50028

Наближене обчислення визначених інтегралів. Методичні вказівки

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Загальна квадратурна формула має вигляд: 1. Формула прямокутників Якщо в формулі НьютонаКортеса взяти n=0 то одержимо квадратну формулу методу прямокутників.Кожна з цих сум є інтегральною сумою для на відрізку і тому наближено виражають визначений інтеграл: 1 2 Ці формули називаються формулами прямокутників.1 видно що якщо додатна і зростаюча функція то формула 1 виражає площу ступінчатої фігури що складена із â внутрішніхâ прямокутників а формула 2...

Украинкский

2014-01-14

192 KB

11 чел.

Міністерство освіти і науки України

Національний університет «Львівська політехніка»

Чисельні методи в інформатиці

Методичні вказівки

до виконання лабораторної роботи

«Наближене обчислення визначених  інтегралів»

для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології»

Затверджено

На засіданні кафедри АСУ

Протокол №10-2008/2009

Від 12.03.2009 року

Львів - 2009


Чисельні методи в інформатиці:
Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи «Наближене обчислення визначених  інтегралів» для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології» / Укл.: І.М.Дронюк.- Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2009.-11 с.

Укладач     Дронюк І.М., канд.фіз.-мат. наук, доц.

Відповідальний за випуск  Шпак З.Я., канд. техн.наук, доц.

Рецензент     Цмоць І.Г., д-р техн. наук, проф.


Мета роботи
: вивчити методи наближених обчислень визначених інтегралів .

Порядок роботи:

  1.  Створити проект для виконання індивідуального завдання.
  2.  Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком

назва роботи

мета роботи

порядок роботи

короткі теоретичні відомості

алгоритм розв’язку задачі

тексти відповідних модулів проекту

аналіз отриманих результатів та висновки

Короткі теоретичні відомості

Нехай деяка функція f(x) задана в вузлах інтерполяції:

(i=1,2,3.,n) на відрізку [а,b] таблицею значень: X0=a

Потрібно знайти значення інтеграла  .

Спершу складемо інтерполяційний многочлен Лагранжа:

Для рівновіддалених вузлів інтерполяційний многочлен має вигляд:

де q=(x-x0) /h – крок інтерполяції, замінимо підінтегральну функцію f(x) інтерполяційним многочленом Лагранжа:

Поміняємо знак сумування та інтегралмісцями і винесемо за знак інтеграла постійні елементи:

 

Оскільки dp=dx/h, то, замінивши межі інтегрування, маємо:

 

Для рівновіддалених вузлів інтерполяції на відрізку [а,b] величина крок визначається як h=(a-b) /n. Представивши вираз для h і виносячи (b-a) за знак суми, отримаємо:

 

Покладемо, що

де i=0,1,2.,n; Числа Hi називають коефіцієнтами Ньютона-Кортеса. Ці коэффиценти не залежать від вигляду f(x), а є функцією тільки від n. Тому їх можна обчислити заздалегідь. Загальна квадратурна формула має вигляд:

1. Формула прямокутників

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=0, то одержимо квадратну формулу методу прямокутників.  Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція . Потрібно обчислити інтеграл

Розіб’ємо відрізок [a, b] на n рівних частин  .Кожна з цих сум є інтегральною сумою для  на відрізку  і тому наближено виражають визначений інтеграл:

                           (1)

                                    (2)

            Ці формули називаються формулами прямокутників. З рис.1 видно, що якщо додатна і зростаюча функція, то формула (1) виражає площу ступінчатої фігури, що складена із “ внутрішніх” прямокутників, а формула (2) – площу фігури, що складена із “зовнішніх” прямокутників. Похибка при цьому буде тим меншою, чим більше число n(тобто чим менший крок поділу).

