50011

Методы оценки надежности конструкций

Лекция

Архитектура, проектирование и строительство

Он заключался в том что для любого волокна конструкции должно было выполняться условие k S Sдоп где Sдоп допускаемое напряжение; S напряжение в волокне определяемое методами строительной механики; k коэффициент запаса. В этом методе коэффициент запаса для всех конструкций из данного материала был одинаков что не отвечало фактической работе таких комплексных материалов какими являются железобетон и каменная кладка компоненты которых имеют различные механические характеристики и в соответствии с этим в различной степени и с...

Русский

2014-01-14

260.5 KB

4 чел.

27

10. Методы оценки надежности конструкций

10.1 Развитие методов расчета в отечественных нормах

Необходимый уровень надежности обеспечивается не только расчетными требованиями норм проектирования, а зависит также от методов расчета, принятой конструктивной схемы, вида соединений конструктивных элементов, правил конструирования, плана контрольных испытаний и условий приемки при изготовлении и монтаже.

Изначально до середины 30-х годов прошлого века применялся метод допускаемых напряжений. Он заключался в том, что для любого волокна конструкции должно было выполняться условие

k S  Sдоп,

где Sдоп - допускаемое напряжение; S - напряжение в волокне, определяемое методами строительной механики; k - коэффициент запаса.

В этом методе коэффициент запаса для всех конструкций из данного материала был одинаков, что не отвечало фактической работе таких комплексных материалов, какими являются железобетон и каменная кладка, компоненты которых имеют различные механические характеристики и в соответствии с этим в различной степени и с различной быстротой исчерпывают свою несущую способность. Кроме того, работа строительных материалов в конструкциях рассматривалась лишь в упругой стадии, т.е. не учитывались пластические свойства материалов изменчивость нагрузок и сопротивлений материалов. Поэтому метод допускаемых напряжений модифицировался в метод разрушающих нагрузок.

Расчетное условие этого метода в общем виде

k Fн < Rн,

где k - коэффициент запаса, зависящий от соотношения нагрузок;

Fн - нормативное значение нагрузки;

Rн - нормативное значение несущей способности (среднее значение прочности бетона или так называемая гарантируемая прочность стали).

Стала учитываться пластическая работа материала для определенных схем разрушения.

Введение в середине 50-х годов ХХ века метода предельных состояний позволило учесть специфику работы разных конструкций и фактическую изменчивость нагрузок и механических свойств строительных материалов и т.д., т.е. позволило достичь определенного выравнивания надежности отдельных элементов конструкции, составляющих единое целое.

Этот метод опирается на статистическое изучение значений нагрузок, механических свойств материалов и условий работы конструкций и материалов. Общее условие непревышения предельного состояния может быть представлено в виде

(Fp,Rp,n,a,c,с ) 0.                                                           (1.10),

Здесь Fp - расчетное значение нагрузки;

Fp,=Fнf,

где f - коэффициент надежности по нагрузке;

Fн - нормативное значение нагрузки.

Rp - расчетное значение сопротивления материала;

Rp=Rн/m;

Rн - нормативное значение сопротивления материала;

m - коэффициент надежности по материалу;

n - коэффициент надежности по ответственности конструкции;

c - коэффициент условий работы;

a - коэффициент точности;

с - постоянные, включающие предварительно выбранные расчетные ограничения, задаваемые для некоторых видов предельных состояний (по прогибам, раскрытию трещин и т.п.).

Условие (1.10) определяет границу области допустимых состояний конструкции. Входящие в это условие факторы можно условно разделить на две группы. Первая группа факторов зависит от свойств самой конструкции, вторая от внешних воздействий. Это разделение возможно из-за отсутствия в большинстве случаев функциональных и корреляционных связей. Тогда условие (1.10) можно представить в виде:

                                                       (2.10),

с - предельное значение нормируемых параметров (прогиба, угла поворота, раскрытия трещин).

Условие непревышения границы области допустимых состояний конструкций может определяться как

R-F>0,

где с.в. R – обобщенная прочность конструкции;

F – обобщенная нагрузка,

или иначе

S = R-F                                                                        (3.10),

где F – наибольшее значение усилия (или напряжения) в конструкции, выраженное через внешнюю нагрузку (т.е. задача определения напряженного состояния предполагается решенной);

R – несущая способность, выраженная в тех же единицах, и отвечающая предельному состоянию конструкции по прочности (предел текучести, предел прочности и т.д.);

S – резерв прочности.

