49789

Решение методами Эйлера и Эйлера модифицированным задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка на отрезке с шагом и начальным условием

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

В данной работе поставлена задача решить дифференциальное уравнение с помощью двух методов: метода Эйлера и метода Эйлера модифицированного. Требуется написать программу на языке Visual Basic для решения и визуализации данного дифференциального уравнения первого порядка при помощи графика. В программе будут сравниваться эти методы и оценятся погрешности и правильность решения.

Русский

2016-08-04

268 KB

9 чел.

Министерство РФ по связи и информатизации

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики»

Уральский технический институт связи и информатики (филиал)

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине информатика

Тема: Визуализация численных методов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Вариант 14

Факультет Телекоммуникации                                   Выполнил: студент группы ТЕ-81

Кафедра  Физики, прикладной                                    Кошкарёва Е.В.                математики и информатики

                                                                                      Проверил: доцент кафедры ИСиТ,

Дата защиты__________                                             кандидат педагогических наук                                                       

Оценка___________                                                     Минина Е.Е.

Екатеринбург

2009

Содержание

Введение

Дифференциальными называются уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Лишь очень немногие из таких уравнений удается решить без помощи вычислительной техники.

Если решить сложно или совсем невозможно, используют численные методы, то есть приближенные вычисления. В числовых методах обязательно используют начальные условия, чтобы исключить константу.

Численные методы позволяют построить интегральную кривую по точкам. В зависимости от того, сколько точек используется для расчета очередной точки и интегральной кривой, все численные методы делятся на одношаговые и многошаговые. В данной работе используется одношаговый метод.

Для визуализации численных методов используются языки программирования. Программирование в наши дни очень сильно развивается. Оно нужно для создания программ, расчета функций. Численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную роль в практике инженерных расчетов.

В данной работе поставлена задача решить дифференциальное уравнение  с помощью двух методов: метода Эйлера и метода Эйлера модифицированного. Требуется написать программу на языке Visual Basic для решения и визуализации данного дифференциального уравнения первого порядка при помощи графика. В программе будут сравниваться эти методы и оценятся погрешности и правильность решения.

1 Постановка задачи

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и ее производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши:

Пусть дано дифференциальное уравнение и начальное условие . Требуется найти функцию , удовлетворяющую указанному уравнению и начальному условию.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи: - тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке к оси ОХ, - угловой коэффициент.

Рисунок 1 - Геометрический смысл задачи Коши

Необходимо решить методами Эйлера и Эйлера модифицированным задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка на отрезке  с шагом и начальным условием .

Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:

...

...

...

...

 

где , – решения, полученные различными численными методами,

          – точное решение дифференциального уравнения.

Возможно представление результатов решения не в виде таблицы, а в виде списков.

Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков. Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычесть значение коэффициента , используемого в общем решении.

2 Описание используемых методов

2.1 Метод Эйлера

 Этот  метод  называют   методом  Рунге-Кутта  первого   порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

       Для решения поставленной задачи выполняем следующие действия:

1) строим оси координат;

2) отмечаем точку A(0; 4) – первую точку интегральной кривой;

3)  ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

4) строим касательную AB в точке А под углом ;

5) находим  по формуле , где  – шаг интегрирования:

;

6) проводим прямую   до пересечения с прямой AB, отмечаем точку ;

7) ищем :

Из прямоугольного треугольника ABC -

Следовательно, точка B имеет координаты (0.05; 4).

Следующую точку будем искать аналогичным способом по формуле расчета очередной точки интегральной функции:

Рисунок 2 - Метод Эйлера

2.2 Метод Эйлера модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет также следующие названия: метод Эйлера - Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Для решения поставленной задачи выполняем следующие действия:

1) строим оси координат;

2) отмечаем точку А(0; 4) – первую точку интегральной кривой;

3) ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

4) строим касательную AB в точке А под углом ;

5) находим  по формуле , где  – шаг интегрирования:

;

6) делим шаг интегрирования на два отрезка и отмечаем , проводим прямую из этой точки до прямой AB, отмечаем точку ;

7) ищем координаты точки В:

Следовательно, точка B имеет координаты (0.025; 4).

8) ищем угол наклона касательной к графику в точке B:

9) строим касательную BC в точке B под углом ;

10) проводим прямую  до пересечения с прямой BC, отмечаем точку C с координатами (x1; y1);

11) ищем :

Следовательно, точка C имеет координаты (0.05; 4.0049).

