49960

Общая физика. Лабораторный практикум

Книга

Физика

На каждое лабораторное занятие студенты должны приносить с собой: а лабораторный журнал тетрадь в клетку не менее 48 листов. Все черновые записи делаются на левой стороне листа лабораторного журнала; е окончательный результат представляют в стандартном виде суказанием среднего значения измеряемой величины абсолютнойотносительной погрешности вычисленных по методу Стьюдента инадежности измерений. Например результат измерений плотности твердого тела в стандартном виде = 65 03 103 кг м3 ε = 5 при α = 095 где ...

Русский

2014-01-13

2.47 MB

12 чел.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Пермский государственный технический университет»

Общая физика

Часть 1

Механика

Утверждено Редакционно-издательским советом

технического университета в качестве лабораторного практикума

Издательство

Пермского государственного технического университета

2008


УДК 531

О28

Авторы:

Рецензенты:

д-р физ.мат. наук, проф. А.А. Черепанов

(Пермский государственный университет);

канд. техн. наук, доцент Н.А. Харламова

(Пермский государственный технический университет)

О28  Общая физика. Ч. 1. Механика : лаборат. практикум /

. – Пермь:

Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. -       с.

Изложены основы теории и порядок выполнения лабораторных работ по механике в курсе общей физики, выполняемых на кафедре прикладной физики ПГТУ. Представлены контрольные задания для отчетов по работам.

Практикум предназначен для студентов всех специальностей, изучающих физику в технических университетах.

УДК 531

Пермский государственный

технический университет, 2008


Основные правила работы в лабораториях кафедры прикладной  физики

1.  На каждое лабораторное занятие студенты должны приносить с собой:

а) лабораторный журнал (тетрадь в клетку не менее 48 листов).

б) несколько листов миллиметровой бумаги формата А4;

    в) клей для бумаги для вклеивания графиков;

г) калькулятор для инженерных расчетов (можно один на несколько
человек);

д) ручку, карандаш и резинку;

е) линейку длиной 25 - 30 см.

2. Студенты должны быть подготовленными к выполнению каждой лабораторной работы:

    а) необходимо знать тему и название выполняемой работы,
изучить теоретический материал по теме выполняемой работы и
знать физическую сущность изучаемого явления.

    б) подготовить лабораторный журнал к выполнению лабораторной
работы.

3.   Оформление лабораторного журнала:

а) на новой странице (правой) журнала должны быть написаны номер и
название лабораторной работы, перечень приборов и принадлежностей, цель
работы и дата проведения работы;

б) далее следует изложить краткую теорию лабораторной работы, включая вывод основной рабочей формулы и формулы для оценки погрешностей
результатов эксперимента.

4. Все записи в журнале выполняют аккуратно и ручкой (не карандашом) на правой странице лабораторного журнала (левая предназначена для выполнения расчетов);

в) отчет о лабораторной работе должен сопровождаться схемой
экспериментальной установки;

г) таблицы вычерчивают карандашом по линейке. Желательный размер клетки 1,5 х 2,5 см. Таблица выполняется в полном объеме для соответствующего количества измерений. В пособии к лабораторной работе  изображается лишь заготовка таблицы (верхняя и нижняя ее часть). Каждую таблицу желательно вычерчивать на новой странице, оставляя место над таблицей (5 см) и под таблицей (10 см). Над таблицей указывают названия приборов, класс точности и цену деления прибора. Место под таблицей необходимо для повторных измерений, если таковые потребуются.

5. Порядок выполнения лабораторной работы:

а) выполнение работы начинают с детального изучения лабораторной
установки. Необходимо записать заводские номера измерительных приборов,
их технические характеристики, цену деления шкалы приборов. Включать
приборы разрешается только после проверки установки преподавателем или
лаборантом;

б) все записи необходимо делать только в лабораторном журнале и
только ручкой;

в) проведению серии измерений предшествуют пробные замеры, с помощью которых проверяют соответствие результатов измерений ожидаемым результатам, после чего приступают к основным экспериментам;

г) данные основной серии измерений записывают в таблицу чернилами, не допуская сплошного зачеркивания, замазывания корректором или стирания результатов. Запись отсчетов производится в делениях шкалы измерительного прибора. В верхней строке таблицы указывают единицы измеряемых величин, включая множитель, на который установлен переключатель
чувствительности измерительного прибора. Если был записан ошибочный
результат, то его следует аккуратно зачеркнуть (так, чтобы его можно было
прочитать) и записать рядом верный;

д)  после выполнения измерений необходимо произвести расчеты искомых величин и их погрешностей, построить необходимые графики. Все черновые записи делаются на левой стороне листа лабораторного журнала;

    е) окончательный результат представляют в стандартном виде с
указанием среднего значения измеряемой величины, абсолютной,
относительной погрешности, вычисленных по методу Стьюдента, и
надежности измерений. Например, результат измерений плотности твердого тела в стандартном виде

= (6,5 ± 0,3) 103 кг/м3 ,  ε = 5%   при α = 0,95,

где  - обозначение плотности твердого тела, 6,5 - среднее значение плотности (среднее значение величины обозначается чертой над символом, либо угловыми скобками), 0,3 - абсолютная погрешность измерения (округляется до первой значащей цифры или до первых двух, если первая значащая - единица), 103 - общий множитель, ε  = 5% - относительная погрешность (ε  = 0,3/6,5-100% ~ 5%), α  = 0,95 – коэффициент надежности измерения.


Правила построения графиков

Результаты измерений и вычислений во многих случаях удобно представлять в графическом виде. Графики строятся на миллиметровой бумаге карандашом. Размер графика - не менее половины страницы лабораторного журнала. На лист наносят координатные оси. Независимая величина (аргумент) откладывается, как правило, по горизонтали. На концах осей указывают обозначения физических величин и их размерности. Затем на оси наносят масштабные деления с удобным для прочтения интервалом. Порядок масштаба (10±п) выносится на конец оси. Точка пересечения осей не обязательно должна соответствовать нулю по одной или обеим осям. Начало отсчета по осям и масштабы следует выбирать так, чтобы: а) линия графика заняла все поле графика (рис. 1); б) наклон линии был близок к 45°. После выбора начала отсчета и масштаба по осям на лист наносятся экспериментальные точки. Их обозначают маленькими кружками, крестиками, треугольниками и т. п., размеры которых могут соответствовать погрешности измерений в масштабе графика. После этого строится собственно график, т. е. проводится плавная кривая так, чтобы она проходила как можно ближе к нанесенным точкам. График сопровождается подписью и вклеивается в лабораторный журнал. На рис.1 в качестве примера показан график зависимости степени поляризации света Р от числа стеклянных пластинок N.

 

Рис. 1

       Если известно из теории, что экспериментальная зависимость должна быть линейная, то по экспериментальным точкам проводится прямая, параметры которой определяются по методу наименьших квадратов (приложение I в конце сборника).

    

Введение в обработку результатов измерений

- Мы, кажется, вступили в область догадок, -

заметил доктор Мортимер.

- Скажите лучше – в область,

где взвешиваются все возможности с тем,

         чтобы выбрать из них наиболее

         правдоподобную.

А.Конан-Дойль «Собака Баскервилей».

        Если подбросить монетку, то она может упасть либо гербом, либо противоположной стороной. Причем выпадение герба или «решки» будет в среднем происходить почти одинаково часто. Говорят, что  и то,  и другое - события случайные. Такие события принято характеризовать положительным числом - вероятностью события. В приведенном примере события происходят с одинаковой вероятностью, равной 0,5.

      Допустим, что кто-то имеет билет лотереи, в которой на каждые 10 билетов приходится один выигрыш. Можно показать, что в этом случае, при достаточно большом числе билетов в лотерее, вероятность выигрыша для каждого билета составляет 0,1, а вероятность того, что он не выиграет – 0,9.

   Теория вероятностей дает возможность подсчитать вероятность различных событий. Возникает вопрос, какой должна быть вероятность события, чтобы его наступление можно было считать возможным в реальных условиях? Ответ на этот вопрос носит в значительной мере субъективный характер и зависит от степени важности ожидаемого события.

   Известно, что около 5% назначенных концертов отменяется; несмотря на это, мы все же, взяв билет, обычно идем на концерт, будучи, в общем, уверены, что он состоится, хотя вероятность этого всего 0,95. Однако, если бы в 5% полетов терпели аварию пассажирские самолеты. Вряд ли мы стали бы пользоваться воздушным транспортом.

   Можно указать события, вероятность которых столь мала. Что они вообще в мире не происходят и, видимо, не произойдут. Так, вероятность того, что обезьяна, ударяя пальцами по клавишам пишущей машинки, напечатает осмысленное литературное произведение, как показали расчеты, составляет примерно 10-2600 . Таким же маловероятным (практически невозможным) является так называемое «чудо Джинса» - замерзание воды в чайнике на горячей плите, которое вовсе не противоречит кинетической теории.

   Английский математик У. Скарборо предложил модель «случайностей» для экспериментального исследования случайных событий.    Лист бумаги нужно разграфить на полосы шириной 1 см, среднюю линию считать «прицельной». Затем взять карандаш двумя пальцами за неотточенный конец и, прицеливаясь в среднюю линию, отпустить карандаш с высоты 1 м. Карандаш, ударившись о бумагу, оставит след – точку. Повторяя падение карандаша 25 -50 раз, получим множество точек, попавших на различные полосы. Построим график разброса точек относительно прицельной линии. Для этого на вертикальной оси отложим число точек, приходящихся на каждую полоску, а по горизонтальной оси – номера полосок (рис.1.а)

          Рис.2. Модель «случайностей». Гистограммы распределения точек по

                      полосам: а – количество падений n = 25

                                      б – количество падений n = 100

   Получившаяся столбчатая диаграмма носит название гистограмма (histos  – столб) распределения ( в нашем случае точек между полосами). На вертикальной оси можно также отложить значения частоты () попадания точек на ту или иную полосу.

где – число точек, попавших на i-ю полосу;

      n - общее число падений карандаша на лист бумаги.

Считается, что при достаточном увеличении числа испытаний (бросаний) величины частот  становятся устойчивыми и перестают зависеть от общего числа испытаний. Предельные значения этих частот при увеличении числа испытаний до бесконечности называются вероятностями - . Обратите внимание на то, что сумма вероятностей по всем полоскам

                                                             

   Если ширину полоски уменьшить, а число  падений увеличить, то гистограмма будет несколько иной (рис.1б). Если продолжить увеличивать число бросков , а ширину полоски уменьшать , то гистограмма перейдет в пределе в непрерывную плавную кривую, изображенную на рис.1 пунктиром. Эта кривая нормального распределения значений случайной величины. – кривая Гаусса. Функция, графически представленная этой кривой, определяет закон распределения значений случайной величины и называется плотностью вероятности.

На практике часто принимают, что случайные погрешности измерения физических величин подчиняются нормальному закону распределения.

   Основные свойства функции Гаусса:

  1.  Немецкий математик К.Ф.Гаусс в 1821 г. получил формулу нормального распределения значений случайной величины:

                                                   ,

Функция  называется плотностью вероятности и равна числу значений, приходящихся на единичный интервал значений случайной величины. Соответственно,  равно числу попаданий значений случайной величины  в интервал от   до  .

  1.  Кривая нормального распределения является симметричной относительно вертикальной оси, проходящей через ее максимум, т.е. одинаковые отклонения значений, но в противоположные стороны встречаются одинаково часто и имеют одинаковую вероятность.
  2.  В  точке   функция  имеет максимум, т.е. среднее арифметическое значение  случайной величины является наиболее вероятным (рис.3).

                                       

                       Рис. 3.  Кривая нормального распределения значений

  случайной  величины .

  1.   Площадь под кривой  должна быть равна 1, так как выражает вероятность достоверного события (т.е. значение случайной величины  обязательно находится на числовой оси).
  2.  Точки a и b являются точками перегиба функции , в которых  и .

Доля всех значений случайной величины, попадающих в интервал , составляет 68,3%. В интервале  находится 95,4% всех значений. А для интервала  эта доля соответствует уже 99,9%.

   Величина  называется средним квадратичным отклонением, а  - дисперсией, характеризующей рассеяние значений случайной величины (dispersio – рассеяние) относительно ее среднего значения. При уменьшении  кривые распределения будут иметь иглообразный максимум, а при увеличении , наоборот, пологий, размытый.

Площади под кривой, ограниченные этими интервалами (их также называют доверительными интервалами), равны вероятности попадания значения случайной величины внутрь интервала. Эта вероятность называется доверительной вероятностью (надежностью) (рис.4).

                                      

          Рис.4. Доверительные интервалы: ,  , ,

                      доверительные вероятности соответственно

                      ,  ,  

        В теории погрешности случайной величиной является результат измерения.

   Абсолютной погрешностью измерения называется величина, определяемая разницей между результатом измерения  и действительным значением измеряемой величины

                                                

Относительной погрешностью называется величина, равная отношению абсолютной погрешности к результату измерения

                                                    

   Теперь вспомним то обстоятельство, что экспериментатор имеет дело с ограниченным числом измерений, часто незначительным. При этом распределение случайных погрешностей тем более отличается от нормального распределения, чем меньше сделано измерений.

Английский химик и математик У.Госсет (1908 г.), публиковавший свои работы под псевдонимом Стьюдент (Student), указал на возможность и при малом числе измерений определять доверительный интервал. Он вывел распределение погрешностей, получаемых при малом числе измерений (малой выборке). Кривые распределения Стьюдента (рис.5) по своей форме напоминают кривую Гаусса, и при  числе измерений  средняя квадратичная погрешность , а распределение Стьюдента сближается с нормальным распределением.

                                                         

                       Рис. 5. Кривые распределения Стьюдента для различного числа

                          измерений

По Стьюденту центр доверительного интервала определяется средним арифметическим значением, полученным из  измерений

                                                            

Абсолютная погрешность измерения равна полуширине доверительного интервала для заданной надежности измерения  и определяется соотношением

                                                              

где  - среднее квадратичное отклонение.

                                                            ,

- коэффициент Стьюдента, учитывающий количество измерений n и требуемую надежность . Значения коэффициентов Стьюдента приводятся в таблицах.

После определения погрешности методом Стьюдента результат прямых измерений записываю в стандартном виде

единица измерения

       при   

Надежность измерений (доверительная вероятность)  для научных и  инженерных измерений принята равной 95%.

Измерения, которые получают по показаниям приборов, называются прямыми измерениями.

В ряде случаев определение искомой величины производится путем расчета по результатам прямых измерений других величин в соответствии с принятой математической моделью изучаемого процесса или явления. Такие измерения называют косвенными.

При расчете погрешностей такого рода измерений используют следующий алгоритм. Пусть, например, измеряемая величина  является функцией величин  и  , которые измеряются прямым методом. Тогда среднее значение найдем по средним значениям  и   в соответствии с выражением

,

А погрешность  найдем по формуле

Где  - погрешности прямых измерений величин .

- частные производные функции .

Определение числа π методом Бюффона

В качестве примера рассмотрим предложенный Бюффоном эксперимент для определения числа π (игла Бюффона).

Возьмите миллиметровую бумагу или лист тетради в клетку. Сторона клетки – квадрата –. На этот лист случайным образом бросайте  иглу, спичку, спицу и т.п. длиной L (L >). Число линий, которые пересечет или коснется игла в каждом бросании, обозначим mi  (рис. 6). Число π вычисляется по формуле

                                                          

                                                                        

                            Рис. 6.  – размер «иглы», а – размер стороны клетки

                                          Порядок проведения измерений

  1.  Выполните десять бросаний, число пересечений mi в каждом случае занесите в таблицу 1.
  2.  По данным таблицы 1  проведите обработку результатов измерений методом Стьюдента.

Таблица 1

Результаты измерения числа π

     ,   

Число

пересечений

Число

1

2

10

среднее

Сумма

  1.  Вычислите среднее арифметическое значение

и среднюю квадратичную погрешность измерений

  1.  Вычислите полуширину доверительного интервала (абсолютную погрешность)

где  - коэффициент Стьюдента, значения которого для заданной надежности α=0,95 и различного числа измерений N  приведены в таблице 3.

