49975

ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Вероятность того что прочность элемента будет находиться на интервале s т. это вероятность разрушения. Вероятность неразрушения равна 1Pis для iтого элемента. Аналогично для всей системы ее вероятность не разрушения 1Pcs где Pсs – интегральное распределение прочности всей системы состоящей из n последовательно соединенных элементов.

Русский

2014-01-13

212.5 KB

3 чел.

15

8. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ

8.1 Последовательное соединение элементов

При последовательном соединении элементов разрушение происходит по наиболее слабому из них. Последовательным соединением элементов может быть названо также любое их соединение, образующее статически определимую систему. (Прочность – случайна, – напряжение в стержне от фактической определенной нагрузки).

Интегральный закон распределения прочности i-того элемента системы – Pi(s) (т.е. вероятность того, что прочность элемента будет находиться на интервале (-,s), т.е. это вероятность разрушения). Вероятность неразрушения равна 1-Pi(s) для i-того элемента. Аналогично для всей системы ее вероятность не разрушения 1-Pc(s), где Pс(s) – интегральное распределение прочности всей системы, состоящей из n последовательно соединенных элементов. Согласно (3/2) и (4/2)

                                                            (92.8)

Предполагается, что прочность каждого элемента является независимой с.в. Если все элементы имеют одинаковые распределения своей прочности, выраженной через внешнюю нагрузку (Pi(s)=P1(s),  i =1,2,…,n), то вероятность не разрушения

1 - Pc(s) = [1 - P1(s)]n                                                       (93.8),

где P1(s) – интегральное распределение прочности каждого элемента.

Распределение плотности вероятности разрушения системы:

pc(s)=n[1-P1(s)]n-1p1(s)                                                         (94.8),

где p1(s) – плотность распределения прочности каждого элемента.

Если прочность элементов подчиняется распределению Вейбулла (54.4)

P1(s) = 1- exp(-csb)                                                              (95.8),

то подставив (95.8) в (93.8) получим (вероятность разрушения системы)

Pc(s) = 1- exp(-cnsb)=1 - exp(-cyb)                                            (96.8),

где , т.е. распределения Pc(s) и P1(s) различаются лишь масштабом вдоль оси s, который для случайной величины прочности системы Rc в  раз меньше, чем для случайной величины прочности элемента R1. Следовательно, в этом отношении изменяются (при переходе от одного элемента к системе последовательно соединенных элементов) и математическое ожидание и стандарт прочности

,                                                              (97.8)

Если стержни системы сделаны из одного материала, но имеют различные поперечные сечения, то формула вероятности неразрушения системы:

                                                        (98.8),

где  (в каждом стержне свое конкретное напряжение).

Здесь F – внешняя нагрузка;

si – напряжение, вызываемое усилием  в i-том стержне;

- усилие в i-том элементе от внешней нагрузки F=1; Ai – площадь сечения i-того стержня.

В случае, когда прочность материала подчиняется распределению Вейбулла (54.4), вероятность неразрушения системы (подставим (95.8) в (98.8)):

                                 (99.8)

Тогда м.о. и стандарт прочности системы:

,                                                          (100.8)

Пример. 

Дано: стальная статически определимая ферма. Нагрузка и размеры детерминированы, прочность всех стержней случайна, независима и распределена одинаково по нормальному закону. Сталь С245. Расчетное сопротивление Ry = 240 МПа, матожидание предела текучести  МПа, стандарт предела текучести (Ry) = 20 МПа. Тогда коэффициент вариации предела текучести

     (7,7%).

Обычным путем получены усилия, подобраны сечения и найдены напряжения в стержнях фермы. Необходимо найти вероятность неразрушения (надежность) фермы.

Функция распределения прочности элементов:

,

где - напряжение, действующее в стержне.

Значение P() – есть вероятность того, что случайный предел текучести Ry будет меньше действующего напряжения , т.е. вероятность разрушения. Через интеграл вероятности Гаусса:  определим вероятности разрушения каждого стержня:

;

;

;

;

;

, .

Элемент

Расчетное усилие, кН

Унифицированное сечение

Площадь А, см2

Напряжение , МПа

Вероятности разрушения

ВП

3-5

-316

2L100x7

25.6

-220.4

228

0.0239

5-7

-316

25.6

-220.4

0.0239

НП

1-4

232.2

2L75x5

14.78

157

0

4-6

313.2

14.78

212

0.0082

Ст.

4-5

-60.81

2L50x5

9.6

-141

0

Рас.

1-3

-313.8

2L90x6

21.2

-221

0.0256

3-4

148.2

2L50x5

9.6

154.3

0

4-7

-30.7

2L63x5

12.26

-104.4

0

Тогда по (93.8) вероятность неразрушения фермы (надежность):

1 - Pc(r) = (1-0.0239)4(1-0.0082)2(1-0.0256)2=0.8478.

Ферма обладает такой надежностью в случае действия максимальных нагрузок, вероятность появления которых невелика, поэтому действительная надежность фермы больше. Кроме того, ферма не является в действительности статически определимой системой и появление в стержне напряжения равного пределу текучести не есть еще разрушение этого стержня.

