50062

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ

Лекция

Физика

Разность наибольшего и наименьшего членов ряда R = Xn X1 называется РАЗМАХОМ эмпирического распределения а число наблюдений n объемом выборки. Функцией распределения случайной величины для данного статистического материала ВЫБОРКИ будет частота события X где X любое возможное значение случайной величины . Значение статистической функции распределения легко вычислить подсчитав число опытов m в которых величина приняла значение меньшее чем X и разделив...

Русский

2014-01-15

110 KB

5 чел.

2.8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ  ХАРАКТЕРИСТИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ПО  ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ  ДАННЫМ

2.8.1 Статистические ряды

В статистике используются понятия генеральной совокупности и выборки. Пример генеральной совокупности - данные о прочности какой-либо марки стали по ВСЕМ металлургическим заводам страны. Обычно оперируют с частью генеральной совокупности, отобранной для анализа - ВЫБОРКОЙ. Пример выборки - данные о весе снежного покрова за ряд лет по одной метеостанции.

Упорядоченные по величине результаты опытов или наблюдений (например, расположенные в порядке возрастания значений) называют ВАРИАЦИОННЫМ РЯДОМ. Результаты проведенных наблюдений образуют ЭМПИРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

Разность наибольшего и наименьшего членов ряда R = Xn - X1 называется РАЗМАХОМ эмпирического распределения, а число наблюдений n - объемом выборки.

Функцией распределения случайной величины для данного статистического материала (ВЫБОРКИ) будет частота события < X, где X - любое возможное значение случайной величины .

Значение статистической функции распределения легко вычислить, подсчитав число опытов m, в которых величина приняла значение, меньшее, чем X, и разделив его на общее число произведенных опытов n.     

                                                            (2.20)

Вместо зависимости (2.20) часто используют зависимость

,                                                          (2.21)

дающую средние значения частот. Эта зависимость хороша для значений случайной величины , близких к средним, однако, в области крайних значений (m0, mn) она дает искаженные результаты.

Имеются и другие предложения, например

                                                      (2.22)

Эта зависимость определяет МЕДИАНЫ  частот распределения.

   P(X)

График статистической

функции распределения

представляет собой

ступенчатую ломаную

линию. Если переменная

Х в результате  опыта

принимает одно и то же

значение Хi несколько

раз, этому соответствует

более высокий скачок

графика в точке Хi.

0        X1                                                                               Хn                X

При большом числе наблюдений с простой статистической совокупностью становится работать неудобно. В этом случае на основе обработки строится СТАТИСТИЧЕСКИЙ РЯД.

Диапазон наблюдений значений величины  делят на интервалы (разряды). Определяется количество попаданий значений в каждый интервал.

Обычно число интервалов выбирают в пределах 10 - 15, при малых объемах выборки 5-6. Однако во многих случаях для анализа больших выборок число интервалов увеличивают. В монографии Л. П. Пилюгина [11], где оценивается надежность строительных конструкций на основе метода преобразования рядов распределения, число интервалов выбирается в пределах 20 - 25. Если значение попадает на границу интервалов, то его можно отнести к обоим интервалам, прибавив к числу попаданий m того и другого разрядов по 1/2.

Ниже в таблице обработаны результаты испытаний чистых стандартных образцов древесины сосны на сжатие. По табличным значениям построена гистограмма распределения предела прочности, ступени которой напоминают график кривой плотности нормального закона распределения Гаусса.

Таблица              Обработка результатов испытаний древесины сосны на сжатие

интер-

вала

Интервал, МПа

Середина

интервала,

МПа

Число зна чений в

интервале

mi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

35 - 36,9

37 - 38,9

39 - 40,9

41 - 42,9

43 - 44,9

45 - 46,9

47 - 48,9

49 - 50,9

51 - 52,9

53 - 54,9

36

38

40

42

44

46

48

50

52

54

2

3

8

21

31

27

15

12

2

1

0,0164

0,0246

0,0656

0,1721

0,2541

0,2213

0,1230

0,0984

0,0164

0,0082

0,0164

0,0410

0,1066

0,2787

0,5328

0,7541

0,8771

0,9755

0,9919

1,0000

Итого:

n = 122

   

|

0,25- =====

| | |

| | =====

| | | |

| ===== | |

| | | | =====

| | | | | |

| | | | | ====

| ===== | | | | |

| | | | | | | |

| ===== | | | | | =====

| ===== | | | | | | | |

| | | | | | | | | | =====

-----------------------------------------------------------------------------------------------

 35      37     39      41      43        45      47      49      51        53        55

                         σmax, МПа

   

       35      37       39      41       43     45      47       49      51     53       55         σmax, МПа

По данным этой же таблицы можно построить график суммы частот попадания в соответствующие интервалы, соответствующий интегральному закону распределения предела прочности древесины для данной выборки, называемый эмпирической функцией распределения.

