50028

Наближене обчислення визначених інтегралів. Методичні вказівки

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Загальна квадратурна формула має вигляд: 1. Формула прямокутників Якщо в формулі НьютонаКортеса взяти n=0 то одержимо квадратну формулу методу прямокутників.Кожна з цих сум є інтегральною сумою для на відрізку і тому наближено виражають визначений інтеграл: 1 2 Ці формули називаються формулами прямокутників.1 видно що якщо додатна і зростаюча функція то формула 1 виражає площу ступінчатої фігури що складена із â внутрішніхâ прямокутників а формула 2...

Украинкский

2014-01-14

192 KB

11 чел.

Міністерство освіти і науки України

Національний університет «Львівська політехніка»

Чисельні методи в інформатиці

Методичні вказівки

до виконання лабораторної роботи

«Наближене обчислення визначених  інтегралів»

для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології»

Затверджено

На засіданні кафедри АСУ

Протокол №10-2008/2009

Від 12.03.2009 року

Львів - 2009


Чисельні методи в інформатиці:
Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи «Наближене обчислення визначених  інтегралів» для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології» / Укл.: І.М.Дронюк.- Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2009.-11 с.

Укладач     Дронюк І.М., канд.фіз.-мат. наук, доц.

Відповідальний за випуск  Шпак З.Я., канд. техн.наук, доц.

Рецензент     Цмоць І.Г., д-р техн. наук, проф.


Мета роботи
: вивчити методи наближених обчислень визначених інтегралів .

Порядок роботи:

  1.  Створити проект для виконання індивідуального завдання.
  2.  Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком

назва роботи

мета роботи

порядок роботи

короткі теоретичні відомості

алгоритм розв’язку задачі

тексти відповідних модулів проекту

аналіз отриманих результатів та висновки

Короткі теоретичні відомості

Нехай деяка функція f(x) задана в вузлах інтерполяції:

(i=1,2,3.,n) на відрізку [а,b] таблицею значень: X0=a

Потрібно знайти значення інтеграла  .

Спершу складемо інтерполяційний многочлен Лагранжа:

Для рівновіддалених вузлів інтерполяційний многочлен має вигляд:

де q=(x-x0) /h – крок інтерполяції, замінимо підінтегральну функцію f(x) інтерполяційним многочленом Лагранжа:

Поміняємо знак сумування та інтегралмісцями і винесемо за знак інтеграла постійні елементи:

 

Оскільки dp=dx/h, то, замінивши межі інтегрування, маємо:

 

Для рівновіддалених вузлів інтерполяції на відрізку [а,b] величина крок визначається як h=(a-b) /n. Представивши вираз для h і виносячи (b-a) за знак суми, отримаємо:

 

Покладемо, що

де i=0,1,2.,n; Числа Hi називають коефіцієнтами Ньютона-Кортеса. Ці коэффиценти не залежать від вигляду f(x), а є функцією тільки від n. Тому їх можна обчислити заздалегідь. Загальна квадратурна формула має вигляд:

1. Формула прямокутників

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=0, то одержимо квадратну формулу методу прямокутників.  Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція . Потрібно обчислити інтеграл

Розіб’ємо відрізок [a, b] на n рівних частин  .Кожна з цих сум є інтегральною сумою для  на відрізку  і тому наближено виражають визначений інтеграл:

                           (1)

                                    (2)

            Ці формули називаються формулами прямокутників. З рис.1 видно, що якщо додатна і зростаюча функція, то формула (1) виражає площу ступінчатої фігури, що складена із “ внутрішніх” прямокутників, а формула (2) – площу фігури, що складена із “зовнішніх” прямокутників. Похибка при цьому буде тим меншою, чим більше число n(тобто чим менший крок поділу).

2. Формула трапецій

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=1, то одержимо квадратну формулу методу трапецій.  Очевидно, що можна отримати більш точне значення інтеграла, якщо дану криву  замінити не ступінчатою лінією, як це мало місце у формулі прямокутників, а вписаною ломаною (рис.2). Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями  і  заміниться площами трапецій, обмежених зверху хордами Оскільки площа

 

            Рис.1                                                   Рис.2

першої трапеції дорівнює другої -  і т.д.,

то

або

                   (3)

Формула (3) називається формулою трапецій. Число   n вибирається довільним, але чим більшим буде це число, тим меншим буде крок, отже з тим більшою точністю сума в правій частині наближеної рівності (3) буде давати значення інтеграла.

3. Формула парабол (Сімпсона)

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=2, тобто функцію f(x) замінити інтерполяційним многочленом другого степеня, то одержимо квадратну формулу методу парабол. 

