49949

Вероятностные методы расчета конструкций

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Поверхность плотности распределения pxy Вероятностные методы расчета конструкций Литература Арнольд В. В теории вероятностей главная задача зная состав генеральной совокупности изучить распределения для состава случайной выборки. разрушение одного элемента изза перераспределения усилий приводит к изменению вероятностей разрушения остальных элементов. Характеристики распределения случайных величин 3.

Русский

2014-01-12

852 KB

73 чел.

16


PA

PB

PA+PB

PAB

PA

PB

PA

PB

P(A+B)

Линии регрессии для независимых с.в. X и Y

EMBED Word.Picture.8  

EMBED Word.Picture.8  

EMBED Word.Picture.8  

EMBED HarvardChartXL.Chart  

Поверхность плотности распределения p(x,y)

Вероятностные методы расчета конструкций

Литература

  1.  Арнольд В.И. Теория катастроф. – М.: Физматгиз, 1990.-126 с.
  2.  Аугусти Г., Баратта А., Кашиати Ф. Вероятностные модели в строительном проектировании. М.: Стройиздат, 1988.-584 с.
  3.  Барзилович Е. Ю., Беляев Ю. К. и др. Вопросы математической теории надежности. - М.: Радио и связь, 1983.-376с.
  4.  Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности и испытания на безотказность. /Пер. с англ. - М.: Советское радио, 1969.-488 с.
  5.  Барлоу Р., Прошан Ф. Статистическая теория надежности и испытания на безотказность. /Пер. с англ. - М.: Наука, 1984.-328с.
  6.  Болотин В. В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. - 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Стройиздат, 1981.-351 с.
  7.  Болотин В.В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. – М.: Стройиздат, 1971.-255с.
  8.  Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. – М.: Стройиздат, 1965.-202с.
  9.  Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1989.
  10.  Волков С.Д. Статистическая теория прочности. – М.: Машгиз, 1960.-176 с.
  11.  Вопросы безопасности и прочности строительных конструкций/Сб. ст. под ред. А.Р. Ржаницына. – М.: Стройиздат, 1952.-178 с.
  12.  Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. школа, 1999.-479с .
  13.  Гнеденко Б.В. Вопросы математической теории надежности. – М.:, 1983.
  14.  Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Л. Математические методы в теории надежности. – М.: Наука, 1965.-524 с.
  15.  Капур К., Ламберсон Л. Надежность и проектирование систем. – М.: Мир, 1980.-604 с.
  16.  Кудзис А.П. Оценка надежности железобетонных конструкций. – Вильнюс: Моклас, 1985.-155 с.
  17.  Ломакин В.А. Статические задачи механики твердых деформируемых тел. М., «Наука», 1970.
  18.  Лужин О.В. Вероятностные методы расчета сооружений. – М.: МИСИ им. Куйбышева, 1983.-122 с.
  19.  Нагрузки и надежность строительных конструкций. Труды ЦНИИСК. Вып. 21, М., 1973.
  20.  Надежность и долговечность строительных конструкций [Сб. статей]. – Волгоград, 1974.
  21.  Проблемы надежности в строительной механике [Сб. статей]. – Вильнюс: Изд-во “Вайздас”, 1968.-302с., 1971.-208с., 1975.-215 с.
  22.  Проблемы надежности в строительном проектировании [Сб. статей]. – Свердловск, 1972.-296 с.
  23.  Райзер В.Д. Методы теории надежности в задачах нормирования расчетных параметров строительных конструкций. – М.: Стройиздат, 1986.-192 с.
  24.  Райзер В.Д. Расчет и нормирование надежности строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1995.-348 с.
  25.  Райзер В.Д. Теория надежности в строительном проектировании:– М.: Изд-во АСВ, 1998.-304 с.
  26.  Ржаницын А. Р. Теория расчета строительных конструкций на надежность. -М.: Стройиздат, 1978.-239 с.
  27.  Саульев В.К. Статистическое моделирование: Метод Монте-Карло. – М.: МАИ, 1974.-67 с.
  28.  Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. – М.: Наука, 1968.-463 с.
  29.  Синицын А.П. Расчет конструкций на основе теории риска. – М.: Стройиздат, 1985.-304 с.
  30.  Тимашев С.А. Надежность больших механических систем. – М.: 1981.
  31.  Тихонов В.И. Выбросы случайных процессов. – М.: , 1970.
  32.  Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. – М.: Мир, 1969.-396 с.
  33.  Руководство по расчету зданий и сооружений на действие ветра. – М.: Стройиздат, 1978
  34.  СНиП 2.01.07-85* Нагрузки и воздействия

