49881

Cинтез и анализ цифрового фильтра

Курсовая

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Дискретная обработка аналогового сигнала. Математическая модель сигнала. Расчёт спектральной плотности сигнала. Дискретизация сигнала.

Русский

2014-09-21

1.09 MB

23 чел.

13

Министерство общего образования Российской Федерации.

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра теоретических основ радиотехники (ТОР)

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ

Пояснительная записка

к курсовой работе по дисциплине «РТЦ и С»

Студент гр. 160

_______Киселёв В.В.

_________дата               

Руководитель

Доцент кафедры ТОР

_______ Каратаева Н.А.                  

Томск 2002

Содержание:

Введение......................................................................................................................................3

  1.  Исходные данные к курсовой работе...........................................................................4

Дискретная обработка аналогового сигнала..................................................………4

Математическая модель сигнала....................................................……………………..4

Расчёт спектральной плотности сигнала.....................................................................     4

Определение с помощью порогового критерия Котельникова............................... 5

Дискретизация сигнала....................................................................……………………..5

Восстановление аналогового сигнала, используя ряд Котельникова........................…6

Расчёт спектральной плотности дискретной последовательности........................……7

Z-преобразование дискретной последовательности............................................……...7

ДПФ, расчёт комплексных коэффициентов СК . ………………………………………8  

Восстановление аналогового сигнала по ДПФ    ...................................………………8

Вычисление исходной дискретной последовательности, используя ОДПФ к СК.….9

Расчёт цифровых фильтров............................................................................................10

Расчёт передаточной функции цепи.........................................................................…..10

Расчёт импульсной характеристики цепи................................................................…...10

Синтез цифровой цепи методом билинейного Z - преобразования....................…….11

Расчёт ЧХ ЦФ канонического вида......................................................………………...12

Расчёт импульсной характеристики ЦФ.....................................................……………13

Синтез ЦФ с помощью метода инвариантности импульсной характеристики....…..13

Прохождение дискретного сигнала через цифровой фильтр………………………..16

Выводы по проделанной курсовой работе...................................................................18

Список используемой литературы.......………………………………………………...19.


Введение.

Одним из новых и перспективных направлений современной обработки радиосигналов  является цифровая фильтрация. В её основе лежит преобразование аналоговых сигналов в последовательность чисел и обработка этой последовательности в цифровом вычислительном устройстве, роль которого может играть как универсальная ЭВМ, так и специализированный цифровой процессор.

Применение в радиоэлектронике цифровой фильтрации открывает дополнительные возможности при обработке сигналов. В частности, могут быть реализованы сложные алгоритмы фильтрации, которые аналоговыми методами в ряде случаев вообще не удаётся осуществить. С другой стороны, возможен синтез в цифровой форме аналогов известных радиотехнических устройств различного функционального назначения, а именно: фильтров, преобразователей частоты, детекторов.

Настоящая курсовая работа ставит своей целью привить студентам практические навыки в области дискретной и цифровой обработке сигналов на примере решения конкретной задачи, включающей в себя элементы как синтеза, так и анализа цифрового фильтра.

Задание на курсовую работу состоит из двух частей. Первая часть включает подготовку аналогового сигнала к цифровой обработке. Вторая часть содержит синтез и анализ цифрового фильтра.

  1.  Исходные данные к курсовой работе

Примем следующие обозначения для простоты расчётов:E=1;T=1;Tc=3*T

 

Рис.1.1.-исходный аналоговый сигнал S(t)

Рис.1.2.-исходная линейная цепь.

2.Дискретная обработка сигнала.

2.1. Математическая модель сигнала.

S(t)=(E – E*t/T),  

S(t)=(Е-Е*(t-2*T)/T),  

S(t)=0,    2*T<t

  Или через функции Хэвисайда:

S(t)= (E – E*t/T) * +E*+E*(t-2*T)/T*

2.2. Расчёт спектральной плотности исходного сигнала.

