50028

Наближене обчислення визначених інтегралів. Методичні вказівки

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Загальна квадратурна формула має вигляд: 1. Формула прямокутників Якщо в формулі НьютонаКортеса взяти n=0 то одержимо квадратну формулу методу прямокутників.Кожна з цих сум є інтегральною сумою для на відрізку і тому наближено виражають визначений інтеграл: 1 2 Ці формули називаються формулами прямокутників.1 видно що якщо додатна і зростаюча функція то формула 1 виражає площу ступінчатої фігури що складена із “ внутрішніх†прямокутників а формула 2...

Украинкский

2014-01-14

192 KB

11 чел.

Міністерство освіти і науки України

Національний університет «Львівська політехніка»

Чисельні методи в інформатиці

Методичні вказівки

до виконання лабораторної роботи

«Наближене обчислення визначених  інтегралів»

для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології»

Затверджено

На засіданні кафедри АСУ

Протокол №10-2008/2009

Від 12.03.2009 року

Львів - 2009


Чисельні методи в інформатиці:
Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи «Наближене обчислення визначених  інтегралів» для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології» / Укл.: І.М.Дронюк.- Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2009.-11 с.

Укладач     Дронюк І.М., канд.фіз.-мат. наук, доц.

Відповідальний за випуск  Шпак З.Я., канд. техн.наук, доц.

Рецензент     Цмоць І.Г., д-р техн. наук, проф.


Мета роботи
: вивчити методи наближених обчислень визначених інтегралів .

Порядок роботи:

  1.  Створити проект для виконання індивідуального завдання.
  2.  Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком

назва роботи

мета роботи

порядок роботи

короткі теоретичні відомості

алгоритм розв’язку задачі

тексти відповідних модулів проекту

аналіз отриманих результатів та висновки

Короткі теоретичні відомості

Нехай деяка функція f(x) задана в вузлах інтерполяції:

(i=1,2,3.,n) на відрізку [а,b] таблицею значень: X0=a

Потрібно знайти значення інтеграла  .

Спершу складемо інтерполяційний многочлен Лагранжа:

Для рівновіддалених вузлів інтерполяційний многочлен має вигляд:

де q=(x-x0) /h – крок інтерполяції, замінимо підінтегральну функцію f(x) інтерполяційним многочленом Лагранжа:

Поміняємо знак сумування та інтегралмісцями і винесемо за знак інтеграла постійні елементи:

 

Оскільки dp=dx/h, то, замінивши межі інтегрування, маємо:

 

Для рівновіддалених вузлів інтерполяції на відрізку [а,b] величина крок визначається як h=(a-b) /n. Представивши вираз для h і виносячи (b-a) за знак суми, отримаємо:

 

Покладемо, що

де i=0,1,2.,n; Числа Hi називають коефіцієнтами Ньютона-Кортеса. Ці коэффиценти не залежать від вигляду f(x), а є функцією тільки від n. Тому їх можна обчислити заздалегідь. Загальна квадратурна формула має вигляд:

1. Формула прямокутників

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=0, то одержимо квадратну формулу методу прямокутників.  Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція . Потрібно обчислити інтеграл

Розіб’ємо відрізок [a, b] на n рівних частин  .Кожна з цих сум є інтегральною сумою для  на відрізку  і тому наближено виражають визначений інтеграл:

                           (1)

                                    (2)

            Ці формули називаються формулами прямокутників. З рис.1 видно, що якщо додатна і зростаюча функція, то формула (1) виражає площу ступінчатої фігури, що складена із “ внутрішніх” прямокутників, а формула (2) – площу фігури, що складена із “зовнішніх” прямокутників. Похибка при цьому буде тим меншою, чим більше число n(тобто чим менший крок поділу).

