4986

Атомная физика. Физика твердого тела. Квантовая физика

Конспект

Физика

Атомная физика. Физика твердого тела. Квантовая физика. В этом разделе мы рассмотрим явления, связанные с взаимодействием света с веществом: тепловое излучение, фотоэффект и эффект Комптона. Закономерности этих явлений хорошо объясняются только на о...

Русский

2012-11-30

689 KB

26 чел.

Атомная физика. Физика твердого тела. Квантовая физика.

В этом разделе мы рассмотрим явления, связанные с взаимодействием света с веществом: тепловое излучение, фотоэффект и эффект Комптона.

Закономерности этих явлений хорошо объясняются только на основе квантовых представлений, т.е. в предположении, что свет – это частицы (кванты, фотоны).

         ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

 При переходе электрона в возбужденном атоме на более низкий энергетический уровень атом излучает квант энергии электромагнитное излучение с определенной длиной волны. Если вещество представляет собой разреженный газ, в котором атомы практический не взаимодействуют друг с другом, то излучение состоит из определенного набора волн. Разлагая излучение разреженного газа в спектр, мы будем наблюдать отдельные линии (линейчатый спектр). Если газ образуют молекулы, которые вращаются, а атомы в них совершают колебания, то изменения в этих движениях (переходы) также сопровождаются излучением электромагнитных волн определенных частот. Так как при таких переходах энергия меняется значительно меньше, чем при электронных, линии в спектре будут располагаться более тесно, образуя полосы (полосатые спектры). Жидкости, в которых имеется сильное взаимодействие молекул между собой, также дают полосатые спектры излучения.

 Излучение твердого тела дает сплошной спектр. Твердое тело можно представить себе как множество осцилляторов (излучателей), колеблющихся с самыми разнообразными частотами. Молекулыосцилляторы находятся в непрерывном тепловом движении. Взаимодействуя друг с другом, они изменяют свои скорости, вследствие чего происходит излучение электромагнитных волн всевозможных частот. При температурах свыше 700оС излучение становится видимым («красное каление»), при более высоких температурах наблюдается «белое каление

 Излучение электромагнитных волн, происходящее за счет энергии теплового движения молекул, называют тепловым излучением. Если излучение находится в равновесии с излучающим телом, то излучение называют равновесным тепловым излучением. 

 Рассмотрим физические величины, характеризующие тепловое излучение. При этом мы не будем касаться углового распределения излучения, т.к. оно представляет чисто технический интерес при конструировании источников света.

Интегральные характеристики:

W (Дж)

энергия, излучаемая по всем длинам волн во всех направлениях

Дж/с = Вт

поток излучаемой энергии или мощность излучения  по смыслу это энергия, излучаемая в единицу времени

 

Дж/(с.м2) = =Вт/м2

энергетическая (интегральная) светимость – это энергия, излучаемая в единицу времени с единичной площади по всем длинам волн

 В спектре излучения твердого тела на разные длины волн приходится различная энергия, поэтому вводятся спектральные характеристики, учитывающие распределение излучаемой энергии по различным длинам волн:

 

Дж/(с.м2.м) =Вт/м3

излучательная способность (лучеиспускательная способность, спектральная плотность потока излучения) это энергия, излучаемая в единицу времени единицей площади в единичном интервале длин волн ( - длина волны излучения)

Дж/(м2)



в единичном интервале частот

( - частота излучения)

поглощательная способность (коэффициент поглощения)  это отношение поглощенного к падающему потоков, взятых в узком интервале длин волн вблизи данной длины волны

отражательная способность (коэффициент отражения)  

это отношение отраженного к падающему потоков, взятых в узком интервале длин волн вблизи данной длины волны

соотношение между коэффициентами отражения и поглощения, следует из закона сохранения энергии

 Энергетическая светимость R зависит только от температуры тела R=R(Т), спектральные характеристики излучения  r, а и  зависят как от температуры, так и от длины волны света : r = r(), а = а() и =  ().

 

связь между излучательной способностью и энергетической светимостью в дифференциальной и интегральной формах для длин волн и частот

с – скорость света в вакууме



Если в каких-либо формулах мы хотим перейти от к (и наоборот), следует приравнивать общее количество энергии, излученной в интервалах d и d:

dR=rd = rd

r = r (d / d)

 При исследовании теплового излучения используется научная абстракция  абсолютно черное тело (АЧТ) – это тело, которое поглощает всё, падающее на него излучение, т.е. коэффициент поглощения АЧТ аАЧТ = 1. Реальной моделью АЧТ может служить замкнутая полость с небольшим отверстием, цилиндр с перегородками, конус (см. рис.). На конусной установке можно получить коэффициент поглощения 0,99999. Если поддерживать температуру указанных тел постоянной, то из отверстия будет выходить электромагнитное излучение всевозможных длин волн, близкое к равновесному излучению АЧТ.

замкнутая полость с отверстием

цилиндр с перегородками

конусный излучатель

 Еще одной моделью излучения реальных тел является серое тело – это тело, у которого коэффициент поглощения меньше единицы и при данной температуре является постоянным для всех длин волн. Кривая излучения серого тела повторяет ход кривой излучения АЧТ (см. дальше) при той же температуре, но идет ниже.

Закон Кирхгофа: «Для всех тел отношение излучательной способности к его поглощательной способности при данной температуре Т и данной длине волны является постоянным и равным излучательной способности АЧТ при тех же Т и ». Следствия из закона Кирхгофа:

1

Все реальные тела при данной температуре излучают всегда меньше, чем АЧТ; r=roa ro, т.к. для всех тел a 1

2

Если тело не поглощает каких-либо волн, оно и не будет их излучать, поэтому спектры излучения и спектры поглощения идентичны, но как бы перевернуты (максимум на одном соответствует минимуму на другом)

3

Тело, которое сильно поглощает, должно и сильно излучать. Если на пластине на белом фоне нарисовать черный крест, то при нагревании крест будет светиться более интенсивно, чем фон..

Вывод закона Кирхгофа. Пусть некоторое тело 1 обменивается излучением с АЧТ (2), Температуры тел одинаковы. На единицу площади тела 1 падает поток излучения от АЧТ – ro. Часть этого потока  rо отражается от тела 1. В свою очередь тело излучает поток r. При тепловом равновесии ro = r + rо = r + (1 а) rо  r / а = rо

( - коэффициент отражения, а – коэффициент поглощения)

 Распределение энергии в спектре АЧТ.

 На рисунке приведена зависимость излучательной способности АЧТ от длины волны при различных температурах. Эти данные получены экспериментально. Из графиков видно, что энергия распределяется по длинам волн неравномерно, с увеличением температуры излучение резко возрастает. При указанных температурах максимумы излучения попадают в инфракрасный диапазон длин волн, на видимую область (0,4-0,75 мкм) приходится незначительное количество энергии . С ростом температуры максимумы смещаются в сторону более коротких длин волн. На втором рисунке приведен для сравнения спектр солнечного излучения. «Провалы» в спектре – это линии поглощения атмосферой, огибающая – спектр излучения АЧТ.

Законы изучения АЧТ. На основании экспериментальных данных были получены следующие законы:

Закон Стефана-Больцмана «Энергетическая светимость АЧТ прямо пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры». Из закона следует, что при небольшом увеличении температуры, энергия излучения возрастает очень сильно. Например, при увеличении температуры в 2 раза, излучаемая энергия возрастает в 16 раз.

 = 5,67108 Вт/(м2К4) – постоянная Стефана-Больцмана.

Закон смещения Вина: «Длина волны, на которую приходится максимум излучения, обратно пропорциональна абсолютной температуре». Из закона следует, что с увеличением температуры максимум излучения смещается в сторону более коротких волн. b= 2,9103 1/м – постоянная Вина.

Закон общепринятого названия не имеет, иногда называется

2-ым законом Вина: «Максимальная излучательная способность прямо пропорциональна пятой степени абсолютной температуры»

С = 1,3105 Вт/(м35)- коэффициент пропорциональности

 Выясним, что представляют собой величины в формулах () и () на графике зависимости излучательной способности АЧТ ro от длины волны .

Кривая излучения АЧТ.

dR – поток излучения, приходящийся на интервал длин волн d (площадь плотно заштрихованной полоски)

R – интеграл (см. формулу ) – на графике – это

 площадь под всей кривой излучения.

max – длина волны, на которую приходится максимум излучения

Гипотеза и формула Планка.

 Все попытки получить формулу, описывающую кривую излучения АЧТ оказались безуспешными. Две из полученных формул (формула Вина и формула Релея и Джинса) достаточно хорошо подходили при малых и при больших длинах волн, но полностью описать кривую не могли (см. таблицу ниже). Получить формулу, полностью описывающую кривую излучения АЧТ удалось Планку. Он впервые выдвинул квантовую гипотезу (1900 г) о том, что свет испускается порциями – квантами. Энергия одного кванта пропорциональна частоте излучения. Это была принципиально новая гипотеза, положившая начало развитию квантовой теории.

энергия кванта (фотона), выраженная через частоту (Гц), циклическую частоту (1/с)и длину волны

h = 6,6251034 Дж.с постоянная Планка

= 1,051034 Дж.с    - называют квантом действия

             (в устной речи произносится «аш перечеркнутая

 Мы не будем приводить вывод формулы Планка , укажем только, что он основан на методах статистической термодинамики, как и вывод формул Вина и Релея-Джинса, но Планк предположил, что энергия, приходящаяся на одну степень свободы колебательного движения осциллятора равна не кТ/2, а зависит от частоты излучения.

 Приближенная формула Вина хорошо выполняется при малых длинах волн (см. рис.) и дает максимум; формула Релея Джинса дает неплохое совпадение с опытом при больших длинах волн, но кривая уходит в бесконечность, что физически невозможно. (Подробнее – см. таблицу ниже)

Название

выражение через

частоту

выражение через

длину волны

формула Планка



формула Вина, хорошо выполняется при h kT

или  max = b/T

b = 0,0029 м.К (см.ранее закон смещения Вина

формула Релея Джинса хорошо выполняется при 

h  kT или    max = b/T

(ех  1+ х при малых х)

С1 3,71016 Вт.м2

С21,4102 м.К

 Из формулы Планка можно получить теоретически все законы излучения АЧТ.

Чтобы получить закон Стефана-Больцмана, нужно просуммировать излучение по всем частотам

Подставим под интеграл (), сделаем замену переменной. Интеграл получается не табличный, но известен из математики; А = const, в которой собраны все постоянные, входящие в формулу Планка

Чтобы получить закон смещения Вина, нужно приравнять первую производную излучательной способности нулю, что будет соответствовать максимуму излучения

dro / d = 0. Возьмем формулу (), найдем производную, получим уравнение. Введем переменную x =hc / kT подставим в уравнение

В результате получим:

5(ex – 1) xex = 0 Это уравнение можно решить только численно: х 5. Подставляя, найдем:

 = const/T 

 Законы теплового излучения используются в приборах, с помощью которых измеряют бесконтактным способом температуру тел, нагретых до высоких температур. Такие приборы называются пирометрами. Шкала такого прибора заранее проградуирована. С помощью оптических линз изображение источника излучения (например, отверстия печи, лампочки накаливания) фокусируется на датчике прибора, и стрелка указывает температуру на шкале прибора.