8.2  Параллельное соединение элементов

Считаем элементы идеально хрупкими, модуль упругости и площадь сечения элементов одинаковыми и детерминированными. Известна функция распределения прочности Pr(R) и плотность распределения pr(R), 

                                                  (101.8).

Внешнее усилие N распределяется поровну между всеми n элементами, в которых напряжения не достигли предельных. При напряжении из строя выходит nPr() элементов (произведение общего количества стержней на вероятность выхода из строя одного) и м.о. воспринимаемого усилия:

                                                               (102.8)

или т.к. , то

                                                             (103.8).

Уравнение (10.3) описывает диаграмму работы системы n параллельно соединяемых хрупких элементов, т.е. кривую состояний равновесия этой системы. Pr() – вероятность того, что прочность R будет меньше действующего напряжения , т.е. вероятность хрупкого разрушения стержня, F – площадь поперечного сечения каждого стержня. Рассмотрим зависимость напряжений от деформаций для хрупкого стержня = (). 

Напряжения в стержне – с.в., т.к. его предел прочности R также с.в.

М.о. действующего в стержне напряжения (из 102.8)

и при n=1

                                                            (104.8),

где  - м.о. напряжения в стержне при деформации .

Т.к. функция () разрывная, то возможны два события:

  1.  сопротивление равно E и вероятность этого ;
  2.   сопротивление равно 0 и вероятность этого , т.е. вероятность хрупкого разрушения стержня и падения напряжения до нуля.

Согласно этому (и используя формулу определения м.о. для двух случайных событий )

математическое ожидание:

      (идентично 104.8).

Дисперсия  (используя формулу для дисперсии ):

       (105.8).

Подобным образом получаем корреляционную функцию

.

Данные характеристики относятся к одному хрупкому стержню. В случае n параллельно работающих стержней сопротивление системы (при одинаковой для всех стержней деформации) равно сумме сопротивлений составляющих:

,

где  и  - случайные несущая способность системы и действующее напряжение в i-том стержне.

М.о. несущей способности

, что аналогично (102.8).

Дисперсия несущей способности системы:  (см. далее 105.8). При этом предполагается, что прочности отдельных стержней – независимые с.в.

При нормальном распределении м.о. максимальной несущей способности системы:

,

где Ф(u) – интеграл вероятности Гаусса,

,

где  - ожидаемая прочность одного стержня (м.о.);

(R) – стандарт этой прочности;

- коэффициент вариации прочности одного стержня.

Дисперсия несущей способности системы:

.

Коэффициент изменчивости несущей способности системы:

.

Пример. Определим надежность статически неопределимой системы.

Дано: нагрузка и размеры – детерминированы, прочность (предел текучести Ry) всех стержней случайна, независима и распределена одинаково по нормальному закону. Сталь С245, Ry=240 МПа, МПа – м.о. предела текучести; (Ry)=25 МПа (достаточно большой разброс), N=130кН, А1=6см2, А2=10 см2, l1=1.5 м, l2=1 м, а=1 м.

Считаем, также, что разрыв стержней происходит хрупко, динамический эффект хрупкого разрушения не учитываем.

Вычисляем усилия в стержнях.

А) МА=-N3a+N12a+ N2a=0,

, ,

и подставляя в уравнение равновесия, получим

(кН),

тогда  (кН)

и напряжения  (МПа),  (МПа).

Б) В случае хрупкого обрыва стержня 1:

МА= -N3a+ N2a=0   (кН)

и напряжение в оставшемся стержне 2:  (МПа).

В) В случае хрупкого обрыва стержня 2: МА= -N3a+ N12a = 0  (кН)

и напряжение в оставшемся стержне 1:  (МПа).

Вероятность неразрушения системы определим по формуле полной вероятности (9.2). Система не разрушится в трех случаях:

А) не разрушится и стержень 1 и 2 – вероятность этого Pa;

Б) разрушится стержень 1, но не разрушится стержень 2 – Pб;

В) разрушится стержень 2, но не разрушится стержень 1 – Pв;

А) Ра=(1-Р1(1а))(1 - Р2(2а)), где Р1(1а) – вероятность разрушения стержня 1 (т.е. предел текучести будет меньше действующего напряжения 1).

(1-Р1(1а)) – вероятность неразрушения стержня 1;

(1-Р2(2а)) – вероятность неразрушения стержня 2, при условии, что стержень 1 не разрушился.

Б) Рб=Р1(1а)(1-Р2(2б)), где Р1(1а) – вероятность разрушения стержня 1.

(1-Р2(2б)) – вероятность не разрушения стержня 2, при условии, что стержень 1 разрушился.

.

В) Рв=Р2(2а)(1-Р1(1в)), где Р2(2а) – вероятность разрушения стержня 2.

(1-Р2(2б)) – вероятность неразрушения стержня 1, при условии, что стержень 2 разрушился.

.

Тогда вероятность неразрушения системы (события а, б, в – не совместны):

Рс = Рабв= 0,99179 + 210-9 + 2510-9 = 0,99179.

Значения двух последних слагаемых очень малы, поэтому с достаточной степенью точности можно сказать, что статическая неопределимость в данной системе почти не увеличивает ее надежность. Однако, при увеличении степени статической неопределимости увеличение за счет ее надежности системы более существенно.

