50222

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ

Лабораторная работа

Физика

Цель работы: Изучение вынужденных колебаний в последовательном контуре определение добротности контура и внутреннего сопротивления генератора синусоидальных колебаний. Основные теоретические положения к данной работе основополагающие утверждения: формулы схематические рисунки:...

Русский

2014-01-18

323.5 KB

100 чел.

PAGE  7

Московский государственный университет

путей сообщения РФ (МИИТ)

Кафедра «Физика-2»

Группа___СЖД - 141____________________ К работе допущен____________________

        (Дата, подпись преподавателя)

Студент ____Гарусев Д.В._________________ Работа выполнена___________________

 (ФИО студента)      (Дата, подпись преподавателя)

Преподаватель____Пыканов И.В._________ Отчёт принят_______________________          (Дата, подпись преподавателя)

ОТЧЁТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №___30_____

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ____________________________

(Название лабораторной работы)

  1.  Цель работы:

Изучение вынужденных колебаний в последовательном контуре, определение добротности контура и внутреннего сопротивления генератора синусоидальных колебаний.

  1.  Принципиальная схема установки (или её главных узлов):

Рис1-Электрический_замкнутый_колебательный_контур
3. Основные теоретические положения к данной работе
(основополагающие утверждения: формулы, схематические рисунки):

Вынужденные колебания в последовательном контуре, содержащем емкость C, индуктивность L и активное сопротивление R, можно вызвать, если включить последовательно с элементами контура источник тока, ЭДС которого изменяется по гармоническому закону (рис. 1)

= 0·cost.                                                     (1)

Для получения дифференциального уравнения, описывающего вынужденные колебания, запишем для этого контура правило Кирхгофа:

,                                               (2)

где U – напряжение на конденсаторе.

Имея в виду, что U = q/C, получаем

;

Подставим эти выражения в уравнение (1):

               .

 

Разделив обе части полученного равенства на LC и введя обозначения  и , получим дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний:

,                                (2)

где – коэффициент затухания; 0 – собственная циклическая частота колебаний (при R=0).

Известно, что общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение уравнения (2) имеет вид

                                            ,                                       (3)

где , – начальная фаза колебаний напряжения на конденсаторе.

В уравнении (3) первый член убывает с течением времени по экспоненте  и при достаточно большом t им можно пренебречь. Таким образом, решение дифференциального уравнения, описывающего вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре, имеет вид

.                                            (4)

Подставив уравнение (4) и (2), можно убедиться, что дифференциальное уравнение обращается в тождество при

                                                                                                                 (5)

и

                                                                               .                                                                  (6)

Эти соотношения можно получить и методом векторных диаграмм. Если , то

,  а .

Подставив эти выражения в (2), получаем

.

Векторная диаграмма, соответствующая этим колебаниям, представлена на рис. 2.

Легко видеть, что

,

Откуда  

, ,

что соответствует ранее приведенным соотношениям (5) и (6). Таким образом, амплитуда и начальная фаза колебаний напряжения на конденсаторе зависят от частоты вынуждающей ЭДС.

Исследуя уравнение (5) на экстремум, имеем, что разность потенциалов на конденсаторе достигнет максимума при частоте вынуждающей ЭДС, равной

.                                                          (7)

При этом максимальное значение амплитуды

.                                                         (8)

Соотношение (8) имеет смысл только при .

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний напряжения при изменении частоты вынуждающей ЭДС называется резонансом. Частота, при которой наступает это явление, называется резонансной частотой.

Кривая зависимости U0 от при заданном значении коэффициента затухания называется резонансной кривой. На рис. 3 представлено семейство резонансных кривых 1, 2, 3, соответствующих различным значениям коэффициента затухания 1, 2, 3, при этом 3>2>1.

Как видно из уравнения (5) и рис. 3, U0 = 0 при любом значении коэффициента затухания, если = 0. Кроме того, резонансная частота при увеличении коэффициента затухания смещается в сторону меньших значений, а амплитуда напряжения, соответствующего резонансу, убывает с увеличением . Следует отметить, что максимальное значение тока в рассматриваемом контуре достигается при одной и той же частоте = 0 при любых значениях .

