50372

Определение моментов инерции твёрдых тел с помощью крутильного маятника. Методические указания

Лабораторная работа

Физика

Конструкция рамки 7 позволяет закреплять в ней различные тела из набора, прилагаемого к установке. тела крепятся при помощи подвижной планки, перемещающейся по вертикальным сторонам рамки. Планка фиксируется в нужном положении путем затягивания гаек на расположенных на планке зажимах втулках.

Русский

2014-01-21

218.5 KB

12 чел.

                             МИНИСТЕРСВО  НАРОДНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ  БССР

                                 

                                          Брестский политехнический институт

                                                         Кафедра физики

                                     Определение моментов инерции твёрдых

                                      тел с помощью крутильного маятника  

                                     ( Методические указания к выполнению

                                               лабораторная работа М-6 )

 

                                                                               Утверждены Учёным советом

                                                                               электронно-механического

                                                                               факультета

                                                                                1990.07.02, протокол № 6

                                                             Брест 1990

 

УДК 53 (076.5)

 

              Лабораторная работа М-6  “ Определение моментов инерции твёрдых тел                                                   

              с помощью крутильного маятника” (методические указания к разделу

                                                                «Механика»).  

              Брест, БрПИ, 1990   

                              

             В методических указаниях рассмотрены принципиальные вопросы курса

        физики по разделу «Механика».

             Предназначены для студентов всех специальностей и всех форм обучения  

        в БрПИ.

                

       Авторы В.Я. Хуснутдинова, доцент, к.ф.-м.н., Н.И. Чопчиц, доцент.

               Рецензент: кафедра физики БГПИ им. А.С. Пушкина,

                                  доцент БГПИ, к.ф.-м.н. Косарёв В.М.

                                                                 Рекомендовано кафедрой

                                                                 физики к публикации на

                                                                 ротапринте

                                                                 БрПИ 1990.07.02

                                      

                            © Брестский политехнический институт. 1990         

       

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-6

Определение моментов инерции твёрдых тел

с помощью крутильного маятника

I. Цель работы: Определение моментов инерции твёрдых тел и проверка теоремы

                           Гюйгенса-Штейнера.

II. Приборы и принадлежности: 1) Крутильный маятник. 2) Набор тел.

III. Описание установки:

Общий вид установки "Крутильный маятник" "ГРМ-05" показан на рис.1. На основании 2, оснащенном четырьмя котками регулируемой высоты для горизонтирования основание, расположен миллисекундомер I. В основании закреплена колонка 3, на которой рас-положены кронштейны 4,5,6. Кронштейны 4,6 имеют зажимы, служащие для закрепления стальной проволоки, на которой подвешена. рамка 7„ На кронштейне 5 расположены фотоэлектрический датчик 9, электромагнит 10 и шкала углов II. Электромагнит 10 может перемещаться относительно фотоэлектрического датчика, а его положение на шкале углов показывает стрелка, прикрепленная к электромагниту. Это позволяет задавать различную амплитуду крутильных колебаний. Конструкция рамки 7 позволяет закреплять в ней различные тела из набора, прилагаемого к установке. тела крепятся при помощи подвижной планки, перемещающейся по вертикальным сторонам рамки. Планка фиксируется в нужном положении путем затягивания гаек на расположенных на планке зажимах втулках.

Установка позволяет проводить прямые измерения периода крутильных колебаний   рамки с закрепленными в ней телами при различных угловых амплитудах колебаний.

Определение периода осуществляется следующим образом.  При выключенной установке отверните стопорный винт под электромагнитом 10 и, передвигая до шкале углов электромагнит, установите желаемую начальную угловую амплитуду колебаний, после чего зафиксируй положение электромагнита тем не стопорным винтом. Нажмите кнопку "сеть"  поверните рамку до касания выступом рамки электромагнита. Кнопка «пуск» при этом должна быть  отжата. Нажмите кнопку "сброс" , а затем утопите кнопку «пуск». Электромагнит при этом перестает удерживать систему и начинаются крутильные колебания. Количество полных колебаний фиксируется на счётчике "периоды", а время - на соответствующем счетчике справа.  Обычно измеряется время 10 полных колебаний.  В этом случае после появления цифры 9 на счётчике периодов нажимается кнопка «стоп» и

отсчёт времени прекращается после завершения 10 колебаний. Период Т, очевидно, равен

Т=t10, где t10 —показания правого счётчика. Для последующих измерений кнопка «пуск» отжимается и показания счётчиков обнуляются нажатием кнопки «сброс».

    Описание любой экспериментальной ситуации даётся теоретической моделью. Только в рамках принятой модели возможно косвенное определение тех или иных физических величин. В данной работе, в частности, косвенно определяется момент инерции различных  тел.

    Любая теоретическая модель даёт лишь приближенное описание экспериментальной ситуации, поскольку пренебрегает влиянием многих реально имеющих место эффектов. Сложность модели и определяется, главным образом, числом учитывающих  эффектов.

     Ниже кратко даётся информация по принимаемой в работе модели, необходимая для выполнения работы и обработки результатов измерений.

     Более подробная, необходимая для отчёта по работе, изложена в Приложениях 1и 2.

     Основные предположения теоретической модели.  