  1.  ЗАДАЧИ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

ПОНЯТИЕ НАДЕЖНОСТИ И ЕЕ СВОЙСТВА

Обычный детерминистический подход к расчету конструкций состоит из двух этапов:

  1.  Вычисляются напряжения, деформации и перемещения в конструкциях, подверженных действию внешних нагрузок. Эта задача решается методами строительной механики, теории упругости, теории пластичности и т.д.
  2.  Вычисленные величины сопоставляются с нормативно допустимыми значениями. При этом решается задача надежности, долговечности и экономичности конструкции.

Однако реальная система и ее условия эксплуатации отличаются от идеализированной системы и условий, рассматриваемых на стадии проектирования. Фактически напряжения, деформации и перемещения являются случайными величинами из-за случайного характера внешних воздействий, прочностных и др. внешних условий. Поэтому надежность конструкции может быть определена с привлечением методов математической и статистической теории вероятностей.

В теории вероятностей главная задача - зная состав генеральной совокупности, изучить распределения для состава случайной выборки. Это прямая задача теории вероятностей. Обратная задача - когда известен состав выборки и по нему требуется определить, какой была генеральная совокупность. Это обратная задача математической статистики. Или, точнее, в теории вероятностей мы, зная природу некоторого явления, выясняем, как будут вести себя (как распределены) те или иные изучаемые нами характеристики, которые можно наблюдать в экспериментах. В математической статистике наоборот – исходными являются экспериментальные данные (обычно это наблюдения над случайными величинами), а требуется вынести то или иное суждение о природе рассматриваемого явления.

Надежность – свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонта и транспортирования. Или надежность также – устойчивость качества по отношению ко всем возможным возмущениям. Надежность – количественный показатель (промежуток времени, число рабочих циклов, число километров и т.д.).

В зависимости от назначения системы и условий ее эксплуатации надежность включает свойства: 1) безотказность; 2) долговечность; 3) ремонтопригодность; 4) сохраняемость и любые их сочетания.

Безотказность – вероятность безотказной работы конструкции за определенный промежуток времени.

Долговечность – вероятный промежуток времени безотказной работы конструкции.

Ремонтопригодность – вероятность того, что неисправная система может быть восстановлена за заданное время.

Содержание теории надежности – разработка методов оценки надежности систем и создание систем, обладающих заданными показателями надежности и долговечности.

Задачи расчета на надежность состоят в определении вероятности выхода конструкции из строя в заданных условиях, нахождении по заданной экономически целесообразной надежности требуемых размеров конструкции, допустимых нагрузок или оптимального срока эксплуатации, а также оценки надежности системы по имеющимся оценкам надежности составляющих ее элементов. В задачу теории надежности строительных конструкций входит также обоснование процедур нормирования расчетных характеристик. Специфика теории надежности строительных конструкций состоит в необходимости учета случайных свойств нагрузок и воздействий на сооружения, а также учета совместного действия случайных нагрузок на систему со случайными прочностными характеристиками.

Основное понятие теории надежности – отказ – событие, состоящее в нарушении работоспособности системы. Понятие отказа близко по смыслу к понятию предельного состояния. К предельным состояниям 1-й группы относятся: общая потеря устойчивости формы, потеря устойчивости положения, любое разрушение, переход в изменяемую систему, качественное изменение конфигурации; состояния, при которых возникает необходимость прекращения эксплуатации в результате текучести материала, сдвига в соединениях, ползучести или чрезмерного раскрытия трещин. Предельные состояния 2-й группы – недопустимые деформации конструкций в результате прогиба, поворота или осадок, характеризуемых разностью вертикальных перемещений узлов, отнесенных к расстоянию между ними, креном сооружения в целом, относительным прогибом или выгибом, кривизной элемента, относительным углом закручивания, горизонтальным или вертикальным смещением элемента или сооружения в целом, углом перекоса или поворота. К предельным состояниям 2-й группы относятся также недопустимые колебания конструкции, изменение положения, образование или раскрытие трещин.

Примеры отказов - обрушения, опрокидывания, потеря устойчивости, хрупкое разрушение, большие деформации и прогибы, механический или коррозионный износ, растрескивание и т.д.

Отказы вызваны влиянием случайных факторов, поэтому они носят случайный характер. За показатель (меру) надежности системы может быть принята вероятность Р безотказной работы в течение всего срока службы Т.