Спектральную плотность можно вычислить применяя непосредственно интеграл Фурье:

S(w)= 

Для построения частотных характеристик спектральную плотность полезно нормировать относительно интервала описания сигнала ТС=3*Т

Рис.2.1.- Спектральная плотность исходного сигнала.

Рис..2.2.График аргумента комплексной спектральной плотности исходного сигнала.

2.3. Определение wВс помощью порогового критерия Котельникова.

0.1*Smax=S(wВ)

wВ=

2.4. Дискретизация  исходного сигнала.

Зная wВ определим  wД=2* wВ 

wД =

ТД==

Теперь вычислим число степеней свободы N

N=Tc/TД=24

Построим дискретизированный сигнал и произведём выборку:

 Рис.2.3. Отсчёты исходного аналогового сигнала.

Выборка:

E*{1;0.873;0.746;0.619;0.492;0.365;0.238;0.111;0.984;0.857;0.73;0.603;0.476;

0.349;0.222;0.095;0;0;0;0;0;0;0;0;}

2.5. Восстановление аналогового сигнала,используя ряд Котельникова.

 Условия теоремы Котельникова выполняются для полученного дискретного сигнала, поэтому воспользуемся рядом Котельникова, чтобы восстановить из дискретного сигнала аналоговый.

 

Рис.2.4. Аналаговый сигнал, восстановленный с помощью ряда Котельникова

 

   Как видно из рисунка, восстановленный сигнал остался апериодическим и его форма напоминает исходную, однако значения сигнала  и восстановленного точно совпадают лишьв точках отсчёта.

2.6. Расчёт спектральной плотности дискретной последовательности.

Для расчёта спектральной плотности дискретной последовательности применим прямое преобразование Фурье и выполним нормировку относительно N:

 

Рис.2.5. Спектральная плотность дискретизированного и исходного сигналов

   Для  сравнения мы построили спектр исходного сигнала. Анализируя рисунок можно сделать очень важный вывод: при дискретизации сигнала во временной области спектральная плотность становится периодической функцией частоты с периодом равным  wД,  в то время как исходный сигнал имеет апериодический спектр.

    

2.7 Z-преобразование дискретной последовательности.

S(z)=

Для нашей дискретной последовательности Z-преобразование будет иметь вид:

S(z)=1+0.873*z-1+0.746*z-2+0.619*z-3+0.492*z-4+0.365*z-5+0.238*z-6+0.111*z-7+

0.984*z-8+0.857*z-9+0.73*z-10+0.603*z-11+0.476*z-12+0.349*z-13+0.222*z-14+0.095*z-15

  1.  ДПФ, Расчёт коэффициентов Ск.

Ск рассчитаем по формуле:

, где  ,

2.6. Графическое представление модулей комплексных коэффициентов Фурье.

На графиках мы видим, что спектр дискретной последовательности точно проходит через отсчёты коэффициентов СК.

Также следует заметить,что ,  номера которых симметричны относительно , образуют комплексно-сопряженные пары .

  1.  Восстановление аналогового сигнала по ДПФ.

На основании найденных коэффициентов восстановим исходный сигнал

S(t)=C0+

Рис.2.7. Аналоговый переодический сигнал, восстановленный по коэффициентам ДПФ.

Восстановленный сигнал является периодической функцией времени, он точно проходит по отсчётам выборки. Очевидно, что при большем значении N восстановление будет точнее.

2.10 Восстановление исходной дискретной последоватнльности используя ОДПФ к СК.

Восстановим коэффициенты  по формуле

,где  ,

Рис.2.8.Восстановленная дискретная последовательность.
3.Расчёт цифровых фильтров
.

3.1.Расчёт передаточной функции цепи.

Расчёт передаточной функции проведём по известной формуле:

Конечное выражение для К(р):

К(р)=, где

Учтём, что , подставим это в выражение для  К(р).Запишем выражение модуля  К(w):

 

Найдём  с помощью порогового критерия:

, получим .