Таблица 2

Коэффициенты Стьюдента для α=0,95

N

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

12,7

4,3

3,2

2,8

2,6

2,4

2,4

2,3

2,3

2,1

2,0

  1.  Результаты измерения запишите в стандартном виде

Значение  (абсолютную погрешность) следует округлить до одной значащей цифры. Среднее арифметическое  округлить так, чтобы последний значащий разряд совпадал с последним разрядом .

6. Постройте гистограмму распределения случайной величины π.

Лабораторная работа № 1
СТАТИСТИКА ВРЕМЕНИ РЕАКЦИИ ЧЕЛОВЕКА

(Статистическая обработка результатов измерений)

Цель работы - определение времени реакции человека. Ознакомление со статистической обработкой результатов измерений.

Приборы и принадлежности: измерительная система ИСМ - 1, выносной пульт - кнопка.

Введение

Обработка результатов прямых физических измерений

Физические измерения, проводимые достаточно точными измерительными приборами, дают значения, отличные от истинного значения измеряемой величины. Причем отклонения, как в большую, так и в меньшую сторону равновероятны. Точность измерения в случае небольшой серии испытаний позволяет оценить метод Стьюдента. За погрешность измерений принимается полуширина доверительного интервала по формуле

где  τ (α,n) - коэффициент Стьюдента для   п   измерений при доверительной вероятности α  (таблица   коэффициентов   Стьюдента   приведена   в   приложении в конце настоящего сборника),   < x > -  среднее арифметическое измеряемой величины

       

     где  п - количество измерений.

Относительную погрешность можно рассчитать по формуле

    

Результат измерений необходимо представить в стандартном виде

                 при  α = 0,95.

Краткое описание установки

Для измерения промежутков времени в лаборатории механики используется измерительная система ИСМ - 1, которая имеет достаточно широкий набор выполняемых функций:

- измерение временных интервалов между различными событиями, в том числе с применением фотодатчиков;

измерение времени запаздывания и разности фаз колебаний;

управление исполнительными устройствами;

электропитание    двигателя    или    других    устройств    постоянным    или переменным напряжением.

Органы управления системой размещены на передней панели модуля ИСМ-1 (рис. 1).

Рис. 1

В данной работе потребуются следующие органы управления:

1 -  индикатор, отражающий время события в секундах или миллисекундах, в зависимости от положения переключателя 2;

3 -  индикаторы включения соответствующих датчиков;

4 -  переключатель количества измеряемых циклов;

5 -  переключатель циклического или однократного измерения промежутка времени;  

6 - кнопка ручного включения/выключения измерителя времени;
          7 -  кнопка приведения прибора в состояние готовности (сброс);

8 -  переключатель полярности источника питания прибора (в данной работе должен стоять в верхнем или нижнем положении);

9 -  включатель гироскопа;  

10 -  включатель прибора.

Порядок выполнения  лабораторной работы

1. Подключите выносной пульт-кнопку к разъему №1, расположенному на задней стенке прибора.

2. Поставьте органы управления прибором в соответствующие положения: а) переключатель количества измеряемых циклов 4 - ":1"; б) переключатель циклического или однократного измерения 5- "ОДНОКР";  в) включатель гироскопа 9 - в среднее положение.

3.   Включите питание прибора.

  1.  Подготовьте прибор к измерению промежутков времени: нажмите кнопку 7 "ГОТОВ".
  2.  Один студент берет в руки выносной пульт - кнопку, а другой нажимает кнопку ручного запуска измерителя времени  6.
  3.  Первый студент, услышав звуковой сигнал включения измерителя, нажимает кнопку выносного пульта. На индикаторе высвечивается время реакции первого студента на звуковой сигнал.
  4.  Время реакции занесите в таблицу. Повторите измерение времени реакции человека по пп.4 - 7 пять-семь  раз.   

Таблица

  № п/п

                ti

       ti - < t >

   (  ti - < t >)2

      1

     …

      Σ

                      -

 Среднее

               -

             -

8. Рассчитайте среднее время реакции человека по формуле:

где   n -  количество измерений.

9. Рассчитайте абсолютную погрешность Δ t измерения по формуле:

где   τ(α,п)   -   коэффициент   Стьюдента,   зависящий   от   надежности   α   и количества измерений п (см. приложение в конце сборника).

10. Рассчитайте относительную погрешность измерения   по формуле

11. Запишите результат измерений в стандартном виде

, с          при α = 0,95.


Лабораторная работа   №2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Цель работы -  ознакомиться с методом обработки результатов измерений, определить плотность тела.

Приборы и принадлежности: цилиндр, плотность которого требуется измерить, штангенциркуль, микрометр, аналитические весы (при необходимости).

Введение

Плотность вещества характеризует распределение массы по объему тела. При равномерном распределении массы по объему (однородное тело) плотность

                                                

где т - масса тела, V- его объем.

В данной лабораторной работе определяется плотность материала ρ, из которого изготовлены цилиндры. Объем цилиндра находится по формуле:

                                                 

где  d,- диаметр и высота цилиндра; измеряются с помощью микрометра и

 штангенциркуля.
       Расчеты завершаются определением величины доверительного интервала для плотности при заданной надежности (α = 0,95) по правилам вычисления погрешности косвенных измерений.

Порядок выполнения работы

Задание I.  Измерение диаметра цилиндра

1.Измерьте 5-7 раз диаметр цилиндра d с помощью микрометра. Результаты измерений занесите в табл. 1.

2. Найдите среднее арифметическое значение диаметра по формуле

где  п - число измерений, i - номер измерения.

Таблица 1

  Микрометр № ... Цена деления микрометра ω = 0.01 мм, погрешность прибора

δ = 0,01 мм .

  № п/п

             

         

 

     …

      Σ

                      -

 среднее

               -

             -

        3. Проделайте вычисления отклонения результатов отдельных измерений
от среднего арифметического
 и квадрата отклонения
. Занесите результаты в табл. 1.

4.  Найдите полуширину доверительного интервала  Δd по формуле

где τ(α,n) - коэффициент Стьюдента для заданной доверительной вероятности (чаще всего выбирают а = 0,95; таблица коэффициентов Стьюдента приведена в приложении II), п - количество измерений,   δ - погрешность прибора,   
ω
- цена деления шкалы прибора.

5. Рассчитайте   относительную   погрешность     εd  измерения   диаметра цилиндра по формуле :

εd = (Δd/<d>) 100%. 

6. Результат измерения запишите в стандартном виде:

 мм,   εd= ...   при α =0,95. 

Задание II. Измерение высоты цилиндра

Высоту цилиндра измерьте 5-7 раз с помощью штангенциркуля, данные занесите в табл. 2.

Проведите расчеты погрешности измерения высоты так же, как это было сделано в задании I. Результат представьте в стандартном виде:

                              мм, εh = ...   при  α = 0,95.

 Таблица 2

Штангенциркуль № ... Цена деления штангенциркуля  ω = 0.1мм, погрешность прибора  δ = 0,1 мм.

  № п/п

             hi

          hi - < h >

   (  hi - < h >)2

     …

      Σ

                      -

 среднее

               -

             -

Задание III.  Измерение массы цилиндра

     Измерьте массу цилиндра на аналитических весах с ценой деления

1 мг. В этом случае значение массы можно определить с высокой точностью, а погрешность прибора и погрешность округления массы достаточно малы, и поэтому погрешностью в определении массы цилиндра можно пренебречь.

Задание IY. Вычисление плотности цилиндра  и оценка

погрешности косвенных измерений

     1. Вычислите среднее значение плотности цилиндра по формуле

где < т >, <d>,<h>- средние значения массы, диаметра и высоты

цилиндра.

 

Число  = 3,14159... округлите так, чтобы его относительная погрешность была на порядок (в 10 раз) меньше наибольшей из относительных погрешностей   εd, εh, εm. Например, если наибольшая из этих погрешностей больше 13 %, то число следует округлить до двух значащих цифр, т.е. π ≈  3,1. В этом случае относительная погрешность

 

Если же наибольшая относительная погрешность εd, εh, εm больше 0,5%, но меньше 13%, то число следует округлить до трех значащих цифр: π = 3,14.

При правильном выборе степени округления любой константы (например, числа π) погрешность округления не внесет существенного вклада в величину доверительного интервала измеряемой величины.

     2. Рассчитайте относительную погрешность в определении плотности цилиндра по формуле

                                                                                             

      

3. Рассчитайте     абсолютную     погрешность     определения    плотности
цилиндра

                                                                                                                                 

  1.  Результат измерений запишите в стандартном виде

                         кг/м3, = ... % при  α = 0,95.                

 

Лабораторная работа № 3
    ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ  С  ПОМОЩЬЮ   "МАШИНЫ АТВУДА"

Цель работы - изучение динамики поступательного движения связанной системы тел с учетом сил трения.

Приборы и принадлежности: "машина Атвуда" смонтированная на лабораторном модуле ЛКМ-3, набор грузов и перегрузов, нить с крючками длиной 60 см (зеленая), измерительная система ИСМ-1 (секундомер).

Введение

          Рассмотрим движение механической системы, состоящей из вращающегося легкого блока, через который перекинута нить с привязанными грузами массами  т1 и  т2 (т1 < т2).

          Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для движения грузов

                                          (1)

       Если нить нерастяжимая, то ускорения грузов . Спроецируем   векторные уравнения (1) на направление ускорения движения каждого груза

                  m1 a = T1 - m1g

m2 a = m2 g -T 2 .                                      (2)

Из уравнений (2) получим

 

   (3)

Разность сил натяжения (T2Т1) зависит от меры инертности блока (момента инерции) и трения в подшипниках блока.

В предельном случае отсутствия сил трения и нулевой массы блока и нити Т2 = Т1 , поэтому                                                                                      (4)

Отсюда ускорение свободного падения

               (5)

Учтем влияние сил трения в подшипниках оси блока (пренебрегая массой блока). Введем в уравнение (3) вместо разности Т2 Т1 "эффективную" силу сопротивления F.

                               (6)     

При сухом трении в подшипниках и незначительном изменении массы

грузов    m1 и m2   в первом приближении можно считать, что отношение

   не зависит от масс грузов, а зависимость ускорения   а, от величины

k = (т2m1)/ (m1+ m2).

Кинематическая связь ускорения  а грузов с угловым ускорением β блока  при отсутствии проскальзывания нити:

                                                           а = β R                                                           (7) 

где R - радиус блока.

При равноускоренном движении угол поворота блока при начальной угловой скорости   ωо = 0   равен

(8)

                

              Из формул (7) и (8) следует:                           (9)

Описание установки

Машина Атвуда представляет собой блок, закрепленный на стойке 1, через который перекинута нить. К концам нити подвешены грузы m1 и т2 (рис.2). Вращение блока регистрируется фотодатчиком, который фиксирует поворот блока на один и более оборотов. В блоке прорезаны канавки, диаметры которых равны 50 и 30 мм.

Задание I. Измерение ускорения свободного падения

1. Подключите датчик угла поворота блока к разъему № 2 на задней стенке модуля ИСМ - 1. Переключатель 10 переведите в положение К2. Переключатель 4 - в положение ":1", переключатель 5 - в положение "однокр", переключатель 8 - в положение "+" или "-", переключатель 9 - в среднее положение. Включите переключателем "сеть" питание модуля.

Рис. 2

Перекиньте нить через большой блок, радиус которого R = 25 мм, и закрепите на концах нити грузы примерно одинаковой массы m1 и т2 
(
m1 т2 ≈100 г, точное значение массы грузов выгравировано на каждом грузе), убедитесь, что грузы в свободном состоянии находятся в равновесии. Массу т2 увеличьте на 10 г с помощью перегрузка. Значение массы грузов m1 и т2  с точностью до десятых долей грамма занесите в таблицу. Переведите груз m1 в нижнее положение и остановите качание второго груза. Вращая блок, добейтесь срабатывания датчика угла поворота, о чем свидетельствует загорание индикатора 3, при этом прорезь на блоке будет находиться вблизи нулевой отметки шкалы блока. Нажмите кнопку 7 "готов" и отпустите груз m1. Система грузов придет в движение и таймер модуля ИСМ-1 зафиксирует время одного оборота блока в секундах или в миллисекундах в зависимости от положения переключателя 2. Результат измерения занесите в таблицу.

 Таблица

t

t2

m1

m2

a

g

k

1

среднее

среднее

среднее

3. Рассчитайте ускорение грузов по формуле (9).

4.  Рассчитайте ускорение свободного падения  g по формуле (5).

5. Повторите измерения и расчеты по пп.2-4 не менее 5 раз и рассчитайте среднее ускорение грузов а и среднее ускорение свободного падения g.

6.Замените перегрузок 10 г на другой, массой 20 г. Повторите измерения по пунктам 2-5.

  1.  Проведите те же опыты по пп. 2 - 6 с перегрузками в 10 и 20 г, изменив массу наборных грузов вдвое  (m1 т2 ≈ 200 г).
  2.  Найдите среднее значение ускорения свободного падения g по всем измерениям.
  3.  Оцените абсолютную и относительную погрешность нахождения ускорения свободного падения g по методу Стьюдента. Результат запишите в стандартном виде.

            g = (< g > ± Δg) (м/с2),     ε = ... %   при  а = 0,95.

Задание II. Определение ускорения свободного падения g      

с учетом трения в подшипниках оси блока

Разность масс грузов в нашем эксперименте составляет всего 2 - 10 % от их суммарной массы (при большей разности масс движение грузов становится слишком быстрым, что приводит к выходу из строя установки). При этом на результаты эксперимента заметно влияет трение в подшипниках оси блока. Введя в уравнение движения грузов некоторую "эффективную" силу сопротивления F, получим уравнение движения грузов с учетом силы трения в подшипниках оси блока

                a(m1 +  m2) = (m2  –  m1) g - F , (10)

откуда

         (11)

Отношение    в случае сухого трения в первом приближении

постоянно.  Рассчитайте  коэффициенты       для  каждого  значения  массы  и  заполните таблицу.

Построив график зависимости ускорения  а от величины   k  и, убедившись в том, что эта зависимость линейная, найдите g как угловой коэффициент графика. Ускорение свободного падения можно найти также как

g = Δa / Δk , (12)

где  Δa - разность между ускорениями системы при разных массах, а разность    Δk = k2 - k1  вычисляется для соответствующих значений масс.

Сравните результаты,  полученные в первом и втором заданиях.

Отношение         можно   найти   как   экстраполированное   значение произведения kg, при котором,  а = 0.

Контрольные вопросы

  1.  Дайте определение кинематическим характеристикам материальной точки, движущейся прямолинейно: траектории, перемещению, пути, скорости, ускорению.
  2.  Дайте определение кинематическим характеристикам материальной точки, движущейся по окружности: углу поворота, угловой скорости, угловому ускорению. Какова связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками?
  3.  Что изучает динамика поступательного движения? Как вводится понятие силы, действующей на частицу, и массы частицы в динамике? Записать уравнение движения материальной частицы.
  4.  Как изменяется закон сухого трения в зависимости от внешнего воздействия на тело, находящегося на поверхности другого тела? От каких факторов зависит коэффициент трения? Другие виды трения. Анализ движения тела по наклонной плоскости при разных углах наклона.
  5.  Выведите основную рабочую формулу (5).

Задания для отчета лабораторной работы

  1.  Ускорение свободного падения у поверхности Луны в 6 раз меньше ускорения свободного падения у поверхности Земли. Во сколько раз выше может прыгнуть человек на Луне, чем на Земле.
  2.  Радиус Луны Rл примерно в 3.7 раза меньше радиуса Земли Rз , а масса Луны mл в 81 раз меньше массы Земли mз . Найти ускорение свободного падения gл у поверхности Луны.
  3.  На какой высоте над полюсом Земли ускорение свободного падения на убывает в 2 раза ?
  4.  Радиус Солнца Rс примерно в 110 раз больше радиуса Земли Rз, а средняя плотность Солнца относится к средней плотности Земли как 1:4. Найти ускорение свободного падения у поверхности Солнца.
  5.  Радиус R малой планеты равен 250 км, средняя плотность 3 г/см3.  Определить ускорение свободного падения g на поверхности планеты.
  6.  Через неподвижный блок перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массами  m1 = 2 кг и  m2 = 3 кг (рис.1). Найти ускорение грузов. Массой блока пренебречь, нить считать невесомой и нерастяжимой.
  7.  Через блок перекинута нить, на концах которой висят два груза с одинаковыми массами  М. Одновременно, на каждый из грузов кладут по перегрузку: справа - массой  3m, слева – m (рис 3.). Определить ускорение системы.               
  8.  Через неподвижный блок перекинута нить, к которой подвешены три одинаковых груза массой  m = 5 кг каждый (рис.4). Найти ускорение системы и силу натяжения нити между грузами 1 и 2.