2. Формула трапецій

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=1, то одержимо квадратну формулу методу трапецій.  Очевидно, що можна отримати більш точне значення інтеграла, якщо дану криву  замінити не ступінчатою лінією, як це мало місце у формулі прямокутників, а вписаною ломаною (рис.2). Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями  і  заміниться площами трапецій, обмежених зверху хордами Оскільки площа

 

            Рис.1                                                   Рис.2

першої трапеції дорівнює другої -  і т.д.,

то

або

                   (3)

Формула (3) називається формулою трапецій. Число   n вибирається довільним, але чим більшим буде це число, тим меншим буде крок, отже з тим більшою точністю сума в правій частині наближеної рівності (3) буде давати значення інтеграла.

3. Формула парабол (Сімпсона)

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=2, тобто функцію f(x) замінити інтерполяційним многочленом другого степеня, то одержимо квадратну формулу методу парабол. 

Метод Сімпсона найпоширеніший і широко застосовується у програмуванні. Його суть полягає в наближенні підінтегральної функції відрізками парабол.

 Отже, розглянемо спочатку інтеграл , де  - парабола; 

Тоді

Нехай тепер маємо інтеграл , де  -  неперервна на інтервалі функція. Якщо інтервал розбити на рівних частинок точками, то заданий інтеграл  можна записати так:

Якщо на кожному з інтегралів для проміжків  функцію замінимо параболами , що проходять через точки  ,то одержимо

В підсумку формула матиме вигляд:

 або

                           (4)

            Формула (4) називається формулою парабол або Сімпсона.       Доведено, що похибка обчислень  за формулою Сімпсона  є такою:

           (5)

Формула трьох восьмих:

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=3, тобто функцію f(x) замінити інтерполяційним многочленом третього степеня, побудованим за значення функції f(x) у точках x0=a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b, h=(b-a )/3. то одержимо таку квадратну формулу:

де

 

Ця квадратурна формула називається малою квадратурною формулою трьох восьмих. Використовуючи цю формулу, легко записати велику квадратурну формулу трьох восьмих.

Завдання

  

Обчислити інтеграл методом прямокутників, трапецій, парабол, трьох восьмих, Монте-Карло оцінити абсолютну та відносну похибку обчислення

А) заданий інтеграл обчислити наближено та точно

B) заданий інтеграл обчислити наближено

Варіант 1

1.

2.

3.

Варіант 2

1.

2.

3.

Варіант 3

1.

2.

3.

Варіант 4

1.

2.

3.

Варіант 5

1.  

2.  

3.

Варіант 6

1.

2.

3.

Варіант 7

1.

2.

3.

Варіант 8

1.

2.

3.

Варіант 9

1.

2.

3.  

Варіант 10

1.

2.

3.

Література

  1.  Фельдман Л., Петренко А., Дмитрієва О. Чисельні методи в інформатиці: Підручник для вузів / За заг. ред. М.З. Згуровського. – К.: Видав. група ВНV, 2006. – 475с.
  2.  Цегелик Г. Чисельнi методи: Пiдручник / Цегелик,Григорiй Григорович. - Львiв, 2004. - 406с.
  3.  Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень:. Навч. посіб. — Л.: БаК, 2003 . — 168 с.


Навчальне видання

Чисельні методи в інформатиці

Методичні вказівки

до виконання лабораторної роботи

«Наближене обчислення визначених  інтегралів»

для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології»

