50303

Построение плоских фигур

Лекция

Математика и математический анализ

Рассмотрим достаточно подробно алгоритм построения графика функциональной зависимости в заданном интервале изменения аргумента функции. Первый этап выполнения такого задания должен заключаться в исследовании данной функции в результате которого следует выяснить: 1 имеет ли функция в заданном интервале особенности не обращается ли она в бесконечнось при всех ли значения аргумента она определена; 2 пределы изменения область что необходимо для оценки коэффициентов преобразований. После этого можно приступать непосредственно к...

Русский

2014-01-20

428 KB

2 чел.

Глава 1. Построение плоских фигур.

1.1 Экранные координаты.

Наше поле деятельности - графический экран персонального компьютера. Все точки (пикселы) экрана имеют две координаты, которые мы будем обозначать:  горизонтальную - , вертикальную - .

 Порядок нумерации (сверху вниз, снизу вверх), количество точек по вертикали и горизонтали различаются для различных ПЭВМ, для различных режимов работы. Чтобы не привязываться к конкретному графическому экрану, будем все рассуждение, оценки, расчеты проводить в так называемой физической системе координат , соответствующей прямоугольной декартовой системе. Для этого необходимо установить соответствие (формулы преобразования) от физических координат  к экранным координатам.

Допустим, наш рисунок занимает на плоскости  прямоугольный участок, в пределах которого координаты изменяются в пределах от  до ; и от  до . Мы хотим изобразить этот рисунок на участке экрана ограниченного координатами  и , см. рис. 1.

Чтобы рисунок не искажался, связь между физическими и экранными координатами должна быть линейной, то есть выражаться формулами

.     (1)                                                     

Параметры преобразований  и   могут быть легко определены из граничных условий. Так, например, для горизонтальных координат должны выполняться соотношения

,                                       (2)

из которых элементарно находим

;     .       (3)

Аналогичные выражения можно получить и для параметров преобразования вертикальных координат:

;     .       (3a)

Если необходимо построить график некоторой функциональной зависимости , то масштабные множители могут быть различны, и определяются только размерами отведенной области экрана. В том же случае, когда требуется сохранить пропорции вертикальных и горизонтальных размеров множители   должны быть одинаковы. В этом случае из двух коэффициентов следует выбирать минимальный, иначе рисунок выйдет за пределы отведенной области экрана. Кроме того, экранные координаты  должны быть переменными целого типа, поэтому, окончательно, формулы преобразования должны включать операцию целочисленного округления.

В дальнейшем будем полагать, что формулы преобразования физических координат в экранные заданы и имеют вид

,                   (4)

где  - обозначает операцию целочисленного округления, а параметры преобразований определяются по формулам (3)-(3a).

 Мы настоятельно рекомендуем программно оформлять эти преобразования в виде процедуры (подпрограммы), тогда в дальнейшем можно не задумываться о расположении рисунка на экране, а «спокойно работать» с физическими кординатами. 

Конечно, на первый взгляд, расчет коэффициентов преобразования представляет собой лишнюю операцию, но, во-первых, она не такая уж трудоемкая, при малейшем навыке коэффициенты преобразования рассчитываются «в уме», тем более, что высокая точность тут не нужна; во-вторых, используя процедуру преобразования, можно сделать программы не привязанными к конкретному режиму работы (для этого следует аппаратно определить размеры экрана в числе пикселов, и дальнейшие расчеты вести, используя эти размеры); в-третьих всегда можно исправить в ходе отладки программы значения коэффициентов преобразований - гораздо легче это сделать в одном месте в подпрограмме, а не во всех графических операторах, непосредственно выполняющих построение.

 1.2 Построение графиков функций.

Рассмотрим достаточно подробно алгоритм построения графика функциональной зависимости   в заданном интервале изменения аргумента функции .Первый этап выполнения такого задания должен заключаться в исследовании данной функции, в результате которого следует выяснить:

1) имеет ли функция в заданном интервале особенности, не обращается ли она в бесконечнось, при всех ли значения аргумента она определена;

2) пределы изменения  - область  , что необходимо для оценки коэффициентов преобразований.

Допустим, что на заданном интервале функция гладкая, коэффициенты преобразований найдены. После этого можно приступать непосредственно к построению графика функции. Для чего необходимо:

- оформить процедуру преобразования переменных к экранным координатам;

- задать функциональную зависимость, описывающую данную кривую;

- построить оси координат, при необходимости их оцифровать;

- переместить графический курсор в начальную точку с координатами ;

- организовать цикл по изменению аргумента  с некоторым небольшим шагом , в пределах которого вычислить значения функции   при этих значениях аргумента, преобразовать полученные координаты к экранным, нанести полученные точки на экран и соединить их отрезками прямых1.

