49975

ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Вероятность того что прочность элемента будет находиться на интервале s т. это вероятность разрушения. Вероятность неразрушения равна 1Pis для iтого элемента. Аналогично для всей системы ее вероятность не разрушения 1Pcs где Pсs – интегральное распределение прочности всей системы состоящей из n последовательно соединенных элементов.

Русский

2014-01-13

212.5 KB

3 чел.

15

8. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ

8.1 Последовательное соединение элементов

При последовательном соединении элементов разрушение происходит по наиболее слабому из них. Последовательным соединением элементов может быть названо также любое их соединение, образующее статически определимую систему. (Прочность – случайна, – напряжение в стержне от фактической определенной нагрузки).

Интегральный закон распределения прочности i-того элемента системы – Pi(s) (т.е. вероятность того, что прочность элемента будет находиться на интервале (-,s), т.е. это вероятность разрушения). Вероятность неразрушения равна 1-Pi(s) для i-того элемента. Аналогично для всей системы ее вероятность не разрушения 1-Pc(s), где Pс(s) – интегральное распределение прочности всей системы, состоящей из n последовательно соединенных элементов. Согласно (3/2) и (4/2)

                                                            (92.8)

Предполагается, что прочность каждого элемента является независимой с.в. Если все элементы имеют одинаковые распределения своей прочности, выраженной через внешнюю нагрузку (Pi(s)=P1(s),  i =1,2,…,n), то вероятность не разрушения

1 - Pc(s) = [1 - P1(s)]n                                                       (93.8),

где P1(s) – интегральное распределение прочности каждого элемента.

Распределение плотности вероятности разрушения системы:

pc(s)=n[1-P1(s)]n-1p1(s)                                                         (94.8),

где p1(s) – плотность распределения прочности каждого элемента.

Если прочность элементов подчиняется распределению Вейбулла (54.4)

P1(s) = 1- exp(-csb)                                                              (95.8),

то подставив (95.8) в (93.8) получим (вероятность разрушения системы)

Pc(s) = 1- exp(-cnsb)=1 - exp(-cyb)                                            (96.8),

где , т.е. распределения Pc(s) и P1(s) различаются лишь масштабом вдоль оси s, который для случайной величины прочности системы Rc в  раз меньше, чем для случайной величины прочности элемента R1. Следовательно, в этом отношении изменяются (при переходе от одного элемента к системе последовательно соединенных элементов) и математическое ожидание и стандарт прочности

,                                                              (97.8)

Если стержни системы сделаны из одного материала, но имеют различные поперечные сечения, то формула вероятности неразрушения системы:

                                                        (98.8),

где  (в каждом стержне свое конкретное напряжение).

Здесь F – внешняя нагрузка;

si – напряжение, вызываемое усилием  в i-том стержне;

- усилие в i-том элементе от внешней нагрузки F=1; Ai – площадь сечения i-того стержня.

В случае, когда прочность материала подчиняется распределению Вейбулла (54.4), вероятность неразрушения системы (подставим (95.8) в (98.8)):

                                 (99.8)

Тогда м.о. и стандарт прочности системы:

,                                                          (100.8)

Пример. 

Дано: стальная статически определимая ферма. Нагрузка и размеры детерминированы, прочность всех стержней случайна, независима и распределена одинаково по нормальному закону. Сталь С245. Расчетное сопротивление Ry = 240 МПа, матожидание предела текучести  МПа, стандарт предела текучести (Ry) = 20 МПа. Тогда коэффициент вариации предела текучести

     (7,7%).

Обычным путем получены усилия, подобраны сечения и найдены напряжения в стержнях фермы. Необходимо найти вероятность неразрушения (надежность) фермы.

Функция распределения прочности элементов:

,

где - напряжение, действующее в стержне.

Значение P() – есть вероятность того, что случайный предел текучести Ry будет меньше действующего напряжения , т.е. вероятность разрушения. Через интеграл вероятности Гаусса:  определим вероятности разрушения каждого стержня:

;

;

;

;

;

, .

