49788

Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Дифференциальными называются уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Лишь очень немногие из таких уравнений удается решить без помощи вычислительной техники.

Русский

2014-01-15

10.19 MB

18 чел.

Министерство РФ по связи и информатизации

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики»

Уральский технический институт связи и информатики (филиал)

Кафедра физики, прикладной математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по информатике

ВАРИАНТ №11:

«Визуализация численных методов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений».

Исполнитель:

студентка 1 курса

группы ОЕ-71

Костиневич С.И.

Руководитель:

Минина Е.Е

Екатеринбург

2008

Введение

Существует множество технических систем и технологических процессов, характеристики которых непрерывно  меняются со временем t. Такие явления обычно подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений (ДУ).

Дифференциальными называются уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Лишь очень немногие из таких уравнений удается решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения ДУ играют важную роль в практике инженерных расчетов.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае – ДУ в частных производных. В данной курсовой работе рассматриваются методы решения обыкновенных ДУ.

Основные цели и задачи работы:

  •  изучение численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений;
  •  написание программы на языке Visual Basic;
  •  проверка решения с помощью приложения MathCAD.

1. Постановка задачи

Решить методами Эйлера и Эйлера модифицированного задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка y'*x=exp(x)-y на отрезке [1; 2] с шагом h=0.1 и начальным условием: Y(1) = 1. Общее решение: y=[exp(x)+1-c]/x

Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:

X

Y(1)

Y(2)

YT

X0

Y0(1)

Y0(2)

Y(X0)

X1

Y1(1)

Y1(2)

Y(X1)

Xk

Yk(1)

Yk(2)

Y(Xk)

Где: Y(1) - решение, полученное методом Эйлера, Y(2) – решение, полученное методом Эйлера модифицированного, YT – точное решение дифференциального уравнения.

Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.

Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычесть значение коэффициента c, используемого в общем решении.

2. Описание используемых методов

В тех случаях, когда решить уравнение сложно или невозможно, используют численные методы (приближенное решение).

В численных методах обязательно должны быть начальные условия, чтобы исключить константу. Численными методами мы должны построить интегральную кривую, т.е. график решения.

2.1. Метод Эйлера

Иногда  этот  метод  называют   методом  Рунге-Кутта  первого   порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

       Для решения поставленной задачи выполняем следующие действия:

  •  Строим оси координат;
  •  Отмечаем точку A(1; 1) – первую точку интегральной кривой;
  •   Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

  •  Строим касательную AB в точке А под углом α0;
  •  Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 1 + 1 · 0,1 = 1,1;

  •  Проводим прямую x = x1 = 1,1  до пересечения с прямой AB, отмечаем точку B(x1; y1);
  •  Ищем  y1:

Из прямоугольного треугольника ABC ,

Δy = y1 y0,

 y1 y0= Δx· tg α0

Δx = x1 – x0 = h => y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 1 + 0,1  f(1;1) = 1 + 0,1 · 1,718 = 1,172

Следовательно, точка B имеет координаты (1,1; 1,172).

Следующую точку будем искать аналогичным способом по формуле расчета очередной точки интегральной функции:

(*)

Рис1. Решение задачи методом Эйлера.

Из формулы (*) видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Метод Эйлера - один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений.

2.2.  Метод Эйлера модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Для решения поставленной задачи выполняем следующие действия:

  •  Строим оси координат;
  •  Отмечаем А(1; 1) – первую точку интегральной кривой;
  •  Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

  •  Строим касательную AB в точке А под углом α0;
  •  Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 1 + 1 · 0,1 = 1,1;

  •  Делим шаг интегрирования на два отрезка и отмечаем x1/2= x0 + h/2, проводим прямую из этой точки до прямой AB, отмечаем точку B(x1/2; y1/2);
  •  Ищем координаты В:

x1/2 = x0 + h/2 = 1 + 0,1/2 = 1,05

y1/2 = y0 + h/2 · f(x0; y0) = 1 + 0,1/2 · 1,718 = 1,086

Следовательно, точка B имеет координаты (1,05; 1,086);

Ищем угол наклона касательной к графику в точке B:

α1 = arctg(f(x1/2; y1/2)) = arctg(( 1,718– 1,086)/1,05)) = arctg(1,687) = 59,3°

  •  Строим касательную BC в точке B под углом α1;
  •  Проводим прямую x1 = 1,1 до пересечения с прямой BC, отмечаем точку C с координатами (x1; y1);
  •  Ищем y1 :

y1 = y1/2 + h/2(f(x1/2;y1/2)) = 1,086 + 0,1/2 · 1,687 = 1,169

Следовательно, точка C имеет координаты (1,1; 1,169).

yi+1 = yi + hf(xi + h/2, yi + h/2 ∙ f(xi, yi))

Рис2. Решение задачи методом Эйлера модифицированного

3. Блок-схемы основных процедур.

