50444

Моделирование стационарных случайных процессов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Получение реализации стационарного случайного процесса с заданными вероятностными свойствами основано на линейном преобразовании случайной функции. Вычисление ковариационной функции выходного процесса приводит к цепочке равенств 3 учитывая что получим следующее выражение: 4 По определению дисперсия выходного сигнала равна: 5 Из выражения 5 следует что для вычисления дисперсии выходного сигнала знания дисперсии входного сигнала недостаточно а необходимо располагать его ковариационной...

Русский

2014-01-23

231 KB

26 чел.

Лабораторная работа №5

Моделирование стационарных случайных процессов

(формирующий фильтр).

Цель работы.

 Исследовать формирование случайного сигнала с заданной спектральной плотностью.

Основные положения.

Необходимость построения формирующих фильтров возникает при постановке и решении большинства задач оптимальной линейной фильтрации и оптимального стохастического управления, а также в смежных с теорией управления областях системного анализа.

Формирующим фильтром называют линейное динамическое устройство, преобразующее стандартный случайный процесс в виде единичного белого шума в случайный процесс с заданной ковариационной функцией(спектральной плотностью).

Пусть стационарный случайный процесс, заданный своими числовыми характеристиками: математическое ожидание,   ковариационная функция.

Получение реализации стационарного случайного процесса с заданными вероятностными свойствами основано на линейном  преобразовании  случайной  функции.

Так как , то достаточно рассмотреть случай .

Соотношение вход-выход устойчивой стационарной линейной системы в установившемся режиме записывается в виде:

,    (1)

где (t)входной процесс; x(t) выходной процесс; w(t)весовая функция линейного преобразования.

Применяя к обеим частям выражения (1) операцию математического ожидания, получим

,     (2)

откуда следует, что если , то и .

Вычисление ковариационной функции выходного процесса приводит к цепочке равенств  

  (3)

учитывая, что     ,

получим следующее выражение: ,     (4)

По определению, дисперсия выходного сигнала  равна:

,      (5)

Из выражения (5) следует, что для вычисления дисперсии выходного сигнала знания дисперсии входного сигнала недостаточно, а необходимо располагать его ковариационной функцией.

Применяя к обеим частям выражения (4) преобразование Лапласа, получим соотношение между спектральными плотностями входного и выходного сигналов системы

,                   (6)

где      ,      а           (7)

Дисперсия выходного сигнала согласно выражений (5) – (7)  равна

(8)

Если на входе линейного преобразователя с передаточной функцией W(s) приложен белый шум с единичной спектральной плотностью, тогда на его выходе, согласно выражению (6) будем иметь:

              (9)

Спектральная  плотность стационарных случайных процессов, ковариационные функции которых выражаются через тригонометрические и показательные функции  является  дробно-рациональной функцией  комплексной переменной, то есть:

,     (10)

где P(s) и Q(s) целые, относительно s многочлены.


Спектральная плотность является действительной и чётной функцией, многочлены  и  имеют чётную степень  и  переменной
s. Поэтому их корнями будут  комплексно сопряженные  функции. Следовательно, можно записать:

     (11)

Подставляя равенства (11) в выражение (10), получим

   (12)

Сравнивая равенства (12) и (9), можно записать выражение для передаточной функции  звена, которое формирует случайный процесс с заданной спектральной плотностью из единичного «белого шума»:

      (13)

Представление (12) спектральной плотности в виде произведения двух сомножителей, один из которых  имеет нули и полюсы в левой полуплоскости, а другой  в правой полуплоскости, называют факторизацией спектральной плоскости. Разложение (12) оказывается единственным.

По передаточной функции (13) стандартным образом записываем уравнения вход-выход формирующего фильтра ( в операторной форме):

    (14)

Описание модели.

 Моделирование задачи осуществляется стандартными средствами пакета MATLAB, путем программной реализации основных блоков (Рис.1.)

                  

                            

                  

Рис.1.

В работе исследуются три формирующих фильтра для случайных процессов с ковариационными функциями:

  1.  ;  
  2.  ;
  3.  ,

Этим  ковариационным  функциям  соответствуют  спектральные  плотности:

  1.  ;     2); 3)

     

После проведения факторизации спектральных плотностей получим передаточные функции формирующих фильтров:

 

1) ; 2); 3)

По передаточным функциям формирующих фильтров записываем согласно выражению (14) отвечающие им дифференциальные уравнения 

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;

где   входной сигнал в виде единичного белого шума.

Вычисление значений оценок математического ожидания и дисперсии на выходе фильтра осуществляется    по рекуррентным  формулам:

,      (13)

          

Вычисление оценки ковариационной функции производится после окончания переходного процесса по  формуле

     3) ;             (14)

где  – глубина корреляции.

Зависимость полученных оценок  от длины реализации  сравнивается с теоретической  ковариацией  и  строится  график  критерия  адекватности:

.           (15)

Характеристики сигналов  на входе линейной системы.

Вариант 1.

Ковариационная функция .

Спектральная плотность .

 

Вариант 2.

Ковариационная функция .


Спектральная плотность .

Вариант3.

Ковариационная функция

..

Спектральная плотность

Программа исследований.

  1.  Войдите в MATLAB for Windows и запустите программу model 5.m.
  2.  В соответствии с конкретным вариантом задания составьте программу исследований и согласуйте ее с преподавателем.

