50007

ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

Лабораторная работа

Физика

Наша задача рассмотреть вращение абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси. При вращении твердого тела траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями центры которых лежат на оси вращения. Если положение оси вращения в пространстве с течением времени остается неизменным то в этом случае говорят что тело вращается около неподвижной оси. В этом случае плоскости всех концентрических окружностей перпендикулярны оси вращения а центры окружностей лежат на оси вращения.

Русский

2014-01-14

2.82 MB

45 чел.

         1

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА.

ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

Цель работы.

Проверить основное уравнение динамики вращательного движения для тела с закрепленной осью вращения. Определить
момент инерции маятника.

Оборудование.

  1.  Маятник Обербека.

Темы для изучения.

В лабораторной работе рассмотрены основные физические понятия кинематики и динамики вращательного движения. Получен основной закон динамики вращательного движения, проверка которого осуществляется на данной установке. Получена рабочая формула для определения момента инерции маятника, сделано описание установки, предложена методика проведения работы и обработки результатов измерений.

Лабораторная работа предназначена для студентов,   выполняющих общий физический практикум в лаборатории механики.

Краткая теория.

Наша задача - рассмотреть вращение абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси.

Под абсолютно твердым телом будем понимать такое тело,   которое ни при каких условиях не может деформироваться, т.е. взаимное расположение и расстояние между материальными точками этого    тела всегда неизменно. Здесь под материальными точками понимают не атомы или молекулы, а достаточно малые макроскопические объекту,    на которые можно мысленно разделить твердое тело, рассматриваемое как сплошное. Массу таких материальных точек будем обозначать через , где  указывает номер материальной точки, а n показывает, на сколько материальных точек разбито наше тело.

При вращении твердого тела траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями, центры которых лежат на оси вращения. Если положение оси вращения в пространстве с течением  времени остается неизменным, то в этом случае говорят, что тело   вращается около неподвижной оси. В этом случае плоскости всех концентрических окружностей перпендикулярны оси вращения, а

центры    окружностей лежат на оси вращения. Все точки тела за любые равные промежутки времени совершают одинаковые угловые перемещения.    Пусть твердое тело, вращаясь

вокруг оси 00’, совершило за время   бесконечно малый поворот  (рис. 1). Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором , модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью ОО’, причем так, что направление поворота и направление вектора  связаны по правилу правого винта: направление   вдоль оси должно быть таким, чтобы глядя вдоль него (от начала к концу), мы видели поворот   совершающимся по часовой стрелке.

Выделим в твердом теле некоторую точку А, положение которой зададим радиус-вектором   проведенным из любой точки О, лежащей на оси вращения. Тогда линейное перемещение   конца  радиус-вектора  связано с углом поворота соотношением:

или в векторном виде:

                        (1)

Это равенство справедливо лишь для бесконечно малого поворота , в пределах которого радиус-вектор  можно считать неизменным.

Вектор угловой скорости  определяют как                              ,                     (2)

где  - промежуток времени, за который тело совершает поворот . Вектор  совпадает с вектором . При вращении тела около неподвижной оси вектор угловой скорости имеет неизменное направление. Однако при повороте оси вращения в пространстве и при изменении скорости вращения вектор    изменяется как по величине, так и по

         

      2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА.

ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

направлению. Изменение вектора угловой    скорости   со временем характеризуют вектором углового ускорения , который

определяют как

                                (3)

Направление  совпадает с направлением - приращения вектора

Единицей угловой скорости в СИ является радиан в секунду (рад/с), а единицей углового ускорения - радиан на секунду в квадрате (рад/).

Найдем скорость  произвольной точки А   твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси 00'  с угловой скоростью .
Воспользуемся формулой (1), поделив ее на соответствующий промежуток времени . Так как     и  , то

                               (4) , то (4)

т.е. скорость   любой точки А  твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скорость , равна векторному произведению  на радиус-вектор  точки А относительно произвольной точки О  оси вращения (рис.2).