Недостатки теории надежности - сложно получить опытные данные в количестве, достаточном для последующей их обработки методами теории вероятностей. Сложно длительный срок проводить испытания конструкции для получения надежных выводов о ее долговременной работе.

  1.  Основные положения теории вероятносТЕЙ,

ВАЖНЫЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Событие - качественный или количественный результат опыта, осуществляемого при определенных условиях. Например, событие - попадание предела текучести стали  в интервал от 240 до 260 МПа. Событие может быть случайным, достоверным или невозможным. Объективная математическая оценка возможности реализации случайного события - вероятность. Вероятность есть объективная мера возможности наступления события независимо от того, является ли оно массовым или нет. В жизни все (полуинтуитивно) применяют вероятностные оценки будущим событиям и весьма успешно.

Частота события А (статистическая вероятность).

,

где - число опытов, в которых наблюдается событие А;

n - общее число опытов.

Значения  - случайны.

,

где  - математическая вероятность, являющаяся достоверной величиной, т.е. вероятность того, что при n  равна 1.

.

При   вероятность  , при  соответственно .

События несовместны в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе. (Например, появление цифр от 1 до 6 на игральном кубике).

Случайные события совместны, если при данном испытании могут произойти два эти события.

Если события А и В несовместны, то вероятность появления или события А или события В:

                                 (1.2)

или в общем виде                                                            (1'.2).

Сумма вероятностей двух противоположных событий

                                                                         (2.2).

Событие А независимо от В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Если события А и В независимы (они совместны), то вероятность появления и события А и события В равна:

          ,                                            (3.2).

В урне два кубика – черный и белый и два шарика – черный и белый. Вероятность появления черного кубика равна произведению вероятностей появления черного цвета и кубика, т.е. 1/21/2=1/4.

Из формулы (3.2) видно, например, что если событие А (появление максимальной ветровой нагрузки) и событие В (появление максимальной снеговой нагрузки) – независимы, то вероятность одновременного появления А и В (т.е. максимумов нагрузок) меньше вероятности появления одного из событий (максимумов нагрузки) .

Это учитывается коэффициентом сочетаний . 

Вероятность  тем меньше, чем меньше  и .

Формула (3.2) иллюстрируется последовательным соединением. Вероятность неразрушения последовательной системы:

,                                                               (4.2)

где , i =1,3 – вероятности неразрушения iго элемента системы,

– событие, состоящее в неразрушении  iго элемента системы.

Пример последовательного соединения: статически определимая система т.к. разрушение всей системы происходит при разрушении хотя бы одного из элементов, т.о. вероятность неразрушения всей системы меньше вероятности неразрушения любого ее отдельного элемента.

Формула (3.2) также иллюстрируется и параллельным соединением. Вероятность разрушения параллельной системы:

,                                             (4'.2)

где  – вероятности разрушения iго элемента системы.

Вероятность неразрушения параллельной системы:

                         (5.2)

или в общем виде:                                                                                       (5'.2).

Пример параллельного соединения: статически неопределимая система т.к. разрушение всей системы происходит при разрушении всех избыточных и еще одной связей. Т.о. вероятность неразрушения всей системы больше вероятности неразрушения любого ее отдельного элемента. Однако в действительности в статически неопределимой системе вероятности разрушения элементов системы не независимы, т.к. разрушение одного элемента из-за перераспределения усилий приводит к изменению вероятностей разрушения остальных элементов.

Например, при диаграмме Прандтля «условное» разрушение одного элемента статически неопределимой системы (т.е. напряжение в этом элементе при увеличении N остается постоянным и равным ) в меньшей степени приводит к перераспределению усилий, а, следовательно, и к изменению вероятностей разрушения. Т.о. статически неопределимая система со стержнями, работающими по диаграмме Прандтля, больше подходит в качестве примера для параллельной системы.

Если случайные события А и В совместны (и независимы), то вероятность появления или А или В:

 (6),       (6.2).

Если случайные события А и В зависимы (и совместны) и вероятности их появления Р(А) и Р(В), то вероятность совмещения событий А и В (произойдет и А и В):

                                                                  (7.2),

где  – условная вероятность, т.е. вероятность появления события В, при условии, что событие А произошло. Аналогично                                                         (7.2).

Например, в урне два черных и два белых шара. Событие А – появление белого шара с первого раза, событие В - появление белого шара со второго раза. Вероятность появления белого шара два раза подряд определяется формулой:

Р(АВ)=Р(А)Р(В\А)=1/2·1/3=1/6.