Построим АЧХ передаточной функции цепи:

Рис.3.1.АЧХ аналогового фильтра-прототипа.

3.2.Расчёт импульсной характеристики.

Для нахождения функции  воспользуемся обратным преобразованием Лапласа:

 

Проведя обратное преобразование Лапласа, получим:

g(t)=

Построим АЧХ полученной импульсной характеристики:

Рис.3.2.Импульсная характеристика.

3.3. Синтез цифровой цепи методом билинейного Z-преобразования.

Рассчитаем wd:

wd=2*30*

Тд=

Проведём расчет ЦФ методом билинейного Z – преобразования:

К(р)=,

Перейдём от аналоговых параметров к цифровым

;

K(z)=

Подставляя вместо значение , получим конечное выражение:

K(z)=

Через K(z) найдём коэффициенты РЦФ:

Таблица 3.1.- Коэффициенты РЦФ

А0

А1

А2

в1

в2

0,045

0

-0,045

1,72     

-0,729

Покажем структуру цифрового фильтра:

А0

В1

 

                                                    В2                                          А2  

Работа рекурсивного фильтра описывается алгоритмом:

Yn=0.045*xn-0.045*xn-2+1.72*yn-1-0.729*yn-2

3.4.Расчёт АЧХ ЦФ канонического вида.

Чтобы от системной функции ЦФ перейти к его амплитудно-частотной характеристике, достаточно сделать замену следующего вида:

Z=ei*w*Td

Изобразим АЧХ ЦФ и для сравнения АЧХ аналогового фильтра-прототипа:

Рис.3.3. АЧХ цифрового фильтра.

Изобразим ФЧХ ЦФ:

3.5.Расчёт импульсной характеристики цифрового фильтра.

Для получения импульсной характеристики ЦФ необходимо произвести обратное Z-преобразование системной функции ЦФ:

Gn=

Gn=Res1+Res2

Посчитав данные вычеты, получим конечное выражение для импульсной характеристики:

Gn=0.093*(0.757)n-1-0.016*(0.963)n-1  , для n1

G0 соответствует а0 из схемы фильтра.

G0=0,045.

Изобразим Gn :

Рис.3.5. Отсчёты импульсной характеристики ЦФ.

  1.  Синтез ЦФ с помощью метода инвариантности импульсной характеристики.

 Для дискретизации импульсной характеристики g(t) необходимо непрерывный аргумент t заменить на дискретный n*Td. Затем пронормировать полученное выражение относительно ТД:

gn=g(n*Td)*Td=

Изобразим дискретизированную импульсную характеристику:

Рис.3.6. Дискретизированная импульсная характеристика.

Системная функция ТЦФ выглядит как :

где an= g(n*Td)*Td..

Трансверсальный ЦФ имеет конечную импульсную характеристику, поэтому для построения ТЦФ нужно взять конечное число отсчётов импульсной характеристики; если брать по пороговому критерию от максимума, то из анализа выпадают отрицательные отсчёты, из-за чего АЧХ ЦФ получается сильно искаженной по отношению к АЧХ фильтра прототипа,  в частности на нулевой частоте, где АЧХ прототипа принимает нулевое значение, АЧХ ЦФ при малом количестве взятых отсчётов достигает достаточно большого значения( при M=5-6 имеет максимум в этой точке.) Также имеются сильные биения АЧХ на всей полосе частот. Поэтому возьмём число отсчётов равное 40.Получим трансверсальный фильтр  с числом коэффициентов an равное 41(считая нулевой).Строить таблицу для всех коэффициентов не имеет смысла, также не имеет смысла рисовать 40 линий задержки на структурной схеме фильтра. Построим таблицу для первых шести коэффициентов an.

 

Таблица 3.2.- Коэффициенты ТЦФ

А0

А1

А2

А3

А4

А5

0,105

0,076

0,054

0,038

0,026

0,016

Изобразим структуру ТЦФ:

                                            

Запишем алгоритм работы ТЦФ:

Yn=0.105*Xn+0.076*Xn-1+…+A40*Xn-40

Для построения АЧХ ТЦФ сделаем в его системной функции замену: Z=ei*w*Td, получим АЧХ.Для сравнения покажем АЧХ аналогового фильтра-прототипа:

Рис.3.7.- АЧХ ТЦФ.