Рис. 2

Ускорение  или

                      (5)

В данном случае (ось вращения неподвижна) , поэтому вектор  представляет тангенциальное ускорение . Вектор же  - это нормальное ускорение . Модули этих ускорений равны:

,

Отсюда модуль полного ускорения:

Основной закон динамики вращательного движения связан с понятием момента импульса  и момента силы . При этом следует различать моменты этих векторов относительно точки или полюса и относительно оси. Начнем с рассмотрения моментов относительно точки.

Рис.3

Пусть  - радиус-вектор, характеризующий положение материальной точки А относительно некоторой точки О, а  ее импульс. Вектор

                             (6)

называется моментом импульса материальной точки. А относительно точки О. Модуль

, где  плечо вектора  относительно точки О (рис. 3), т.е. кратчайшее расстояние от точки приложения   до оси вращения, проходящей через О.

Продифференцируем (6) по времени t считая, что  и   зависят от времени.

                      (7)

где F - рав-

т.к. точка О   неподвижна, то  совпадает по направлению с , поэтому  Согласно второму закону Ньютона

, где - равнодействующая сил,   приложенных к материальной точке m. Тогда (7) примет вид:

                           (8)

где - момент силы относительно точки О (рис.4). Модуль  численно равен площади заштрихованного

      3

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА.

ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

параллелограмма OAFD, a  является плечом  относительно O. Уравнение (8) называется уравнением моментов.  Оно утверждает, что производная по времени от момента импульса  относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета равна моменту  равнодействующей силы  относительно той же точки.

Из определения  следует, что он не изменится, если точку приложения   перенести в  любую другую точку по линии действия . Из (рис.5) это наглядно видно. Действительно, если точку приложения  перенести из A в A, то параллелограмм OABC перейдет в OABC. Оба параллелограмма имеют общее основание OC и общую высоту, их площади равны, что и доказывает наше утверждение. Если , то на основании известного свойства векторного произведения можно написать:

                   ,

т.е. момент равнодействующей двух или нескольких сил относительно некоторого начала равен векторной сумме моментов составляющих сил относительно того же начала.

Уравнение моментов (8) можно обобщить на случай системы материальных точек. Моментом импульса системы материальных

точек относительно некоторого начала называется векторная сумма моментов импульсов всех   материальных точек системы  относительно этого же качала. Аналогично момент всех сил, действующих на систему материальных точек, определяется как векторная сумма моментов отдельных сил. Согласно (9) можно сначала найти равнодействующую этих сил, а затем вычислить ее момент. Однако внутренние силы, действующие между материальными точками согласно третьему закону Ньютона, всегда равны и противоположны: силе , с которой k - материальная точка действует на i -точку, всегда соответствует   , с которой i -точка действует на k -точку. Эти две силы направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Точки их приложения можно перенести в одну точку, тогда силы взаимно уничтожатся, а их полный момент будет равен 0. Тогда (8) примет вид:

                          (10)

т.е. производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного начала равна векторной сумме моментов всех внешних сил относительно того же начала.

Возьмем в некоторой системе отсчета произвольную неподвижную ось Z и точку О, лежащую на этой оси. Тогда, по определению, момент импульса  материальной точки относительно полюса О    равен  (рис. 6).

Моментом импульса относительно оси Z    называют составляющую вектора  параллельную оси. Можно  показать, что момент силы относительно оси может быть определен как произведение перпендикулярной к оси составляющей силы   на ее плечо. Обозначим момент силы, направленный по оси

         4

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА.

ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

, а векторы  и  разложим на составляющие вдоль и перпендикулярно к оси:

  ;   

Найдем :

                            (11)

Последний член как векторное произведение параллельных векторов равен нулю. Сумма векторов в фигурных скобках представляет вектор перпендикулярный оси, поэтому его составляющая вдоль оси равна нулю. Таким образом,  составляющая вектора  параллельная оси

                                                     (12)

Из рис. 7 видно, что - кратчайшее расстояние между осью, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости чертежа, и линией действия , т.е. является плечом силы .