                                                                 

Рис. 3     Рис. 4

  1.  На углу гладкого стола  укреплен неподвижный блок (рис.5), через него перекинута нить, к концам которой привязаны грузы. Масса груза, лежащего на столе  m1 = 5 кг, масса груза  m2 = 2 кг. С каким ускорением движутся грузы?
  2.  Два груза массами m1 и m2 соединены легкой нерастяжимой нитью (рис.5). Коэффициент трения между грузом и столом μ. Определить условие, при котором грузы будут двигаться.
  3.  На наклонной плоскости с углом α  лежит брусок массой m1. Груз массой m2 присоединен к бруску при помощи нити, перекинутой через блок (рис.6). Определить ускорение тел и силу натяжения нити.

Рис. 5          Рис. 6

  1.  Три груза m, m и 4m, где m = 5 кг, соединены невесомыми нерастяжимыми нитями (рис. 7). Коэффициент трения между грузами и горизонтальной поверхностью µ = 0,3. Определить силы натяжения нитей.
  2.    Два груза  массами m1 = 100 г и  m2 = 50 г соединены нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок (рис. 8). Грузы прижимаются друг к другу с постоянными силами  F = 1 Н. Коэффициент трения между ними µ = 0,1. Найти ускорение, с которым движутся грузы.

Рис. 7        Рис. 8  

  1.  Колесо радиусом R = 10 см вращается с угловым ускорением 3,14 рад/с.  Найти для точек обода к концу первой секунды  угловую скорость.
  2.  Вал вращается с частотой 180 об/мин. С некоторого момента вал начал вращаться равнозамедленно с угловым ускорением 3 рад/с2. Через какое время вал остановится?
  3.  Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.
  4.  Вал вращается с частотой 180 об/мин. С некоторого момента вал начал вращаться равнозамедленно с угловым ускорением 3 рад/с2. Через какое время вал остановится?
  5.   Точка движется по окружности радиуса R = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением 5 см/с2. Через какое время  t  после начала движения  нормальное ускорение  будет равно тангенциальному?
  6.   Колесо радиусом R = 10 см вращается так, что  зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением ,, где a, b, c – константы, b = 2 рад/с2, c = 1 рад/с3. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через время t = 2 с после начала движения: а) угловую и линейную скорости,
    б) угловое ускорение.  

  1.  На наклонной плоскости с углом при основании α находится доска массой M и на ней брусок массой m (M > m) (рис. 9). Коэффициент трения между доской и плоскостью μ, между доской и бруском 2µ. Определить ускорение этих тел. При  каком отношении масс тела будут находиться в равновесии?                                                           
  2.   В системе, изображенной на рис. 10 массы брусков M = 2 кг,
    m = 1 кг. Какую силу нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он двигался с постоянным ускорением g./2? Коэффициент трения между брусками µ1 = 0,5; между столом и нижним бруском µ2 = 0,2.

                                                   

                                                      

                                             

                                                      ???????????????????????????????????????????????????

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????                                       

                                                    α                                                                                                                                                                  ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

??????????????????????????????M?????????????????????????????????Рис. 9                                                            Рис. 10             
Лабораторная работа  № 4  
МАЯТНИК ОБЕРБЕКА

Цель работы- изучение основного закона динамики вращательного движения, определение момента инерции системы грузов.

Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ-3 со стойкой и блоком, стержень с отверстиями, два круглых груза, груз наборный, нить длиной 55 см с крючком (синяя), измерительная система ИСМ-1 (секундомер), пластиковый фиксатор.

Краткая теория

Основной    закон    динамики    вращательного    движения    твердого    тела относительно неподвижной оси

                                                                       (1)

связывает кинематическую характеристику движения - угловое  ускорение   с динамическими характеристиками - моментом силы      и  моментом   инерции  I (рис. 1).

            Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости во времени и направлено, как и момент силы, вдоль оси вращения.

Рис. 1                                                               (2)

Угловое  ускорение  связано   с  касательной   составляющей  линейного ускорения  а точки вращающегося тела соотношением

aτ = β r , (3)

где r - кратчайшее расстояние от этой точки до оси вращения.

Моментом силы в общем случае называют векторную величину

  , (4)

где     -   сила,     лежащая  в плоскости,  перпендикулярной   оси вращения;  - вектор, соединяющий точку на оси c точкой приложения силы.

В уравнении (1)      - сумма составляющих моментов сил вдоль направления оси вращения.

        Момент инерции I характеризует распределение массы в твердом теле относительно оси вращения и является мерой инертности вращающегося тела. Момент инерции равен сумме произведений элементарных масс  Δmi , на которые мысленно разбито тело, на квадрат их расстояний до оси вращения

I = Σ Δmi ri  (5)

Выражая Δmi через плотность тела: Δmi =ρ ΔVi , где ΔVi - элементарный объем тела, и переходя к пределу при ΔVi → 0, получим

 (6)

Формула (6) позволяет теоретически найти момент инерции любого тела. Например, момент инерции тонкого однородного стержня длиной l и массой т относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его центр

I = т l 2 / 12 .

       Теорема Штейнера устанавливает связь между моментом инерции Iс твердого     тела  относительно   оси,   проходящей   через  центр   инерции,   и моментом инерции относительно другой оси, параллельной первой

I = IС + та , (7)

где а - расстояние между осями, т - масса тела.

В настоящей работе экспериментально находится момент инерции маятника Обербека (рис. 2). Он состоит из блока радиусом R, который может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. К блоку прикреплены симметрично относительно оси стержни, на каждом из которых могут свободно перемещаться грузы массами m1, что дает возможность изменять момент инерции маятника. Грузы m1 устанавливаются на одинаковом расстоянии от оси, так что центр инерции всей вращающейся части маятника находится на оси вращения.

На блок намотана нить, к концу которой прикреплен груз массой т. Из закона динамики вращательного движения (1) следует:

Рис. 2

                                            (8)

Момент силы М, создающийся силой натяжения нити, исходя из (4) равен

 , (9)


где  α - угол между вектором   и отрезком R на рис. 2, равный 90°; sin α  = 1.

Запишем второй закон Ньютона для поступательного движения груза m в проекции на направление ускорения   а.

                                     (10)

В этой формуле сила натяжения нити T, действующая на груз, по модулю равна силе натяжения нити, действующей на блок в формуле (9) (поэтому они обозначены одинаково). Это справедливо, если массой нити можно пренебречь по сравнению с массой груза т.

Из (9) и (10) получим

. (11)

 Тангенциальное (касательное) ускорение точек участков нити, намотанной на блок, и точек на ободе блока равны, если нет проскальзывания нити по блоку, и равны ускорению груза m, если нить нерастяжима.

 Тогда из (3) следует

 (12)

 (13)

 Подставляя (11)и(12)в (8), получим

Из этой формулы следует, что ускорение (а) не зависит от времени, так как все  остальные  величины  в  этом  уравнении  постоянны,  значит,  движение маятника будет равноускоренным и при нулевой начальной скорости

 

                                                                       (14)

где  h - путь, пройденный грузом т за время t.

В данной работе измеряется время одного полного оборота блока, и за это время груз массой m пройдет путь

                                                                                                              

Подставив (14) и (15) в (13), получим формулу для вычисления момента инерции маятника

                                                                                                                                                                         (16)

 

Момент инерции маятника Обербека будет изменяться при изменении расстояния r от оси вращения маятника до центров грузов массами m1, перемещаемых вдоль стержней.

Согласно теореме Штейнера (7)

,  (17)

где IС - момент инерции всей вращающейся части маятника при условии, что центры грузов  m1 находились бы на оси вращения.

         Из (17) следует, что зависимостьот  - линейная. В рассмотренной теории движения маятника Обербека не учитывались силы трения в подшипниках оси  блока и сопротивление воздуха. Пренебрежение действием этих сил является главной причиной систематической погрешности измерения момента инерции.

Описание установки

Маятник Обербека монтируется на блоке 11, закрепленном на стойке 10

                  Рис. 3

модуля ЛКМ-3 (рис. 3). К блоку радиусом 25 мм прикрепляют нить, к концу

которой подвешивают наборный груз массой  т = 100 ÷ 200 г. На ось блока

через среднее отверстие надевают стержень 12 и закрепляют его пластиковым фиксатором 13. Вращая стержень, накручивают на блок нить и поднимают груз так, чтобы он не касался стержня. При опускании груза нить приведет во вращательное движение стержень. После полного раскручивания нити стержень, продолжая вращательное движение, накрутит нить на блок и поднимет груз. При этом вращательное движение прекратится - система перейдет в начальное состояние. Время опускания и подъема груза (период колебаний маятника Обербека) зависит от многих параметров установки: длины нити, массы груза т, момента инерции стержня и блока, радиуса блока (от сил трения, толщины и массы нити, которыми мы в данной работе пренебрегаем).

Порядок выполнения работы

Задание I. Определение момента инерции стержня и блока

Подготовьте измерительную систему ИСМ-1 к работе: подключите датчик угла поворота блока к разъему 1 на задней стенке прибора, переключатель 1 поставьте в положение "К1", переключатель 4 - в положение ":1", переключатель 5 - в положение "однокр", переключатель 8 - в положение "+" или "-" , переключатель 9 - в среднее положение. Включите питание модуля.

  1.  Закрепите конец нити на блоке так, чтобы нить не мешала креплению стержня и могла накручиваться на большой блок (R = 25 мм). Укрепите стержень на оси блока, пропустив ось блока через середину стержня, и зафиксируйте его пластиковым фиксатором.
  2.  Накрутите нить на блок и прикрепите наборный груз т к свободному концу нити.
  3.  Поверните блок 11 со стержнем 12 так, чтобы прорезь блока совпала с нулевым делением шкалы и добейтесь срабатывания индикатора датчика угла поворота 3. Нажмите кнопку 7 "готов" и осторожно без толчка отпустите маятник, который под действием груза придет в движение. После одного полного оборота сработает датчик угла поворота блока и на индикаторе    появится    значение    времени    поворота    в    секундах    или миллисекундах в зависимости от положения переключателя 2. Время и массу груза занесите в табл. 1.

  Таблица 1

№ п/п

       т

        T

        I

  I - < I >

(I - < I >)2

     

     

  среднее

          ―

          ―

           ―

          ―

   сумма

          ―

          ―

           ―

           ―

5. Рассчитайте по формуле (16) суммарный момент инерции  I  стержня и
блока.

6. Рассчитайте абсолютную и относительную погрешности измерения
момента инерции  
I  системы по методу Стьюдента для прямых измерений.
Результат запишите в стандартном виде:

кг-м2;   ε =...%  при α = 0,95.

Задание II. Измерение момента инерции маятника Обербека в     зависимости от положения грузов на стержне

  1.  Закрепите на стержне 12 симметрично относительно оси вращения два круглых груза 14 (см. рис. 3). Занесите в табл. 2 расстояние от оси вращения до центра грузов r, и массу наборного груза  т.
  2.  Измерьте момент инерции системы так, как это описано в задании I . Данные занесите в табл. 2.

Таблица 2

  № п/п

       т

        T

       r

       r2

       I

Перемещая грузы 14 по стержню 12, повторите измерения момента инерции I для всех положений грузов (расстояние между отверстиями на стержне  d = 20 мм).

Постройте график зависимости момента инерции I от квадрата расстояния от оси вращения до центра грузов  r2.

Контрольные вопросы

 

  1.  Дайте определение динамическим характеристикам вращательного движения: моменту силы – М, моменту инерции – I , момент импульса – L.
  2.  Вывод основного уравнения динамики вращательного движения.
  3.  Вывод основной рабочей формулы (16).
  4.  Выражения для момента инерции материальной частицы, стержня, диска относительно оси, проходящей через центр масс. Как определяется момент инерции относительно произвольной оси?  Теорема Штейнера.
  5.  Провести аналитический расчет момента инерции маятника Обербека (масса грузов и стержня нанесены на телах, геометрические размеры тел измерить ученической линейкой).
  6.  Как рассчитать период колебаний маятника Обербека?

Задания для отчета по лабораторной работе    

  1.  Два маленьких шарика  массой m = 10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной l = 20 см. Определить момент инерции  системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.
  2.  Два шара массами m  и 2m (m = 10 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной l  = 40 см так, как это указано на рис. 4. Определить момент инерции   системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Размерами шаров пренебречь.

  1.  Два шара массами 2m и m (m = 20 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной l = 1 м так, как это показано на рис.5 Определить момент инерции  системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Размерами шаров пренебречь.

   Рис. 4       Рис. 5

  1.  Определить момент инерции трехатомной молекулы H2O  (рис. 6) относительно оси  y, проходящей через центр масс молекулы. межъядерное расстояние AB обозначено   d = 0,097 нм, α = 104030'                            
  2.  Определить момент инерции трехатомной молекулы SO2 (рис. 6) относительно оси  x,  проходящей через центр масс молекулы (d = 0,.145, α = 1240).

      Рис. 6

  1.  Определить момент инерции  тонкого однородного стержня длиной  l = 30 см и массой m = 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины.
  2.  На концах тонкого однородного стержня длиной l и массой 3 m  прикреплены маленькие шарики массами
    m и 2 m. Определить момент инерции  такой системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку О, лежащую на оси стержня    (рис. 7)
  3.  Определить момент инерции  тонкого однородного          стержня длиной  l  = 60 см и массой  m = 100 г относительно оси, перпендикулярной ему и проходящей через точку стержня, удаленную на a = 20 см от одного из его концов.
  4.  Вычислить момент инерции J проволочного прямоугольника со сторонами
    a = 12 см и b = 16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с линейной плотностью 0.1 кг/м.
  5.  Определить момент инерции  проволочного равностороннего треугольника со стороной a = 10 см относительно:  оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через его вершину и середину противоположной стороны.
  6.  Определить момент инерции  кольца массой m = 50 г и радиусом R = 10 см относительно оси, касательной кольцу.
  7.  Диаметр диска  d = 20 см, масса m =800 г. Определить момент инерции   диска относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.
  8.  Найти момент инерции  плоской однородной прямоугольной пластины массой m =800 г относительно оси, совпадающей с одной из ее сторон, если длина a  другой стороны равна 40 см.
  9.  Определить момент инерции  тонкой плоской пластины со сторонами a = 10 см и b =20 см относительно оси, проходящей через центр масс пластины параллельно большей стороне. Масса пластины равномерно распределена по ее площади с поверхностной плотностью 1,2 кг/м2.
  10.  В однородном диске массой m =1 кг и радиусом R =30 см вырезано круглое отверстие диаметром
    d =20 см, центр которого находится на расстоянии
    l = 15 см от оси диска (рис.8). Найти момент инерции  полученного тела относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска  через его центр.
  11.  На однородный сплошной цилиндр массы M и радиуса R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m (рис.9). В момент t = 0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени модуля угловой скорости цилиндра.

   Рис. 8        Рис. 9

  1.  Через неподвижный блок массой m = 0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m1 = 0,3 кг и m2 = 0,5 кг. Определить силы T1  и T2 натяжения нити по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.
  2.  Через блок,  имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузы массой m1 = 100 г и m2 = 110 г. С каким ускорением будут двигаться грузы,  если масса блока m = 400 г. Трение при вращении блока ничтожно  мало.
  3.  Два тела массами m1 = 0,25 г и  m2 = 0,15 г связаны тонкой нитью, переброшенной через  блок (рис.10). Блок укреплен на краю горизонтального стола, по поверхности которого скользит тело массой m1.С каким ускорением движутся тела, и каковы силы T1 и T2 натяжения нити по обе стороны блока?  Коэффициент трения µ тела о поверхность стола равен 0,2. Масса m блока равна 0,1 г, и ее можно считать равномерно распределенной по ободу. Массой нити и трением в подшипниках оси блока пренебречь.
  4.   Однородный сплошной цилиндр массы m = 1 кг висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях (рис.11). Цилиндр отпускают без  толчка.                                                                                                                                      
    а) За сколько времени
    t  цилиндр опустится на расстояние y =50 см? б) какое натяжение F испытывает при опускании цилиндра каждая из нитей?