     I. Диссипативными силами, т.е. силами трения, сопротивления воздуха и т.д. можно пренебречь в том смысле, что период крутильных колебаний системы в том случае, если бы  они отсутствовали, пренебрежимо мало отличался бы от того, который наблюдается реально.

   Ниже приводится оценка влияния диссипативных сил на период крутильных колебаний.

2. В работе изучаются крутильные колебания закреплённых в рамке различных тел: длинного стержня, цилиндра, параллелепипеда и т.д. и их колебаний. Закрепление цилиндра, параллелепипеда, шара, конуса в рамке, а также их крепление к стержню осуществляется с помощью небольших штырьков. В теоретической модели, во-первых, предполагается, что оси, на которых лежат эти штырьки, проходят через центры масс соответствующих тел, и, во-вторых, что крепление обеспечивает параллельность этих осей и оси, вокруг которой совершаются колебания (оси, на которой расположены проволоки, крепящие рамку.)  

3.  Считается, что вся конструкция, участвующая в крутильных колебаниях, симметрично

относительно оси колебаний.

   В приложении 2 показано, что при этих предположениях момент инерции I закреплённого в рамке тела или комбинации тел можно найти по формуле:

                                                    2

                                        ( Т/Т0 ) - 1

                             I=Iэт-------------------,

                                                                              2

                                                         ( Тэт/Т0 )  - 1

 где Iэт – момент инерции эталонного тела ( в работе эталонным телом является куб);

      Т — период крутильных колебаний при закреплённой в рамке исследуемой комбинации тел или одного тела;

      Тэт  — период крутильных колебаний при закреплённом в рамке эталонном теле;

      Т0   — период крутильных колебаний самой рамки без закрепленных тел;

      Выполнение предположения 2 теоретической модели обеспечивается тщательным изготовлением набора тел. Выполнение условия 3 возлагается на экспериментатора: например, при закреплении в рамке стержня с прикреплёнными к нему телами, тела должны быть одинаковыми и располагаться симметрично относительно центра стержня                  

      Условие 1, вообще говоря, выполняется не при любой угловой амплитуде крутильных колебаний. В приложении 2 показано, что силы сухого трения не влияют на период крутильных колебаний, а силы вязкого трения приводят к появлению относительной погрешности в определении периода порядка            -2       2

                                                                                                                                                                                           (10)/(N), где N — число колебаний, совершаемых системой за время, в течение которого амплитуда уменьшается в 2 раза.

     Поэтому, перед началом всех измерений следует убедиться в том, что для выбранной вами угловой амплитуде колебаний N≥5 — только при этом можно пренебречь влиянием диссипативных сил на значение периода. Если условие N≥5 не выполняется, следует уменьшить угловую амплитуду колебаний.

     Внимание: результаты всех измерений удобно представить в виде таблиц — тогда они легко обозримы. Таблицы в данной работе вам предлагается составить самостоятельно.

       IV. Выполнение работы и обработка результатов и измерений.

Задание 1.   Определение момента инерции длинного стержня.

1. Найти период Т0 колебаний рамки без закрепленных в ней тел.  

2. Закрепите в рамке эталонный куб в центрах противоположных граней и найдите период

Тэт1 колебаний системы. Повторите измерения для остальных двух пар противоположных граней, найдя Тэт2, Тэт3. Усредняя найденные значения, найдите период Тэт колебаний рамки с закрепленным в ней эталонным кубом:         Тэт1 + Тэт2 + Тэт3

                                                                                  Тэт = ------------------  .     

                                                                                                     3                   2  

3. Найдите момент инерции эталонного куба по формуле:                mэтa

 Iэт= ---------------,

                                                                                                                      6

где mэт — масса куба (указана на рабочем столе), а — сторона куба, измеряемая штангельциркулем.

4. Закрепите в рамке длинный стержень так, чтобы ось колебаний проходила через его центр. Найдите период Т колебаний рамки со стержнем.

Убедитесь, что период Т практически не зависит от угла между плоскостью рамки и стержнем. Если эта зависимость присутствует, следует более аккуратно крепить стержень в рамке, соблюдая перпендикулярность стержня к оси колебаний и повторить измерение Т.

5. По формуле (I) найдите момент инерции Iст и рассчитайте погрешность его определения стандартным образом.

6. Поскольку стержень представляет собой цилиндр и ось, относительно которой поворачивается при колебаниях стержень проходит через его центр масс  перпендикулярно оси симметрии цилиндра, теоретическое выражение для момента инерции стержня имеет вид (Приложение 1):

                       2                      

     теорет  mстL           2

   Iст        = ------ + mстD    (2),

                  12                                                                                                              

где L= 0,24м — длина стержня, mст – его масса (указана на рабоч6ем месте), D — диаметр, измеренный штангельциркулем. Сравните результаты вычислений по формуле (2) с результатом п.5, найдя Iст Iст  теорет.

Находится ли значение разности в пределах погрешностей п.5? Сформулируйте письменно причины, по которым указанная разность может выходить за пределы погрешностей экспериментального определения Iст.

7. Если стержень считать пренебрежимо тонким, то теоретическое выражение для его момента инерции имеет для той же оси вид:   

 

                       2                      

     теорет  mстL           

   Iст        = ------            (3).

