50444

Моделирование стационарных случайных процессов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Получение реализации стационарного случайного процесса с заданными вероятностными свойствами основано на линейном преобразовании случайной функции. Вычисление ковариационной функции выходного процесса приводит к цепочке равенств 3 учитывая что получим следующее выражение: 4 По определению дисперсия выходного сигнала равна: 5 Из выражения 5 следует что для вычисления дисперсии выходного сигнала знания дисперсии входного сигнала недостаточно а необходимо располагать его ковариационной...

Русский

2014-01-23

231 KB

33 чел.

Лабораторная работа №5

Моделирование стационарных случайных процессов

(формирующий фильтр).

Цель работы.

 Исследовать формирование случайного сигнала с заданной спектральной плотностью.

Основные положения.

Необходимость построения формирующих фильтров возникает при постановке и решении большинства задач оптимальной линейной фильтрации и оптимального стохастического управления, а также в смежных с теорией управления областях системного анализа.

Формирующим фильтром называют линейное динамическое устройство, преобразующее стандартный случайный процесс в виде единичного белого шума в случайный процесс с заданной ковариационной функцией(спектральной плотностью).

Пусть стационарный случайный процесс, заданный своими числовыми характеристиками: математическое ожидание,   ковариационная функция.

Получение реализации стационарного случайного процесса с заданными вероятностными свойствами основано на линейном  преобразовании  случайной  функции.

Так как , то достаточно рассмотреть случай .

Соотношение вход-выход устойчивой стационарной линейной системы в установившемся режиме записывается в виде:

,    (1)

где (t)входной процесс; x(t) выходной процесс; w(t)весовая функция линейного преобразования.

Применяя к обеим частям выражения (1) операцию математического ожидания, получим

,     (2)

откуда следует, что если , то и .

Вычисление ковариационной функции выходного процесса приводит к цепочке равенств  

  (3)

учитывая, что     ,

получим следующее выражение: ,     (4)

По определению, дисперсия выходного сигнала  равна:

,      (5)

Из выражения (5) следует, что для вычисления дисперсии выходного сигнала знания дисперсии входного сигнала недостаточно, а необходимо располагать его ковариационной функцией.

Применяя к обеим частям выражения (4) преобразование Лапласа, получим соотношение между спектральными плотностями входного и выходного сигналов системы

,                   (6)

где      ,      а           (7)

Дисперсия выходного сигнала согласно выражений (5) – (7)  равна

(8)

Если на входе линейного преобразователя с передаточной функцией W(s) приложен белый шум с единичной спектральной плотностью, тогда на его выходе, согласно выражению (6) будем иметь:

              (9)

Спектральная  плотность стационарных случайных процессов, ковариационные функции которых выражаются через тригонометрические и показательные функции  является  дробно-рациональной функцией  комплексной переменной, то есть:

,     (10)

где P(s) и Q(s) целые, относительно s многочлены.


Спектральная плотность является действительной и чётной функцией, многочлены  и  имеют чётную степень  и  переменной
s. Поэтому их корнями будут  комплексно сопряженные  функции. Следовательно, можно записать:

     (11)

Подставляя равенства (11) в выражение (10), получим

   (12)

Сравнивая равенства (12) и (9), можно записать выражение для передаточной функции  звена, которое формирует случайный процесс с заданной спектральной плотностью из единичного «белого шума»:

      (13)

Представление (12) спектральной плотности в виде произведения двух сомножителей, один из которых  имеет нули и полюсы в левой полуплоскости, а другой  в правой полуплоскости, называют факторизацией спектральной плоскости. Разложение (12) оказывается единственным.

По передаточной функции (13) стандартным образом записываем уравнения вход-выход формирующего фильтра ( в операторной форме):

    (14)

Описание модели.

 Моделирование задачи осуществляется стандартными средствами пакета MATLAB, путем программной реализации основных блоков (Рис.1.)

                  

                            

                  

Рис.1.

В работе исследуются три формирующих фильтра для случайных процессов с ковариационными функциями:

  1.  ;  
  2.  ;
  3.  ,

Этим  ковариационным  функциям  соответствуют  спектральные  плотности:

  1.  ;     2); 3)

     

После проведения факторизации спектральных плотностей получим передаточные функции формирующих фильтров:

 

1) ; 2); 3)

По передаточным функциям формирующих фильтров записываем согласно выражению (14) отвечающие им дифференциальные уравнения 

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;

где   входной сигнал в виде единичного белого шума.

Вычисление значений оценок математического ожидания и дисперсии на выходе фильтра осуществляется    по рекуррентным  формулам:

,      (13)

          

Вычисление оценки ковариационной функции производится после окончания переходного процесса по  формуле

     3) ;             (14)

где  – глубина корреляции.

Зависимость полученных оценок  от длины реализации  сравнивается с теоретической  ковариацией  и  строится  график  критерия  адекватности:

.           (15)

Характеристики сигналов  на входе линейной системы.

Вариант 1.

Ковариационная функция .

Спектральная плотность .

 

Вариант 2.

Ковариационная функция .


Спектральная плотность .

Вариант3.

Ковариационная функция

..

Спектральная плотность

Программа исследований.