Конечно, данный алгоритм не является абсолютно универсальным - в некоторых случаях могут возникнуть непредвиденные осложнения (функция слишком быстро осциллирует, существенные особенности графика незаметны на экране компьютера, не говоря уже о чисто технических проблемах - делении на нуль , переполнении и т.д.), с которыми приходится «бороться»  особыми методами.

Простое нанесение точек, даже с очень маленьким шагом может не привести к сплошкой линии на экране, особенно в том случае, если функция изменяется достаточно быстро.

 Шаг аргумента  следует выбирать таким, чтобы длина отрезка на экране составляла 2-3 пиксела, при большем шаге может быть заметна изломанность линии, уменьшение шага не приводит к улучшению качества изображения, а только затягивает время построения.

Длину отрезка можно оценить по формуле  , где - производная функции.

Пример . Построить график функции  при изменении  от -2 до 2.

В этих пределах изменения   функция изменяется от 0 до 4 и является непрерывной. Примем масштабные множители  равными 50 (при этом рисунок разместится в пределах квадрата со стороной 200 пикселов). Параметры сдвигов  можно выбрать так чтобы изображение поместилось в пределах экрана (например, можно положить их равными координатам центра экрана). Шаг изменения аргумента  примем равным 0,1 (что соответствует изменению горизонтальной координаты на 5 пикселов).

 На рисунке 2 показан результат построения. Там же приведенo изображениe полученнoе при шаге   при «точечном»  построении графика. Сравните !

Часто возникает необходимость построить семейство функций , где - некоторый параметр, изменяющийся в заданных пределах. Как будет видно в дальнейшем, рисунки, содержащие графики семейств, выглядят более впечатляющими, в них часто можно уследить динамику превращений кривых при изменении параметра. Для построения семейства необходимо участок программы, выполняющий построение отдельной кривой,  включить внутрь цикла по изменению параметра  .

Пример. Построить семейство функций  в интервале  для параметра , изменяющегося от -5 до 5 с шагом 1.

 Простейший анализ функции показывает, что

а) в заданном интервале функция не обращается в бесконечность, достигает максимального значения  в точке  при ;

б) при функция имеет минимум в точке , при этом ; наибольшая глубина минимума при , тогда .

Если выбрать масштабный множитель  таким, чтобы на экране умещался весь диапазон изменения функции (от -4 до 42), то характерная особенность графика - минимум функции будет практически не заметен, этот участок сольется с осью . Поэтому разумно начинать построение графиков семейства от  и заканчивать когда  достигнет некоторого значения (скажем, равного 15), либо  станет равным 3.

На рис.3 показано построенное семейство. Обратите внимание, что для всех кривых, кроме кривой последней, соответствующей , условием окончания послужило ограничение .

В некоторых случаях имеет смысл строить графики в «обратном» направлении - в сторону уменьшения аргумента. Эта необходимость возникает, если функция является убывающей, а при малых  устремляется к бесконечности.

Пример. Построить семейство функций , где  на интервале .

 Все функции этого семейства при  стремятся к бесконечности, следовательно, начинать их построение с точки  невозможно. Однако, можно строить графики, начиная с точки  и двигаясь в сторону уменьшения аргумента до тех пор пока  не превысит некоторого значения (на рис.4  .