Лабораторная работа № 5
ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Цель работы- изучение физического маятника, определение ускорения свободного падения.

Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ-3 со стойкой и блоком, стержень с отверстиями, измерительная система ИСМ-1 (секундомер), пластиковый фиксатор.

Краткая теория

Физический маятник - твердое тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести относительно неподвижной оси  O (рис. 1). Запишем основное уравнение динамики вращательного движения: .

                       I β = М ,                            (1)

где I - момент инерции маятника,   

 - угловое ускорение,  φ - угол отклонения маятника от положения равновесия, М - сумма проекций моментов сил на направление оси вращения.

          Если момент сил трения много меньше момента силы тяжести, то

        М = - т g a sin φ ,                             (2)

где  т - масса маятника, g - ускорение свободного

           Рис. 1                       падения,  а - расстояние от  оси  вращения до  цен     тра       тяжести.

Уравнение движения (1) с учетом (2) примет вид:

Обозначим  ωо2 = (mga)/I , тогда получим уравнение:

 .                                   (3)

Уравнение (3) является линейным дифференциальным уравнением относительно функции φ(t).

Если амплитуда колебаний физического маятника не мала, дифференциальное уравнение (3) не будет линейным. Для больших углов отклонений маятника период Т начинает зависеть от амплитуды колебаний φm . Эту зависимость можно представить суммой бесконечного  ряда, первые слагаемые которого равны

 

  .        (4)

При малых колебаниях угол φ мал, поэтому  sin φ φ и уравнение (3) становится дифференциальным уравнением гармонических колебаний:

 .                                     (5)

Решение этого уравнения:

φ = φm cos ( ωо t + α ) ,                                    (6)

где    α - начальная фаза колебаний,    ωо = 2π/Т - циклическая частота колебаний.

Запишем формулу периода малых колебаний

                            (7)

Получим зависимость периода малых колебаний от расстояния а. Момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен

I = Ic +  ma,                           (8)

где Iс - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс. Подставляя (8) в (7), получим

                      (9)

Согласно   этой   формуле   период   колебаний   Т  одинаков   при   двух  различных значениях  а (рис. 2):  Т1 = Т2   при   , откуда

Ic = m a1 a2   .                                       (10)

Подставим (10) в формулу (9). Получим

                         (11)

Величина                                                                                   (12)

называется приведенной длиной физического маятника.

Сравнивая формулы (11) и (7) получим

 

                                                              (13)

Формула для периода малых колебаний маятника будет иметь вид

 (14)

В данной работе с помощью физического маятника находится ускорение

свободного падения g, которое исходя из уравнения (14), равно

                                               (15)

Приведенная длина  находится из формулы (12), в которой а1 и  а2 определяются из графика зависимости Т от а, построенного на основе результатов эксперимента.

Для уменьшения погрешности измерения в эксперименте измеряют период колебаний маятника относительно осей, находящихся по обе стороны от центра тяжести. На рис. 2 представлена теоретическая зависимость периода колебаний от параметра a, которая зеркально симметрична относительно оси Т. На рисунке приведенная длина маятника   Lnp = a1 +  a2     равна расстоянию между точками  А ̀В или В̀ А.

         Рис. 2

Описание установки

Физический маятник представляет собой твердое тело, в нашем случае -стержень 12, с отверстиями, который монтируется на блоке 11, закрепленном на стойке 10 модуля ЛКМ-3 так, чтобы ось блока не проходила через центр масс (рис. 3). В этом случае стержень может совершать колебания в поле силы тяжести. На оси стержень закрепляют пластиковым фиксатором 13.

                      Рис. 3

Задание I. Измерение ускорения свободного падения

  1.  Подготовьте измерительную систему ИСМ-1 к работе: подключите датчик угла поворота блока к разъему 1 на задней стенке прибора, переключатель 1 поставьте в положение "К1", переключатель 4 - в положение "2", переключатель 5 - в положение "цикл", переключатель 8 - в положение "+" или "-" , переключатель 9 - в среднее положение. Включите питание модуля.

         2. Закрепите стержень на оси блока за крайнее отверстие  так, чтобы прорезь в блоке находилась вблизи нулевого деления шкалы. Примите это положение маятника за начальное х = 0. Приведите маятник в колебательное движение с амплитудой 5 ÷ 10°. Считайте с измерителя периода колебаний время одного полного периода Т. Данные занесите в табл. 1.

3. Переместите маятник на одно отверстие (Δ x = 20 мм) и проведите аналогичные измерения периода колебаний для всех отверстий стержня.

4. Постройте график зависимости периода колебаний физического
маятника
Т от координаты точки подвеса х.

          Таблица 1

    x (см)

       0

                            …

      32

     T (c)

5. На графике найдите расстояние между точками маятника x1 и x2
соответствующими одинаковому периоду колебаний (х2 - x1 = Lnp) в трех -
пяти местах графика. Заполните табл. 2.

Таблица 2

      I

  x1

  x2

Тi (c)

 Lnpi (м)

  gi (м/с)

 gi - < g>

(gi - < g>)2

    

Среднее

  

 

  

   

     

      

Сумма

  

 

  

   

     

6. Рассчитайте ускорение свободного падения по формуле (15).

7. Рассчитайте абсолютную и относительную погрешность измерений g.
Запишите результат в стандартном виде

            g = (< g > ± Δg) (м/с2) ,     ε = ... %   при  α = 0,95.

ЗаданиеII. Исследование ангармонических колебаний

1. Закрепите стержень на оси за второе отверстие (х = 2 см). Поставьте переключатель 5 в положение "однокр". Нажмите кнопку 7 "готов". Отведите маятник на угол 10 и плавно отпустите его. Считайте показания измерителя периода колебаний Т. Данные занесите в табл. 3.

Таблица 3

  φm

   10º

  20º

                               

  90º

 Т (c)

  1.  Повторите измерения периода колебаний, изменяя амплитуду колебаний φm в пределах от 10° до 90° с шагом в 10° ÷ 20°.
  2.  Постройте график зависимости периода колебаний Т от амплитуды колебаний φm.

Контрольные вопросы

  1.  Получить уравнение гармонических колебаний для случая колебаний груза на пружинке. Дать определение параметрам колебательного движения: смещению из положения равновесия, скорости и ускорению материальной частицы. По какому закону и с какой частотой изменяются кинетическая, потенциальная и полная энергия частицы?
  2.  Получите уравнение колебаний математического и физического маятников. Запишите выражения для периода, частоты колебаний и приведенной длины физического маятника.
  3.  В чем состоит особенность оборотного физического маятника.  Можно ли использовать произвольный физический маятник для определения ускорения свободного падения?

Задачи для отчета по лабораторной работе

  1.  Один из маятников за некоторое время совершил n1 = 10 колебаний. Другой маятник за то же время совершил n2 = 6 колебаний. Разность длин маятников  = 16 см. Найти длины маятников l1 и l2.
  2.  Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Земли в 3,7 раз больше радиуса Луны. Как изменится период колебаний маятника при перенесении его с Земли на Луну?
  3.  Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1,5.
  4.  Математический маятник длиной l = 1 м установлен в лифте. Лифт поднимается с ускорением a  = 2,5 м/с2. Определить период T колебаний маятника.
  5.  В неподвижной кабине лифта качается маятник. Вследствие обрыва троса кабина начинает падать с ускорением g. Как ведет себя маятник относительно кабины лифта, если в момент обрыва он: а) находился в одном из крайних положение, б) проходил через положение равновесия?
  6.  Однородный стержень длиной l = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти период T колебаний стержня.
  7.  Найти период колебаний T стержня предыдущей задачи, если ось вращения проходит через точку, находящуюся на расстоянии d = 10 см от его верхнего конца.
  8.  Обруч диаметром D = 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период T  колебаний обруча.
  9.  Однородный шарик подвешен на нити, длина которой l равна радиусу шарика R. Во сколько раз период малых колебаний T1 этого маятника больше периода малых колебаний T2 математического маятника с таким же расстоянием от центра масс до точки подвеса?
  10.  Тонкая прямоугольная пластинка может колебаться вокруг горизонтальной оси, которая лежит в плоскости пластины перпендикулярно одной из ее сторон. Длина стороны равна l. a) Каков период колебаний, если ось совпадает с верхней стороной пластинки? б) При каком расстоянии оси от середины пластинки период колебаний будет наименьшим? Каков этот период?
  11.  Однородный круглый диск радиусом R подвешен за край. Чему равна частота его малых колебаний относительно точки подвеса?
  12.  Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 35 см. Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной?
  13.  Однородный стержень длины l совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси ОО, перпендикулярной стержню и проходящей через одну из его точек. Найти расстояние между центром стержня и осью ОО, при котором период колебаний будет наименьшим?
  14.  Шар радиусом 5 см подвешен на нити длиной 10 см. Определите погрешность, которую мы делаем, приняв его за математический маятник длиной 15 см?
  15.  Некоторое тело совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси с периодом T1 = 0,5 с. Если же к нему прикрепить груз массой m = 50 г на расстоянии l = 10 см ниже точки подвеса, то оно колеблется с периодом T = 0,6 с. Найдите момент инерции тела относительно этой оси.
  16.  Тонкий обруч, подвешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус обруча R равен
    30 см. Вычислить приведенную длину этого физического маятника.
  17.  Диск радиусом R = 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину такого маятника.
  18.  На концах тонкого стержня длиной l = 30 см укреплены одинаковые грузы по одному на каждом конце. Стержень с грузами колеблется около горизонтальной оси, проходящей через точку, удаленную на d = 10 см от одного из концов стержня. Определить приведенную длину такого физического маятника. Массой стержня пренебречь.
  19.  На стержне длиной l = 30 см укреплены два одинаковых груза: один – в середине стержня, другой – на одном из его концов. Стержень с грузами колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину L стержня.
  20.  Система из трех грузов, соединенных стержнями длиной l = 30 см (рис.4), колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа. Найти период системы и приведенную длину такого физического маятника.


Лабораторная работа №6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ.
ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА

Цель работы- изучение крутильных колебаний вращающегося стола при разной массе системы и пружинах различной упругости

Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ-3 с вращающимся столом, два круглых груза, груз наборный, нить длиной 45 см (красная), измерительная система ИСМ-1 (секундомер), нижний ролик на стойке с двумя осями, две пружины с балками, измерительная линейка.

Краткая теория

При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется в плоскости, перпендикулярной оси, по окружности, центр которой лежит на оси. Линейная скорость точки тела v связана с угловой скоростью тела ω

v = ωr ,                                                        (1)

где  r- расстояние от точки тела до оси вращения.

Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий всех частиц тела

 (2)

где   - элементарные массы, на которые мысленно разбито тело. Подставляя скорость  vi  из формулы (1) в (2), получим

                         (3)

Величина

                                                             (4)

называется моментом инерции тела. Момент инерции характеризует распределение массы в твердом теле относительно оси вращения и является мерой инертности вращающегося тела.

Выражение для кинетической энергии вращающегося тела вокруг неподвижной оси, исходя из формул (3) и (4):

 (5)

Для вычисления моментов инерции различных тел  в формуле (4) выражают через плотность тела:    =  ρ ΔVi ,  где  ΔVi - элементарный объем тела, и переходят к пределу ΔVi →  0. Тогда получим

                                      (6)

Например, момент инерции однородного цилиндра (диска) относительно его оси где  m - масса, R - радиус   цилиндра.  Момент инерции тонкого однородного стержня длиной  L  и  массой  m,  проходящей через    его центр,       

Теорема Штейнера устанавливает связь между моментом инерции тела Iс относительно оси, проходящей через центр инерции, и моментом инерции I этого тела относительно другой оси, параллельной первой /

, (7)

где m - масса тела, а - расстояние между осями.

В настоящей работе измеряется момент инерции различных тел с помощью крутильного маятника. Этот маятник состоит из горизонтально расположенного поворотного стола, на котором могут закрепляться различные тела. На оси поворотного стола закреплен шкив радиусом R, с помощью которого столу может сообщаться вращательное    движение.    Через шкив перекинута нить, к концам которой прикреплены две пружины (рис. 1) c коэффициентами  жесткости

 k1 и   k2.

В положении равновесия силы натяжения нити по разные        

                                                                        стороны от шкива одинаковы и

                     Рис.1                                          равны упругим силам, которые

                                                                        согласно законуГука

                                                                                   

                                    (Fупр)о = k1 xо1 = k2 xо2  , (8)

где  xо1 и  xо2 -  величина растяжения пружин.

При отклонении от положения равновесия поворотный стол совершает колебания под действием сил упругости двух пружин. Величина деформации одной пружины x1 = xо1 + х , где х - отклонение от равновесного положения.             Если нить нерастяжимая, то величина деформации другой пружины

 х2 = хо2 - х.

Запишем потенциальную энергию деформации пружин

                                                      (9)

                                       (10)

Если пренебрегать силами трения, то согласно закону сохранения механической энергии, полная механическая энергия, т. е. сумма кинетических и потенциальных энергий

                                                     (11)

не зависит от времени. Значит   .

Вычисляя производную от выражения (11) по времени, получим:

                                    (12)

Если нить не проскальзывает по шкиву поворотного стола, то  х = Rφ,

где φ- угол поворота стола от положения равновесия,  . Учитывая  условие  равновесия   (8)   и   определение  угловой  скорости  получим из уравнения (12)

        (13)

Обозначим         и      -   суммарный

коэффициент жесткости двух пружин. Тогда уравнение (13) принимает вид дифференциального уравнения гармонических колебаний:

 (14)

Решение этого уравнения

φ(t) = A cos ( ωо t + α ) , (15)

где   А  -  амплитуда   колебаний,  ωо -  циклическая  частота   колебаний,

 α - начальная фаза колебаний.

Период колебаний

(16)

В данной работе находится момент инерции. Из формулы (16) следует

      (17)

Описание установки

Поворотный стол, смонтированный на модуле ЛКМ-3, снабжен датчиком вращения, который фиксирует повороты стола на один и более оборотов. Шкив стола 15 имеет диаметр 50 мм. Две пружины закрепляются на осях

Рис. 2

нижнего блока 12 и прикрепляются к концам нити перекинутой через шкив 15 (рис. 2). Таким образом, поворотный стол может совершать крутильные колебания вокруг своей оси под действием сил упругости пружин. Период колебаний зависит от упругости пружин k, момента инерции стола I и  радиуса шкива R. На столе можно укреплять различные предметы и по периоду крутильных колебаний  T  определять момент инерции системы.

Порядок выполнения работы

Задание I. Определение коэффициента упругости пружин

1. Подвесьте пружины с помощью балки 17 на оси блока 13 и закрепите на другом конце пружин груз т1 (см. рис. 2).

  1.  Измерьте линейкой расстояние x1 от основания стойки до нижнего края груза.
  2.  Измените массу груза на величину Δm и измерьте новое расстояние х2. Данные занесите в табл. 1. Рассчитайте коэффициент упругости пары пружин по формуле

                       (18)

где  g = 9,81 м/с - ускорение свободного падения.

  1.  Повторите измерения несколько раз. Рассчитайте среднее значение  

kпар . Данные занесите в табл. 1.

          Таблица 1

№ п/п

 т1

 m2

= т1- m2

       (кг)

    x1

    х2

Δх= х2- х1

    (м)

  kпар

/м)

Среднее

  ―

 ―

    ―

    ―

Задание II. Определение момента инерции

методом крутильных колебаний

1. Подготовьте  измерительную   систему  ИСМ-1   к  работе:
подключите датчик угла поворота стола блока к разъему №1
 на задней стенке
прибора, переключатель  1 поставьте   в   положение   "К1", переключатель 4 - в положение "2", переключатель 5 - в положение  "цикл",  переключатель 8 - в положение "+" или "-" , переключатель 9 - в среднее положение. Включите питание модуля.

