50382

Диск Максвелла. Учебно-методическая разработка

Лабораторная работа

Физика

Диск Максвелла представляет собой достаточно массивный диск, насаженный на ось небольшого радиуса . На ось симметрично наматываются две нити. Если диск отпустить он начнет попеременно двигаться вверх-вниз, совершая своеобразные колебания — отсюда и его второе название: маятник Максвелла.

Русский

2014-01-21

358 KB

2 чел.

БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ФИЗИКИ

Гладковский В.И., Чопчиц Н. И.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-9 "ДИСК МАКСВЕЛЛА"

Учебно-методическая разработка по физике для студентов

технических специальностей ВУЗов.

Брест 2000


ОГЛАВЛЕНИЕ

[1] ЦЕЛИ РАБОТЫ:

[2] ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ:

[3] ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.

[4] ПОДГОТОВКА ПРИБОРА К РАБОТЕ

[5] ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

[6] УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ ДВИЖУЩЕЙСЯ ОСИ

[7] ДИСК МАКСВЕЛЛА

[8] ТЕОРИЯ РАБОТЫ

[9] МОМЕНТ ИНЕРЦИИ СПЛОШНОГО ДИСКА

[10] ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.

[11] ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

[12] ЛИТЕРАТУРА

ЦЕЛИ РАБОТЫ: 

Найти величину модуля ускорения центра инерции диска Максвелла;

Определить значение моментов инерции диска и сменных накладок;

Научиться строить физическую и математическую модель изучаемого явления;

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: 

Установка FPM-03 для измерения времени движения диска, сменные накладки.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ. 

Общий вид установки показан на Рис. 1. Основание (1) оснащено регулируемыми ножками (2), которые позволяют произвести выравнивание прибора. В основании закреплена колонка (3), к которой прикреплен неподвижный верхний кронштейн (4) и подвижный нижний кронштейн (5). На верхнем кронштейне находится электромагнит (6),  первый фотоэлектрический датчик (7) и вороток (8) для закрепления и регулирования длины бифиллярной подвески маятника. Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему вторым фотоэлектрическим датчиком (9) можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в произвольно выбранном положении.

Рис.1 Общий вид установки.

Диск Максвелла (10) представляет собой закрепленный на оси диск, на который накладываются сменные накладки (11), что позволяет изменять момент инерции системы и ее массу.

ПОДГОТОВКА ПРИБОРА К РАБОТЕ 

Проверьте заземление прибора. Работа с прибором допускается только при наличии заземления. Прибор включается кнопкой "СЕТЬ". Измерение времени падения диска осуществляется следующим образом. Нажмите кнопку "СБРОС". Аккуратно (виток к витку) произведите намотку нитей бифиллярного подвеса до тех пор, пока диск не зафиксируется электромагнитом. Нажмите кнопку "ПУСК". На табло индикации времени, прочитайте показание прибора.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Провести измерения времени tij поступательного перемещения диска Максвелла без сменной накладки для каждого из заданных преподавателем значений высоты hi. (Рекомендуется выбирать i=5 и j=35).

Усреднить значения tij, по формуле , где .

Определить ускорение ac поступательного движения диска Максвелла для каждого значения высоты hi и времени ti.

Рассчитать теоретическое значение момента инерции диска Максвелла (Jс)теор и момента инерции сменной накладки (Jн)теор. Произвести оценку погрешности определения момента инерции диска Максвелла (Jс)теор, момента инерции сменной накладки (Jн)теор и ускорения ac поступательного движения диска Максвелла.

При помощи формулы (8.3) определить экспериментальные значения момента инерции диска Максвелла (Jс)эксп и сменной накладки (Jн)эксп.

Определить величину относительного расхождения между экспериментальным и расчетным значениями момента инерции диска Максвелла для случая применения формулы (8.3).

При помощи метода наименьших квадратов определить экспериментальные значения момента инерции диска Максвелла (Jс)эксп и момента инерции сменной накладки (Jн)эксп.

Определить величину относительного расхождения между экспериментальным и расчетным значением момента инерции диска Максвелла для случая применения метода наименьших квадратов.

Сравнить точность определения момента инерции диска Максвелла и момента инерции сменной накладки при помощи метода наименьших квадратов и при помощи формулы (8.3).

УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ ДВИЖУЩЕЙСЯ ОСИ

Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг некоторой оси О, которая неподвижна относительно некоторой инерциальной системы отсчета (ИСО). Тогда, как известно, основное уравнение динамики вращательного движения тела имеет вид

                 ,                                                        (6.1)

где  — момент инерции тела относительно оси О: , где  — масса  -той  частицы тела,  — расстояние от  -той  частицы до оси О;  — угловое ускорение тела, — сумма моментов сил, действующих на тело, относительно оси О. Рассмотрим, как изменится уравнение (6.1), если ось О, относительно которой происходит вращение тела, сама движется с некоторым ускорением  относительно ИСО, оставаясь параллельной себе, т.е. поступательно. Перейдем в неинерциальную систему отсчета, движущуюся поступательно относительно ИСО с тем же ускорением , относительно которой ось неподвижна. В этой системе отсчета, наряду с силами, действующими на тело в ИСО, на каждую частицу тела будет действовать сила инерции, равная и уравнение (6.1) примет вид

                                       

Напомним, что моментом силы относительно оси называется проекция на эту ось момента силы относительно любой точки, лежащей на этой оси. Пусть О — произвольная точка на оси О, — радиус-вектор частицы с массой  относительно точки О. Тогда момент силы инерции , действующей на -тую частицу относительно точки О, равен векторному произведению радиуса-вектора частицы и вектора силы инерции: 

                               .

Сумма этих моментов равна

                   .                         (6.2)

Здесь мы учли, что ускорение  одно и то же для всех точек и вынесли его за знак суммы. Пусть — масса тела, С— его центр инерции, радиус-вектор которого равен

                                        

Тогда (6.2) можно переписать в виде

                                  ,                                   (6.3)

где  — суммарная сила инерции, действующая на тело. Формула (6.3) показывает, что при вычислении суммы моментов сил инерции, действующих на отдельные частицы тела, можно считать, что к центру инерции тела приложена суммарная сила инерции и вычислить ее момент — он и будет равен искомой сумме моментов. Пусть теперь ось О проходит через центр инерции С (будем ее называть в таком случае осью С) и точка О совпадает с С. Тогда очевидно , =0 и =0, т.е. сумма моментов сил инерции, действующих на отдельные частицы тела, относительно центра инерции равна нулю, следовательно, и сумма моментов сил инерции относительно оси С: =0. Это означает, что если ось вращения тела проходит через центр инерции С, то основное уравнение динамики вращательного движения тела имеет вид

                                                     (6.4)

безотносительно к тому, покоится ли эта ось или движется ускоренно.

ДИСК МАКСВЕЛЛА 

Рис.2. Силы, действующие на диск Максвелла

Диск Максвелла представляет собой достаточно массивный диск, насаженный на ось небольшого радиуса . На ось симметрично наматываются две нити. Если диск отпустить он начнет попеременно двигаться вверх-вниз, совершая своеобразные колебания — отсюда и его второе название: маятник Максвелла. С течением времени эти колебания затухают вследствие наличия сил сопротивления. Заметим, что по разным причинам, на анализе которых мы останавливаться не будем, с течением времени возбуждаются и обычные колебания в направлении, перпендикулярном оси диска. На Рис. 2 показан вид маятника сбоку и силы, действующие на него :  — суммарная сила натяжения нитей и сила тяжести , приложенная к центру инерции. Силы сопротивления учитывать не будем, а нити будем считать вертикальными. Уравнение движения центра инерции в проекции на ось направленную вниз, имеет вид

                                                     (7.1)

где  — ускорение центра инерции,  —  масса маятника. Ось вращения маятника в данном случае ускоренно движется вниз. Согласно параграфу 5 уравнение динамики вращательного движения имеет вид

                                                              (7.2)

где   — радиус оси,  — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр инерции. Рисунок соответствует движению маятника вниз, когда угловая скорость вращения направлена по часовой стрелке и увеличивается, следовательно, в соответствии с обычным соглашением о знаках угловых величин: , . Между  и  существует простая кинематическая связь, обусловленная нерастяжимостью нити и отсутствием проскальзывания нити по оси маятника. За время маятника повернется на угол   и с оси намотки смотается участок нити длиной  (знак минус поставлен с учетом отрицательности угловой скорости ). Таким образом точка С опустится вниз на величину , а это означает, что скорость центра инерции при перемещении вниз будет равна

                                            .