   ДУАЛИЗМ СВОЙСТВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

 Прежде, чем перейти к закономерностям фотоэффекта и эффекта Комптона, рассмотрим свойства света (электромагнитного излучения). В одних явлениях (интерференция, дифракция, поляризация) свет проявляется себя как волны, в других (тепловое излучение, фотоэффект, эффект Комптона) – как частицы (кванты, фотоны), поэтому говорят о двойственной, корпускулярно волновой природе света. Если частота света и, следовательно, энергия фотона, велика, то свет проявляется себя как «частицы», при малых частотах – как волны. Например, в области радиоволн квантовые свойства практически не проявляются, и волновая электромагнитная теория хорошо объясняет явления, связанные с радиоволнами.

В силу двойственности природы света, для его характеристики используются как квантовые, так и волновые величины.

Свет как фотоны (кванты) характеризуется:

энергия фотона

масса покоя фотона равна 0. Действительно, энергия частицы по формуле Эйнштейна , скорость света (и фотона) в вакууме равна с, следовательно, m = 0

импульс фотона. Действительно, из СТО энергия частицы связана с ее импульсом ,m=0  h = pc

Свет как электромагнитные волны характеризуются:

 

- длина волны,  - частота (в Гц), - циклическая частота, с – скорость света в вакууме

 

k в скалярной форме называют волновым числом, в векторной форме называют волновым вектором 

р – импульс фотона

В атомной физике энергию обычно измеряют не в джоулях, а в электронвольтах (эВ). 1 эВ = 1,61019 Дж. Электронвольт численно равен той энергии, которую приобретает электрон, пройдя разность потенциалов в 1 вольт. Электронвольты и вольты численно совпадают, хотя этими единицами измеряются совершенно разные величины. Например, электрон пройдя разность потенциалов 5 В приобретает энергию 5 эВ.

 В нашем мире мы не наблюдаем таких макрообъектов, которые проявляли бы себя то как частицы, то как волны. Поэтому все попытки представить себе, что же такое свет, оказались безуспешными. Фотоны не подчиняются законам классической механики. Двусмысленность природы света возникает потому, что мы используем классические представления для описания неклассических, квантовых объектов.

         ФОТОЭФФЕКТ

Фотоэффектом называют электрические явления, происходящие под действием электромагнитного излучения (света). Различают следующие виды фотоэффекта.

1)Внешний фотоэффект. Он состоит в том, что под действием света происходит

испускание электронов из вещества (см. рис.). При этом на поверхности

вещества появляется положительный заряд.

2)Внутренний фотоэффект. Выбитые светом электроны остаются в веществе.

Если к веществу приложена разность потенциалов, то при освещении светом

электропроводность вещества увеличивается.

3)Фотоэффект в запирающем слое (вентильный фотоэффект). Если привести в контакт два вещества с разным типом проводимости (электронной и дырочной), то на их границе возникает разность потенциалов. Если освещать границу контакта светом и цепь замкнуть, то в ней будет протекать ток. Таким образом, можно наблюдать непосредственное преобразование световой энергии в электрическую (подробнее см.дальше - ФТТ)

внешний фотоэффект

внутренний фотоэффект

фотоэффект в запирающем

слое

 Мы будем рассматривать только внешний фотоэффект. Попытки объяснить закономерности фотоэффекта на основе электромагнитной теории оказались невозможными, например, из теории следовало, что появление фототока должно происходить спустя десятки минут после освещения, тогда как из опыта фототок появлялся практически мгновенно. В 1905 г Эйнштейн показал, что закономерности внешнего фотоэффекта можно объяснить, если предположить, что свет поглощается порциями (квантами) такими же, как по предположению Планка свет излучается. Он предложил уравнение:

 

уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

По сути – это закон сохранения энергии: энергия фотона расходуется на работу А по отрыву электрона от атома и на сообщение электрону кинетической энергии Wкин . (На свободном, не связанном с атомом электроне, фотоэффект невозможен).

Фотоэффект можно рассматривать как неупругое столкновение частицы-фотона с атомом; фотон исчезает, из атома вылетает электрон, и часть импульса «погибшего» фотона передается атому.

 Для удобства решения задач соберем все выражения для величин в формуле

() в таблицу. В зависимости от условия задачи, следует выбрать подходящие

формулы и подставить в ().

энергия падающего фотона

А – работа выхода электрона из вещества

максимальная кинетическая энергия электрона.

Uзадерж- задерживающий потенциал (см.дальше),

е – заряд электрона, р – импульс электрона

все эти величины называются красной границей фотоэффекта. Красная граница фотоэффекта – это частота или длина волны, при которых начинается (или прекращается) фотоэффект

W, v, p

Кинетическая энергия, скорость и импульс в формуле Эйнштейна являются максимальными, т.е. электрон имеет их сразу же после отрыва от атома. «Пробираясь к выходу» из вещества за счет взаимодействия с другими частицами, он может потерять энергию, поэтому вылетевшие электроны имеют различные скорости (вплоть до 0).

Uзадерж

задерживающее напряжение (потенциал) – это обратное напряжение, которое нужно приложить между катодом и анодом фотоэлемента, чтобы прекратился фототок (см. рис. ниже)

Рассмотрим вакуумный фотоэлемент и его характеристики. 1)Вольтамперная характеристика.

 На рисунке показана схема, используемая для изучения фотоэффекта. Внутри стеклянного баллона, из которого откачен воздух, имеются два электрода: катод (К) и анод (А). Такое устройство называется вакуумным фотоэлементом. При освещении катода светом, из него будут вылетать электроны, образуя электронное облако. Часть электронов по инерции достигнут анода. Если катод и анод замкнуть вне баллона и подсоединить микроамперметр, то прибор покажет ток.

Этот очень небольшой ток называется инерционным (Iин).

Если к электродам подсоединить батарею и увеличивать напряжение между катодом и анодом, ток в цепи будет увеличиваться. Зависимость фототока от напряжения называется вольтамперной характеристикой фотоэлемента ( см. рис.). Начиная с некоторых напряжений, ток перестает увеличиваться, если при этом световой поток

Ф остается постоянным. Максимальный ток называется током насыщения (Iнас). Существование тока насыщения объясняется следующим образом. Один фотон выбивает только один электрон, но не каждый фотон выбивает по электрону. Отношение числа выбитых электронов Nэл к числу падающих фотонов Nфот в единицу времени называется квантовым выходом. Квантовый выход  зависит от природы вещества и частоты фотонов.

 2) Световая характеристика.

 Световой характеристикой фотоэлемента называется зависимость фототока насыщения от падающего светового потока ( см.рис.). Квантовый подход приводит к прямой пропорциональности тока насыщения световому потоку

 Iнасыщ  Ф. Действительно:

ток насыщения,

 е – заряд электрона, t- время.

световой поток

квантовый выход

А/Вт

чувствительность фотоэлемента

Iнасыщ =  Ф

Отсюда для  = const следует, что сила тока насыщения прямо пропорциональна световому потоку. Коэффициент пропорциональности называется чувствительностью фотоэлемента – она показывает, на сколько изменяется сила тока насыщения при изменении светового потока на единицу

3) Задерживающий потенциал.

 Уравнение Эйнштейна можно записать в виде:  и выразить задерживающий потенциал:

На рисунке показан график зависимости задерживающего потенциала от частоты падающего света. По графику можно найти работу выхода А, красную границу гр , а по наклону прямой можно определить величину постоянной Планка h.

 Фотоэлементы широко используются в физике и технике. Вакуумные фотоэлементы довольно громоздки и дают небольшие токи, но вследствие своей безинерционности и линейной световой характеристики они незаменимы в тех случаях, когда необходимо превратить световые сигналы в электрические без каких-либо искажений. Существование тока насыщения в фотоэлементах позволят использовать их в стабилизаторах (напряжение изменяется, а ток остается постоянным). Фотоэлементы очень часто применяют в турникетах, для подсчета движущихся изделий на конвейерах и т.п.

       ЭФФЕКТ КОМПТОНА

 Эффектом Комптона называется рассеяние веществом электромагнитного излучения, при котором частота рассеянного излучения уменьшается по сравнению с первоначальной, и одновременно наблюдается вылет быстрых электронов (электроны отдачи). Изменение частоты оказывается различной в зависимости от угла наблюдения. Американский ученый Комптон, открывший это явление (1923 г) разработал теорию явления. Он предложил рассматривать наблюдаемое взаимодействие света с веществом как упругое столкновение

частиц фотона и электрона. Используя законы сохранения импульса и энергии, Комптон получил формулу для изменения длины волны в зависимости от угла рассеяния..

 Мы не будем приводить полный вывод формулы для изменения длины волны, а запишем только законы сохранения и окончательную формулу. Так как эффект Комптона наблюдается только для фотонов с большой энергией (рентгеновские и гамма-лучи), то при вычислениях необходимо использовать формулы СТО, и вывод становится громоздким. 

 На рис. показано столкновение первоначального фотона с энергией hо с электроном в веществе (на рис. не показан). Импульс и энергия электрона до столкновения пренебрежимо малы по сравнению с импульсом и энергией фотона, т.е. электрон можно считать свободным. (Обычно употребляется выражение «рассеяние фотона на свободном электроне»). После столкновения фотон отклоняется от первоначального направления под углом , а его энергия уменьшается и становится равной h. Электрон получает импульс и кинетическую энергию и летит под углом . (электрон отдачи, угол отдачи).

закон сохранения импульса в векторном и скалярном виде     (теорема косинусов).

  импульс падающего фотона,

  импульс рассеянного фотона,

  импульс электрона.

  угол рассеяния

закон сохранения энергии

  энергия падающего фотона,

  энергия рассеянного фотона,

  кинетическая энергия электрона отдачи

        (электрон релятивистский).

Подставив в эти законы выражения для указанных величин, приведенные ниже, после преобразований получим:

 

или

изменение длины волны при комптоновском рассеянии излучения (на свободном электроне)

Из формул следует, что комптоновское изменение длины волны не зависит от природы рассеивающего вещества, а определяется только углом наблюдения.

= 2,43 пм = 2,431012 м

Эта величина называется

комптоновской длиной волны электрона

 Комптоновское рассеяние может наблюдаться и на свободном протоне, тогда следует использовать комптоновскую длину волны протона:

Из формулы () следует, что изменение при различных углах рассеяния равно:

= 0о

= 0

фотоны, продолжающие лететь в первоначальном направлении, не изменяют свою длину волны

= 90о

=  

в этом случае изменение равно комптоновской длине волны электрона

= 180о

=

максимальное изменение происходит в случае, когда рассеянный фотон движется в противоположном направлении

Ниже приводится таблица формул, используя которые можно получить выражение () для . Компактное расположение формул облегчает также решение задач.