Метод Сімпсона найпоширеніший і широко застосовується у програмуванні. Його суть полягає в наближенні підінтегральної функції відрізками парабол.

 Отже, розглянемо спочатку інтеграл , де  - парабола; 

Тоді

Нехай тепер маємо інтеграл , де  -  неперервна на інтервалі функція. Якщо інтервал розбити на рівних частинок точками, то заданий інтеграл  можна записати так:

Якщо на кожному з інтегралів для проміжків  функцію замінимо параболами , що проходять через точки  ,то одержимо

В підсумку формула матиме вигляд:

 або

                           (4)

            Формула (4) називається формулою парабол або Сімпсона.       Доведено, що похибка обчислень  за формулою Сімпсона  є такою:

           (5)

Формула трьох восьмих:

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=3, тобто функцію f(x) замінити інтерполяційним многочленом третього степеня, побудованим за значення функції f(x) у точках x0=a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b, h=(b-a )/3. то одержимо таку квадратну формулу:

де

 

Ця квадратурна формула називається малою квадратурною формулою трьох восьмих. Використовуючи цю формулу, легко записати велику квадратурну формулу трьох восьмих.

Завдання

  

Обчислити інтеграл методом прямокутників, трапецій, парабол, трьох восьмих, Монте-Карло оцінити абсолютну та відносну похибку обчислення

А) заданий інтеграл обчислити наближено та точно

B) заданий інтеграл обчислити наближено

Варіант 1

1.

2.

3.

Варіант 2

1.

2.

3.

Варіант 3

1.

2.

3.

Варіант 4

1.

2.

3.

Варіант 5

1.  

2.  

3.

Варіант 6

1.

2.

3.

Варіант 7

1.

2.

3.

Варіант 8

1.

2.

3.

Варіант 9

1.

2.

3.  

Варіант 10

1.

2.

3.

Література

  1.  Фельдман Л., Петренко А., Дмитрієва О. Чисельні методи в інформатиці: Підручник для вузів / За заг. ред. М.З. Згуровського. – К.: Видав. група ВНV, 2006. – 475с.
  2.  Цегелик Г. Чисельнi методи: Пiдручник / Цегелик,Григорiй Григорович. - Львiв, 2004. - 406с.
  3.  Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень:. Навч. посіб. — Л.: БаК, 2003 . — 168 с.


Навчальне видання

Чисельні методи в інформатиці

Методичні вказівки

до виконання лабораторної роботи

«Наближене обчислення визначених  інтегралів»

для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології»

Укладач     Дронюк І.М., канд.фіз.-мат. наук, доц.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64697. Попроцессный метод учета затрат и калькулирования 216 KB
  Наибольший удельный вес во всех расходах предприятий занимают затраты на производство продукции. Совокупность производственных затрат показывает во что обходится предприятию изготовление выпускаемой продукции...
64698. Статистические методы анализа доходов от основных операций банка 1.75 MB
  К числу основных показателей денежных вкладов относятся: средний размер вклада оборачиваемость вкладного рубля эффективность вкладных операций. Его рассчитывают делением суммы остатка вкладов на количество лицевых счетов вкладов.
64700. Пути снижения издержек производства и реализации продукции на примере предприятия ОАО «Хлебокомбинат» г. Обнинск 771.5 KB
  Актуальность выбранной темы обусловлена тем, что учет затрат – важнейший инструмент управления предприятием. Знание затрат на производство, анализ этих затрат позволяет гибко регулировать производственный процесс.
64701. Совершенствование методики учета затрат и калькулирования себестоимости продукции 123 KB
  Теоретические и методологические основы калькулирования себестоимости продукции. Калькулирование себестоимости продукции роль калькулирования в управлении производством. Принципы калькулирования себестоимости продукции.
64702. Учет нематериальных активов 2.04 MB
  Кроме того, к нематериальным активам могут относиться организационные расходы (расходы, связанные с образованием юридического лица, признанные в соответствии с учредительными документами вкладом участников (учредителей) в уставный (складочный) капитал), а также деловая репутация организации.
64703. РАСХОДЫ НА ФИНАНСИРОВАНИЕ БЮДЖЕТНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ 495 KB
  Целью данной работы является рассмотрение и изучение проблем и возможностей улучшения формирования расходов на финансирование бюджетных инвестиций. Задачи исследования: изучить теоретические основы бюджетных инвестиций; изучить формы государственного финансирования экономики...
64704. Доходах и расходах государственного бюджета 852.5 KB
  Понятие государственного бюджета понятие расхода и дохода государственного бюджета. Так в практической части данной работе рассматривается влияние доходов государственного бюджета на расходы государственного бюджета.