50063

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

При выполнении данной лабораторной работы были получены теоретические и практические навыки в приближенном решении дифференциальных уравнений первого порядка с начальным условием методами Эйлера, Эйлера (уточнённый), Рунге-Кутты, Адамса, Милна. Сравнивая полученные результаты вычислений с истинным значением можно сделать вывод...

Русский

2014-01-15

957.5 KB

8 чел.

СОДЕРЖАНИЕ

[1] СОДЕРЖАНИЕ

[2]
Постановка задачи

[3]
Численное решение

[3.1] Метод Эйлера

[3.2] Уточненный метод Эйлера

[3.3] Метод Рунге-Кутты

[3.4]
Метод Адамса

[3.5] Метод Милна

[4] Програмная реализация

[4.1] Описание основных процедур и функций

[4.2]
Блок-схемы основных процедур

[4.3] Текст программы

[5]
Решение в среде Mathcad

[6]

Результаты вычислений

[7]
Вывод

[8] Кафедра: «Техническая кибернетика»

[8.0.1]  

  1.  
    Постановка задачи

Необходимо решить дифференциальное уравнение   с начальным условием y(0) = 1 методом:

  •  Эйлера,
  •  уточнённым  Эйлера,
  •  Рунге-Кутты (4-го порядка),
  •  Адамса,
  •  Милна,

на интервале [0;0,5].

Точное решение данного дифференциального уравнения представляется в следующем виде:

  1.  
    Численное решение
    1.  Метод Эйлера 

Вычисления производятся по формулам: ,  где h-шаг, f(x,y)-заданная функция; h = 0,05.

Вычисления представим в виде таблицы:

i

xi

0

0,0000

1,0000

0,0000

0,0000

1

0,0500

1,0000

-0,0526

-0,0026

2

0,1000

0,9974

-0,1144

-0,0057

3

0,1500

0,9916

-0,1881

-0,0094

4

0,2000

0,9822

-0,2784

-0,0139

5

0,2500

0,9683

-0,3921

-0,0196

6

0,3000

0,9487

-0,5415

-0,0271

7

0,3500

0,9216

-0,7493

-0,0375

8

0,4000

0,8842

-1,0654

-0,0533

9

0,4500

0,8309

-1,6253

-0,0813

10

0,5000

0,7496

-3,0058

-0,1503

Значение, вычисленное данным методом: y(0,5) = 0,7496, а точно вычисленное  y(0,5) = 0,5000.

  1.  Уточненный метод Эйлера

Вычисления производятся по формулам: 

 где

h = 0,05; x1/2 = 0,025;  y1/2 = 1;

Вычисления представим в виде таблицы:

i

xi

0

0,0000

1,0000

1

0,0500

0,9987

-0,0256

-0,0013

2

0,1000

0,9974

-0,1143

-0,0057

3

0,1500

0,9873

-0,1943

-0,0097

4

0,2000

0,9780

-0,2853

-0,0143

5

0,2500

0,9588

-0,4109

-0,0205

6

0,3000

0,9369

-0,5701

-0,0285

7

0,3500

0,9017

-0,8124

-0,0406

8

0,4000

0,8557

-1,1946

-0,0597

9

0,4500

0,7823

-2,0094

-0,1005

10

0,5000

0,6547

Значение, вычисленное данным методом: y(0,5) = 0,6547, а точно вычисленное   y(0,5) = 0,5000.

  1.  Метод Рунге-Кутты

Вычисления производятся по формулам: 

 ,где

 

h = 0,05.

Вычисления представим в виде таблицы:

xi

φ0

φ1 

φ2 

φ3

0

0,0000

1,0000

0,0000

-0,0013

-0,0013

-0,0027

-0,0013

1

0,0500

0,9987

-0,0027

-0,0042

-0,0043

-0,0059

-0,0043

2

0,1000

0,9944

-0,0059

-0,0077

-0,0078

-0,0098

-0,0078

3

0,1500

0,9867

-0,0098

-0,0120

-0,0121

-0,0145

-0,0121

4

0,2000

0,9746

-0,0145

-0,0174

-0,0175

-0,0207

-0,0175

5

0,2500

0,9571

-0,0207

-0,0244

-0,0246

-0,0291

-0,0247

6

0,3000

0,9325

-0,0291

-0,0343

-0,0347

-0,0413

-0,0347

7

0,3500

0,8977

-0,0413

-0,0496

-0,0504

-0,0618

-0,0505

8

0,4000

0,8472

-0,0618

-0,0778

-0,0804

-0,1078

-0,0810

9

0,4500

0,7662

-0,1081

-0,1609

-0,1872

-0,5832

-0,2312

10

0,5000

0,5350

-1,3804

0,1235

-0,6473

0,1255

-0,3837

Значение, вычисленное данным методом: y(0,5) = 0,535, а точно вычисленное y(0,5) = 0,5000.