энергия падающего и рассеянного фотонов

импульс 

релятивистская кинетическая энергия электрона отдачи

по этой формуле можно найти угол отдачи

 Комптоновское рассеяние наблюдается только для рентгеновских и гамма-лучей. В этом случае изменение длины волны сравнимо с длиной волны падающего излучения, и может быть измерено экспериментально. Для видимого света обнаружить эффект Комптона невозможно, т.к. максимальное изменение = 0,48 пм слишком мало по сравнению со средней длиной световой волны

  500 нм = 500000 пм (зеленый свет) и перекрывается тепловым уширением спектральных линий..

 Эффект Комптона доказывает, что: 1) свет имеет квантовую природу и

2) для элементарных процессов взаимодействия частиц применимы законы сохранения импульса и энергии.

  ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ АТОМОВ И МОДЕЛЬ АТОМА БОРА.

 Ядерная модель атома.

 Резерфорд на основании опытов по рассеянию альфа-частиц на металлической фольге (1909-10 гг.) предложил ядерную (планетарную) модель атома. Атом представляет собой очень маленькое ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома, а вокруг ядра вращаются электроны подобно планетам солнечной системы. Эта модель оказалась несостоятельной, она не могла объяснить, почему спектры излучения газов состоят из отдельных линий, а не являются сплошными. Электроны, обладающие ускорением, должны непрерывно излучать электромагнитные волны, терять энергию и, в конце концов, упасть на ядро. Однако атомы являются устойчивыми системами.

 В 1913 г Бор дополнил модель Резерфорда, выдвинув принципиально новые предположения (постулаты).

Постулаты Бора:

1

В атомах существуют особые стационарные орбиты, на которых электрон может двигаться сколь угодно долго.

Целые числа - номера орбит - получили впоследствии название квантовых чисел.

При n = 1 . Т.о.  представляет собой минимальный момент импульса или минимальный квант действия

Момент количества движения (момент импульса) электрона на таких орбитах

равен: 

2

При переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую происходит излучение (или поглощение) кванта энергии.

Е – энергия электрона на орбите

 

Теория Бора может быть названа полуклассической, полуквантовой. В этой теории движение электрона на орбите описывалось классическими законами (формулы – см. дальше). Вместе с тем, теория приводила к тому, что скорость, радиус орбиты, энергия электрона не могут иметь любые значения, а квантуются, т.е. могут принимать только дискретные (отдельные) значения.

 Теория Бора хорошо описывала закономерности в спектре атома водорода и водородоподобных атомов.(Водородоподобными атомами называют атомы (или ионы) у которых на последней орбите имеется только один электрон). Однако, для атома гелия (Z = 2) и других элементов теория Бора не давала совпадения с опытом.

Атом водорода и водородоподобные атомы (ВПА) по теории Бора.

 На рис. показан водородоподобный атом. Заряд ядра равен +Ze, где Z число протонов (и номер элемента в таблице Менделеева). Вокруг ядра вращается по круговой орбите электрон е со скоростью v. На электрон действует со стороны ядра кулоновская сила Fкул. Запишем II закон Ньютона для электрона: man=Fкул., где an = v2/ r - нормальное ускорение. (Взаимодействие электрона с другими электронами атома не учитываем).

 z

II закон Ньютона и закон Кулона,

к=1/4о – коэффициент в СИ

Для атома водорода

Z = 1

  y

постулат Бора

 Из этих формул получим выражения для скорости v и радиуса r орбиты электрона. Сократим в уравнении (z) на r, а оставшующуюся r перенесем в числитель левой части уравнения. Затем разделим уравнение (z) на (y) и получим v. Подставим v в (y) и найдем r.

Внимание! Легче запомнить вывод формул для v и r, чем сами формулы для них.

скорость электрона на орбите, квантуется как v  1/n; 

v1 = 2,2106 м/с

радиус орбиты электрона, квантуется как r  n2

r1 = 0,53 нм – первый боровский радиус

 Когда электрон в атоме Н находится на 1-ой орбите, говорят, что электрон (или атом) находится в основном (невозбужденном) состоянии, при этом электрон имеет минимальную энергию. Все остальные состояния называются возбужденными состояниями.

 Полная энергия Е электрона складывается из кинетической W и потенциальной U энергий: Е = W + U. Выразим их в идентичной форме:

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром отрицательна, т.к. нулевой уровень принят на бесконечности (U = 0), чем ближе к ядру, тем меньше энергия электрона.

Кинетическая энергия, получается из (z), т.к. W=mv2/2

Полная энергия: Е = W + U 

Подставив выражение для r, получим формулу:

 x

Полная энергия электрона на n-ой орбите, квантуется как Е  1/n2; вычисления дают:

Е1   13,6 эВ

Е1ВПА   Z 2 13,6 эВ

Энергия электрона на 1-ой орбите в атоме водорода и водородоподобных атомах (ВПА).

Из формулы (x) можно получить также:

Е ион = Е1

энергия ионизации атома – это минимальная энергия, которую нужно сообщить атому, чтобы удалить из него электрон (Е = 0)

Uион = Е ион /е

потенциал ионизации - это разность потенциалов, которую надо приложить к газу, чтобы ионизировать атом

первый потенциал возбуждения – разность потенциалов, необходимая для перевода электрона с 1-ой орбиты на 2-ую,

для водорода U1 = 13,6 эВ (1 1/22) = 10,2 В.

Внимание! Не забывайте, что электронвольты и вольты численно равны.

 Если подставить во 2-й постулат Бора  выражение (x), получим:

все три формулы имеют одно и то же название –

сериальные формулы, а константы называются постоянными Ридберга, хотя и имеют различные числовые значения

= 1,097107 1/м

= 3,291015 1/с

= 2,0671016 1/с

с помощью этих формул можно выразить одну постоянную через другую

 Сериальная формула была известна из опыта до появления теории Бора.

Закономерности в видимом спектре атома Н были обнаружены Бальмером еще в 1885 г. Затем были открыты другие серии. Они получили следующие названия:

серия Лаймана

n = 2, 3, 4,…

серия Бальмера

n = 3, 4, 5,…

серия

Пашена

 

n = 4, 5, 6,…

серия Брекетта

 

n = 5, 6, 7,…

Головными линиями серий называют: серия Лаймана переход 21, серия Бальмера переход 32, серия Пашена переход 43.

Чтобы электрон перешел на более удаленную орбиту, необходимо внешнее воздействие. Например, можно газ нагревать, или освещать светом, или к электродам в баллоне с газом приложить разность потенциалов. Среднее время жизни электрона на этой орбите порядка 108 секунды.

 ПРИНЦИПЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА.

Корпускулярно-волновой дуализм материи. Гипотеза и формула де Бройля.

 В 1924 г Де Бройль выдвинул гипотезу о волновых свойствах всех частиц, которая сначала показалась ученым фантастической, и была принята только после экспериментального подтверждения. Гипотеза де Бройля: «Со всякой движущейся частицей связан некоторый волновой процесс». Эти волны получили название волн де Бройля, волн вещества, фазовые волны. По аналогии со световыми квантами де Бройль предложил формулу для длины волны этого процесса.

длина волны де Бройля (дебройлевская длина волны) движущейся частицы; р  импульс частицы

классическая

частица Е Ео

Чтобы определить, какую формулу следует взять, нужно сравнить энергию частицы Е с ее энергией покоя Ео = mc2 Еоэл-на=0,51 МэВ

(Е = h = hc/)

релятивистская

частица Е Ео

 Вычислим длину волны для человека массой 60 кг, идущего со скоростью

0,1 м/с (чем меньше m и v, тем больше длина волны): = (6,61034)/600,1 =

= 1,11034 м. Процессы с такими малыми длинами волн в природе неизвестны.

 Пусть электрон ускоряется разностью потенциалов U и приобретает кинетическую энергию mv2/2.

 

дебройлевская длина волны электрона, ускоренного разностью потенциалов U.

При разностях потенциалов в несколько десятков тысяч вольт длина дебройлевской волны может быть измерена экспериментально.

 Гипотеза де Бройля получила экспериментальное подтверждение в опытах Девиссона и Джермера (1927 г). На рисунке приведена схема установки, которая представляла собой стеклянный сосуд, из которого был откачан воздух. Узкий пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов, падал на кристалл никеля. Отраженные от кристалла электроны улавливались цилиндром Фарадея, соединенным с гальванометром, показывающим ток. Цилиндр можно было поворачивать (на рис. указано стрелками). При постоянном угле ток в цепи давал резкие максимумы только при определенных углах .

Объяснить результаты опытов можно было, только предположив, что электроны обладают волновыми свойствами, и максимумы тока соответствуют максимумам дифракционной картины.

Впоследствии были проведены многочисленные опыты различными исследователями, подтверждающие волновые свойства пучков молекул, протонов и нейтронов. Так, Томсон, ускоряя электроны разностью потенциалов до 56500 В, сумел сфотографировать дифракционные кольца и по ним вычислил длину волны. Эта длина волны оказалась лежащей в рентгеновском диапазоне и совпадала с той, которую давала формула де Бройля.

Принцип неопределенности Гейзенберга.

 В классической механике предполагалось, что координата точки и ее импульс могут быть определены одновременно с любой точностью. Попробуем понять, какие трудности возникают, если пытаться применить классические понятия к объекту, обладающему двойственной природой (частица-волна). Рассмотрим так

называемый пакет волн. Если сложить несколько волн с различными частотами, распространяющиеся в направлении х, получится сложная несинусоидальная волна . Если будет складываться очень большое число волн со всевозможными длинами, образуется волновой пакет шириной х (см.рис.). Монохроматическая волна имеет определенную длину волны и, соответственно импульс р = h/ = const,

р 0, а протяженность ее х  . Очень узкий волновой пакет содержит множество волн, количество которых в пределе стремится к бесконечности и разброс импульсов в нем р   , а протяженность

х  0. Т.о., мы приходим к выводу, чем более точно локализован волновой пакет, тем больше оказывается неопределенность в его импульсе.

 Гейзенберг выдвинул принцип неопределенности: «Существует принципиальное ограничение на точность, с которой могут быть определены физические величины, не связанное с точностью приборов». Он предложил также формулы, смысл которых в следующем.

соотношения неопределенностей для координаты и импульса «Если измеряется координата х частицы и одновременно проекция ее импульса в направлении х (рх), то минимальные

ошибки при их одновременном измерении связаны этими соотношениями»

 Существует также соотношение неопределенности, касающееся энергии и времени.

соотношения неопределенностей для энергии и времени.

«Если атомная система обладает энергией Е в течение времени t, то одновременное измерение этих величин возможно лишь с точностью, определяемой данным соотношением»

 Из соотношений неопределенностей следует, что чем точнее определяется одна величина, тем менее точно – другая при одновременном их измерении,. Так как  очень мало, то эти ограничения существенны только в атомных масштабах.

