49788

Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Дифференциальными называются уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Лишь очень немногие из таких уравнений удается решить без помощи вычислительной техники.

Русский

2014-01-15

10.19 MB

18 чел.

Министерство РФ по связи и информатизации

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики»

Уральский технический институт связи и информатики (филиал)

Кафедра физики, прикладной математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по информатике

ВАРИАНТ №11:

«Визуализация численных методов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений».

Исполнитель:

студентка 1 курса

группы ОЕ-71

Костиневич С.И.

Руководитель:

Минина Е.Е

Екатеринбург

2008

Введение

Существует множество технических систем и технологических процессов, характеристики которых непрерывно  меняются со временем t. Такие явления обычно подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений (ДУ).

Дифференциальными называются уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Лишь очень немногие из таких уравнений удается решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения ДУ играют важную роль в практике инженерных расчетов.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае – ДУ в частных производных. В данной курсовой работе рассматриваются методы решения обыкновенных ДУ.

Основные цели и задачи работы:

  •  изучение численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений;
  •  написание программы на языке Visual Basic;
  •  проверка решения с помощью приложения MathCAD.

1. Постановка задачи

Решить методами Эйлера и Эйлера модифицированного задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка y'*x=exp(x)-y на отрезке [1; 2] с шагом h=0.1 и начальным условием: Y(1) = 1. Общее решение: y=[exp(x)+1-c]/x

Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:

X

Y(1)

Y(2)

YT

X0

Y0(1)

Y0(2)

Y(X0)

X1

Y1(1)

Y1(2)

Y(X1)

Xk

Yk(1)

Yk(2)

Y(Xk)

Где: Y(1) - решение, полученное методом Эйлера, Y(2) – решение, полученное методом Эйлера модифицированного, YT – точное решение дифференциального уравнения.

Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.

Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычесть значение коэффициента c, используемого в общем решении.

2. Описание используемых методов

В тех случаях, когда решить уравнение сложно или невозможно, используют численные методы (приближенное решение).

В численных методах обязательно должны быть начальные условия, чтобы исключить константу. Численными методами мы должны построить интегральную кривую, т.е. график решения.

2.1. Метод Эйлера

Иногда  этот  метод  называют   методом  Рунге-Кутта  первого   порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

       Для решения поставленной задачи выполняем следующие действия:

  •  Строим оси координат;
  •  Отмечаем точку A(1; 1) – первую точку интегральной кривой;
  •   Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

  •  Строим касательную AB в точке А под углом α0;
  •  Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 1 + 1 · 0,1 = 1,1;

  •  Проводим прямую x = x1 = 1,1  до пересечения с прямой AB, отмечаем точку B(x1; y1);
  •  Ищем  y1:

Из прямоугольного треугольника ABC ,

Δy = y1 y0,

 y1 y0= Δx· tg α0

Δx = x1 – x0 = h => y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 1 + 0,1  f(1;1) = 1 + 0,1 · 1,718 = 1,172

Следовательно, точка B имеет координаты (1,1; 1,172).

Следующую точку будем искать аналогичным способом по формуле расчета очередной точки интегральной функции:

(*)

Рис1. Решение задачи методом Эйлера.

Из формулы (*) видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Метод Эйлера - один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений.

2.2.  Метод Эйлера модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Для решения поставленной задачи выполняем следующие действия:

  •  Строим оси координат;
  •  Отмечаем А(1; 1) – первую точку интегральной кривой;
  •  Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

  •  Строим касательную AB в точке А под углом α0;
  •  Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 1 + 1 · 0,1 = 1,1;

  •  Делим шаг интегрирования на два отрезка и отмечаем x1/2= x0 + h/2, проводим прямую из этой точки до прямой AB, отмечаем точку B(x1/2; y1/2);
  •  Ищем координаты В:

x1/2 = x0 + h/2 = 1 + 0,1/2 = 1,05

y1/2 = y0 + h/2 · f(x0; y0) = 1 + 0,1/2 · 1,718 = 1,086

Следовательно, точка B имеет координаты (1,05; 1,086);

Ищем угол наклона касательной к графику в точке B:

α1 = arctg(f(x1/2; y1/2)) = arctg(( 1,718– 1,086)/1,05)) = arctg(1,687) = 59,3°

  •  Строим касательную BC в точке B под углом α1;
  •  Проводим прямую x1 = 1,1 до пересечения с прямой BC, отмечаем точку C с координатами (x1; y1);
  •  Ищем y1 :

y1 = y1/2 + h/2(f(x1/2;y1/2)) = 1,086 + 0,1/2 · 1,687 = 1,169

Следовательно, точка C имеет координаты (1,1; 1,169).

yi+1 = yi + hf(xi + h/2, yi + h/2 ∙ f(xi, yi))

Рис2. Решение задачи методом Эйлера модифицированного

3. Блок-схемы основных процедур.