2. Накрутите  нить   (1,5   оборота)   на  шкив   стола,   диаметр   которого D = 50мм  (рис.3), прикрепите к концам нити пружины. Закрепите пружины на осях 12 нижнего блока стойки 10.

3. Поверните стол так, чтобы в свободном положении указатель угла

поворота стола находился вблизи нулевого деления шкалы 16.

  1.  Нажмите   кнопку   7   "готов"   и   приведите   стол   в   колебательное движение с амплитудой 40 - 60 градусов.

     Рис.3

5. Считайте с индикатора время одного полного колебания T.

         6.  Рассчитайте момент инерции ненагруженного стола по формуле  

                                                                               (19)

где R – радиус шкива стола (R=D/2),   kпар – коэффициент упругости двух пружин, соединенных параллельно. Данные занесите в табл. 2. Повторите измерения 5-7 раз.

Таблица 2

          № п/п

              Т (c)                 

         Io  (г · м2)

                …

           среднее

 Задание III. Проверка теоремы Штейнера

  1.  Поместите в центре стола два цилиндрических груза 18 массой тц по 500 г один над другим (точная масса грузов выгравирована на нижнем торце грузов). Повторите измерения момента инерции системы Iсис (по пп. 3-6 в задании II).
  2.  Рассчитайте момент инерции цилиндров по формуле

                        Iц = Iсис - Iо  (21)

где Iо - момент инерции не нагруженного стола, измеренный в задании II.

  1.  Рассчитайте теоретический момент инерции цилиндров Iтеор
    относительно оси цилиндров по формуле

                                 (22)

где тц - суммарная масса цилиндров,  Rц - радиус цилиндров (Rц = 24 мм). Данные занесите в табл. 3.

4. Переместите цилиндры на одинаковое расстояние Δх относительно оси
вращения (шаг отверстий на вращающемся столе Δ
х = 20 мм). Измерьте
период колебаний
m2 системы, соответствующий новому положению
цилиндров. Данные занесите в табл. 3.

Таблица 3

№ п/п

  Δх

  Δх2

 Tсис

Tсис2

тц = т1+ m2

  Iсис

   Iо

 Iтеор

   …

5.  Рассчитайте момент инерции системы Iсис по формуле

      (23)

где kпар - коэффициент упругости пары пружин (см. задание I), R- радиус шкива стола.

6. Рассчитайте теоретический момент инерции системы по формуле

 (24)

где    Iо - момент инерции не нагруженного стола (см. задание II), тц - суммарная масса цилиндров, Rц - радиус цилиндров (Rц = 24 мм).

7. Повторите измерения и расчеты по пп. 1-6 для всех положений цилиндров. Данные занесите в табл. 3.

8. Постройте график зависимости момента инерции   Iсис и   Iтеор от квадрата расстояния от оси вращения до центра грузов  Δх2.

Контрольные вопросы

  1.  Дайте определение динамическим   характеристикам    вращательного    движения:    моменту силы - М, моменту инерции - I, моменту импульса - L.
  2.  Запишите аналитические выражения для момента инерции частицы и твердого тела. Как производится расчет момента инерции обруча, стержня, диска?
  3.  В чем состоит суть теоремы Штейнера?

Получите основное уравнение динамики вращательного движения.

Получите уравнение колебаний крутильного маятника.

Как рассчитать период колебаний крутильного маятника?

Задания для отчета по лабораторной работе

  1.  Однородный диск массы m = 3 кг и радиуса R = 20 см скреплен с тонким стержнем, другой конец которого закреплен неподвижно (рис.4). Коэффициент кручения стержня (отношение приложенного вращающего момента к углу закручивания) k = 6 Н м/рад. Определить частоту ω малых крутильных колебаний.
  2.  По данным предыдущей задачи определить амплитуду αm и начальную фазу φ колебаний, если в начальный момент α = 0,06 рад, = 0,8 рад/с.
  3.  Два диска могут вращаться без трения вокруг горизонтальной оси. Радиус дисков одинаков и равен R = 0,5 м. Массы дисков равны m1 = 0,1 кг и m2 = 3 кг. Диски соединены пружиной, у которой коэффициент пропорциональности между возникающим вращающим моментом и углом закручивания равен k = 5,92 Н м /рад. Диски поворачивают в противоположные стороны и отпускают. Чему равен период T крутильных колебаний дисков?
  4.  По диаметру горизонтального диска может перемещаться, скользя без трения по направляющему стержню небольшая муфта массы m = 0,1 кг. Муфта «привязана» к концу стержня с помощью невесомой пружины, жесткость которой k = 10 Н/м (рис.5). Если пружина не деформирована, муфта находится в центре диска. Найти частоту ω малых колебаний муфты в том случае, когда диск вращается вокруг своей оси с угловой скоростью, равной 6 рад/с.

Рис. 4        Рис. 5

  1.  Сплошной однородный цилиндр массы m совершает малые колебания под действием двух пружин, суммарная жесткость которых равна k (рис. 6). Найти период этих колебаний в отсутствии скольжения.
  2.  Определить момент инерции системы, состоящей из четырех точечных масс m, расположенных по вершинам квадрата со стороной a, относительно оси, лежащей в плоскости квадрата и совпадающей с его диагональю.
  3.  По условиям предыдущей задачи определить момент инерции системы точек относительно оси, проходящей через центр квадрата перпендикулярно его плоскости.
  4.  Определите момент инерции медного диска с радиусом R = 5 см, в котором сделаны два выреза в виде кругов радиусами r = 2 см. Центры  вырезов находятся на прямой, проходящей через центр диска на расстоянии l = 2,5 см от него (рис.7). Толщина диска h = 0,1 см. Ось вращения проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости.

Рис. 6       Рис. 7   

   

  1.  По условиям предыдущей задачи определить момент инерции диска относительно оси, проходящей через центры вырезов.
  2.  Плотность цилиндра длины l – 0,1 м и радиуса R = 0,05 м изменяется с расстоянием от оси линейно от значения ρ1 = 500 кг/м3 до значения

ρ2 = 1500 кг/м3. Найти момент инерции цилиндра относительно оси цилиндра.

  1.  Найти момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей через один из его концов с помощью теоремы Штейнера. Масса стержня m, длина - l.
  2.  По данным предыдущей задачи найти момент инерции стержня относительно оси, проходящей на расстоянии l/4 от одного из концов.
  3.  Найти момент инерции диска массы m, радиуса R относительно оси, проходящей через середину радиуса перпендикулярно плоскости диска. Применить теорему Штейнера.
  4.  Определить момент инерции шара массой m = 2 кг радиусом R = 10 см относительно оси, проходящей через середину радиуса, используя теорему Штейнера.
  5.  По данным предыдущей задачи определить момент инерции шара, подвешенного на нити длиной l = 10 см относительно точки подвеса.

  1.  Два шара с массами m1 = 1 кг и m2 = 2 кг насажены на гладкий горизонтальный стержень (рис.8). Шары соединены между собой пружиной с жесткостью k = 24 Н/м. Левому шару сообщили начальную скорость v1 = 12 см/с.  Найти частоту колебаний системы.
  2.  По данным предыдущей задачи найти энергию колебаний.
  3.  По данным предыдущей задачи найти амплитуду колебаний системы.
  4.  Найти циклическую частоту малых колебаний тонкого однородного стержня массы m и длины l вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О (рис.9). Жесткость  пружины k. В положении равновесия стержень вертикален.

Рис. 8        Рис. 9       

20.  Однородный стержень массы m совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О (рис.10). Правый конец стержня подвешен на пружине жесткости k. Найти период колебаний стержня, если в положении равновесия он горизонтален.

Рис. 10

Лабораторная работа №7
Изучение прецессии гироскопа
 

Цель работы:  а)  ознакомление с особенностями движения гироскопа,  б) определение угловой скорости прецессии и момента инерции гироскопа.

   Приборы и принадлежности:  гироскоп, электронный блок, в состав которого входят система измерения скорости вращения гироскопа, электронный таймер, фотоэлектрическая система отсчета угла поворота гироскопа вокруг вертикальной оси.

                          Краткая теория 

Гироскопом называется быстро вращающееся твердое тело, ось которого может изменять свое направление в пространстве. Большие скорости вращения гироскопа требуют, чтобы ось гироскопа была осью симметрии. Подвижность оси гироскопа обеспечивается кардановым  подвесом или каким-либо другим аналогичным устройством. При этом вращение оси гироскопа происходит таким образом, что некоторая точка O этой оси (например, центр масс гироскопа) остается неподвижной. При вращении оси соответствующая угловая скорость Ω (скорость прецессии)  много меньше угловой скорости вращения гироскопа  вокруг своей оси, которую будем обозначать ω.

Если на ось гироскопа действует некоторая сила, создающая момент  M, то момент импульса относительно точки O (главный момент импульса) L изменяется в соответствии с уравнением моментов

         dL/dt = M                    (1)

Анализ уравнения  (1) упрощается вследствие того, что угловая скорость вращения гироскопа очень большая. А это означает, что при относительно медленном изменении ориентации оси гироскопа главный момент импульса практически направлен по оси гироскопа. Момент внешних сил  M направлен перпендикулярно оси гироскопа, т.е. практически  перпендикулярно главному моменту импульса L. Приращение dL  момента импульса должно быть направлено по моменту M, т.е.  практически перпендикулярно моменту импульса  L.  Такое приращение вызовет изменение направления момента импульса L,  т.е. изменение направления оси гироскопа. Если при этом  ось  поворачивается  на угол  Ωdt, то соответствующее изменение момента импульса будет равно

                                                      |dL| = LΩdt .                                                     (2)

Следовательно, под действием постоянного момента сил M возникнет вращение оси гироскопа с постоянной угловой скоростью Ω. При этом изменение момента импульса L в единицу времени, равное  LΩ, будет определяться уравнением (1). Отсюда следует, что

                                                       LΩ = M.                                                          (3)

Учитывая, что для быстро вращающегося  гироскопа

                                                        ,                                                         (4)

где   -  момент инерции гироскопа относительно его оси, получим для угловой скорости

                                                       Ω = M / ( ω ) .                                               (5)

Вращение оси гироскопа с угловой скоростью  Ω под действием постоянного момента сил M  называется прецессией гироскопа.

Отметим две особенности прецессионного движения. Во-первых, прецессия не обладает  "инертностью" (прецессия существует, пока действует момент).  Во-вторых, ось вращения  прецессии  не совпадает с направлением момента силы M, а перпендикулярна ему  (приращение ΔL параллельно вектору M).

Описание прибора  

Прибор состоит из электрического моторчика A, укрепленного в обойме B. Обойма опирается  на вертикальный стержень C  и может вращаться вокруг

                                                                        Рис.1

                                                           

                                                           

горизонтальной оси, а вместе со стержнем – вокруг вертикальной. Собствен-

но, гироскопом является ротор моторчика с массивным диском E. Момент внешних сил, приложенных к гироскопу, может изменяться при перемещении груза K по стержню обоймы. Прибор содержит также электронный блок G, в состав которого входят: система измерения скорости вращения моторчика, электронный таймер, фотоэлектрическая система измерения угла поворота гироскопа  вокруг вертикальной оси. 

Включение моторчика производится выведением ручки "скорость вращения" 1 из крайнего левого положения. Дальнейшее вращение этой ручки по часовой стрелке приводит к увеличению скорости вращения моторчика. Стрелочный прибор 2  на панели блока показывает скорость вращения моторчика.

Включение электронного таймера и фотоэлектрической системы измерения угла φ поворота  гироскопа вокруг горизонтальной оси производится одновременно нажатием клавиши "сеть" 3. При нажатии на клавишу "сброс" 4 происходит обнуление табло электронного блока 6, 7.  После нажатия на клавишу "сброс" происходит запуск фотоэлектрической системы  измерения угла φ  и электронного таймера  в момент, когда световой пучок попадает на фотоэлемент системы через одну из прорезей на цилиндрической диафрагме D, поворачивающейся  вместе с гироскопом вокруг вертикальной оси. После нажатия на клавишу "стоп" 5 происходит остановка измерений  времени t  и угла φ при очередном попадании светового пучка на фотоэлемент системы. Угловую скорость прецессии получают путем деления зафиксированного на табло 7 электронного блока значения угла φ  на  соответствующее время t.

Порядок выполнения работы

1.  Закрепите груз K на стержне обоймы так, чтобы весь прибор находился в  безразличном положении равновесия, ось гироскопа установите горизонтально.

2.  Включите моторчик и подождите 2-3 минуты, пока ротор не начнет вращаться с номинальным числом оборотов. Смещением груза K создайте момент силы тяжести M. Величина этого момента сил определяется по формуле M=Ph, где P -  заданный вес груза,  h- расстояние этого груза от его начального положения, измеряемого по шкале на стержне. Данные занесите в таблицу.

Р = mg=… (Н)              Таблица

ω

об/мин

№ измерения i

hi

Mi=Phi

φi

ti

Ωii/ti

Li=Mii

=<L>/ωi

2000

1

среднее

-

-

-

-

-

4000

1

среднее

-

-

-

-

-

6000

1

среднее

-

-

-

-

-

3.  Измерьте величину  угловой скорости  прецессии Ω при различных значениях момента M (при различных значениях плеча h).  Необходимо сделать 3-4 измерения для каждого значения скорости вращения ротора  (рекомендуемые значения скорости вращения: 2000, 4000 и 6000 об/мин). При устойчивой работе моторчика (ω = const)   в пределах ошибок измерений должно соблюдаться условие

                                  M1 / Ω1 = М2 / Ω2 =  … = Mn / Ωn                                        (6)

  1.   Определите величину <L> - среднее арифметическое значение величины L для каждого значения скорости  вращения ротора ω. Результаты занесите в таблицу.
  2.  Вычислите момент инерции гироскопа  по формуле  = L/ω. В пределах ошибок измерений значения J для всех  ω  должны совпадать. Результат измерения запишите в стандартном виде:

=( <  > ± Δ  ) кг∙м2 ,  ε = …%   при  α = 0,95

Контрольные вопросы и задания

Задания для отчета по лабораторной работе

  1.  Проведите оценку порядка величины момента импульса колеса взрослого велосипеда, если скорость велосипеда 30 км/ч.
  2.  Чему должен быть равен момент силы, который следует приложить к рулю, чтобы повернуть велосипед  на угол 1 рад за 0,1 с?
  3.  Два маленьких шарика массами m1 = 40 г и m2 = 120 г соединены стержнем длиной l = 20 см, масса которого ничтожно мала. Система вращается вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс системы. Определите импульс и момент импульса системы. Частота вращения равна 3 с-1.
  4.  Двигатель равномерно вращает маховик. После отключения двигателя маховик в течение времени t = 30 с после N = 120 оборотов останавливается. Момент инерции маховика  = 0,3 кг/м2. Принимая, что угловое ускорение маховика после отключения двигателя постоянно, определить мощность двигателя при равномерном вращении маховика.
  5.  Однородный сплошной цилиндр радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости ω0 и затем поместили в угол (рис.7.1). Коэффициент трения между цилиндром и стенками равен µ. Сколько времени цилиндр будет вращаться в этом положении?
  6.  Чему равно отношение кинетических энергий вращательного и поступательного движения твердого цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения?
  7.  Твердый цилиндр массой m скатывается без скольжения по плоскости длиной l, наклоненной под углом α к горизонту (трением пренебречь). Чему равна скорость центра масс цилиндра в нижней части плоскости? Чему равна конечная скорость цилиндра, если он соскальзывает по плоскости без вращения?
  8.  Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить частоту вращения маховика массой  0,5 т от 0 до 120 мин-1? Массу маховика можно считать распределенной по ободу диаметром 1,5 м. Трением пренебречь.
  9.  Вертикальный столб высотой h = 5 м подпиливается у основания и падает на землю. Определите линейную скорость его верхнего конца в момент удара о землю.
  10.  По условиям предыдущей задачи  определить, какая точка столба будет в любой момент падения иметь такую же скорость, какую имело бы тело, падая с такой же высоты, как и данная точка?
  11.  Однородный круглый диск массой m= 5 104 кг и радиусом R = 2 м является стабилизатором корабля массой M = 107 кг. Угловая скорость вращения корабля равна 15 об/с. Чему равен момент импульса стабилизатора?
  12.  В  предыдущей задаче ширина корабля D = 20 м, эффективный радиус поперечного сечения корабля равен R = 10 м. Время свободного поворота при крене (считая крен от -200 до +200) составляет 12 с. Оцените величину момента импульса корабля при таком крене. Каким путем гироскопический стабилизатор может помочь уменьшить угол крена?
  13.  Волчок массы m = 0.5 кг, ось которого наклонена под углом α = 300 к вертикали, прецессирует под действием силы тяжести. Момент инерции волчка относительно его оси симметрии  = 2 г м2, угловая скорость вращения вокруг этой оси ω = 350 рад/с, расстояние от точки опоры до центра масс волчка l = 10 см. Найти угловую скорость прецессии волчка.
  14.  Гироскопические эффекты используются в дисковых мельницах. Массивный цилиндрический каток (бегун) вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью Ω и одновременно катится по горизонтальной опорной плите. Такое вращение можно рассматривать как вынужденную прецессию гироскопа (бегуна). При этом возрастает сила давления бегуна на горизонтальную плиту, по которой он катится. Эта сила растирает и измельчает материал, подсыпаемый под каток на плиту. Вычислить силу давления катка на плиту, если радиус бегуна r = 50 см, а скорость 1 об/с.
  15.  Диск радиуса r , вращающийся вокруг собственной оси с угловой скоростью ω, катится без скольжения в наклонном положении по горизонтальной плоскости, описывая окружность за время T. Определить T и радиус окружности R, если R >  r, а угол между горизонтальной плоскостью и плоскостью диска равен α.
  16.  Гироскоп в виде однородного диска радиуса R = 8 см вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω = 300 рад/с. Угловая скорость прецессии гироскопа Ω = 1 рад/с. Определить расстояние l от точки опоры до центра масс гироскопа.
  17.  Гироскоп массы m = 1 кг, имеющий момент инерции
    I = 4,905 10-3 кг м2, вращается с угловой скоростью ω = 100 рад/с. Расстояние  от точки опоры до центра масс l = 5 см. Угол между вертикалью и осью гироскопа α = 300. Найти модуль угловой скорости прецессии Ω.
  18.  Симметричный волчок, ось которого наклонена под углом α к вертикали (рис. 7.3), совершает регулярную прецессию под действием силы тяжести. Точка опоры волчка О неподвижна. Определить, под каким углом β к вертикали направлена сила, с которой волчок действует на плоскость опоры.
  19.  Какова физическая природа подъема центра масс быстро вращающегося китайского волчка с последующим его опрокидыванием? качественно объясните поведение этой детской игрушки, исходя из теории простого гироскопа.
  20.  Найти угловую скорость прецессии наклоненного волчка, прецессирующего под действием силы тяжести. Волчок имеет момент инерции I, угловую скорость вращения ω, расстояние от точки опоры до центра масс волчка равно l. В каком направлении будет прецессировать волчок?


Лабораторная работа № 8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ
     МЕТОДОМ СТОКСА

Цель работы - изучение явления вязкого трения и измерение коэффициента вязкости жидкости.

Приборы и принадлежности: стеклянный цилиндр с исследуемой жидкостью, металлический шарик, миллиметровая линейка, микрометр, измерительная система ИСМ-1 (секундомер).

Введение

Вязкость газа или жидкости проявляется в том, что возникшее в среде упорядоченное движение молекул после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. Это происходит потому, что между слоями жидкости или газа, движущимися с различными скоростями, действуют силы внутреннего (вязкого) трения, которые стремятся уравнять скорости слоев жидкости.

Сила вязкого трения газов и большинства жидкостей подчиняется закону, установленному И.Ньютоном. Выделим мысленно в потоке жидкости участок ΔS плоскости, в пределах которой скорость упорядоченного движения молекул U(z), зависящая от координаты z, постоянна (рис. 1). Сила вязкого трения F, действующая на слой, лежащий выше участка ΔS, будет направлена навстречу движению жидкости и пропорциональна быстроте изменения скорости вдоль оси z (т. е. перпендикулярно направлению скорости) и также величине площадки ΔS. Количественно, это выражается формулой

 Рис.1                                                             (1)

где   η - параметр, носящий название динамической вязкости.

С молекулярной точки зрения происхождение сил вязкого трения объясняется следующим образом. Молекулы жидкости или газа участвуют одновременно и в упорядоченном и в хаотическом (тепловом) движении, тепловое движение вызывает перемешивание слоев среды, движущихся с разными скоростями. При этом импульс упорядоченного движения молекул передается от слоев с большей скоростью к слоям с меньшей скоростью. Согласно второму закону Ньютона отличная от нуля скорость изменения импульса выделенного слоя среды означает наличие приложенной к нему силы. Эта сила и называется силой вязкого трения.

Рассмотрим упрощенный расчет коэффициента вязкости в газах. Будем считать скорости теплового движения всех молекул одинаковыми и равными средней тепловой скорости <v>. Само же тепловое движение представим схемой, где все молекулы разделены на шесть одинаковых потоков, параллельных координатным осям. Таким образом, в положительном и отрицательном направлении оси z, одинаковое количество молекул, равное одной шестой их общего числа. За время Δt площадку ΔS пересекут те молекулы газа, которые находились на расстояниях меньших, чем Δz = <v>Δt от поверхности. Поэтому число молекул, пересекающих площадку за время Δt, равно

(2)

где п - концентрация молекул, Δt - промежуток времени, в течение которого происходит перенос молекул, число которых равно ΔN.

Молекулы газа участвуют, кроме теплового движения, в упорядоченном движении со скоростью U, которая является непрерывной функцией z. На рис. 1 вектору U соответствует положительное направление оси у. Каждая молекула, пересекая за счет теплового движения поверхность ΔS, переносит импульс упорядоченного движения mU. Поэтому импульс, перенесенный всеми молекулами за время Δt через площадку ΔS в положительном направлении оси  z, равен

ΔР+ = mU+ΔN  ,

где U+ - характерное значение скорости упорядоченного движения молекул вблизи нижней границы выделенного слоя, т - масса одной молекулы, a ΔN определяется    формулой  (2).    Аналогично,    импульс,    переносимый    в отрицательном направлении оси z, составляет

ΔР__= mU__ΔN.

Результирующая у - компонента импульса, перенесенная за время Δt через площадку ΔS, равна

ΔР = ΔР+ - ΔР_ = m(U+ - U_) ΔN= 1/6 п m<v>(U+ - U_) ΔSΔt. (3)

Для нахождения U+ и U_  учтем, что те молекулы газа, которые находятся дальше от площадки ΔS, чем длина свободного пробега, испытывают столкновение с другими молекулами раньше, чем достигнут площадки. Вследствие этого они приобретут скорость упорядоченного движения того слоя газа, где они испытывают столкновение. Таким образом, можно считать, что скорость упорядоченного движения молекул, пересекающих поверхность ΔS в положительном направлении оси z, равна скорости упорядоченного движения  U  на расстоянии   от  поверхности ΔS:

U+ = U(z-λ).

По тем же соображениям, скорость упорядоченного движения молекул, пересекающих ΔS в отрицательном направлении оси z, есть

U_ = U(z+λ).

Скорость U(z) обычно медленно меняется на расстояниях порядка средней длины свободного пробега λ. Поэтому функция U(z±λ)  можно разложить в ряд по малой величине λ, ограничившись только линейными членами:

    

      

откуда

 

Подставляя это выражение в формулу (3), получим

                       (4)

Знак минус в этой формуле указывает на направление переноса импульса.

Если   > 0,  то ΔР < 0,  и это означает, что импульс упорядоченного

движения переносится в отрицательном направлении оси  z, т. е. от быстрых

слоев газа к медленным.

Величина силы, действующей на слой газа в пределах поверхности ΔS, равна

Произведение концентрации  п  на массу одной молекулы  т равно плотности газа  ρ, так что окончательное выражение приобретает вид

          (5)

Сравнение формулы (5) с законом вязкости Ньютона (1), во-первых, подтверждает справедливость последнего на примере газа. Во-вторых, раскрывает связь коэффициента динамической вязкости

 (6)

с  молекулярными  параметрами  системы.  Вспоминая,  что  средняя  длина свободного пробега молекул газа равна

 (7)

где d - эффективный диаметр молекул, убеждаемся, что произведение

 

не зависит от температуры и концентрации молекул, значит, и от давления, Средняя скорость теплового движения составляет

 

где k - постоянная Больцмана, а T - температура. Комбинируя два последних выражения, получаем

Отсюда следует, что коэффициент вязкости газов не зависит от давления и растет с температурой пропорционально   

Коэффициент трения жидкости зависит от ее природы (вида молекул), температуры, давления. В отличие от газов, с ростом температуры вязкость жидкости уменьшается. Эта зависимость вязкости жидкости от температуры связана с характером теплового движения молекул.

В жидкости молекулы находятся на расстояниях, соизмеримых с размером молекул, и совершают малые колебания в пределах, ограниченных межмолекулярными расстояниями. Время от времени центр этих колебаний (положения равновесия) совершает случайные скачки, и молекулы перемещаются в новое положение равновесия. За счет этих скачков и происходит передача импульса упорядоченного движения молекул от слоя к слою. С ростом температуры скачки происходит чаще, и жидкость становится более текучей (менее вязкой). Частота скачков пропорциональна exp(-W/kT), где W - энергия, необходимая для скачка.

Коэффициент вязкости жидкости при постоянном давлении зависит от температуры согласно формуле Френкеля - Андраде может быть записан в виде

η = С exp(-W/kT), (8)

где С - слабая функция от Т.

На твердое тело, движущееся в жидкости, действует сила сопротивления, которая при малых скоростях тела обусловлена силами вязкого трения. Малыми считаются скорости движения, при которых движение жидкости около этого тела имеет ламинарный (не турбулентный) характер [1]. Количественным критерием малости скорости тела является число Рейнольдса

                                                                                          (9)

где v - скорость тела, r - характерный размер тела (например, радиус шара), ρ - плотность жидкости.

Движущееся в жидкости тело увлекает за собой часть жидкости. Очень тонкий слой жидкости "прилипает" к поверхности тела и движется с ним как одно целое, увлекая за собой из-за вязкого трения последующие слои. По мере удаления от тела скорость слоев уменьшается (рис. 2). При вычислении сопро-

Рис. 2

тивления среды (жидкости) движению тела необходимо учитывать вязкое трение отдельных слоев жидкости друг о друга.

Если в неограниченной жидкости движется шарик, то, как показал Стокс, при Re « 1 сила сопротивления

F= - 6πηrv  . (10)

Рассмотрим падение шарика в наполненный жидкостью сосуд с небольшой высоты h (рис. 3).

На   шарик   действуют   три   силы:   сила   тяжести   mg = ρoVg ,   сила Архимеда  FA = ρVg и сила вязкого трения    F= - 6πηrv. Здесь m - масса шарика,   ρо - плотность материала шарика, v - скорость шарика, V - его объем, ρ - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения.

Второй закон Ньютона для рассматриваемого случая принимает вид

            (11)

При движении шарика в воздухе с небольшой скоростью силой вязкого трения шарика о воздух можно   пренебречь   и   определить   скорость   v0   у поверхности жидкости, как скорость при свободном падении с некоторой высоты h. Как только шарик погрузится  в  жидкость,   силы  вязкого   трения  и Архимеда возрастут, их сумма окажется больше силы тяжести, и падение будет замедляться (так будет,   если   высота   падения   шарика   в   воздухе достаточно большая). В конечном итоге, сумма сил

Архимеда и вязкого трения окажется равной силе тяжести. В этом случае ускорение шарика будет равно нулю, скорость движения v = vs будет   постоянна и уравнение (11)   примет вид

Рис.3                                   (ρ  -  ρо) Vg  - 6πηrvs = 0   (12)

Решая  уравнение  (3)  относительно  коэффициента  η  с  учетом  того,  что V=4/3πr3 и d = 2r, получаем

        (13)

Скорость равномерного движения шарика vs можно определить, если измерить время прохождения  t, пройденное расстояние  l и провести расчет по формуле

 (14)

Тогда формула (13) для вычисления коэффициента вязкости преобразуется к виду

 (15)

Таким   образом,   для  определения  коэффициента  вязкости  жидкости необходимо знать плотность жидкости и материала шарика, диаметр шарика и скорость установившегося движения шарика в жидкости, которая может быть измерена экспериментально.

Описание установки

Экспериментальная установка состоит из стеклянного цилиндра, наполненная исследуемой жидкостью (см. рис. 3). На стенке цилиндра нанесены две метки так, что шарик при свободном падении движется между ними заведомо равномерно.

Порядок выполнения работы

  1.  Измерьте миллиметровой линейкой расстояние l между метками на стенке цилиндра и запишите результат.
  2.  Измерьте диаметр шарика  d с помощью микрометра.
  3.  Опустив шарик в цилиндр с жидкостью, измерьте время прохождения t шариком расстояния между метками.
  4.  Повторите измерения с тем же или с другим шариком 5-7 раз. Рассчитайте коэффициент вязкости по формуле (15). Данные занесите в таблицу.

Таблица

d

d-<d>

(d-<d>) 2

Δ d

t

t - <t>

(t - <t>) 2

Δ t

l

l - <l>

(l - <l>) 2

Δ l

η

Δ η

  1.  Произведите обработку результатов измерений по методу Стьюдента.
    Результат представьте в стандартном виде.

Контрольные вопросы

  1.  В чем состоит суть явления вязкости в жидкостях и в газах с молекулярно-кинетической точки зрения?
  2.  Перечислите силы, действующие на шарик при его движении в вязкой жидкости. Запишите закон Ньютона для силы вязкого трения.
  3.  Как зависит коэффициент вязкости жидкости от температуры?
  4.  Дайте определение ламинарного и турбулентного течения жидкости. Число Рейнольдса. Сила Стокса. Какова зависимость силы вязкого трения от скорости движения шарика?
  5.  Вывод рабочей формулы для нахождения коэффициента вязкости жидкости методом Стокса.
  6.  Как зависит скорость установившегося движения шарика в вязкой жидкости от радиуса шарика (при постоянной плотности)?
  7.  Чем отличаются силы вязкого трения в газах и жидкостях? Вывод коэффициента вязкого трения для газов. От чего зависит коэффициент вязкого трения  газах?

Задания  для  отчета по лабораторной работе


1. Одинаково ли быстро будет падать на землю целый камень и порошок, полученный из этого камня при его растирании?

Почему пловцы, бросаясь в воду, выставляют  вперед сложенные  руки?

  1.  Почему у гоночных  велосипедов  руль опущен  низко?
  2.  Почему лыжник, прыгая с трамплина., наклоняет тело вперед?
  3.  Растительное масло в жару легко выливается из горлышка бутылки, а постоявшее на морозе – значительно труднее. Почему?
  4.  Шарик всплывает с постоянной скоростью v  в жидкости, плотность ρ1 которой в 4 раза больше плотности ρ2 материала шарика. Во сколько раз сила трения, действующая на  всплывающий шарик, больше силы тяжести mg, действующей на этот шарик?
  5.  Стальной шарик диаметром d  = 1 мм падает с постоянной скоростью
    v = 0,185 см /с в большом сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую вязкость η касторового масла. Плотность стали 7800 кг /м3, плотность касторового масла 900 кг/м3.
  6.  Какой наибольшей скорости v может достичь дождевая капля диаметром d  = 0,3 мм, если динамическая вязкость воздуха η = 1,2 10-5 Па с?
  7.  Смесь свинцовых дробинок с диаметрами d1 = 3 мм  и  d2  = 1 мм. опустили в бак с глицерином высотой h = 1 м. На сколько позже упадут на дно дробинки меньшего диаметра по сравнению с дробинками большего диаметра? Динамическая вязкость глицерина η =1,47 Па с, плотность свинца 11300 кг/м3.
  8.  Пробковый шарик радиусом r = 5 мм всплывает в сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую вязкость и кинематическую вязкость касторового масла, если шик всплывает с постоянной скоростью v = 3.5 см/с.