 С помощью соотношений неопределенностей можно дать простые объяснения фактам, установленным другими путями. Например.

1). Входит ли электрон в состав атомного ядра?

х = 1014 м

Размер ядра по порядку величины

Предположим, что электрон находится в ядре. Найдем неопределенность в его импульсе и примем ее равной самому импульсу

МэВ

кинетическая энергия релятивистского электрона в ядре (считаем, что он движется как квант со скоростью с)

 Из опытов по радиоактивному бета-распаду известно, что энергии вылетающих из ядра электронов значительно меньше. Следовательно, в ядре «готовых» электронов нет; электрон образуется в ядре при превращении нейтрона в протон.

2). Оценим с помощью соотношения неопределенностей энергию связи электрона в атоме водорода.

х =0,5 1010 м

размер атома Н

импульс электрона, вычисленный с помощью соотношения неопределенности

эВ

Энергия нерелятивистского электрона

(1 эВ=1,61019 Дж). По порядку величины совпадает с энергией, вычисленной по теории Бора

3). Найдем предел точности, с которой можно определить частоту и длину волны излучаемого света

время возбужденного атома, спустя это время электрон возвращается на нижележащую орбиту, и атом испускает квант света с энергией Е

Гц

предел точности определения частоты излучения, найденный с помощью соотношения неопределенности

предел точности измерения длины световой волны для зеленого света

=(500,0000000 0,0000002) нм

с = 3108 м/с – скорость света в вакууме

Уравнение Шрёдингера.

 Открытие двойственной природы частиц привело к пониманию о невозможности описывать поведение микрочастиц с помощью классических представлений и законов. Стало ясно, что нельзя говорить о траектории частицы, т.е. о точном ее местоположении в любой момент времени. Появилась новая наука – квантовая механика. Вместо слова траектория частицы было введено понятие о вероятности нахождения частицы в том или ином месте пространства. Для описания поведения микрочастиц Шрёдингер (1926 г) предложил дифференциальное уравнение:

 i

нестационарное уравнение Шрёдингера; решение уравнения позволяет найти вероятность нахождения частицы в том или ином мете пространства

мнимая единица

m

масса рассматриваемой частицы

U(x,y,z,t)

потенциальная энергия частицы, зависящая в общем случае от координат и времени

оператор Лапласа (или лапласиан) краткое обозначение математической операции дифференцирования в частных производных;  - набла (греч. слово  - арфа, символ по форме напоминает этот инструмент)

(x,y,z,t)

пси-функция или волновая функция, физического смысла не имеет, но квадрат ее модуля 2 – это вероятность нахождения частицы в данном месте пространства (подробнее см. дальше – стационарное уравнение Шрёдингера)

 Математически уравнение Шрёдингера имеет бесконечное число решений, что физически неприемлемо, поэтому на пси-функцию накладываются дополнительные условия:

1).Пси-функция должна быть:

а) конечной – вероятность не может быть больше 1,

б) непрерывной – вероятность не может внезапно оборваться,

в) однозначной – не может быть две вероятности в одной точке,

2) Производные пси-функции должны быть непрерывны,

3) Пси-функция должна подчиняться условию нормировки:

условие нормировки; смысл его в том, что вероятность обнаружить частицу во всем мыслимом пространстве равна 1.

 В тех случаях, когда потенциальная энергия зависит только от координат и не зависит от времени, т.е U = U (x,y,z), пси-функцию можно представить как произведение двух функций: (x,y,z,t) =  ( x,y,z) (t). ( - большая буква пси,

- малая буква пси, обе функции называются пси- или волновыми функциями.) Подставим в уравнение (i) и, разделим на ().. Получим:

Левая часть уравнения зависит только от t, правая – только от координат, следовательно, каждая из них должна быть равна некоторой постоянной, которую мы обозначим Е.

(t) называется временнОй частью пси-функции, со временем она затухает

 Если приравнять константе Е правую часть уравнения, получим:

 a

стационарное уравнение Шрёдингера 

Е – полная энергия частицы,

U – потенциальная энергия

При решении уравнения Шредингера мы

     задаем

     находим

U – потенциальную энергию

        частицы m – массу частицы

- пси-функцию (собственные функции)

Е – полную энергию частицы (собственные

              значения)

 Решение уравнения с учетом дополнительных условий, накладываемых на пси-функцию, приводит не к любым величинам энергии Е, а к дискретным:

Е1, Е2,…, Еn . В теории Бора электрон мог находиться тоже только в дискретных энергетических состояниях, но при этом была введена искусственно гипотеза о квантовании момента импульса электрона. Уравнение Шрёдингера приводит к квантованию энергии естественно, как математическое решение.

 При решении оказывается, что данному энергетическому состоянию частицы могут соответствовать одна или несколько (к) пси-функций. Иначе говоря, при данной энергии Еn частица может вести себя по-разному. Тогда говорят, что уровень Еn к-кратно вырожден и обозначают пси-функцию как  Если на систему воздействовать внешним, например магнитным полем, то вырождение снимается, уровень расщепляется на несколько уровней. Практически это обнаруживается в спектрах, вместо одной линии появляются несколько. Например, в спектре атома водорода на приборе с большим разрешением можно обнаружить, что почти все линии спектра являются дублетами.

 Рассмотрим подробнее пси-функцию.

- пси-функция

физического смысла не имеет

1/м3

для 3-х-мерного случая

плотность вероятности (квадрат модуля пси-функции) – по смыслу – это вероятность того, что частица находится в единичном объеме в данном месте пространства

Р – вероятность.

1/м

для одномерного случая

…. вероятность того, что частица находится на единичном отрезке…

вероятность того, что частица находится

в элементарном объеме dV

вероятность того, что частица находится

в конечном объеме V

вероятность того, что частица находится

во всем пространстве

 Уравнение Шрёдингера (a) решается точно только для упрощенных, нереальных случаев, например, электрон в одномерной потенциальной яме. Из реальных объектов уравнение можно решить точно только для атома водорода при использовании сферических координат и для иона  в эллиптических координатах. Во всех остальных случаях для решения применяются приближенные методы.

     ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА

Гармонический осциллятор.

 В классической физике гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую движения по закону синуса или косинуса. Потенциальная энергия такой частицы U = кх2/2, частота колебаний . Посмотрим, к каким результатам приведет решение уравнения Шрёдингера (a), если его применить к одномерной частице, которая обладает такой потенциальной энергией.

уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора 

Т.к. случай одномерный, оператор Лапласа

=d2 / dx2, потенциальная энергияU = кх2/2.

Мы не приводим решение этого уравнения, т.к. оно выходит далеко за рамки курса. Из решения следует, что полная энергия Е такого осциллятора квантуется:

Полная энергия квантового осциллятора

 n = 0, 1, 2,…,

при

    n = 0

Эта величина называется нулевой энергией осциллятора.

По классическим представлениям при Т  0 К энергия должна стремиться к 0, решение уравнения Шрёдингера приводит к выводу о существовании нулевой энергии;

даже при абсолютном нуле (Т= 0 К) частица имеет энергию 0.

 На рис. показаны плотности вероятности  при различных энергиях Е осциллятора. Если мы спросим себя, а как ведет себя частица, ведь нам всегда хочется наглядно представить процессы. Ответ – не знаем, ведь квантовый объект имеет двойственную природу. Мы можем только сказать, что частица находится в потенциальной яме, имеет определенный набор энергий и, если ее энергия равна, например Е1, то вероятность обнаружить ее в середине ямы равна нулю. При переходе на другой уровень энергия частицы меняется дискретно, и система поглощает или испускает порцию энергии h.

 Существование нулевой энергии следует также из соотношения неопределенности. Действительно.

соотношение неопределенностей

х  А

неопределенность в координате примем равной амплитуде А колебаний

р  р = mv = m А

неопределенность в импульсе примем равной самому импульсу; максимальная скорость колебаний v = А

Е  максимальная энергия гармонических колебаний (Е = кх2/2,  )

Таким образом, из соотношения неопределенностей следует, что энергия осциллятора равна .

Частица в одномерной потенциальной яме (ящике)

 Рассмотрим частицу с массой m, находящуюся в потенциальной яме, например, электрон в металле. Чтобы иметь возможность решить уравнение Шрёдингера введем следующие упрощения.

1).Частица находится в прямоугольной потенциальной яме, внутри ямы потенциальная энергия U постоянна, примем ее равной нулю = 0. Высота стенок ямы  , т.е. частица не может выйти из ямы (см.рис.).

2). Частица может двигаться только по оси х в пределах ширины ямы а, т.е. 0 х  а (одномерная задача).

 Запишем уравнение Шрёдингера a для частицы в виде:

 [

Уравнение Шрёдингера для частицы в прямоугольной потенциальной яме

 При решении этого уравнения нам нужно найти пси-функцию (х) и энергию Е частицы. По форме - это уравнение колебаний. Из математики известно, что решение такого дифференциального уравненияимеет вид: . Для нахождения коэффициентов А и В используем краевое условие , смысл которого в том, что частица не может выйти из ямы.

Отсюда следует: , т.к. sin 0 = 0, а cos 0 = 1 0, то В = 0

Таким образом, получаем:

 

Решение уравнения ([).

Здесь неизвестными пока остаются А и .

Величину найдем из второго краевого условия

А  0, следовательно, sina = 0, и значит a = n , где

n- -целые числа. Отсюда получаем .

Вторую неизвестную величину А найдем из условия нормировки.

Смысл этого условия в том, что частица обязательно находится в пределах ширины ямы 0  а, следовательно, вероятность этого события равна 1.

Выразим плотность вероятности , используя пси-функцию (), подставим , и найдем интеграл. Учтем, что из тригонометрии: 2sin2 = 1 cos2 .

Учитывая, что интеграл равен 1, получим выражение для А:

 Зная А и , найдем окончательный вид решения:

Пси-функция для частицы в одномерной прямоугольной яме, физического смысла не имеет.

Плотность вероятности для частицы в одномерной яме  определяет вероятность нахождения частицы на единичном отрезке ямы

 Теперь осталось найти выражение для энергии электрона. Для этого нужно найти вторую производную пси-функции и подставить в уравнение [. Получим:

энергия частицы в одномерной потенциальной яме, 

На рис. показаны энергетические уровни частицы, пси-функция и плотность вероятности для первых трех квантовых состояний. Площади под кривыми плотности вероятности  представляют собой вероятности, т.к. .

 Что можно сказать о поведении частицы? В зависимости от того, какова ее энергия, вероятность обнаружить частицу различная. Например, при наименьшей энергии Е1 частица пребывает в основном в середине ямы, а при энергии Е2 вероятность обнаружить частицу в середине ямы равна нулю.

Электрон в атоме водорода в основном состоянии.