 

Рассчитаем рекурсивный фильтр, который основывается на бесконечной импульсной характеристике.Для этого свернём бесконечно убывающую геометрическую прогрессию( которой является БИХ).Тем самым получим системную функцию РЦФ:

Построим таблицу коэффициентов РЦФ:

Таблица 3.3.-коэффициенты РЦФ.

А0

А1

В1

В2

0,105

-0,105

1,722

-0,741

Структура РЦФ:

Работа рекурсивного БИХ-фильтра описывается алгоритмом:

Yn=0.105*xn-0.105*xn-1+1.722*yn-1-0.741*yn-2

Чтобы от системной функции перейти к АЧХ также сделаем замену следующего вида:

Z=ei*w*Td 

Также для сравнения покажем АЧХ фильтра-прототипа:

 

Рис.3.8.-АЧХ рекурсивного цифрового фильтра.

 Периодичность АЧХ ЦФ стала результатом дискретизации импульсной характеристики аналогового фильтра-прототипаи и представляет собой наложенный вариант частотной характеристики аналогового фильтра.

 Пульсации АЧХ трансверсального фильтра объясняются ограничением импульсной характеристики во времени( конечным числом отсчётов gn).

АЧХ рекурсивного фильтра, полученного методом инвариантности импульсных, более точно повторяет частотную характеристику аналогового фильтра-прототипа.Однако рекурсивный фильтр необходимо проверять на устойчивость.

3.7.Прохождение дискретного сигнала через цифровой фильтр.

Для получения отклика на выходе ЦФ воспользуемся аналогом временной свёртки, то есть дискретной свёрткой, получив при этом значения отсчётов выходного сигнала.

 Дискретная свёртка задаётся следующим соотношением:

Возьмём отсчёты импульсной характеристики  РЦ фильтра, полученного методом билинейного Z-преобразования:

Рис.3.9.-Результат прохождения заданного импульса через РЦФ.

Отклик ЦФ оказывается довольно предсказуемым:

Из полученного графика видно, что аналоговая цепь, как и получившиеся цифровые фильтры являются интегрирующими, а это значит, что они скорее всего ФНЧ. Видим, что огибающая отклика близка по характеру к отклику

аналогового фильтра-прототипа. Это связано с тем, что ТД  достаточно мало

(чем меньше  ТД тем ближе отклик ЦФ к отклику прототипа).


Выводы по проделанной курсовой работе.

В результате проделанной учебной работы были привиты практические навыки в области дискретной и цифровой обработки сигналов на примере решения конкретной задачи, включающей в себя элементы как синтеза, так  и анализа цифрового фильтра.

В отличие от аналоговых сигналов дискретные сигналы описываются последовательностями отсчётных значений в дискретном множестве точек.

Спектр дискретного сигнала состоит из бесконечного числа «копий» спектра исходного аналогового сигнала.

Восстановление исходного сигнала из дискретной последовательности отсчётов неизбежно связано с искажениями.

С точки зрения реализации алгоритма фильтрации принято различать трансверсальные и рекурсивные цифровые фильтры.

При синтезе ЦФ используют импульсную или частотную характеристику аналогового фильтра-прототипа.

Системная функция ЦФ есть Z - преобразование импульсной характеристики и является аналогом операторного коэффициента передачи АЦ, и поэтому также может полностью охарактеризоваться положением своих нулей и полюсов в плоскости комплексной переменной .

Рекурсивный фильтр устойчив в том случае, если все полюсы его системной функции лежат внутри единичного круга с центром в точке ,

а трансверсальный устойчив всегда.

 Выходная последовательность ЦФ есть результат дискретной свёртки входного сигнала и импульсной характеристики фильтра.

