50011

Методы оценки надежности конструкций

Лекция

Архитектура, проектирование и строительство

Он заключался в том что для любого волокна конструкции должно было выполняться условие k S Sдоп где Sдоп допускаемое напряжение; S напряжение в волокне определяемое методами строительной механики; k коэффициент запаса. В этом методе коэффициент запаса для всех конструкций из данного материала был одинаков что не отвечало фактической работе таких комплексных материалов какими являются железобетон и каменная кладка компоненты которых имеют различные механические характеристики и в соответствии с этим в различной степени и с...

Русский

2014-01-14

260.5 KB

3 чел.

27

10. Методы оценки надежности конструкций

10.1 Развитие методов расчета в отечественных нормах

Необходимый уровень надежности обеспечивается не только расчетными требованиями норм проектирования, а зависит также от методов расчета, принятой конструктивной схемы, вида соединений конструктивных элементов, правил конструирования, плана контрольных испытаний и условий приемки при изготовлении и монтаже.

Изначально до середины 30-х годов прошлого века применялся метод допускаемых напряжений. Он заключался в том, что для любого волокна конструкции должно было выполняться условие

k S  Sдоп,

где Sдоп - допускаемое напряжение; S - напряжение в волокне, определяемое методами строительной механики; k - коэффициент запаса.

В этом методе коэффициент запаса для всех конструкций из данного материала был одинаков, что не отвечало фактической работе таких комплексных материалов, какими являются железобетон и каменная кладка, компоненты которых имеют различные механические характеристики и в соответствии с этим в различной степени и с различной быстротой исчерпывают свою несущую способность. Кроме того, работа строительных материалов в конструкциях рассматривалась лишь в упругой стадии, т.е. не учитывались пластические свойства материалов изменчивость нагрузок и сопротивлений материалов. Поэтому метод допускаемых напряжений модифицировался в метод разрушающих нагрузок.

Расчетное условие этого метода в общем виде

k Fн < Rн,

где k - коэффициент запаса, зависящий от соотношения нагрузок;

Fн - нормативное значение нагрузки;

Rн - нормативное значение несущей способности (среднее значение прочности бетона или так называемая гарантируемая прочность стали).

Стала учитываться пластическая работа материала для определенных схем разрушения.

Введение в середине 50-х годов ХХ века метода предельных состояний позволило учесть специфику работы разных конструкций и фактическую изменчивость нагрузок и механических свойств строительных материалов и т.д., т.е. позволило достичь определенного выравнивания надежности отдельных элементов конструкции, составляющих единое целое.

Этот метод опирается на статистическое изучение значений нагрузок, механических свойств материалов и условий работы конструкций и материалов. Общее условие непревышения предельного состояния может быть представлено в виде

(Fp,Rp,n,a,c,с ) 0.                                                           (1.10),

Здесь Fp - расчетное значение нагрузки;

Fp,=Fнf,

где f - коэффициент надежности по нагрузке;

Fн - нормативное значение нагрузки.

Rp - расчетное значение сопротивления материала;

Rp=Rн/m;

Rн - нормативное значение сопротивления материала;

m - коэффициент надежности по материалу;

n - коэффициент надежности по ответственности конструкции;

c - коэффициент условий работы;

a - коэффициент точности;

с - постоянные, включающие предварительно выбранные расчетные ограничения, задаваемые для некоторых видов предельных состояний (по прогибам, раскрытию трещин и т.п.).

Условие (1.10) определяет границу области допустимых состояний конструкции. Входящие в это условие факторы можно условно разделить на две группы. Первая группа факторов зависит от свойств самой конструкции, вторая от внешних воздействий. Это разделение возможно из-за отсутствия в большинстве случаев функциональных и корреляционных связей. Тогда условие (1.10) можно представить в виде:

                                                       (2.10),

с - предельное значение нормируемых параметров (прогиба, угла поворота, раскрытия трещин).

Условие непревышения границы области допустимых состояний конструкций может определяться как

R-F>0,

где с.в. R – обобщенная прочность конструкции;

F – обобщенная нагрузка,

или иначе

S = R-F                                                                        (3.10),

где F – наибольшее значение усилия (или напряжения) в конструкции, выраженное через внешнюю нагрузку (т.е. задача определения напряженного состояния предполагается решенной);

R – несущая способность, выраженная в тех же единицах, и отвечающая предельному состоянию конструкции по прочности (предел текучести, предел прочности и т.д.);

S – резерв прочности.

