50062

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ

Лекция

Физика

Разность наибольшего и наименьшего членов ряда R = Xn X1 называется РАЗМАХОМ эмпирического распределения а число наблюдений n объемом выборки. Функцией распределения случайной величины для данного статистического материала ВЫБОРКИ будет частота события X где X любое возможное значение случайной величины . Значение статистической функции распределения легко вычислить подсчитав число опытов m в которых величина приняла значение меньшее чем X и разделив...

Русский

2014-01-15

110 KB

8 чел.

2.8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ  ХАРАКТЕРИСТИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ПО  ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ  ДАННЫМ

2.8.1 Статистические ряды

В статистике используются понятия генеральной совокупности и выборки. Пример генеральной совокупности - данные о прочности какой-либо марки стали по ВСЕМ металлургическим заводам страны. Обычно оперируют с частью генеральной совокупности, отобранной для анализа - ВЫБОРКОЙ. Пример выборки - данные о весе снежного покрова за ряд лет по одной метеостанции.

Упорядоченные по величине результаты опытов или наблюдений (например, расположенные в порядке возрастания значений) называют ВАРИАЦИОННЫМ РЯДОМ. Результаты проведенных наблюдений образуют ЭМПИРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

Разность наибольшего и наименьшего членов ряда R = Xn - X1 называется РАЗМАХОМ эмпирического распределения, а число наблюдений n - объемом выборки.

Функцией распределения случайной величины для данного статистического материала (ВЫБОРКИ) будет частота события < X, где X - любое возможное значение случайной величины .

Значение статистической функции распределения легко вычислить, подсчитав число опытов m, в которых величина приняла значение, меньшее, чем X, и разделив его на общее число произведенных опытов n.     

                                                            (2.20)

Вместо зависимости (2.20) часто используют зависимость

,                                                          (2.21)

дающую средние значения частот. Эта зависимость хороша для значений случайной величины , близких к средним, однако, в области крайних значений (m0, mn) она дает искаженные результаты.

Имеются и другие предложения, например

                                                      (2.22)

Эта зависимость определяет МЕДИАНЫ  частот распределения.

   P(X)

График статистической

функции распределения

представляет собой

ступенчатую ломаную

линию. Если переменная

Х в результате  опыта

принимает одно и то же

значение Хi несколько

раз, этому соответствует

более высокий скачок

графика в точке Хi.

0        X1                                                                               Хn                X

При большом числе наблюдений с простой статистической совокупностью становится работать неудобно. В этом случае на основе обработки строится СТАТИСТИЧЕСКИЙ РЯД.

Диапазон наблюдений значений величины  делят на интервалы (разряды). Определяется количество попаданий значений в каждый интервал.

Обычно число интервалов выбирают в пределах 10 - 15, при малых объемах выборки 5-6. Однако во многих случаях для анализа больших выборок число интервалов увеличивают. В монографии Л. П. Пилюгина [11], где оценивается надежность строительных конструкций на основе метода преобразования рядов распределения, число интервалов выбирается в пределах 20 - 25. Если значение попадает на границу интервалов, то его можно отнести к обоим интервалам, прибавив к числу попаданий m того и другого разрядов по 1/2.

Ниже в таблице обработаны результаты испытаний чистых стандартных образцов древесины сосны на сжатие. По табличным значениям построена гистограмма распределения предела прочности, ступени которой напоминают график кривой плотности нормального закона распределения Гаусса.

Таблица              Обработка результатов испытаний древесины сосны на сжатие

интер-

вала

Интервал, МПа

Середина

интервала,

МПа

Число зна чений в

интервале

mi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

35 - 36,9

37 - 38,9

39 - 40,9

41 - 42,9

43 - 44,9

45 - 46,9

47 - 48,9

49 - 50,9

51 - 52,9

53 - 54,9

36

38

40

42

44

46

48

50

52

54

2

3

8

21

31

27

15

12

2

1

0,0164

0,0246

0,0656

0,1721

0,2541

0,2213

0,1230

0,0984

0,0164

0,0082

0,0164

0,0410

0,1066

0,2787

0,5328

0,7541

0,8771

0,9755

0,9919

1,0000

Итого:

n = 122

   

|

0,25- =====

| | |

| | =====

| | | |

| ===== | |

| | | | =====

| | | | | |

| | | | | ====

| ===== | | | | |

| | | | | | | |

| ===== | | | | | =====

| ===== | | | | | | | |

| | | | | | | | | | =====

-----------------------------------------------------------------------------------------------