Блок-схема функции.

Блок-схема процедуры решения ДУ методом Эйлера.

Блок-схема процедуры решения ДУ методом Эйлера модифицированного.

 

Блок-схема графика.

Блок схема программы.

4. Формы программы.

Исходный вид формы программы.

Итоговый вид формы программы.

5. Листинг программы на языке Visual Basic.

Private x0, xk, y0, h, max, min, c As Single

Dim x() As Single, Y() As Single, y1() As Single, y2() As Single

Function F(a, b As Single) As Single

F = (Exp(a) - b) / a

End Function

Private Sub Command1_Click()

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

y0 = Val(Text3.Text)

h = Val(Text4.Text)

N = Round((xk - x0) / h)

c = Exp(x0) + 1 - x0 * y0

MSFlexGrid1.Rows = N + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Эйлер"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Эйлер М"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Общее"

ReDim x(N), Y(N), y1(N + 1), y2(N + 1)

x(0) = x0

y1(0) = y0

y2(0) = y0

For i = 0 To N

x(i) = x0 + h * i

y1(i + 1) = y1(i) + h * F(x(i), y1(i))

y2(i + 1) = y2(i) + h * F(x(i) + h / 2, y2(i) + h * F(x(i), y2(i)) / 2)

Y(i) = (Exp(x(i)) + 1 - c) / x(i)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(y1(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(y2(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(Y(i))

Next i

min = Y(0)

max = Y(0)

For i = 0 To N

If Y(i) < min Then

min = Y(i)

Else

If Y(i) > max Then

max = Y(i)

End If

End If

Next i

Label7.Caption = Str(max)

Label8.Caption = Str(min)

Label9.Caption = Str(x0)

Label10.Caption = Str(xk)

Picture1.Cls

kx = (5280 - 1320) / (xk - x0)

ky = (4320 - 480) / (max - min)

For i = 0 To N - 1

p1 = 1320 + (x(i) - x0) * kx

p2 = 4320 - (y1(i) - min) * ky

p3 = 4320 - (y2(i) - min) * ky

p4 = 4320 - (Y(i) - min) * ky

p5 = 1320 + (x(i + 1) - x0) * kx

p6 = 4320 - (y1(i + 1) - min) * ky

p7 = 4320 - (y2(i + 1) - min) * ky

p8 = 4320 - (Y(i + 1) - min) * ky

Picture1.Line (p1, p2)-(p5, p6), vbYellow

Picture1.Line (p1, p3)-(p5, p7), vbBlue

Picture1.Line (p1, p4)-(p5, p8), vbRed

Next i

End Sub

6. Решение задачи в MathCAD.

Заключение

По окончании работы я научился работать в  среде программирования Visual Basic 6.0. и MathCad.

Я, в своей курсовой работе решал уравнение двумя методами: методом Эйлера и методом Эйлера модифицированного.Я выяснил, что метод Эйлера модифицированный имеет меньшую погрешность, чем метод Эйлера.

Содержание

Введение

  1.  Постановка задачи
  2.  Описание используемых методов

Метод Эйлера

Метод Эйлера модифицированный

  1.  Блок-схемы основных процедур
  2.  Формы программы
  3.  Листинг программы на языке Visual Basic
  4.  Решение задачи в MathCAD

Заключение


F(a,b)

F=(exp(a)-b)/a

end

Эйлер

h=(xk-x0)/N

i=0,…,N-1

x(i)=x0+h*i

1(i+1)=y1(i)+h*F(x1(i),y1(i))

end

Эйлер М

h=(xk-x0)/N

i=0,…,N-1

x(i)=x0+h*i

Y2(i+1)=y2(i)+h*F(x(i)+h/2,y2(i)+h*F(x(i), y2(i))/2)

end

Graphic

x0, xk, y0, h

N=Round((xk-x0)/h)

MSFlexGrid1.Rows=n+2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,0)=”X”

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,1)=”Эйлер

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,2)=”Эйлер М

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,3)=”Общее

x(0)=x0

y1(0)=y0

y2(0)=y0

c=exp(x0)+1-x0*y0

x(i)=x0+h*i

y1(i+1)=y1(i)+h*F(x(i),y1(i))

For i=0 to N

1

1

y2(i+1)=y2(i)+h*F(x(i)+h/2,y2(i)++h*F(x(i),y2(i))/2

Y(i)=(Exp(x(i))+1-c)/x(i)

min=Y(0)

For i=0 to N

Y(i)<min

min=y(i)

max=Y(0)

For i=0 to N

Y(i)>max

max=Y(i)

kx=(5280-1320)/(xk-x0)

ky=(4320-480)/(max-min)