Остроту резонансных кривых характеризует добротность контура. При слабом затухании добротность контура Q можно определить как величину, равную произведению 2 на отношение запасенной в катушке индуктивности энергии W0 к энергии тепловых потерь WR в контуре за время, равное периоду T:

.

Методы определения добротности

Пользуясь определением добротности, можно показать, что

,                                                         (9)

RП = r + R + RL,

где RП – полное сопротивление цепи; r – внутреннее сопротивление источника тока; R – сопротивление, включенное в контур; RL – активное сопротивление катушки индуктивности.

1. Расчет теоретического значения добротности. Добротность контура Qтеор можно рассчитать по формуле (9), зная параметры электрической цепи RП, L и C.

2. Определение добротности по измерениям резонансного напряжения U0 рез и амплитуды вынуждающей ЭДС 0. Соотношение (8) при малых коэффициентах затухания принимает вид

,

откуда

.                                                                 (10)

3. Определение добротности по ширине резонансной кривой. Шириной резонансной кривой называется разность частот, при которых достигается эффективное значение резонансного напряжения на конденсаторе, равное (см. рис. 3)  .

Разность этих частот  = 21 является полосой пропускания контура.

Энергия, запасенная в контуре при резонансе, на границах полосы пропускания уменьшается в два раза.

Пользуясь соотношениями (9) и (10) и преобразуя уравнение (5), получаем, что с достаточной степенью точности

.                                                                    (11)

Таким образом, зная  и рез, можно вычислить добротность контура.

Расчет добротности этим методом производится с помощью полученной экспериментально резонансной кривой в координатах U0 , . По ней определяются для значения 1 и 2 слева и справа от рез.

Вместо рез и циклических частот 1 и 2 используются соответствующие частоты генератора

.                                                                  (12)

Метод измерения и описание аппаратуры

Для выполнения работы используется простейший колебательный контур из последовательно соединенных катушки индуктивности L,  конденсатора C  и сопротивления R. Резонансные кривые снимают при различных сопротивлениях, включенных в контур. Наблюдение за изменением амплитуды колебаний на конденсаторе производится с помощью электронного осциллографа. Для этого сигнал с конденсатора подается на вход осциллографа, и при изменении частоты генератора измеряется амплитуда напряжения. При этом диапазон частот выбирается достаточно широким в обе стороны по отношению к резонансной частоте. Резонансная частота соответствует наибольшей амплитуде измеряемого напряжения при заданном сопротивлении контура. Определение добротности контура производится двумя из вышеописанных способов: по ширине резонансной кривой и по отношению резонансного напряжения к амплитуде вынуждающей ЭДС. Полученные результаты позволяют вычислить омическое сопротивление контура и оценить значение внутреннего сопротивления генератора.

Порядок выполнения работы

Включите генератор синусоидальных колебаний и электронный осциллограф и соберите схему для измерений в соответствии с указаниями на стенде.

Рассчитайте собственную частоту контура по формуле

.

Параметры L, C, RL, r  контура даны на стенде. Значения L, C и f0 запишите в табл. 1.

Определите по осциллографу амплитуды вынужденных колебаний напряжения U0, снимаемого с конденсатора в делениях масштабной сетки на экране осциллографа, при фиксированных значениях частоты F генератора в выбранном диапазоне частот при R1. Полученные данные занесите в табл. 1.

Повторите опыт (пункт 3) при другом сопротивлении R2, включенном в контур.

Не изменяя настройки генератора определите амплитуду колебаний ЭДС генератора, соответствующую резонансной частоте, полученной экспериментально в п. 3,4. Для этого установите на генераторе резонансную частоту, выход генератора подключите непосредственно к входу электронного осциллографа с помощью переключателя на стенде, и зафиксируйте амплитуду сигнала 0. Результат занесите в табл. 1 и табл. 2.