Из формул (7) и (7) можно получить:

                                                                 (8.2),

где  – априорная вероятность появления события А, определенная до того как стала известна информация о событии В.

– апостериорная вероятность появления события А, основанная на этой информации. А и В произошли, но мы определяем вероятность того, что перед В было А.

Если А и В независимы, то  и наоборот.

Пусть имеется n несовместных событий  с вероятностями их появления  и пусть  – условные вероятности осуществления события В с одним из n событий . (Т.е. события В и А1, В и А2,…, В и Аn – зависимы и совместны). Тогда вероятность осуществления события В:

                                                             (9.2)

Это формула полной вероятности,

где  - вероятность того, что произойдет В и ;

– по другому – вероятность того, что В произойдет с любым из .

Пусть событие В произошло, это изменит вероятности . Надо найти условные вероятности  осуществления события , i =1,…n при условии, что В произошло (т.е. если В произошло, то надо найти вероятность того, что ему предшествовало появление именно события ).

Формула полной вероятности Байеса (из (9) и (8)):

                                                        (10.2),

где  – вероятность появления события  до того как произошло В;

i =1, 2,…n.

( – как бы является удельным весом вероятности  в сумме всех вероятностей ).

Производится n независимых опытов, имеющих два возможных исхода – появление и непоявление события А (вероятность появления p , непоявления q = 1 - p). Вероятность того, что при n испытаниях событие А наступает m  раз:

(формула Бернулли):

                                                         (11.2),

где  - число сочетаний из m элементов в n.

Пример: ;

.

Вероятность  того, что в результате n независимых опытов событие А произойдет хотя бы один раз (может и больше): Рn(A) = 1 - qn,

где q - вероятность непоявления события А в первом испытании;

qn - вероятность того, что А не произойдет ни разу;

1 - qn - вероятность того, что А произойдет один раз, или два раза ... или все n раз.

Пример. Событие А - разрушение здания в сейсмическом районе, p = 0,1 - вероятность разрушения его в течение первого года. Тогда q =1 - p - вероятность неразрушения в течение первого. Тогда Р2(А)=1-0.92=0.19, Р3(А)=1-0.93=0.271, Р10(А)=1-0.910=0.651, Р20(А)=1-0.920=0.878, Р50(А)=1-0.950=0.995, где Pn(A) – вероятности разрушения здания за n лет.

Т.о. функция надежности (зависимость вероятности неразрушения от пройденного количества лет) от значения 1 асимптотически приближается к ОХ.

  1.  Характеристики распределения случайных величин

3.1 Одномерная случайная величина

С. в. Х (одномерная) - величина, могущая принять различные вероятные значения х на некотором интервале (-х), т.е. х - возможное значение с.в. Х.

С. в. может быть дискретной и непрерывной. Вероятностные свойства с.в. Х характеризуются интегральной функцией распределения Р(x). Значение функции Р(x) равно вероятности обнаружить с.в. Х<х (или, что то же, на интервале , х) т.е. Р(x)=Prob(X<x), где х - конкретная детерминированная величина.

Если с.в. Х может принимать лишь дискретные значения х1, х2,...хn с вероятностями р1, р2,...рn, то функция распределения представляет собой сумму вероятностей тех значений хk, которые меньше х.

.                                                                 (12.3)

На рисунке Prob(Xx3)=Р(х3)=0,5, (т.е. Х=х1 или Х=х2 или Х=х3). Prob(X=x4)=0,6-0,5=0,1 (скачок равен вероятности появления значения х4).

Функция распределения числа m наступления события в последовательности n независимых испытаний (согласно формуле (11.2)).

Биномиальный закон распределения:

       (13.3)

 .

Если с.в. Х непрерывна, то функция распределения имеет вид, показанный на рисунке.

Свойства функции распределения:

  1.  Р(х) - неубывающая функция аргумента х 

(т.е. при x2>x1 P(x2)=Prob(X<x2)>P(x1)=Prob(X<x1));

  1.  При x=- P(x)=0;
  2.  При x=+ P(x)=1;
  3.  Prob(x1<Xx2)=P(x2)-P(x1)                                                                                                         (14.3);
  4.  Prob(X=x1)=0. Вероятность обнаружить число, например 241.000... равно 0. Однако, делая измерения, мы округляем значения, тем самым, увеличивая вероятность их появления. Например, округленное 241.0 содержит значения от 240.9500... до 241.04999... и вероятность попадания числа в этот интервал не равна 0.