 Частотный коэффициент передачи ЦФ является преобразованием Фурье импульсной характеристики фильтра  и представляет собой периодическую функцию частоты с периодом, равным частоте дискретизации.


Список используемой литературы.

  1.  Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы – 2-е изд. – М.: Высш. шк., 1988. – 448с.
  2.  Каратаева Н.А. Цифровая обработка сигналов – 1-е изд., дораб. и доп.
  •  Т.: ТУСУР, 1998. – 24с.

3.Каратаева Н.А.Дискретная обработка сигналов и цифровая фильтрация-

Методические указания по выполнению курсовой работы: Томск 2002.


C

R

R

C

Z-1

Z-1

Xn

Yn

А1

Аn

Z-1

Z-1

Z-1

А0

А1

В1

В2

Z-1

Z-1

Xn

Yn

Xn

Yn


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28341. Право собственности: понятие, содержание и виды 14.48 KB
  Право собственности: понятие содержание и виды. Право собственности представляет собой разновидность вещных прав которые закрепляют принадлежность вещей субъектам гражданских правоотношений. Право собственности в объективном смысле – это совокупность правовых норм закрепляющих и охраняющих принадлежность материальных благ конкретным лицам возникновение осуществление прекращение защиту прав собственника а также их возможность владеть пользоваться и распоряжаться этими материальными благами. Право собственности в субъективном смысле –...
28343. Право частной собственности граждан 14.32 KB
  Право частной собственности граждан. Субъектами частной собственности являются гражд. В собственности граждан может находиться любое имущество за исключением отдельных видов имущества кот в соответствии с законом не м. В собственности м.
28344. Право собственности хозяйственных товариществ и обществ 14.59 KB
  товариществами и обществами признаются коммерческие организации с разделенными на доли учредителей уставным капиталом. товарищами или обществами в процессе его деятельности принадлежит ему на праве собственности. общества могут создаваться в форме акционерного общества общества с ограниченной или дополнительной ответственности. Участники ООО не отвечают по его обязательствам и несут риск убытков общества лишь в пределах стоимости внесенных ими вкладов.
28345. Понятие, субъекты, объекты и содержание права собственности кооперативов 14.75 KB
  Субъектом права собственности кооператива является каждая кооперативная организация признаваемая юр. лицом независимо от вида кооператива. К производственным кооперативам относятся кооперативы в сферах производства и оказания услуг и сельскохозяйственные кооперативы. Примером потребительского кооператива является и потребительское общество осуществляющее в интересах пайщиков заготовительную торговую и др.
28346. Субъекты, объекты и содержание права гос. собственности 13.58 KB
  собственности. собственности и муницип. собственности является ее публичный характер. государственной собственности являются: РФ ее субъекты.
28347. Право муниципальной собственности: понятие, содержание, субъекты и объекты 13.86 KB
  Право муниципальной собственности: понятие содержание субъекты и объекты. Муниципальная собственность – имущество принадлежащее на праве собственности муниципальным образованиям: городским сельским поселениям. Муницип. Муницип.
28348. Право собственности государственных и муниципальных унитарных предприятий 13.68 KB
  Муниципальные и унитарные предприятия относятся к государственным предприятиям в которых контрольный пакет акций принадлежит государству и находятся на его балансе. Унитарные предприятия передаются государством в полное хозяйственное владение трудовому коллективу. При этом государство не несет никакой ответственности за деятельность созданного им предприятия. Унитарные и МП относятся к государственным бюджетным предприятиям.
28349. Право собственности общественных и религиозных организаций 14.77 KB
  Право собственности общественных и религиозных организаций. Круг субъектов права собственности общественных организаций достаточно широк: это общественные организации общественные движения общественные фонды общественные учреждения органы общественной самодеятельности. Субъектами же права собственности могут выступать лишь общественные объединения обладающие правами юридического лица. Основаниями приобретения права собственности общественных объединений являются: вступительные и членские взносы добровольные взносы и пожертвования...