 В этом случае используются сферические координаты: радиус-вектор r и угловые координаты и  (см.рис.). Чтобы представить сложность решения, мы приведем вид оператора Лапласа в сферических координатах:

  радиальная часть

   оператора

В общем случае пси-функция зависит от трех координат: = (r,, ). При использовании сферических координат пси-функцию можно представить в виде трех сомножителей, каждый из которых зависит только от одной координаты:

 Если подставить в уравнение Шрёдингера, то получим три уравнения для

R, и , т.е. разделим переменные. Нижние индексы показывают, какие квантовые числа (см. дальше) появляются в решениях для этих функций.

 Мы будем рассматривать только радиальную часть оператора Лапласа, иначе говоря, случай, когда атом водорода находится в основном состоянии. Функция R называется радиальной частью пси-функции.

Уравнение Шрёдингера для электрона в атоме водорода в основном состоянии

Решение уравнения

потенциальная энергия электрона в атоме водорода (U = 0)

 При решении нам нужно определить: полную энергию Е электрона и неизвестные величины С и а. Найдем производные R и R  , подставим их и R в уравнение Шрёдингера.

()

После сокращений получим уравнение (), в котором 2-й и 4-й члены содержат r, а два других - нет. Т.к. это уравнение должно выполняться при любых r, в том числе при r = 0, то из () мы получим два уравнения, из которых найдем а и Е.

Мы получили выражение, которое точно совпадает с 1-ым боровским радиусом

Это выражение совпадает с выражением для энергии электрона на первой боровской орбите.

Коэффициент С найдем из условия нормировки.

Элементарный объем dV в сферически симметричном случае – это сферический слой толщиной dr, объем слоя  (на рис. заштрихован)

В математике такой интеграл известен,

x=r, n=2, b=2/a

В результате получим:

 

 Введем понятие радиальной плотности вероятности. Плотность вероятности в нашем случае – это R 2 – по определению равна

где dP вероятность обнаружить электрон в элементарном объеме dV.

называется радиальная плотность вероятности - по смыслу – это вероятность обнаружить электрон в сферическом слое единичной толщины

 Из рисунка видно, что максимальная вероятность обнаружить электрон при наименьшей его энергии совпадает с 1-ым боровским радиусом а. Энергия электрона в атоме водорода квантуется, выражение для нее получается такое же, как в теории Бора, но из приведенного выше решения это не следует, т.к. мы рассматривали только основное состояние.

         КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА

 При решении уравнения Шрёдингера автоматически (т.е. без каких либо искусственных предположений) появляются целые числа, которые называются квантовыми числами. Таких чисел три: n, l и m. Впоследствии из релятивистского уравнения Дирака следовало и четвертое квантовое число ms. Каждое из квантовых чисел входит в выражение какой-либо физической величины и свидетельствует о том, что данная величина квантуется, т.е. может принимать дискретные значения. Состояние электрона в квантовой системе полностью

описывается с помощью 4-х квантовых чисел: n, l, m, ms.

1) n = 1, 2, 3,  , 

главное квантовое число

входит в выражение для энергии электрона Для основного состояния атома Н (n = 1) – см. ранее.

2) l = 0, 1, 2, … , (n  1) орбитальное квантовое число,

Входит в выражения для орбитальных механического Lорб и магнитного pорб моментов электрона в атоме. Показывает, что орбитальные моменты квантуются, т.е. могут принимать только дискретные значения.

 

Отношение орбитальных магнитного и механического моментов

Как векторы они направлены противоположно

механический орбитальный момент (момент импульса)

 

магнитный орбитальный момент

me – масса электрона

магнетон Бора; (магнитные моменты принято

       выражать в магнетонах Бора)

3) m = l, … , 1, 0, +1, … , +l  магнитное квантовое число

Входит в выражение для проекций орбитальных моментов на направление Z внешнего поля (например, магнитного).

Показывает, что плоскость, в которой движется электрон во внешнем поле ориентируется только определенным образом, так чтобы проекция момента была кратна  – см.рис.

4)  ms  магнитное собственное квантовое число;

Входит в выражение для проекций собственного механического Lсобст и магнитного рсобст моментов на направление Z внешнего поля (например, магнитного). Показывает, что ориентация Lсобст (спина см. дальше) может иметь только два значения.

отношение собственных магнитного и механического моментов

Спин (от англ. spin - веретено). Спином называется собственный механический момент (момент импульса) электрона , связанный с некоторым движением («вращением») электрона вокруг собственной оси (см.рис.)

Спин собственный механический момент (момент импульса) электрона – имеет только одно значение. Спин связан со спиновым квантовым числом s, имеющим также только одно значение ½.

спиновое квантовое

число

 В квантовой механике различают частицы с «целым» спином (бозоны) и «полуцелым» спином (фермионы, например, электрон, см. дальше).Это условная терминология. Из формулы для спина видно, что он не может быть целым числом. В этих словах подразумевается, что проекция спина либо кратна , либо кратна половине .

 Таким образом, из квантовой механики следует, что энергия электрона, его орбитальные моменты, проекции орбитальных моментов на внешнее поле квантуются. Они не могут иметь любые значения, а только те, которые определяются приведенными выше соотношениями. Собственный момент электрона имеет только одно значение, а его проекция на внешнее поле – два значения   / 2. Часто условно говорят «спин вверх», «спин вниз».

 Чтобы представить сложность поведения электрона даже в простейшем атоме Н, на рисунке представлена плотность вероятности для электрона в состоянии с n = 4, l = 2, m = 1. Светлые пятна - это области, в которых наиболее вероятно пребывание электрона. Это только плоский срез, в действительности вероятность имеет объемное распределение.

Принцип Паули. Периодическая система элементов.

 В 1925 г Паули, исследуя спектры многоэлектронных атомов, открыл фундаментальный закон, которому подчиняются электронные конфигурации атомов, имеющих более одного электрона. Принцип Паули: «Никакие два электрона в атоме не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии, каждый электрон должен иметь свой набор квантовых чисел

n, l, m, ms». Принципу Паули подчиняются не все микрочастицы, а только те, которые имеют полуцелый спин – электрон, протон, нейтрон, нейтрино. Частицы с полуцелым спином называют фермионами (см. дальше). Принцип Паули объясняет, почему электроны в многоэлектронных атомах образуют энергетические оболочки и подоболочки.

 Распределение электронов в атомах определяется:

1) принципом Паули и

2) принципом наименьшей энергии

Найдем количество электронов, имеющих заданные квантовые числа.

заданные квантовые числа

n, l, m, ms

n, l, m

n, l

n

количество электронов

1

2

2(2l + 1)

2 n2

Магнитное собственное квантовое число ms может принимать два значения, поэтому принцип Паули формулируют еще и так: в одном энергетическом состоянии могут находиться два электрона, но с разнонаправленными спинами. Общее число орбитальных квантовых чисел m равно (2l + 1). Количество электронов с одинаковыми n можно найти как алгебраическую сумму

Удобно представить заполнение электронами оболочек и подоболочек

атомов в виде таблицы.

n

обо-лоч-

ки

 подоболочки l =

макс.число эл-нов в оболочке

0

1

2

3

4

s

p

d

f

g

1

K

2

2

2

L

2

6

8

3

M

2

6

10

18

4

N

2

6

10

14

22

5

O

2

6

10

14

18

50

Подобное распределение является идеализированным. Оно было бы таким, если бы каждый электрон в атоме взаимодействовал только с ядром атома. В действительности данный электрон испытывает действие остальных электронов атома. Часто энергетически выгодным оказывается состояние, когда нижняя оболочка заполнена неполностью, а начинает заполняться следующая. Нарушения в заполнении электронных оболочек атомов наблюдаются у № 19 – калий и более тяжелых элементов.

 Электронную конфигурацию атомов принято выражать формулой:

Здесь 1, 2, 3,… - главные квантовые числа,

s, p, d,… - буквенные обозначения орбитальных квантовых чисел l, верхние числа – количество электронов с данными n и l . Сумма верхних чисел дает общее количество электронов в данном атоме.

 Таблица элементов, предложенная Д.И. Менделеевым (1869г) на основе их химических свойств, с открытием электронного строения атомов полностью объясняется электронной конфигурацией атомов.

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ И ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

   КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВЫЕ СТАТИСТИКИ. 

 В системах, состоящих из очень большого числа частиц (газы, потоки света, электронное облако в металлах), невозможно проследить за движением одной частицы, тем более с учетом двойственной корпускулярно-волновой природы всех частиц. В таких случаях применяют статистические методы, вводя средние значения характеристик частиц и параметры, которые свойственны не отдельным частицам, а ансамблю частиц в целом.

 В любой статистике основным законом является вероятностный закон распределения частиц по энергиям. Если обозначить энергию частицы как E, а

вероятность того, что частица имеет такую энергию как f, то должна быть известна функция распределения, т.е. зависимость f (E). Зная эту зависимость, можно найти число частиц с энергиями в заданном интервале и вычислить, например, теплоемкость, электрическую проводимость и др. свойства вещества.

В нашем курсе мы не можем рассматривать вывод функций распределения, укажем только, что существует классическая статистика Максвелла-Больцмана и две квантовые статистики

 В классической статистике частицы считаются различимыми друг от друга В квантовой механике считается, что однотипные частицы, например, электроны, имеют совершенно одинаковые свойства – массу, электрический заряд, спин и считаются неразличимыми. Одни квантовые частицы имеют целые спины - их называют бозонами, поведение бозонов описывается симметричными пси-функциями, а статистику называют статистикой Бозе-Эйнштейна. Другие квантовые частицы имеют полуцелые спины, их называют фермионами, поведение их описывается антисимметричными пси-функциями, а статистика называется статистикой Ферми-Дирака. Фермионы подчиняются принципу Паули, а бозоны – нет.

1) Классическая статистика Максвелла – Больцмана. Она применяется в молекулярно-кинетической теории к молекулам газа. Закон распределения молекул по энергиям (закон Больцмана) имеет вид:

f - вероятность того, что частица имеет

 энергию E,

k – постоянная Больцмана,

T – абсолютная температура

График f (E) приведен на рис. А – некоторая константа

(А = f при E = 0). Из графика и формулы следует, что классическая частица может иметь любую энергию, хотя и с разной вероятностью.

2) Квантовая статистика Бозе – Эйнштейна. Описывает поведение бозонов  частиц с целым или нулевым спином. Например, атом водорода состоит из электрона и протона, имеющих полуцелые спины. Но спины могут быть либо параллельными, либо антипараллельными, поэтому атом водорода в нормальном состоянии будет бозоном. Ядро атома гелия-4 (альфа-частица) – тоже бозон, т.к. состоит из 2-х протонов и 2-х нейтронов. Сам атом гелия-4 тоже бозон, т.к. у него два электрона. Но ядро атома гелия-3, состоящее из двух протонов и одного нейтрона не является бозоном. К бозонам относятся также фотоны и мезоны.