Распределение с.в. Х характеризуется также функцией плотности распределения с.в. Для дискретных значений с.в. функция плотности распределения может задаваться таблично. График функции р(х)=рi при x=xi изображен на рис.  .

Т.к. возможные значения xi с.в. образуют полную группу несовместных событий (т.е. в каждом из n испытаниях с.в. обязательно примет одно из значений xi с определенной вероятностью), то , где n - число испытаний.

Для непрерывной с.в. функция плотности распределения имеет вид, показанный на рисунке.

Если функция распределения с.в. Р(х) - непрерывна, то                                (15.3)

или . По непрерывной кривой плотности распределения, в отличие от дискретной, вероятность обнаружить точное число х2 равна нулю. При помощи функции р(х) вероятность обнаружить с.в. Х в бесконечно малом интервале x<X<x+dx равна Prob(x<X<x+dx)=p(x)dx (площадь прямоугольника, dx0). То же в конечном интервале x1<X<x2:

                                                            (16.3)

(Геометрически это заштрихованная площадь под кривой плотности распределения).

Из (15) следует, что                                                                             (17.3),

поэтому функцию распределения называют еще интегральной функцией распределения.

Свойства функции плотности распределения:

  1.  Плотность распределения вероятностей - неотрицательная функция р(х)0.
  2.                                                                                                                                    (18.3),

что эквивалентно Р()=1.

3) Размерность р(х) обратная размерности с.в., а Р(х) - безразмерна.

4) Числовые характеристики распределения

Математическое ожидание с.в. Х :

- дискретной

                                                                     (19.3)

при этом               (М(x) - случайна при n).

- непрерывной

                                                                       (20.3).

Математическое ожидание  - достоверная величина, т.к. вероятность того, что при n= испытаниях мы получим среднее арифметическое М(X)= равна 1.

М(с)=с,   М(сx) = сМ(x), где с – неслучайное число.

Для независимых с.в. Х1 и Х2 

М(x1+x2)=М(x1)+М(x2), М(x1x2)=М(x1)М(x2), М(x2)=[М(x)]2+D(x).

К математическому ожиданию стремится среднее арифметическое наблюдаемых значений с.в. при количестве испытаний n. Геометрически м.о. – это абсцисса ц. т. площади под кривой плотности распределения. Размерность м.о. совпадает с размерностью с.в.

Дисперсия с.в. Х - м.о. квадрата отклонения с.в. Х от ее м.о. (центра распределения):

D(x)=M[x-M(x)]2=M(x2)-M2(x),

т.к. M[x-M(x)]2=M[x2-2xM(x)+M2(x)]=M(x2)-2M2(x)+M2(x),

M[2xM(x)]=2M2(x) и M[M(x)]=M(x).

Дисперсия дискретной с.в. Х

                                                              (21.3)

случайна при n.

Дисперсия непрерывной с.в. Х:

                                        (22.3),

(дисперсия непрерывной с.в. - достоверна).

- математическое ожидание.

Дисперсия характеризует разброс с.в. вокруг ее среднего значения (математического ожидания).

D(c)=0,

D(cx)=c2D(x),

D(c+x)=D(x).

Доказательство.

D(cx)=M[cx-M(cx)]2=M[c2x2-2cxM(cx)+M2(cx)]=

c2M(x2)-M[2c2xM(x)]+M[c2M2(x)]=

c2M(x2)-2c2M2(x)+c2M2(x)=

c2[M(x2)-M2(x)]=c2D(x). D(c+x)=

M[c+x-M(c+x)]2=M[c+x-c-M(x)]2=M[x-M(x)]2=D(x).

Для независимых с.в. Х1 и Х2  D(x1±x2)=D(x1)+D(x2). 

Геометрически дисперсия – это центральный момент инерции площади под кривой плотности распределения. Размерность дисперсии - квадрат размерности с.в.

Среднеквадратическое отклонение (стандарт): .

Асимметрия непрерывной с.в. Х:

                                                          (23.3).

Если с.в. Х распределена симметрично относительно своего м.о., то А(х)=0.

Коэффициент изменчивости (вариации) с.в. Х - отношение стандарта к м.о.:

                                                                  (24.3).

3.2 Случайная векторная величина двух измерений

На практике решаются задачи, в которых результат опыта описывается не одной с.в., а двумя или более с.в., образующими систему. При этом свойства системы нескольких с.в. могут включать и взаимные связи (зависимости) между ними.