Элемент

Расчетное усилие, кН

Унифицированное сечение

Площадь А, см2

Напряжение , МПа

Вероятности разрушения

ВП

3-5

-316

2L100x7

25.6

-220.4

228

0.0239

5-7

-316

25.6

-220.4

0.0239

НП

1-4

232.2

2L75x5

14.78

157

0

4-6

313.2

14.78

212

0.0082

Ст.

4-5

-60.81

2L50x5

9.6

-141

0

Рас.

1-3

-313.8

2L90x6

21.2

-221

0.0256

3-4

148.2

2L50x5

9.6

154.3

0

4-7

-30.7

2L63x5

12.26

-104.4

0

Тогда по (93.8) вероятность неразрушения фермы (надежность):

1 - Pc(r) = (1-0.0239)4(1-0.0082)2(1-0.0256)2=0.8478.

Ферма обладает такой надежностью в случае действия максимальных нагрузок, вероятность появления которых невелика, поэтому действительная надежность фермы больше. Кроме того, ферма не является в действительности статически определимой системой и появление в стержне напряжения равного пределу текучести не есть еще разрушение этого стержня.

8.2  Параллельное соединение элементов

Считаем элементы идеально хрупкими, модуль упругости и площадь сечения элементов одинаковыми и детерминированными. Известна функция распределения прочности Pr(R) и плотность распределения pr(R), 

                                                  (101.8).

Внешнее усилие N распределяется поровну между всеми n элементами, в которых напряжения не достигли предельных. При напряжении из строя выходит nPr() элементов (произведение общего количества стержней на вероятность выхода из строя одного) и м.о. воспринимаемого усилия:

                                                               (102.8)

или т.к. , то

                                                             (103.8).

Уравнение (10.3) описывает диаграмму работы системы n параллельно соединяемых хрупких элементов, т.е. кривую состояний равновесия этой системы. Pr() – вероятность того, что прочность R будет меньше действующего напряжения , т.е. вероятность хрупкого разрушения стержня, F – площадь поперечного сечения каждого стержня. Рассмотрим зависимость напряжений от деформаций для хрупкого стержня = (). 

Напряжения в стержне – с.в., т.к. его предел прочности R также с.в.

М.о. действующего в стержне напряжения (из 102.8)

и при n=1

                                                            (104.8),

где  - м.о. напряжения в стержне при деформации .

Т.к. функция () разрывная, то возможны два события:

  1.  сопротивление равно E и вероятность этого ;
  2.   сопротивление равно 0 и вероятность этого , т.е. вероятность хрупкого разрушения стержня и падения напряжения до нуля.

Согласно этому (и используя формулу определения м.о. для двух случайных событий )

математическое ожидание:

      (идентично 104.8).

Дисперсия  (используя формулу для дисперсии ):

       (105.8).

Подобным образом получаем корреляционную функцию

.

Данные характеристики относятся к одному хрупкому стержню. В случае n параллельно работающих стержней сопротивление системы (при одинаковой для всех стержней деформации) равно сумме сопротивлений составляющих:

,

где  и  - случайные несущая способность системы и действующее напряжение в i-том стержне.

М.о. несущей способности

, что аналогично (102.8).

Дисперсия несущей способности системы:  (см. далее 105.8). При этом предполагается, что прочности отдельных стержней – независимые с.в.

При нормальном распределении м.о. максимальной несущей способности системы:

,

где Ф(u) – интеграл вероятности Гаусса,

,

где  - ожидаемая прочность одного стержня (м.о.);

(R) – стандарт этой прочности;

- коэффициент вариации прочности одного стержня.

Дисперсия несущей способности системы:

.

Коэффициент изменчивости несущей способности системы:

.

Пример. Определим надежность статически неопределимой системы.

Дано: нагрузка и размеры – детерминированы, прочность (предел текучести Ry) всех стержней случайна, независима и распределена одинаково по нормальному закону. Сталь С245, Ry=240 МПа, МПа – м.о. предела текучести; (Ry)=25 МПа (достаточно большой разброс), N=130кН, А1=6см2, А2=10 см2, l1=1.5 м, l2=1 м, а=1 м.

