50028

Наближене обчислення визначених інтегралів. Методичні вказівки

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Загальна квадратурна формула має вигляд: 1. Формула прямокутників Якщо в формулі НьютонаКортеса взяти n=0 то одержимо квадратну формулу методу прямокутників.Кожна з цих сум є інтегральною сумою для на відрізку і тому наближено виражають визначений інтеграл: 1 2 Ці формули називаються формулами прямокутників.1 видно що якщо додатна і зростаюча функція то формула 1 виражає площу ступінчатої фігури що складена із “ внутрішніх†прямокутників а формула 2...

Украинкский

2014-01-14

192 KB

11 чел.

Міністерство освіти і науки України

Національний університет «Львівська політехніка»

Чисельні методи в інформатиці

Методичні вказівки

до виконання лабораторної роботи

«Наближене обчислення визначених  інтегралів»

для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології»

Затверджено

На засіданні кафедри АСУ

Протокол №10-2008/2009

Від 12.03.2009 року

Львів - 2009


Чисельні методи в інформатиці:
Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи «Наближене обчислення визначених  інтегралів» для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології» / Укл.: І.М.Дронюк.- Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2009.-11 с.

Укладач     Дронюк І.М., канд.фіз.-мат. наук, доц.

Відповідальний за випуск  Шпак З.Я., канд. техн.наук, доц.

Рецензент     Цмоць І.Г., д-р техн. наук, проф.


Мета роботи
: вивчити методи наближених обчислень визначених інтегралів .

Порядок роботи:

  1.  Створити проект для виконання індивідуального завдання.
  2.  Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком

назва роботи

мета роботи

порядок роботи

короткі теоретичні відомості

алгоритм розв’язку задачі

тексти відповідних модулів проекту

аналіз отриманих результатів та висновки

Короткі теоретичні відомості

Нехай деяка функція f(x) задана в вузлах інтерполяції:

(i=1,2,3.,n) на відрізку [а,b] таблицею значень: X0=a

Потрібно знайти значення інтеграла  .

Спершу складемо інтерполяційний многочлен Лагранжа:

Для рівновіддалених вузлів інтерполяційний многочлен має вигляд:

де q=(x-x0) /h – крок інтерполяції, замінимо підінтегральну функцію f(x) інтерполяційним многочленом Лагранжа:

Поміняємо знак сумування та інтегралмісцями і винесемо за знак інтеграла постійні елементи:

 

Оскільки dp=dx/h, то, замінивши межі інтегрування, маємо:

 

Для рівновіддалених вузлів інтерполяції на відрізку [а,b] величина крок визначається як h=(a-b) /n. Представивши вираз для h і виносячи (b-a) за знак суми, отримаємо:

 

Покладемо, що

де i=0,1,2.,n; Числа Hi називають коефіцієнтами Ньютона-Кортеса. Ці коэффиценти не залежать від вигляду f(x), а є функцією тільки від n. Тому їх можна обчислити заздалегідь. Загальна квадратурна формула має вигляд:

1. Формула прямокутників

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=0, то одержимо квадратну формулу методу прямокутників.  Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція . Потрібно обчислити інтеграл

Розіб’ємо відрізок [a, b] на n рівних частин  .Кожна з цих сум є інтегральною сумою для  на відрізку  і тому наближено виражають визначений інтеграл:

                           (1)

                                    (2)

            Ці формули називаються формулами прямокутників. З рис.1 видно, що якщо додатна і зростаюча функція, то формула (1) виражає площу ступінчатої фігури, що складена із “ внутрішніх” прямокутників, а формула (2) – площу фігури, що складена із “зовнішніх” прямокутників. Похибка при цьому буде тим меншою, чим більше число n(тобто чим менший крок поділу).

2. Формула трапецій

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=1, то одержимо квадратну формулу методу трапецій.  Очевидно, що можна отримати більш точне значення інтеграла, якщо дану криву  замінити не ступінчатою лінією, як це мало місце у формулі прямокутників, а вписаною ломаною (рис.2). Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями  і  заміниться площами трапецій, обмежених зверху хордами Оскільки площа

 

            Рис.1                                                   Рис.2

першої трапеції дорівнює другої -  і т.д.,

то

або

                   (3)

Формула (3) називається формулою трапецій. Число   n вибирається довільним, але чим більшим буде це число, тим меншим буде крок, отже з тим більшою точністю сума в правій частині наближеної рівності (3) буде давати значення інтеграла.

3. Формула парабол (Сімпсона)

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=2, тобто функцію f(x) замінити інтерполяційним многочленом другого степеня, то одержимо квадратну формулу методу парабол. 

Метод Сімпсона найпоширеніший і широко застосовується у програмуванні. Його суть полягає в наближенні підінтегральної функції відрізками парабол.

