50072

Определение момента инерции махового колеса методом колебаний

Лабораторная работа

Физика

Момент инерции тела I относительно некоторой оси является мерой инертности тела при вращении его вокруг этой оси. Для материальной точки момент инерции равен произведению ее массы на квадрат расстояния до оси вращения...

Русский

2014-01-15

163 KB

5 чел.

Московский государственный университет

путей сообщения РФ (МИИТ)

Кафедра «Физика-2»

Институт, группа       ИУИТ, УПП -141                К работе допущен____________________

                       (Дата, подпись преподавателя)

Студент               Соловьева С.П                            Работа выполнена____________________

                                     (ФИО студента)                   (Дата, подпись преподавателя)

Преподаватель                   Пыканов И.В               Отчёт принят________________________                          (Дата, подпись преподавателя)

ОТЧЁТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №______6_______

        Определение момента инерции махового колеса методом колебаний      

(Название лабораторной работы)

_____________________________________________________________________________________________

  1.  Цель работы:

Ознакомление с методом измерения моментов инерции тел, обладающих осевой                       

симметрией                                                                                                                                       

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________                                              

2. Принципиальная схема установки (или её главных узлов):

   Рисунок 1- Принципиальная схема установки для измерения инерции махового колеса

3. Основные теоретические положения к данной работе (основополагающие утверждения: формулы, схематические рисунки):

Момент инерции тела I относительно некоторой оси является мерой инертности тела при вращении его вокруг этой оси. Для материальной точки момент инерции равен произведению ее массы на квадрат расстояния до оси вращения:

I  mr2,

а для тела, которое можно представить в виде системы большого количества материальных точек (рис. 6.1.а), момент инерции относительно некоторой оси вращения равен сумме произведений масс всех материальных точек на квадраты их расстояний до этой оси:

Рис.2 I  .

       ri          mi                        r         dm            О        a         

                                                                                                    О

                                                              M                         

                                                                         О   I                  I0

а)                                      б)                                    в)      О

Для вычисления момента инерции сплошного тела его мысленно разбивают на бесконечное малые области с массами dm,  каждая из которых находится на своём расстоянии r от оси вращения (рис.2б).

Понятно, что момент инерции зависит не только от общей массы тела, но и от формы тела, а также – от распределения массы по его объёму (так, например, какие-то части тела могут быть изготовлены из более тяжёлого материала, а какие-то – из более лёгкого).

Ось вращения может проходить через центр масс тела, а может и находиться вне его (рис.2в).

Момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела т на квадрат расстояния а между осями:

                                       

                                               I = I0 + ma2.                                                (1)

В работе определяется момент инерции махового колеса К, ось симметрии которого параллельна поверхности земли. Колесо находится в состоянии безразличного равновесия, но после крепления к нему добавочного груза Г (рис. 1), колесо может колебаться относительно горизонтальной оси.

Маховое колесо начинает совершать колебания за счет сообщенной ему извне энергии. Добавочный груз Г, поднятый на высоту h относительно положения равновесия, обладает потенциальной энергией mgh (см. рис.3).

Рис.3

При прохождении системой (К и Г) положения равновесия потенциальная энергия груза Г преобразуется в кинетическую энергию вращательного движения махового колеса К и добавочного груза Г. Таким образом,

                                                       mgh = ,                                                              (2)

где Iобщ сумма моментов инерции махового колеса I и добавочного груза IГ    

                относительно горизонтальной оси О, проходящий через центр махового колеса  

                вдоль стержня:

      

                                                       Iобщ  I  IГ,                                                                    (3)

где m  масса добавочного груза;

 g  ускорение силы тяжести;

 h  высота, на которую поднимается груз;

 макс  угловая скорость махового колеса с грузом при прохождении системой  

        положения равновесия.

Как следует из формул (2) и (3), для нахождения момента инерции махового колеса I нужно знать макс, т, h и IГ. Угловая скорость макс определяется из уравнения (2) после установления характера зависимости от времени t. Максимальное значение угловой скорости (по модулю) в момент прохождения системой положения равновесия равно:

                                                  макс  0.                                                            (4)

Высоту h поднятия центра инерции добавочного груза (см. рис.3) можно выразить так:

                                                        cos0,                                                           (5)

где R и r  радиусы махового колеса и добавочного груза соответственно.