Числовые характеристики - МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЮ эмпирического распределения обычно определяют по приближенным формулам:

                                        (2.23)

2.8.2  Выравнивание статистических рядов

Для выявления наиболее существенных черт статистического материала и исключения случайностей, связанных с погрешностями или недостаточным объемом экспериментальных данных, производят обработку статистических данных, называемую ВЫРАВНИВАНИЕМ статистического ряда.

Вид теоретической кривой распределения обычно, но не всегда выбирается заранее из общих соображений, в том числе ВНЕШНЕГО вида графика статистического распределения. Задача сводится к выбору наиболее подходящих параметров распределения, при которых соответствие между статистическим и теоретическим распределением оказывается наилучшим.

Чаще всего используют известный метод НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ, основанный на том, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от аппроксимирующей кривой была минимальной. Используется также МЕТОД МОМЕНТОВ, согласно которому для функции, зависящей, например, от 2-х параметров, параметры кривой распределения подбираются таким образом, чтобы математическое ожидание  и дисперсия  теоретического распределения совпадали с их статистическими оценками. Если число параметров больше двух, используется такое число эмпирических (выборочных) моментов, сколько имеется параметров.

К оценкам параметров закона распределения предъявляются требования СОСТОЯТЕЛЬНОСТИ, НЕСМЕЩЕННОСТИ и ЭФФЕКТИВНОСТИ.

Статистическая оценка называется СОСТОЯТЕЛЬНОЙ, если она сходится по вероятности к оцениваемому теоретическому параметру при увеличении числа наблюдений.

Статистическая оценка называется НЕСМЕЩЕННОЙ, если ее математическое ожидание равно оцениваемой характеристике.

Несмещенная статистическая оценка называется ЭФФЕКТИВНОЙ, если она имеет наименьшую возможную дисперсию.

Оценки, полученные методом моментов, часто бывают СМЕЩЕННЫМИ и НЕЭФФЕКТИВНЫМИ. Метод наименьших квадратов, как и некоторые другие (метод наименьших абсолютных уклонений, метод МИНИМАКСА - наименьшего максимума абсолютных отклонений) являются приближенными.

Наилучшим считается метод МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ. Этот метод основан на том, что функция плотности вероятности зависит не только от значений переменной , принявшей значения Х1, Х2, Х3, ... Хn, но и от значений параметров θ1, θ2, θ3…θn, то есть при фиксированных значениях Хi случайной величины  рассматривается функция МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ.

.

Задача состоит в том, чтобы найти такое распределение , которое наилучшим образом соответствовало выборочному набору значений Хi. Соответствие распределения, зависящего от θ и набора наблюдений (X1, X2, X3, ..... Xn), означает, что вероятность получить тот же самый набор значений случайной величины  при другом значении параметра θ меньше. Задача состоит в том, чтобы найти такое значение параметра θ *, при котором для фиксированных значений X1, X2, X3, ..... Xn  выполняется условие

                                                   (2.24)

Известно, что точка максимума не изменится, если вместо L(θ) рассматривать

ln L(θ) = ln(θ).

Функция ln(θ). называется ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ ПРАВДОПОДОБИЯ. Она удобнее в использовании при решении задачи.

Так как X1, X2, X3, ..... Xn - независимые одинаково распределенные случайные величины, то в соответствии с формулой (1.7)

                        (2.25)

и

                                              (2.26)

Для отыскания максимума функции (2.26) решают уравнение правдоподобия

                                                 (2.27)

Оценки математического правдоподобия при выполнении условия РЕГУЛЯРНОСТИ состоятельны, асимптотически нормальны и эффективны [17], а решение уравнений правдоподобия единственно. Таким образом, метод дает асимптотически наилучшие оценки: несмещенные с наименьшей дисперсией.