  1.  
    Метод Адамса

Вычисления производятся по формулам: 

,    

где    

Вычисления представим в виде таблицы:

xi 

2

3

4

5

0

0,0000

1,0000

0,0000

-0,0027

1

0,0500

0,9987

-0,0027

-0,0005

-0,0032

-0,0002

2

0,1000

0,9944

-0,0059

-0,0007

-0,0001

-0,0039

-0,0003

-0,000034

3

0,1500

0,9867

-0,0098

-0,0009

-0,0002

-0,0048

-0,0004

-0,000216

4

0,2000

0,9746

-0,0145

-0,0014

-0,0004

-0,0062

-0,0008

-0,000518

5

0,2500

0,9571

-0,0207

-0,0022

-0,0009

-0,0083

-0,0017

-0,001735

6

0,3000

0,9325

-0,0291

-0,0039

-0,0026

-0,0122

-0,0043

-0,009350

7

0,3500

0,8979

-0,0413

-0,0082

-0,0120

-0,0204

-0,0163

-0,173723

8

0,4000

0,8478

-0,0617

-0,0245

-0,1857

-0,0449

-0,2020

9

0,4500

0,7694

-0,1065

-0,2265

-0,2713

10

0,5000

0,6169

-0,3779

Значение, вычисленное данным методом: y(0,5) = 0,6169, а точно вычисленное y(0,5) = 0,5000.

  1.  Метод Милна

Вычисления производятся по формулам:

Формула прогноза:

Формула коррекции:    

Определение начального отрезка y1, y2, y3 произведем по формуле Рунге-Кутта 4-го порядка точности.

y1=y(0,5)=0,9987,      y2=y(0,1)= 0,9944,      y3=y(0,15)= 0,9867;

  Вспомогательная таблица:

xi

yпр

y'пр

yкор

y'кор

0,0000

1,0000

0,0000

1,0000

0,0000

0,0500

0,9987

-0,0541

0,9987

-0,0541

0,1000

0,9944

-0,1181

0,9944

-0,1180

0,1500

0,9867

-0,1952

0,9867

-0,1952

0,2000

0,9746

-0,2909

0,9746

-0,2910

0,2500

0,9572

-0,4141

0,9571

-0,4142

0,3000

0,9326

-0,5809

0,9324

-0,5812

0,3500

0,8981

-0,8246

0,8977

-0,8258

0,4000

0,8482

-1,2311

0,8472

-1,2362

0,4500

0,7706

-2,1196

0,7662

-2,1624

0,5000

0,6221

-7,1915

0,5626

-14,9816

Значение, вычисленное данным методом: y(0,5) = 0,5626, а точно вычисленное y(0,5) = 0,5000.


  1.  Програмная реализация
    1.  Описание основных процедур и функций

      - Procedure Eiler(h, Xo, Xmax, Yo :real; var StringGrid_data: TStringGrid);

         Вычисляются значения точек функции, являющейся решением ОДУ, по методу Эйлера. На выходе получаются массивы чисел типа real, записанные в StringGrid_data.

     - Procedure RK4(h, Xo, Xmax, Yo :real; var StringGrid_data: TStringGrid); Вычисляются значения точек функции, являющейся решением ОДУ, по методу Рунге-Кутты 4 порядка. На выходе получаются массивы чисел типа real, записанные в StringGrid_data.

  1.  
    Блок-схемы основных процедур

Метод Эйлера      Метод Рунге-Кутты 4 порядка


Приложение 1

Текст программы

unit Main_unit;

interface

uses

 Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

 Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, Grids, pngimage;

type

 TForm_lab6 = class(TForm)

   Image_DE: TImage;

   But_calc: TButton;

   StringGrid_data: TStringGrid;

   Edit_Xo: TEdit;

   Edit_Xmax: TEdit;

   Label_Xo: TLabel;

   Label_Xmax: TLabel;

   method_choice: TComboBox;

   Label_DE: TLabel;

   Label_method: TLabel;

   Label_Yo: TLabel;

   Edit_Yo: TEdit;

   procedure But_calcClick(Sender: TObject);

 private

   { Private declarations }

 public

   { Public declarations }

 end;

var

 Form_lab6: TForm_lab6;

implementation

{$R *.dfm}

procedure Eiler(h, Xo, Xmax, Yo :real; var StringGrid_data: TStringGrid);

var

 yi_1,y1,y2,x,y,dydx,dy : real;

 i:integer;

begin

 StringGrid_data.Visible:=true;

 StringGrid_data.Cells[0,0]:='     n  ';

 StringGrid_data.Cells[1,0]:='     x  ';

 StringGrid_data.Cells[2,0]:='     y  ';