В появившемся на экране диалоговом окне  последовательно выполняйте следующие действия:

3) Выберите  нужный  вариант  работы,  нажав  на  соответствующую  кнопку команд  «1», «2» или «3».

4) В открывшейся рабочей области введите заданные значения параметров  и  нажмите  кнопку команды «Далее».

5) Для изменения длины реализации  щелкните мышью в поле вывода ее значения, введите новое значение и затем щелкните мышью в любом свободном месте окна.

6)Наблюдайте графики оценок математического ожидания и дисперсии, теоретической ковариационной функции и её оценки, спектральной плотности и критерия адекватности.

7) Проследите  изменения графиков получаемых оценок при изменении длины реализации .

8) Исследуйте графики оценок при изменении параметров в выражении для спектральной плотности (для изменения параметров нажмите клавишу «Изменить…»).

9) Для вывода графиков на печать нажмите клавишу «Увеличить» и в открывшемся окне выберите в меню вкладку File и далее пункт Print… .

10) Сформулируйте  выводы о проделанной работе.

Содержание отчета.

1) Цель работы.

2) Краткое теоретическое обоснование и основные формулы.

3) Ковариационная функция, спектральная плотность и передаточная функция исследуемого фильтра.

4) Результаты моделирования (графики оценок математического ожидания выходного сигнала  и  дисперсии,  графики  ковариационной  функции  фильтра и её оценки).

5) Выводы .


Генератор «белого шума»

Формирующий фильтр

Блок оценок характеристик

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76978. Административная ответственность: понятие, признаки, нормативное и фактическое основание, отличие от других видов юридической ответственности 27.2 KB
  Административная ответственность: понятие признаки нормативное и фактическое основание отличие от других видов юридической ответственности. Административная ответственность это вид юридической ответственности которой присущи все признаки последней и которая выражается в применении уполномоченным органом или должностным лицом административного наказания к лицу совершившему административное правонарушение административный проступок. Несмотря на имеющиеся отличия административной ответственности от других видов юридической...
76979. Законодательство об административной ответственности. Принципы законодательства. Действие законодательства во времени и пространстве 27.64 KB
  Законодательство об административных правонарушениях состоит из Кодекса об адм. правонарушениях и принимаемых в соответствии с ним законов субъектов Российской Федерации об административных правонарушениях. Если международным договором Российской Федерации установлены иные правила чем предусмотренные законодательством об административных правонарушениях то применяются правила международного договора. Действующий Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях право определяет лишь два основных начала: принцип равенства перед...
76980. Субъекты административной ответственности. Общие специальные и особые субъекты административной ответственности 27.6 KB
  Субъекты административной ответственности. Общие специальные и особые субъекты административной ответственности. Субъектами административной ответственности чаще всего выступают субъекты административного проступка т. совершившие административное правонарушение физические лица и привлекаемые за это к административной ответственности.
76981. Обстоятельства, исключающие административную ответственность. Освобождение от административной ответственности 26.69 KB
  Освобождение от административной ответственности. Обстоятельства исключающие административную ответственность установленные законодательством юридические факты схожие с административными правонарушениями но при которых отношения ответственности не возникают: недостижение возраста административной ответственности для физических лиц крайняя необходимость невменяемость для физических лиц. Невменяемость состояние при котором лицо не могло сознавать фактический характер и противоправность своих действий бездействия либо руководить...
76982. Административное правонарушение как основание административной ответственности: понятие, сущность, признаки, отличающие от других видов правонарушений 29.81 KB
  Лицо может быть привлечено к административной ответственности если в его действиях со держатся все признаки конкретного состава правонарушения и отсутствуют основания исключающие ответственность.
76983. Юридический состав административного правонарушения. Виды составов. Под составом административного правонарушения 29.42 KB
  Юридический состав административного правонарушения. Под составом административного правонарушения понимается установленная правом совокупность признаков элементов при наличии которых антиобщественное деяние может повлечь административную ответственность. Элементами состава административного правонарушения являются: объект субъект объективная сторона субъективная сторона. Объект административного правонарушения общественные отношения возникающие в сфере государственного управления регулируемые нормами права и охраняемые мерами...
76984. Административное наказание как средство реализации административной ответственности: понятие, цели, система административных наказаний 25.62 KB
  Административное наказание является установленной государством мерой ответственности за совершение административного правонарушения и применяется в целях предупреждения совершения новых правонарушений как самим правонарушителем так и другими лицами. За совершение административных правонарушений могут устанавливаться и применяться следующие административные наказания...
76985. Краткая правовая характеристика каждого вида наказания 25.52 KB
  Конфискацией орудия совершения или предмета административного правонарушения является принудительное безвозмездное обращение в федеральную собственность или в собственность субъекта Российской Федерации не изъятых из оборота вещей. Административное выдворение за пределы Российской Федерации иностранных граждан или лиц без гражданства заключается в принудительном и контролируемом перемещении указанных граждан и лиц через Государственную границу Российской Федерации за пределы Российской Федерации а в случаях предусмотренных законодательством...
76986. Общие правила наложения административных наказаний, учет смягчающих и отягчающих наказание обстоятельств 27.21 KB
  Общие правила наложения административного наказания. Административное наказание за совершение административного правонарушения назначается в пределах установленных законом предусматривающим ответственность за данное административное правонарушение в соответствии с КоАП. При назначении административного наказания физическому лицу учитываются характер совершенного им административного правонарушения личность виновного его имущественное положение обстоятельства смягчающие административную ответственность и обстоятельства отягчающие...