1 В языке Pascal удобно вести построение с помощью оператора LineTo, предварительно установив начальное положение курсора с помощью оператора MoveTo.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32966. INFO ОБЩ-ВО: ИСТОКИ, СУЩНОСТЬ, ПЕРСПЕКТИВЫ ЭВОЛЮЦИИ (М.КАСТЕЛЬС. INFO ЭПОХА: ЭКОНОМИКА, ОБЩ-ВО И КУЛЬТУРА) 17.68 KB
  INFO ОБЩВО: ИСТОКИ СУЩНОСТЬ ПЕРСПЕКТИВЫ ЭВОЛЮЦИИ М. INFO ЭПОХА: ЭКОНОМИКА ОБЩВО И КУЛЬТУРА М.Кастельс: концепция info общва: 1. в постиндустриальный info мир вступили США Япония ведущие европейские страны а также некоторые страны АТР.
32967. ИНДУСТРИАЛЬНОЕ И ПОСТИНДУСТРИАЛЬНОЕ ОБЩ-ВО. СУЩНОСТЬ СОВРЕМЕННОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ (Д.БЕЛЛ. ГРЯДУЩЕЕ ПОСТИНДУСТРИАЛЬНОЕ ОБЩ-ВО. ОПЫТ СОЦ. ПРОГНОЗИРОВАНИЯ) 17.66 KB
  ИНДУСТРИАЛЬНОЕ И ПОСТИНДУСТРИАЛЬНОЕ ОБЩВО. ГРЯДУЩЕЕ ПОСТИНДУСТРИАЛЬНОЕ ОБЩВО. формируется новое общво: постиндустриальное info посткапиталистическое технотронное технологическое супериндустриальное постмодерное общво знаний и т. Постиндустриальное общво это общво в экономике которого в result НТР и существенного роста доходов населения приоритет перешёл от преимущественного производства товаров к производству услуг.
32968. ИНТЕГРАТИВНЫЙ ХАР-Р СОЦ.-ГУМАНИТАРНОГО ЗНАНИЯ 16.07 KB
  ИНТЕГРАТИВНЫЙ ХАРР СОЦ.ГУМАНИТАРНОГО ЗНАНИЯ В сфере социальногуманитарного знания особое место принадлежит философии. экономисты считают экономическую теорию царицей соц. Философия хозва формирует реальное мысленное пространство которое обеспечивает эффективное научное познание нацеленное на комплексное социоэкономическое объяснение явлений и процессов системный подход учёт конкретной специфики той или иной страны.
32969. ИСТОКИ ПОСТНЕКЛАССИЧЕСКОГО ЭТАПА РАЗВИТИЯ НАУКИ (И.ПРИГОЖИН, И.СТИНГЕРС. ВЫЗОВ НАУКИ) 14.72 KB
  ИСТОКИ ПОСТНЕКЛАССИЧЕСКОГО ЭТАПА РАЗВИТИЯ НАУКИ И. ВЫЗОВ НАУКИ Зап. наука: высшая задача науки – сформулировать общие схемы которые бы совпадали с идеалом рационального. Но это привело не к замедлению прогресса науки а способствовало появлению новых концептуальных структур наука выполняет некую универсальную миссию затрагивающую взаимодействие человека и природы и человека с человеком в наши дни основной акцент научных исследований переместился с субстанции на отношение связь время Больцман: м у вероятностью и необходимостью...
32970. ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ КАК МЕЖДИСЦИПЛИНАРНАЯ ДИСЦИПЛИНА 23.23 KB
  ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ КАК МЕЖДИСЦИПЛИНАРНАЯ ДИСЦИПЛИНА Философия входит в жизнь человека очень рано задолго до того как сложится о ней самое 1st элементарное представление навеянное случайными встречами и знакомствами. Философия науки – раздел философии изучающий понятие границы и методологию науки. Периоды преднауки появление элементов научности: докть обоснование систематизация IVв. Дальше начинается триумфальный процесс развития науки производится большое колво открытий.
32971. МЕТОДОЛОГИЧЕСКОЕ ЗНАНИЕ И ЕГО УРОВНИ 14.53 KB
  Термин методология применяется не только к научнопознавательной деятти но и к любой др. деятти человека. Методология познание способа человеческой деятти научной художественной производственной. сферах деятти и их совершенствование.
32972. МЕТОДЫ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ. ЭМПИРИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ 22.52 KB
  МЕТОДЫ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ. ЭМПИРИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ Метод греч. Методы естественных наук подразделяют на: 1. методы изучения неживой природы и методы изучения живой природы.
32973. НАУКА В АНТИЧНОСТИ И СРЕДНИЕ ВЕКА 19.13 KB
  1st позитивистов не изучался генезис науки отдельно. Спенсер Происхождение науки: наука появилась одновременно с появлением человека. во Франции создается кафедра по изучению генезиса науки. Вопрос о периодизации науки до сих пор дискуссионный.
32974. НАУКА И ФИЛОСОФИЯ: ОБЩЕЕ, ОСОБЕННОЕ И ИДЕЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ (М. БОРН. ФИЗИКА И МЕТАФИЗИКА) 18.66 KB
  ФИЗИКА И МЕТАФИЗИКА Метафизика исследование общих черт структуры мира и наших методов проникновения в эту структуру. Вильям Джемс: Метафизика – это необычайно упорное стремление мыслить ясным образом. Бертран Рассел: Метафизика – попытка постичь мир как целое с помощью мысли. Метафизика – исследование общих черт структуры мира и наших методов проникновения в эту структуру.