49787

Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Числовые методы позволяют построить интегральную кривую по точкам. В зависимости от того, сколько точек используется для расчета очередной точки интегральной кривой, все численные методы делятся на одношаговые и многошаговые. В нашем случае мы используем одношаговые численные методы.

Русский

2014-01-08

124 KB

3 чел.

Министерство РФ по связи и информатизации

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики»

Уральский технический институт связи и информатики (филиал)

Кафедра физики, прикладной математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по информатике

ВАРИАНТ №14:

«Визуализация численных методов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений».

Исполнитель:

студент гр. ОЕ-71

Паньшин А.А.

Руководитель:

Доцент Минина Е.Е

Екатеринбург

2008

Введение

Дифференциальными называются уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Лишь очень немногие из таких уравнений удается решить без помощи вычислительной техники.

Если решить сложно или невозможно, используют численные методы, то есть приближенные значения. В числовых методах обязательно используют начальные условия, чтобы исключить константу.

Числовые методы позволяют построить интегральную кривую по точкам. В зависимости от того, сколько точек используется для расчета очередной точки интегральной кривой, все численные методы делятся на одношаговые и многошаговые. В нашем случае мы используем одношаговые численные методы.

Основные цели и задачи работы:

Цель моей работы- ознакомление, изучение основ системы программирования Microsoft  Visual  Basic и приобретение начальных навыков решение ДУ в Microsoft  Visual  Basic

1. Постановка задачи

Решить методами Эйлера и Эйлера модифицированного задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка 2*x*y*dx-(x+1)=0

на отрезке [0; 0.8] с шагом h=0.05 и начальным условием: Y(0) = 4. Общее решение: y=exp(2*x)*C/(x+1)^2

Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:

X

Y(1)

Y(2)

YT

X0

Y0(1)

Y0(2)

Y(X0)

X1

Y1(1)

Y1(2)

Y(X1)

Xk

Yk(1)

Yk(2)

Y(Xk)

Где: Y(1) - решение, полученное методом Эйлера, Y(2) – решение, полученное методом Эйлера модифицированного, YT – точное решение дифференциального уравнения.

Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.

Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычесть значение коэффициента c, используемого в общем решении.

2. Описание используемых методов

Метод Эйлера

 Этот  метод  называют   методом  Рунге-Кутта  первого   порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

       Для решения поставленной задачи выполняем следующие действия:

  •  Строим оси координат;
  •  Отмечаем точку A(0; 4) – первую точку интегральной кривой;
  •   Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

  •  Строим касательную AB в точке А под углом α0;
  •  Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 0 + 1 · 0.05 = 0.05;

  •  Проводим прямую x = x1 = 0.05  до пересечения с прямой AB, отмечаем точку B(x1; y1);
  •  Ищем  y1:

Из прямоугольного треугольника  ,

Δy = y1 y0,

 y1 y0= Δx· tg α0

Δx = x1 – x0 = h => y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 4 + 0.05  f(0;4) = 4+0.05*0= 4

Следовательно, точка B имеет координаты (0.05; 4).

Следующую точку будем искать аналогичным способом по формуле расчета очередной точки интегральной функции:

(*)

Метод Эйлера модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Для решения поставленной задачи выполняем следующие действия:

  •  Строим оси координат;
  •  Отмечаем А(0; 4) – первую точку интегральной кривой;
  •  Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

  •  Строим касательную AB в точке А под углом α0;
  •  Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 0 + 0.05 · 1 = 0.05;

  •  Делим шаг интегрирования на два отрезка и отмечаем x1/2= x0 + h/2, проводим прямую из этой точки до прямой AB, отмечаем точку B(x1/2; y1/2);
  •  Ищем координаты В:

x1/2 = x0 + h/2 = 0 + 0.025 = 0.025

y1/2 = y0 + h/2 · f(x0; y0) = 4 +  0.025· 0= 4

Следовательно, точка B имеет координаты (0.025; 4);

Ищем угол наклона касательной к графику в точке B:

Tgα1=2*0.025*4/0.025+1=0.1951 рад. α1=0.1977

  •  Строим касательную BC в точке B под углом α1;
  •  Проводим прямую x1 = 0.05 до пересечения с прямой BC, отмечаем точку C с координатами (x1; y1);
  •  Ищем y1 :

y1 = y1/2 + h/2(f(x1/2;y1/2)) = 4 + 0.025 · 0.1977 = 4.0049

Следовательно, точка C имеет координаты (0.05; 4.0049).

yi+1 = yi + hf(xi + h/2, yi + h/2 ∙ f(xi, yi))

3. Блок-схемы основных процедур.