Если с.в. X и Y принимают дискретные значения xi, yj и каждой паре значений (xi, yj) соответствует определенная вероятность pij, то можно составить таблицу распределения вероятностей дискретной двумерной с.в.

Очевидно .

Значение функции Р(x,y) равно вероятности обнаружить с.в. Х<х и с.в. Y<y, т.е.

P(x,y)=Prob(X<x,Y<y).

Свойства функции распределения Р(x,y):

1) Р(х,y) - неубывающая функция своих аргументов,

т.е. при х2>x1 P(x2,y)>P(x1,y) или при y2>y1 P(x,y2)>P(x,y1);

2) P(x,-)=P(-,y)=P(-,-)=0;

3) P(x,+)=P(x), P(+,y)=P(y) - если один из аргументов равен +, то функция распределения Р(х,y) превращается в функцию распределения другой с.в.;

4) P(+,+)=1.

Плотность распределения системы двух с.в. (вторая смешанная производная P(x,y) по  и затем по ).

                                                 (25.3)(15.3)

или в общем виде

, .

Геометрически p(x,y) можно представить поверхностью (поверхность распределения - по ОХ и OY откладываются значения с.в. X и Y, по Z - вероятность их появления, см. рис.  ).

Из (25) следует

                                                 (26.3)(17.3).

Вероятность обнаружить двумерную с.в. (X,Y) в области D:

Prob((X,Y)D)=                                        (27.3)=(16.3).

Вероятность обнаружить точку М с координатами х1, х2,...хn в n-мерном объеме V:

Prob(MV)=                                (27.3)

Далее, аналогично (18)

                                                             (28.3),

т.е. геометрически объем под поверхностью распределения равен 1.

В общем виде имеем n-кратный интеграл

                                           (28.3).

Если известен закон распределения системы двух случайных величин p(x,y), то можно определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему:

                                                                     (29.3).

То же, в общем виде:

                             (29.3).

Но для того, чтобы по заданным законам распределения отдельных с.в., входящих в систему, определить законы распределения системы с.в., надо знать зависимость между величинами, входящими в систему.

Условный закон распределения с.в. Х, входящей в систему (X,Y) - закон ее распределения, вычисленный при условии, что другая с.в. Y приняла определенное значение. Условный закон распределения можно задавать функцией P(x/y) и плотностью p(x/y) распределения.

Геометрически функция плотности распределения p(x/y) представляет собой сечение поверхности распределения при y=const. Сечения поверхности распределения плоскостями x=const и y=const дают соответственно условные плотности распределения p(y/x) величины Y при определенных значениях x и условные плотности распределения p(x/y) величины X при определенных значениях y. Если X и Y - зависимые с.в., то кривые плотности распределения p(y/x) изменяются при изменении x, а кривые плотности распределения p(x/y) изменяются при изменении y. М.о. этих кривых при таких изменениях образуют линии регрессии 1 и 2. В случае независимости X и Y линии регрессии представляют собой прямые  и , параллельные осям координат. При наличии функциональной связи (а не стохастической) между X и Y обе линии регрессии сливаются в одну - y=y(x), при этом поверхность плотности распределения может быть заменена кривой плотности распределения X или Y вдоль линии y=y(x).

С учетом вышесказанного плотность распределения системы двух с.в. равна плотности распределения одной из них, умноженной на условную плотность распределения другой величины, вычисленную при условии, что первая величина приняла заданное значение:

p(x,y)=p(x)p(y/x)                                                         (30.3)=(7.2)

или в общем случае

p(x1,x2,...,xn)=p(x1,x2,...,xi/xi+1,xi+2,...,xn)p(xi+1,xi+2,...,xn)                               (30.3).

Для независимых с.в. p(x,y)=p(x)p(y)  (31)=(3) - плотность распределения системы независимых с.в. равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.

3.3 Числовые характеристики распределения системы двух случайных величин

  1.  М.о.                                   ,                            (32.3)

или в общем виде                                                    (32.3).

Геометрически точка  является проекцией на плоскость XOY центра тяжести объема, ограниченного поверхностью распределения p(x,y).

  1.  Дисперсия:             (33.3).
  2.  Корреляционный момент с.в. X и Y:                               (34.3).

Корреляционный момент характеризует стохастическую зависимость между с.в. а также рассеивание. Корреляционный момент - м.о. произведения отклонений двух с.в. от их мат. ожиданий , при .

Корреляционный момент - достоверная величина.