 35      37     39      41      43        45      47      49      51        53        55

                         σmax, МПа

   

       35      37       39      41       43     45      47       49      51     53       55         σmax, МПа

По данным этой же таблицы можно построить график суммы частот попадания в соответствующие интервалы, соответствующий интегральному закону распределения предела прочности древесины для данной выборки, называемый эмпирической функцией распределения.

Числовые характеристики - МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЮ эмпирического распределения обычно определяют по приближенным формулам:

                                        (2.23)

2.8.2  Выравнивание статистических рядов

Для выявления наиболее существенных черт статистического материала и исключения случайностей, связанных с погрешностями или недостаточным объемом экспериментальных данных, производят обработку статистических данных, называемую ВЫРАВНИВАНИЕМ статистического ряда.

Вид теоретической кривой распределения обычно, но не всегда выбирается заранее из общих соображений, в том числе ВНЕШНЕГО вида графика статистического распределения. Задача сводится к выбору наиболее подходящих параметров распределения, при которых соответствие между статистическим и теоретическим распределением оказывается наилучшим.

Чаще всего используют известный метод НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ, основанный на том, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от аппроксимирующей кривой была минимальной. Используется также МЕТОД МОМЕНТОВ, согласно которому для функции, зависящей, например, от 2-х параметров, параметры кривой распределения подбираются таким образом, чтобы математическое ожидание  и дисперсия  теоретического распределения совпадали с их статистическими оценками. Если число параметров больше двух, используется такое число эмпирических (выборочных) моментов, сколько имеется параметров.

К оценкам параметров закона распределения предъявляются требования СОСТОЯТЕЛЬНОСТИ, НЕСМЕЩЕННОСТИ и ЭФФЕКТИВНОСТИ.

Статистическая оценка называется СОСТОЯТЕЛЬНОЙ, если она сходится по вероятности к оцениваемому теоретическому параметру при увеличении числа наблюдений.

Статистическая оценка называется НЕСМЕЩЕННОЙ, если ее математическое ожидание равно оцениваемой характеристике.

Несмещенная статистическая оценка называется ЭФФЕКТИВНОЙ, если она имеет наименьшую возможную дисперсию.

Оценки, полученные методом моментов, часто бывают СМЕЩЕННЫМИ и НЕЭФФЕКТИВНЫМИ. Метод наименьших квадратов, как и некоторые другие (метод наименьших абсолютных уклонений, метод МИНИМАКСА - наименьшего максимума абсолютных отклонений) являются приближенными.

Наилучшим считается метод МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ. Этот метод основан на том, что функция плотности вероятности зависит не только от значений переменной , принявшей значения Х1, Х2, Х3, ... Хn, но и от значений параметров θ1, θ2, θ3…θn, то есть при фиксированных значениях Хi случайной величины  рассматривается функция МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ.

.

Задача состоит в том, чтобы найти такое распределение , которое наилучшим образом соответствовало выборочному набору значений Хi. Соответствие распределения, зависящего от θ и набора наблюдений (X1, X2, X3, ..... Xn), означает, что вероятность получить тот же самый набор значений случайной величины  при другом значении параметра θ меньше. Задача состоит в том, чтобы найти такое значение параметра θ *, при котором для фиксированных значений X1, X2, X3, ..... Xn  выполняется условие

                                                   (2.24)

Известно, что точка максимума не изменится, если вместо L(θ) рассматривать

ln L(θ) = ln(θ).

Функция ln(θ). называется ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ ПРАВДОПОДОБИЯ. Она удобнее в использовании при решении задачи.