Блок-схема функции.

Блок-схема процедуры решения ДУ методом Эйлера.

Блок-схема процедуры решения ДУ методом Эйлера модифицированного.

 

Блок-схема графика.

Блок схема программы.

4. Формы программы.

Исходный вид формы программы.

Итоговый вид формы программы.

5. Листинг программы на языке Visual Basic.

Private x0, xk, y0, h, max, min, c As Single

Dim x() As Single, Y() As Single, y1() As Single, y2() As Single

Function F(a, b As Single) As Single

F = (Exp(a) - b) / a

End Function

Private Sub Command1_Click()

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

y0 = Val(Text3.Text)

h = Val(Text4.Text)

N = Round((xk - x0) / h)

c = Exp(x0) + 1 - x0 * y0

MSFlexGrid1.Rows = N + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Эйлер"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Эйлер М"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Общее"

ReDim x(N), Y(N), y1(N + 1), y2(N + 1)

x(0) = x0

y1(0) = y0

y2(0) = y0

For i = 0 To N

x(i) = x0 + h * i

y1(i + 1) = y1(i) + h * F(x(i), y1(i))

y2(i + 1) = y2(i) + h * F(x(i) + h / 2, y2(i) + h * F(x(i), y2(i)) / 2)

Y(i) = (Exp(x(i)) + 1 - c) / x(i)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(y1(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(y2(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(Y(i))

Next i

min = Y(0)

max = Y(0)

For i = 0 To N

If Y(i) < min Then

min = Y(i)

Else

If Y(i) > max Then

max = Y(i)

End If

End If

Next i

Label7.Caption = Str(max)

Label8.Caption = Str(min)

Label9.Caption = Str(x0)

Label10.Caption = Str(xk)

Picture1.Cls

kx = (5280 - 1320) / (xk - x0)

ky = (4320 - 480) / (max - min)

For i = 0 To N - 1

p1 = 1320 + (x(i) - x0) * kx

p2 = 4320 - (y1(i) - min) * ky

p3 = 4320 - (y2(i) - min) * ky

p4 = 4320 - (Y(i) - min) * ky

p5 = 1320 + (x(i + 1) - x0) * kx

p6 = 4320 - (y1(i + 1) - min) * ky

p7 = 4320 - (y2(i + 1) - min) * ky

p8 = 4320 - (Y(i + 1) - min) * ky

Picture1.Line (p1, p2)-(p5, p6), vbYellow

Picture1.Line (p1, p3)-(p5, p7), vbBlue

Picture1.Line (p1, p4)-(p5, p8), vbRed

Next i

End Sub

6. Решение задачи в MathCAD.

Заключение

По окончании работы я научился работать в  среде программирования Visual Basic 6.0. и MathCad.

Я, в своей курсовой работе решал уравнение двумя методами: методом Эйлера и методом Эйлера модифицированного.Я выяснил, что метод Эйлера модифицированный имеет меньшую погрешность, чем метод Эйлера.

Содержание

Введение

  1.  Постановка задачи
  2.  Описание используемых методов

Метод Эйлера

Метод Эйлера модифицированный

  1.  Блок-схемы основных процедур
  2.  Формы программы
  3.  Листинг программы на языке Visual Basic
  4.  Решение задачи в MathCAD

Заключение


F(a,b)

F=(exp(a)-b)/a

end

Эйлер

h=(xk-x0)/N

i=0,…,N-1

x(i)=x0+h*i

1(i+1)=y1(i)+h*F(x1(i),y1(i))

end

Эйлер М

h=(xk-x0)/N

i=0,…,N-1

x(i)=x0+h*i

Y2(i+1)=y2(i)+h*F(x(i)+h/2,y2(i)+h*F(x(i), y2(i))/2)

end

Graphic

x0, xk, y0, h

N=Round((xk-x0)/h)

MSFlexGrid1.Rows=n+2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,0)=”X”

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,1)=”Эйлер

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,2)=”Эйлер М

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,3)=”Общее

x(0)=x0

y1(0)=y0

y2(0)=y0

c=exp(x0)+1-x0*y0

x(i)=x0+h*i

y1(i+1)=y1(i)+h*F(x(i),y1(i))