10.2  Резерв прочности

Вероятность разрушения конструкции:

                                                        (4.10),

где ps(S) – плотность распределения резерва прочности.

Ps(0) – значение функции распределения резерва прочности при S=0 (вероятность того, что S  0, т.е. разрушения).

Плотность распределения резерва прочности при взаимонезависимости R и F:

                                                           (5.10),

где pr(R) – плотность распределения несущей способности;

pr(S+F) – та же функция, но с аргументом S+F;

pf(F) - плотность распределения внешнего усилия.

При взаимонезависимости R и F 

.

Эквивалентная (5.10) формула

                                                             (5.10),

где  pf(R-S) - плотность распределения усилия, но с аргументом (R-S). 

В случае, когда R и F зависимы, (5.10) и (5.10) соответственно запишутся в виде

                                                                  (6.10)

и

                                                               (6.10),

где p(R,F) – функция совместной плотности распределения R и F; p(S+F,F) и

p(R,R-S) – то же, но с аргументами S+F и R-S.

10.3 Характеристика безопасности

При любых законах распределения с.в. R и F м.о. и дисперсия резерва прочности S:

;                                                       (7.10).

Для удобства вводят характеристику безопасности (при независимых R и F)

                                                          (8.10).

показывает число стандартов (S), укладывающихся в интервале от S до  (см. рис. c. 26).

Из (24.3) следует, что

                                                                             (9.10),

где V(S) – коэффициент вариации (изменчивости) с.в. S (резерва прочности).

Можно записать и так

                                                                            (10.10).

Для функции нормального распределения (см. 46.4) S вероятность разрушения:

                                     (11.10).

Тогда, используя (48.4) и (10.10)

                                             (12.10),

где Ф() – интеграл вероятности Гаусса (47.4) с аргументом .

В таблице и на графике приведены зависимости характеристики безопасности от вероятности разрушения Q и неразрушения P.

2.25

3.25

3.75

4.25

4.75

5.25

Q

10-2

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

Определять Q по (12.10) при больших затруднительно, поэтому используется асимптотическая формула

                                     (13.10).

Пример 5.

Случайная нагрузка распределена по нормальному закону. =100кН, (F)=10 кН. Предел текучести Ry=230 МПа. Определить площадь сечения растянутого стержня А, при которой обеспечивается вероятность неразрушения P=0.99.

По (12.10) характеристика безопасности  =2,33. Учитывая несущую способность R=ARy  по (8.10) имеем

,

где , откуда площадь

(см2).

При детерминированном расчете, если усилие F определено и равно :

A=F/Ry = 4.35 (см2),

Разница результатов =18,8%.

Пример 6

Нагрузка F и предел текучести Ry – случайны, распределены нормально.  кН, (F)=10 кН,  МПа, (Ry)=10 МПа, А = 5,36 (см2). Определить вероятность неразрушения растянутого стержня.

Несущая способность вычисляется по формуле:

R=ARy.

Математическое ожидание несущей способности

,

Стандарт прочности материала

(R)=(Ry)A                                                 (согласно (38.3)).

Определим характеристику безопасности (8.10)

.

По (12.10) P=0.5+Ф(2.64)=0.9959. Вероятность неразрушения выше, чем в первом случае, т.к. для разрушения и нагрузка и предел текучести одновременно должны достичь неблагоприятных значений, что менее вероятно ().

10.4 Коэффициент запаса

Иногда вместо резерва прочности вводят случайный коэффициент запаса

K=R/F                                                                     (14.10)(106).

здесь K, R, F – случайные величины.

Тогда вероятность разрушения

                                                         (15.10)(107),

где Pk(1) – функция распределения коэффициента запаса при аргументе K=1.

Вероятность неразрушения

P=P(K>1)                                                                       (16.10)(108).

М.о. коэффициента запаса (коэффициент детерминированный)

                                                                      (17.10)(109).

Разделим числитель и знаменатель правой части (8.10) на  и используя (17.10) получим характеристику безопасности

                               (18.10)(110),

где ,  - коэффициенты вариации усилия и несущей способности.