Над нагретым участком поверхности Земли установился стационарный поток  воздуха, направленный вертикально вверх. крость  
u = 20 см/с. В потоке находится шаровидная пылинка, которая движется  вверх с установившейся скоростью v = 4 см/с.. Плотность пылинки ρ = 5 103   кг/м3 , плотность воздуха ρ0 = 1,29 кг/м3. Вязкость воздуха η = 1,72 10-5  Па с. Определить радиус пылинки. Показать, что обтекание пылинки воздухом носит ламинарный характер. Для шарика критическое значение числа Рейнольдса Re = 0,25, если в качестве характерного размера принять радиус шарика.

  1.  При движении шарика радиусом r1 = 1,2 мм в глицерине ламинарное обтекание наблюдается при скорости шарика, не превышающей v1  = 23 см/с. При какой минимальной скорости v2  шара радиуса r2 = 5,5 см/с в воде обтекание станет турбулентным? Вязкости глицерина и воды равны соответственно η1 = 1,39 Па с и η2 = 1,1 мПа с.
  2.  Стальной шарик диаметром d = 3 мм опускается с  нулевой начальной скоростью в прованском масле, вязкость которого η = 90 мПа с. Через сколько времени после начала движения скорость шарика будет отличаться от установившегося значения на n = 1%?
  3.  В высокий широкий сосуд налит глицерин (плотность ρ0  = 1,21 103 кг/м3, вязкость η = 0,350 Па с). В глицерин погружают вдалеке от стенок сосуда и отпускают без толчка шарик радиуса r = 1 мм. Плотность шарика
    ρ = 10 10
    3 = кг/м3.  Первоначальная высота шарика над дном сосуда h = 0,5 м.  Найти зависимость пути s , пройденного шариком, от  времени  t.
  4.  По условию предыдущей задачи найти время, за которое шарик достигнет дна сосуда, а также время, по истечении которого скорость шарика будет отличаться от предельного значения на более, чем на 1%..
  5.  Медный шарик диаметром d = 1 см падает с постоянной скоростью в касторовом масле. Является ли движение масла, вызванное падением  в нем шарика, ламинарным? Критическое значение числа Рейнольдса Re = 0,5.
  6.   Латунный шарик диаметром d = 0,5 мм падает в глицерине.  Определить скорость v установившегося движения шарика. Является ли при этой скорости обтекание шарика ламинарным?
  7.  При движении шарика радиусом r1 = 2,4 мм в касторовом масле ламинарное обтекание наблюдается при скорости v1 шарика, не превышающей 10 см/с. При какой минимальной скорости v2  шарика радиусом r2 = 1 мм в глицерине обтекание станет турбулентным?
  8.   В высокий широкий сосуд налит глицерин (плотность ρ0 = 1,21 103 кг/м3, вязкость η = 0,35 Па с). В глицерин погружают вдалеке от стенок сосуда и отпускают без толчка шарик радиуса r = 1 мм. Плотность шарика ρ = 10 103 кг/м3. Первоначальная высота шарика над дном сосуда h = 0,5 м. Найти зависимость пути s, пройденного шариком, от времени t.
  9.   По данным предыдущей задачи определить время τ, за которое шарик достигнет дна сосуда.


Лабораторная работа № 9
ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ

Цель работы- изучение силы трения.

Приборы и принадлежности: трибометр - набор колец и дисков, лабораторный модуль ЛКМ-3, блок на вертикальной стойке, набор грузов, нити - длиной 45 см (бордовая) и длиной 120 см (бежевая), динамометр.

Введение

Трением называется механическое сопротивление, возникающее в плоскости касания двух прижатых друг к другу тел при их относительном перемещении. Сила сопротивления F, направленная противоположно относительному перемещению данного тела, называется силой трения, действующей на это тело. Трение является диссипативным процессом, сопровождающимся выделением теплоты, электризацией тел, их разрушением и т. д.

В данной работе мы имеем дело с так называемым сухим трением скольжения, которое в значительной степени зависит от состояния поверхностей трущихся тел и их химической природы.

Рассмотрим тело, лежащее на плоской поверхности, к которому приложена горизонтальная сила F. В том случае, когда сила F меньше некоторой величины Fтp.пок , тело остается неподвижным и сила трения остается равной величине силы F. При увеличении силы F в том случае, когда эта сила превысит значение Fтp.пок , тело придет в движение с ускорением а (рис. 1). Это ускорение может быть рассчитано по второму закону Ньютона:

ma = F-Fmp  , (1)

где  т - масса тела, Fтp - сила трения скольжения.

Французские физики Г. Амонтон и Ш. Кулон опытным путем установили закон: сила трения скольжения Fтp пропорциональна силе нормального давления FN ,  с которой одно тело действует на другое:

Fтp = μ FN    ,

где  FN   - сила, действующая на плоскую поверхность со стороны тела т, численно равная силе     N     со     стороны  плоской поверхности на тело (по третьему закону Ньютона), μ - коэффициент трения Рис. 1                                     скольжения.

На горизонтальной поверхности сила нормального давления равна силе тяжести: FN = mg.

Рис. 2

Описание установки

Трибометр состоит из двух дисков а) и б) (рис. 2) между которыми закрепляются два кольца из набора колец в), составляющих фрикционную

Рис. 3

пару. Нижний диск а) закрепляется на вращающемся столе 10 установки ЛКМ - 3. Два кольца из набора колец в) закрепляются на дисках и верхний диск б) накладывается на нижний диск а), так, чтобы ось нижнего диска вошла в отверстие верхнего диска. К верхнему диску прикрепляют один конец нити (короткая нить бордового цвета), второй конец которой, пропустив через блок 12, прикрепляют к динамометру 13 (рис. 3). Нить наматывают на шкив верхнего диска. На верхний диск помещается груз 11 известной массы. При прокручивании стола установки нижний диск начнет вращаться относительно верхнего диска, при этом с некоторого момента начнется проскальзывание нижнего кольца относительно верхнего, нить в натянутом состоянии передаст усилие, с которым взаимодействуют кольца, на динамометр по которому определяют силу трения.

Порядок выполнения работы

Задание I.  Измерение коэффициента трения в зависимости от
материала трущихся поверхностей и от величины нормального давления

  1.  Подключите датчик угла поворота стола к разъему №2 на задней стенке модуля ИСМ - 1. Переключатель 10 переведите в положение К2. Переключатель 4 - в положение ":1", переключатель 5 - в положение "цикл", переключатель 8 - в положение "+" или "-", переключатель 9 - в среднее положение. Включите питание модуля.
  2.  Соберите установку в соответствии с рис. 3. Медленно вращая стол установки ЛКМ -3 определите максимальное значение силы трения Fтp.пок и силу трения при проскальзывании одного кольца относительно другого Fтp. Результаты измерений занесите в табл. 1.
  3.  Рассчитайте коэффициенты трения покоя μо и трения скольжения μ формуле

                                                                       (1)

где - радиус шкива трибомера (= 34 мм),  - средний радиус фрикционного кольца (r = 30 мм), F - соответствующая сила трения, т - масса груза 11 (см. рис. 3).

  1.  Замените груз 11 на верхнем диске трибометра и повторите измерения.
  2.  Повторите измерения для других фрикционных пар.
  3.  Постройте график зависимости коэффициента трения μ от силы нормального давления N.

Задание II. Измерение коэффициента трения в зависимости от скорости движения трущихся поверхностей

1. Закрепите и намотайте длинную нить бежевого цвета на шкиве
вращающегося стола 10 так, чтобы, потянув за нить стол мог вращаться по
часовой стрелке.

Таблица 1

№ п/п

  Материал

фрикционной

     пары

m

 (кг)

N=mg

(H)

Fтp.пок

(H)

Fтp

(H)

μо

Μ

сталь-

резина

  1.  Подготовьте установку к измерениям для чего установите необходимую фрикционную пару колец на трибометре, установите соответствующий груз 11 массой т, приведите обе нити в натянутое положение. Нажмите кнопку "готов" на модуле ИСМ - 1.
  2.  Потянув за длинную нить, приведите стол установки во вращательное движение. Считайте время одного оборота стола с измерителя времени модуля ИСМ - 1 и силу трения с динамометра. Результаты измерений занесите в табл. 2.

4. Рассчитайте скорость движения трущихся поверхностей колец v по
формуле

         (2)

где - средний радиус кольца, t - время одного оборота стола.

Таблица 2

№ п/п

Материал

фрикционной

пары

m

 (кг)

F

(H)

t

(c)

v

(м/с)

Μ

  1.  Рассчитайте коэффициент трения μ по формуле (1).
  2.  Произведите измерения коэффициента трения при другой скорости движения стола.
  3.  Постройте график зависимости коэффициента трения от скорости движения трущихся поверхностей v.

Контрольные вопросы

  1.  Дайте определение поступательного и вращательного движения. Как связаны между собой кинематические характеристики поступательного и вращательного движения?
  2.  Как вводятся в динамику понятия  массы, силы и  импульса? Сформулируйте законы динамики поступательного движения.
  3.  Физическая сущность силы трения и коэффициента трения. Закон Амонтона. Постановка и решение задачи о движении тела по наклонной плоскости.
  4.  В чем состоят особенности сухого и вязкого трения? Графики зависимости силы трения от скорости движения. Каков характер движения тела под действием силы трения?
  5.  "Положительные" и "отрицательные" стороны трения. Способы увеличения и уменьшения силы трения. Существует ли трение в невесомости?

Задания для отчета по лабораторной работе

  1.  Для передвижения ящика массой 40 кг по бетонному полу необходимо ила 270 Н. Чему равен коэффициент трения покоя между коробкой полом?
  2.  Предположим, что вы стоите в вагоне поезда, движущегося с ускорением 0,42 g. Каким должен быть минимальный коэффициент трения между вашими подошвами и полом, чтобы вы не скользили?
  3.  С каким максимальным ускорением может двигаться автомобиль, если коэффициент трения покоя между шинами и покрытием дороги равен 0,35?
  4.  Груз массой 4 кг положен на доску массой 12 кг, движущуюся по горизонтальному столу с ускорением a = 5,2 м/с2 Найти минимальный коэффициент трения µ, при котором груз не будет двигаться по доске.
  5.  По данным предыдущей задачи: если μ составляет лишь половину этого максимального значения, то чему будут равны ускорения груза относительно стола и относительно доски?
  6.  Ящик массой 8 кг на наклонной плоскости с углом наклона 300 движется с ускорением 0,3 м/с2 . Найти силу трения, препятствующую этому движению. Чему равен коэффициент трения?
  7.  Ящик толкнули таким образом, что он начал скользить по полу. Как  далеко продвинется ящик, если коэффициент трения скольжения равен 0,3, а при толчке ему была сообщена скорость 3 м/с?
  8.  Автомобиль массой 1000 кг тянет прицеп массой 450 кг. Чтобы ускориться, автомобиль действует на землю силой в горизонтальном направлении, величина которой равна 3,5 103 Н. Коэффициент трения  равен 0,45. С какой силой автомобиль действует на прицеп?
  9.  Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью v = 3 м/с, прошел до остановки расстояние s = 20,4 м. Найти коэффициент трения камня о лед.
  10.  Мотоциклист, движущийся с постоянной скоростью 12 м/с, въезжает на участок дорого, покрытый песком, где коэффициент трения скольжения равен 0,8. Проскочит ли он песчаный участок без переключения скоростей, если протяженность участка равна 15 м? Если да, то какова будет его скорость в конце этого участка?
  11.  Два контейнера, масса одного из которых равна 95 кг, а другого – 125 кг, стоят, соприкасаясь друг с другом. К контейнеру массой 95 кг прикладывают силу величиной 650 Н. Если коэффициент трения скольжения равен 0,25,  то чему равно ускорение системы тел? Чему равна сила действия одного контейнера на другой?
  12.  Два тела массами  m1 = 0,25 кг и m2 = 0,15 кг  связаны тонкой нитью, переброшенной через блок рис. 9.1. Блок укреплен на краю горизонтального стола, по поверхности которого скользит тело массой m1. С каким ускорением a  движутся тела и каковы силы натяжения нити по обе стороны блока? Коэффициент трения µ тела о  поверхность стола  равен 0,2. Масса блока равна 0,1 кг и ее можно считать равномерно распределенной по ободу. Массой нити и трением в подшипниках оси блока пренебречь.
  13.   Наклонная плоскость рис 9.2 составляет угол α с горизонтом. Отношение масс m2/m1 = 2/3. Коэффициент трения между телом m1 и плоскостью μ = 0,1. Массы блока и нити пренебрежимо молы. Найти модуль и направление ускорения тела m2, если система пришла в движение из состояния покоя.
  14.  В установке рис.9.2 известны угол α и коэффициент трения µ между телом m1 и наклонной плоскостью. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет. Вначале оба тела неподвижны. Найти отношение масс m2/m1 при котором тело m2 начнет а) опускаться, б) подниматься.
  15.  Найти ускорения грузов в системе, изображенной на рис (9 Вольк.). M1 = 1 кг, M2 = 5 кг, M3 = 2 кг. Трением между грузом 2 и наклонной плоскостью пренебречь. Угол α = 300. Будет ли проскальзывание между грузами 1 и 2?
  16.  Автомобиль идет по закруглению шоссе, радиус R кривизны которого равен 200 м. Коэффициент трения коле о покрытие дороги равен 0,1 (гололед). При какой скорости v автомобиля начнется его занос?
  17.  Какую наибольшую скорость vmax может развить велосипедист, проезжая закругление радиусом R = 50 м, если коэффициент трения между шинами и асфальтом равен 0,3? Каков угол отклонения велосипеда от вертикали, когда велосипедист движется по закруглению?
  18.  Мотоцикл едет по поверхности вертикального цилиндра радиусом R = 11,2 м. Центр тяжести мотоцикла с человеком расположен на расстоянии l = 0,8 от поверхности цилиндра.  Коэффициент трения покрышек о поверхность цилиндра равен 0,6. С какой минимальной скоростью должен ехать мотоциклист? Каков при этом будет угол φ наклона его к плоскости горизонта?
  19.   На горизонтальной плоскости находятся два тела: брусок и электромотор с батарейкой на подставке. На ось электромотора намотана нить, свободный конец которой соединен с бруском. Расстояние между телами равно l, коэффициент трения между телами и плоскостью µ. После включения мотора  брусок, масса которого вдвое больше массы электромотора, начал двигаться с постоянным ускорением a . Через сколько времени оба тела столкнутся?
  20.  К бруску массой m, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, приложили постоянную по модулю силу F = mg/3. В процессе его прямолинейного движения угол α между направлением этой силы и горизонтом меняют по закону α =  ks, где k  - постоянная величина, s – пройденный бруском  путь (из начального положения). Найти скорость бруска как функцию угла α.


Лабораторная работа №10
ИССЛЕДОВАНИЕ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ

 Цель работы- ознакомление с характером собственных упругих колебаний, определение модуля Юнга металлов и логарифмического декремента затухания системы.

Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ-3, набор грузов, набор упругих стержней, пружина, нить с крючком, измерительная система ИСМ-1 (секундомер).

Введение

Установка для исследований упругих колебаний собрана на базе модуля ЛКМ-3 (см. рисунок). Упругий стержень (балка) 1 закреплен на стойке посредством цилиндрического кронштейна. К концу стержня прикреплен конец нити, перекинутой через блок. К другому концу нити прикреплен груз переменной массы, способный совершать колебания в вертикальном направлении

                                                Рис.1

при этом незакрепленный конец стержня колеблется в вертикальной плоскости.  

В механике простейшими колебательными системами с одной степенью свободы являются пружинные маятники. Период колебаний Т системы, изображенной на рисунке, при малом затухании может быть рассчитан по формуле

 ( 1)

где m - масса груза, k - коэффициент жесткости балки.

Для того, чтобы не учитывать массу балки 1 и шкива при измерении жесткости балки, воспользуемся формулой

k = 2 (m2m1/(T22  - Т12), (2)

где m1 и m2 – масса грузов, T1 и T2 – соответствующие им периоды колебаний.        

Жесткость балки определяется ее размерами, формой, способом закрепления и модулем упругости (модулем Юнга) Е ее материала. Для круглого стержня имеем:

 (3)

где d - диаметр, L - длина стержня.