2. Формула трапецій

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=1, то одержимо квадратну формулу методу трапецій.  Очевидно, що можна отримати більш точне значення інтеграла, якщо дану криву  замінити не ступінчатою лінією, як це мало місце у формулі прямокутників, а вписаною ломаною (рис.2). Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями  і  заміниться площами трапецій, обмежених зверху хордами Оскільки площа

 

            Рис.1                                                   Рис.2

першої трапеції дорівнює другої -  і т.д.,

то

або

                   (3)

Формула (3) називається формулою трапецій. Число   n вибирається довільним, але чим більшим буде це число, тим меншим буде крок, отже з тим більшою точністю сума в правій частині наближеної рівності (3) буде давати значення інтеграла.

3. Формула парабол (Сімпсона)

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=2, тобто функцію f(x) замінити інтерполяційним многочленом другого степеня, то одержимо квадратну формулу методу парабол. 

Метод Сімпсона найпоширеніший і широко застосовується у програмуванні. Його суть полягає в наближенні підінтегральної функції відрізками парабол.

 Отже, розглянемо спочатку інтеграл , де  - парабола; 

Тоді

Нехай тепер маємо інтеграл , де  -  неперервна на інтервалі функція. Якщо інтервал розбити на рівних частинок точками, то заданий інтеграл  можна записати так:

Якщо на кожному з інтегралів для проміжків  функцію замінимо параболами , що проходять через точки  ,то одержимо

В підсумку формула матиме вигляд:

 або

                           (4)

            Формула (4) називається формулою парабол або Сімпсона.       Доведено, що похибка обчислень  за формулою Сімпсона  є такою:

           (5)

Формула трьох восьмих:

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=3, тобто функцію f(x) замінити інтерполяційним многочленом третього степеня, побудованим за значення функції f(x) у точках x0=a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b, h=(b-a )/3. то одержимо таку квадратну формулу:

де

 

Ця квадратурна формула називається малою квадратурною формулою трьох восьмих. Використовуючи цю формулу, легко записати велику квадратурну формулу трьох восьмих.

Завдання

  

Обчислити інтеграл методом прямокутників, трапецій, парабол, трьох восьмих, Монте-Карло оцінити абсолютну та відносну похибку обчислення

А) заданий інтеграл обчислити наближено та точно

B) заданий інтеграл обчислити наближено

Варіант 1

1.

2.

3.

Варіант 2

1.

2.

3.

Варіант 3

1.

2.

3.

Варіант 4

1.

2.

3.

Варіант 5

1.  

2.  

3.

Варіант 6

1.

2.

3.

Варіант 7

1.

2.

3.

Варіант 8

1.

2.

3.

Варіант 9

1.

2.

3.  

Варіант 10

1.

2.

3.

Література

  1.  Фельдман Л., Петренко А., Дмитрієва О. Чисельні методи в інформатиці: Підручник для вузів / За заг. ред. М.З. Згуровського. – К.: Видав. група ВНV, 2006. – 475с.
  2.  Цегелик Г. Чисельнi методи: Пiдручник / Цегелик,Григорiй Григорович. - Львiв, 2004. - 406с.
  3.  Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень:. Навч. посіб. — Л.: БаК, 2003 . — 168 с.


Навчальне видання

Чисельні методи в інформатиці

Методичні вказівки

до виконання лабораторної роботи

«Наближене обчислення визначених  інтегралів»

для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології»