 StringGrid_data.Cells[3,0]:='     dy/dx  ';

 StringGrid_data.Cells[4,0]:='     dy ';

 for i:= 0 to 10 do

   begin

     StringGrid_data.Cells[0,i+1]:=inttostr(i);

     StringGrid_data.Cells[1,i+1]:=FloatToStr(Xo+h*i);

   end;

 StringGrid_data.Cells[2,1]:='1';

 for i:= 2 to 11 do

   begin

     yi_1:=strtofloat(StringGrid_data.Cells[2,i-1]);

     x:= strtofloat(StringGrid_data.Cells[1,i-1]);

     y:= strtofloat(StringGrid_data.Cells[2,i-1]);

     StringGrid_data.Cells[2,i]:=floattostr(Yo+h*(1/(x-y)+1));

     y1:=strtofloat(StringGrid_data.Cells[2,i-1]);

     y2:=strtofloat(StringGrid_data.Cells[2,i]);

     dy:=y2-y1;

     StringGrid_data.Cells[4,i-1]:=floattostr(dy);

   end;

 for i:= 1 to 11 do

   begin

     y:=strtofloat(StringGrid_data.Cells[2,i]);

     x:= strtofloat(StringGrid_data.Cells[1,i]);

     StringGrid_data.Cells[3,i]:=floattostr(1/(x-y)+1);

   end;

end;

procedure RK4(h, Xo, Xmax, Yo :real; var StringGrid_data: TStringGrid);

var

 f0,f1,f2,f3, Xi,Yi : real;

 Xmas,Ymas: array [1..10] of real;

 yi_1,y1,y2,x,y,dy : real;

 i:integer;

begin

 StringGrid_data.Visible:=true;

 StringGrid_data.Cells[0,0]:='     n  ';

 StringGrid_data.Cells[1,0]:='     x  ';

 StringGrid_data.Cells[2,0]:='     y  ';

 StringGrid_data.Cells[3,0]:='     f0  ';

 StringGrid_data.Cells[4,0]:='     f1  ';

 StringGrid_data.Cells[5,0]:='     f2  ';

 StringGrid_data.Cells[6,0]:='     f3  ';

 StringGrid_data.Cells[7,0]:='     dy ';

 for i:= 0 to 10 do

   begin

     StringGrid_data.Cells[0,i+1]:=inttostr(i);

     StringGrid_data.Cells[1,i+1]:=FloatToStr(Xo+h*i);

   end;

 StringGrid_data.Cells[2,1]:=FloatToStr(Yo);

 for i := 0 to 10 do

 begin

   Xi:= StrToFloat(StringGrid_data.Cells[1,i+1]);

   Yi:= StrToFloat(StringGrid_data.Cells[2,i+1]);

   f0:= h*(1/(Xi-Yi)+1);

   f1:=h*(1/((Xi+0.5*h)-(Yi+0.5*f0))+1);

   f2:=h*(1/((Xi+0.5*h)-(Yi+0.5*f1))+1);

   f3:=h*(1/((Xi+h)-(Yi+f2))+1);

   dy:=1/6*(f0+2*f1+2*f2+f3);

   StringGrid_data.Cells[2,i+2]:=floattostr(Yi+dy);

   StringGrid_data.Cells[3,i+1]:=floattostr(f0);

   StringGrid_data.Cells[4,i+1]:=floattostr(f1);

   StringGrid_data.Cells[5,i+1]:=floattostr(f2);

   StringGrid_data.Cells[6,i+1]:=floattostr(f3);

   StringGrid_data.Cells[7,i+1]:=floattostr(dy);

 end;

end;

procedure TForm_lab6.But_calcClick(Sender: TObject);

var

 Xo, Xmax, Yo: real;

 yi_1,y1,y2,x,y,dydx,dy : real;

 i:integer;

 h : real;

begin

 Xo:=Strtofloat(Edit_Xo.Text);

 Xmax:=Strtofloat(Edit_Xmax.Text);

 h:=(Xmax-Xo)/10;

 Yo:=Strtofloat(Edit_Yo.Text);

 if method_choice.Text='Эйлера' then

   Eiler(h,Xo,Xmax,Yo,StringGrid_data)

   else

   if method_choice.Text='Рунге-Кутты' then

     RK4(h,Xo,Xmax,Yo,StringGrid_data) end; end.

  1.  
    Решение в среде Mathcad
  2.  

