схемы основных процедур.

Блок-схема функции

Блок-схема метода Эйлера.

Блок-схема методом Эйлера модифицированным.

 

Блок-схема графика.

Блок схема программы.

4. Формы программы.

Исходный вид формы программы.

Итоговый вид формы программы.

5. Листинг программы на языке Visual Basic.

Dim x(50) As Single, y(50) As Single, k(50) As Single, z(50) As Single, p(50) As Single

Private y0 As Single

Private x0 As Single

Private xk As Single

Private C As Single

Function f(t As Single, q As Single) As Single

f = 2 * t * q / t + 1

End Function

Private Sub Command2_Click()

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

y(0) = Val(Text4.Text)

h = Val(Text3.Text)

p(0) = y(0)

z(0) = y(0)

n = Round((xk - x0) / h)

C = (y(0) * (x0 + 1) ^ 2) / Exp(2 * x0)

MSFlexGrid1.Rows = n + 2

MSFlexGrid1.Cols = 4

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "P"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Yэ"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Yэм"

Max = y(0)

Min = y(0)

For i = 1 To n

x(i) = x0 + i * h

p(i) = Round(C * (x(i) * x(i) * x(i)) )

y(i + 1) = Round(y(i) + f(x(i), y(i)) * h )

z(i + 1) = Round(z(i) + f(x(i) + h / 2, z(i) + h / 2 * f(x(i), z(i))) * h)

If y(i) > Max Then Max = y(i)

If y(i) < Min Then Min = y(i)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(p(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(y(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(z(i))

Next i

Picture1.Cls

kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)

ky = (Picture1.Height - 1200) / (Max - Min)

Label4.Caption = Str(Min)

Label5.Caption = Str(Max)

Label6.Caption = Str(x0)

Label7.Caption = Str(xk)

For i = 0 To n - 1

z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(5400 - (y(i) - Min) * ky)

z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z4 = Round(5400 - (y(i + 1) - Min) * ky)

z5 = Round(5400 - (p(i) - Min) * ky)

z6 = Round(5400 - (p(i + 1) - Min) * ky)

z7 = Round(5400 - (z(i) - Min) * ky)

z8 = Round(5400 - (z(i + 1) - Min) * ky)

Picture1.Line (z1, z7)-(z3, z8), vbRed

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), vbGreen

Picture1.Line (z1, z5)-(z3, z6), vbBlue

Next i

End Sub

Private Sub Command1_Click()

End

End Sub

6. Решение задачи в MathCAD.

Заключение

В данной курсовой работе я изучил численные методы решения задачи

По окончании работы я научился работать в  среде программирования Visual Basic 6.0. и MathCad.

Я, в своей курсовой работе решал уравнение двумя методами: методом Эйлера и методом Эйлера модифицированного.Я выяснил, что метод Эйлера модифицированный имеет меньшую погрешность, чем метод Эйлера.


Eiler

i=0,…,N-1

x(i)=x0+h*i

yi=yi-1+h*f(xi-1,yi-1)

end

Eiler mod

=(xk-x0)/N

i=0,…,N-1

x(i)=x0+h*i

Yi=y(i-2)+h*F(x(i-2)+h/2,y(i-2)+h/2*F(x(i-2), y(i-2))

end

end

F=2*g*m/g+1

F(g,m)

Graphic

x0, xk, y0, h

N=Round((xk-x0)/h)

MSFlexGrid1.Rows=n+2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,0)=”X”

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,1)=”YЭ

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,2)=”YЭМ

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,3)=”P”

x(0)=x0

y(0)=y0

c=y0*(x0+1)^2/exp(2*x0)

y1(i+1)=y1(i)+h*F(x(i),y1(i))

For i=0 to N

x(i)=x0+h*i

Z(0)=y0

y2(i+1)=y2(i)+h*F(x(i)+h/2,y2(i)++h*F(x(i),y2(i))/2

Y(i)=exp(2*x(i)) *C/(x(i)+1)^2

min=Y(0)

For i=0 to N

Y(i)<min

min=y(i)

max=Y(0)

For i=0 to N

Y(i)>max

max=Y(i)

kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)

ky = (Picture1.Height - 1200) / (Max - Min)