Рассмотрим вращение материальной точки массой m вокруг закрепленной оси. Тогда радиус-вектор остается постоянным по величине, кроме того, всегда , ,    .

В этом случае

(т.к.  )

и уравнение моментов (8) примет вид:

                 (13)

Произведение  называют моментом инерции материальной точки относительно оси вращения:

Уравнение (13) записано в скалярной форме, но ему можно придать векторную форму. Так как ось вращения неподвижна, вектор угловой скорости     направлен по оси и изменяется только по величине.

Угловое ускорение    направлено тоже по оси вращения. По оси вращения направлен и вектор момента, силы, поэтому уравнение моментов можно написать в виде:

                            (13*)

Вектор момента импульса, в случае неподвижной оси вращения, также совпадает с направлением оси:

                           (14)

Если вокруг оси вращается система материальных точек с одинаковой угловой скоростью , то,  просуммировав моменты импульса  и моменты инерции  по всем материальным точкам, найдем результирующий момент импульса  и суммарный момент инерции  системы материальных точек относительно данной оси вращения:

,   

Тогда уравнения (13) и (14) примут вид:

                                                            (15)

                                                       (16)

где  - результирующий момент всех внешних сил (суммарный момент всех внутренних сил равен нулю).

Уравнение (16) и есть основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси. Оно напоминает уравнение Ньютона для движения материальной точки. В нем роль массы играет  момент инерции I, роль силы - момент силы , скорости - угловая скорость , Вращение твердого тела вокруг неподвижной  оси представляет вращение системы материальных точек, в которой все точки вращаются с одинаковой угловой скоростью , момент инерции I при вращении остается постоянным и уравнение (16) переходит в

                                              (17)

Это основное уравнение вращательного движения твердого тела около неподвижной оси.

Момент инерции тела зависит от распределения массы относительно оси вращения. Тела одинаковой массы, но разной формы при вращении относительно оси, проходящей через, их центр масс, имеют разные моменты инерции. Момент инерции твердого однородного тела    произвольной формы относительно некоторой оси находится по формуле:

                  ,                (18)

где - плотность тела, а интегрирование ведется по всему объему тела.

В математическом отношении нахождение момента инерции кропотливая задача. Она облегчается в некоторых случаях, когда тело   однородно, имеет симметричную

        5

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА.

ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

форму, а ось вращения является    осью симметрии. В этих случаях можно пользоваться теоремой Штейнера: момент инерции I  относительно произвольной оси Z  равен сумме двух слагаемых: моменту инерции       относительно    оси  , параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы m  тела на квадрат расстояния между осями.

                      (19)

Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси , проходящей через центр масс тела, приведены в следующей таблице      (m - масса тела):

Твердое тело

Ось  

Момент инерции

Тонкий стержень длины l

Перпендикулярна стержню и проходит через его центр

1/12

Сплошной цилиндр радиуса R

Совпадает с осью цилиндра

1/2

Тонкий диск радиуса    R

Совпадает с диаметром диска

1/4

Шар радиуса R

Проходит через центр шара

2/5

Таким образом, если известны , то нахождение I осуществляется легко по (19). Например, I тонкого стержня массы m и длины l   относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец, равен:

Вывод рабочей формулы.

Роль момента инерции при вращении твердого тела около закрепленной оси можно изучить в данной работе на крестообразном маятнике Обербека. В этой работе делается проверка основного закона вращательного движения твердого тела с закрепленной осью (17). Учитывая, что векторы ,  направлены по оси вращения, его можно записать в скалярной форме:

Маятник Обербека представляет собой инерционное колесо в виде крестовины. На четырех взаимно перпендикулярных стержнях

могут перемещаться грузы. На горизонтальной оси вращения О крестовины имеется двухступенчатый диск, на который наматывается нить.   Один конец нити прикреплен к диску, а на втором конце подвешен груз массы m (рис. 8).

