50028

Наближене обчислення визначених інтегралів. Методичні вказівки

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Загальна квадратурна формула має вигляд: 1. Формула прямокутників Якщо в формулі НьютонаКортеса взяти n=0 то одержимо квадратну формулу методу прямокутників.Кожна з цих сум є інтегральною сумою для на відрізку і тому наближено виражають визначений інтеграл: 1 2 Ці формули називаються формулами прямокутників.1 видно що якщо додатна і зростаюча функція то формула 1 виражає площу ступінчатої фігури що складена із “ внутрішніх†прямокутників а формула 2...

Украинкский

2014-01-14

192 KB

11 чел.

Міністерство освіти і науки України

Національний університет «Львівська політехніка»

Чисельні методи в інформатиці

Методичні вказівки

до виконання лабораторної роботи

«Наближене обчислення визначених  інтегралів»

для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології»

Затверджено

На засіданні кафедри АСУ

Протокол №10-2008/2009

Від 12.03.2009 року

Львів - 2009


Чисельні методи в інформатиці:
Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи «Наближене обчислення визначених  інтегралів» для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології» / Укл.: І.М.Дронюк.- Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2009.-11 с.

Укладач     Дронюк І.М., канд.фіз.-мат. наук, доц.

Відповідальний за випуск  Шпак З.Я., канд. техн.наук, доц.

Рецензент     Цмоць І.Г., д-р техн. наук, проф.


Мета роботи
: вивчити методи наближених обчислень визначених інтегралів .

Порядок роботи:

  1.  Створити проект для виконання індивідуального завдання.
  2.  Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком

назва роботи

мета роботи

порядок роботи

короткі теоретичні відомості

алгоритм розв’язку задачі

тексти відповідних модулів проекту

аналіз отриманих результатів та висновки

Короткі теоретичні відомості

Нехай деяка функція f(x) задана в вузлах інтерполяції:

(i=1,2,3.,n) на відрізку [а,b] таблицею значень: X0=a

Потрібно знайти значення інтеграла  .

Спершу складемо інтерполяційний многочлен Лагранжа:

Для рівновіддалених вузлів інтерполяційний многочлен має вигляд:

де q=(x-x0) /h – крок інтерполяції, замінимо підінтегральну функцію f(x) інтерполяційним многочленом Лагранжа:

Поміняємо знак сумування та інтегралмісцями і винесемо за знак інтеграла постійні елементи:

 

Оскільки dp=dx/h, то, замінивши межі інтегрування, маємо:

 

Для рівновіддалених вузлів інтерполяції на відрізку [а,b] величина крок визначається як h=(a-b) /n. Представивши вираз для h і виносячи (b-a) за знак суми, отримаємо:

 

Покладемо, що

де i=0,1,2.,n; Числа Hi називають коефіцієнтами Ньютона-Кортеса. Ці коэффиценти не залежать від вигляду f(x), а є функцією тільки від n. Тому їх можна обчислити заздалегідь. Загальна квадратурна формула має вигляд:

1. Формула прямокутників

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=0, то одержимо квадратну формулу методу прямокутників.  Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція . Потрібно обчислити інтеграл

Розіб’ємо відрізок [a, b] на n рівних частин  .Кожна з цих сум є інтегральною сумою для  на відрізку  і тому наближено виражають визначений інтеграл:

                           (1)

                                    (2)

            Ці формули називаються формулами прямокутників. З рис.1 видно, що якщо додатна і зростаюча функція, то формула (1) виражає площу ступінчатої фігури, що складена із “ внутрішніх” прямокутників, а формула (2) – площу фігури, що складена із “зовнішніх” прямокутників. Похибка при цьому буде тим меншою, чим більше число n(тобто чим менший крок поділу).

2. Формула трапецій

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=1, то одержимо квадратну формулу методу трапецій.  Очевидно, що можна отримати більш точне значення інтеграла, якщо дану криву  замінити не ступінчатою лінією, як це мало місце у формулі прямокутників, а вписаною ломаною (рис.2). Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями  і  заміниться площами трапецій, обмежених зверху хордами Оскільки площа

 

            Рис.1                                                   Рис.2

першої трапеції дорівнює другої -  і т.д.,

то

або

                   (3)

Формула (3) називається формулою трапецій. Число   n вибирається довільним, але чим більшим буде це число, тим меншим буде крок, отже з тим більшою точністю сума в правій частині наближеної рівності (3) буде давати значення інтеграла.

3. Формула парабол (Сімпсона)

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=2, тобто функцію f(x) замінити інтерполяційним многочленом другого степеня, то одержимо квадратну формулу методу парабол. 

Метод Сімпсона найпоширеніший і широко застосовується у програмуванні. Його суть полягає в наближенні підінтегральної функції відрізками парабол.

 Отже, розглянемо спочатку інтеграл , де  - парабола; 

Тоді

Нехай тепер маємо інтеграл , де  -  неперервна на інтервалі функція. Якщо інтервал розбити на рівних частинок точками, то заданий інтеграл  можна записати так:

Якщо на кожному з інтегралів для проміжків  функцію замінимо параболами , що проходять через точки  ,то одержимо

В підсумку формула матиме вигляд:

 або

                           (4)

            Формула (4) називається формулою парабол або Сімпсона.       Доведено, що похибка обчислень  за формулою Сімпсона  є такою:

           (5)

Формула трьох восьмих:

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=3, тобто функцію f(x) замінити інтерполяційним многочленом третього степеня, побудованим за значення функції f(x) у точках x0=a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b, h=(b-a )/3. то одержимо таку квадратну формулу:

де

 

Ця квадратурна формула називається малою квадратурною формулою трьох восьмих. Використовуючи цю формулу, легко записати велику квадратурну формулу трьох восьмих.