Введение в (8.10) значений V(F) и V(R) имеет то преимущество, что они могут быть сравнительно легко оценены с достаточной точностью даже при отсутствии полных статистических данных относительно с.в. R и F. Кроме того, при изменении значения нагрузки, например, в результате увеличения площади, с которой она собирается, равно как при изменении прочности несущих элементов, например, вследствие увеличения размеров поперечных сечений, коэффициенты вариации V(F) и V(R) остаются постоянными.

Из (18.10) при делении на  числителя и знаменателя видно, что при  , при . Можно доказать, что при увеличении  от 1 до   монотонно изменяется от 0 до .

Нижний предел ожидаемого значения коэффициента запаса

                                                          (19.10)(111),

где  - коэффициент вариации коэффициента запаса.

Приближенно

                                                         (20.10)(112).

Можно вывести приближенную формулу, связывающую характеристику безопасности и коэффициент запаса

                                                           (21.10)(113).

Выражение (21.10) используется при небольших значениях V(R) и V(F), иначе

                                          (22.10)(114) –

получено из (18.10).

В большинстве случаев корреляционная связь между нагрузкой и прочностью отсутствует или мала. Положительная корреляционная связь нагрузки с прочностью имеет место, когда для более прочных элементов с большей вероятностью можно ожидать относительно больших нагрузок. Отчасти это относится к статически неопределимым конструкциям, в которых большую прочность отдельных элементов можно считать связанной с их большей жесткостью, а, следовательно, и с большими воспринимаемыми усилиями. Пример отрицательной корреляционной связи – ослабленное отверстием сечение более прочно, т.е. сечение меньше, а прочность больше.

Если удается оценить корреляционную связь R с F с помощью корреляционного момента K(R,F), то характеристика безопасности аналогично как для (18.10)

                                                    (23.10)(115).

Тогда (18.10) запишется в виде

                                                 (24.10)(116),

где .

Здесь K(R,F) определяется по (34.3), а (22.10) запишется в виде

             (25.10)(117)

получено из (24.10).

Пример 7.

Обратная задача – по заданной надежности необходимо найти характеристики системы.

Требуется рассчитать элемент, на который действует растягивающая нагрузка.

Дано: растягивающее усилие N и прочность элемента R распределены нормально и независимы.

кН,  кН,  МПа, МПа.

Допуск для радиуса элемента , где =0.015 (1.5%) – доля радиуса . Требуемая вероятность безотказной работы P=0.9999.

Необходимо определить .

  1.  Зная Q=1-P по (12.10) находим характеристику безопасности .
  2.  Используя (8.10) можно найти , для этого надо найти м.о. и стандарт напряжения . Для этого предварительно необходимо определить  и (A).
  3.  По (12.10) по табл. =3.72.
  4.  Сначала определим  и (A). Непосредственно определить  и (A) по формулам (37.3) затруднительно, поэтому используем разложение функции y=f(x) вокруг точки  в ряд Тейлора до первых 3-х членов

,                                        (П.1)

где - остаточный член, которым можно пренебречь (тем более ).

Применим операцию м.о. для левой и правой части (П.1)

.

.

Т.е. окончательно

                                                             (П.2)

                                                                 (П.3).

Тогда т.к.  из (2.2) , где , .  и  получаем .

Вторым членом можно пренебречь, т.е.

                                                                      (П.4).

Из (П.3)

                                   (П.5).

Определим  и (F). F=N/A=f(N,A) – функция двух переменных. Непосредственно определить  и (F) по формулам (39.3) затруднительно, поэтому используем разложение в ряд Тейлора.

Если y=f(x1, x2,..., x3) разлагаем в ряд Тейлора вокруг точки с координатами , то

    (П.6),

где - остаточный член.

Из (П.6) можно получить (аналогично (П.2) и (П.3)):

                                     (П.7),

.

Тогда из (П.7) ,

т.к.  ,   т.е.

                                                                                 (П.9).

Из (П.8)          или

.

Подставляем (П.4) и (П.5)  

   (П.10).

Подставляем  и  - формулы (П.9 и П.10) в (18.10) и получим

                                   (П.11).

Подставляя все значения в (П.11) получаем

                                 (П.12).

После упрощений получаем уравнение для : . Это уравнение имеет два положительных корня  мм и  мм. Последний корень дает заданную вероятность безотказной работы Р = 0.9999. Интересно отметить, что другой корень  приводит к вероятности 0.0001.

При детерминированном расчете   (мм), А = 20 %.