10.2  Резерв прочности

Вероятность разрушения конструкции:

                                                        (4.10),

где ps(S) – плотность распределения резерва прочности.

Ps(0) – значение функции распределения резерва прочности при S=0 (вероятность того, что S  0, т.е. разрушения).

Плотность распределения резерва прочности при взаимонезависимости R и F:

                                                           (5.10),

где pr(R) – плотность распределения несущей способности;

pr(S+F) – та же функция, но с аргументом S+F;

pf(F) - плотность распределения внешнего усилия.

При взаимонезависимости R и F 

.

Эквивалентная (5.10) формула

                                                             (5.10),

где  pf(R-S) - плотность распределения усилия, но с аргументом (R-S). 

В случае, когда R и F зависимы, (5.10) и (5.10) соответственно запишутся в виде

                                                                  (6.10)

и

                                                               (6.10),

где p(R,F) – функция совместной плотности распределения R и F; p(S+F,F) и

p(R,R-S) – то же, но с аргументами S+F и R-S.

10.3 Характеристика безопасности

При любых законах распределения с.в. R и F м.о. и дисперсия резерва прочности S:

;                                                       (7.10).

Для удобства вводят характеристику безопасности (при независимых R и F)

                                                          (8.10).

показывает число стандартов (S), укладывающихся в интервале от S до  (см. рис. c. 26).

Из (24.3) следует, что

                                                                             (9.10),

где V(S) – коэффициент вариации (изменчивости) с.в. S (резерва прочности).

Можно записать и так

                                                                            (10.10).

Для функции нормального распределения (см. 46.4) S вероятность разрушения:

                                     (11.10).

Тогда, используя (48.4) и (10.10)

                                             (12.10),

где Ф() – интеграл вероятности Гаусса (47.4) с аргументом .

В таблице и на графике приведены зависимости характеристики безопасности от вероятности разрушения Q и неразрушения P.

2.25

3.25

3.75

4.25

4.75

5.25

Q

10-2

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

Определять Q по (12.10) при больших затруднительно, поэтому используется асимптотическая формула

                                     (13.10).

Пример 5.

Случайная нагрузка распределена по нормальному закону. =100кН, (F)=10 кН. Предел текучести Ry=230 МПа. Определить площадь сечения растянутого стержня А, при которой обеспечивается вероятность неразрушения P=0.99.

По (12.10) характеристика безопасности  =2,33. Учитывая несущую способность R=ARy  по (8.10) имеем

,

где , откуда площадь

(см2).

При детерминированном расчете, если усилие F определено и равно :

A=F/Ry = 4.35 (см2),

Разница результатов =18,8%.

Пример 6

Нагрузка F и предел текучести Ry – случайны, распределены нормально.  кН, (F)=10 кН,  МПа, (Ry)=10 МПа, А = 5,36 (см2). Определить вероятность неразрушения растянутого стержня.

Несущая способность вычисляется по формуле:

R=ARy.

Математическое ожидание несущей способности

,

Стандарт прочности материала

(R)=(Ry)A                                                 (согласно (38.3)).

Определим характеристику безопасности (8.10)

.

По (12.10) P=0.5+Ф(2.64)=0.9959. Вероятность неразрушения выше, чем в первом случае, т.к. для разрушения и нагрузка и предел текучести одновременно должны достичь неблагоприятных значений, что менее вероятно ().

10.4 Коэффициент запаса

Иногда вместо резерва прочности вводят случайный коэффициент запаса

K=R/F                                                                     (14.10)(106).

здесь K, R, F – случайные величины.

Тогда вероятность разрушения

                                                         (15.10)(107),

где Pk(1) – функция распределения коэффициента запаса при аргументе K=1.

Вероятность неразрушения

P=P(K>1)                                                                       (16.10)(108).

М.о. коэффициента запаса (коэффициент детерминированный)

                                                                      (17.10)(109).

Разделим числитель и знаменатель правой части (8.10) на  и используя (17.10) получим характеристику безопасности

                               (18.10)(110),

где ,  - коэффициенты вариации усилия и несущей способности.

Введение в (8.10) значений V(F) и V(R) имеет то преимущество, что они могут быть сравнительно легко оценены с достаточной точностью даже при отсутствии полных статистических данных относительно с.в. R и F. Кроме того, при изменении значения нагрузки, например, в результате увеличения площади, с которой она собирается, равно как при изменении прочности несущих элементов, например, вследствие увеличения размеров поперечных сечений, коэффициенты вариации V(F) и V(R) остаются постоянными.