                  12                                                                                                              

Какое из двух значений (2) или (3) лучше согласуется с экспериментальным значением п. 5?

8. Творческое задание. Разработайте самостоятельно методику учета погрешности, допускаемой при вычислении момента инерции по формуле (2), из-за наличия отверстий в стержне.

Задание 2. Проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера.

В работе теорема проверяется для одного из тел стандартной формы из набора, прилагаемого, к установке , (цилиндра, параллелепипеда, шара, конуса).

Выбор тела и его ориентацию относительно оси колебаний определяет преподаватель.

 Ориентация тела относительно оси колебаний определяет в последующем выбор той или иной теоретической формулы для расчета момента инерции (формулы приведены в Приложении 1).

I. Прикрепите к стержню, закрепленному в рамке после задания I, симметрично два одинаковых тела   с помощью штырьков, имеющихся на этих телах, и ввинчивающихся в отверстия на  стержне. Вначале используйте ближайшие к центру стержня отверстия - они находятся на расстоянии   d1= 4,5 см от центра.  Определите размеры тела, сделайте чертёж тела, на котором укажите ось, вокруг которой совершаются крутильные колебания.

2. Найдите период колебаний конструкции из стержня и двух тел, а затем по формуле (I) ее момент инерции   Iсист1. Момент инерции одного тела относительно оси колебаний равен, очевидно

       Iсист1 - Iст

I1= -------------

           2

где Iст  найден в п.5. Иначе говоря, I1 - это момент инерции исследуемого тела относительно оси, проходящей на расстоянии d1 = 4,5 см от центра масс. Найдите погрешность  аналогично п.5 задания 1.

Внимание:  У некоторых тел (цилиндра, параллелепипеда, шара) имеются эквивалентные оси.  Тогда следует определять момент инерции тела относительно каждой из эквивалентных осей и результаты усреднить.  

3. Повторите измерения и вычисления п.2, прикрепив тела на расстоянии d2=б см от центра, стержня (расстояние между отверстиями в стержне равно 1.5 см)  к найдите I2 , и т.д. В стержне 5 пар симметрично расположенных  отверстии, на цилиндрической его поверхности и одна пара отверстии на торцах. При больших угловые амплитудах колебаний нам не удаётся использовать все пары отверстий, т.к грузы при колебаниях будут задевать колонку. Используйте тогда меньшие амплитуды с тем, чтобы, по крайней мере, _провести_ измерения для 5 пар отверстий. Таким   образом, будут найдены по

меньшей мере  5 значений Iк при   различных расстояниях dк от центpа масс до оси,  относительно которой при колебаниях поворачивалось тело.

4.Определите моменты инерции I01 и I02 каждого из тел, укрепляя их в рамке поочерёдно без стержня и поступая аналогично заданию I. Усредняя значения I01 I02, получите экспериментальное значение         I01+   I02

                                                  I0= ----------

                                                              2

момента инерции одного исследуемого тела в случае,  когда ось проходит через центр масс (т.е. для d=0).

5.  В силу предположений 2 и 3 теоретической модели выполняется теорема Гюйгенса-Штейнера:      2

      I= Iс + md

 где  I - момент инерции тела относительно оси колебаний,

Iс - момент инерции тела относительно осп, проходящей через центр масс и параллельной оси колебаний.

 m  - масса тела,

d   - расстояние между указанными осями.

Поэтому, если на координатную плоскость, по оси абсцисс которой откладываются

                                              2

значения переменной х=d  , а по оси ординат значения момента инерции I, нанести экспериментальные точки, то они должны лежать на прямой.

                                                                I= Iс + mх                                                      (4)

По ряду причин, однако, экспериментируемые точки лежат на прямой не вполне точно.

Нанесите экспериментальные точки на указанную координатную плоскость, указывая для каждой точки на рисунке соответствующую погрешность ⌂dк, ⌂Iк. Для просты считайте все ⌂Iк одинаковыми и равными   ⌂I1 , найденному в п.3.

Письменно сформулируйте причины, по которым экспериментальные точки могут лежать на прямой не вполне точно.

6. Задача, которая возникает в связи с этим, того же типа, что и в работе М-1:    

     Как оценить степень уверенности в том, что справедлива линейная зависимость (4),

                                                                                               2  

     располагая рядом  значений Iк  при различных χк  = dк ?  

Примечание: Если не использовались торцевые отверстия стержня, то всего имеем 6 значений Iк ; I0; I1 ;… I6  и 6 значений χк:     2                   2                 -2                                         -2    2                                                                                                                                                                                                                                     

                                                              χ0= d0=0,  χ1= d1=(4,5*10) и т.д. до χ5=(  10,5*10 ).

При использовании торцевых отверстий число значений χ5 и Iс будет.