For i=0 to N

1

1

y2(i+1)=y2(i)+h*F(x(i)+h/2,y2(i)++h*F(x(i),y2(i))/2

Y(i)=(Exp(x(i))+1-c)/x(i)

min=Y(0)

For i=0 to N

Y(i)<min

min=y(i)

max=Y(0)

For i=0 to N

Y(i)>max

max=Y(i)

kx=(5280-1320)/(xk-x0)

ky=(4320-480)/(max-min)

нет

да

нетт

да

2

2

For i=0 to N-1

p1=1320+(x(i)-x0)*kx

p2=4320-(y1(i)-min)*ky

p3=4320-(y2(i)-min)*ky

p4=4320-(Y(i)-min)*ky

p5=1320+(x(i+1)-x0)*kx

p6=4320-(y1(i+1)-min)*ky

p7=4320-(y2(i+1)-min)*ky

P8=4320-(Y(i+1)-min)*ky

Picture1.Line(p1,p2)-(p5,p6),vbYellow

Picture1.Line(p1,p3)-(p5,p7),vbBlue

Picture1.Line(p1,p4)-(p5,p8),vbRed

end

Programma

x0, xk, y0, h

h=(xk-x0)/N

c=Exp(x0)+1-x0*y0

i=0,…,N

x(i)=x0+h*i

y1(i+1)=y1(i)+h*F(x(i),y1(i))

Y2(i+1)=y2(i)+h*F(x(i)+h/2,    y2(i)+h*F(x(i),y2(i))/2)

Y(i)=(Exp(x(i))+1-c)/x(i)

x(i),y1(i),y2(i),Y(i)

end


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4884. Структуры и объединения. Перечисления. Поиск и сортировка в массивах структур 57.5 KB
  Структуры и объединения. Перечисления. Поиск и сортировка в массивах структур. Подобно тому, как массив является совокупностью элементов одного типа, структуры в С++ представляют собой совокупность элементов произвольных типов, например: struct Stud...
4885. Связный список. Сортировка списков 51 KB
  Связный список. Сортировка списков. Как известно, массив всегда занимает непрерывный блок памяти, что позволяет быстро получать доступ к произвольному элементу массива по индексу, однако существенно затрудняет вставку и удаление элементов, поскольку...
4886. Многофайловые проекты. Средства отладки и тестирования 67 KB
  Многофайловые проекты. Средства отладки и тестирования. При программировании любых более-менее сложных задач неизбежно возникают проблемы, связанные с разрастанием исходного кода и вызываемыми этим неудобствами при разработке и отладке. Естественным...
4887. Обработка исключений и аномальных ситуаций в программировании 43.5 KB
  Обработка исключений. Исключением называют возникновение аномальной ситуации во время выполнения, которое программа может обнаружить, например: деление на 0, выход за границы массива или отсутствие требуемого количества свободной памяти. Такие сит...
4888. Команды MS DOS. Способы введения команд в MS DOS 51 KB
  Команды MSDOS Для удобства редактирования вводимых команд существует специальная программа – редактор командной строки DOSKEY. После запуска она становится резидентной. Программа DOSKEY хранит в кольцевом стеке несколько ранее введенных п...
4889. Компилятор TASM. Отладчик Turbo Debugger 96 KB
  Компилятор TASM. Отладчик Turbo Debugger. Цель работы: Научиться использовать компилятор TASM и отладчик TurboDebugger. Необходимые сведения Язык ассемблера – это специфический язык программирования со взаимно однозначным соответствием ме...
4890. Команды пересылки данных 61.5 KB
  Команды пересылки данных Основная команда общего назначения MOV позволяет пересылать байт или слово между регистром и ячейкой памяти или между двумя регистрами. Кроме того, команда может пересылать непосредственно адресуемое значение в регистр или я...
4891. Аппаратное и программное прерывание 75.5 KB
  Прерывания Команды прерывания Различают два вида прерываний – аппаратные прерывания и программные прерывания. Аппаратное прерывание – это сигнал от любого устройства системы для процессора, который по этому сигналу должен обслужить д...
4892. Команды передачи управления 54.5 KB
  Команды передачи управления Порядок выполнения команд в процессорах 80х86 и 80х88 определяется содержимым регистра сегмента кода (CS) и счетчика команд (IP). Регистр CS содержит базовый адрес текущего сегмента кода, т.е. 64-килобайтного фрагмента па...