По данным табл. 1 постройте резонансные кривые при различных сопротивлениях контура R1 и R2.

На каждой резонансной кривой отметьте уровень, соответствующий 0,7U0 рез.

Расчет добротности контура

По резонансным кривым, снятым экспериментально, определите F1 и F2, соответствующие границам полосы пропускания контура и F=F2-F1. Результаты занесите в табл. 2.

Вычислите добротность Q1 и Q2 по формулам (10) и (12) для различных сопротивлений контура. Результаты занесите в табл. 2.

Определите среднее значение добротности при различных фиксированных значениях сопротивлений контура:

Оцените относительную погрешность определения добротности по косвенным измерениям:

,

, где  Fрез, F1, F2, U0 рез, 0ошибки в определении соответствующих значений Fрез, F1, F2, U0 рез, 0.

Вычислите добротность контура по формуле (9). Сравните с результатами расчета по формулам (10) и (12). Объясните причины расхождения результатов измерений и расчета.


4. Таблицы и графики
1.

Таблица 1- Определение по осциллографу амплитуды вынужденных колебаний напряжения U0, снимаемого с конденсатора

Частота

U0, дел

п/п

F, МГц

R1 =36 Ом

2

2.5

3.25

4.25

5.5

6.75

5.5

4.5

3.25

2.25

1.75

R2 =200 Ом

1.75

2

2.25

3

4.5

5.25

4.5

3

2

1.75

1.5

R3 = 680 Ом

1.5

1.75

2

2.35

2.9

3.5

2.8

2.25

1.9

1.75

1.6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0.102

0.122

0.142

0.162

0.182

0.202

0.222

0.242

0.262

0.282

0.302

 С =410 пФ;  f0 = 0.202 МГц;

 L =8*10-4 Гн;  0 =    В.

Таблица 2- Расчёт добротности контура при различных сопротивлениях

Сопротивление

контура, Ом

R1

R2

R3

U0 рез, дел

6.75

5.25

3.5

0,7U0 рез, дел

4.275

3.675

2.15

Fрез, МГц

0.202

0.202

0.202

F1, МГц

0.102

0.102

0.102

F2, МГц

0.302

0.302

0.302

F, МГц

0.2

0.2

0.2

1.01

1.01

1.01

0, дел

6.75

5.25

3.5

1

1

1

1.05

1.05

1.05


5. Расчёт погрешностей измерений
 

(указать метод расчёта погрешностей).

6. Окончательные результаты:

Подпись студента:

1 Графики выполняются на миллиметровой бумаге или в компьютерном виде с использованием программ построения графиков. Необходимо соблюдать правила построения графиков.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35245. Формули Н’ютона через кінцеві різниці 69.5 KB
  Мета. Навчитися обчислити значення функції при даному значенні аргумента, використовуючи формули Н’ютона через кінцеві різниці.
35248. Тема: Знаходження значення інтеграла по формулам НьютонаКотеса. 25 KB
  Мета: Навчитися знаходити значення інтеграла по формулам Ньютона-Котеса. Скласти програму.
35249. Знаходження інтеграла за формулами прямокутників 24 KB
  Навчитися знаходити значення інтегралу за формулами прямокутників. Скласти програму.
35251. Обчислення інтегралу по формулі Сімпсона. Складання алгоритму 29 KB
  Тема. Обчислення інтегралу по формулі Сімпсона. Складання алгоритму. Мета. Навчитися обчислювати інтеграл по формулі Сімпсона; склаcти алгоритм.
35252. Основи конституційного права України 115.5 KB
  начно радикальніший проект Конституції України було опубліковано у вересні 1905 р. в першому числі часопису Української народної партії Самостійна Україна під назвою Основний закон Самостійної України спілки народу українського. Цей проект передбачав повну самостійність України, територія якої мала складатися з девяти земель.
35253. Знаходження власних чисел і векторів матриці по методу Крилова 81.5 KB
  Знайти одне з власних чисел і відповідний йому власний вектор матриці А по методу Крилова (використати результати лабороторної роботи № 18).