49788

Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Дифференциальными называются уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Лишь очень немногие из таких уравнений удается решить без помощи вычислительной техники.

Русский

2014-01-15

10.19 MB

18 чел.

Министерство РФ по связи и информатизации

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики»

Уральский технический институт связи и информатики (филиал)

Кафедра физики, прикладной математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по информатике

ВАРИАНТ №11:

«Визуализация численных методов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений».

Исполнитель:

студентка 1 курса

группы ОЕ-71

Костиневич С.И.

Руководитель:

Минина Е.Е

Екатеринбург

2008

Введение

Существует множество технических систем и технологических процессов, характеристики которых непрерывно  меняются со временем t. Такие явления обычно подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений (ДУ).

Дифференциальными называются уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Лишь очень немногие из таких уравнений удается решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения ДУ играют важную роль в практике инженерных расчетов.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае – ДУ в частных производных. В данной курсовой работе рассматриваются методы решения обыкновенных ДУ.

Основные цели и задачи работы:

  •  изучение численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений;
  •  написание программы на языке Visual Basic;
  •  проверка решения с помощью приложения MathCAD.

1. Постановка задачи

Решить методами Эйлера и Эйлера модифицированного задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка y'*x=exp(x)-y на отрезке [1; 2] с шагом h=0.1 и начальным условием: Y(1) = 1. Общее решение: y=[exp(x)+1-c]/x

Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:

X

Y(1)

Y(2)

YT

X0

Y0(1)

Y0(2)

Y(X0)

X1

Y1(1)

Y1(2)

Y(X1)

Xk

Yk(1)

Yk(2)

Y(Xk)

Где: Y(1) - решение, полученное методом Эйлера, Y(2) – решение, полученное методом Эйлера модифицированного, YT – точное решение дифференциального уравнения.

Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.

Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычесть значение коэффициента c, используемого в общем решении.

2. Описание используемых методов

В тех случаях, когда решить уравнение сложно или невозможно, используют численные методы (приближенное решение).

В численных методах обязательно должны быть начальные условия, чтобы исключить константу. Численными методами мы должны построить интегральную кривую, т.е. график решения.

2.1. Метод Эйлера

Иногда  этот  метод  называют   методом  Рунге-Кутта  первого   порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

       Для решения поставленной задачи выполняем следующие действия:

  •  Строим оси координат;
  •  Отмечаем точку A(1; 1) – первую точку интегральной кривой;
  •   Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

  •  Строим касательную AB в точке А под углом α0;
  •  Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 1 + 1 · 0,1 = 1,1;

  •  Проводим прямую x = x1 = 1,1  до пересечения с прямой AB, отмечаем точку B(x1; y1);
  •  Ищем  y1:

Из прямоугольного треугольника ABC ,

Δy = y1 y0,

 y1 y0= Δx· tg α0

Δx = x1 – x0 = h => y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 1 + 0,1  f(1;1) = 1 + 0,1 · 1,718 = 1,172

Следовательно, точка B имеет координаты (1,1; 1,172).

Следующую точку будем искать аналогичным способом по формуле расчета очередной точки интегральной функции:

(*)

Рис1. Решение задачи методом Эйлера.

Из формулы (*) видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Метод Эйлера - один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений.

2.2.  Метод Эйлера модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Для решения поставленной задачи выполняем следующие действия:

  •  Строим оси координат;
  •  Отмечаем А(1; 1) – первую точку интегральной кривой;
  •  Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

  •  Строим касательную AB в точке А под углом α0;
  •  Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 1 + 1 · 0,1 = 1,1;

  •  Делим шаг интегрирования на два отрезка и отмечаем x1/2= x0 + h/2, проводим прямую из этой точки до прямой AB, отмечаем точку B(x1/2; y1/2);
  •  Ищем координаты В:

x1/2 = x0 + h/2 = 1 + 0,1/2 = 1,05

y1/2 = y0 + h/2 · f(x0; y0) = 1 + 0,1/2 · 1,718 = 1,086

Следовательно, точка B имеет координаты (1,05; 1,086);

Ищем угол наклона касательной к графику в точке B:

α1 = arctg(f(x1/2; y1/2)) = arctg(( 1,718– 1,086)/1,05)) = arctg(1,687) = 59,3°

  •  Строим касательную BC в точке B под углом α1;
  •  Проводим прямую x1 = 1,1 до пересечения с прямой BC, отмечаем точку C с координатами (x1; y1);
  •  Ищем y1 :

y1 = y1/2 + h/2(f(x1/2;y1/2)) = 1,086 + 0,1/2 · 1,687 = 1,169

Следовательно, точка C имеет координаты (1,1; 1,169).

yi+1 = yi + hf(xi + h/2, yi + h/2 ∙ f(xi, yi))

Рис2. Решение задачи методом Эйлера модифицированного

3. Блок-схемы основных процедур.