    Результаты вычислений

Метод

(Yi)

Xi

Метод Эйлера

Уточненный метод Эйлера

Метод Рунге-Кутта 4го порядка

Метод Адамса

Метод Милна

Точное решение

0,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,0500

1,0000

0,9987

0,9987

0,9987

0,9987

0,9987

0,1000

0,9974

0,9974

0,9944

0,9944

0,9944

0,9944

0,1500

0,9916

0,9873

0,9867

0,9867

0,9867

0,9867

0,2000

0,9822

0,9780

0,9746

0,9746

0,9746

0,9746

0,2500

0,9683

0,9588

0,9571

0,9571

0,9571

0,9571

0,3000

0,9487

0,9369

0,9325

0,9325

0,9324

0,9325

0,3500

0,9216

0,9017

0,8977

0,8979

0,8977

0,8977

0,4000

0,8842

0,8557

0,8472

0,8478

0,8472

0,8472

0,4500

0,8309

0,7823

0,7662

0,7694

0,7662

0,7662

0,5000

0,7496

0,6547

0,5350

0,6169

0,5626

0,5000


Вывод

При выполнении данной лабораторной работы были получены теоретические и практические навыки в приближенном решении дифференциальных уравнений первого порядка с начальным условием методами Эйлера, Эйлера (уточнённый), Рунге-Кутты, Адамса, Милна. Сравнивая полученные результаты вычислений с истинным значением можно сделать вывод, что наибольшей точностью из всех рассмотренных методов для данного дифференциального уравнения обладает метод Рунге-Кутты 4-го порядка.

 


Министерство образования и науки РФ

Федеральное Государственное Бюджетное образовательное

учреждение высшего  
пр
офессионального образования

«Белгородский Государственный Технологический Университет им. В.Г. Шухова»
(БГТУ им. В.Г. Шухова)

ИИТУС

Кафедра: «Техническая кибернетика»

Лабораторная работа №6

дисциплина: «Численные методы и оптимизация»

тема:  «Численное решение обыкновенных дифференциальных

уравнений»

Вариант 1

Выполнил:
студент группы АП-21

Андрианов А.Ю.

Принял:

ст. препод. кафедры ТК
Рыбин И.А.

Белгород 2013

  1.  

Да

Нет

ачало

x0 ,y0, h, n

x[0]=Xo

y[0]=Yo

i=1

i>=n

y[i]=y[i]+h*f(x,y)

x[i]=x[i]+h

i=i+1

Конец


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3494. Органи оперативного управління бюджетним процесом 104.5 KB
  Органи оперативного управління бюджетним процесом Мета: закріпити знання щодо поняття про органи оперативного управління бюджетним процесом. Міністерство фінансів України – центральний орган виконавчої влади в сфері фінансової діяльн...
3495. Бюджетування зовнішньоекономічної діяльності підприємств 1.58 MB
  Функціонування та розвиток сучасних суб’єктів господарської діяльності здійснюється в умовах глобалізації національних економік, активізації міжнародних економічних відносин, лібералізації зовнішньої торгівлі тощо. Це зумовлює загострення...
3496. Теоретичні основи безпеки життєдіяльності. Небезпека. Ризик як оцінка небезпеки 623.5 KB
  Вивчення курсу з безпеки життєдіяльності має на меті підготовку особи до активної участі в забезпеченні тривалого повноцінного життя в суспільстві, що динамічно змінюється. Молодший спеціаліст повинен бути здатним забезпечити необхідний рівень...
3497. Конспект лекцій. Безпека життєдіяльності 1.01 MB
  В Концепції освіти з напрямку «Безпека життєдіяльності» основною метою є підготовка особи до активної участі в забезпеченні тривалого повноцінного життя в суспільстві, що динамічно змінюється. Основними завданнями освіти з БЖД є: формування ку...
3498. Відповідальність за правопорушення на ринку цінних паперів 165.5 KB
  Відповідальність за правопорушення на ринку цінних паперів. Основою юридичного забезпечення державної влади на ринку цінних паперів є наявність і чітке функціонування механізму примусового виконання державної волі. Такий механізм повинен складатися ...
3499. Инженерная графика как учебная дисциплина 596 KB
  В число дисциплин, составляющих основу инженерного образования, входит "Инженерная графика". Инженерная графика - это условное название учебной дисциплины, включающей в себя основы начертательной геометрии и основы специального вида технического чер...
3500. Джерела з історії давнього сходу 113.5 KB
  Джерела з історії давнього сходу Проблеми джерелознавства історії Давнього Сходу. Законодавчі, діловодні, актові джерела. Царські надписи, історичні хроніки, аннали. Релігійні тексти. Публіцистична, наукова, художня література. Проблеми джерел...
3501. Введение в программирование 18.96 KB
  Введение в программирование В широком смысле под программированием понимают все технические операции, необходимые для создания программы, включая анализ требований и все стадии ее разработки и реализации. В более узком смысле программирование...
3502. Языки программирования 22.84 KB
  Языки программирования Язык программирования – формальная знаковая система, предназначенная для описания алгоритмов в форме, которая удобна для исполнителя (например, ЭВМ, т.е. компьютера). Язык программирования определяет набор лексических, си...