При увеличении допуска надежность уменьшается

100%

Р

(R), МПа

Р

0.5

0.9999149145

20.685

0.99999

3.0

0.999846797

34.475

0.9999

5.0

0.999610197

62.055

0.98382

7.0

0.999032344

68.95

0.97381

При увеличении среднеквадратического отклонения прочности (R) элемента надежность уменьшается.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45155. Распад СССР и кризисы постсоветского государственного управления 17.72 KB
  Распад СССР процессы системной дезинтеграции происходившие в экономике народном хозяйстве социальной структуре общественной и политической сфере Советского Союза приведшие к прекращению существования СССР в конце 1991 г. 25 декабря 1991 Президент СССР М. Горбачев объявил о прекращении своей деятельности на посту Президента СССР по принципиальным соображениям; 26 декабря Верховный Совет СССР принял декларацию о прекращении существования СССР.
45157. Синодальная система управления Церковью 87.5 KB
  Тем не менее процесс развития капитализма в России набирал силу.Внешняя политика Александра III Миротворца В области внешней политики период царствования Александра III характеризуется почти полным отсутствием войн: только небольшие боевые действия в Туркмении – на этом завершилось присоединение Средней Азии к России. Тройственного союза в составе: Германия АвстроВенгрия и Италия – стало ясно что естественным союзником России при таком раскладе сил должна быть Франция.Итак патриархальное правление Александра III в общем смогло лишь...
45158. Учредительное собрание 15.7 KB
  ВСЕРОССИЙСКОЕ УЧРЕДИТЕЛЬНОЕ СОБРАНИЕ. Выборы в Учредительное собрание состоялись в конце 1917. На Втором съезде Советов большевики пообещали созвать Учредительное собрание и признать его властью от которой зависит решение всех основных вопросов но это обещание не собирались выполнять. Большевики считали Учредительное собрание главным своим соперником в борьбе за власть.
45159. Лествичная система и княжое право периода раздробленности 13.13 KB
  Княжили в таком порядке: старший братмладшие братья по порядкусыновья старшего брата по старшинствусыновья следующих братьев по старшинствувнуки правнуки в той же последовательности и т. По мере смены главного князя все прочие переезжали по старшинству из города в город.
45160. Столыпинская модель ГУ. Реформа органов государственного управления 23.69 KB
  Об образовании из восточных частей Люблинской и Седлецкой губерний особой Холмской губернии с изъятием ее из управления варшавского генералгубернатора Столыпин и Государственная Дума это особый вопрос. К его чести Столыпин наверное единственный из министров царского правительства кто не боялся выступать в Думе с ответами по самым разным депутатским запросам. Между тем иногда аудитория была настроена к нему настолько враждебно что изза шума в зале Столыпин не мог начать выступление в течение 10 15 минут. Например выступая в Думе по...
45161. Кризис государственной власти и начало конца дворянской управленческой элиты 23.61 KB
  Кризис государственной власти и начало конца дворянской управленческой элиты Почему же относительно легко был сокрушен монархический строй в России Среди главных причин нужно назвать десакрализацию верховной власти потерю ею своего авторитета. В период кризиса власти негативную роль сыграло отсутствие у монарха качеств государственного лидера. Продвижение к власти осуществлялось по критерию личной преданности царю. Назреванию кризиса самодержавной власти способствовала мировая война кровавый воз которой Россия тянула с августа 1914 г.
45162. Двоевластие и его сущность. Кризисы Временного правительства: причины и последствия 16.38 KB
  Кризисы Временного правительства: причины и последствия 27 февраля был образован Петроградский совет рабочих депутатов в количестве 250 человек избравший свой исполнительный комитет. 1 марта между Исполнительным комитетом Совета и Временным комитетом Государственной Думы начались переговоры об образовании Временного правительства....
45163. Новая экономическая политика 30.19 KB
  Сущность НЭПа Сущность НЭПа была понятна не всем. При самом различном понимании НЭПа многие партийные деятели сходились в том что в конце гражданской войны в Советской России сохранилось два основных класса населения: рабочие и крестьяне а вначале 20 годов после ведения НЭПа появилась и новая буржуазия носительница реставраторских тенденций. Ленин понимал неизбежные противоречия опасности развития на пути НЭПа. Не отказываясь от конечной цели создания нерыночной системы экономики НЭПа большевики прибегли к использованию...