50444

Моделирование стационарных случайных процессов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Получение реализации стационарного случайного процесса с заданными вероятностными свойствами основано на линейном преобразовании случайной функции. Вычисление ковариационной функции выходного процесса приводит к цепочке равенств 3 учитывая что получим следующее выражение: 4 По определению дисперсия выходного сигнала равна: 5 Из выражения 5 следует что для вычисления дисперсии выходного сигнала знания дисперсии входного сигнала недостаточно а необходимо располагать его ковариационной...

Русский

2014-01-23

231 KB

26 чел.

Лабораторная работа №5

Моделирование стационарных случайных процессов

(формирующий фильтр).

Цель работы.

 Исследовать формирование случайного сигнала с заданной спектральной плотностью.

Основные положения.

Необходимость построения формирующих фильтров возникает при постановке и решении большинства задач оптимальной линейной фильтрации и оптимального стохастического управления, а также в смежных с теорией управления областях системного анализа.

Формирующим фильтром называют линейное динамическое устройство, преобразующее стандартный случайный процесс в виде единичного белого шума в случайный процесс с заданной ковариационной функцией(спектральной плотностью).

Пусть стационарный случайный процесс, заданный своими числовыми характеристиками: математическое ожидание,   ковариационная функция.

Получение реализации стационарного случайного процесса с заданными вероятностными свойствами основано на линейном  преобразовании  случайной  функции.

Так как , то достаточно рассмотреть случай .

Соотношение вход-выход устойчивой стационарной линейной системы в установившемся режиме записывается в виде:

,    (1)

где (t)входной процесс; x(t) выходной процесс; w(t)весовая функция линейного преобразования.

Применяя к обеим частям выражения (1) операцию математического ожидания, получим

,     (2)

откуда следует, что если , то и .

Вычисление ковариационной функции выходного процесса приводит к цепочке равенств  

  (3)

учитывая, что     ,

получим следующее выражение: ,     (4)

По определению, дисперсия выходного сигнала  равна:

,      (5)

Из выражения (5) следует, что для вычисления дисперсии выходного сигнала знания дисперсии входного сигнала недостаточно, а необходимо располагать его ковариационной функцией.

Применяя к обеим частям выражения (4) преобразование Лапласа, получим соотношение между спектральными плотностями входного и выходного сигналов системы

,                   (6)

где      ,      а           (7)

Дисперсия выходного сигнала согласно выражений (5) – (7)  равна

(8)

Если на входе линейного преобразователя с передаточной функцией W(s) приложен белый шум с единичной спектральной плотностью, тогда на его выходе, согласно выражению (6) будем иметь:

              (9)

Спектральная  плотность стационарных случайных процессов, ковариационные функции которых выражаются через тригонометрические и показательные функции  является  дробно-рациональной функцией  комплексной переменной, то есть:

,     (10)

где P(s) и Q(s) целые, относительно s многочлены.


Спектральная плотность является действительной и чётной функцией, многочлены  и  имеют чётную степень  и  переменной
s. Поэтому их корнями будут  комплексно сопряженные  функции. Следовательно, можно записать:

     (11)

Подставляя равенства (11) в выражение (10), получим

   (12)

Сравнивая равенства (12) и (9), можно записать выражение для передаточной функции  звена, которое формирует случайный процесс с заданной спектральной плотностью из единичного «белого шума»:

      (13)

Представление (12) спектральной плотности в виде произведения двух сомножителей, один из которых  имеет нули и полюсы в левой полуплоскости, а другой  в правой полуплоскости, называют факторизацией спектральной плоскости. Разложение (12) оказывается единственным.

По передаточной функции (13) стандартным образом записываем уравнения вход-выход формирующего фильтра ( в операторной форме):

    (14)

Описание модели.

 Моделирование задачи осуществляется стандартными средствами пакета MATLAB, путем программной реализации основных блоков (Рис.1.)

                  

                            

                  

Рис.1.

В работе исследуются три формирующих фильтра для случайных процессов с ковариационными функциями:

  1.  ;  
  2.  ;
  3.  ,

Этим  ковариационным  функциям  соответствуют  спектральные  плотности:

  1.  ;     2); 3)

     

После проведения факторизации спектральных плотностей получим передаточные функции формирующих фильтров:

 

1) ; 2); 3)

По передаточным функциям формирующих фильтров записываем согласно выражению (14) отвечающие им дифференциальные уравнения 

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;

где   входной сигнал в виде единичного белого шума.

Вычисление значений оценок математического ожидания и дисперсии на выходе фильтра осуществляется    по рекуррентным  формулам:

,      (13)

          

Вычисление оценки ковариационной функции производится после окончания переходного процесса по  формуле

     3) ;             (14)

где  – глубина корреляции.

Зависимость полученных оценок  от длины реализации  сравнивается с теоретической  ковариацией  и  строится  график  критерия  адекватности:

.           (15)

Характеристики сигналов  на входе линейной системы.

Вариант 1.

Ковариационная функция .

Спектральная плотность .

 

Вариант 2.

Ковариационная функция .


Спектральная плотность .

Вариант3.

Ковариационная функция

..

Спектральная плотность

Программа исследований.

  1.  Войдите в MATLAB for Windows и запустите программу model 5.m.
  2.  В соответствии с конкретным вариантом задания составьте программу исследований и согласуйте ее с преподавателем.

В появившемся на экране диалоговом окне  последовательно выполняйте следующие действия:

3) Выберите  нужный  вариант  работы,  нажав  на  соответствующую  кнопку команд  «1», «2» или «3».

4) В открывшейся рабочей области введите заданные значения параметров  и  нажмите  кнопку команды «Далее».

5) Для изменения длины реализации  щелкните мышью в поле вывода ее значения, введите новое значение и затем щелкните мышью в любом свободном месте окна.

6)Наблюдайте графики оценок математического ожидания и дисперсии, теоретической ковариационной функции и её оценки, спектральной плотности и критерия адекватности.

7) Проследите  изменения графиков получаемых оценок при изменении длины реализации .

8) Исследуйте графики оценок при изменении параметров в выражении для спектральной плотности (для изменения параметров нажмите клавишу «Изменить…»).

9) Для вывода графиков на печать нажмите клавишу «Увеличить» и в открывшемся окне выберите в меню вкладку File и далее пункт Print… .

10) Сформулируйте  выводы о проделанной работе.

Содержание отчета.

1) Цель работы.

2) Краткое теоретическое обоснование и основные формулы.

3) Ковариационная функция, спектральная плотность и передаточная функция исследуемого фильтра.

4) Результаты моделирования (графики оценок математического ожидания выходного сигнала  и  дисперсии,  графики  ковариационной  функции  фильтра и её оценки).

5) Выводы .


Генератор «белого шума»

Формирующий фильтр

Блок оценок характеристик

EMBED PBrush  

EMBED PBrush