7. Решение задачи распадается на два этапа. На первом этапе с помощью метода наименьших квадратов находиться наилучшая прямая, соответствующая экспериментальным точкам. Параметры этой прямой, входящие в формулу (4), вычисляются по формула;;

           <χI> –<χ><I>

m = ————————     ,   Iс= < I >- m <χ>,

           2        2            

       <χ>-<χ>

                      n-1                                        n-1

где   <χ>=1/n ∑ χк;               <χ>=1/n ∑ χк Iк                          (5)                   

                     к=0                                                                      к=0

                                        n-1                     2          n-1      2

где   < I>=1/nIк;             <χ>=1/n ∑ χк;                    

                       к=0                                                     к=0

 n - общее число значений (б или 7)

Проведите вычисления по формулам (5) и найдите массу тела m и момент инерции Iс тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельное оси колебаний ( эта ось изображена у вас на чертеже в п.1. На координатной плоскости (χ, y) постройте наилучшую прямую).    

7. На втором этапе решения задачи, согласуются ли экспериментальные значения χк, Iк, с  теоретической зависимостью (4), вычисляется величина           2

                                                                                                        χ ( хи-квадрат):

         2     n-1    Iс+ m χк  Iк    2

   χ= ∑ (----------------)     (6).            

        к=0              Iк  

Для простоты, как же, как и в п.5, можно считать ⌂Iк все одинаковыми и равными   ⌂I1, найденному  п.3. Найденное значение  сопоставляется с теорией с помощью таблицы распределения   2                                                                             2 

                         χ . Число степеней свободы распределения  χ  в нашем случае равно ń= n -3, поскольку в п. 6 определялись по экспериментальным значениям χк, Iк два неизвестных параметра: Iс и m. Поскольку равно 6 или 7, то ń равно 3 или 4.  Фрагмент таблицы для этих значений ń выглядит следующим образом:

99

95

90

80

50

30

20

10

5

3

0,1

0,4

0,6

1,0

1,8

3,6

4,6

6,3

7,8

4

0,3

0,7

1,1

1,6

3,4

4,9

6,0

7,8

9,5

Если, например, в результате вычислений по формуле (б) при n '=4 получилось     2

                                                                                                                                         χ = 1,1, то по таблице находим, что вероятность такого значения составляет 90%.   Иначе говоря, на уровне значимости 90% (или 0,9) экспериментальные данные подтверждают линейную зависимость (4), т.е. теорему Гюйгенса-Штейнера.

                 2

Найдите χ по формуле (6) и соответствующую вероятность ρ по таблице. Письменно сформулируйте результаты проверки теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задание 3. Проверка согласованности экспериментальных значений  Iс, m. 

I. Используя соответствующую вашему варианту расположение оси формулу для вычисления момента инерции (Приложение I), а также значения массы тела m и момента инерции Iс, проверьте согласованность экспериментального определения Iс, m. Результат считается удовлетворительным, если разность между экспериментальным значением Iс и , полученным в п.6 задания 2, и теоретическим,  вычисленным по соответствующей формуле, не превышает ⌂Iк    из п.3. задания 2.Письменно сформулируйте выводы этого сравнения.

2.Творческое задание. Самостоятельно разработайте методику учета в теоретической формуле для момента инерции наличия штырьков.

                                                      Приложение1.

                                              Момент инерции и его вычисление.                       

Аналогом массы как меры инертности при поступательном движении,  во вращательном движении является момент инерции. Эта его роль вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения абсолютно твердого тела:

                                  Iкε = ∑М      (п.1-1)

где ε  - угловое ускоренно тела, ∑М — сума моментов всех сил, действующих на твердое тело. Из этой формулы вытекает, что чем больше момент инерции тела, тем меньше при прочих равных условиях угловое ускорение ε, т.е.  тем меньше темп набора угловой скорости (тело медленнее раскручивается).

Говорят, поэтому, что момент инерции — это мера инертности тела во вращательном движении.

Любое тело можно представлять себе состоящим из отдельных материаль-                          ных точек. Момент  инерции отдельной   материальной точки массой     ⌂ тi вычисляется по формуле     2

        Ii=⌂miri                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

                                    

                                                              рис.II 1-1   

где ri - расстояние то этой точки                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

до оси вращения. Момент инерции тела определяется как сумма моментов

инерции отдельных материальных точек, из которых тело состоит:

                      2

I=∑⌂Ii=∑ тiri   (п.1-2)

Для сплошных тел сумма в формуле (п. I-2) превращается в соответствующий интеграл.

                                 2

Очевидно, [I]   = I кгм. Рассмотрим кратко вычисление момента инерции для  простейших тел.

1. Момент инерции длинного тонкого однородного относительно оси, проходящей через центр масс стержня и ему перпендикулярной.

Пусть т- масса стержня, lего длина.

Тогда масса  единицы длины стержня (линейная плотность стержня) равна  т/l                

                                                        l/2             l/2

                                                                                                                                                     

                                                       рис. II 1-2

Рассмотрим  элемент стержня длиной dχ , находящийся на расстоянии  χ от оси, проходящей через центр масс    с   (рис.II 1-2). Масса элемента dm=m/ldχ, а момент

                                              2                   2

инерция элемента dI= dm χ = m/l χ  dy/ Момент инерции всего стержня равен

          l/2    2                         3     l/2             2

Iс= m/l χ dχ= m/l Х/3 | = ml/12   (II 1-3)

        - l/2                                   - l/2 

значок с у Iс означает, что это момент инерции относительно оси, проходящий через центр масс  С.

