50444

Моделирование стационарных случайных процессов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Получение реализации стационарного случайного процесса с заданными вероятностными свойствами основано на линейном преобразовании случайной функции. Вычисление ковариационной функции выходного процесса приводит к цепочке равенств 3 учитывая что получим следующее выражение: 4 По определению дисперсия выходного сигнала равна: 5 Из выражения 5 следует что для вычисления дисперсии выходного сигнала знания дисперсии входного сигнала недостаточно а необходимо располагать его ковариационной...

Русский

2014-01-23

231 KB

27 чел.

Лабораторная работа №5

Моделирование стационарных случайных процессов

(формирующий фильтр).

Цель работы.

 Исследовать формирование случайного сигнала с заданной спектральной плотностью.

Основные положения.

Необходимость построения формирующих фильтров возникает при постановке и решении большинства задач оптимальной линейной фильтрации и оптимального стохастического управления, а также в смежных с теорией управления областях системного анализа.

Формирующим фильтром называют линейное динамическое устройство, преобразующее стандартный случайный процесс в виде единичного белого шума в случайный процесс с заданной ковариационной функцией(спектральной плотностью).

Пусть стационарный случайный процесс, заданный своими числовыми характеристиками: математическое ожидание,   ковариационная функция.

Получение реализации стационарного случайного процесса с заданными вероятностными свойствами основано на линейном  преобразовании  случайной  функции.

Так как , то достаточно рассмотреть случай .

Соотношение вход-выход устойчивой стационарной линейной системы в установившемся режиме записывается в виде:

,    (1)

где (t)входной процесс; x(t) выходной процесс; w(t)весовая функция линейного преобразования.

Применяя к обеим частям выражения (1) операцию математического ожидания, получим

,     (2)

откуда следует, что если , то и .

Вычисление ковариационной функции выходного процесса приводит к цепочке равенств  

  (3)

учитывая, что     ,

получим следующее выражение: ,     (4)

По определению, дисперсия выходного сигнала  равна:

,      (5)

Из выражения (5) следует, что для вычисления дисперсии выходного сигнала знания дисперсии входного сигнала недостаточно, а необходимо располагать его ковариационной функцией.

Применяя к обеим частям выражения (4) преобразование Лапласа, получим соотношение между спектральными плотностями входного и выходного сигналов системы

,                   (6)

где      ,      а           (7)

Дисперсия выходного сигнала согласно выражений (5) – (7)  равна

(8)

Если на входе линейного преобразователя с передаточной функцией W(s) приложен белый шум с единичной спектральной плотностью, тогда на его выходе, согласно выражению (6) будем иметь:

              (9)

Спектральная  плотность стационарных случайных процессов, ковариационные функции которых выражаются через тригонометрические и показательные функции  является  дробно-рациональной функцией  комплексной переменной, то есть:

,     (10)

где P(s) и Q(s) целые, относительно s многочлены.


Спектральная плотность является действительной и чётной функцией, многочлены  и  имеют чётную степень  и  переменной
s. Поэтому их корнями будут  комплексно сопряженные  функции. Следовательно, можно записать:

     (11)

Подставляя равенства (11) в выражение (10), получим

   (12)

Сравнивая равенства (12) и (9), можно записать выражение для передаточной функции  звена, которое формирует случайный процесс с заданной спектральной плотностью из единичного «белого шума»:

      (13)

Представление (12) спектральной плотности в виде произведения двух сомножителей, один из которых  имеет нули и полюсы в левой полуплоскости, а другой  в правой полуплоскости, называют факторизацией спектральной плоскости. Разложение (12) оказывается единственным.

По передаточной функции (13) стандартным образом записываем уравнения вход-выход формирующего фильтра ( в операторной форме):

    (14)

Описание модели.

 Моделирование задачи осуществляется стандартными средствами пакета MATLAB, путем программной реализации основных блоков (Рис.1.)

                  

                            

                  

Рис.1.

В работе исследуются три формирующих фильтра для случайных процессов с ковариационными функциями:

  1.  ;  
  2.  ;
  3.  ,

Этим  ковариационным  функциям  соответствуют  спектральные  плотности:

  1.  ;     2); 3)

     

После проведения факторизации спектральных плотностей получим передаточные функции формирующих фильтров:

 

1) ; 2); 3)

По передаточным функциям формирующих фильтров записываем согласно выражению (14) отвечающие им дифференциальные уравнения 

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;

где   входной сигнал в виде единичного белого шума.

Вычисление значений оценок математического ожидания и дисперсии на выходе фильтра осуществляется    по рекуррентным  формулам:

,      (13)

          

Вычисление оценки ковариационной функции производится после окончания переходного процесса по  формуле

     3) ;             (14)

где  – глубина корреляции.

Зависимость полученных оценок  от длины реализации  сравнивается с теоретической  ковариацией  и  строится  график  критерия  адекватности:

.           (15)

Характеристики сигналов  на входе линейной системы.