распределение Бозе-Эйнштейна;

f - вероятность того, что частица имеет энергию E, 

k – постоянная Больцмана, 

T – абсолютная температура,

- некоторый параметр распределения.

 Бозоны не подчиняются принципу Паули, т.е. данное значение энергии могут иметь многие бозоны в системе.

Сверхтекучесть.

В 1938 г П.Л.Капица открыл явление сверхтекучести гелия. Гелий уникален тем, что даже при самых низких температурах он не затвердевает, оставаясь жидким.

В области температур от 4,2 К до 2,18 К ( - точка) гелий ведет себя как обычная жидкость, и в этой области температур его называют гелий-I. Ниже - точки гелий становится сверхтекучим, и его называют гелий II.

 Одно из свойств сверхтекучего гелия является способность проводить тепло без каких-либо потерь. Если подвести тепло к какой-либо точке жидкого гелия при температуре выше - точки, жидкость закипит, бурно выделяя пузырьки. Если, продолжая подводить тепло к этой точке, охладить гелий до - точки, кипение прекращается, потому, что тепло мгновенно распространяется по всему образцу, и вся жидкость сразу же приобретает одну и ту же температуру.

В сверхтекучем гелии отсутствует вязкость, он беспрепятственно протекает через самые узкие капилляры, которые не пропускают не только обычные жидкости, но и гелий-I.

 При температурах ниже 1 К весь гелий переходит в сверхтекучее состояние.

Объяснить сверхтекучесть гелия можно только на квантовомеханическом уровне. Атом гелия имеет нулевой спин, т.е. является бозоном и, следовательно, не подчиняется принципу Паули. При понижении температуры энергия атома гелия понижается, и при достаточно низкой температуре все атомы оказываются в наинизшем возможном энергетическом состоянии. Но если все атомы имеют одну и ту же энергию, то они имеют и одну волновую функцию. Таким образом, атомы сверхтекучего гелия действуют согласованно, как единое целое. Поэтому когда мы прикладываем тепло в одной точке жидкого гелия, мы передаем ее сразу всему образцу. Между атомами невозможен обмен энергией, т.к.у всех она одна и та же – наинизшая. Энтропия сверхтекучего гелия равна нулю. Фермион только один может иметь данную энергию, или два, но с разнонаправленными спинами, поэтому гелий-3, является фермионом, не обладает сверхтекучестью.

Сверхпроводимость.

 В 1911 г. Камерлинг-Оннес обнаружил, что при температуре 7,2 К сопротивление свинца внезапно становится равным нулю.

(см. рис.), и свинец становится сверхпровдником. В одном из опытов в образце был наведен ток несколько сотен ампер, через год ток не изменился. В настоящее время известны более тысячи веществ, которые при различных низких температурах становятся сверхпроводниками. Очень важно, чтобы вещество было чистым, без посторонних примесей.

 Квантовая теория сверхпроводимости был разработана Бардиным, Купером и Шриффером (теория БКШ). Как и сверхтекучесть, сверхпроводимость наблюдается для частиц, которые являются бозонами, т.е. имеющими нулевой или целый спин. В сверхпроводнике при некоторых условиях электроны проводимости объединяются попарно, при этом у них противоположно направлены спины, и они становятся бозонами. Эти пары неустойчивы, они легко разрушаются под действием тепловых колебаний, и могут существовать только при очень низких температурах. При некоторой критической температуре все пары-бозоны оказываются в наинизшем энергетическом состоянии и имеют одну и ту же волновую функцию. Ни одна из пар не может изменить своего состояния, т.к. у всех оно одно и то же. Поэтому при приложении внешнего поля попарные электроны действуют как единый коллектив, движутся все вместе, не теряя энергии и не встречая сопротивления.

 Использование сверхпроводников в технике и для научных исследований имеют большие перспективы, т.к. при этом снижаются до минимума потери на джоулево тепло. Но пока они не получили широкого распространения из-за целого ряда трудностей. Например, создание поезда на магнитной подушке, который мог бы двигаться со скоростью 500 км/ч, требует огромных затрат, дорога должна быть прямой, неясно влияние сильных магнитных полей на пассажиров, содержание такой дороги стоит больше, чем содержание авиации. При передаче электроэнергии на большие расстояния выгоднее использовать переменный ток, тогда как сверхпроводники работают на постоянном токе. Многие трудности были бы преодолены, если бы удалось создать сверхпроводник

при более высоких температурах, в идеале – при комнатной температуре. Во всем мире идут поиски таких материалов, но пока максимальная температура 125 К.

3)Квантовая статистика Ферми-Дирака. Описывает поведение фермионов –частиц с полуцелым спином. К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны, нейтрино, ядра атома гелия-3. Мы будем рассматривать распределение Ферми-Дирака (ФД) только в применении к свободным электронам в металле. Основное отличие статистики ФД в том, что данное значение энергии может иметь только один электрон. 

Закон распределения частиц по энергиям в статистике ФД имеет вид:

распределение Ферми-Дирака,

f - вероятность того, что частица имеет энергию E, 

k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура,

EF – параметр распределения, называемый энергией или уровнем Ферми (см.дальше).

 На рисунках показаны графики функции ФД, их часто называют распределением электронов по энергиям. При температуре Т = 0 К вероятность того, что электрон имеет какое-либо значение энергии в пределах 0  EF равна единице; вероятность обнаружить электрон с энергией  EF равна нулю.

При температуре

Т  0 К электроны за счет энергии теплового движения «покидают» свои уровни и переходят на более высокие.

 Для металлов уровень Ферми (энергия Ферми) определяется следующим образом. (для полупроводников – см. дальше)

1)При Т = 0 К это уровень энергии, отделяющий заполненные электронами

      уровни от незаполненных или это максимальная энергия

      электронов при Т = 0 К

2) При Т  0 К  это энергетический уровень, который занимает электрон с

       вероятностью, равной 1/2.

 При высоких температурах или малых концентрациях электронов распределение ФД переходит в классическое распределение МБ. Действительно, при Е-ЕF  кТ можно пренебречь единицей в знаменателе распределения ФД, тогда получим:

Иначе говоря, на хвосте распределения (см.рис.) можно использовать классическую формулу.

Энергия Ферми при Т = 0 К, не зависит от числа электронов в образце и его объема, а определяется только концентрацией электронов n=N / V .Для одновалентных атомов характерны величины EoF  100 кТ 2,5 эВ

Для металлов энергия Ферми очень слабо зависит от температуры (kT / EoF  0,01 при комнатных температурах)

средняя энергия электронов в зоне проводимости (см. дальше ) связана с энергией Ферми указанным образом

 Зная энергию Ферми EoF можно оценить скорость vF фермиевских электронов и их температуру ТF. Следует иметь в виду, что это не температура вещества, а температура воображаемого облака электронов, средняя скорость движения которых равна vF .

 vF

 ТF.

элемент

EoF 

(эВ)

ТF., К

vF, 106 м/с

калий

2,1

25000

0,85

медь

7,0

82000

1,6

золото

5,5

64000

1,4

     ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.

 Зонная теория – это один из разделов квантовой механики твердых тел – теория валентных электронов в периодическом поле кристаллической решетки.

Аналитически решить уравнение Шрёдингера для электрона, движущегося внутри металла, т.е. в поле, создаваемом множеством заряженных ионов решетки, невозможно. Для решения применяют различные приближенные методы.

Образование энергетических зон в кристаллах.

 В отдельном атоме электрон имеет определенный набор энергий Е1, Е2 , Е3 ,.... Это проявляется в том, что спектры одноатомных газов линейчатые, т.е. состоят из отдельных линий. Чистый, без примесей металл состоит из однотипных атомов. При этом от каждого атома отрывается по одному, а у некоторых металлов по два электрона, ионы располагаются в строгом порядке, образуя кристаллическую решетку, а электроны свободно перемещаются внутри решетки, образуя облако электронного газа. Так как атомы однотипны, то у каждого электрона должен быть одинаковый набор энергий. Однако, в соответствии с принципом Паули электроны не могут иметь одинаковые энергии, поэтому в кристалле каждый энергетический уровень расщепляется на множество линий, лежащих вблизи исходного уровня, и образуются энергетические зоны. Не следует понимать эти зоны как некие пространственные области в металле, энергетические зоны это интервалы значений энергий, которые «разрешено» иметь электронам (природой и квантовой механикой). Одни интервалы энергий называются разрешенными зонами, другие – запрещенными, т.е. такие энергии электроны иметь не могут.

 На рисунке показано символически , как можно представить себе образование зон. Здесь r – расстояние между атомами. При сближении атомов до некоторого расстояния r0 образуется кристалл, и, соответственно, энергетические зоны. В некоторых случаях зоны могут перекрываться, образуя более широкую зону. Чем дальше электрон от ядра, тем шире зона. Верхние зоны имеют ширину 1 эВ и более, нижние – несколько сотых эВ.

 Каждый уровень должен расщепляется на N уровней, где N число свободных электронов в системе. Но данную энергию могут иметь 2 электрона с разнонаправленными спинами. Различие в направлениях спинов проявляется только при воздействии внешнего поля. Поэтому иногда говорят, что в зоне 2N уровней, а иногда N уровней, имея в виду, что на каждом уровне по 2 электрона с противоположно направленными спинами (см. рис.). В 1 см 3 Ме примерно 10 22- электронов. Если ширина зоны примерно 1 эВ, следовательно, расстояние между уровнями порядка 10 22 эВ, поэтому говорят, что уровни в зоне распределены квазинепрерывно. 

 Уровни в зоне распределяются неравномерно, в середине зоны они располагаются гуще. Для характеристики распределения уровней пользуются понятием плотности уровней. Если на интервал энергий dE приходится dZ уровней, то

(1/эВ)

плотность энергетических уровней в зоне- по смыслу – это число уровней, приходящихся на единичный интервал энергий.

Приближенная формула для зависимости плотности уровней от энергии; С = const для данного объема V тела, m- масса электрона

Проводники, полупроводники и диэлектрики.

 Теоретически количество разрешенных зон бесконечно, а число электронов в данном теле хотя и очень велико, но имеет конечное значение. Поэтому не все зоны заполняются электронами. При температуре Т = 0 К заполнены полностью все зоны с наименьшей энергией, все остальные – пустые. Разрешенные зоны принято изображать прямоугольниками. Т.к. уровней в зоне огромное количество, целесообразно заполненную зону полностью или частично заштриховывать, а незаполненную оставить пустой. Заполненная зона, граничащая с незаполненной, называется валентной, зона выше валентной называется зоной проводимости 

 Электрические свойства различных веществ проводников (металлов), собственных полупроводников, диэлектриков и примесных полупроводников с позиций зонной теории можно объяснить различной заполненностью зон электронами и шириной запрещенной зоны Е. И у металлов и у диэлектриков имеется множество свободных электронов, но у них разные энергетические возможности. Основное, что следует понять, что электрон только тогда «принимает», сообщаемую ему энергию, когда он при этом имеет возможность перейти на более высокий свободный энергетический уровень.