Вычисление моментов инерции часто облегчается при использовании теоремы Гюйгенса-Штейнера:

                                      2

      I= Iс + md                     (П 1-4)

где I  - момент инерции тела относительно горизонтальной оси, Iс -момент инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, m - масса тела, d  - расстояние между осями.

Например, если ось перпендикулярна тонкому стержню и проходит через  край, то используя выражение (II 1-3) получим с помощью (П 1-4)

        2                       2                 2

I= ml/12+ m(l/2)=ml/3

                                               

                                                        рис. II 1-3

Рассмотрим ещё одно соображение, часто упрощающее вычисление момента инерции.  Рассмотрим материальную точку массой m с координатами (x, y, z )  (рис. П 1-3). Согласно определению момент инерции этой точки относительно осей координат равен

                   2        2                        2        2                       2         2

Iч= m(z + y), Iy=m(x + z), Iz=m(x + y)     (рис, II 1-3)

                                                                                                                                2         2        2      2

Сложив все три равенства и учитывая, что x + y + z= l   где  R - расстояние от точки до начала координат, получим

                          2

Iy + Iх + Iz = 2mR      (рис. II 1-5)

Рассмотрим тонкую пластинку произвольной формы, лежащую в плоскости ХУ . Для

                                                                                                                                                                                                                          2        2        2

любой материальной точке, из которых состоит пластинка, имеем  Z=0 и R= χ + y   , так что справа в формуле (II 1-5) стоит величина 2m( χ + y)= Iх . Тогда (П 1-5)   примет , вид

Iy + Iх = Iz           (П 1-6)

Поскольку формула  (П 1-6) справедлива для каждой точки, то справедлива и для пластинки в целом.

Для любой плоской фигуры сумма моментов инерции относительно двух взаимно- перпендикулярных осей, лежащих в плоскости пластинки, равна моменту инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости пластинки и проходящей через точку пересечения осей в плоскости пластинки.

2. Момент инерции тонкой прямоугольной пластинки.

При вычисление момента инерции относительно оси χ пластинку можно представлять состоящей из тонких полосок длиной  l каждая? Вытянутых вдоль оси    у  (рис.II 1-4).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

                                                                                                                                                                                                                                                               

                                                            рис.II 1-4

                                                                                                                                                                                  2

Момент инерции каждой полоски согласно (П 1-3) равен ⌂mb/12, где ⌂т - vасса полоски, Тогда момент инерции пластинки, равный сумме моментов инерции полосок, равен

                    2

Iс х= mb/12                   (II 1-7)

где m=∑ ⌂m — масса пластинки. Таким образом, при вычислении Iс х можно мысленно сжать прямоугольную пластинку вдоль оси  χ превратив ее в тонкий стержень, поскольку при таком сжатии расстояние от всех точек до оси χ  не изменяется. Аналогично

                       2               

  Iс х= mb/12                               (II 1-8).

                                         

Согласно (П 1-6) имеем

                            2        2

Icz=m/12 (a + b)                (П 1-9)

3. Момент инерции прямоугольного параллелепипеда.

При вычислении момента инерции относительно оси   Z   можно мысленно сжать параллелепипед вдоль этой оси, поскольку при таком сжатии расстояние от любой точки до оси Z не изменяется (рис. П I -5)

Тогда

                   2        2

Icz=m/12 (a + b)                (П 1-10)

Аналогично

                             2        2

Icy=m/12 (a + c),               

                             2        2                                 (П 1-11)

Icx=m/12 (c + b)                                      2

Для куба a=b=c и тогда Ixc=Icy=Icz=ma/6                (П 1-12)

Рекомендуем получить этот результат прямым интегрированием.

4.Момент инерции тонкого кольца (рис. П 1-6).

Разобьём  тонкое кольцо на элементарные участки массой   dт. Момент инерции такого участка относительно оси  Z   равен, очевидно

                          2

dZz=dmR,

где  R - радиус кольца. Поскольку расстояние   R от каждого участка до оси   Z   равно R,    получим

             2                        2

Icz=Rdm=mR  (П 1-13)

Из соображений симметрии вытекает, что Icy =Icx. Тогда из (П 1-6) имеем

                                 2

Icy =Icx= mR/2

Рекомендуем получить этот результат прямым интегрированием.

5. Момент инерции тонкого диска.

Разобьём диск радиуса  R  массой m на бесконечно узкие кольца. Одно из таких колец

                                             

радиуса   r  и  шириной dr показано на рис. П 1-7. Площадь этого кольца равна единицы площади диска dS=2πrdr. Масса  единицы площади диска будет равна

             2                                

mR, тогда масса выделенного кольца будет равна

                          2                                          2

dm=mR dS=mrdrR

Момент инерции кольца относительно оси Z

                2                           3            2

dZz=rdm= 2mπrdrR

Тогда момент инерции диска равен

                        2   R 3                  4       2 R            2

Zcz=2m/R∫rdr=2mr/4R |=mR/2        (П 1-15)

                            0                                   0

В силу симметрии    Icx= Icy              Тогда с учётом (П 1-6)  имеем.

                                  2  

Icx= Icy= mR/4                       (П 1-16)        

6. Момент инерции сплошного цилиндра. 

При вычислении момента инерции относительно Z  можно цилиндр мысленно сжать относительно этой оси.