Укладач     Дронюк І.М., канд.фіз.-мат. наук, доц.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30720. Общее и особенное в политике британских консерваторов и лейбористов в 1920-е гг 23 KB
  Консервативная партия Великобритании – одна из двух ведущих политических партий страны образовавшаяся в 1867 году на базе партии тори. К 1930му году в Великобритании стала ясной гибель радикального социализма тогда на первый план выдвинулся либерализм который настаивал на прямом вмешательстве государства в экономику и передаче государству целого ряда социальных функций. Внутреннюю политику консерваторов Великобритании 1920 1930х годов можно охарактеризовать как стремление сохранить существующую ранее универсальность и...
30721. Основные этапы первой мировой войны. Факторы поражения германо-австрийского блока 27.5 KB
  В июле 1914 г Германия и Австровенгрия начинают первую мировую войну. Германия хотела сначала вывести из строя Францию чтобы прекратить борьбу на два фронта: Западном и Восточном. 1 этап – вторжение в Бельгию где Германия потерпела поражение: в Восточной Пруссии – Германия воевала с русскими армиями; в Галиции и Польше – где победы достались русским. Германия и АвстроВенгрия были экономически истощены под влиянием революций в России среди военных германии и Австрии усилилась антивоенная агитация народ устал от...
30722. «Новый курс» Результата и его историческое значение 24.5 KB
  Его основная цель состояла в оздоровлении экономики и восстановления доверия граждан к государству. Политика Рузвельта получила название Новый курс который он восстановил государственное регулирование экономики и социальных отношений. Законом об оздоровлении национальной экономики вся промышленность была разделена на 17 групп по отраслям и регулировалась нормативными актами кодексами чести определявшими объем выпуска товаров уровня заработной платы распределение рынков сбыта продолжительность рабочего времени и др....
30723. Эволюция и крах бюрократических режимов в стране ЦЮВЕ 26.5 KB
  было сформировано коалиционное правительство в ГДР. Чехословакия и ГДР несколько условно могут быть отнесены к государствам с довольно высоким уровнем развития Польша Венгрия Хорватия и Словения – страны среднего развития а Болгария Румыния четыре другие республики бывшей Югославии Сербия Черногория Македония Босния и Герцеговина Албания – низкого. По решению парламентов ГДР и ФРГ с 1 июля 1990 г. ГДР прекратила свое существование вместо нее появились пять новых федеральных земель ФРГ.
30724. Изоляционизм США термин использовавшийся с середины 19 в. 25 KB
  Изоляционизм США термин использовавшийся с середины 19 в. для обозначения направления во внешней политике США в основе которого лежит идея невмешательства в европейские дела и вообще в вооруженные конфликты вне американского континента. складывались под влиянием ряда факторов: географическая обособленность Американского континента создание в США ёмкого внутреннего рынка способствовавшего тому что значительная часть буржуазии мало интересовалась заокеанской экспансией расширение за счет др.
30725. Великобритания выбор новой модели развития в условиях кризиса и распада колониальной империи 28.5 KB
  Черчилль предложил емкую формулировку такого мировидения концепцию трех великих кругов центром пересечения которых считалась Британия. Чем глубже пускала корни биполярная система мира тем активнее Британия искала себе место в условиях противостояния двух сверхдержав. в 1940–1950е годы Британия все еще ощущала себя империей однородным государством и державой глобального масштаба.
30726. Ялтинская и Потсдамская конференции глав правительств СССР, США и Великобритании. (1945) 22.5 KB
  Участвовали: Сталин СССР Черчилль Великобритания Рузвельт США. Основные решения: 1 Германия делилась на 4 оккупационные зоны СССР Франция Англия США. 3 Согласия СССР вступить в войну с Японией через 3 месяца после капитуляции Германии.
30727. Кризис неолиберализма в США. Переход к неконсервативной модели развития ГМК 26 KB
  Главный замысел неолиберализма – снижение регулирующей роли государства в экономике При общем экономическом подъеме неолиберальный курс обусловил неустойчивость и нестабильность развития США Причиной экономического роста в США стали специфические внутренние и внешние факторы конца ХХ в. Экономическое развитие США последнего десятилетия окончательно подтверждает: неолиберальная перестройка – это путь к строительству эффективной капиталистической экономики. Неолиберальный режим вызвал крайне нестабильный экономический рост в США в 90е...
30728. Политика «невмешательства» (1935 – 1937 гг.). Мюнхенское соглашение 1938 г. и его значение для судеб мира 24.5 KB
  СССР готово было прийти на помощь Чехословакии в 1935 г у СССР и Чехословакии был договор о взаимопомощи при поддержке Франции у которой с СССР был такой же договор. Но французское правительство не поддержало СССР т. Попытки англофранцузской дипломатии умиротворить нацистов без участи СССР оказались тщетными и тогда Англия и Франция вынуждены были предоставить гарантии безопасности возможным жертвам агрессии – Польше Румынии Греции и начали секретные переговоры с Советским союзом. провалились изза недоверия...