Под действием падающего груза m нить   разматывается с диска и вызывает равноускоренное вращение крестовины.

Запишем уравнение движения для крестовины с грузами и поступательно движущегося груза m с учетом знаков:

                               (20), (21)

здесь (20)

I - момент инерции крестовины вместе с грузами;

T - величина силы натяжения нити;

- величина углового ускорения крестовину;

a - величина ускорения поступательного равноускоренного движения груза.

Для решения системы (20), (21) запишем также кинематические уравнения. Величину ускорения a   можно определить, зная путь h и время t, за которое он пройден телом m:

      , откуда     

С другой стороны, а = βr  , где r - радиус шкива. Подставив в (20) T из (21) и, получим:

                 (22)

Такой вид имеет основное уравнение динамики вращательного движения для нашей задачи. Однако в этом, уравнении не учтены силы трения» момент которых , очевидно, будет направлен против момента силы натяжения нити Т. Учтя это, получим:

         6

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА.

ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

      

                (23)

Момент сил трения можно оценить экспериментально и графически, если считать его постоянным. Об этом будет сказано ниже.

Описание установки.

Общий вид маятника Обербека изображен на рисунке 9 (вид прямо) и рисунке 10 (вид сбоку).

На вертикальной колонне (1), установленной на основании (2), прикреплены два кронштейна: нижний неподвижный (З), верхний подвижный (4) и две неподвижные втулки: нижняя (5) и верхняя (6).

Основание снабжено регулируемыми ножками (7), обеспечивающими горизонтальную установку прибора. На верхней втулке (6) посредством основания (8) закреплен подшипниковый узел (9) и сам диск (10).

Через диск (10) перекинута нить (II), один конец которой прикреплен к двухступенчатому диску (12), а на другом закрепляются грузы (13).

На нижней втулке (5) посредством основания (14) прикреплен тормозной электромагнит (15), который после подключения к нему напряжения питания удерживает с помощью фрикционной муфты

         7

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА.

ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

систему (крестовину вместе с грузами) в состоянии покоя.    

Подвижный кронштейн (4) можно перемещать вдоль колонны и фиксировать его в любом положении, определяя, таким образом, длину пути груза. С этой целью на колонне нанесена миллиметровая шкала (16).

На подвижном кронштейне (4) закреплен верхний фотоэлектрический датчик (17). На подвижном кронштейне (3) закреплен нижний  фотоэлектрический датчик (18), фиксирующий конец измерения времени и включающий тормозной электромагнит (15).

К кронштейну (3) прикреплен кронштейн (19) с резиновым амортизатором, на который опускается движущийся груз в конце пути.

         На основании прибора жестко крепится ииллисекундомер FPM-15. К гнездам ZL1 и ZL2 миллисекундомера подключены соответственно фотоэлектрические датчики (17) и (18). Эти гнезда расположены на задней панели миллисекундомера. Там же расположена заземляющая клемма ZL3.

Техника безопасности.

Эксплуатация прибора допускается только с применением заземления.

На передней панели FPM-15 расположены следующие элементы управления:

Клемма № I - "Сеть" - производит включение (нажатая) и выключение (отжатая) напряжения питания. Нажатие клавиши производит включение и автоматическое обнуление прибора. Отжатие клавиши производит отключение прибора.

Клемма № 2 - "Сброс" - производит обнуление шкалы прибора, при нажатии все индикаторы высвечивают цифру 0.       

Клемма № 3 -"Пуск" - обеспечивает управление электромагнитом. Нажатие клавиши выключает электромагнит, обеспечивает начало движения и связанный с этим отсчет времени.

Выполнение работы.

1. Проверить правильность подключения всех клемм прибора. Клавиши
I, №2, № 3 должны находиться в отжатом положении.