Блок-схема функции

Блок-схема метода Эйлера.

Блок-схема методом Эйлера модифицированным.

 

Блок-схема графика.

Блок схема программы.

4. Формы программы.

Исходный вид формы программы.

Итоговый вид формы программы.

5. Листинг программы на языке Visual Basic.

Dim x(50) As Single, y(50) As Single, k(50) As Single, z(50) As Single, p(50) As Single

Private y0 As Single

Private x0 As Single

Private xk As Single

Private C As Single

Function f(t As Single, q As Single) As Single

f = 2 * t * q / t + 1

End Function

Private Sub Command2_Click()

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

y(0) = Val(Text4.Text)

h = Val(Text3.Text)

p(0) = y(0)

z(0) = y(0)

n = Round((xk - x0) / h)

C = (y(0) * (x0 + 1) ^ 2) / Exp(2 * x0)

MSFlexGrid1.Rows = n + 2

MSFlexGrid1.Cols = 4

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "P"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Yэ"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Yэм"

Max = y(0)

Min = y(0)

For i = 1 To n

x(i) = x0 + i * h

p(i) = Round(C * (x(i) * x(i) * x(i)) )

y(i + 1) = Round(y(i) + f(x(i), y(i)) * h )

z(i + 1) = Round(z(i) + f(x(i) + h / 2, z(i) + h / 2 * f(x(i), z(i))) * h)

If y(i) > Max Then Max = y(i)

If y(i) < Min Then Min = y(i)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(p(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(y(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(z(i))

Next i

Picture1.Cls

kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)

ky = (Picture1.Height - 1200) / (Max - Min)

Label4.Caption = Str(Min)

Label5.Caption = Str(Max)

Label6.Caption = Str(x0)

Label7.Caption = Str(xk)

For i = 0 To n - 1

z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(5400 - (y(i) - Min) * ky)

z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z4 = Round(5400 - (y(i + 1) - Min) * ky)

z5 = Round(5400 - (p(i) - Min) * ky)

z6 = Round(5400 - (p(i + 1) - Min) * ky)

z7 = Round(5400 - (z(i) - Min) * ky)

z8 = Round(5400 - (z(i + 1) - Min) * ky)

Picture1.Line (z1, z7)-(z3, z8), vbRed

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), vbGreen

Picture1.Line (z1, z5)-(z3, z6), vbBlue

Next i

End Sub

Private Sub Command1_Click()

End

End Sub

6. Решение задачи в MathCAD.

Заключение

В данной курсовой работе я изучил численные методы решения задачи

По окончании работы я научился работать в  среде программирования Visual Basic 6.0. и MathCad.

Я, в своей курсовой работе решал уравнение двумя методами: методом Эйлера и методом Эйлера модифицированного.Я выяснил, что метод Эйлера модифицированный имеет меньшую погрешность, чем метод Эйлера.


Eiler

i=0,…,N-1

x(i)=x0+h*i

yi=yi-1+h*f(xi-1,yi-1)

end

Eiler mod

=(xk-x0)/N

i=0,…,N-1

x(i)=x0+h*i

Yi=y(i-2)+h*F(x(i-2)+h/2,y(i-2)+h/2*F(x(i-2), y(i-2))

end

end

F=2*g*m/g+1

F(g,m)

Graphic

x0, xk, y0, h

N=Round((xk-x0)/h)

MSFlexGrid1.Rows=n+2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,0)=”X”

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,1)=”YЭ

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,2)=”YЭМ

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,3)=”P”

x(0)=x0

y(0)=y0

c=y0*(x0+1)^2/exp(2*x0)

y1(i+1)=y1(i)+h*F(x(i),y1(i))

For i=0 to N

x(i)=x0+h*i

Z(0)=y0

y2(i+1)=y2(i)+h*F(x(i)+h/2,y2(i)++h*F(x(i),y2(i))/2

Y(i)=exp(2*x(i)) *C/(x(i)+1)^2

min=Y(0)

For i=0 to N

Y(i)<min

min=y(i)

max=Y(0)