Тогда

              2  

Icz = mR/2                 ( П 1-17)

                                                

Для вычисления момента инерции Icх, разобьем цилиндр на тонкие диски толщиной dz (рис. П 1-8). Масса такого диска равна

dm=mdz/L 

а его момент инерции относительно оси χ найдём по теореме Гюйгенса-Штейнера

                        2                      2

dIz=dmR/4 +dmz  

Тогда

            2                                    2        2              L/2                L/2   2                  2                    3        L/2            2                    2

Icx=R/4∫dm + ∫dmz= Rm/4L∫dz +m/L∫zdz =mR/4 + mz/3L| = mR/4 + mL/12 (П 1-18)                                                                                                                                                                      

                                         - L/2              - L/2                                                   - L/2

В силу симметрии

                  2           2         

Icx =Icx=  mR/4 + mL/12 (П 1-19)

7.Момент инерции сплошного шара.     

Разобьем шар радиуса  R   массой на бесконечно тонкие шаровые  слои (рис. П 1-9). Объём такого слоя равен

                                                                   2

                                               dV=4πrdr.

                                              

Масса   единицы объема шара равна

                            3

V=3m/4πR

Тогда, масса слоя

                                 3

dm= 3m/4πR

                      2        3

dV=3mrdr/R

В силу симметрии  для слоя момента инерции относительно всех трех координатных осей одинаковы.  Тая как слой тонкий, все точки находятся  одинаковом расстоянии R от центра.  Тогда по формуле (П 1-5) получим

                                                   2                  4         3

dIx= dIy= dIz=2dmr/3=2mrdr/R

 Для всего шара:

                                           3 R 4                   5      3 R                  2

Ix =Iy =Iz=2m/R ∫rdr=2mr/5R | = 2mR/5       (П 1-20)

                                          2  0       2                            0   

8.Момент инерции кругового конуса.

Простое интегрирование, которое предполагается провести самостоятельно, даёт  следующее выражение для моментов инерции

                                            2        2                              

Ixс= Iсy=3m/20(R + h/4)  (П 1-21)

                                   2

Iсz= 3/10 m/R         (П 1-22)

где R- радиус, h- высота конуса.

                                               

Заметим, наконец, что в реальной практике приходится определять момент инерции тел достаточно сложной формы. Это связано в частности, с тем, например, что напряжения возникающее в упругом теле при изгибе и кручении зависят от моментов инерции, а значения этих напряжений необходимо во многих задачах. Вычисление  моментов инерции в таких случаях достаточно затруднительно, поэтому разумно использовать экспериментальные методы. Один из таких методов и рассмотрен в данной работе.

                                                         Приложение2

                             Крутильные колебания симметричного маятника

                                           

На рис.Л 2-1 схематично изображена рамка I, подвешенная на вертикальных упругих нитях 2, закрепленных в муфтах 3. К рамке с помощью подвижной планки 6, фиксируемой винтами 7 могут закрепляться различные симметричные конструкции. На рис. П 2-1 конструкция состоит из стержня 4 и симметрично прикрепленных к нему шаров 5; конструкция может состоять из одного тела; шара, конуса, параллелепипеда, или в рамке      может нe быть закреплено никакое тело — важно, что центр масс конструкции лежит на вертикальной оси.

    В этих условиях момента всех сил тяжести, дeйствующих на элементы конструкции  

равны нулю. Если рамку повернуть на угол φ вокруг вертикальной оси от положения равновесия, то вследствие закручивания нитей возникает момент упругих сил, равный при не слишком больших углах (φ) М=-f φ, где f-постояная для данных проволок величина, называемая модулем кручения. Знак минус указывает на то, что момент упругих сил стремится возвратить рамку к положению равновесия. Следует учесть также, что в процессе поворота на систему действуют различные диссипативные силы: силы сопротивления воздуха и силы, обусловленные неидеальной упругостью проволоки(силы, приводящие к остаточным пластическим деформациям проволоки).Эти силы приводят к переходу механической энергии системы во внутреннюю энергию воздуха, конструкции, нитей и т.д, т.е. к их нагреву –в результате колебания затухают. Опыт показывает , что при не слишком больших углах φ , когда скорости тел невелики (разумеется для данных проволок различны и требования к предельной величине угла φ) эти силы могут считаться пропорциональными скорости. Тогда момент этих сил может быть записан в виде

Мтр=-= -bdφ/dt, где знак минус указывает на то ,что   направлен так , что он уменьшает угловую скорость , а b-некоторая постоянная , называемая постоянной сил сопротивления. Запишем для конструкции основное уравнение динамики вращаемого движения:

Iε=M + Mтр

где ε- угловое ускорение системы, I- её момент инерции. С учётом того, что

                             2        2   **

ε=/dt=/dt=φ и выражение для М и Мтр, получим

   **           *

Iφ + bφ + fφ=0

или

**           *

φ + bφ/I + fφ/I=0              (П 2-1)

                                                                       2   

Обозначив b/I=2δ, f/I=ω0 , запишем (П2-1) в виде

**                *            2

φ + 2δφ + ω0φ=0              (П 2-2).