Считаем, также, что разрыв стержней происходит хрупко, динамический эффект хрупкого разрушения не учитываем.

Вычисляем усилия в стержнях.

А) МА=-N3a+N12a+ N2a=0,

, ,

и подставляя в уравнение равновесия, получим

(кН),

тогда  (кН)

и напряжения  (МПа),  (МПа).

Б) В случае хрупкого обрыва стержня 1:

МА= -N3a+ N2a=0   (кН)

и напряжение в оставшемся стержне 2:  (МПа).

В) В случае хрупкого обрыва стержня 2: МА= -N3a+ N12a = 0  (кН)

и напряжение в оставшемся стержне 1:  (МПа).

Вероятность неразрушения системы определим по формуле полной вероятности (9.2). Система не разрушится в трех случаях:

А) не разрушится и стержень 1 и 2 – вероятность этого Pa;

Б) разрушится стержень 1, но не разрушится стержень 2 – Pб;

В) разрушится стержень 2, но не разрушится стержень 1 – Pв;

А) Ра=(1-Р1(1а))(1 - Р2(2а)), где Р1(1а) – вероятность разрушения стержня 1 (т.е. предел текучести будет меньше действующего напряжения 1).

(1-Р1(1а)) – вероятность неразрушения стержня 1;

(1-Р2(2а)) – вероятность неразрушения стержня 2, при условии, что стержень 1 не разрушился.

Б) Рб=Р1(1а)(1-Р2(2б)), где Р1(1а) – вероятность разрушения стержня 1.

(1-Р2(2б)) – вероятность не разрушения стержня 2, при условии, что стержень 1 разрушился.

.

В) Рв=Р2(2а)(1-Р1(1в)), где Р2(2а) – вероятность разрушения стержня 2.

(1-Р2(2б)) – вероятность неразрушения стержня 1, при условии, что стержень 2 разрушился.

.

Тогда вероятность неразрушения системы (события а, б, в – не совместны):

Рс = Рабв= 0,99179 + 210-9 + 2510-9 = 0,99179.

Значения двух последних слагаемых очень малы, поэтому с достаточной степенью точности можно сказать, что статическая неопределимость в данной системе почти не увеличивает ее надежность. Однако, при увеличении степени статической неопределимости увеличение за счет ее надежности системы более существенно.