Следовательно,

                                                        h  (R + r)(1  cos0).                                                    (6)

Подставляя в уравнение (2) найденные выражения для h и макс, получаем:

                                                 mg(R + r)(1  cos0)  .                                       (7)

Величина 0 неудобна для непосредственного измерения, поэтому исключим ее из уравнения (7). При малых углах, выраженных в радианной мере,

                                                        cos0   1  .                                                             (8)

Подставив это значение косинуса в левую часть уравнения (7), получим формулу для расчета Iобщ относительно оси О:

                                    Iобщ .                                                                  (9)   

Момент инерции добавочного груза Г относительно оси О (см. рис. 3) равен

                                              IГ    mr2 + m(R+r)2.                                                           (10)

Первый член правой части равенства момент инерции груза относительно оси О', проходящей через его центр масс параллельно оси О. Второе слагаемое – это произведение массы диска на квадрат расстояния между осями О и О'.

Из выражений (9) и (10) получаем, что момент инерции махового колеса

                                            I  Iобщ  IГ     .                 (11)

Таким образом, определение момента инерции махового колеса в данной работе удалось свести к измерению массы добавочного груза т, радиусов махового колеса R и добавочного груза r, а также – периода колебаний махового колеса Т.

Для того, чтобы подтвердить утверждение о высокой точности данного метода измерения момента инерции, предлагается сравнить полученное значение I с теоретическим (IТ), которое для махового колеса – однородного диска можно вычислить по формуле:

                                                          IТ   m0 R2,                                                            (12)

где m0  масса махового колеса.

Учитывая, что маховое колесо и добавочный груз диски одинаковой толщины, изготовленные из одного и того же материала (заметим, что для самого метода измерения момента инерции эти факторы несущественны), можно получить равенство  m0 /m   R2/r2.

Таким образом, массы дисков относятся, как их объемы или (при одинаковой толщине) – как квадраты их радиусов. Выразив из последнего уравнения массу m0 и подставив её в формулу (12), получим

                                                         IТ  mR4/r2.                                                             (13)

Необходимо измерить диаметры махового колеса D и добавочного груза d, а также время t десяти полных колебаний. Масса груза m и ускорение свободного падения считаются заданными с известной степенью точности. Используя эти обозначения, окончательно запишем:

                                         I    ,                                      (14)

                                               

                                                        IТ   mD4 / d2.                                                           (15)

4. Таблицы и графики1.

Таблица 1- Приборные погрешности    

Приборные погрешности

Масса

добавочного груза m, кг

штангенциркуля x, м

секундомера , с

0,0005

0,01

0,298

Таблица 2 – Данные вычислений 

Номер

измерения

1

2

3

4

5

Средние

значения

Диаметр махового колеса D, м

0,19

0,19

0,19

0,2

0,18

Dср   0,19

Диаметр добавочного груза d, м

0,035

0,034

0,035

0,036

0,035

dср   0,035

Время десяти полных колебаний t, с

23,4

22,6

22,4

22,4

     22,0

tср  22,56

Период колебаний T, с

2,34

2,26

2,24

     2,24

2,2

Tср   2,26

Момент инерции махового колеса I, кгм2

0,042

0,039

0,038

0,039

0,035

Iср  0,038

IТ   0,04


5. Расчёт погрешностей измерений
 

(указать метод расчёта погрешностей).

В данной работе необходимо измерить погрешности штангенциркуля и секундомера.

Погрешность измерения секундомера () принимаем равной половине цены деления, т.е. (цена деления штангенциркуля составляет 0,01м).

Приборная погрешность секундомера () определяется аналогичным образом:

()=0,01м.

Вычисления по данной работе.

1.  где N - число полных оборотов;

  [Т]=с.

   (с);

    Т2=2,26с;

Т3=2,24с;

Т4=2,24с;

Т5=2,2с.

2.

 I2=0,039 м*с2;

       I3=0,038 м*с2;

       I4=0,039 м*с2;

       I5=0,035 м*с2.

3.

0,04 кг*м2.

6. Окончательные результаты:

I=Iср.+I;

I=0,038+0,0008=0,039(м*с2).

IT=0,04м*с2.

Подпись студента:

                 

Лист – вкладыш

5. Расчёт погрешностей измерений (продолжение):

4.     I    T ;

.                                           

       T  .

         

       

                                                      


7. Дополнительная страница

(для размещения таблиц, теоретического материала и дополнительных сведений).

Поскольку в эксперименте непосредственно измеряются лишь D, d и t, а величина момента инерции определяется косвенным образом из расчетов по формуле (14), для вычисления ошибки измерения I необходимо пользоваться формулами для расчета ошибок косвенных измерений. Окончательный результат должен быть записан в виде

                                                           I  Icp ± I,                                                                (16)

где I  абсолютная ошибка измерения момента инерции махового колеса.