Укладач     Дронюк І.М., канд.фіз.-мат. наук, доц.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79082. Договор поручения. Содержание. Особенности правоотношений, возникающих из договора поручения. Прекращение договора поручения 25.5 KB
  Особенности правоотношений возникающих из договора поручения. Прекращение договора поручения. Договор поручения состоял в том что одно лицо дозритель мандант поручало а другое лицо мандатарий поверенный принимало на себя исполнение безвозмездно какихлибо действий.
79083. Договор товарищества. Виды товарищества. Права и обязанности товарищей в отношении друг друга и в отношении третьих лиц. Вклады. Участие в прибылях и убытках. Прекращение товарищества 26.64 KB
  Виды товарищества. Прекращение товарищества. Договором товарищества societs назывался договор по которому два лица или несколько лиц объединялись для достижения какойто общей хозяйственной цели разумеется не противоречащей праву.
79084. Зарождение юридических лиц. Статус корпораций, муниципий, фиска, благотворительных учреждений. Порядок возникновения юридических лиц. Основания прекращения юридических лиц 22.12 KB
  В древнереспубликанском праве еще не было имущества корпорации это была общая собственность членов корпорации но только неделимая пока существовала корпорация. В случае прекращения корпорации имущество делилось между последним составом ее членов. Наконец третий юрист Ульпиан3 говорил что в корпоративном объединении universits не имеет значения для бытия объединения остаются ли в нем все время одни и те же члены или только часть прежних или все заменены новыми; долги объединения не являются долгами отдельных его членов и права...
79085. Защита права собственности. Иски. Ответственность добросовестного и недобросовестного владельца перед собственником. Прекращение права собственности 20.82 KB
  Этот иск представлялся собственнику для истребования вещи владение которой им утрачено. Таким образом сторонами в виндикационном процессе являлись: в качестве истца собственник не имеющий фактического владения вещью; в качестве ответчика фактический обладатель вещи как держатель так и владелец ее притом владелец как недобросовестный так и добросовестный. Добросовестный владелец отвечал за состояние вещи со времени предъявления иска. вещи регулярно получаемые от другой плодоприносящей вещи при нормальном хозяйственном ее...
79086. Имущественные отношения супругов. Институт приданого. Основания прекращения брака. Конкубинат 21.11 KB
  Но принцип главенства мужа и подчинения жены проводился последовательно в течение всего того времени пока существовала практика браков cum mnu. Жена получала имя и сословное положение мужа; местожительство муха было обязательным местожительством и для жены; муж мог исковым порядком истребовать жену от всякого третьего лица у которого она находилась и т. при этом последствия нарушения верности были гораздо тяжелее для жены чем для мужа. При браке cum mnu все имущество жены поступало в полную собственность мужа сливаясь нераздельно с...
79087. Институты публичного права и изменения полномочий императора, сената и магистратуры в период домината (поздней империи) 21.7 KB
  начинается новый этап истории империи доминат во время которого Рим превратился в монархическое государство с абсолютной властью императора. Население империи превратилось из граждан в подданных императора которые стали рассматриваться даже как его рабы сервы. Большое значение для дальнейших судеб империи имели реформы Диоклетиана закрепленные и развитые в законодательстве Константина.
79088. Институты публичного права и изменения полномочий императора, сената и магистратуры в период принципата. Провинциальное управление 19.62 KB
  Этот титул впервые получил от сената основатель империи Октавиан Август поставленный первым в списке сенаторов и получивший право первым выступать в сенате что позволяло предопределять решения последнего; 2 доминат III V вв. Как консул он мог воспользовавшись правом интерцессии отменить решение любого магистрата как цензор формировать сенат из своих сторонников как трибун наложить вето на постановление сената или решение магистрата. Юридически он получал власть по решению сената и римского народа но он мог указать своего преемника...
79089. Институты публичного права Рима в период республики 24.41 KB
  Особую часть римского права составляло государственное публичное право регулирующее положение Рима как общины и столицы сначала Италии а затем и мировой державы. Эпоха римской республики это время наивысшего расцвета государственного права путем прямой законодательной деятельности народа. сохраняла свои права римская civits.
79090. Исполнение обязательства и ответственность за неисполнение обязательства 25.12 KB
  В случае неисполнения или ненадлежащего исполнения должником своего обязательства он нес ответственность перед кредитором. В более отдаленные эпохи ответственность имела личный характер: в случаях неисполнения должником лежащей на нем обязанности к нему применялись притом самим кредитором меры воздействия направленные непосредственно на его личность заключение в тюрьму продажа в рабство даже лишение жизни.Указания на такую личную ответственность содержатся еще в постановлениях XII таблиц.