Порядок выполнения работы

Задание I. Определение коэффициента упругости стержня

  1.  Соберите установку так, как это показано на рисунке. Закрепите на конце стержня 1 нить, перекиньте ее через блок и подвесьте к концу нити груз т. Стержень ориентируют перпендикулярно нити с погрешностью до 10°.
  2.  Измерьте линейкой 2 расстояние x1 от основания стойки до нижнего края груза.

Таблица 1

п/п  

материал   стержня

d

(мм)

m1

(кг)

m2

(кг)

Δm=m1- m2

(кг)

x1

(м)        

x2

(м)        

Δx= x1- x2

(м)

k

(Н/м)

1

сталь 1

2,95

2

сталь 2

3,99 3,99 3,99

3

латунь 1

2,96

4

латунь 2

3,95

3. Измените массу груза на величину Δm и измерьте новое расстояние х2 . Рассчитайте коэффициент упругости стержня по формуле (4) и данные занесите в табл. 1.

 (4)

4. Проделайте аналогичные измерения для других стержней.

Задание II. Определение коэффициента упругости и модуля Юнга стержня методом колебаний

  1.  Подключите датчик угла поворота блока к разъему № 2 на задней стенке модуля ИСМ - 1. Переключатель 10 переведите в положение К2. Переключатель 4 - в положение ":2", переключатель 5 - в положение "цикл", переключатель 8 - в положение "+" или "-", переключатель 9 - в среднее положение. Включите питание модуля.
  2.  Перекиньте нить через блок и закрепите на конце нити груз т. Поверните блок так, чтобы указатель блока совместился с нулевым делением шкалы, при этом щель диска блока должна находиться в зазоре фотодатчика так чтобы светился индикатор 3.
  3.  Слегка нажав на балку, отпустите ее и измерьте период ее колебаний Т1 с грузом m1. Измените массу груза и измерьте период колебаний Т2 с грузом т2.

4. Жесткость стержня рассчитайте по формуле (2), модуль Юнга по
формуле (3). Данные занесите в табл. 2. Повторите измерения для других
стержней.

Таблица 2

п/п

материал

стержня

d

(мм)

L

(м)

m1

(кг)

т 2

(кг)

Т1

(с)

Т2

(с)

k

Н/м

E

Н/м2

   Задание III. Определение логарифмического декремента и коэффициента

затухания системы с пружиной

1. Зацепите один конец пружины за крючок у основания стойки. Ко второму  концу  пружины  прикрепите  нить,   перекиньте  ее  через  блок  и

подвесьте к другому концу нити груз массой т. Приведите систему в колебательное движение. Измерьте период Т колебания груза. Результат запишите в табл. 3.

  1.  Отключите датчик угла поворота блока и переведите переключатель 4 в положение ":1". Выводя маятник из положения равновесия, отметьте его начальное отклонение хo.
  2.  Запустив маятник, измерьте время (с помощью кнопки 6 - "ручн") в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в 2 раза: x(t) = хo/2. Измерения проведите при разных значениях отклонения хo и массах груза т. Результаты измерений запишите в табл. 3.

4. Рассчитайте величину логарифмического декремента затухания по
формуле

 (5)

5. Рассчитайте коэффициент затухания β по формуле (6) и заполните
табл.3.

 (6)

Таблица 3

п/п

m

(кг)

Т1

(с)

t

(с)

хo

(м)

х

(м)

θ

Β

-1)

Контрольные вопросы

1.  Вывод уравнения гармонических колебаний для случая малых горизонтальных колебаний груза на пружинке.

2.  Запишите законы изменения во времени следующих параметров колебательного движения: смещения из положения равновесия, скорости и ускорения материальной частицы.

3.   Как изменяется во времени энергия колеблющейся частицы? Как в этих зависимостях находит отражение закон сохранения полной механической энергии?

4.   Вывод уравнения затухающих колебаний. Как соотносятся между собой периоды собственных затухающих и незатухающих колебаний? Почему затухающие колебания материальной частицы не являются гармоническими?

5.   Дайте определение коэффициента затухания, логарифмического декремента затухания и добротности колебательной системы.

6.  Дайте определение параметров напряженного состояния твердого тела: относительной деформации, модуля Юнга и коэффициента упругости. Сформулируйте закон Гука для твердого тела, находящегося в напряженном состоянии.

Задания  для отчета по лабораторной работе

  1.  К вертикальной проволоке длиной l  = 5 м и площадью поперечного сечения S = 2 мм2 подвешен груз массой m = 5,1 кг. В результате проволока удлинилась на x = 0,6 мм. Найти модуль Юнга материала проволоки.
  2.  К стальному стержню длиной l = 3 м и диаметром d = 2 см подвешен груз массой m = 2,5 103 кг. Определить напряжение σ в стержне. Модуль Юнга стали E = 220 ГПа (ГигаПаскаль).
  3.  По условиям предыдущей задачи определить относительное ε и абсолютное удлинение x стержня.
  4.  Проволока длиной l = 2 м и диаметром d = 1 мм натянута практически горизонтально. Когда к середине проволоки подвесили груз массой
    m = 1 кг, проволока растянулась настолько, что точка подвеса опустилась на h = 4 см. Определить модуль Юнга E материала проволоки.
  5.  Тонкий стержень одним концом закреплен, к другому концу приложен момент силы M = 1 кН м. Определить угол φ закручивания стержня, если постоянная кручения C = 120 кН м /рад.
  6.  Коэффициент линейного теплового расширения стали равен
    12 10
    -6 0С-1., модуль Юнга E = 2 1012 дин/см2. Какое давление p необходимо приложить к торцам стального цилиндра, чтобы длина его оставалась неизменной при повышении температуры на 1000 С.
  7.  Стальной канат диаметра 9 мм может выдержать вес неподвижной кабины лифта. Какой диаметр должен иметь канат, если кабина лифта может иметь ускорение до 8 g.
  8.  Насколько вытягивается стержень из железа (модуль Юнга 220 ГПа), подвешенный за один конец под действием собственного веса?
  9.  По условиям предыдущей задачи определить, насколько меняется объем стержня.
  10.  10.Какую работу A надо совершить, чтобы растянуть на x = 1 мм стальной стержень (E = 220 ГПа) длиной l = 1 м и площадью поперечного сечения S = 1 см2.
  11.  Точка совершает колебания с частотой ω и коэффициентом затухания β. Найти амплитуду скорости точки как функцию времени, если в момент t = 0 амплитуда ее смещения равна a0.
  12.  По условиям предыдущей задачи найти амплитуду скорости точки как функцию времени, если в момент  t = 0 смещение x(0) = 0 и проекция скорости vx = v0.
  13.  Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания λ0 = 1,5. Каким будет значение λ, если сопротивление среды увеличить в n = 2 раза?
  14.  По условиям предыдущей задачи определить, во сколько раз следует увеличить сопротивление среды, чтобы колебания стали невозможны?
  15.  К пружине подвесили груз, и она растянулась на Δx = 9,8 см. Логарифмический декремент затухания λ = 3,1. С каким периодом будет колебаться груз в вертикальном направлении?
  16.  Амплитуда затухающих колебаний маятник за время t1 = 5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t2 , считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?
  17.  За время t = 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания β.
  18.  Логарифмический декремент затухания колебаний маятника равен 0.003. Определить число N полных колебаний, которые должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза?
  19.  Амплитуда колебаний маятника длиной l = 1 м за время t = 10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент затухания β.
  20.  Определить период T затухающих колебаний, если период T0 собственных колебаний системы равен 1 с и логарифмический декремент λ = 0,628.

 

 


Приложение I
               Коэффициенты Стьюдента (при а = 0,95)

 п

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

τ(α,n)

12,7

4,3

3,2

2,8

2,6

2,4

2,4

2,3

2,3

2,1

2

  

Приложение II .  
Обработка экспериментального графика методом наименьших квадратов

Зависимость измеряемой величины у от условий опыта х может быть найдена графически, если нанести значения х и у на миллиметровую бумагу и построить плавную кривую так, чтобы точки равномерно распределились по обе стороны кривой (рис. 1). Задача состоит в том, чтобы по результатам опытов построить такую кривую у = f(x), относительно которой разброс (отклонения) экспериментальных точек был бы минимальным.

Tеория вероятности показывает, что наилучшее приближение к истинной зависимости у = f(x) дает кривая, построенная методом наименьших квадратов. В этом  случае сумма квадратов отклонений экспериментальных значений уi от кривой у = f(x) будет минимальна. Отсюда и происходит название данного метода обработки результатов эксперимента.

       1. Рассмотрим применение метода наименьших   квадратов   для   случая, когда между измеряемыми величинами хиу существует ли-нейная зависимость

                   Рис. 1                                y = bx .  (1)

Пусть в результате эксперимента получено п различных значений величины уi соответствующих различным значениям величины хi . Найдем коэффициент b, при котором экспериментальные точки уi будут иметь наименьшие отклонения Δуi относительно прямой.

Отклонение каждого значения уi от прямой   у = bх   будет

yi - b xi = Δyi   .    (2)

Составим сумму квадратов отклонений:

                                          (3)

Отклонение (разброс) измеренных значений   уi  от функции у = f(x) будет минимальным, если

                    (4)

Дифференцирование (3) по переменной b (предположив, что все остальные величины постоянны) с учетом (4) дает

 или     (5)

  Отсюда определяем искомый коэффициент b:

 (6)

2. В случае линейной зависимости между величинами х и у, которая аппроксимируется прямой, не проходящей через начало координат

у = а + bх , (7)

коэффициенты а и b могут быть вычислены по формулам:

                               

               (8)

Пример:  предположим, что мы провели эксперимент и получили данные, которые занесли в табл. 1.

                                                                                                               Таблица 1 

№ измерения i

1

2

3

4

5

xi

1,0

1,9

3,1

4,0

4,9

yi

1,6

2,5

3,0

3,7

4,6

Для упрощения расчетов составим вспомогательную таблицу и заполним ее.

Таблица 2

№ измерения i

xi

yi

xi уi

xi2

1

1,0

1,6

1,6

1,0

2

1,9

2,5

4,75

3,61

3

3,1

3,0

9,3

9,61

4

4,0

3,7

14,8

16,0

5

4,9

4,6

22,54

24,01

Σ

14,9

15,4

52,99

54,23

Рассчитаем коэффициенты а и  b:

Таким образом, уравнение прямой будет выглядеть следующим образом:

у = 0,928 + 0,722 х .

Для построения отрезка прямой линии найдем  две точки, через которые проходит эта прямая. Первую точку получим при  х = 0:

y1 = 0,928 .

Вторую точку получим, подставив в уравнение прямой значение х, равное, например, 5:

         Рис. 2                                        у2 = 0,928 + 0,722 · 5 = 4,538 .

На листе миллиметровой бумаги проведем оси координат, причем ось у проведем вертикально, а ось х - горизонтально. Выберем и нанесем на оси коор-

динат масштаб так, чтобы наши экспериментальные точки располагались на графике наилучшим образом - занимали на графике максимальную площадь.   Нанесем   на   график   экспериментальные   точки   и   две   точки у1 и у2, рассчитанные нами (рис. 2).  Для обозначения экспериментальных и "теоретических" точек используем разные обозначения (кружки, крестики, треугольники и т. п.).

    Через две "теоретических" точки проведем отрезок прямой линии. При правильных расчетах линия пройдет на графике наилучшим образом, так, что экспериментальные точки будут располагаться справа и слева от прямой. Все построения желательно делать карандашом.

Список рекомендуемой литературы

  1.  Братухин Ю. К., Путин Г. Ф. Обработка результатов измерений. Пермский университет - Пермь, 1988.- 44 с.

2. Сборник методических рекомендаций к лабораторным работам по физике. Часть 1. Механика. Сост. Герцен Т. А. и др. Пермь.: Ротапринт ПГТУ. 1997.-   с.

3. Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин. Л.: Наука, 1985.- 108 с.

4. Общий физический практикум. Механика / Под ред. А.Н. Матвеева, Д.Ф. Киселева. Сост. Деденко Л.Г. и др.  М.: Изд-во МГУ, 1991.- 272 с.

5. Савельев И. В. Курс физики. Т. 1. Механика. М.: Наука, 1989.- 496 с.

6. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.1. М.: Наука, 1989.- 576 с.

7. Общая физика. Ч.2. Молекулярная физика и термодинамика. Под общ. ред.

Райхера Ю.Л. Сост. Ибраева Р.М. и др. Пермь.: Ротапринт ПГТУ. 1998.-81с.

Содержание

[1] Лабораторная работа № 5
ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

[2] Задачи для отчета по лабораторной работе

[3] Список рекомендуемой литературы


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29360. Машинно-независимая оптимизация циклических участков программ 28 KB
  Рассмотрим возможные преобразования над цикличными участками покажем на примере констрии цикла с заданным количеством повторения.В языке Паскаль такая циклическая конструкция имеет следующий вид: for i: =a to b dobeginтело циклаend;В бейсике: for i =a to b step Sтело циклаnext iв таких конструкциях а и b – границы изменения переменной циклаНад подобными конструкциями выполняются следующие оптимизационные преобразования:1. вынесение из тела цикла операций операций которые не измен. в теле цикла;2.
29361. Генерация объектного кода для тетрадной формы представления программ 99.5 KB
  последовательность команд загруженных в фиксированные ячейки памяти2. последовательность перемещенных машинных команд3. Предположим что сумматор может выполнять 4 арифметические операции а в целом система команд также включает еще 2 команды: загрузки сумматора из памяти и сохранение результатов в память.Систему команд такой машины можно представить следующим образом:При выполнении любой из первых двух команд содержимое источника копируется в приемник а при выполнении оставшихся 4 команд содержимое ячейки памяти не изменяется.
29362. Генерация объектного кода по семантическому дереву 52.5 KB
  Существует 3 формы объектного кода1. Чтобы показать процесс генерации кода можно рассмотреть теоретическую вычислительную машину с одним сумматором и неограниченной памятью.Генерация кода осуществляется для программы представленной в некоторой внутренней форме наиболее удобной из которых для генерации кода является список тетрад.
29363. Машинно – зависимая оптимизация объектного кода в языковых процессорах САПР 25 KB
  В самом простом случае машиннозависимая оптимизация заключается в удалении из сформированной последовательности команд избыточных команд загрузки и чтения. Если сложение является коммутативной операцией то последовательность команд LOAD OP1 можно заменить LOAD OP2 ADD OP2 = ADD OP1 2. Если умножение является коммутативной операцией то последовательность команд LOAD OP1 можно заменить LOAD OP2 MULT OP2 = MULT OP1 Эти 2 правила основаны на свойстве коммутативности операций и обеспечивают перестановку местами операндов в соответствующих...
29364. Хеш – адресация в информационных таблицах 51.5 KB
  В основе организации таблиц с хешадресацией лежит процедура хеширования. Хеширование – преобразование символьного имени идентификатора в числовой индекс элемента таблицы с помощью простых арифметических и логических операций.Конкретный способ хеширования задает хешфункция.
29365. Методы вычисления хеш-функции 24 KB
  Хорошая хешфункция распределяет вычисляемые индексы элементов в таблице равномерно по всей таблице чтобы уменьшить количество возникающих коллизий. Лучший результат дает использование в качестве хешфункции кода последнего символа имени.В трансляторах хешфункция является более сложной и зависит как от кодов внутреннего представления символов имени так и от его длины.
29366. Разрешения коллизий в хеш-таблицах методом рехеширования 31.5 KB
  Является не пустым возникает коллизия которую надо устранить путём выбора другой ячейки таблицы для имени S. Выбор такой ячейки производится:h1 = h p1mod N p1 – некоторое приращение. Если элемент таблицы h1 тоже не пустой то рассматривается новый элемент:h2 = h p2mod N hi = h pimod N до тех пор пока не будет найден элемент таблицы что1 элемент пустой тогда имя S в таблице отсутствует и записывается в таблице под инд. элементами таблицы должно быть минимальным. p1 = 1 p2 = 2 pi =...
29367. Реализация операций поиска и записи в хеш-таблицах по методу цепочек 27 KB
  на размер таблицы т. ситуация переполнения таблицы отсутствует.Для реализации метода цепочек необходимо следующее: таблица имён с дополнительным полем связи которое может содержать либо 0 либо адреса других элементов этой же таблицы. последнего записанного элемента таблицы.