Дифференцируя это соотношение по времени, получим

.                                                  (7.3)

Подставляя (7.3) в (7.2), получим

                                            ,

откуда . Подставляя в (7.1), получим

                                           ,

откуда

                                 .                                                   (7.4)

Легко видеть, что формула (7.4) остается справедливой и при движении маятника вверх. Если нити абсолютно упруги, то по достижении центром инерции С наинизшей точки, его скорость изменит направление на противоположное и маятник начнет двигаться вверх замедленно, но с тем же ускорением (7.4) по величине.

Тот же результат можно получить из закона сохранения механической энергии, который справедлив в данном случае, поскольку мы пренебрегаем силами сопротивления (диссипативными силами). Считая потенциальную энергию центра инерции диска в наинизшем положении равной нулю, получаем значение потенциальной энергии центра инерции диска: , где — положение центра инерции диска над указанным нулевым уровнем в данный момент времени. Кинетическая энергия вращающегося тела, движущегося поступательно, равна . Тогда, согласно закону сохранения механической энергии, можно записать следующее соотношение: 

,

где — наибольшее значение положения центра инерции над нулевым уровнем в момент начала движения. Дифференцируя это выражение по времени и учитывая, что  (напомним, что мы считаем положительной скорость , если она направлена вниз, кроме того, поскольку  при этом  убывает, то  ) и , , получим

,

откуда опять получаем формулу (7.4), ибо  не равно тождественно нулю.

ТЕОРИЯ РАБОТЫ

На данной установке можно провести прямые измерения времени движения диска Максвелла на заданном расстоянии , причем движение начинается из состояния покоя. Величины  и  также доступны непосредственному измерению и мы будем считать их известными. Следовательно, в формулу (7.4) входят три неизвестных величины: . Ускорение , однако, легко может быть найдено по времени движения  и пройденному расстоянию , т.к. в соответствии с (7.4) при сделанных предположениях  постоянно. Поскольку начальная скорость равна нулю, то в идеально функционирующей установке мы имели бы  и . К сожалению, из-за конструктивных особенностей установки отсчет времени начинается не сразу в момент начала движения, а тогда, когда система сместится на некоторое расстояние , равное, по нашим оценкам, примерно 3 мм. На первый взгляд кажется, что если, например, высота, проходимая диском, составляет =30 см , то поскольку , т.е. примерно 1 % , то погрешностью в определении ускорения по формуле  можно вполне пренебречь. Однако на самом деле это не так. Начав движение из состояния покоя система в конце участка  приобретает скорость . Тогда для оставшегося участка длиной  можно записать

                                 ,

где  — время движения на этом участке, которое и измеряется на установке. Тогда

                          .

Решая это уравнение относительно , находим

                          .                                       (8.1)

При указанных выше численных значениях имеем  и относительная погрешность в определении величины  по формуле  составляет уже не  1 % , а целых 20 % , что слишком много, если учесть точность, с которой измеряется время движения и расстояние, проходимое диском. На уровне относительной погрешности  1 %  ускорение следует определять по формуле

                                   ,                                        (8.2)

где мы пренебрегли величиной  по сравнению с единицей. Таким образом, в формулу

                                                                              (8.3)

входят две величины  и , которые непосредственно не определяются. Конечно, значение ускорения свободного падения  хорошо известно из других опытов и составляет примерно . Тогда из формулы (8.3) можно определить момент инерции  и сравнить полученное значение с результатом, рассчитанным по теоретическим формулам.

Применим метод наименьших квадратов. Вначале линеаризируем исследуемую зависимость. Приравнивая правые части формул (8.2) и (8.3), получим

                          

или

                                                                          (8.4)

Вводя обозначения

 и

уравнение (8.4) можно переписать в виде линейного уравнения

                                                                  (8.5)

Составляя сумму

,                                                        (8.6)

определим параметр А из условия минимума суммы (8.6):

                                          

Решая полученную систему линейных уравнений, находим значение параметра А:

                                                               (8.7)

Зная значение параметра А, можно определить значение момента инерции диска Максвелла и сменной накладки.

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ СПЛОШНОГО ДИСКА

Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему частиц (материальных точек) с неизменными расстояниями между ними. Момент инерции твердого тела является аддитивной величиной и вычисляется по формуле

,                                             (9.1)

где mi —масса i-й частицы, а ri  расстояние от i-й частицы до оси вращения.

Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью величины, называемой плотностью. Если тело однородно, то плотность , где m — масса тела, а V— его объем. Для тела с неравномерно распределенной массой плотность в данной точке определяется следующим образом: 

                                        (9.2)

В этом выражении — масса, заключенная в объеме , который при предельном переходе стягивается к той точке, в которой определяется плотность. (Заметим, что предельный переход (9.2) нельзя понимать буквально. Уменьшение следует производить только до тех пор, пока не будет получен физически бесконечно малый объем, под которым понимают такой объем, который, с одной стороны, достаточно мал для того, чтобы макроскопические свойства в пределах его можно было считать одинаковыми, а с другой стороны, достаточно велик для того, чтобы не могла проявиться дискретность вещества.)

Выражая из (9.2) элементарную массу, момент инерции (9.1) можно представить в виде

,                                           (9.4)

Соотношения (9.1) и (9.4) являются приближенными, причем тем более точными, чем меньше элементарные объемы  и соответствующие им элементарные массы . Следовательно, задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию

                                  .                                                    (9.5)

Интеграл в (9.5) берется по всему объему тела. Величины и r в этом интеграле являются функциями координат рассматриваемой точки твердого тела.

Вычислим по формуле (9.5) момент инерции сплошного диска относительно оси ОО, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис. 3). Разобьем диск на кольцевые слои шириной dr. Все точки одного слоя можно считать находящимися на одинаковом расстоянии от оси равном r. Объем такого слоя равен  где b — толщина диска (на Рис. 3 не показана). Поскольку диск однороден, то его плотность во всех точках одинакова и можно вынести за знак интеграла: 

Рис. 3. К расчету момента инерции диска.

Учитывая однородность диска, его плотность можно определить по формуле: . Тогда для момента инерции диска получим следующее выражение

                             (9.6)

Момент инерции полого диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр, вычисляется по формуле

                                         (9.7)

Дальнейшие вычисления предлагается провести самостоятельно.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.

Сформулируйте основное уравнение динамики вращательного движения и определения физических величин, входящих в него.

Что такое момент инерции твердого тела и как эта величина используется в лабораторной работе?

В чем заключается физический смысл момента инерции?

Как рассчитать момент инерции твердого тела?

В чем заключается физический смысл момента силы?

Что показывает угловая скорость?

Что показывает угловое ускорение?

Получите формулу (7.4) для ускорения поступательного движения оси диска Максвелла из кинематических соображений.

Получите формулу (7.4) для ускорения поступательного движения оси диска Максвелла из энергетических соображений.

Как определить момент инерции сплошного диска?

Выведите формулу для расчета момента инерции полого диска.

Как определить значение момента инерции диска Максвелла из формулы (8.3)?

Как определить значение момента инерции диска Максвелла при помощи метода наименьших квадратов?

Как можно увеличить точность определения экспериментального значения момента инерции диска Максвелла?

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Два шнура длиной L с верхней стороны закреплены, а с нижней полностью намотаны на цилиндр массой m. Определить момент инерции J цилиндра, если он, начиная вращение из состояния покоя, за время t1 приобрел угловую скорость 1 и переместился на расстояние h1. За какое время произойдет полная размотка шнуров? Найти кинетическую энергию цилиндра в этот момент времени. Какие дополнительные величины можно определить в данной физической ситуации?

Два шнура длиной L с верхней стороны закреплены, а с нижней намотаны на вал маховика диаметром D. На обод маховика, изготовленного в виде сплошного однородного диска, полностью намотана другая нить длиной L3 с привязанным к ней грузом массой m3. Масса диска m. Определить момент инерции J установки, если она, начиная вращение из состояния покоя, за время t1 приобрела угловую скорость 1 и переместился на расстояние h. За какое время произойдет полная размотка одного из шнуров? Найти кинетическую энергию установки в этот момент времени. Какие дополнительные величины можно определить в данной физической ситуации?

Придумайте самостоятельно более усложненный вариант рассмотренной выше физической ситуации. Составьте ее математическую модель. Покажите сколько конкретных условий задач можно составить на основе этой математической модели.

ЛИТЕРАТУРА

Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. М., "Наука". 1982.

Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М. "Высшая школа". 1989.