Блок-схема функции.

Блок-схема процедуры решения ДУ методом Эйлера.

Блок-схема процедуры решения ДУ методом Эйлера модифицированного.

 

Блок-схема графика.

Блок схема программы.

4. Формы программы.

Исходный вид формы программы.

Итоговый вид формы программы.

5. Листинг программы на языке Visual Basic.

Private x0, xk, y0, h, max, min, c As Single

Dim x() As Single, Y() As Single, y1() As Single, y2() As Single

Function F(a, b As Single) As Single

F = (Exp(a) - b) / a

End Function

Private Sub Command1_Click()

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

y0 = Val(Text3.Text)

h = Val(Text4.Text)

N = Round((xk - x0) / h)

c = Exp(x0) + 1 - x0 * y0

MSFlexGrid1.Rows = N + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Эйлер"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Эйлер М"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Общее"

ReDim x(N), Y(N), y1(N + 1), y2(N + 1)

x(0) = x0

y1(0) = y0

y2(0) = y0

For i = 0 To N

x(i) = x0 + h * i

y1(i + 1) = y1(i) + h * F(x(i), y1(i))

y2(i + 1) = y2(i) + h * F(x(i) + h / 2, y2(i) + h * F(x(i), y2(i)) / 2)

Y(i) = (Exp(x(i)) + 1 - c) / x(i)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(y1(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(y2(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(Y(i))

Next i

min = Y(0)

max = Y(0)

For i = 0 To N

If Y(i) < min Then

min = Y(i)

Else

If Y(i) > max Then

max = Y(i)

End If

End If

Next i

Label7.Caption = Str(max)

Label8.Caption = Str(min)

Label9.Caption = Str(x0)

Label10.Caption = Str(xk)

Picture1.Cls

kx = (5280 - 1320) / (xk - x0)

ky = (4320 - 480) / (max - min)

For i = 0 To N - 1

p1 = 1320 + (x(i) - x0) * kx

p2 = 4320 - (y1(i) - min) * ky

p3 = 4320 - (y2(i) - min) * ky

p4 = 4320 - (Y(i) - min) * ky

p5 = 1320 + (x(i + 1) - x0) * kx

p6 = 4320 - (y1(i + 1) - min) * ky

p7 = 4320 - (y2(i + 1) - min) * ky

p8 = 4320 - (Y(i + 1) - min) * ky

Picture1.Line (p1, p2)-(p5, p6), vbYellow

Picture1.Line (p1, p3)-(p5, p7), vbBlue

Picture1.Line (p1, p4)-(p5, p8), vbRed

Next i

End Sub

6. Решение задачи в MathCAD.

Заключение

По окончании работы я научился работать в  среде программирования Visual Basic 6.0. и MathCad.

Я, в своей курсовой работе решал уравнение двумя методами: методом Эйлера и методом Эйлера модифицированного.Я выяснил, что метод Эйлера модифицированный имеет меньшую погрешность, чем метод Эйлера.

Содержание

Введение

  1.  Постановка задачи
  2.  Описание используемых методов

Метод Эйлера

Метод Эйлера модифицированный

  1.  Блок-схемы основных процедур
  2.  Формы программы
  3.  Листинг программы на языке Visual Basic
  4.  Решение задачи в MathCAD

Заключение


F(a,b)

F=(exp(a)-b)/a

end

Эйлер

h=(xk-x0)/N

i=0,…,N-1

x(i)=x0+h*i

1(i+1)=y1(i)+h*F(x1(i),y1(i))

end

Эйлер М

h=(xk-x0)/N

i=0,…,N-1

x(i)=x0+h*i

Y2(i+1)=y2(i)+h*F(x(i)+h/2,y2(i)+h*F(x(i), y2(i))/2)

end

Graphic

x0, xk, y0, h

N=Round((xk-x0)/h)

MSFlexGrid1.Rows=n+2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,0)=”X”

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,1)=”Эйлер

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,2)=”Эйлер М

MSFlexGrid1.TextMatrix(0,3)=”Общее

x(0)=x0

y1(0)=y0

y2(0)=y0

c=exp(x0)+1-x0*y0

x(i)=x0+h*i

y1(i+1)=y1(i)+h*F(x(i),y1(i))

For i=0 to N

1

1

y2(i+1)=y2(i)+h*F(x(i)+h/2,y2(i)++h*F(x(i),y2(i))/2

Y(i)=(Exp(x(i))+1-c)/x(i)

min=Y(0)