На рисунках показаны зависимости надежности системы (с параметрами из задачи) от усилия N, от предела текучести Ry и от стандарта (Ry). Максимальная надежность данной системы наблюдается при выравнивании напряжений в стержнях, т.е. при . При увеличении разброса прочности (Ry) увеличивается разброс воспринимаемой нагрузки (кривая зависимости надежности от нагрузки становится более пологой).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35006. Методы воздействия государства на экономику 29.5 KB
  Государственное регулирование это форма целенаправленного воздействия государства на функционирующую экономическую систему с целью обеспечения пли поддержания определенных процессов изменений экономических явлений или их связей. В развитых странах есть два пути сокращения государственных расходов: уменьшение расточительства государственных органов и сужение сферы деятельности государства. Другая форма денежнокредитных отношений активное участие государства в операциях на рынке ценных бумаг с целью регулирования количества обращающихся...
35007. Роль, макроэкономических показателей 33.5 KB
  В мире успешно функционирует система национальных счетов СНС приспособленная к условиям рыночной экономики. В тот период она была связана прежде всего с обслуживанием интересов органов государственного уиравления а сегодня СНС проникла во все сферы экономической и общественнополитической жизни общества. В феврале 1993 года на очередной сессии Статистической комиссии ООН в НьюЙорке была принята новая усовершенствованная СНС. В конце 1992 года Верховный Совет Российской Федерации одобрил государственную программу перехода...
35008. ВНП и его расчет по доходам и расходам 35.5 KB
  При расчете ВНП учитывается только рыночная стоимость конечных продуктов и исключается промежуточная продукция. Поскольку в стоимость конечных продуктов входят все уже имевшие место промежуточные сделки покупка покрышек ткани производителями конечной продукции то отдельный учет промежуточной продукции означал бы двойной счет и завышенную оценку ВНП. Следует подчеркнуть одну из особенностей ВНП: он измеряет стоимость продукции произведенной факторами производства находящимися в собственности граждан данной страны даже если они живут...
35009. ВНП 31.5 KB
  Различают индекс потребительских цен ИПЦ и индекс цен ВНП или дефлятор ВНП который отражает не только цены потребительских товаров и услуг но и инвестиционных товаров. Дефлятор ВНП помогает проводить корректировку объема ВНП за определенное время измерять рост его реального объема по сравнению с номинальным. Номинальный ВНП измеряется в текущих ценах реальный в постоянных базовых ценах.
35010. Экономический цикл 26.5 KB
  Развитие экономики в режиме циклических колебаний прослеживается уже более 170 лет. Период движения экономики от одного кризиса к другому называется экономическим циклом. Вместе с тем подъем выводящий экономику на новый уровень в ее поступательном развитии заканчивается новой бездной краха Для сглаживания пиков экономической конъюнктуры государство использует разнообразные экономические инструментарии от льгот по налогообложению доходов до прямых вложений государственных средств в развитие экономики. Несмотря на определенные успехи...
35011. Безработица как макроэкономическая проблема 25.5 KB
  Отметим следующие виды безработицы: Фрикционная безработица порождена постоянным движением населения из одного региона в другой от профессии к профессии сменой этапов жизни учеба работа рождение ребенка и т. Технологическая безработица связана с внедрением в массовое производство достижений НТР. Структурная безработица вызвана масштабными структурными преобразованиями в экономике и невозможностью трудоустроиться изза несовпадения структуры спроса и предложения рабочей силы различной квалификации.
35012. Экономические издержки безработицы 28.5 KB
  По свидетельству американских специалистов потеря работы связана с психической травмой уступающей по уровню стресса только смерти ближайшего родственника или заключению в тюрьму. Это нормально если часть людей не работает потому что вынуждены поменять профессию или место работы. Меры государственной поддержки безработных сводятся к двум основным направлениям: социальной защите людей оставшихся без работы и содействие трудоустройству. Как правило его получают лица зарегистрированные на бирже труда имеющие стаж работы и вносившие...
35013. Естественный уровень безработицы 24.5 KB
  Это нормально если часть людей не работает потому что вынуждены поменять профессию или место работы. Меры государственной поддержки безработных сводятся к двум основным направлениям: социальной защите людей оставшихся без работы и содействие трудоустройству. Как правило его получают лица зарегистрированные на бирже труда имеющие стаж работы и вносившие определенное время взносы в фонд занятости. Биржи ведут учет свободных рабочих мест и граждан обращающихся по вопросам трудоустройства информируют граждан и работодателей...
35014. Инфляция: сущность, виды, причины и источники 32.5 KB
  Зародившись на денежном рынке вирусы инфляции затем проникают дальше поражая другие части хозяйственного организма. Различают следующие виды инфляции: открытая и подавленная сбалансированная и несбалансированная ожидаемая и неожидаемая инфляция. Этот тип инфляции характерен для стран с рыночной экономикой. В условиях подавленной инфляции цены весьма далеки от реальных изменений потребностей и спроса что способствует хроническому недопроизводству товаров пользующихся спросом.