Если зависимости между X и Y нет, то Kxy=0, но из того, что Kxy=0 не следует независимость X и Y.

С.в. могут быть:

1) Независимы, т.е. не коррелированы Kxy=0;

2) Зависимы и коррелированы Kxy0;

3) Зависимы и не коррелированы Kxy=0 (если поверхность плотности распределения симметрична относительно осей координат OX и OY, т.е. M(X)=M(Y)=0).

  1.  Коэффициент корреляции:      ,                                                                             (35.3)

где  - стандарт.

-1 rxy 1 - характеризует степень тесноты линейной зависимости между с.в. rxy=1 при Y=aX+b (линейная функциональная стохастическая связь).

При нелинейной функциональной связи rxy<1. При отсутствии стохастической связи rxy=0 - необходимое, но недостаточное условие независимости X и Y.

Систему n с.в. можно охарактеризовать n м.о. , n дисперсиями  и n(n-1) корреляционными моментами KXiYj  с i  j (при этом KXiYj=KXjYi).

  1.  Функции случайных величин

Функция с.в. будет также случайной величиной Y=(X). Ее распределение соответствует распределению аргумента, но с измененной шкалой абсцисс. P(y)=Prob(Y<y)=Prob((X)<y).

                                              (36.3)=(17.3),

где  (y) - функция обратная (х) (замена подинтегрального выражения x=(y), dx=(y)dy).

Если Y=(X), где (X) - монотонная функция своего аргумента, то распределение Y определяется тем, что вероятность нахождения y в пределах y1<Y<y2 равна вероятности неравенства х1<X<x2,

где y1=(x1) и y2=(x2).

М.о. и дисперсия с.в. Y:

          (37.3)=(20.3) и (22.3).

Доказательство (37.3):

Для линейной функции Y=aX+b из (37.3) и (18.3) следует

 и D(Y)=a2D(X)             (38.3).

Доказательство (38): .

Для функции Z=(X,Y) двух случайных аргументов м.о. и дисперсия                   (39.3).

Если Z=(X,Y)=X+Y и X и Y - независимы, то м.о. и дисперсия суммы независимых с.в. величин D(Z)=D(X)+D(Y).

Плотность распределения непрерывной с.в. Y, связанной монотонной функциональной зависимостью Y=(X) с непрерывной с.в. Х:

или                                        (40.3),

где x=(y) - функция обратная y=(x).

Для линейной функции y=ax+b из (40) следует

p(y)=(1/a)p(x)                                                                    (40.3).

Если Y=(X/R) и p(x/r) - условная плотность вероятности с.в. Х, входящей в систему (X,R), то условная плотность вероятности с.в. Y - ,

где (y/r) - функция обратная Y=(X/R), а безусловная плотность вероятности с.в. Y:

,

где p(r) - плотность вероятности с.в. R.

Если имеются функции с.в. U=U(X,Y) и V=V(X,Y), то, зная совместную плотность распределения p(x,y), совместная плотность распределения U и V:

                            (41.3)

(в скобках - Якобиан ).

Матожидания:                                       (42.3),

дисперсия           ,

корреляционный момент            .

В случае линейного преобразования U=a1X+b1Y+c1 и V=a2X+b2Y+c2  по (41.3) и (42.3) имеем:

                                                         (43.3),

и                                          (44.3).

Дисперсия

Доказательство (44)

Запишем еще раз дисперсии и корреляционные моменты:

,          ,  (доказать самостоятельно).

Зная плотность распределения p(U,V), где U=U(X,Y) и V=V(X,Y), можно определить плотность распределения p(U) или p(V): .

Пример (стр.23 [7]). Стержень нагружен изгибающим моментом Mb и крутящим моментом Mt, и есть их совместная плотность вероятности pq(Mb,Mt). Кроме того, моменты Mb и Mt стохастически независимы и подчиняются центрированному нормальному распределению:

,

где b и t – стандарты Mb и Mt.

Опасное состояние стержня достигается при превышении некоторой функцией этих моментов предельного значения Mr>Mr,lim, зависящего от свойств материала и геометрии сечения стержня. Например, для стержня круглого сечения из пластического материала эта функция может быть взята в виде , где Mr – приведенный момент, определенный в соответствии с критерием текучести, основанном на наибольших касательных напряжениях.

Касательное напряжение от крутящего момента , где I - полярный момент круглого сечения, y – радиус окружности, содержащей рассматриваемую точку, = max при y=r (r – радиус стержня). Нормальное напряжение от изгибающего момента . Для расчета надежности стержня необходимо знать плотность вероятности pu(Mr) приведенного момента Mr.