Следующую точку будем искать аналогичным способом по формуле расчета очередной точки интегральной функции: .

Рисунок 3 - Метод Эйлера модифицированный

3 Блок-схемы основных процедур

3.1 Решение методом Эйлера

 

3.2 Решение методом Эйлера модифицированным

3.3 Общая блок - схема

3.4 Блок - схема дифференциального уравнения

4 Виды формы проекта

4.1 Исходный вид формы программы

4.2 Итоговый вид формы программы

5 Листинг программы на языке Visual Basic.

Dim x(50) As Single, y(50) As Single, k(50) As Single, z(50) As Single, p(50) As Single

Private y0 As Single

Private x0 As Single

Private xk As Single

Private C As Single

Function f(х As Single, y As Single) As Single

f = 2 * x * y / x + 1

End Function

Private Sub Command2_Click()

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

y(0) = Val(Text4.Text)

h = Val(Text3.Text)

p(0) = y(0)

z(0) = y(0)

n = Round((xk - x0) / h)

C = (y(0) * (x0 + 1) ^ 2) / Exp(2 * x0)

MSFlexGrid1.Rows = n + 2

MSFlexGrid1.Cols = 4

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "P"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Yэ"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Yэм"

Max = y(0)

Min = y(0)

For i = 1 To n

x(i) = x0 + i * h

p(i) = Round(C * (x(i) * x(i) * x(i)), 4)

y(i + 1) = Round(y(i) + f(x(i), y(i)) * h, 4)

z(i + 1) = Round(z(i) + f(x(i) + h / 2, z(i) + h / 2 * f(x(i), z(i))) * h, 4)

If y(i) > Max Then Max = y(i)

If y(i) < Min Then Min = y(i)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(p(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(y(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(z(i))

Next i

Picture1.Cls

kx = (Picture1.Width - 1200) / (xk - x0)

ky = (Picture1.Height - 1200) / (Max - Min)

Label4.Caption = Str(Min)

Label5.Caption = Str(Max)

Label6.Caption = Str(x0)

Label7.Caption = Str(xk)

For i = 0 To n - 1

z1 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(5400 - (y(i) - Min) * ky)

z3 = Round(720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z4 = Round(5400 - (y(i + 1) - Min) * ky)

z5 = Round(5400 - (p(i) - Min) * ky)

z6 = Round(5400 - (p(i + 1) - Min) * ky)

z7 = Round(5400 - (z(i) - Min) * ky)

z8 = Round(5400 - (z(i + 1) - Min) * ky)

Picture1.Line (z1, z7)-(z3, z8), vbRed

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), vbGreen

Picture1.Line (z1, z5)-(z3, z6), vbBlue

Next i

End Sub

End

6 Решение задачи в MathCAD

Заключение

Литература


Eiler
()

tg (α) = f(x,y)

i=0,…,N-1

end

end

i=0,…, N-1

EilerM()

End

α

xi+1

α

Label7

Label6

Label5

Command1

Command2

PictureBox

MSFlexGrid

Text4

Text3

Text2

Text1

Label4

Label3

Label2

Label1

хi

0

x

yi

h

yi+1

y=y(x)

B

А

y

α1

α

ε

ε1

xi+1

xi

h

h/2

В

С

А

0

y=y(x)