  1.  Сдвинуть верхний подвижный кронштейн на выбранную высоту h и установить его так, чтобы груз m при движении проходил  через середину рабочего окна фотоэлектрических датчиков, но, не задевая их корпуса.

  1.  Включить сетевой шнур миллисекундомера в сеть питания.
  2.  Нажать клавишу "Сеть". Проверить, показывают ли все индикаторы
    "нуль" на шкале прибора и горят ли индикаторы обоих фотоэлектрических датчиков.
  3.  Переместить груз m в верхнее положение так, чтобы нижний край груза совпал с чертой на верхнем датчике. Проверить, находится ли система в состоянии покоя (электромагнит включен).
  4.  Нажать клавишу "Пуск" и проверить, началось ли движение и отсчет времени. Когда груз пройдет около индикатора нижнего датчика, автоматически прекратится отсчет времени. Цифры на табло покажут время движения t.
  5.  Нажать клавишу "Сброс" и проверить, произошло ли обнуление показании, а также выключение блокировки электромагнита.

8.   Перенести груз в верхнее положение.

9. Отжать клавишу "Пуск" и проверить, произошла ли повторная блокировка схемы (электромагнит включен).

10. Повторить опыт не менее 10 раз для каждого груза. Опыт провести для всех грузов, прилагаемых к установке. Для фиксированных m , h, r составить таблицу измерений t.

Обработка результатов измерений.

1. Проверка уравнения динамики вращательного движения сводится  к построению графика зависимости углового ускорения β от момента сил, действующих на вращающийся маятник Обербека. При этом момент инерции самого маятника должен оставаться постоянным.

Это означает, что грузы, надетые на крестовину маятника, закрепляются на оси вращения и их положение не меняется в процессе данного опыта. Положение грузов можно выбрать самостоятельно.

  1.  Из уравнения (23) видно, что если  , то , система покоится. Подбором I и m можно приблизительно оценить , когда система приходит в состояние движения: a=0 и . Если набор грузов не позволяет экспериментально оценить , это делается из графика зависимости β от Для удобства лучше β     отложить по оси абсцисс, - по оси ординат. Из графика видно, что его надо

        8

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА.

ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

продолжить до пересечения с осью ординат: при β=0  =.

  1.  В работе предполагается, что опыт проводится для двух шкивов разных радиусов  и . При неизменном моменте инерции оба графика должны идти параллельно.
  2.  Из графика можно определить момент инерции маятника Обербека как отношение   .
  3.  Результаты прямых и косвенных измерений физических величин необходимо представить в виде таблиц,       
  4.  Ошибки прямых измерений , r, t могут включать случайные и систематические погрешности. Способы вычисления доверительного интервала суммарной погрешности рассмотрены в разделе 5, §12 пособия Л.П.Китаевой.
  5.  Обсудить результаты. Сделать выводы. Предложить свои варианты для проведения эксперимента.

Контрольные вопросы.

  1.  Показать, что угол поворота  (при небольших углах), угловая скорость , угловое ускорение     - векторы. Как они направлены? Связь линейной скорости  с угловой  , связь  и .
  2.  Дать определение момента импульса  материальной точки и момента силы  относительно точки (полюса) и относительно оси.
  3.  Записать закон изменения момента импульса для материальной точки; для системы материальных точек.
  4.  При каких условиях момент импульса остается     постоянным?

5. Дать определение момента инерции материальной точки, системы материальных точек относительно некоторой оси вращения.

6. Сформулировать теорему Штейнера. Подсчитайте момент инерции шара массы m, радиуса R, вращающегося вокруг оси, проходящей на расстоянии a=3R от центра  шара.

7. Записать основной закон динамики вращательного движения твердого тела с

закрепленной осью вращения.