Вариант 1.

Ковариационная функция .

Спектральная плотность .

 

Вариант 2.

Ковариационная функция .


Спектральная плотность .

Вариант3.

Ковариационная функция

..

Спектральная плотность

Программа исследований.

  1.  Войдите в MATLAB for Windows и запустите программу model 5.m.
  2.  В соответствии с конкретным вариантом задания составьте программу исследований и согласуйте ее с преподавателем.

В появившемся на экране диалоговом окне  последовательно выполняйте следующие действия:

3) Выберите  нужный  вариант  работы,  нажав  на  соответствующую  кнопку команд  «1», «2» или «3».

4) В открывшейся рабочей области введите заданные значения параметров  и  нажмите  кнопку команды «Далее».

5) Для изменения длины реализации  щелкните мышью в поле вывода ее значения, введите новое значение и затем щелкните мышью в любом свободном месте окна.

6)Наблюдайте графики оценок математического ожидания и дисперсии, теоретической ковариационной функции и её оценки, спектральной плотности и критерия адекватности.

7) Проследите  изменения графиков получаемых оценок при изменении длины реализации .

8) Исследуйте графики оценок при изменении параметров в выражении для спектральной плотности (для изменения параметров нажмите клавишу «Изменить…»).

9) Для вывода графиков на печать нажмите клавишу «Увеличить» и в открывшемся окне выберите в меню вкладку File и далее пункт Print… .

10) Сформулируйте  выводы о проделанной работе.

Содержание отчета.

1) Цель работы.

2) Краткое теоретическое обоснование и основные формулы.

3) Ковариационная функция, спектральная плотность и передаточная функция исследуемого фильтра.

4) Результаты моделирования (графики оценок математического ожидания выходного сигнала  и  дисперсии,  графики  ковариационной  функции  фильтра и её оценки).

5) Выводы .


Генератор «белого шума»

Формирующий фильтр

Блок оценок характеристик

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78768. Створення форонтиспісу у програмі Photshop 2.36 MB
  З усіх видів криття брошур основним є криття врозпуск при якому на обкладинці роблять чотири рубчики і приклеюють її не тільки до корінця а й до першої сторінки блока. Комбіноване фальцювання Формат видання це розмір сторінки видання після обрізки блока по ширині і довжині.
78769. Вышивка атласными ленточками 3.28 MB
  Для вышивки лентами используются длинные иглы поэтому когда на игле остается очень короткий конец ленты завершить узор бывает проблематично. Для того чтобы вывести на изнаночную сторону ткани короткий конец ленты выньте его из иглы затем иглу без ленты вколите до самого ушка в...
78770. Роль Русской Православной Церкви в кризисные моменты истории России 316.5 KB
  Сюда можно отнести несколько факторов: Существование мощных течений которые свидетельствуют о крупной роли Русской Православной Церкви в деле формирования и поддержания русской государственности: Первым актом национального самосознания русского народа было крещение в Православие.
78771. Эксплуатация судовых вспомогательных и утилизационных котлов 480.17 KB
  Специфика морского транспорта как сферы экономики заключается в том, что он сам не производит продукцию, а только участвует в ее создании, обеспечивая производство сырьем, материалами, оборудованием и доставляя готовую продукцию потребителю.
78772. Изучение форм бухгалтерской отчетности ЗАО «Восход» 666.5 KB
  Цель работы состояла в изучении форм бухгалтерской отчетности конкретного сельскохозяйственного предприятия, выявление возможных направлений улучшения организации ее составления и использования для совершенствования управленческой деятельности в соответствующем хозяйстве.
78773. Облік процесу запасів процесу виробництва 244 KB
  Підприємницька діяльність можлива різних видів: виробнича, комерційна або грошово-кредитна. Згідно з цим запаси діяльності такі: у першому випадку – різні речовини та сили природи: сировина, матеріали (основні, допоміжні паливні, мастильний тощо), у другому – готова продукція виробничої сфери...
78774. Элементы окна меню Mozilla Firefox 2.94 MB
  Браузер — это программное обеспечение для просмотра Web-страниц. В настоящее время существует богатый выбор различных браузеров. Наиболее популярными являются Internet Explorer, Mozilla Firefox, Apple Safari, Netscape, Opera. Web-страница — электронный документ, в котором кроме текста содержатся специальные...
78775. Вклады физических лиц 307.43 KB
  У Сбербанка России практически отсутствуют конкуренты среди банков в небольших городах, посёлках и райцентрах, да и во многих областных центрах тоже. Сбербанк имеет около 20 тысяч подразделений по всей стране, и такого количества филиалов по стране нет ни у одного из банков России.
78776. Исследования сущности и содержания избирательного процесса в Российской Федерации 124.56 KB
  Федеральными законами с учетом требований международных правовых стандартов были закреплены гарантии права граждан на участие в периодических, свободных и справедливых выборах. С этого времени наша страна прошла большой путь, сопровождаемый конфликтами и потрясениями.