x

y

f(x, y)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38990. Икона Рождества Христова 33 KB
  Зубок с указкой в руке стоит у доски показывая на иллюстрации Рождественских событий Зубок: Ребята сегодня я буду учителем. Отвечайте на мои вопросы: Кто изображен на этом рисунке Родившийся МладенецХристос Зубок: Кто явился пастухам на поле Ангел Зубок: Какую весть принес ангел Что родился Бог в пещере Зубок: Кто едет на верблюдах по пустыне Звездочеты с дарами Зубок: Что привезли волхвы в подарок Иисусу Христу Золото ладан и смирну Зубок: Здорово мне нравиться быть учителем Матильда Леонардовна: Здравствуйте ребята...
38991. Совинформ. Праздник Крещения Господня – Богоявление 33 KB
  Беседа жителей Шишкиного леса Шуня раскладывает сувенирчики Енот Енотович приносит баночки с водой. Шуня: Какая я счастливая сколько мне подарков на святках подарили Енот Енотович: А ты Шунечка дарила другим радость в эти святые дни Шуня: Да конечно только не могу вам рассказать что и кому а то Матильда Леонардовна говорит что я все свои добрые дела растеряю. Шуня: Здорово что есть Господь которому можно доверить все свои тайны А что это у вас в руках за тайна такая Енот Енотович: Никакая это ни тайна а просто вода. Шуня: А...
38992. Притча о неразумном богаче. Советы Енота Енотовича. Думай о других 35.5 KB
  Советы Енота Енотовича. Оборудование: иллюстрации к притчам о добром самарянине неразумном богаче куклы котенка Коксика Енота Енотовича. Чему же хотел научить нас Господь Был ли жадным богач Какое решение он принял когда собрал большой урожай Смог ли он насладиться своим богатством что случилось с ним Советы Енота Енотовича: Думай о других. Коксик: Енот Енотыч Енот Енотыч закричал котенок вбегая в комнату.
38993. Сретение Господне 35 KB
  Шуня: Тетушка Матильда что еще сделать Матильда Леонардовна: Вещи все сложила на место Шуня: Да. Матильда Леонардовна: Игрушки все убрала Шуня: Конечно. Матильда Леонардовна: Пыль везде вытерла Шуня: Вездевезде Матильда Леонардовна: Тогда принеси мне пожалуйста связку свечей из тумбочки. Зубок: Ухты как у нас чисто и красиво А что у нас завтра праздник какойто Может день рождения у когото Шуня: А вот и нет а вот и не угадал Совсем не день рождения Зубок: А к чему это вы так готовитесь Матильда Леонардовна: Открываем...
38994. Масленица. Прощеное воскресенье 41 KB
  Оборудование: иллюстрации к рассказу о насыщении Господом 5 тысяч человек куклы котенка Коксика Енота Енотовича мышки Шуни волчонка Зубка. Беседа обитателей Шишкиного леса Коксик и зубок рисуют чернобелые рисунки Коксик: Какая скука настроение серое. Зубок: Да все надоело в игры играть не хочется чем бы заняться Коксик: Может в хоккей сыграем Зубок: Да ну холод какой на улице Коксик: Может снеговика слепим Зубок: Лапы морозить не хочется Коксик: Да зима уже надоела Шуня: Что это вы ребята делаете Зубок: Грустим....
38995. О помощи Христа людям. Чудесные исцеления 33.5 KB
  Кто подал нам пример поста в пустыне Иисус Христос После какого события Господь постился После Крещения О каком чуде сотворенном Иисусом Христом мы говорили ранее Как Господь накормил 5 тысяч человек 2 рыбками и 5 хлебами Рассказ о чудесах Господних. Сразу же после чуда с хлебом и рыбой Иисус сказал Своим ученикам войти в лодку и отправиться раньше Него на другой берег пока Он отпустит людей. На рассвете пошел к ним Иисус идя по морю. Но Иисус заговорил с ними и сказал: Ободритесь; это Я не бойтесь.
38996. Доброе дело – бесценное богатство. Лукошко сказок: «Свободный город» 32 KB
  Лукошко сказок: Свободный город. Оборудование: телепередача Свободный город диск Цикл телевизионных передач для детей Доброе слово. Для этого мы побываем в Свободном городе. Почему город называется Свободным О чем мечтал Яков Как горожане спасали город Просмотр телепередачи 12 минут.
38997. Вход Господень в Иерусалим. Тайная вечеря и распятие 36.5 KB
  Эта традиция уходит корнями в те времена когда по земле ходил Господь Иисус Христос. Однажды заболел Его друг Лазарь а Господь находился в другом селении. Господь прослезился и сказал открыть гроб. Пальмовая ветвь символ победы в сражениях а Господь победил смерть.
38998. Традиции празднования Пасхи 42.5 KB
  Входит Шуня с пасхальным лукошком Шуня: Христос воскресе Здравствуйте ребята смотрите что у меня есть Матильда Леонардовна: Воистину воскресе Здравствуй Шунечка какое у тебя красивое лукошко а в нем все символы Пасхи собраны Шуня: И никакие не символы а самая вкусная пасхальная еда. Вот и яичко и пасочка и какаято горка творога вкусная наверное Матильда Леонардовна: Как ты не знаешь что это не простая еда а со значением символизирующая все самое важное в Пасхе И что это никакая не горка а творожная пасха а это не...