For i=0 to N

Y(i)<min

min=y(i)

max=Y(0)

For i=0 to N

Y(i)>max

max=Y(i)

kx=(5280-1320)/(xk-x0)

ky=(4320-480)/(max-min)

нет

да

нетт

да

2

2

For i=0 to N-1

p1=1320+(x(i)-x0)*kx

p2=4320-(y1(i)-min)*ky

p3=4320-(y2(i)-min)*ky

p4=4320-(Y(i)-min)*ky

p5=1320+(x(i+1)-x0)*kx

p6=4320-(y1(i+1)-min)*ky

p7=4320-(y2(i+1)-min)*ky

P8=4320-(Y(i+1)-min)*ky

Picture1.Line(p1,p2)-(p5,p6),vbYellow

Picture1.Line(p1,p3)-(p5,p7),vbBlue

Picture1.Line(p1,p4)-(p5,p8),vbRed

end

Programma

x0, xk, y0, h

h=(xk-x0)/N

c=Exp(x0)+1-x0*y0

i=0,…,N

x(i)=x0+h*i

y1(i+1)=y1(i)+h*F(x(i),y1(i))

Y2(i+1)=y2(i)+h*F(x(i)+h/2,    y2(i)+h*F(x(i),y2(i))/2)

Y(i)=(Exp(x(i))+1-c)/x(i)

x(i),y1(i),y2(i),Y(i)

end


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52913. Sport. Конспект урока по английскому языку 7 класс 65.5 KB
  One group told us about how to prepare to a football competition. Now we will listen another group with its project how to organize basketball game. Let’s start.
52914. Людина – частина Всесвіту. Етика, 6 клас 34 KB
  Визначте які риси і життєві правила притаманні людині яка живе в гармонії з природою. На великому аркуші паперу намалюйте її портрет на якому зобразіть визначені вами риси. Визначте які риси й життєві правила притаманні людині яка дбає про своє здоров’я. На великому аркуші паперу намалюйте її портрет на якому зобразіть визначені вами риси.
52915. Використання ігрового матеріалу при вивченні і засвоєнні нових термінів на уроках етики 55 KB
  Використання у педагогічній практиці ігрових моментів – це лише один з можливих шляхів отримання учнями знань з предмета реалізації своїх можливостей здобуття не тільки гарних оцінок але і задоволення від уроку гра допомагає дітям повірити в себе викликає натхнення і захоплення. Гра дає надзвичайно багаті можливості бо дозволяє кожній дитині відчути себе суб’єктом життєдіяльності виявляти і розвивати свою особистість. Але слід зазначити що гра – це не самоціль а лише один із засобів у системі формування творчої допитливості. Гра –...
52916. У чому полягає етика відносин між народами в демократичному суспільстві. Урок 106 KB
  Мета уроку: збагатити знання учнів про багатокультурну державу та поліетнічне суспільство, на практичних прикладах розкрити зміст понять «патріотизм», «шовінізм»; продовжити вчити учнів працювати з текстом, виділяти головне, находити відповіді на питання, вдосконалювати вміння висловлювати свою думку та поважати інші думки;
52917. Людина починається з добра 40 KB
  Розширити уявлення дітей про доброту вдосконалювати вміння аналізувати вчинки людей робити висновки; виховувати такі моральні якості: доброту милосердя взаємодопомогу повагу до старших. Плакат Добрі й погані вчинки людей образ Божої Матері сигнальні картки свічка плакат з островами Здоров’я МилосердяКоштовності Допомога Доброта. Раз добром зігріте...
52918. МИЛОСЕРДЯ І БЕЗКОРИСЛИВІСТЬ 694.5 KB
  Милосердя. Ісус Христос у Нагірній Проповіді пояснив що таке милосердя і безкорисливість. Прочитати про милосердя і безкорисливість на сторінці: перший варіант ; другий варіант
52919. Що таке етикет особливих випадків 115.5 KB
  Визначити основні етикетні вимоги до поведінки під час урочистостей а також якою має бути пове дінка в музеї магазині та бібліотеці. Діти в нашому з вами житті дуже часто виникають ситуації які вимагають від людини знання особливих доцільних саме в цьому випадку правил поведінки. Якою має бути поведінка під час урочистостей. Якою повинна бути поведінка під час вечору – відпочинку.
52920. У чому виявляється вміння користуватися мовним етикетом' 92 KB
  Ключові поняття: чарівні слова етикетні слова етикетні формули. Хто бажає прочитати свою казку Розминка: Ланцюжок навчальних ситуацій Слайд 2 Слова...