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48470. Схемотехника аналоговых электронных устройств. Качественные показатели и характеристики аналоговых электронных устройств 975.68 KB
  В результате изучения дисциплины студенты должны: знать принципы функционирования основных аналоговых электронных устройств и их базовых элементов особенности схемотехники этих устройств в том числе и учитывающие возможность их реализации по интегральной технологии и необходимость обеспечения стабильности их работы; знать и уметь применять методы анализа усилительных и других аналоговых электронных устройств основанные на использовании эквивалентных схем; уметь составлять эти схемы на базе принципиальных схем анализируемых устройств; ...
48471. Моделирование систем. Конспект лекций 20.26 MB
  Морозов Моделирование систем Конспект лекций Рязань 2011 Введение Моделирование как создание некой системы системымодели второй системы имеющей определенное сходство с системойоригиналом первой системой. Теория моделирования применяется: а при аналитическом отыскании зависимостей соотношений и решений конкретных задач; б при обработке результатов экспериментальных исследований и испытаний различных технических устройств в тех случаях когда результаты представлены в обобщенных критериальных зависимостях; в при...
48472. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СОВЕРШЕНСТВОВАНИЮ СИСТЕМЫ МОТИВАЦИИ ПЕРСОНАЛА ОАО «ЭТК» 543.5 KB
  Путь к эффективному управлению человеком лежит через понимание его мотивации. Только зная то, что движет человеком, что побуждает его к деятельности, какие мотивы лежат в основе его действий, можно попытаться разработать эффективную систему форм и методов управления им.
48473. Виробничий менеджмент. Конспект лекцій 464.5 KB
  Все це вимагає від керівників глибокої теоретичної підготовки та вміння ефективного управління організаціями. Тому на сьогоднішній день актуальною стає проблема підготовки спеціалістів з управлінням виробництвом. Це поьребує від фахівців виробничої сфери чітко усвідомити закони принципи і методи ефективного управління оперативною діяльністю всього відтворювального циклу. Менеджмент передбачає управління всією різноманітною функціональною діяльністю організації.
48474. ДЕНЬГИ. КРЕДИТ. БАНКИ 1.15 MB
  Необходимость возникновение сущность и функции денег Происхождение денег и их эволюция. Предпосылки появления денег и их значение и необходимость. Сущность и функции денег Роль денег в экономике и социальной сфере. Особенности проявления роли денег при разных моделях экономики Лекция 2.
48475. Компьютерная (машинная) графика 418.5 KB
  Таким образом появляется возможность хранить не все точки изображения а координаты узлов примитивов и их свойства цвет связь с другими узлами и т. это требует пересчета сравнительно небольшого числа координат узлов. Таким образом любой цвет можно разложить на оттенки основных цветов и обозначить его набором цифр цветовых координат. Векторы представляют собой математическое описание объектов относительно точки начала координат.
48476. ДОКУМЕНТАЦИЯ БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЕТА 130 KB
  Первичные документы Для непрерывного отражения объектов бухгалтерского учета необходимо фиксировать каждую хозяйственную операцию. Затем осуществляются регистрация и экономическая группировка их данных в системе синтетических и аналитических счетов бухгалтерского учета. Формы регистров бухгалтерского учета разрабатываются и рекомендуются Министерством финансов РФ органами которым федеральными законами предоставлено право регулирования бухгалтерского учета или федеральными органами исполнительной власти.
48477. Основные понятия налогообложения участников внешнеэкономической деятельности 152.5 KB
  Резиденты: а физические лица являющиеся гражданами Российской Федерации за исключением граждан Российской Федерации признаваемых постоянно проживающими в иностранном государстве в соответствии с законодательством этого государства; б постоянно проживающие в Российской Федерации на основании вида на жительство предусмотренного законодательством Российской Федерации иностранные граждане и лица без гражданства; в юридические лица созданные в соответствии с законодательством Российской Федерации; г находящиеся за пределами территории...
48478. Земельное право, курс лекций 927 KB
  Предмет правового регулирования является важнейшим фактором, предопределяющим обособление той или иной отрасли права. Первый учебник, в котором содержалось определение предмета земельного права