 Отже, розглянемо спочатку інтеграл , де  - парабола; 

Тоді

Нехай тепер маємо інтеграл , де  -  неперервна на інтервалі функція. Якщо інтервал розбити на рівних частинок точками, то заданий інтеграл  можна записати так:

Якщо на кожному з інтегралів для проміжків  функцію замінимо параболами , що проходять через точки  ,то одержимо

В підсумку формула матиме вигляд:

 або

                           (4)

            Формула (4) називається формулою парабол або Сімпсона.       Доведено, що похибка обчислень  за формулою Сімпсона  є такою:

           (5)

Формула трьох восьмих:

Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=3, тобто функцію f(x) замінити інтерполяційним многочленом третього степеня, побудованим за значення функції f(x) у точках x0=a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b, h=(b-a )/3. то одержимо таку квадратну формулу:

де

 

Ця квадратурна формула називається малою квадратурною формулою трьох восьмих. Використовуючи цю формулу, легко записати велику квадратурну формулу трьох восьмих.

Завдання

  

Обчислити інтеграл методом прямокутників, трапецій, парабол, трьох восьмих, Монте-Карло оцінити абсолютну та відносну похибку обчислення

А) заданий інтеграл обчислити наближено та точно

B) заданий інтеграл обчислити наближено

Варіант 1

1.

2.

3.

Варіант 2

1.

2.

3.

Варіант 3

1.

2.

3.

Варіант 4

1.

2.

3.

Варіант 5

1.  

2.  

3.

Варіант 6

1.

2.

3.

Варіант 7

1.

2.

3.

Варіант 8

1.

2.

3.

Варіант 9

1.

2.

3.  

Варіант 10

1.

2.

3.

Література

  1.  Фельдман Л., Петренко А., Дмитрієва О. Чисельні методи в інформатиці: Підручник для вузів / За заг. ред. М.З. Згуровського. – К.: Видав. група ВНV, 2006. – 475с.
  2.  Цегелик Г. Чисельнi методи: Пiдручник / Цегелик,Григорiй Григорович. - Львiв, 2004. - 406с.
  3.  Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень:. Навч. посіб. — Л.: БаК, 2003 . — 168 с.


Навчальне видання

Чисельні методи в інформатиці

Методичні вказівки

до виконання лабораторної роботи

«Наближене обчислення визначених  інтегралів»

для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології»

Укладач     Дронюк І.М., канд.фіз.-мат. наук, доц.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62823. І. Кириліна «Засмутилось кошеня». О. Жилінський «Пісенька Джури». Ф. Шопен прелюдії № 7, 20 373.92 KB
  Мета уроку: формувати прагнення відроджувати і вивчати оригінальну творчість народу виховувати любов до природи навколишнього світу школи бережливе ставлення до весняних квітів; розучити пісню Засмутилось кошеня прослухати прелюдії...
62825. Поведінка учня 22.99 KB
  Ну і мама Ну і тато Наче справжні дошкільнята Нічогісінько не знають Смішно і казать комусь Бо щодня мене питають Лиш одне: Чому й чому. Ти чому образив Віту Ти чому отримав двійку І чому прийшов так пізно І чому в шкарпетках різних Ти чому такий непослух...
62826. Письмовий твір-роздум на морально-етичну тему 44.74 KB
  Так сталося що у мене немає друзів. Я намагаюся бути з усіма доброзичливою допомагаю всім хто до мене звертається я не відмінниця але твердо знаю шкільні дисципліни проте списувати не даю нікому просто пояснюю.
62827. Повний звуковий аналіз слів. Урок-гра «Поле чудес» 16.26 KB
  До виконання завдання першого туру викликає трьох учнів які правильно підняли руку і назвали слова вірша з одним двома трьома складами. Завдання I туру У першому турі вам треба відгадати слово звукову схему якого записано на дошці.
62828. Укрепление и сохранение здоровья учащихся с помощью знаний о закаливаний полученных на этом уроке 303.13 KB
  Виды закаливания. Значение закаливания для здоровья человека; необходимо учитывать индивидуальные особенности организма; закаливание должно быть постепенным; закаливаться нужно систематически не пропуская ни одного дня; использовать любую возможность для закаливания.
62830. Окружающий мир и музыка. Что такое музыка? Сказки и легенды о музыке и музыкантах 110.9 KB
  Музыка - это прежде всего звуки,которые нас окружают. Это и пение птиц, и шум моря (ветра),и шелест листьев, вобщем то - что имеет звук. А рёв машин или сигнализация - это музыка? Да, это тоже музыка.
62831. МИР ДЕТСТВА В МУЗЫКЕ. МУЗЫКА И ЖИВОТНЫЙ МИР 69.47 KB
  Правильно А играться вы любите да А какие ваши любимые игрушки куклы солдатики машинки мячики и др. О куклах есть пьесы русского композитора Петра Ильича Чайковского музыка из детского альбома...