Так как X1, X2, X3, ..... Xn - независимые одинаково распределенные случайные величины, то в соответствии с формулой (1.7)

                        (2.25)

и

                                              (2.26)

Для отыскания максимума функции (2.26) решают уравнение правдоподобия

                                                 (2.27)

Оценки математического правдоподобия при выполнении условия РЕГУЛЯРНОСТИ состоятельны, асимптотически нормальны и эффективны [17], а решение уравнений правдоподобия единственно. Таким образом, метод дает асимптотически наилучшие оценки: несмещенные с наименьшей дисперсией.

Для оценки соответствия между выбранной теоретической кривой и выборочными данными (X1, X2, X3,....Xn) используют КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ. Для плотности распределения наиболее употребим критерий ПИРСОНА.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50140. Программирование задач с использованием массивов. Ввод и вывод элементов. Упорядочивание. Нахождение максимального (max) элемента 51.5 KB
  Элементы массива нумеруются с нуля. Доступ к элементу массива осуществляется путем указания индекса номера элемента. Доступ к элементам массива можно осуществлять при помощи указателя. В инструкции объявления массива удобно использовать именованную константу объявленную в директиве define.
50141. Вивчення лічильника змінного струму 66 KB
  Вивчення лічильника змінного струму. Мета роботи: Вивчення принципу роботи лічильника змінного струму. Будова електричного лічильника змінного струму показана на рис. На кожному лічильнику вказана його постійна С величина її визначається кількістю енергії при споживанні якої в колі диск лічильника здійснює один оберт.
50142. Изучение работы трансформатора 376 KB
  С вторичной обмотки снимается переменное напряжение которое после выпрямителя подаётся на обмотку подмагничивания ротора. Концы первичной обмотки вход трансформатора подключены к сети питающего переменного тока а концы вторичной обмотки выход  к потребителям электрической энергии. электромагнитной индукции возникающая во вторичной обмотке пропорциональна числу витков в ней и поэтому изменяя это число витков можно изменять в широких пределах напряжение на выходе трансформатора. Именно это поле приводит в движение электроны во...
50143. Эффект Джоуля-Томпсона при адиабатическом истечении газа 614.5 KB
  Цель работы: определить изменение температуры углекислого газа при протекании через малопроницаемую перегородку при разных начальных значениях давления и температуры; вычислить по результатам опытов коэффициенты Вандер-Ваальса...
50144. Начертательная геометрия: Учебное пособие 1.9 MB
  Объективные закономерности общественного развития – научно техническая революция, информационный взрыв, внедрение принципиально-новых технологий, возрастание роли творческих элементов в различных областях человеческой деятельности – диктуют необходимость повышения интеллектуального потенциала каждого человека, развития инновационного стиля мышления, нестандартных способов осуществления любой деятельности каждого человека способного самостоятельно воспринимать и оценивать новую информацию, принимать решения, генерировать новые идеи.
50145. Определние разрешающей способности и числовой апертуры микроскопа 84 KB
  Определние разрешающей способности и числовой апертуры микроскопа. Цель работы: ознакомиться с устройством микроскопа принципом действия и основными характеристиками. Введение Теория микроскопа. Основными оптическими частями простейшего микроскопа являются рис.
50146. Тактика нападу. Групова тактика. Комбінації при стандартних ситуаціях 37 KB
  Вона включає дії без мяча і з мячем. Дії без мяча Для оптимального вибору позиції з метою одержання мяча використовується відкривання. Треба памятати що без мяча футболіст переміщується швидше тому перетримування мяча гальмує розвиток атаки. Вибір способу виконання удару його сили напрямку і траєкторії польоту мяча залежить від конкретної ігрової ситуації.
50148. Тенденции развития основ нормирования надежности конструкций 38 KB
  В этом макете принятие решений определяющих надежность несущих конструкций на основе расчетного анализа представляет собой совокупность двух задач: установления целесообразного уровня надежности объекта проектирования и реализации этого уровня в проекте объекта и в натуре. выбор характеристик с той или иной степенью достоверности определяющих уровень надежности объекта и установление их целесообразных значений. Фундаментальными показателями надежности объекта определяющими выбор надежностных требований являются вероятности отказов т.