49975

ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Вероятность того что прочность элемента будет находиться на интервале s т. это вероятность разрушения. Вероятность неразрушения равна 1Pis для iтого элемента. Аналогично для всей системы ее вероятность не разрушения 1Pcs где Pсs интегральное распределение прочности всей системы состоящей из n последовательно соединенных элементов.

Русский

2014-01-13

212.5 KB

3 чел.

15

8. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ

8.1 Последовательное соединение элементов

При последовательном соединении элементов разрушение происходит по наиболее слабому из них. Последовательным соединением элементов может быть названо также любое их соединение, образующее статически определимую систему. (Прочность – случайна, – напряжение в стержне от фактической определенной нагрузки).

Интегральный закон распределения прочности i-того элемента системы – Pi(s) (т.е. вероятность того, что прочность элемента будет находиться на интервале (-,s), т.е. это вероятность разрушения). Вероятность неразрушения равна 1-Pi(s) для i-того элемента. Аналогично для всей системы ее вероятность не разрушения 1-Pc(s), где Pс(s) – интегральное распределение прочности всей системы, состоящей из n последовательно соединенных элементов. Согласно (3/2) и (4/2)

                                                            (92.8)

Предполагается, что прочность каждого элемента является независимой с.в. Если все элементы имеют одинаковые распределения своей прочности, выраженной через внешнюю нагрузку (Pi(s)=P1(s),  i =1,2,…,n), то вероятность не разрушения

1 - Pc(s) = [1 - P1(s)]n                                                       (93.8),

где P1(s) – интегральное распределение прочности каждого элемента.

Распределение плотности вероятности разрушения системы:

pc(s)=n[1-P1(s)]n-1p1(s)                                                         (94.8),

где p1(s) – плотность распределения прочности каждого элемента.

Если прочность элементов подчиняется распределению Вейбулла (54.4)

P1(s) = 1- exp(-csb)                                                              (95.8),

то подставив (95.8) в (93.8) получим (вероятность разрушения системы)

Pc(s) = 1- exp(-cnsb)=1 - exp(-cyb)                                            (96.8),

где , т.е. распределения Pc(s) и P1(s) различаются лишь масштабом вдоль оси s, который для случайной величины прочности системы Rc в  раз меньше, чем для случайной величины прочности элемента R1. Следовательно, в этом отношении изменяются (при переходе от одного элемента к системе последовательно соединенных элементов) и математическое ожидание и стандарт прочности

,                                                              (97.8)

Если стержни системы сделаны из одного материала, но имеют различные поперечные сечения, то формула вероятности неразрушения системы:

                                                        (98.8),

где  (в каждом стержне свое конкретное напряжение).

Здесь F – внешняя нагрузка;

si – напряжение, вызываемое усилием  в i-том стержне;

- усилие в i-том элементе от внешней нагрузки F=1; Ai – площадь сечения i-того стержня.

В случае, когда прочность материала подчиняется распределению Вейбулла (54.4), вероятность неразрушения системы (подставим (95.8) в (98.8)):

                                 (99.8)

Тогда м.о. и стандарт прочности системы:

,                                                          (100.8)

Пример. 

Дано: стальная статически определимая ферма. Нагрузка и размеры детерминированы, прочность всех стержней случайна, независима и распределена одинаково по нормальному закону. Сталь С245. Расчетное сопротивление Ry = 240 МПа, матожидание предела текучести  МПа, стандарт предела текучести (Ry) = 20 МПа. Тогда коэффициент вариации предела текучести

     (7,7%).

Обычным путем получены усилия, подобраны сечения и найдены напряжения в стержнях фермы. Необходимо найти вероятность неразрушения (надежность) фермы.

Функция распределения прочности элементов:

,

где - напряжение, действующее в стержне.

Значение P() – есть вероятность того, что случайный предел текучести Ry будет меньше действующего напряжения , т.е. вероятность разрушения. Через интеграл вероятности Гаусса:  определим вероятности разрушения каждого стержня:

;

;

;

;

;

, .

Элемент

Расчетное усилие, кН

Унифицированное сечение

Площадь А, см2

Напряжение , МПа

Вероятности разрушения

ВП

3-5

-316

2L100x7

25.6

-220.4

228

0.0239

5-7

-316

25.6

-220.4

0.0239

НП

1-4

232.2

2L75x5

14.78

157

0

4-6

313.2

14.78

212

0.0082

Ст.