 На рисунке показаны энергетические зоны для металла, собственного

полупроводника и диэлектрика.

Зоны, лежащие выше указанных, не заполнены электронами, нижележащие – полностью заполнены электронами (на рис.не показаны)

Металлы. У металлов зона проводимости частично заполнена электронами, там множество свободных уровней, энергетическое расстояние между которыми очень мало. Достаточно приложить к металлу небольшую разность потенциалов, и металл начинает проводить ток. Электроны «принимают» сообщаемую им энергию, в этой зоне у них большие энергетические возможности. Проводниками тока в металлах являются электроны.

Собственные полупроводники – это вещества, состоящие из однотипных атомов. Зонная схема представлена на среднем рисунке. За счет энергии теплового движения электроны переходят в зону проводимости, там множество свободных уровней, и электроны могут стать носителями тока. Одновременно в валентной зоне освобождается такое же количество «пустых мест».Обычно приводят сравнение со зрительным залом: с 1-го ряда человек ушел, на его место сел человек со 2-го ряд и т.д. Получается, что пустое место перемещается вглубь зала. «Пустое место» в валентной зоне называют дыркой. Дырка – это особое состояние электрона, которое ведет себя как положительный заряд +е.

Таким образом, проводимость собственных полупроводников одновременно и электронная и дырочная. У собственных полупроводников ширина запрещенной зоны Е невелика от сотых долей до 2 – 3 эВ. Например, у первых получивших широкое применение германия 1,1 эВ. у кремния 0,7 эВ.

 Электропроводность полупроводников меньше, чем у металлов, но принципиальное их отличие в зависимости проводимости от температуры: с ростом температуры проводимость полупроводников увеличивается, а у металлов уменьшается (см.дальше). Энергия Ферми для полупроводников определяется как энергия, которую надо сообщить, чтобы увеличить число носителей тока на единицу (забросить 1 электрон из валентной зоны в зону проводимости). Для полупроводников уровень Ферми зависит от температуры в значительно большей степени, чем для металлов.

Диэлектрики (в электротехнике их называют изоляторами). Практически не проводят ток. В зонной теории это объясняется тем, что ширина запрещенной зоны Е велика, и электроны не могут попасть в зону проводимости. У типичного диэлектрика – алмаза Е  5 эВ. Реально, температура тела всегда 0 К, поэтому некоторая доля электронов оказывается в валентной зоне, и любой диэлектрик обладает проводимостью, но эта проводимость ничтожно мала.

Примесные полупроводники. Если к собственному полупроводнику добавить небольшое количество чужеродных атомов ( 0,1 %) , то в зонной схеме собственного полупроводника появятся дополнительно зоны примеси. Эти зоны очень узкие, обычно говорят не зона, а примесные уровни. В зависимости от валентности примеси возможны два варианта:

1) Примесные уровни заполнены электронами и располагаются ниже зоны проводимости вблизи ее дна (см. левый рис., здесь не соблюдены масштабы, ширина примесной зоны в тысячи раз уже зоны проводимости). За счет энергии теплового движения электроны с примесных уровней попадают в зону проводимости, где у них большие энергетические возможности, т.к.уровни свободны. Такие примеси называют донорными примесями («поставщики электронов»), а сам полупроводник называют примесным полупроводником

n  типа (часто говорят – донорный или электронный полупроводник)

 При переходе электронов в зону проводимости, в примесной зоне образуются дырки, но их энергия может меняться в очень узком интервале. Поэтому различают два типа носителей тока: основные носители – электроны и неосновные носители – дырки (подробнее см. дальше).

2) Примесные уровни пустые и располагаются вблизи валентной зоны (см.правый рисунок, все замечания относительно ширины зон справедливы и в этом случае).

Электроны из валентной зоны за счет энергии теплового движения переходят на свободные примесные уровни, здесь их энергия может меняться в очень узком интервале. В зону проводимости электроны могут попасть только при значительном повышении температуры, т.к. ширина запрещенной зоны

Е2  Е1. У дырок, образовавшихся в валентной зоне, большие энергетические возможности. Такие примеси называют акцепторными примесями, а полупроводник называют примесным полупроводником р  типа (часто говорят – акцепторный или дырочный полупроводник).

 Донорными примесями становятся вещества с большей валентностью, а акцепторными – с меньшей, чем валентность основного собственного полупроводника. Например, для 4-х валентного германия донорными будут 5-ти валентные вещества, а 3-х валентные – акцепторными.

Температурная зависимость сопротивления различных веществ.

 Под словом «сопротивление» мы будем иметь в виду удельное электрическое сопротивление, т.е. электрическое сопротивление образца единичной длины и единичного поперечного сечения (иначе надо будет учитывать размеры каждого куска вещества). Удельное сопротивление (Омм/м2 = Ом/м) связано обратной

зависимостью с удельной электропроводностью  (проводимостью, м/Ом). Чем меньше сопротивление, тем больше проводимость.

Металлы. Концентрация свободных электронов в металлах порядка 1028-29 1/м3,

у собственных полупроводников 1019 1/м3, поэтому проводимость металлов существенно больше, чем полупроводников.

На рисунках показана характерная зависимость сопротивления обычных, не сверхпроводящих металлов от температуры. При умеренных температурах сопротивление прямо пропорционально температуре (см. левый график). При очень низких температурах (правый график) сопротивление сначала резко уменьшается, а затем стремится к некоторой постоянной величине, называемой остаточным сопротивлением.

 На сопротивление металлов оказывают влияние два фактора: 1) тепловые колебания ионов в узлах решетки и 2) наличие дефектов решетки, главным образом, присутствие чужеродных атомов – примесей. С уменьшением температуры колебания ионов становятся менее интенсивными и сопротивление уменьшается. Но количество примесей при этом остается постоянным. Поэтому при очень низких температурах сопротивление перестает уменьшаться, стремясь к некоторой постоянной величине ост . Отношение сопротивлений, измеренных при температурах 300 К и 4,2 К (кипящий гелий) зависит от концентрации примесей. Существуют таблицы, в которых даны эти отношения для различных металлов и различных примесей. Это наиболее точный метод определения чистоты металлов.

 Если бы кристаллическая решетка была идеальной, т.е. не было бы нарушений в ее структуре, не было бы чужеродных атомов, протяженность ее была не ограничена поверхностями образца, не было бы тепловых колебаний ионов в узлах решетки, то сопротивление было бы равно нулю.

Собственные полупроводники. 

Из формул j = evn и j = eE (см. Постоянный ток) получается выражение для проводимости  :

Зависимость проводимости от заряда e носителя тока, концентрации n носителей и u = vподвижности носителей (по смыслу подвижность – это скорость дрейфа в расчете на единицу напряженности приложенного электрического поля.)

 Зависимость проводимости от температуры определяется главным образом зависимостью от температуры концентрации n носителей, подвижность u слабо зависит от температуры. Для полупроводников хвост распределения Ферми-Дирака (см. ранее) попадает в зону проводимости, поэтому для них может быть использовано классическое МБ распределение. Если принять, что в распределении ФД , концентрацию носителей можно записать в виде:

 

концентрация носителей в зоне проводимости полупроводника в зависимости от температуры;

Е  ширина запрещенной зоны

В собственном полупроводнике носителями тока являются электроны и дырки, поэтому для проводимости можно записать:

проводимость полупроводника

(электронная и дырочная)

Концентрация электронов и дырок одинакова. приближенно можно считать, что и их подвижность одинакова, тогда с учетом (), получим:

Зависимость проводимости собственного полупроводника от температуры В константу о включены все величины, не зависящие от температуры.

Логарифмируя, получим уравнение прямой линии, по наклону которой можно определить ширину запрещенной зоны.

 Собственные полупроводники широко применяются в технике. Сильная зависимость сопротивления от температуры позволяет использовать их в качестве очень чувствительных термометров, а также для контроля силы тока в цепи.

В этом случае их называют термисторами или терморезисторами. Например, германиевый термистор применяется для измерения очень низких температур. Зависимость сопротивления от давления используется в тензодатчиках.

Примесные полупроводники. Рассмотрим качественно зависимость проводимости примесных полупроводников от температуры. На рис. приведен типичный график зависимости ln от обратной абсолютной температуры. Он характерен как для полупроводников n – типа, так и для р – типа. То, что кривая представляет собой прямые отрезки в таких координатах, показывает, что проводимость зависит от температуры экспоненциально.

Удобнее рассматривать график для полупроводника   n – типа (зонную схему – см. ранее). При небольших температурах (отрезок ab) проводимость растет за счет перехода электронов с донорных уровней в зону проводимости. Начиная с некоторых температур проводимость оказывается независящей от температуры (участок bc). Это объясняется тем, что все электроны из донорной зоны перешли в зону проводимости. При дальнейшем нагревании проводимость начинает резко увеличиваться за счет переброски электронов из валентной зоны (участок cd). По наклону прямой ab можно найти ширину запрещенной зоны Е1, а по наклону прямой cd ширину запрещенной зоны Е2 .

Контакт р - и n - полупроводников.

Если привести в контакт два вещества с разным типом проводимости, то в месте контакта образуется узкая зона, которая называется р-n-переходом или запирающим слоем. Ширина х этой зоны для полупроводников порядка

105 - 104 см, для металлов порядка 108 см.

 Рассмотрим пример соединения двух примесных полупроводников р- и n – типа, используя зонную схему. Соединение представляет собой единую систему, следовательно, уровень Ферми, который является кинетической энергией электронов, должен быть единым. Ранее были приведены зонные схемы примесных полупроводников. Если их сместить по вертикали так, чтобы уровень Ферми был единым, получим схему, показанную на рисунке ниже

 В полупроводнике n- типа имеется множество основных носителей (электронов) и значительно меньшее количество неосновных носителей (дырок).

У р- типа - множество основных носителей (дырок) и существенно меньше неосновных (электронов). В нижней части рисунка большими кружками обозначены основные носители, малыми – неосновные . За счет теплового движения основные носители диффундируют (хаотически перемещаются), встречаются на границе контакта и рекомбинируют. Поэтому граница n-типа заряжается положительно, а граница р- типа - отрицательно. При этом количество носителей не уменьшается, т.к. одновременно происходит обратный процесс – генерация носителей за счет теплового возбуждения.. При динамическом равновесии в месте контакта возникает постоянная разность

потенциалов  и создается диффузионный ток основных носителей Iо. В контактной области возникает внутреннее электрическое поле с напряженностью Евнутр , которое препятствует переходу всех основных носителей через границу (отсюда название «запирающий слой»). Неосновные носители, оказавшиеся вблизи границы, под действием этого поля проходят через запирающий слой, создавая небольшой ток неосновных носителей I н/о (дрейфовый ток). 

Если к системе не приложено внешнее электрическое поле, эти токи равны, текут в противоположных направлениях, поэтому результирующий ток равен нулю.