Из (18.10) при делении на  числителя и знаменателя видно, что при  , при . Можно доказать, что при увеличении  от 1 до   монотонно изменяется от 0 до .

Нижний предел ожидаемого значения коэффициента запаса

                                                          (19.10)(111),

где  - коэффициент вариации коэффициента запаса.

Приближенно

                                                         (20.10)(112).

Можно вывести приближенную формулу, связывающую характеристику безопасности и коэффициент запаса

                                                           (21.10)(113).

Выражение (21.10) используется при небольших значениях V(R) и V(F), иначе

                                          (22.10)(114) –

получено из (18.10).

В большинстве случаев корреляционная связь между нагрузкой и прочностью отсутствует или мала. Положительная корреляционная связь нагрузки с прочностью имеет место, когда для более прочных элементов с большей вероятностью можно ожидать относительно больших нагрузок. Отчасти это относится к статически неопределимым конструкциям, в которых большую прочность отдельных элементов можно считать связанной с их большей жесткостью, а, следовательно, и с большими воспринимаемыми усилиями. Пример отрицательной корреляционной связи – ослабленное отверстием сечение более прочно, т.е. сечение меньше, а прочность больше.

Если удается оценить корреляционную связь R с F с помощью корреляционного момента K(R,F), то характеристика безопасности аналогично как для (18.10)

                                                    (23.10)(115).

Тогда (18.10) запишется в виде

                                                 (24.10)(116),

где .

Здесь K(R,F) определяется по (34.3), а (22.10) запишется в виде

             (25.10)(117)

получено из (24.10).

Пример 7.

Обратная задача – по заданной надежности необходимо найти характеристики системы.

Требуется рассчитать элемент, на который действует растягивающая нагрузка.

Дано: растягивающее усилие N и прочность элемента R распределены нормально и независимы.

кН,  кН,  МПа, МПа.

Допуск для радиуса элемента , где =0.015 (1.5%) – доля радиуса . Требуемая вероятность безотказной работы P=0.9999.

Необходимо определить .

  1.  Зная Q=1-P по (12.10) находим характеристику безопасности .
  2.  Используя (8.10) можно найти , для этого надо найти м.о. и стандарт напряжения . Для этого предварительно необходимо определить  и (A).
  3.  По (12.10) по табл. =3.72.
  4.  Сначала определим  и (A). Непосредственно определить  и (A) по формулам (37.3) затруднительно, поэтому используем разложение функции y=f(x) вокруг точки  в ряд Тейлора до первых 3-х членов

,                                        (П.1)

где - остаточный член, которым можно пренебречь (тем более ).

Применим операцию м.о. для левой и правой части (П.1)

.

.

Т.е. окончательно

                                                             (П.2)

                                                                 (П.3).

Тогда т.к.  из (2.2) , где , .  и  получаем .

Вторым членом можно пренебречь, т.е.

                                                                      (П.4).

Из (П.3)

                                   (П.5).

Определим  и (F). F=N/A=f(N,A) – функция двух переменных. Непосредственно определить  и (F) по формулам (39.3) затруднительно, поэтому используем разложение в ряд Тейлора.

Если y=f(x1, x2,..., x3) разлагаем в ряд Тейлора вокруг точки с координатами , то

    (П.6),

где - остаточный член.

Из (П.6) можно получить (аналогично (П.2) и (П.3)):

                                     (П.7),

.

Тогда из (П.7) ,

т.к.  ,   т.е.

                                                                                 (П.9).

Из (П.8)          или

.

Подставляем (П.4) и (П.5)  

   (П.10).

Подставляем  и  - формулы (П.9 и П.10) в (18.10) и получим

                                   (П.11).

Подставляя все значения в (П.11) получаем

                                 (П.12).

После упрощений получаем уравнение для : . Это уравнение имеет два положительных корня  мм и  мм. Последний корень дает заданную вероятность безотказной работы Р = 0.9999. Интересно отметить, что другой корень  приводит к вероятности 0.0001.

При детерминированном расчете   (мм), А = 20 %.