Уравнение (П 2-2) — стандартное уравнение затухающих колебаний. Его решение при

 δ <ω0 (слабое затухание) имеет вид

                -                                                                                         2         2   1/2

φ =φ0е cos(wt +α)    (П 2-3), где ω=( ω0δ ), φ, α постоянные, определяемые начальными условиями возбуждений колебаний. График зависимости φ(t) показан на рис. П 2-2.  

                                                      

                                                              рис. П 2-2

Угловая амплитуда колебаний

                - 

φм= φе убывает с течением времени, поэтому о строгой периодичности говорить нельзя. Величина  δ называется коэффициентом затухания. Тем не менее, время между любыми прохождениями положения равновесия (в одну сторону) одинаково и это говорит об условном периоде колебаний      

                                           2        2  1/2

Т=2π/ω=2π/ (ω0 – δ)      (П 2-4).

Если бы диссипативные силы отсутствовали, уравнение (П 2-2) приняло бы вид уравнения незатухающих колебаний:

**            2

φ + ω0φ=0        (П 2-5).

Период колебаний был бы равен: Т0=2π/ω < T   ( П 2-6).Таким образом наличие сил вязкого трения, пропорциональных скорости, увеличивает период колебаний. Это нетрудно понять качественно, учтя, что силы трения замедляют движение. Следует, однако, заметить, что силы сухого трения, например, на период колебаний не влияют.

Действительно, наличие сил сухого трения привело бы к появлению в уравнении (П 2-2) справа постоянного члена, знак которого различался бы для разных направлений движения (при φ>0 знак отрицателен и наоборот). Но тогда решение уравнения отличалось бы от (П 2-3) лишь постоянным слагаемым, не влияющим на период.

Оценим влияние сил вязкого трения на период колебаний, вычислив величину            

                                                                                      2        2          2    1/2                       2   2      2     1/2

⌂Т/Т0=(Т-Т0)/ Т0 = Т/ Т0-1= (ω0/(ω0 – δ) )-1 = (1+ δ Т/4π  )  (П 2-7).

Найдём число колебаний N, которое совершит система за то время, в течении которого угловая амплитуда уменьшится в 2 раза. Полагая в выражении

                - 

φм= φ0е ,    φм= φ0/2    находим  t=ln2/δ = 0.693/δ/

Число колебаний N, совершающихся за то время, равно N=t/T=0.693/δT. Таким образом δT=0.693/N≈0.7/ N. Тогда (П 2-7) примет вид

                              2    2  1/2                                     2  1/2

⌂Т/Т0 ≈(1+ 0.49/4πN ) -1= (1+ 0,12/N ) -1  (П 2-8).

При малом затухании N>1 и тогда второй член под корнем в (П 2-8) мал по сравнению с единицей. Поэтому, разлагая квадратный корень в ряд, и ограничиваясь двумя членами разложения, получим    

                                           2             -2   2

⌂Т/Т0≈ 0,006/N ~ 10/N ( значок ~ означает «по порядку величины»). При N≥5 величина  

                           -3

⌂Т/Т0<10 и влиянием силы вязкого трения на период колебаний в лабораторном физпрактикуме можно пренебречь. Иначе говоря, при N>5 в хорошем приближении можно считать, что период колебаний определяется формулой

                                                        1/2

 Т=2π/ω0= Т=2π( I/f)       (П 2-9).

Пусть I0 — момент инерции рамки без закреплённых в ней тел, Iэт — момент инерции эталонного тела, I — неизвестный момент инерции некоторой конструкции, закреплённой в рамке.

Тогда для соответствующих периодов колебаний будем иметь согласно (П 2-9)

                               1/2                                                    1/2                                              1/2

Т0=2π ( I0 /f) , Тэт= 2π((I0 + Iэт)/f)  , Тэт= 2π((I0 + I) /f)                 (П 2-10).

Выражая I0, f из первой пары соотношений (П 2-10) и подставляя в последнее, находим

                                                    2

                                        ( Т/Т0 ) - 1

                             I=Iэт-------------------                            (П 2-11)

                                                                              2

                                                         ( Тэт/Т0 )  - 1

Соотношение (П 2-11) является основным для данной работы, поскольку позволяет определить момент инерции I симметричной конструкции по известному значению Iэт момента инерции эталонного тела и измеряемым на установке прямым образом  Т, Тэт, Т0                   

периодом крутильных колебаний рамки с конструкцией, рамки без закрепленных в ней тел эталонным телом соответственно.

                                         Контрольные вопросы.   

 

1. Изложите основную идею метода экспериментального определения момента инерции с помощью крутильных колебаний. Выведите из формул (П 2-10) рабочую формулу (П 2-11).

2* Покажите, что решение уравнения (П 2-2) имеет вид (П 2-3) с помощью прямой подстановки (П 2-3) в уравнение (П 2-2).

3* Запишите явный вид решения уравнения колебаний при наличии кроме сил вязкого трения силы сухого трения и покажите, что силы сухого трения не влияют на период.

4. Передайте подробно выкладки, соответствующие переходу от (П 2-7) к (П 2-8).

5. Выведите формулы (П 1-10)-(П 1-12), (П 1-16), (П 1-20)-(П 1-22) прямым интегрированием. Также найти положение центра масс С конуса.