Завдання

  

Обчислити інтеграл методом прямокутників, трапецій, парабол, трьох восьмих, Монте-Карло оцінити абсолютну та відносну похибку обчислення

А) заданий інтеграл обчислити наближено та точно

B) заданий інтеграл обчислити наближено

Варіант 1

1.

2.

3.

Варіант 2

1.

2.

3.

Варіант 3

1.

2.

3.

Варіант 4

1.

2.

3.

Варіант 5

1.  

2.  

3.

Варіант 6

1.

2.

3.

Варіант 7

1.

2.

3.

Варіант 8

1.

2.

3.

Варіант 9

1.

2.

3.  

Варіант 10

1.

2.

3.

Література

  1.  Фельдман Л., Петренко А., Дмитрієва О. Чисельні методи в інформатиці: Підручник для вузів / За заг. ред. М.З. Згуровського. – К.: Видав. група ВНV, 2006. – 475с.
  2.  Цегелик Г. Чисельнi методи: Пiдручник / Цегелик,Григорiй Григорович. - Львiв, 2004. - 406с.
  3.  Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень:. Навч. посіб. — Л.: БаК, 2003 . — 168 с.


Навчальне видання

Чисельні методи в інформатиці

Методичні вказівки

до виконання лабораторної роботи

«Наближене обчислення визначених  інтегралів»

для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології»

Укладач     Дронюк І.М., канд.фіз.-мат. наук, доц.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22267. НАРУШЕНИЯ КРОВООБРАЩЕНИЯ. ПОЛНОКРОВИЕ (ГИПЕРЕМИЯ) 43.5 KB
  Это проявляется асцитом расширением вен передней брюшной стенки голова Медузы расширением вен пищевода что опасно кровотечением. КРОВОТЕЧЕНИЕ ГЕМОРРАГИЯ Определение кровотечение геморрагия это выход крови из просвета сосуда или полости сердца наружу наружное кровотечение или в полости тела внутреннее кровотечение. Наружное кровотечение: кровохарканье кровотечение из носа рвота кровью маточное кровотечение метроррагия мелена кровь с калом.
22268. НАРУШЕНИЯ КРОВООБРАЩЕНИЯ. Тромбоз 42.5 KB
  Неблагоприятный: септический аутолиз тромба рассасывание тромба под действием микробов что опасно сепсисом и кровотечением отрыв тромба тромбоэмболия которая может привести к инфаркту. Значение: тромбоз может привести к нарушению кровоснабжения органа и развитию инфаркта гангрены. ТЭЛА может привести к красному инфаркту легкого или к внезапной смерти. ИНФАРКТ Определение: инфаркт это сосудистый ишемический некроз который возникает вследствие прекращения...
22269. Некроз. Патогенетические формы 33 KB
  Этиологические формы: токсический некроз эта форма встречается при действии на ткани организма токсинов яды биологи ческой природы токсины палочки дифтерии бактерий или химической природы кислоты щелочи. травматический некроз этот некроз возникает при действии сильных физических факторов высокие или низкие температуры электроток. сосудистый некроз связан с острым нарушением кровоснабжения органа или ткани.
22270. Влияние внутренней среды на разработку и реализацию управленческих решений 229.5 KB
  Внутренняя среда организации – эта та часть общей среды, которая находится в пределах организации. Она оказывает постоянное и самое непосредственное воздействие на различные аспекты функционирования организации, в том числе на процесс разработки и реализации управленческих решений
22271. Социально–экономическое положение Шпаковского района Ставропольского края 192 KB
  Цель данного курсового проекта – охарактеризовать социально – экономического положение Шпаковского муниципального района не только с экономической стороны, но и со стороны туристской деятельности, а также предложить проект по реализации туристского потенциала Шпаковского района.
22272. Сушарка розпилювальна дискова для зневоднення бульйону пташиного 1.95 MB
  Вологу з матеріалів можна видалити різними способами: механічним, фізико-хімічним та тепловим. При механічному способі вологу відтискують у пресах або центрифугах. Фізико-хімічний спосіб ґрунтується на застосуванні вологовідбірних засобів і використовується переважно в лабораторній практиці.
22273. ОСТРЫЕ ПНЕВМОНИИ 37.5 KB
  Локализация: Паренхиматозная пневмония воспалительный экссудат в альвеолах Бронхопневмония экссудат в бронхах и альвеолах Межуточная пневмония клеточный инфильтрат в строме легкого. Вид экссудата: Серозная пневмония Серознолейкоцитарная Гнойная Фибринозная крупозная Геморрагическая Серозногеморрагическая. КРУПОЗНАЯ ПНЕВМОНИЯ Определение. Крупозная пневмония острое инфекционноаллергическое заболевание с поражением целой доли легкого долевая пневмония фибринозным экссудатом в альвеолах паренхиматозная...
22274. ПАРЕНХИМАТОЗНЫЕ ДИСТРОФИИ (ПД) 27.5 KB
  Гиалиновокапельная дистрофия Определение: это тяжелая необратимая белковая паренхиматозная дистрофия при которой в цитоплазме появляются крупные капли похожие на гиалин. Гидропическая дистрофия Определение: это тяжелая необратимая белковая паренхиматозная дистрофия характеризующаяся появлением в клетке вакуолей наполненных жидкостью. При резко выраженной дистрофии клетки похожи на баллон это баллонноя дистрофия. Роговая дистрофия Определение: эта дистрофия характеризуется образованием большого количества рогового вещества в ороговевающем...
22275. Самодержавие и реформы в России во второй половине XIX, в начале XX века 284 KB
  Первые шаги к отмене крепостного права в России были сделаны императором Александром I в 1803 году изданием Указа о вольных хлебопашцах, в котором прописан юридический статус отпускаемых на волю крестьян.