При увеличении допуска надежность уменьшается

100%

Р

(R), МПа

Р

0.5

0.9999149145

20.685

0.99999

3.0

0.999846797

34.475

0.9999

5.0

0.999610197

62.055

0.98382

7.0

0.999032344

68.95

0.97381

При увеличении среднеквадратического отклонения прочности (R) элемента надежность уменьшается.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30668. Стихотворение Б.Л. Пастернака «Никого не будет в доме...». (Восприятие, истолкование, оценка) 12.34 KB
  В стихотворении Никого не будет в доме мы видим причудливое взаимодействие высокого и привычного обычной человеческой жизни и тайн природы. В стихотворении мы видим описание пограничного явления сумерек. Сквозной проем сквозь который мы видим ускользающий зимний день крыши и снег выглядит как проем в другой мир в который мы подсматриваем. Мы не видим кто идет но понимаем что это человек очень дорогой лирическому герою.
30669. Стихотворение Н.А. Некрасова «Элегия» («Пускай нам говорит изменчивая мода…»). Восприятие, истолкование, оценка. Особенности жанра 13.08 KB
  Творчество этого поэта не только внесло большие изменения в литературный процесс но и оказало большое влияние на общественную атмосферу эпохи. Этот поэт сделал предметом своего изображения те вещи которые до него считались непоэтическими: уличное воровство проституцию пьянство самоубийства семейные раздоры и так далее.Роль поэта и предназначения поэзии – отдельная тема в творчестве Некрасова. Свое поэтическое кредо поэт изложил в стихотворении Элегия 1874.
30670. Судьба человека в контексте эпохи (по рассказам И.А. Бунина «Господин из Сан-Франциско» и «Чистый понедельник») 13.94 KB
  Бунина Господин из СанФранциско и Чистый понедельник.В этом отношении показательны рассказы Чистый понедельник и Господин из СанФранциско.Рассказ Господин из СанФранциско раскрывает кризис западноевропейской цивилизации постигший ее в начале 20 века.Герой рассказа – некий господин из СанФранциско становится символом бездуховного буржуазного мира.
30671. Сюжет, композиция и проблематика рассказа М. Горького «Старуха Изергиль» 14.18 KB
  Повествование много повидавшей на своем веку Изергиль делится на три самостоятельные части: легенда о Ларре рассказ Изергиль о своей жизни легенда о Данко.Легенды о Ларре и Данко раскрывают две концепции жизни два представления о ней.Себялюбцу Ларре контрастно противопоставлен герой второй легенды Данко. Ларра ценил только себя и свою свободу Данко же решил добыть ее для всего племени.
30672. Мотив дуэли в произведениях отечественной классики XIX в 13.4 KB
  Дуэль как социальное явление целой эпохи является одной из проблем поднимаемой в классической литературе.Писатели 19 века воспринимали дуэль как единственный и во многом естественный способ отстоять свою честь свое дворянское и офицерское достоинство.В романе Евгений Онегин дуэль становится тем явлением которое противоречит внутреннему миру героя.Перед дуэлью Онегин спокойно проспал всю ночь в противоположность Ленскому.
30673. Тема борьбы добра и зла в романе М.А. Булгакова «Мастер и Маргарита» 13.32 KB
  Булгакова Мастер и Маргарита Нет зла без добра нет Сатаны без Бога и Сатана также естествен в мире как обитель добра. Это основная философская мысль в романе Мастер и Маргарита. Ведь это дьявол выполняет просьбу Левия Матвея от имени Бога – устроить судьбу Мастера в новой жизни. И поэтому Мастер вынужден уйти под опеку к Воланду.
30674. Тема «русского бунта» в произведениях отечественной литературы 14.29 KB
  Тема русского бунта нашла свое отражение в нескольких произведениях русской литературы но несомненно свое начало в литературе XIX века она берет с романа А.Работая над этим произведением писатель пользовался многочисленными историческими источниками совершил поездку по местам пугачевского бунта записывал рассказы очевидцев. В Капитанской дочке перед нами предстает Пушкин – художник раскрывающий тему народного бунта в высшей степени художественно.
30675. Тема героя и толпы в произведениях отечественной литературы 14.5 KB
  Конфликт в который вступают Чацкий и московское общество весь ход сюжета убедительно доказывают что Чацкий по сути дела один на один с целым мирком в миниатюре миром Фамусова. Фамусовское общество является жалким подражателем всего французского; и только Чацкий единственный русский человек во всей пьесе. Воскреснем ли когда от чужевластья мод вопрошает он иронизируя над тем что московское общество одевается по французской моде предпочитает французскую кухню французский язык знает лучше чем русский.Фамусовское общество...
30676. Тема греха и покаяния в русской литературе 13.81 KB
  Особенно остро ставил проблему греха и покаяния в своем творчестве Ф.Проблему нравственного греха и покаяния ставил не только Ф.Таким образом тема греха и покаяния проходит через творчество многих русских писателей.