На рисунках показаны зависимости надежности системы (с параметрами из задачи) от усилия N, от предела текучести Ry и от стандарта (Ry). Максимальная надежность данной системы наблюдается при выравнивании напряжений в стержнях, т.е. при . При увеличении разброса прочности (Ry) увеличивается разброс воспринимаемой нагрузки (кривая зависимости надежности от нагрузки становится более пологой).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83915. Известные зарубежные хирурги: Бильрот, Кохер и другие. Развитие хирургии путём совершенствования оперативной хирургии 50.61 KB
  Развитие хирургии путём совершенствования оперативной хирургии. Бильрота связан ряд важных достижений хирургии в частности: первая эзофагэктомия первая ларингэктомия и что особо значимо первая успешная гастрэктомия по поводу рака желудка. Кроме того разработал ряд хирургических инструментов применяемых в хирургии в наши дни. Им опубликованы работы посвященные вопросам клинической хирургии в том числе костному туберкулезу и другим заболеваниям костей разработаны новые методы хирургических операций артротомия по Фолькману клиновидная...
83916. Н.И. Пирогов - вклад в развитие хирургии и топографической анатомии 46.6 KB
  Пирогов вклад в развитие хирургии и топографической анатомии. Пирогов – основоположник топографической анатомии. Пирогов занял место профессора госпитальной хирургической клиники Медико – хирургической академии СПб где с первых же дней стал читать знаменитый курс лекций по топографической анатомии он организовал анатомический институт в котором объединил практическую описательную и патологическую анатомию. Пирогов оформил все основные положения созданной им науки – топографической анатомии – в монументальном труде Полный курс анатомии...
83917. В.Н. Шевкуненко – создатель современного учения топографической анатомии на основе изменчивости 50.3 KB
  Геселевичем ввёл понятие типовой анатомии человека которая исследует распределение тканевых и системных масс в организме и расположение органов и частей тела с точки зрениях их развития. Типовая анатомия отмечает крайние типы строения и положения органов наблюдаемые у людей определённого телосложения. Шевкуненко исходными побуждающими моментами к таким исследованиям были: частое несоответствие формы и положения органов видимых во время операции с нормой описываемой в руководствах; несовершенство многих хирургических доступов при...
83918. Шовные материалы. Капрон, пролен, дексон, викрил и другие 50.37 KB
  Основные требования к шовному материалу: Биосовместимость – отсутствие токсического аллергенного и тератогенного влияния шовной нити на ткани организма. Прочность нити и сохранение её свойств до образования рубца. Необходимо учитывать прочность нити в узле Атравматичность зависит от структуры и вида нити её манипуляционных свойств эластичности и гибкости. Понятие атравматичности включает несколько свойств присущих шовным материалам: Поверхностные свойства нити: кручёные и плетёные нити имеют шероховатую поверхность и при прохождении...
83919. Современные хирургические инструменты для высоких технологий. Ультразвуковые, плазменные СВЧ – инструменты, сшивающие аппараты, лазеры в хирургии 53.42 KB
  Ультразвуковые приборы для разъединения тканей Такие приборы в большинстве случаев основаны на преобразовании электрического тока в ультразвуковую волну магнитострикционное или пьезоэлектрическое явление. Механизм воздействия ультразвука на ткани основан на том что высокочастотная вибрация приводит к механическому разрушению межклеточных связей; и на кавитационном эффекте создание за короткий промежуток времени в тканях отрицательного давления что приводит к закипанию внутри и межклеточной жидкости при температуре тела; образующийся пар...
83920. Выбор способа операции, хирургический риск, операции по стандарту и протоколу. Паллиативные и радикальные операции 48.39 KB
  Паллиативные и радикальные операции. Выбор способа операции зависит от органа на котором будет проводиться оперативное вмешательство от локализации нервных стволов и сосудов по отношению к данному органу и т. Хирургический операционный риск опасность для пациента во время операции представляют как сама оперативная травма и связанные с ней осложнения кровотечения перитонит и т.
83921. Топографическая анатомия подключичной вены и подключичной артерии. Техника пункции подключичной вены. Подключичная артерия, хирургическая тактика при ранении 195.94 KB
  Топография подключичной вены: Подключичная вена начинается от нижней границы 1 ребра огибает его сверху отклоняется кнутри вниз и немного вперёд у места прикрепления к 1 ребру передней лестничной мышцы и входит в грудную полость. Медиально за веной имеются пучки передней лестничной мышцы подключичная артерия и затем купол плевры который возвышается над грудинным концом ключицы. При надключичном доступе точку Иоффе определяют в углу образованном наружным краем латеральной головки грудинноключичнососцевидной мышцы и верхним краем...
83922. Плечевое сплетение. Техника анестезии плечевого сплетения 54.05 KB
  Техника анестезии плечевого сплетения. Короткие ветви отходят в различных местах сплетения в надключичной его части и снабжают отчасти мышцы шеи а также мышцы пояса верхней конечности за исключением m. musculocutneus мышечнокожный нерв отходит от латерального пучка плечевого сплетения из C5 С7 прободает m. cutneus brchii medilis происходит из медиального пучка сплетения из С8 Th1 идет по подмышечной ямке медиально от .
83923. Хирургическая анатомия подмышечной области. Сосудисто-нервный пучок. Коллатеральное кровоснабжение в области надплечья. Подмышечная лимфодиссекция 56.11 KB
  При отведенной конечности область имеет форму ямки foss xillris. Собственная фасция fsci xillris в центре области тонкая в ней заметны узкие щели через которые проходят мелкие крове носные и лимфатические сосуды и нервы к коже. Подфасциальные образования Клетчаточное пространство подмышечной ямки расположено под fsci xillris. По форме это четырехгранная пирамида основанием которой является fsci xillris а верхушка лежит у середины ключицы между ней и I ребром.