For i=0 to N

Y(i)>max

max=Y(i)

kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)

ky = (Picture1.Height - 1200) / (Max - Min)

нет

да

нетт

да

p(0)=y0

For i=0 to N-1

p1=720+(x(i)-x0)*kx

p2=5400-(y1(i)-min)*ky

p3=720+(x(i+1)-x0)*kx

p4=5400-(Y(i+1)-min)*ky

p5=5400+(p(i)-min)*ky

p6=5400-(p(i+1)-min)*ky

p7=5400-(z(i)-min)*ky

P8=5400-(z(i+1)-min)*ky

Picture1.Line(p1,p2)-(p5,p6),vbRed

Picture1.Line(p1,p3)-(p5,p7),vbGreen

Picture1.Line(p1,p4)-(p5,p8),vbBlue

end

Programma

x0, xk, y0, h

h=(xk-x0)/N

c=y(0)*(x0+1)^2/exp(2*x0)

i=0,…,N

x(i)=x0+h*i

y1(i+1)=y1(i)+h*F(x(i),y1(i))

y2(i+1)=y2(i)+h*F(x(i)+h/2,y2(i)++h*F(x(i),y2(i))/2

Y(i)=( exp(2*x(i)) *C/(x(i)+1)^2

x(i),y1(i),y2(i),Y(i)

end


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61075. Павутина життя. Контрольна робота 54 KB
  There is a show on tonight. I’d like to see it. (which) 2) Angela wants to talk to you. Her brother is a member of a rock band. (whose) 3) I told you about the hotel. We stayed there last summer. (where)
61076. Додаткове читання. Й. Ґете. Вибрані поезії 78.5 KB
  Мета: поглибити знання про поетичний талант Ґете; розвивати творчі здібності учнів виховувати повагу до виявів чужих почуттів; працювати над виразним читанням віршів. Актуалізація опорних знань...
61077. ПИСЬМОВИЙ СТИСЛИЙ ПЕРЕКАЗ РОЗПОВІДНОГО ТЕКСТУ З ЕЛЕМЕНТАМИ ОПИСУ МІСЦЕВОСТІ В ХУДОЖНЬОМУ СТИЛІ 45.5 KB
  Школярі знайомляться з цілісним висловлюванням. Робота за змістом і структурою тексту Довести належність висловлювання до художнього стилю наводячи приклади з тексту. Якою ви уявили місцевість описану письменником...
61078. Контрольний твір за творчістю Й. В. Ґете 31.5 KB
  Мета: розвивати письмове звязне мовлення та творчі здібності учнів; виховувати інтерес до аналізу літературних творів; учити аргументувати власну точку зору; провести контроль знань з теми Життя та творчість...
61079. І. Котляревський. «Енеїда». Історія створення. Національний колорит. Проблеми і мотиви твору. Характеристика героїв, що уособлюють самодержавство, панів, чиновників, духовенство 132 KB
  Венера Афродита богиня кохання побічна дочка Зевса мати Енея. Анхіз цар Трої батько Енея. Початок подорожі Енея. Відвідини Енея із Сівіллою.
61080. Складнопідрядне речення, його будова і засоби зв’язку в ньому 48 KB
  Мета: ознайомити девятикласників з поняттям про складнопідрядне речення його будову і засоби звязку в ньому; розвивати організаційноконтрольні вміння оцінювати роль складнопідрядних речень у текстах...
61081. Виды линий 36 KB
  Луч выходит из точки бесконечен в одну сторону. Нарисовать в тетради 2 точки и провести через них прямую. Как вы думаете можно ли провести ещё одну прямую через эти две точки А луч А отрезок Сколько лучей и отрезков можно провести через 2 точки бесконечное количество Пробуем. Как вы думаете почему через две точки можно провести только одну прямую и бесконечно много лучей и отрезков Попробуйте объяснить.
61082. Рисуем Сосну 298.5 KB
  Сначала рисуем ствол. Прямой ствол как мачта и корявый. Наш ствол приобретает конусную форму. Теперь ствол и ветки.
61083. Проблеми довкілля (Environment and Greener Living). Захист довкілля 75.5 KB
  Today we’re starting a new unit in which we’ll continue talking about our planet but in some different aspects. In this unit we’re going to discuss the problems of pollution of the environment and the ways to protect it from pollution.