4-5

-60.81

2L50x5

9.6

-141

0

Рас.

1-3

-313.8

2L90x6

21.2

-221

0.0256

3-4

148.2

2L50x5

9.6

154.3

0

4-7

-30.7

2L63x5

12.26

-104.4

0

Тогда по (93.8) вероятность неразрушения фермы (надежность):

1 - Pc(r) = (1-0.0239)4(1-0.0082)2(1-0.0256)2=0.8478.

Ферма обладает такой надежностью в случае действия максимальных нагрузок, вероятность появления которых невелика, поэтому действительная надежность фермы больше. Кроме того, ферма не является в действительности статически определимой системой и появление в стержне напряжения равного пределу текучести не есть еще разрушение этого стержня.

8.2  Параллельное соединение элементов

Считаем элементы идеально хрупкими, модуль упругости и площадь сечения элементов одинаковыми и детерминированными. Известна функция распределения прочности Pr(R) и плотность распределения pr(R), 

                                                  (101.8).

Внешнее усилие N распределяется поровну между всеми n элементами, в которых напряжения не достигли предельных. При напряжении из строя выходит nPr() элементов (произведение общего количества стержней на вероятность выхода из строя одного) и м.о. воспринимаемого усилия:

                                                               (102.8)

или т.к. , то

                                                             (103.8).

Уравнение (10.3) описывает диаграмму работы системы n параллельно соединяемых хрупких элементов, т.е. кривую состояний равновесия этой системы. Pr() – вероятность того, что прочность R будет меньше действующего напряжения , т.е. вероятность хрупкого разрушения стержня, F – площадь поперечного сечения каждого стержня. Рассмотрим зависимость напряжений от деформаций для хрупкого стержня = (). 

Напряжения в стержне – с.в., т.к. его предел прочности R также с.в.

М.о. действующего в стержне напряжения (из 102.8)

и при n=1

                                                            (104.8),

где  - м.о. напряжения в стержне при деформации .

Т.к. функция () разрывная, то возможны два события:

  1.  сопротивление равно E и вероятность этого ;
  2.   сопротивление равно 0 и вероятность этого , т.е. вероятность хрупкого разрушения стержня и падения напряжения до нуля.

Согласно этому (и используя формулу определения м.о. для двух случайных событий )

математическое ожидание:

      (идентично 104.8).

Дисперсия  (используя формулу для дисперсии ):

       (105.8).

Подобным образом получаем корреляционную функцию

.

Данные характеристики относятся к одному хрупкому стержню. В случае n параллельно работающих стержней сопротивление системы (при одинаковой для всех стержней деформации) равно сумме сопротивлений составляющих:

,

где  и  - случайные несущая способность системы и действующее напряжение в i-том стержне.

М.о. несущей способности

, что аналогично (102.8).

Дисперсия несущей способности системы:  (см. далее 105.8). При этом предполагается, что прочности отдельных стержней – независимые с.в.

При нормальном распределении м.о. максимальной несущей способности системы:

,

где Ф(u) – интеграл вероятности Гаусса,

,

где  - ожидаемая прочность одного стержня (м.о.);

(R) – стандарт этой прочности;

- коэффициент вариации прочности одного стержня.

Дисперсия несущей способности системы:

.

Коэффициент изменчивости несущей способности системы:

.

Пример. Определим надежность статически неопределимой системы.

Дано: нагрузка и размеры – детерминированы, прочность (предел текучести Ry) всех стержней случайна, независима и распределена одинаково по нормальному закону. Сталь С245, Ry=240 МПа, МПа – м.о. предела текучести; (Ry)=25 МПа (достаточно большой разброс), N=130кН, А1=6см2, А2=10 см2, l1=1.5 м, l2=1 м, а=1 м.

Считаем, также, что разрыв стержней происходит хрупко, динамический эффект хрупкого разрушения не учитываем.

Вычисляем усилия в стержнях.

А) МА=-N3a+N12a+ N2a=0,

, ,

и подставляя в уравнение равновесия, получим

(кН),

тогда  (кН)

и напряжения  (МПа),  (МПа).

Б) В случае хрупкого обрыва стержня 1:

МА= -N3a+ N2a=0   (кН)

и напряжение в оставшемся стержне 2:  (МПа).

В) В случае хрупкого обрыва стержня 2: МА= -N3a+ N12a = 0  (кН)

и напряжение в оставшемся стержне 1:  (МПа).