Зисман Г.А., Тодес Г.А. Курс общей физики. Киев, "Днiпро". 1994.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37201. СОДЕРЖАНИЕ И ФУНКЦИИ ФИНАНСОВ ОРГАНИЗАЦИЙ 228.5 KB
  СОДЕРЖАНИЕ И ФУНКЦИИ ФИНАНСОВ ОРГАНИЗАЦИЙ Вы будете изучать: Сущность финансов организаций; Виды финансовых отношений организации и принципы их организации; Функции и роль финансов в деятельности организации; Состав финансовых ресурсов организации; Элементы финансового механизма организации; Цель лекции: Понять природу финансов организации и определить их роль в деятельности организации. Роль финансов в деятельности организации. фирмой называют субъект экономической деятельности или говоря иначе экономический субъект...
37202. Фондовая биржа 62.5 KB
  Именно поэтому в российском законодательстве определяется что членами фондовой биржи любые профессиональные участники рынка ценных бумаг. В России к профессиональным участникам рынка ценных бумаг относят коммерческие банки поэтому они также могут быть членами биржи. Причем коммерческие банки как правило самые активные члены биржи. 79 акций Франкфуртской фондовой биржи принадлежали отечественным коммерческим банкам и 10 зарубежным банкам.
37203. Правовое регулирование рынка ценных бумаг 27 KB
  О рынке ценных бумаг далее Закон о РЦБ регулирует отношения возникающие при эмиссии и обращении эмиссионных ценных бумаг при осуществлении профессиональной деятельности на рынке ценных бумаг а также устанавливает основы государственного регулирования данного рынка. О защите прав и законных интересов инвесторов на рынке ценных бумаг устанавливает меры направленные на обеспечение государственной и общественной защиты прав и законных интересов физических и юридических лиц объектом инвестирования которых являются эмиссионные ценные...
37204. Ценная бумага 78 KB
  С продажей ценной бумаги все права обязательства и отношения переходят к её новому владельцу. В Гражданском Кодексе РФ можно найти перечень видов ценных бумаг: государственная облигация облигация вексель чек депозитные и сберегательные сертификаты банковские сберегательные книжки на предъявителя коносаменты акции приватизационные ценные бумаги и другие документы которые законами о ценных бумагах или в установленном ими порядке отнесены к числу ценных бумаг. Атрибутами ценной бумаги являются: имущественные права отношения...
37205. Ры́нок це́нных бума́г, фо́ндовый ры́нок 92 KB
  По виду ценных бумаг рынок облигаций рынок акций рынок производных финансовых инструментов. По эмитентам рынок ценных бумаг предприятий рынок государственных ценных бумаг и т. По срокам рынок кратко средне долгосрочных и бессрочных ценных бумаг.
37206. Медицинское страхование 45.5 KB
  Независимо от величины этого взноса все граждане имеют равные права на получение определенного объема медицинской помощи оплата которой производится за счет страховых средств. Перед системой ОМС стоят три основные задачи: обеспечение равных возможностей получения медицинской помощи для всех жителей территории: обеспечение финансовой устойчивости; полный охват страхованием населения Российской Федерации. Охрана здоровья граждан представляет собой совокупность различных мер государства направленных на сохранение и укрепление физического и...
37207. Страхово́й тари́ф 27.5 KB
  Устанавливается как правило в процентах по отношению к страховой сумме. Страховой тариф может устанавливаться: 1. с единицы страховой суммы; 2.
37208. Виды страхования 65.5 KB
  Исторически страхование началось с видов и затем разрасталось до уровня отраслей. Страхование имущества Юридические и физические лица могут заключать договоры страхования на объекты в отношении которых они имеют имущественный интерес: здания сооружения передаточные устройства силовые рабочие и другие машины оборудование транспортные средства ловецкие и другие суда орудия лова объекты незавершенного производства и капитального строительства инвентарь готовая продукция товары сырье материалы и другое имущество. Страхование квартиры...
37209. Развитие страхового рынка 33 KB
  Таким образом прогноз роста российского страхового рынка должен опираться на общий прогноз экономического развития. В целом прогнозы роста российской экономики которые делаются различными аналитическими центрами на ближайшие несколько лет выглядят умеренно оптимистичными. Прогнозы сделанные ЦСИ Росгосстраха приводят к более низким оценкам потенциального роста российской экономики. Методика на основании которой делается прогноз основана на зависимости темпов роста ВВП от удовлетворенности населения своей жизнью – чем больше люди довольны...