  1.  Войдите в MATLAB for Windows и запустите программу model 5.m.
  2.  В соответствии с конкретным вариантом задания составьте программу исследований и согласуйте ее с преподавателем.

В появившемся на экране диалоговом окне  последовательно выполняйте следующие действия:

3) Выберите  нужный  вариант  работы,  нажав  на  соответствующую  кнопку команд  «1», «2» или «3».

4) В открывшейся рабочей области введите заданные значения параметров  и  нажмите  кнопку команды «Далее».

5) Для изменения длины реализации  щелкните мышью в поле вывода ее значения, введите новое значение и затем щелкните мышью в любом свободном месте окна.

6)Наблюдайте графики оценок математического ожидания и дисперсии, теоретической ковариационной функции и её оценки, спектральной плотности и критерия адекватности.

7) Проследите  изменения графиков получаемых оценок при изменении длины реализации .

8) Исследуйте графики оценок при изменении параметров в выражении для спектральной плотности (для изменения параметров нажмите клавишу «Изменить…»).

9) Для вывода графиков на печать нажмите клавишу «Увеличить» и в открывшемся окне выберите в меню вкладку File и далее пункт Print… .

10) Сформулируйте  выводы о проделанной работе.

Содержание отчета.

1) Цель работы.

2) Краткое теоретическое обоснование и основные формулы.

3) Ковариационная функция, спектральная плотность и передаточная функция исследуемого фильтра.

4) Результаты моделирования (графики оценок математического ожидания выходного сигнала  и  дисперсии,  графики  ковариационной  функции  фильтра и её оценки).

5) Выводы .


Генератор «белого шума»

Формирующий фильтр

Блок оценок характеристик

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75979. Шлях до олімпу. Спортивне свято. 59 KB
  За перемогу в кожному конкурсі команда нагороджується одним Олімпійським кільцем; за друге місце двома за третє місце трьома кільцями. Перемагає та команда яка перша обміняється місцями не порушивши правил. Перемагає команда яка швидше зміниться місцями не порушуючи умов гри. Перемагає команда яка швидше зміниться місцями з найменшими порушеннями.
75980. Олімпійський урок свято. Швидше – вище – сильніше до спортивних висот 41.5 KB
  Слово ведучого Шановні діти гості Сьогодні ми проводимо Олімпійський урок під девізом: Швидше вище сильніше до спортивних висот. Майбутні олімпійці рівняйсь струнко Тамара Семенівно Дозвольте олімпійське свято розпочати олімпійський вогонь прапор внести. Право пронести олімпійський вогонь прапор надається Спортику і переможцям шкільних змагань. Олімпійський прапор 5 олімпійських кілець символізують єдність народів всіх континентів земної кулі та переплітаються зліва направо.
75981. Форми земної поверхні 237 KB
  Запишіть які форми земної поверхні переважають у вашій місцевості. Запишіть відповіді: так чи ні Стримують утворення ярів на горбистій місцевості такі заходи: правильний обробіток ґрунту; закріплення схилів; збереження рослинного покрову; часті літні зливи.
75982. Олімпійський урок 164.5 KB
  Мета: Познайомити учнів із історією олімпійських ігор, досягненнями українських спортсменів на олімпіаді в Пекіні, виховувати почуття патрітизму, прагнення до здорового способу життя...
75983. Тематичний вечір присвячений ювілею Бориса Олійника. «Іду. І поруч твердо Крокує честь – мій секундант» 133.5 KB
  Мені доля вручила перстень І сказала що вже до смерті Я розмічений і заверстаний В наростаючу круговерть. Що однині не буде спокою Ні вночі мені ані вдень І життя моє піде боком А не так як у всіх людей. Коли б земля так думалось мені Була мов куля та ще й оберталась...
75984. Опис репродукції картини М.П.Глущенка «Зима» 180.5 KB
  Мета: Ознайомити учнів з творчою діяльність М.П.Глущенка. Розвивати в учнів образне і логічне мислення. Духовно збагачувати внутрішній світ учнів. Формувати поняття пейзаж, колорит, композиційний центр і т.д. Вироблення вмінь і навичок аналізувати події, прикмети.
75985. Людина – живий організм. Організм людини. Шкіра – захисник організму 8.39 MB
  Мета: Формувати поняття про людину як живий організм та про тіло людини як єдиний організм, у якому всі органи залежать один від одного; дати знання про властивості шкіри як органа, розкрити її значення для людини; розвивати уміння спостерігати...
75986. Свято «Осіння казка» 69.5 KB
  Учитель. За народними переказами осінь перша старша дочка Сонця. Вона останньою залишила батьківський дім і стала на Землі четвертою порою року. Посилаючи осінь на землю, Сонце сказало їй: «Забирай все моє багатство. Я віддаю тобі все своє золото. Будь щедрою і люди будуть любити тебе».
75987. Літературно – музична композиція «Осінні етюди». Позакласний захід за творчістю Ліни Костенко з мультимедійним додатком 80 KB
  Осінь Зустрічайте її Входить дівчина в костюмі Осені Осінь. Слайд 1 Я Осінь - чарівна й ясна Я дивна наче казочка сама Тримаю пензлик у руках Малюю всюди тут і там Щоб догодити любі вам Щоб вміли ви красу кохати Щоб теж у руки пензлик брали Красу природи малювали.