нет

да

нетт

да

2

2

For i=0 to N-1

p1=1320+(x(i)-x0)*kx

p2=4320-(y1(i)-min)*ky

p3=4320-(y2(i)-min)*ky

p4=4320-(Y(i)-min)*ky

p5=1320+(x(i+1)-x0)*kx

p6=4320-(y1(i+1)-min)*ky

p7=4320-(y2(i+1)-min)*ky

P8=4320-(Y(i+1)-min)*ky

Picture1.Line(p1,p2)-(p5,p6),vbYellow

Picture1.Line(p1,p3)-(p5,p7),vbBlue

Picture1.Line(p1,p4)-(p5,p8),vbRed

end

Programma

x0, xk, y0, h

h=(xk-x0)/N

c=Exp(x0)+1-x0*y0

i=0,…,N

x(i)=x0+h*i

y1(i+1)=y1(i)+h*F(x(i),y1(i))

Y2(i+1)=y2(i)+h*F(x(i)+h/2,    y2(i)+h*F(x(i),y2(i))/2)

Y(i)=(Exp(x(i))+1-c)/x(i)

x(i),y1(i),y2(i),Y(i)

end


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32044. Формування маркетингової стратегії підприємства 889.5 KB
  Тема дипломної роботи: Формування маркетингової стратегії підприємства Затверджена наказом по університету № 127дс від 25 грудня 2009 р. Цільова установка та загальний напрямок дипломної роботи для робіт технічного профілю також вихідні дані: проаналізувати особливості формування маркетингової стратегії організації та запропонувати заходи з її вдосконалення. Теоретичні основи формування маркетингової стратегії 1. Етапи розробки маркетингової стратегії Розділ 2.
32045. Соотношение корня слова и основы слова 22 KB
  Соотношение корня слова и основы слова Все морфемы можно разделить на два больших класса: корни и аффиксы ffixus от лат – прикрепленный. Основа может состоять из одного корня например дом из корня со словообразовательным суффиксом одним или несколькими например домик красный ый окончание красненький ий окончание; из корня и приставки например пригород ; из корня приставки и суффикса например сделать ть суффикс инфинитива не входящий в основу выражает роль которую играет глагол в предложении.
32046. Организация Web-доступа в среде zLinux на сервере z9 BC 657 KB
  Целью работы является обеспечить webдоступ на сервер z9 BC используя программное обеспечение установленное на IBM z9 BC а именно HTTP сервер pche. Webсервер pche будет предоставлять доступ к ресурсам сервера пользователям подключенным к внутренней сети. Webсервер pche [7.1 Описание webсервера pche [7.
32047. Подготовка и защита выпускных квалификационных работ 328.5 KB
  Состав дипломной работы и требования к её выполнению. Выполнение исследовательских задач и написание основных разделов дипломной работы.40 Изложение и оформление дипломной работы.42 Оформление дипломной работы.
32048. Возникновение иудаизма, основные этапы его развития 37 KB
  Дальнейшая история Завета делится на 7 периодов которые отражают стадии религиознообщественного становления народа древнего Израиля: Эпоха патриархов от Авраама до Моисея которая заканчивается египетским пленом. Эпоха Моисея и Иисуса Навина в которую сбываются обетования Бога Аврааму. Эпоха судей. Эпоха ранней монархии при Сауле Давиде Соломоне и частично Ровоаме.
32049. Новый Завет 137 KB
  Новый Завет из 27 книг которые можно поделить на следующие разделы: евангелия основная часть Нового Завета тексты написанные учениками Иисуса Христа. историческая книга книга Деяния святых апостолов приписываемая евангелисту Луке: исторический рассказ о подвижничестве последователей Христа распространявших христианскую веру и о росте и усилении древней церкви. пророческая книга Откровение Апокалипсис откровение Святого апостола Иоанна Богослова полученное от Бога: антихрист второе пришествие Христа конец света...
32050. Коран и коранистика 49 KB
  Он приказал разрушить капища места жертвоприношений языческих богов бросить в Днепр их статуи и построить христианские церкви. Строились церкви: Десятинная церковь в Киеве Пресвятой Богородицы в Полоцке в 1037 г. церковные иерархии и князья начали борьбу за независимость русской церкви от Византии. Фактически через Синод император контролировал и жизнь Церкви.
32051. Старообрядчество (Раскольничество, Староверие) 29 KB
  Понятие старообрядчество появляется после раскола Русской православной церкви в середине XVII века. Официально термин старообрядчество стал использоваться с 1906 г.
32052. Расчеты с покупателями и заказчиками 146 KB
  В книге продаж регистрируются счетафактуры с указанием суммы НДС. В этом случае при отгрузке продавцом товара покупателю и при предъявлении ему расчетных документов продавцом признается доход от продажи и делается запись на суммы указанные в этих документах: Дт 62 Расчеты с покупателями и заказчиками Кт 90 Продажи Одновременно начисляется НДС в бюджет Дт 903 НДС Кт 68 Расчеты по НДС При поступлении оплаты делается запись ДТ 51 50 52 Кт 62 Расчеты с покупателями...