нет

да

нетт

да

p(0)=y0

For i=0 to N-1

p1=720+(x(i)-x0)*kx

p2=5400-(y1(i)-min)*ky

p3=720+(x(i+1)-x0)*kx

p4=5400-(Y(i+1)-min)*ky

p5=5400+(p(i)-min)*ky

p6=5400-(p(i+1)-min)*ky

p7=5400-(z(i)-min)*ky

P8=5400-(z(i+1)-min)*ky

Picture1.Line(p1,p2)-(p5,p6),vbRed

Picture1.Line(p1,p3)-(p5,p7),vbGreen

Picture1.Line(p1,p4)-(p5,p8),vbBlue

end

Programma

x0, xk, y0, h

h=(xk-x0)/N

c=y(0)*(x0+1)^2/exp(2*x0)

i=0,…,N

x(i)=x0+h*i

y1(i+1)=y1(i)+h*F(x(i),y1(i))

y2(i+1)=y2(i)+h*F(x(i)+h/2,y2(i)++h*F(x(i),y2(i))/2

Y(i)=( exp(2*x(i)) *C/(x(i)+1)^2

x(i),y1(i),y2(i),Y(i)

end


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57925. Води суходолу Північної Америки. Основні річкові системи. Великі озера, їх походження 69 KB
  Мета: сформувати в учнів систему знань про внутрішні води Північної Америки розкрити загальні особливості вод суходолу показати їх залежність від рельєфу та клімату нерівномірність розподілу на території материка...
57926. Основы объектно-ориентированного программирования. Создание формы 573.5 KB
  Цель: Сформировать у учащихся представление о среде программирования Visul Studio; освоить основные приемы создания форм получить практические навыки создания формы в среде программирования; формировать у учащихся информационную компетентность.
57927. Клітинний цикл. Мітоз 62.5 KB
  Німецький вчений Рудольф Вірхов стверджував що клітина може виникнути тільки з попередньої клітини в результаті її поділу. Відома його знаменита фраза усяка клітина –з клітини З таким поняттям як поділ клітини ви вже неодноразово зустрічались на уроках біології.
57928. Створення програм з використанням оператора циклу з параметром 140 KB
  Після цього уроку ви зможете: використовувати оператор циклу з параметром для створення програм обчислення суми та добутку скінченої кількості чисел знаходження кількості елементів з певними властивостями; наводити особливості накопичення суми та...
57929. Снежная книга Зимы 214.5 KB
  Цель: обобщить представления детей о зиме, познакомить с новыми рассказами и стихотворениями о зиме; продолжить работу над техникой чтения. Воспитывать любовь к родному слову, бережное отношение к природе.
57930. Цитологія – наука про будову і функції клітини. Історія вивчення клітини. Методи цитологічних досліджень 356 KB
  Мета: сформувати основні положення клітинної теоріїрозширити уявлення про історію вивчення клітини розкрити основні методи цитологічних досліджень; розвивати критичне і логічне мислення удосконалювати творчі здібності вміння...
57931. Зорі. Еволюція зір 340 KB
  І почнемо ми з вами саме з визначення найголовнішого небесного світила – зорі. учні дають визначення зорі Вчені прийшли до висновку що зорі включаючи і наше Сонце мають життєві цикли. Ці стадії різні оскільки зорі складаються з різних елементів і відрізняються розмірами.
57932. Зажурилась зимонька не дарма, молодої силоньки вже нема 62.5 KB
  Мета: познайомити з традиціями святкування Стрітення, прикметами, які з ним пов’язані; формувати навички виразного читання віршів; підтримувати у дітей інтерес до занять фізкультурою, привчати дітей грати в командних іграх-естафетах...
57933. За О. Цегельською. Пригода на ковзанці. Безпечний відпочинок взимку 75.5 KB
  Мета: познайомити з оповіданням О. Цегельської; формувати вміння читати, зв’язно розповідати; розширювати знання учнів про зимові розваги; закріпити знання правил про поведінку на льоду, показати, яку небезпеку може приховувати вода; розвивати пам’ять, увагу, мислення, пізнавальний інтерес...