6* Оцените влияние на точность измерений смещения оси, на которой лежат штырьки, с помощью которых осуществляется крепление к стержню тел, относительно центра масс  соответствующего тела.

7. Изложите идею проверки теоремы Гюйгенса-Штейнера.

8* Опишите, как можно было бы организовать поверку теоремы Гюйгенса-Штейнера, если бы масса тела была бы известна независимо от опытов с крутильными колебаниями, а в качестве Iс было бы взято I0, в п.4 задания 2.

9. Почему для справедливости рабочих формул угловая амплитуда не должна быть очень большой?

10* Описать качественно влияние несимметричности конструкции, закрепляемой в рамке, на точность получаемых результатов. Какие из соотношений, использованных в работе, будут несправедливы?

Задания, помеченные значком «*» являются дополнительными(творческими).                                                                                                                                


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20287. Сценические эффекты в современном театре 97.5 KB
  ИЗВЕКОВ СВЕТ НА СЦЕНЕ ОЧЕРКИ ПО ИСТОРИИ ОСВЕЩЕНИЯ СЦЕНЫ 1. ИСТОКИ ТЕХНИКИ ОСВЕЩЕНИЯ СОВРЕМЕННОЙ СЦЕНЫ Взаимоотношения между техникой сцены и художественным построением спектакля были подробно рассмотрены в первой части нашей работы Сцена где уже говорилось о том что сценическое освещение являясь одним из технических средств при постановке спектакля одновременно выполняет функцию раскрытия идейного замысла спектакля. Исходным этапом в данном случае должно служить зарождение кулисной сценыкоробки которая во многом продолжает еще...
20288. Художественные искания в западной культуре второй половины XX века 75.5 KB
  Отвергнув возможность преобразования жизни с помощью искусства представители постмодернизма приняли бытие таким какое оно есть сделав искусство предельно открытым наполнили его фрагментами реального жизненного процесса.Хеппенинг Перерастая в искусство постмодернизма €œискусство действия€ приобретает более выраженные формы. ПопАрт В 50ые в США возникло новое крупнейшее направление в современном искусстве – ПОПАРТ – популярное искусство. Бодиарт Бодиарт это искусство тела авангардное направление возникшее в 60х годах.
20289. Жанры средневекового театра 676.5 KB
  Франция Мистерия основной театральный образ Средневековья. Мистерия самая поздняя но и самая полная форма выражения средневековой театральности. Если готический собор застывший образ мироздания то мистерия модель мироздания в действии. Мистерия вбирает в себя все жанры: литургическую драму бытовую драму фарс и соти миракль и моралите.
20290. Новаторство создателей МХТ в области декорационного искусства и технологии 82 KB
  Станиславский Константин Сергеевич Алексеев 17. Опираясь на богатейшую творческую практику и высказывания своих выдающихся предшественников и современников Станиславский заложил прочный фундамент современной науки о театре создал школу направление в сценическом искусстве которое нашло теоретическое выражение в так называемой системе Станиславского. 1877 Станиславский впервые выступил на домашней любительской сцене. Станиславский сыграл десятки комедийных ролей с пением и танцами.
20291. Русская художественная культура 20-х - середины 30-х годов XX века 315 KB
  А русский авангард – своеобразный феномен искусства 20 в. но и с новым искусством стиля модерн – господствующим в это время повсеместно и во всех видах искусства от архитектуры и живописи до театра и дизайна. Русский художник теоретик искусства и писатель. Был членом объединений Мир искусства и Четыре искусства.
20292. Европейский театр классицизма 78 KB
  В основе классицизма лежат идеи рационализма которые формировались одновременно с таковыми же идеями в философии Декарта. Художественное произведение с точки зрения классицизма должно строиться на основании строгих канонов тем самым обнаруживая стройность и логичность самого мироздания. Интерес для классицизма представляет только вечное неизменное в каждом явлении он стремится распознать только существенные типологические черты отбрасывая случайные индивидуальные признаки.
20293. Свет в театре и на эстраде 56.5 KB
  Его история во многом определялась теми источниками света которые имелись в распоряжении театра в те или иные периоды его развития. особенно в его вторую половину стремительно модернизировались новыми техническими возможностями и расширяли сферу применения света как средства сценической выразительности. С точки зрения эстетической искусство сценического света в 17–18 вв.Станиславского партитуры сценического света особенно в чеховских спектаклях на сцене передавались меняющиеся состояния природы утро день вечер ночь; солнечно...
20294. Русская художественная культура середины 50-х - 60-х годов XX века 266.5 KB
  В связи с разоблачением культа личности Сталина происходило преодоление откровенно лакировочного искусства особенно характерного для 30 40х годов. Коммерциализация литературы и искусства привела к распространению произведений не отличающихся высокими художественными достоинствами. В советской культуре наблюдались две противоположные тенденции: искусства политизированного лакирующего действительность и искусства формально социалистического но по существу критически отражающего действительность в силу сознательной позиции художника...
20295. Западно-европейский театр второй половины XIX века 264.5 KB
  Театр XIX в. европейский театр растерял многие свои ценные завоевания. Повсюду в театрах для высшего общества вновь воцарилось величественное но холодное искусство классицизма утратившего после французской революции 1789 1794 гг.