 Если к системе приложить внешнее электрическое поле (подключить к батарее), то в зависимости от полярности, ток через систему будет проходить или

не проходить. Когда к полупроводнику р- типа приложен более высокий потенциал (плюс батареи – см. левый рисунок), то под действием напряженности

внешнего поля Евнеш основные носители будут проходить через запирающий слой.

Результирующий ток равен разности: I = Iо  I н/о и увеличивается с ростом внешней разности потенциалов. Если к р- типу подключить минус батареи, внешнее поле будет препятствовать переходу основных носителей, но способствовать переходу неосновных носителей. Через запирающий слой будет проходить очень небольшой практически постоянный ток неосновных носителей, т.к. этот ток не зависит от напряженности внешнего поля. На рисунке показана вольт-амперная характеристика р -n- перехода. Из графика видно, что ток

пропускного направления (прямой ток) увеличивается с ростом напряжения U нелинейно. При перемене полярности обратный ток очень мал (примерно в 1000 раз, масштаб на графике не соответствует действительности) и остается практически постоянным. При очень большом обратном напряжении может произойти необратимый пробой

p-n-перехода.

 Образование запирающего слоя происходит не только при контакте примесных полупроводников, но и при контакте металл-полупроводник и металлметалл, т.к. некоторые металлы обладают дырочной проводимостью (например, цинк.). Устройства, в которых используется p-n-переход для выпрямления переменного тока, называются диодами.

Для выпрямления синусоидального тока недостаточно одного диода, т.к. получится пульсирующий ток (см. рис.), необходимо использовать несколько диодов и специальные схемы включения.

 В разделе «Фотоэффект» упоминалось о фотоэффекте в запирающем слое. Этот эффект можно объяснить следующим образом. Ранее говорилось, что если к p-n-системе приложить внешнее электрическое поле, оно сообщает носителям дополнительную энергию, за счет которой они могут преодолеть потенциальный барьер, перейти в зону проводимости, и система начинает проводить ток. Такую же энергию могут сообщить носителям и кванты света. Для этого нужно сделать слой p- типа очень тонким, так, чтобы свет мог проникнуть к запрещенной зоне. Если энергия кванта будет равна или больше ширины запрещенной зоны полупроводника Е, носители будут преодолевать потенциальный барьер запирающего слоя и проникать в область n-типа. Соединяя проводником внешние поверхности p- и n-полупроводников, можно получить ток в цепи, не подсоединяя батарею, а только освещая светом. Аналогичный эффект можно получить, сделав тонким слой n-типа и освещая его светом.

 Широкое применение нашли в технике устройства, называемые транзисторами (полупроводниковыми триодами), в которых используются два

p-n-перехода (см.рис., промежуточный слой очень узкий, не соответствует масштабу на рис.). Транзисторы пришли на смену громоздким электронным лампам в радиотехнике. У них чрезвычайно малые размеры, более низкая стоимость и большой срок службы. Используются транзисторы для генерирования и усиления электрических сигналов и др.целей.

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ.

 При взаимодействии света (электромагнитного излучения) с веществом возможны следующие процессы:

1) поглощение света,

2) спонтанное (самопроизвольное) излучение света и

3) вынужденное (индуцированное) излучение.

 Когда электрон в атоме получает дополнительную энергию за счет нагревания вещества или за счет разности потенциалов внешнего поля, приложенного к веществу, электрон переходит в состояние с большей энергией. При говорят, что атом приходит в возбужденное состояние. Обычно атом находится в возбужденном состоянии очень короткое время, порядка 108 секунды, а затем испускает световой квант. Такое излучение называют спонтанным или самопроизвольным. Спонтанное излучение носит случайный характер и представляет собой беспорядочную смесь квантов-волн. Эти волны не согласованы между собой, у них различные длины волн и различные фазы, т.е. они не являются когерентными. Это тот свет, с которым мы обычно сталкиваемся – свет от Солнца, от огня, от ламп.

 Существует еще один вид излучения – вынужденное или индуцированное, которое получают с помощью лазеров (оптических генераторов). Первый

оптический импульсный лазер был создан на искусственном рубине Мейманом (ам.) в 1960 г. Первый лазер непрерывного действия (гелий – неоновый) был создан в 1961 г. В настоящее время в качестве рабочих веществ в лазерах используются сотни различных веществ: кристаллы, стекла, пластмассы, жидкости, газы, полупроводники, плазма, пары воды, воздух. Рабочий диапазон от радиоволн до УФ.

 Чтобы получить вынужденное излучение, нужно в рабочем веществе создать активную среду. В обычных условиях число электронов, находящихся на возбужденных уровнях атомов, всегда меньше, чем на основном. В активной среде должна быть инверсная заселенность энергетических уровней электронами, т.е. на уровнях с большей энергией должно быть больше электронов, чем на уровнях с меньшей энергией. Существуют различные методы создания активной среды. Мы рассмотрим трехуровневый метод, как наиболее понятный.

 Представим себе атомы с тремя энергетическими уровнями (см.рис.). Белые кружки – электроны, черные – фотоны, количество кружков – условное. Уровни Е1 и Е3 обычные, на них электрон пребывает очень недолго, порядка 108 с. Уровень Е2 называется метастабильным, на нем электрон «живет долго» порядка 103 с.

1). В невозбужденном состоянии электроны находятся на уровне Е1. Пусть атомы освещаются светом с частотой 13 и электроны переводятся на уровень Е3. Этот процесс называется световой накачкой.

2).С этого уровня электроны самопроизвольно перескакивают на ближайший метастабильный уровень Е2. При этом испускается свет с частотой 32, который, вообще говоря, не нужен.

3) Накопление электронов на метастабильном уровне или создание активной среды. Накачать электроны сразу на уровень Е2 невозможно, т.к. время перехода 12 и 21 () одинаково и накопления не произойдет. О

4) Если в системе найдется хотя бы один фотон с частотой 21 он «вынудит»

электрон перейти с уровня Е2 на уровень Е1. При этом будет испущен фотон с такой же частотой и сохранится сбивающий фотон. Таким образом, вместо одного фотона получим два одинаковых фотона, которые в свою очередь собьют по два электрона и т.д., процесс будет идти лавинообразно. Иначе говоря, произойдет усиление света. Это и есть вынужденное излучение.

 С точки зрения закона сохранения энергии, никакого увеличения энергии нет. Затрачивается световая энергия с большой частотой фотонов 13 , одна часть ее с частотой 13 - это потери, другая – полезное индуцированное излучение с меньшей частотой 21, кроме того, происходят тепловые потери.

 Первые газовые лазеры были громоздкими и представляли собой стеклянную трубку, наполненную рабочим газом. Вокруг этой трубки в виде спирали монтировалась другая, газоразрядная трубка для световой накачки. В торцах рабочей трубки имелись зеркала: одно – полупрозрачное, через которое выходило индуцированное излучение, небольшая его часть возвращалась назад. С другого конца - зеркало с высоким отражением, для того, чтобы возвращать часть излучения обратно в рабочую среду и тем самым удерживать процесс от затухания. Первые лазеры давали свет одной длины волны, которую нельзя было менять.

 Вынужденное излучение когерентное:

1) практически оно монохроматическое, интервал длин волн в пучке 0,01 нм

Обычные стеклянные светофильтры пропускают свет в интервале 20 – 50 нм

2) все излучаемые волны находятся в одной и той же фазе,

3) все волны поляризованы в одной плоскости.

Для практического применения важны следующие свойства лазерного излучения:

1) Очень малая расходимость пучка света. Узкий луч может распространяться на многие расстояния, не рассеиваясь. Это нашло применение в системах посадки самолетов, для слежения за искусственными спутниками по отражению от специальных отражателей, в стрелковом оружии для наводки. Сам луч мощного лазера может быть использован для поражения цели. По отражению от зеркала, установленного на Луне Аполлоном-14, удалось измерить расстояние до Луны с точностью до 4 м. Для контроля над загрязненностью атмосферы: можно просветить целый квартал в городе и по поглощению установить загрязняющие вещества.

2) Малый диаметр пучка света дает возможность сконцентрировать большую энергию на малой площади. Используется для резки, сварки и обработки металлов и других веществ, для различных операций в медицине.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2204. Защита территории от затопления 541.9 KB
  Технология строительства нагорного канала механизированным способом. Закрепление откосов канала растительным грунтом. Выбор машин для вскрышных работ и разработки и транспортировки грунта. Сводный укрупненный план организации строительства. Охрана природы и окружающей среды в период проведения работ.
2205. Определение эквивалента металла объединённым методом 22.34 KB
  Определить эквивалент металла. Определить металл. Определить ошибку опыта.
2206. Управление в биомедицинских системах 831.22 KB
  Основные принципы управления. Управление по отклонению (принцип обратной связи). Характеристика компаундирования. Математическое описание систем управления. Линейные детерминированные системы. Правила преобразования структурных схем.
2207. Методические указания по экономическому обоснованию дипломных проектов на мехфаке 90.2 KB
  Методика организационно – экономической оценки основных приемов и способов производства. Определение выхода продукции в расчете на гектар земли (урожайность) и на голову животных (продуктивность). Определение чистого дохода и уровня рентабельности. Экономическая эффективность конструкторской разработки.
2208. Задачи по электротехнике и электронике 218.93 KB
  Структурные схемы электронного усилителя электронного генератора. Составление схемы двухполупериодного выпрямителя. Трехфазный асинхронный электродвигатель с короткозамкнутым ротором.
2209. Исследование фильтров на поверхностных акустических волнах 1.04 MB
  Изучить назначение, конструкции и основы технологии фильтров на поверхностных акустических волнах (ПАВ), а также их основные характеристики. Исследовать амплитудно-частотные характеристики фильтров для УПЧИ и УПЧЗ современных телевизоров, влияние температуры на их характеристики.
2210. Разработка эффективной ассортиментной политики филиал ОАО Татспиртпром Винзавод Казанский 449.88 KB
  Теоретические основы формирования ассортиментной политики организации. Управление ассортиментной политикой организации на примере Филиала ОАО Татспиртпром Винзавод Казанский. Социально-экономическая оценка эффективности мероприятий по формированию оптимальной ассортиментной политики организации. Правовое обеспечение предложенных мероприятий по формированию оптимальной ассортиментной политики организации.
2211. Анализ и поверочный расчет установки сернокислотного алкилирования 24/36 43.79 KB
  Расчет условно – постоянных затрат установки. Расчет затрат на заработную плату основных производственных рабочих (ОПР). Расчет затрат на заработную плату инженерно – технических руководителей (ИТР). Составление калькуляции себестоимости продукции установки.
2212. Електричні системи та мережі 571 KB
  Якість електричної енергії і її регулювання в електричних системах. Умови роботи й конструктивне виконання ліній електричних мереж. Основні дані про електричні системи й режими їхньої роботи. Характеристики й параметри елементів електричної системи.