Вероятность неразрушения системы определим по формуле полной вероятности (9.2). Система не разрушится в трех случаях:

А) не разрушится и стержень 1 и 2 – вероятность этого Pa;

Б) разрушится стержень 1, но не разрушится стержень 2 – Pб;

В) разрушится стержень 2, но не разрушится стержень 1 – Pв;

А) Ра=(1-Р1(1а))(1 - Р2(2а)), где Р1(1а) – вероятность разрушения стержня 1 (т.е. предел текучести будет меньше действующего напряжения 1).

(1-Р1(1а)) – вероятность неразрушения стержня 1;

(1-Р2(2а)) – вероятность неразрушения стержня 2, при условии, что стержень 1 не разрушился.

Б) Рб=Р1(1а)(1-Р2(2б)), где Р1(1а) – вероятность разрушения стержня 1.

(1-Р2(2б)) – вероятность не разрушения стержня 2, при условии, что стержень 1 разрушился.

.

В) Рв=Р2(2а)(1-Р1(1в)), где Р2(2а) – вероятность разрушения стержня 2.

(1-Р2(2б)) – вероятность неразрушения стержня 1, при условии, что стержень 2 разрушился.

.

Тогда вероятность неразрушения системы (события а, б, в – не совместны):

Рс = Рабв= 0,99179 + 210-9 + 2510-9 = 0,99179.

Значения двух последних слагаемых очень малы, поэтому с достаточной степенью точности можно сказать, что статическая неопределимость в данной системе почти не увеличивает ее надежность. Однако, при увеличении степени статической неопределимости увеличение за счет ее надежности системы более существенно.

На рисунках показаны зависимости надежности системы (с параметрами из задачи) от усилия N, от предела текучести Ry и от стандарта (Ry). Максимальная надежность данной системы наблюдается при выравнивании напряжений в стержнях, т.е. при . При увеличении разброса прочности (Ry) увеличивается разброс воспринимаемой нагрузки (кривая зависимости надежности от нагрузки становится более пологой).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1178. Нормирование труда 34.5 KB
  Экологическое обоснование, под которым понимается рациональное использование фонда рабочего времени. Физиологическое обоснование, под которым понимается обоснование норм времени с точки зрения напряженности, монотонности, температуры, освещения и т.д. выполняемой работы. Социальное обоснование, под которым понимается поддержание в рабочем творческого начала с помощью материальных и моральных символов.
1179. Формы и системы оплаты труда 81 KB
  Сдельная форма оплаты труда. Сдельно-премиальная система. Повременная форма оплаты труда. Бестарифная форма заработка сотрудников предприятия.
1180. Понятие о себестоимости продукции 48 KB
  Выявление и рациональное использование внутрипроизводственных резервов предприятия. Расчет затрат на выпуск производственной программы. Расчет (калькуляция) по всей номенклатуре выпускаемой продукции.
1181. Понятие о ценообразовании 63.5 KB
  Дифференциация по структуре ценообразования. Учет всех затрат, связанных с производством и сбытом продукции. Возмещение этих затрат. Гибкость цен. Основные принципы ценообразования.
1182. Производительность труда 50 KB
  Производительность труда характеризует эффективность и результативность затрат труда. Выработка и трудоемкость продукции.
1183. Прибыль предприятия 48.5 KB
  Экономический эффект от деятельности предприятия. Прибыль предприятия, полученная от любых видов деятельности. Налогооблагаемая прибыль. Фонд материального стимулирования. Фонд поддержки объектов социально-культурного назначения.
1184. Рентабельность. Сравнение результатов деятельности с затратами 157.5 KB
  Рентабельность сравнивает результаты деятельности с затратами, обеспечивающими эти результаты. Рентабельность характеризует степень и уровень отдачи в производстве производственных ресурсов.
1185. Формы внешнего финансирования 64 KB
  Сроки поставки по лизингу основных фондов минимальные. Средства производства, получаемые по лизинговой операции, не учитываются на балансе лизингополучателя и, следовательно, не увеличивают его кредиторскую задолженность. По лизингу оформляется чаще всего дорогостоящее, редкое, сложное оборудование или оборудование, изготовленное малоизвестными фирмами.
1186. Сущность банкротства 59 KB
  Под процедурами банкротства понимается система разнообразных мероприятий, направленных на урегулирование отношений между предприятием-должником и его кредиторами.