Для оценки соответствия между выбранной теоретической кривой и выборочными данными (X1, X2, X3,....Xn) используют КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ. Для плотности распределения наиболее употребим критерий ПИРСОНА.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84151. Общественное и индивидуальное сознание: их взаимосвязь. Структура общественного сознания и его основные формы. Обыденное и теоретическое сознание 32.01 KB
  Обыденное и теоретическое сознание. Общественное сознание это совокупность идей взглядов и оценок свойственных данному обществу в осознании им собственного бытия. Индивидуальное сознание это совокупность идей взглядов чувств свойственных конкретному человеку.
84152. Политическая и правовая формы общественного сознания. Их роль в современном обществе. Политико-правовая культура и демократия 32.17 KB
  Политическое сознание это система знаний убеждений и оценок в русле которых происходит осмысление политики членами общества и на основе чего они занимают ту или иную политическую позицию. Политическое сознание является непременным спутником функционирования и развития любой политической системы поскольку любая политическая система строится осознанными действиями членов общества исходя именно из реалий и целей преобладающего у них политического сознания. Политическое сознание занимает особое место среди всех других форм общественного...
84153. Нравственная и эстетическая формы общественного сознания. Их роль в формировании духовно-интеллектуального содержания личности 34.63 KB
  Нравственное сознание изучается одной из философских дисциплин этикой. Нравственное сознание связано с другими формами общественного сознания среди которых оно оказывает особое влияние на правовое сознание политическое сознание эстетическое сознание и религию. Наиболее тесно нравственное сознание взаимодействует с религиозным сознанием и правосознанием. Нравственное сознание и как следствие нравственное развитие людей приобретает особенно важное значение в современном обществе потому что современное общество становится всё более...
84154. Научная и религиозная формы общественного сознания. Характер их исторического развития. Их роль в современном обществе 31.97 KB
  НАУЧНОЕ СОЗНАНИЕ это система экспериментально установленных и статистически закономерных знаний о природе обществе и человеке. Научное сознание как и сама наука включает: естественнотехнический раздел содержащий законы физической природы методы её наблюдения способы её исследования а также технологии её преобразования или использования для потребностей человека; общественный раздел содержащий сведения о различных общественных явлениях социальных законах развития а также о человеке как о социальном явлении. В соответствии с...
84155. Культура и духовная жизнь общества. Культура как определяющее условие становления и развития личности 31.83 KB
  Культура как определяющее условие становления и развития личности. Культура это сумма материальных творческих и духовных достижений народа или группы народов. В широком смысле культура это уровень материального и духовного развития общества. В частных смыслах культура это и некие вечные духовные ценности и степень образованности общества и его политическая культура и его бытовая культура и материальная культура и нравственное или эстетическое развитие народа и т.
84156. Аналитика внутреннего мира человека: проблема счастья, смысл жизни, проблема смерти и бессмертия. Творческая жизнедеятельность как выражение личностного начала 37.67 KB
  Внутренний мир человека это единый духовный опыт взаимодействия его личности как с внешними фактами бытия так и с собственным я. Таким образом внутренний мир человека дан ему непосредственно в прямом созерцании собственным сознанием собственных же процессов сознания. Поэтому для человека в его внутреннем мире одинаково очевидны и процессы сознания вызванные внешними фактами бытия и процессы сознания вызванные деятельностью его собственного я ведь для его сознания и те и эти процессы есть явления одной внутренней природы...
84157. Общественный прогресс. Противоречивый характер его содержания. Критерии общественного прогресса. Гуманизм и культура 34.4 KB
  Критерии общественного прогресса. Идея прогресса человеческого общества стала формироваться в философии с древнейших времен и опиралась на факты умственного движения человека вперед что выражалось в постоянном приобретении и накоплении человеком новых знаний позволяющих ему всё более понижать свою зависимость от природы. Таким образом идея общественного прогресса зародилась в философии на основе объективных наблюдений социальнокультурных преобразований человеческого общества. Поскольку философия рассматривает мир как целое то...
84158. Предмет философии и специфика философского мышления. Основные содержательные аспекты философского знания и главные мировоззренческие направления в его развитии 37.34 KB
  Основной особенностью философии её отличием от других видов знания является то что она пытается создать целостную картину мира стремится к максимальному обобщению результатов познания. Таким образом объектом изучения то есть предметом философии в самом широком не конкретном смысле является непосредственно сам мир как таковой. Главный метод философии состоит в том что она изучает не мир в целом то есть не мир как простую совокупность фактов и явлений у каждого из которых есть своя сущность а мир как целое то есть мир как единый...
84159. Общая характеристика античной философии. Ее космоцентризм. Основные натурфилософские школы и виднейшие их представители 63.92 KB
  Слово космос для эллинов не было названием какойлибо природной сферы окружающего мира наоборот этим термином древние греки характеризовали некую неприродную суть мира. Поэтому естественно что понимая мир как космос античные философы пытались выявить источники космической разумности порядка и гармонии мира. И начали они эти попытки с наиболее наглядной данности мира с окружающей природы. Именно на этом этапе древнегреческая мысль стала философией поскольку отказалась от мифологических объяснений возникновения мирового порядка из...