В данной работе основную роль в возникновении ошибки определения момента инерции играет случайная ошибка измерения периода колебаний; случайными же погрешностями измерения диаметров махового колеса и добавочного груза, а также приборными ошибками штангенциркуля и секундомера можно пренебречь.

Используя формулу (14), получим, что

                                               I    T .                                           (17)

Таким образом, вычисление I в данной работе сводится к определению случайной ошибки измерения периода колебаний T:

                                                T  ,                                                         (18)

 

где   коэффициент Стьюдента, значения которого можно найти в таблице, имеющейся

в лаборатории (таблица приведена также в методических указаниях [3]). Величину доверительной вероятности при выборе коэффициента Стьюдента по этой таблице примите равной 0,95.

Результаты вычислений I  необходимо округлить до первой значащей цифры, после чего округлите полученные ранее (см. таблицу 2) значения Iср и IТ до того же разряда, что и I.

Окончательный численный результат записать в виде

                                                        I  Icp ± I,                                                                   (19)  

                                                            IТ  ……

Обратить внимание на правильность записи единиц измерения, в которых выражены полученные значения момента инерции махового колеса.

1 Графики выполняются на миллиметровой бумаге или в компьютерном виде с использованием программ построения графиков. Необходимо соблюдать правила построения графиков.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13956. Магнітний потік 2.9 MB
  Тема уроку. Магнітний потік. Мета: Формувати поняття магнітного потоку. Навчити учнів якісно визначати магнітний потік через контури різної площі в тому самому і в різних магнітних полях. Встановити зв'язок магнітного потоку з числом ліній магнітної індукції що прони
13957. Преобразование документов XML с использованием языка XSLT 565 KB
  Процесс преобразования входного документа в соответствии с описанными правилами называется применением преобразования к входному документу или просто выполнением преобразования. Это выполнение осуществляют специальные программы, которые называются процессорами XSLT.
13958. «Гусенятко» М. Вінграновський 45 KB
  УРОК № 12 Тема. М. Вінграновський. Гусенятко. Мета: ознайомити учнів з оповіданням письменника допомогти їм визначити думку про твір; розвивати навички виразного читання переказу прозових творів складання плану; виховувати любов до природи до всього живого гумані...
13959. Использование языка XSL для форматирования документов XML 519 KB
  Текстовый документ, содержащий объекты форматирования, т.е. элементы в пространстве имен fo:, называется документом FO. Этот документ описывает как общую компоновку отформатированного документа XML, так и его стилевое оформление.
13960. Гусенятко М. Вінграновський 34 KB
  УРОК № 13 Тема. М. Вінграновський. Гусенятко. Мета: допомогти учням усвідомити ідейнохудожню цінність твору визначити його головну думку; розвивати навички виразного читання переказу прозових творів їхнього аналізу висловлення власної думки щодо прочитаного; ви...
13961. Наскільки ти честолюбний. Outline for the lesson of English for 11th-graders 63.5 KB
  Outline for the lesson of English for 11thgraders. Lesson 14 Планконспект уроку з англійської мови для учнів 11х класів. Урок 14 Тема: НАУКА І КУЛЬТУРА Підтема: Наскільки ти честолюбний Мета: Сформувати вміння робити логічно вірно оформлені лексикограматичні висловлювання про професії....
13962. «Первінка» М. Вінграновський 40 KB
  УРОК № 14 Тема.М. Вінграновський. Первінка. Мета: ознайомити учнів із позапрограмними творами письменника викликати до них інтерес прагнення до самостійного читання; розвивати навички вибору художньої літератури для читання переказу прочитаного та висловлення вл
13963. Использование языка SVG 1.02 MB
  Графические объекты могут быть сгруппированы, стилизованны, преобразованы и встроены в предварительно предоставленные объекты. Набор характеристик включает вложенные преобразования, отсечение контуров, альфа-маски, эффекты фильтра и объекты шаблона.
13964. Тематичне оцінювання М. Вінграновський 28.5 KB
  УРОК № 15 Тема.Тематичне оцінювання. Мета:виявити рівень знань умінь та навичок учнів з метою корекції; розвивати зв’язне мовлення пам’ять логічне та образне мислення вміння висловлювати свої судження; виховувати кращі людські якості. Обладнання:тестові завдан