Перейдем к полярным координатам, положив , где 02. Согласно (41.3) совместная плотность распределения с. в. Mr и :

.

Используя  и замечая, что якобиан преобразования ,

найдем

Плотность распределения вероятности pu(Mr) определяется интегрированием полученной формулы по углу : . Используя формулу анализа , где  - функция Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка, получим окончательно             .

Если дисперсии моментов Mb и Mt одинаковы, т.е. b=t=, то I0(0)=1 и . При этом приведенный момент подчиняется распределению Рэлея.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54837. ПЕРЕБУДОВА В РАДЯНСЬКОМУ СОЮЗІ І УКРАЇНА 191 KB
  МЕТА: ознайомити учнів з процесами які відбувалися в період 80х рр. в Радянському Союзі та їх вплив на розвиток України; розвивати вміння учнів вести самостійну дослідницьку діяльність вміти систематизувати здобутий матеріал та вміти виділяти головне; формувати почуття толерантності та вміння аргументувати власну позицію робити висновки; виховувати громадянську свідомість та повагу до історичного минулого своєї держави. І вид роботи: 12 учнів виконують тестування на комп’ютерах 18 запитань. Прослухати для відновлення запис...
54839. Подвигу народу жити у віках 838.5 KB
  Поки ще живі свідки тих часів її учасники ми покликані залишити у свідомості студентів жах тих днів розкрити звірства фашистів показати приклади героїзму українського народу в діючій армії в тилу ворога Рух Опору та самовіддану працю мирного населення в евакуації. Студент: Гитлер составил план уничтожения славянских народов в первую очередь русского украинского и белорусского. Студент: Мы знаем что ныне лежит на весах И что совершается ныне. Ахматова Студент: В...
54840. Виховний захід (географічна гра) „Переправа” 42 KB
  Географічна гра проводиться в рамках місячника географії в плані якого передбачено: Випуск стіннівок по класах Цей цікавий світ географії Віртуальна подорож країнами Європи для 89 класів Виставка творчих робіт учнів Географічні прилади та посібники для 1011 класів Перегляд відеоролика Видатні географічні дослідження†для 89 класів Економічний турнір Економіка вчора сьогодні й завтра†для 1011 класів За тиждень до проведення гри визначається склад учасників: по 5 чоловік від 89 класів. Другий...
54841. Переріз циліндра і конуса площиною, паралельно основі 279.5 KB
  Тема уроку: переріз циліндра і конуса площиною паралельно основі. Мета уроку: формувати в учнів навички будувати переріз циліндра і конуса площиною паралельною основі та розв’язувати задачі пов’язані з ним. Поглибити знання про осьові перерізи конуса і циліндра. Радіус основи конуса 3 м висота 4 м.
54842. УКРАЇНСЬКО – МОСКОВСЬКИЙ ДОГОВІР 1654 р. 73.5 KB
  ; розвивати вміння учнів аналізувати складні історичні факти та події; формувати вміння працювати з історичними документами; розглянути наукові оцінки українськомосковської угоди; виховувати любов до історичної минувшини українського народу інтерес до історії України. 1 територія існування козацької України в межах Київського Брацлавського та Чернігівського воєводств. вояків 3 інші умови влада належала гетьманові та козацькій старшині державні посади мали обіймати лише православні шляхта поверталася до своїх володінь відновлювалася влада...
54843. Экономическая рента. Земельная рента и ее виды 18.13 KB
  Экономическая рента - это разница между платой за ресурс и минимальной платой, необходимой для того, чтобы этот ресурс был предложен. Ресурс, дающий экономическую ренту, приносит сумму, превышающую альтернативную стоимость его использования.
54844. Perl. Специальный справочник 2.54 MB
  Цель этой книги дать вам весь материал необходимый для того чтобы стать программистом на языке Perl. Perl это не просто обычный язык программирования. Perl больше чем язык для поэтов и фанатов программирования он источник творческого вдохновения и средство для его реализации. С момента начала моей работы с Perl до появления идеи создания книги о нем прошли многие годы.
54845. Конкурс «Перлина гімназії» 56.5 KB
  Ведучий. Доброго весняного дня Ведучий. І саме на початку цієї прекрасної пори коли все пробуджується оживає набирає сили ми проводимо традиційний гімназійний конкурс Перлина гімназії Ведучий. Ведучий.